Расчет нестационарных колебаний мачты с антенной в потоке воздуха тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, кандидат технических наук Скуев, Михаил Валерьевич

• Скуев, Михаил Валерьевич
• кандидат технических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат технических наук Скуев, Михаил Валерьевич

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Обзор литературы и формулировка основных задач диссертации

1.1. Анализ научной литературы, посвященной расчетам мачтовых и башенных сооружений

1.2. Объект, основные задачи и цели исследования

2. Статическая устойчивость мачты с оттяжками

2.1. Линеаризованные уравнения равновесия мачты

после потери устойчивости

2.2. Численное определение критических нагрузок

2.3. Анализ результатов расчета мачты на статическую устойчивость

3. Определение напряженно-деформированного состояния мачты при статическом нагружении

3.1. Нелинейные уравнения равновесия прямолинейных стержней с локальными упругими связями

3.2. Определение статических сил и моментов, действующих на стержень со стороны антенного блока

3.3. Распределенная статическая нагрузка от сил тяжести

и стационарного потока воздуха

3.4. Силы, действующие на мачту со стороны оттяжек

3.5. Численное решение нелинейных уравнений равновесия методом дискретного продолжения по параметру

3.6.

3.7.

Определение статического напряженно-деформированного состояния из линейных уравнениях равновесия . 53 Анализ напряженно-деформированного состояния мачты

4. Вынужденные и свободные колебания мачты с антен-

ной

4.1. Линеаризованные уравнения малых вынужденных колебаний стержня

4.2. Определение сосредоточенных и распределенных сил и моментов, действующих на мачту и антенну при колебаниях

4.3. Уравнения малых колебаний мачты с антенной

4.4. Определение собственных значений и собственных векторов

4.5. Общий метод приближенного решения системы линейных неоднородных уравнений малых колебаний в частных производных

4.6. Результаты расчета собственных значений и собственных векторов

5. Определение вероятностных характеристик напряженно-деформированного состояния мачты при нагруже-

нии случайными аэродинамическими силами

5.1. Вероятностные характеристики аэродинамических нагрузок

5.2. Нестационарные колебания при внезапном приложении аэродинамической нагрузки

5.3. Стационарные колебания при стационарных аэродинамических силах

5.4. Определение вероятностных характеристик угла отклонения луча антенны при нестационарных колебаниях, вызванных случайным импульсным нагружени-

ем аэродинамическими силами

5.5. Анализ результатов расчета нестационарных колебаний мачты с антенной в потоке воздуха

Основные выводы

Список использованной литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Расчет нестационарных колебаний мачты с антенной в потоке воздуха»

ВВЕДЕНИЕ

Диссертация посвящена одному из научных направлений в механике стержней — механике упругих стержней, взаимодействующих с потоком воздуха или жидкости.

Статическое и динамическое взаимодействие конструкций в целом и их элементов с детерминированным и случайным потоками воздуха или жидкости весьма типично для техники и вызывает значительные трудности при решении прикладных задач, так как обычно эти задачи являются неконсервативными.

Анализ взаимодействия упругих элементов конструкций с потоком воздуха или жидкости требует, при точной постановке, совместного рассмотрения уравнений теории упругости (или в частных случаях — теории стержней, пластин, оболочек) и аэрогидромеханики. Это необходимо для определения сил, действующих на элементы конструкций со стороны потока и зависящих от деформации упругих элементов. Теоретически вывести аналитические выражения для этих сил очень сложно, однако для широкого класса частных задач можно получить аналитические выражения для аэродинамических сил с использованием результатов экспериментальных исследований, что позволяет оценить статическое и динамическое напряженные состояния, вызванные детерминированным, стационарным или нестационарным потоком воздуха или жидкости. К этим частным задачам можно отнести и задачи статики и динамики высотных сооружений, например мачтовых и башенных конструкций.

К настоящему времени учеными достигнут высокий уровень теории и расчета мачтовых систем, дальнейшее развитие которых связано с новыми требованиями к повышению точности расчетов и оценке

надежности функционирования конструкций. Это весьма актуально для мачтовых систем, работающих в экстремальных условиях, когда воздействие внезапно приложенной или импульсной детерминированной и случайной аэродинамических нагрузок приводит к нестационарным колебаниям мачт.

Увеличение точности расчетов требует как применения новых численных математических методов, так и уточнения математических моделей, отражающих физические особенности работы мачты с антенным или другим оборудованием в реальных условиях. Решению этих проблем в современных условиях способствует развитие и распространение быстродействующей вычислительной техники. Поэтому разработка новых математических моделей и высокоточных численных методов исследования нестационарных колебаний антенно-мачтовых систем является актуальной проблемой.

1. Обзор литературы и формулировка основных

задач диссертации

1.1. Анализ научной литературы, посвященной расчетам мачтовых и башенных сооружений

Научная литература по механике стержней и стержневых конструкций весьма обширна, поэтому рассмотрены монографии и статьи, имеющие наиболее близкое отношение к теме диссертации, которая посвящена разработке методов расчета стержней (мачтовых конструкций), взаимодействующих с потоком воздуха.

К основополагающим работам, связанным с общими вопросами теории антенно-мачтовых сооружений и методами их расчета относятся [21, 26, 54, 72, 82, 83].

При эксплуатации мачтовые и башенные конструкции нагружаются:

- статическими силами (силы веса и аэродинамические силы при стационарном обтекании);

- динамическими детерминированными силами (внезапно приложенными и импульсными аэродинамическими силами);

- динамическими случайными аэродинамическими силами, как стационарными, так и нестационарными.

Поэтому, как правило, исследования и методы расчета мачтовых и башенных конструкций посвящены:

- расчетам конструкции при статическом нагружении с определением напряженно-деформированного состояния и анализом статической устойчивости;

- определению спектра частот конструкции и напряженно-деформи-

рованного состояния при нагружении детермированными силами; - определению напряженно-деформированного состояния конструкций при нагружении случайными силами (случайные аэродинамические силы и случайные сейсмические силы).

Рассмотрим более подробно содержание и полученные результаты по каждому из вышеперечисленных научных направлений в работах, приведенных в списке литературы.

Специфические особенности мачтовых конструкций с анализом физических основ их работы рассмотрены в книге [72]. При составлении уравнений равновесия ствола мачты используется метод перемещений, но при этом силы, действующие на мачту со стороны оттяжек, определяются по нелинейным соотношениям. Математическая модель содержит нелинейную систему алгебраических уравнений, для решения которой использован метод простых итераций.

Статический расчет мачт с оттяжками изложен в [110]. Мачта рассматривается как упруго опертая неразрезная балка, поддерживаемая тремя оттяжками; при определении сил, действующих на мачту со стороны оттяжек, отыскиваются корни полинома 7-ой степени; проведены численные исследования влияния конструкционных параметров мачты и внешней нагрузки на напряженно-деформированное состояние.

Статический анализ напряженного состояния вантовой мачты методом перемещений в матричной форме изложен в [102]. Вопросы выбора проектных нагрузок и начальных сил натяжения оттяжек на основе опыта эксплуатации мачт рассмотрены в работе [112]. В [100] отмечается, что в литературе, как правило, приводятся методы расчетов мачтовых сооружений при симметричном расположении тросов и действии аэродинамических сил в плоскости симметрии кон-

струкции. Поэтому автор обобщает эти методы для случая несимметрично расчаленных мачт при воздействии произвольно направленной горизонтальной аэродинамической нагрузки. В [106, 111] для расчета расчаленных мачт под действием произвольной статической нагрузки использованы итерационные методы при решении нелинейных уравнений равновесия.

Теория статического расчета стержней, взаимодействующих с потоком воздуха или жидкости, изложена в монографиях [73,74, 76], в которых, для решаемых в диссертации задач, особый интерес вызывают разделы, посвященные определению сил, действующих на находящийся в потоке стержень. Прикладные задачи статики стержней в потоке воздуха или жидкости в нелинейной постановке решаются в работах [41, 42, 43, 50, 51, 79].

Основы расчетов на статическую устойчивость упругих систем и, в частности, стержневых конструкций изложены в трудах [2, 16, 19, 35, 46, 74, 78, 86]. Устойчивости мачт с оттяжками посвящена монография [39], где в качестве расчетной схемы используется сжатый или сжато-изогнутый стержень на упругих опорах, определению жест-костей которых автор уделяет особое внимание. Для решения используется метод перемещений. В статье [97] с позиции статической устойчивости рассмотрена несущая способность мачты с одним ярусом оттяжек; приведены способы повышения жесткости расчаленных мачт; однако используемая авторами математическая модель не позволяет оценить влияние начального натяжения на устойчивость мачты.

Устойчивость несущих элементов с растяжками исследуется в работе [105], где в качестве примеров рассмотрены расчаленные шар-нирно опертые стержни, для которых пространственная задача сво-

дится к плоской. В статье [65] предложен метод статистических испытаний для расчета антенно-мачтовых сооружений на устойчивость, реализуемый с помощью компьютерного эксперимента. В качестве критерия отказа выступает потеря общей устойчивости ствола мачты с выходом из плоскости действия ветровой нагрузки. Используемый при расчете алгоритм моделирования случайного направления ветровой нагрузки изложен в [45]. В работе [49] устойчивость и состояние равновесия многоступенчатой мачты без оттяжек рассмотрены с позиции теории гибких упругих стержней, изложенной в монографии [62], а для численного решения нелинейных уравнений равновесия используется метод стрельбы.

Деформирование и устойчивость гибкого стержня с продольными связями применительно к расчету вантовых стоек исследованы в работе [25], причем решение дается в рядах, что не очень удобно при расчетах. В [47] при расчете мачты определяется закон изменения суммарной силы от оттяжек (при изгибе в плоскости) в зависимости от величины смещения точек их закрепления на стволе. Для решения задачи устойчивости рекомендуется использование метода начальных параметров, для нелинейного расчета предложен итерационный метод. Способ организации итерационного процесса на основе создания упрощенной математической модели с постепенным ее уточнением, при котором реальной мачтовой конструкции при каждом приближении ставится в соответствие уточненная расчетная схема, рассмотрен в [59].

Классификация явлений аэродинамического и аэроупругого характера строительных сооружений приведена в работе [87]. Анализу ветровой нагрузки посвящены труды [14, 40, 68, 71, 80]. Специальные вопросы обтекания конструкций и определения аэро- и гидродинами-

ческих сил рассмотрены в [18, 31, 37, 60, 63, 88, 93, 98]. Задачи динамики высотных сооружений рассмотрены в работах [8, 10, 29, 53, 57, 66, 91, 96, 99, 101, 103, 107, 109]. Систематические сведения о расчете мачт с оттяжками на сейсмические и ветровые воздействия содержатся в [66]. Предлагаемый алгоритм динамического анализа мачты изложен с учетом колебаний оттяжек. Несмотря на то, что состояние оттяжек описывается нелинейными соотношениями, задача свободных колебаний мачты решается в линейной постановке. Проведенные экспериментальные исследования на моделях мачт с оттяжками и сравнение опытных и расчетных данных подтвердили возможность такого допущения. Свободные колебания мачтовых конструкций с оттяжками рассматриваются в работах [91, 99]. Авторы этих работ считают, что необходимо учитывать инерцию оттяжек при определении частот. Противоположный вывод делает автор статьи [57], где проведен численный расчет на ЭВМ частот и форм собственных колебаний 350-метровой мачты с оттяжками с использованием модели мачты как прямолинейного стержня; по результатам расчета сделан вывод о том, что учет инерционных свойств оттяжек существенного значения на частоты колебаний мачты не оказывает. В работе [53] исследуются малые колебания мачты с учетом статического напряженно-деформированного состояния.

Экспериментальным исследованиям антенно-мачтовых конструкций посвящены работы [61, 92], в которых отражены вопросы выбора и нормирования аэродинамических нагрузок, однако процессы колебаний мачт при обтекании воздушным потоком устройств, размещаемых на мачтах не рассматривается.

Одним из основных требований, предъявляемых к современным антенно-мачтовым конструкциям с высотным расположением техно-

логического оборудования, является обеспечение его параметрической надежности при экстремальных воздействиях. В связи с тем, что научно-техническая литература по этому аспекту не столь обширна, наибольший методический интерес представляют исследования колебаний стержней при импульсном аэродинамическом нагру-жении, приведенные в трудах [5,30, 33], в которых колебательные процессы анализируются с позиций как линейной, так и нелинейной теории.

Проблемам расчета высотных сооружений посвящены многочисленные работы, опубликованные в зарубежных научно-технических изданиях. В обзорных статьях [103, 109] рассмотрены виды аэроупругих колебаний высотных конструкций. В работе [101] отмечается, что имеет место большое число аварий мачтовых конструкций, вызванных аэродинамическими силами при больших скоростях потока воздуха. Автор предлагает метод расчета мачтовых конструкций с условным разделением колебаний мачты на высокочастотные и низкочастотные. При низкочастотных колебаниях нагружение мачты приближенно рассматривается как квазистатическое, что упрощает расчет. Авторы работы [29] для исследования динамических характеристик мачт с оттяжками предлагают упрощенный метод расчета, который предусматривает разделение динамических характеристик в частотной области на последовательное определение диапазона низких частот колебаний и диапазона высоких частот. Анализ точности решений, полученных по этой упрощенной схеме, не приводится.

Шаговый метод решения нелинейных уравнений расчаленной мачты на действие турбулентного ветрового потока, аэродинамическая нагрузка от которого задается в виде функции времени, изла-

гается в [96]; используемая математическая модель позволяет учитывать ударное нагружение конструкции при обрыве вант. В [107] описывается численный метод расчета мачты с оттяжками на воздействие ветра, причем скорость ветра задается детерминированной периодической функцией времени, которая представлена как сумма постоянного во времени среднего значения и осциллирующей синусоидальной добавки; построение разностных схем основано на введении сосредоточенных масс; по результатам расчета делается вывод, что квазистатический подход, предполагающий постоянство скорости ветра, дает неудовлетворительные результаты.

В реальных условиях высотные сооружения нагружаются не только детерминированными нагрузками, но и случайными, которые представляют наибольшую опасность. Для анализа динамических процессов, возникающих при колебаниях мачтовых конструкций при случайном нагружении используются методы статистической механики, изложенные, например, в работах [4, 17, 20, 34,56, 77]. Методы расчета при случайном нагружении строительных конструкций нашли отражение в нормативных материалах [81], обоснование которых дано в [6, 90], а также в рекомендациях [67, 70]. Методы расчета мачты при стационарных случайных колебаниях изложены в работах [7, 8, 9, 11, 12, 13, 48]. В работе [8] в качестве нагрузки, действующей на систему, принимается пульсационная составляющая давления ветра, рассматриваемая как пространственно-временной стационарный гауссовский случайный процесс. Задача решается методом Бубнова — Галеркина с последующей статистической линеаризацией. Для сравнения рассмотрена модель мачты на упруго-податливых опорах и отмечено, что использование такой модели идет в запас прочности.

Анализ динамических характеристик колебаний высотных сооружений во временной области проведен в работе [113], где здание схематизировано в виде десяти сосредоточенных масс, связанных пружинами, а спектральная плотность силы лобового сопротивления представлена в виде произведения спектральной плотности скорости потока и аэродинамической передаточной функции, которая принята зависящей от площади поперечного сечения сооружения, частоты колебаний и координаты по продольной оси. В исследовании [108] рассматривается квазистатическая математическая модель для расчета колебаний стержневых конструкций при случайном воздействии ветровой нагрузки, учитывающая аэродинамическое демпфирование. Методика расчета высоких мачт под действием случайной ветровой нагрузки на основе МКЭ приведена в [94].

Изгибные колебания высоких сооружений с учетом сил Кармана рассмотрены в работах [95, 104], содержащих сопоставление экспериментальных и теоретических данных.

Анализ научной литературы, посвященной методам расчета высотных конструкций, показывает, что ввиду значительной сложности рассматриваемых явлений проблема нестационарных колебаний мачты с антенной в потоке воздуха еще не решена полностью, что позволяет сформулировать новые задачи, относящиеся к статике и динамике мачтовых конструкций, а также получить решения в более точной постановке и для ранее рассматривавшихся задач.

1.2. Объект, основные задачи и дели исследования

Исследования, выполненные в диссертации, относятся как к стационарным, так и мобильным мачтовым конструкциям радиорелейных линий и систем навигации. Объектом исследования является мачта, предназначенная для высотного расположения антенны и других технических средств, используемых в системах радиолокации и радиорелейной связи. При расчете таких конструкций должны учитываться следующие особенности:

- повышенная жесткость мачт в связи с узким диапазоном допускаемого отклонения луча антенны (фокальной оси направленного антенного устройства от теоретического положения);

- значительная масса антенны или другого оборудования, которая может достигать 30 и более процентов от полной массы мачты;

- обеспечение устойчивости, параметров прочности и надежности при экстремальном характере аэродинамического воздействия.

На рис. 1.1 приведена, в качестве примера, схема пятисекционной мачтовой опоры антенны, предназначенной для линий радиорелейной связи. Мачта — вертикально установленный стержень, опирающийся с защемлением на фундамент, и подкрепленный оттяжками. Для уменьшения влияния метеорологических факторов антенное устройство помещено в радиопрозрачную сферическую оболочку.

К объектам исследования могут быть отнесены подобные антенно-мачтовые конструкции, отличающиеся количеством секций, ярусов и оттяжек, а также размещением центра масс антенны (осевое или с эксцентриситетом).

Аэродинамические силы, действующие на мачту и антенну, вызывают колебания системы, которые могут привести к нарушениям

нормальной эксплуатации из-за отклонения луча антенны и вызвать опасные напряжения в элементах конструкции.

На основании вышеизложенного, а также анализа литературных источников, в диссертации, тема которой соответствует плану госбюджетных научно-исследовательских работ МГТУ им. Н.Э. Баумана, поставлены следующие цели:

- разработать математическую модель и соответствующие численные методы расчета мачты с антенной и локальными связями (оттяжками) , находящейся в потоке воздуха;

- разработать численный метод решения нелинейных уравнений равновесия при статических нагрузках с определением напряженно-деформированного состояния мачты;

- разработать методы расчета напряженно-деформированного состояния мачты с антенной при нестационарных колебаниях, вызванных детерминированными и случайными аэродинамическими силами;

- разработать алгоритм численного определения максимально возможного отклонения луча антенны при нестационарном, стационарном и импульсном случайном нагружении системы мачта - антенна.

Методом исследования в диссертации является компьютерное моделирование, при котором в зависимости от поставленных задач используются следующие адекватные подходы:

- для нелинейного статического расчета реализован вариант метода дискретного продолжения по параметру с уточнением касательной матрицы по Бройдену;

- дискретизация системы по пространству при решении динамических уравнений в частных производных осуществлена методом, использующим обобщенный принцип возможных перемещений;

- вероятностные расчеты выполнены на основе корреляционной те-

ории случайных процессов.

Для достижения поставленных целей планом исследований предусматривалась разработка компьютерных программ:

- программы расчета мачты с оттяжками на статическую устойчивость и определения допустимой массы антенны в зависимости от сил начального натяжения оттяжек;

- программ решения нелинейных уравнений равновесия мачты с антенной методом дискретного продолжения по параметру, а также линейных уравнений методом начальных параметров;

- программы определения собственных значений и собственных векторов свободных колебаний мачты с антенной;

- программы для редукции уравнений малых вынужденных колебаний мачты с антенной в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений методом, использующим обобщенный принцип возможных перемещений;

- пакет программ расчета нестационарных случайных колебаний мачты с антенной при внезапном и импульсном аэродинамическом нагружении, а также стационарных колебаний при стационарной ветровой нагрузке.

Рис. 1.1. Схема перевозной мачтовой опоры с антенной

2. Статическая устойчивость мачты с оттяжками

Вес антенного оборудования с центром масс, расположенным не на осевой линии мачты, распределенный вес мачты, сосредоточенные силы, зависящие от осевых сил в оттяжках, нагружают мачту в осевом направлении, что приводит к его изгибу даже при отсутствии ветровой нагрузки. Если пренебречь смещением центра масс антенны относительно осевой линии мачты, то задачу статической устойчивости можно рассматривать как задачу Эйлера. С учетом смещения центра масс антенны относительно осевой линии мачты критическими нагрузками следует считать такие нагрузки, при которых прогибы при продольно-поперечном изгибе мачты начинают резко увеличиваться [58].

2.1. Линеаризованные уравнения равновесия мачты после потери устойчивости

Линеаризованные уравнения равновесия мачты после потери устойчивости стержня можно получить из общих нелинейных уравнений равновесия пространственно-криволинейных стержней [74], которые для прямолинейного стержня в декартовых осях имеют вид:

ds

x+qx = 0; (2.1)

^ + (LT«i) х 4 + ßx = 0; (2.2)

Jfl

---L^1A~1L Mx = 0; (2.3)

ds

5-(ЬТ-Е)Г1 = 0, (2.4)

—* —*

где Qx - вектор внутренних сил; Мх - вектор внутренних момен-

—*

тов; йх - вектор перемещений осевой линии стержня; $ — вектор,

компонентами которого являются углы поворота главных осей сечения; дх - вектор внешних сил; ¡лх - вектор внешних моментов; А -диагональная матрица, элементами которой соответсвенно являются: Ац - жесткость на кручение, А22 и А33 - изгибные жесткости;

L =

Л ,9 cos cos sin ti3 + sin tix eos ti2 sin ti3 -

COS ti2 COS í/3 + Smti1Smti2 — COS ti\ sin ti2

sin $3

COS til COS $3

sin til COS tis

. q o cos tii sin tin sin tis — sin tii sin ti2 sin í?3 + sin cos $3 -sin^iCOS^ + 008^008^2

COS ti

3

COS ti2 0 sin ti2

COS ti2 sin #3 COS #3 sin ti2 sin $3 — sin ti2 COS ti3 0 COS ti2 COS tis Для получения линеаризованных уравнений равновесия стержня из уравнений (2.1)-(2.4) положим

(2.5)

(2.6)

QX = QZ + AQX, МХ = М: + АМХ, qx = qx* + Aq

X5

— + Аг4,

(2.7)

где вектора со звездочкой характеризуют критическое состояние

—> —»

стрежня, вектора с буквой АС?Х » АМх , Адж , Арх , А$ , Апж соответствуют малым приращениям, появляющимся после потери устойчивости. В рассматриваемом случае (рис. 2.1)

м; = о, р: = о, г = о, я; = о, дд, = 0, <э: = о, о)т

(2.8)

После преобразований с учетом (2.7) и (2.8) и линеаризации система (2.1)-(2.4) будет имеет вид:

dAQ1

ds

+ Aqx = 0;

d AMх ds

+ AiAQx - QhA2Ati = 0;

(2.9)

(2.10)

¡%<+с1Мх

Рис. 2.1. Мачта до и после потери устойчивости

¿в

¿Аи2 ¿в

- А71МХ = 0; + АгА'д = 0,

(2.11) (2.12)

0 0 0 0 0 0

где Ах = 0 0 -1 , А2 = 0 1 0

0 1 0 0 0 1

В (2.9) входит изменение внешней нагрузки Ас[х , действующей на стержень. При записи уравнений в декартовых осях Ас[х зависит только от изменения усилий в оттяжках, поскольку силы тяжести являются мертвыми. Пренебрегая провисом оттяжки, считаем, что сила, с которой она действует на ствол мачты следит за точкой закрепления оттяжки на земле. После потери устойчивости координаты точки крепления оттяжки к стволу изменяются (рис. 2.2), поэтому изменяется и направление единичного вектора, следящего за точкой С:

7

ВС

т

в'с

\Шс\

причем

В'С = ВС - Аих(зк),

(2.13)

(2.14)

где ^ - координата закрепления оттяжки на стволе мачты.

Обозначим длину пролета оттяжки до деформации \ВС\ = 1о ,

->

после деформации \В'С\ — 1\ . Модуль силы реакции оттяжки в линейном варианте определяется следующим образом:

N = ЛГ0 + Л(/х - /о),

(2.15)

где N0 - сила начального натяжения оттяжки, 1\ — ¿о ~ изменение длины пролета оттяжки, Л - эффективная жесткость оттяжки, об

определении которой будет сказано ниже. Следовательно, приращение силы реакции оттяжки равно

АРХ = iVf - N0r (2.16)

Из (2.16) с точностью до линейных слагаемых с учетом (2.13)—(2.15) для к -ой оттяжки можно получить

Ap(k) = iNok _ х\ (Айх(зкШ ^ _ ^Aux(sk). (2.17)

\ hk / hk

Тогда для определения Aqx из (2.9) необходимо просуммировать (2.17) по числу оттяжек пот с использованием 6 -функции Дирака:

Aqx = £ - sk). (2.18)

к=1

Значение величины Q*xl , входящей в (2.10), равно

I

1 - H(s - sk)]Nokjkl - д к=1 •

где тпа - масса антенны, m-o(s) - погонная масса ствола мачты, д -модуль ускорения свободного падения, Н - функция Хевисайда, s -координата, отсчитываемая вдоль оси Oxi (s Е [0, /]) .

При записи уравнений (2.9)-(2.12) в скалярной форме можно выделить уравнения относительно AQX\ , АМХ\ , Auxi и , так как остальные компоненты векторов AQX , АМХ , А$ и Айх от этих приращений не зависят. Окончательно получаем систему дифференциальных уравнений равновесия мачты после потери устойчивости в проекциях на декартовы оси:

dAQx2

^от л

Ql 1 = -тАд + Е [1 - H(e - 8k)]Nok 7*1 -9] rno(s') ds', (2.19)

ds dAQx3

ds

c22Aux2 - c23Aux3 = 0; (2.20)

cZ2Aux2 - c33Aux3 = 0; (2.21)

^^ - Ддж3 - С&Д^ = 0; (2.22)

ав

^^ + Д<Эж2 - <Э*х1 А^з - 0; (2.23)

Л1

-АМх2 = 0; (2.24)

а Мх3 = 0; (2.25)

- Ат?з = 0; (2.26)

+ Аг?2 = 0, (2.27)

(Я А$2 1

(Иэ А22

1

(¿Я ^4.33

в, Аих2 (

(1Аих3

где:

П0

С22 - ЕР* - Яок/1окИ2 + Н0к/10к]6(8 - 8к), (2.28)

к=1

^от

Сзз = Е [(А* - №ок/1ок)%з + Щк/10к]6(з - зк), (2.29)

к=1

77с> т

С23 = С32 = Е - ^ок/1ок)^к2Ъзё(з - 5*), (2.30)

Ъ = (тш 7/5-2, 7*з)Т . Решение уравнений (2.20)-(2.30) должно удовлетворять следующим краевым условиям:

1) при в = 0 Аих2 = Аих3 = 0 , А#2 = Дг?3 = 0 ;

2) при « = I А<5ж2 = А(2хз — 0 ,

АМх2 - гС1тАдА#2 = 0 , АМхЪ - гС1тАдА'&ъ = 0 ,

где го 1 - компонента вектора г с (рис. 2.1).

В большинстве мачтовых конструкций оттяжки располагаются ярусами (рис. 2.1), причем под ярусом понимается набор одинаковых тросов, закрепляемых (точка В) на мачте на одном уровне (точка В). На земле их точки крепления (Ск) находятся на равных расстояниях от основания мачты, т.е. лежат на одной окружности. Как правило, мачта имеет хотя бы одну перпендикулярную земле

плоскость симметрии, содержащую главную центральную ось инерции сечения стержня. Из (2.30) для V -ого яруса с пи оттяжками

/ \ / \

4з = С32 = {К - Нои/киЩ* - 5„) £ Тг-27г'3,

г=1

nv

но так как ^ 7г27гЗ = 0 , то 4з = = 0 и система дифференциаль-

г=1

ных уравнений (2.20)-(2.27) распадается на две подсистемы четвертого порядка, описывающие деформированное состояние стержня в двух взаимно ортогональных плоскостях х\Ох2 и х\Охз . Например при изгибе в плоскости х\0х2 имеем следующие уравнения:

dAQx2 dAMx*

- с22Аих2 = 0; + AQx2 - Q*xlA#3 = 0;

d Ati3 1 . dAux2

—— - ——АМж3 = 0; —^ - Atf3 = 0,

as Л33 ds с граничными условиями:

1) при в = 0 Диж2 = 0, Аг?з = 0;

2) при s = I AQx2 = 0, АМХз - rG1mAöfAi?3 = 0.

(2.31)

(2.32)

В выражениях (2.28)-(2.30) для сг] входят эффективные жесткости оттяжек A¿ . Для определения используем кубическое уравнение пологой нити [69], которое, применительно к данной задаче, выглядит следующим образом:

Ni + г - - N1 - ^^ = 0, (2.33)

\ iQk ¿ iVoA, lok / hk ¿

где Ek - модуль упругости троса при растяжении, F], - площадь поперечного сечения троса, фк ~ угол между хордой оттяжки и осью мачты, Alk — hk—lok - удлинение пролета оттяжки, NQk -начальное натяжение троса, Dok = [т^д sin фк)21^/12, rrik - погонная масса троса. Уравнение (2.33) можно представить в виде функции Ah

f(Ah) = Nj¡ + (а - bAlk)N¡ - с = 0, (2.34)

где а =

EkFk A)fc 1

Nok, b

EkFk

с

EkFk D0k

. Продиффе-

hk 2 Щк ' lok lok 2

ренцировав (2.34) по AI к , считая, что Nk зависит от AI к , получим

dNk = bNk

dAh ~ 3Nk + 2а - 2ЬА1к'

Поскольку величину распора можно записать в виде

dNk

Nk ~ Nok +

dAlk

Nk=Nok А1к=0

•A4,

то из сравнения этой формулы с (2.15) следует, что жесткость \к равна

А1 = = ^ | ^ „ . (2.35)

З-Л^о к + 2 а + ЕкРкОко/1ок 1ок

Выражение (2.35) показывает, что эффективная жесткость оттяжки

представляет собой жесткость троса на растяжение ЕкРк/1ък ? умноженную на коэффициент, меньший единицы, учитывающий провис оттяжки.

2.2. Численное определение критических нагрузок

Систему уравнений (2.31) представим в виде векторного уравнения

Яг

О,

dz . . — + Az ds

(2.36)

где

2 =

/ \

z\ V ^ )

( aqx2 х

А Мх3 А#3

V

А и

А =

х2

0 0 0 -С22

1 0 -Ql 1 0

0 -1/Азз 0 0

0 0 -1 0

Решение уравнения (2.36) должно удовлетворять следующим краевым условиям:

1) при в = 0 = О, Z4 = 0;

2) при в = I ^ = 0, — агз — 0 (а = го^дд)

(2.37)

Решение однородной линейной системы дифференциальных уравнений (2.36), которое можно получить, например, методом начальных параметров, имеет вид

г = К(з,Я*х1)с (К(0, 0*х1) = Е),

где К (в, (дхг) ~ фундаментальная матрица решений [55]; с = (сх, С2, Сз, С4)т - вектор постоянных. Из краевых условий при в = 0 (2.37) следует с3 = 0 , с^ = 0 . Из краевых условий при я = I получаем систему двух алгебраических уравнений:

кпс1 + к12с2 = 0; (2 38)

(к21 - ак31) С\ + (к22 - ак32) с2 = 0,

где кц - элементы матрицы К(/, С2*х1) , а = гсгтлд • Ненулевое решение системы (2.38) возможно только при равенстве нулю ее определителя. Тогда, для определения, например, критического веса антенны Р* = (тАд)* имеем следующее нелинейное алгебраическое уравнение:

detB(P*) -

= 0. (2.39)

кп к\2 k2i - ак31 к22 - ак32

Изложенный алгоритм позволяет определять не только критические силы веса антенны, но и критические значения усилий в оттяжках при любом числе ярусов, а также критическую высоту мачты (имеется в виду потеря устойчивости мачты от собственного веса).

Численное определение фундаментальной матрицы решений К проводилось методом Рунге — Кутта — Фельберга 4-5-го порядка с автоматическим выбором шага по предварительно заданной локальной относительной ошибке результата, минимальное значение которой в программной реализации RKF45 может быть равно 10~12 .

Текст программы RKF45 на языке FORTRAN имеется в [89], на языке PASCAL — в [85]. В диссертации использован вариант программы из [85] с рядом дополнений, учитывающих специфические особенности рассматриваемой задачи.

При получении решения уравнения (2.36), содержащего 8-функции Дирака, используется непрерывное интегрирование (без стыковки участков, как это обычно делается в методе начальных параметров). При переходе через точки приложения сосредоточенных сил и моментов соответствующие компоненты вектора состояния z получают конечные приращения. Аналогичный метод решения позволяет проводить непрерывное интегрирование уравнений для стержней, имеющих участки со ступенчатым изменением жест-костей. Этот алгоритм решения уравнений с разрывными жесткостя-ми и локальными силами реализован в данной диссертации.

В рассматриваемой задаче определяется критический вес антенны. Остальные параметры системы мачта-антенна считаются неизменными.

2.3. Анализ результатов расчета мачты на статическую устойчивость

Для определения сил, действующих на мачту со стороны оттяжек, было получено выражение (2.35) для эффективной жесткости оттяжки Л . Близкие результаты по оценке жесткости троса, полученные несколько иным путем, можно найти в [44] (в разделе о работе гибкой нити подобно растянутому стержню). Линеаризация выражения, характеризующего суммарную жесткость в горизонтальном направлении яруса оттяжек, при расчете на устойчивость мачты ис-

пользуется, например, в работах [39, 47]. Естественно, что результаты, получаемые посредством линеаризации, могут быть справедливы при достаточно большой величине начального натяжения оттяжек, когда при изгибе ствола их жесткость меняется незначительно. Иначе, решение возможно только в нелинейной постановке. Несмотря на имеющиеся ограничения, расчет на устойчивость в рамках линейной теории с учетом зависимости жесткости оттяжки от начального натяжения может объяснить, каким образом начальное натяжение оттяжек влияет на устойчивость ствола мачты, что особенно актуально для конструкций радиорелейной связи. В качестве пояснения к сказанному рассмотрим жесткость оттяжечного узла для трехтро-совой растяжки. После подстановки компонент направляющих векторов 7 (2.13) для трехтросовой растяжки в (2.28) можно получить

с22 = 1,5 [Л sin2 ф + iVo(2 - sin2 ф)/10],

где ф - угол между осью мачты и хордой оттяжки, Л определяется формулой (2.35). На рис. 2.3 показана зависимость жесткости с22 от начального натяжения тросов при следующих данных: т^д = б Н/м , ф = 45°, Ек = 1,6 • 105 МПа, Fk = 7,85 • 1(Г5м2 (sB - координата закрепления оттяжек на стволе). Как видно из графиков, с увеличением Nq жесткость с22 растет, причем при некотором уровне начального натяжения этот рост замедляется и С22 асимптотически стремится к величине с0 , равной

Со = 1,5 [Ао sin2 ф + N0(2 - sin2 ф)/10],

где Ао = EkFk/lo есть жесткость троса на растяжение. Влияние угла установки оттяжек ф на жесткость с22 показано на рис. 2.4.

Результаты расчета на устойчивость мачты с антенной (рис. 2.1) представлены на рис. 2.5 и 2.6, где показаны графики зависимости

г КН

Lno —

¿¿-> м Н

1,0-f(f-

05-10*-

0

р ---<Г—

Sb~20M

S&-26SH

гггТ\ III! \SB~33M i i —i i—i \ 1 IT 1.....\—1—1—1

1 2 5 * А*0,КН

Рис. 2.3. Жесткость оттяжек в направлении Ох2

г КН. L-22:

5

Заключение диссертации по теме «Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры», Скуев, Михаил Валерьевич

Основные выводы

1. Разработана методика расчета мачты с антенной, находящейся в потоке воздуха, имеющего как детерминированные, так и случайные характеристики.

2. Изложен алгоритм расчета на статическую устойчивость мачтовой опоры с целью определения предельного веса устанавливаемого антенного оборудования.

3. Разработан алгоритм, обеспечивающий высокую точность численного решения линейных и нелинейных уравнений равновесия мачты с антенной, нагруженной аэродинамическими силами, для наболев общего случая, когда осевая линия мачты из-за несимметричного нагружения становится пространственной кривой.

4. Разработан метод определения собственных значений и собственных векторов для общего случая пространственных колебаний мачты, позволяющий учитывать инерционные свойства антенного оборудования. Собственные вектора используются для получения приближенного решения при нестационарных вынужденных колебаниях мачты с антенной.

Б. Исследованы стационарные колебания мачты с антенной при стационарных аэродинамических нагрузках с определением вероятностных характеристик вектора состояния системы. б. Разработан метод расчета нестационарных случайных колебаний мачты с антенной, позволяющий определить вероятностные характеристики напряженно-деформированного состояния мачты и угла отклонения фокальной оси направленного антенного устройства при действии:

- внезапно приложенной случайной аэродинамической нагрузки;

- случайной по модулю и направлению импульсной нагрузки.

7. На основе теоретических результатов, численных методов и алгоритмов выполнены расчеты трех конструкций мачт, подверженных аэродинамическому воздействию.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Скуев, Михаил Валерьевич, 1998 год

Список использованной литературы

1. Абезгауз Г. Г., Тронь А. П., Копенкин Ю. Н., Коровина И. А. Справочник по вероятностным расчетам. — М.: Воениздат, 1970. — 536 с.

2. Ал футов Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. — М.: Машиностроение, 1991. — 334 с.

3. Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. Вычислительные методы для инженеров. — М.: Высш. школа, 1994. — 544 с.

4. Аугусти Г., Баратта А., Кашиати Ф. Вероятностные методы в строительном проектировании. — М.: Стройиздат, 1988. — 584 с.

5. Бадгарадзе А. Г., Лукьянова В. И., Светлицкий В. А. Нелинейные колебания абсолютно гибких стержней и шлангов при импульсном нагружении потоком жидкости или воздуха / / Вестник МГТУ. Сер. Машиностроение. — 1991. — № 1. — С. 10-21.

6. Барштейн М. Ф. Ветровая нагрузка на здания и сооружения // Строительная механика и расчет сооружений. — 1974. — № 4. — С. 43-48.

7. Барштейн М. Ф. Некоторые вопросы динамического расчета высоких сооружений на действие ветра / Труды конференции по аэродинамике и аэроупругости высоких строительных сооружений. — М.: ЦАГИ, 1974. — С. 39-55.

8. Барштейн М. Ф., Бернштейн А. С. Динамика мачт на вантах при действии ветра / Динамика сооружений: Труды ЦНИИСК им. В. А. Кучеренко. — Вып. 56. — 1971. — С. 63-77.

9. Бернштейн А. С. Колебания вант, подкрепляющих мачты, под действием случайных сил / Исследования по динамике сооружений: Труды ЦНИИСК им. В. А. Кучеренко. — Вып. 17. — 1971. — С. 63-77.

10. Бернштейн А. С. Колебания мачты на вантах под действием ветра / Динамика сооружений: Сб. статей под ред. проф. Б. Г. Коренева. — М.: Стройиздат, 1970. — С. 151-170.

11. Бернштейн А. С. О динамическом расчете мачт на действие ветра // Строительная механика и расчет сооружений. — 1973. — № 2. — С. 11-17.

12. Бернштейн А. С., Обыдов В. П., Ройтштейн М. М. Расчет телевизионных башен на динамическое действие ветра / Исследования по динамике сооружений: Труды ЦНИИСК им. В. А. Кучеренко. — 1987. — С. 31-40.

13. Бернштейн А. С., Остроумов Б. В., Ротштейн М. М. Мачты и антенно-мачтовые сооружения / Динамический расчет специальных инженерных сооружений и конструкций: Справочник проектировщика. — М.: Стройиздат, 1986. — С. 359-376.

15. Бидерман В. Л. Теория механических колебаний. — М.: Высш. школа, 1980. — 408 с.

16. Биргер И. А. Стержни, пластины, оболочки. -— М.: Физматлит, 1992. — 392 с.

17. Болотин В. В. Методы теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. — М.: Машиностроение, 1984. — 240 с.

18. Болотин В. В. О колебаниях элементов конструкций в вихревом потоке // Строительная механика и расчет сооружений. — 1984. — № 3 — С. 28-31.

19. Болотин В. В. О понятии устойчивости в строительной механике / Проблемы устойчивости в строительной механике: Труды Всесоюзной конференции по проблемам устойчивости в строительной механике. — М.: Изд-во литературы по строительству, 1965. — С. 6-27.

20. Болотин В. В. Случайные колебания упругих систем. — М.: Наука, 1979. — 336 с.

21. Броверман Г. Б. Строительство мачтовых и башенных сооружений. — М.: Стройиздат, 1984. — 256 с.

22. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 544 с.

24. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1969. — 366 с.

25. Вильга М. А., Нудельман Я. Л. Устойчивость стержня с продольными связями / Проблемы устойчивости в строительной механике: Труды Всесоюзной конференции по проблемам устойчивости в строительной механике. — М.: Изд-во литературы по строительству, 1965. — С. 367-377.

26. Воеводин А. А. Шпренгельные радиомачты. — М.: Радио и связь, 1981. — 176 с.

27. Вычислительные методы оптимизации и дифференциальные уравнения / Под ред. А. П. Крищенко. — М.: Изд-во МВТУ, 1989. — 76 с.

28. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1988. — 552 с.

29. Герштофт П., Давенпорт А. Г. Упрощенный метод динамического расчета мачт на оттяжках / Междун. конгр. ИАСС'85. Засед. гр. ИАСС: Башни и мачты. — Т. 5. — М.: 1985. — С. 578-597.

30. Гладкий В. Ф. Прочность, вибрация и надежность конструкций летательного аппарата. — М.: Наука, 1975. — 456 с.

31. Графский И. Ю., Казакевич М. И. Аэродинамика плохообтека-емых тел. — Днепропетровск: ДГУ, 1983. — 116 с.

32. Григолюк Э. И., Шалашилин В. И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. — М.: Наука, 1988. — 232 с.

33. Григорьянц М. С., Лукьянов В. Н. Определение частот и форм колебаний абсолютно гибкого стержня, нагруженного аэродинамическими силами / Расчеты на прочность. — М.: Машиностроение, 1983. — Вып. 23. — С. 222-226.

34. Гусев А. С., Светлицкий В. А. Расчет конструкций при случайных воздействиях. — М.: Машиностроение, 1984. — 240 с.

35. Дарков А. В., Шапошников Н. Н. Строительная механика. — М.: Высш. школа, 1986. — 607 с.

36. Девнин С. И. Аэрогидромеханика плохообтекаемых конструкций: Справочник. — Л.: Судостроение, 1983. — 320 с.

37. Девнин С. И. Гидроупругость конструкций при отрывном обтекании. — Л.: Судостроение, 1975. — 192 с.

38. Деннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. — М.: Наука, 1991. — 384 с.

39. Дривинг А. Я. Устойчивость мачт на оттяжках. — М.: Стройиз-дат, 1964. — 112 с.

40. Заварина М. В. Строительная климатология. — Л.: Гидроме-теоиздат, 1976. — 312 с.

41. Зылев В. Б. Вариант метода начальных параметров для исследования больших перемещений стержневых систем / / Строительная механика и расчет сооружений. — 1982. — № 5. — С. 38-41.

ческих уравнений на каждом шаге / Труды МИИТ. — 1982. — Вып. 618. — С. 32-39.

43. Зылев В. В., Штейн А. В. Методы стрельбы для исследования больших перемещений изгибаемых стержней / Тезисы доклада на Всесоюзном семинаре по проблемам устойчивости конструкций при ЦНИИСК им. В. А. Кучеренко // Строительная механика и расчет сооружений. — 1986. — № 5. — С. 66.

44. Качурин В. К. Гибкие нити с малыми стрелками. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. — 224 с.

45. Кириллов Б. Б. Моделирование случайного направления ветровой нагрузки методом Монте-Карло при вероятностном расчете мачты на оттяжках // Деп. во ВНИИС 20.10.87, № 8329.

46. Киселев В. А. Строительная механика: Общий курс. — М.: Стройиздат, 1986. — 520 с.

47. Коробов В. М. Расчет ствола мачты на общую устойчивость с учетом нелинейности упругого отпора узлов оттяжек / Проблемы устойчивости в строительной механике: Труды Всесоюзной конференции по проблемам устойчивости в строительной механике. — М.: Изд-во литературы по строительству, 1965. — С. 404-414.

49. Крылов С. Б. Устойчивость и состояния равновесия нелинейно деформируемых многоступенчатых мачт при действии собственного веса и ветрового давления / Методы расчета строительных конструкций на прочность и устойчивость: Труды ЦНИИСК им.

B. А. Кучеренко. — 1989. — С. 30-38.

50. Лукьянова В. И., Светлицкий В. А. Нелинейные задачи абсолютно гибких стержней / Расчеты на прочность. — М.: Машиностроение, 1985. — Вып. 26. — С. 196-204.

51. Лукьянова В. И., Светлицкий В. А. Статика абсолютно гибких стержней с плохообтекаемым профилем в потоке / Расчеты на прочность. — М.: Машиностроение, 1989. — Вып. 25. — С. 252259.

52. Мак-Кракен Д., Дорн. У. Численные методы и программирование на ФОРТРАНЕ. — М.: Мир, 1977. — 584 с.

53. Медведева Н. М., Микитаренко М. А., Перельмутер А. В. Статический и динамический расчет мачт на ЭВМ / / Сопротивление материалов и расчет сооружений (Киев). — 1986. — № 48. —

C. 79-82.

54. Мельников Н. П. Металлические конструкции: Современное состояние и перспективы развития. — М.: Стройиздат, 1983. — 543 с.

56. Николаенко Н. А., Ульянов С. В. Статистическая динамика машиностроительных конструкций. — М.: Машиностроение, 1977. — 368 с.

57. Остроумов Б. В. Динамическое воздействие ветра на мачтовые опоры / Развитие конструктивных форм и методов расчета металлических конструкций инженерных сооружений типа антенных устройств и опор: Труды Центр, науч.-иссл. и проект, института строительных металлоконструкций. — 1981. — С. 104-115.

58. Пановко Я. Г., Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих систем. — М.: Наука, 1987. — 352 с.

59. Перельмутер А. В. О расчете комбинированных вантово-стержневых систем типа мачт на оттяжках / Проблемы устойчивости в строительной механике: Труды Всесоюзной конференции по проблемам устойчивости в строительной механике. — М.: Изд-во литературы по строительству, 1965. — С. 378-382.

60. Петров А. А. Учет влияния масштабов турбулентности при определении реакции сооружения на пульсационное воздействие ветра / / Строительная механика и расчет сооружений. — 1991. — № 3. — С. 71-77.

61. Пикулев Н. А., Манапов А. 3., Шмелев Г. Н., Захаров А. В., Шакирзянов Р. А. Экспериментальные исследования металлических конструкций радиотрансляционной мачты высотой 182,5 м // Известия вузов. Строительство и архитектура. — 1990. — № 8. — С. 8-11.

63. Попов Н. А. Определение составляющих ветровой нагрузки и скорости ветра на основе теории подобия и размерности / Динамика строительных конструкций. — М.: ЦНИИСК им. В.А. Кучеренко, 1985 — С. 56-64.

64. Пугачев В. С. Введение в теорию вероятностей. — М.: Наука, 1968. — 368 с.

65. Райзер В. Д., Кириллов Б. Б. Метод статистических испытаний в расчете антенно-мачтовых сооружений на устойчивость // Строительная механика и расчет сооружений. — 1989. — № 6. -— С. 32-35.

66. Рекомендации по расчету мачт с оттяжками на сейсмические и ветровые воздействия / ЦНИИ проектстальконструкция. — М.: 1973. — 40 с.

67. Рекомендации по расчету протяженных высотных металлических конструкций на сейсмические и динамические ветровые воздействия / ЦНИИ проектстальконструкция. — М.: 1988. — 60 с.

68. Реттер Э. И. Архитектурно-строительная аэродинамика. — М.: Стройиздат, 1984. — 294 с.

69. Ржаницын А. Р. Статика и динамика пологой упругой нити / Висячие покрытия: Сборник трудов Совещания по исследованию и внедрению висячих покрытий. — М.: Госстройиздат, 1962. — С. 60-75.

70. Руководство по расчету зданий и сооружений на действие ветра / Центр, науч.-исслед. институт строительных конструкций им. В.А. Кучеренко. — М.: Стройиздат, 1978. — 224 с.

71. Савицкий Г. А. Ветровая нагрузка на сооружения. — М.: Стройиздат, 1972. — 111 с.

72. Савицкий Г. А. Расчет антенных сооружений. — М.: Связь, 1978. — 152 с.

73. Светлицкий В. А. Механика гибких стержней и нитей. — М.: Машиностроение, 1978. — 222 с.

74. Светлицкий В. А. Механика стержней: Ч. 1. Статика. — М.: Высш. школа, 1987. — 320 с.

75. Светлицкий В. А. Механика стержней: Ч. II. Динамика. — М.: Высш. школа, 1987. — 304 с.

76. Светлицкий В. А. Механика трубопроводов и шлангов: Задачи взаимодействия стержней с потоком жидкости или воздуха. — М.: Машиностроение, 1982. — 280 с.

77. Светлицкий В. А. Случайные колебания механических систем. — М.: Машиностроение, 1991. — 318 с.

78. Светлицкий В. А., Нарайкин О. С. Упругие элементы машин. — М.: Машиностроение, 1989. — 264 с.

79. Светлицкий В. А., Яресько С. В. Численное решение нелинейных уравнений равновесия абсолютно гибких шлангов в потоке воздуха или жидкости // Известия РАН. Механика твердого тела. — 1994. — № 2. — С. 159-170.

80. Симиу Э., Сканлан Р. Воздействие ветра на здания и сооружения. — М.: Стройиздат, 1984. — 360 с.

81. СНиП 2.01.07-85. Нагрузка и воздействия / Госстрой СССР. — М.: ЦИТП Госстроя СССР, 1988. — 36 с.

82. Соколов А. Г. Влияние окружающей среды на конструктивные формы сооружений / Развитие конструктивных форм и методов расчета металлических конструкций инженерных сооружений типа антенных устройств и опор: Труды ЦНИИ проектсталь-конструкция. — 1981. — С. 13-24.

83. Соколов А. Г. Металлические конструкции антенных устройств. — М.: Стройиздат, 1971. — 240 с.

84. Турчак Л. И. Основы численных методов. — М.: Наука, 1987. — 320 с.

85. Фаронов В. В. Программирование на персональных ЭВМ в среде Турбо-Паскаль. — М.: Изд-во МГТУ, 1990. — 580 с.

86. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. — М.: Наука, 1986. — 512 с.

87. Фомин Г. М., Блюмина Л. X., Соколов А. Г., Беспрозван-ная И. М. Проблемы исследования аэродинамических и аэроупругих характеристик высоких строительных сооружений / Труды конференции по аэродинамике и аэроупругости высоких строительных сооружений. — М.: ЦАГИ, 1974. — С. 3-27.

89. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. — М.: Мир, 1980. — 280 с.

90. Цейтлин А. И., Бернштейн А. С., Гусева Н. И., Попов Н. А. Новая редакция раздела „Ветровые нагрузки" главы СНиП „Нагрузки и воздействия" // Строительная механика и расчет сооружений. — 1987. — № 6. — С. 28-33.

91. Чарушин В. А. Свободные колебания сооружений на растяжках / Сейсмостойкость промышленных зданий и сооружений: Труды ЦНИИСК. — Вып. 18. — М.: Гос. изд-во литер, по стр-ву, архит. и стр. материалам, 1962. — С. 91-123.

92. Экспериментально-теоретические исследования антенных сооружений и глубоководных оснований / Сб. науч. трудов. — М.: ЦНИИ проектстальконструкция, 1988. — 174 с.

93. Яресько С. В. Аэродинамические силы, действующие на стержневые элементы конструкций // Известия вузов. Машиностроение. — 1988. — № 1. — С. 33-37.

94. Augusti G., Borri С., Gusella V. Simulation of wind loading and response of geometrically non-linear structures with particular reference to large antennas // Struct. Safety. — 1990. — V. 8. — No 1-4. — P.p. 161-179.

96. Buchholdt H. A., Moossavinejad S., Iannuzzi A. Non-linear dynamic analysis of guyed masts subjected to wind and guy ruptures // Proc. Inst. Civ. Eng. — 1986. — V. 81. — Sept. — P.p. 353-395.

97. Chaiges A., Wen-Sen Chen. Stability of guyed towers // American Societi of Civil Engineers. Proceeding. Journal of Strutural Division. — 1979. — V. 105. — No 1. —P.p. 163-174.

98. Davenport A. G. The generalization and simplification of wind loads and implications for computational methods // Nihon kaze kogakkaishi. = J. Wind Eng. — 1992. — No 52. — P.p. 78-83.

99. Ficsher O., Naprstek U. Dinamicke chovani kotvenych stozaru // Inzenyrske stavby. — 1977. — V. 25. — N 2. — S. 78-80.

100. Franke M. Verteilung der Zugkräfte an beliebig horizontal belasteten, unsymmetrischen Seilbünden für die Abspannung lotrechter Mäste // RFZ. Technische Mitteilung. — 1986. — V. 30. — N 1. — S. 18-21.

101. Gerstof P. Simplified methods for dynamic analysis of a guyed mast // Ser. R. Afd barrende konstr. Dan. Tekn. H0jsk. — 1985. — No 196. — XVIII — 153 p.p. pp.

102. Godbole P. N., Krishna Prem, Khandekar C. V. Static analyses of quyed masttower // Finite Elem. Comput. Mech.: FEICOM-85: Proc. Int. Conf., Bombay, 2-6 Dec., 1985. Vol. 1. Oxford e.a. — 1985. — P.p. 165-176.

104. Hampe E., Abadel A. Querschwingungsverhalten winderregter, schlanker Bauwerke // Bauingenieur. — 1992. — V. 67. — N7-8. — S. 327-337.

105. Kessel M.H. Zur seitlichen Stabilisierung des unterspannten Tragers // Bauingenieur. — 1988. — V. 63. — N 6 — S. 281-287.

106. Küchler B. Die Verformung des räumlichen Einzelseils mit festen Auflagern unter statisher Gleichlast mit spezieller Anwendung bei abgespannen Masten // RFZ. Technische Mitteilung. — 1980. — V. 24. — N 4. — S. 86-88.

107. Kumar G. V. Surya, Raman N. V. Nonlinear dynammic analysis of guyed towers // Comput. Mech. 86: Theory and Appl. Proc. Int. Conf., Tokyo, May 25-29, 1986, Vol. 2. — Tokyo e.a. — 1986. — P.p. VI/lll-VI/118.

108. Manssour M., Hoifer R. Berechnung von schwingungsanfälligen Stabwerken bei stochastischer Winderregung // Wiss. Ber. Techn. Hochsch., Leipzig. — 1991. — N 2. — S. 58.

109. Marenholz O. Fluidelastische Schwingungen // ZAMM. — 1986. — V. 66. — 1986. — N 1. — S. 1-22.

110. Petersen C. Abgespannte Mäste und Schornsteine. Statik und Dynamik. — Berlin: Ernst, 1970. — 111 S.

112. Scheer J., Peil U. Zum Ansatz von Vorspannung und Windlast bei angespannten Masten // Bauingenier. — 1985. — N 10. — S. 185190.

113. Tsukagshi H., Tamura Y., Sasaki A., Kanai H. Response analyses on along-wind and across-wind vibrations of tall buildigs in time domain // Nihon kaze kogakkaishi. = J. Wind Eng. — 1992. — No 52. — P.p. 78-83.