Моделирование предельного равновесия криволинейных трещин со взаимодействующими поверхностями в двумерных упругих телах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Андреев, Андрей Вячеславович

• Андреев, Андрей Вячеславович
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Андреев, Андрей Вячеславович

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ О РАВНОВЕСИИ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ТРЕЩИН С ОБЛАСТЯМИ НАЛЕГАНИЯ И РАСКРЫТИЯ, СКОЛЬЖЕНИЯ И СЦЕПЛЕНИЯ.

1.1. Постановка краевой задачи о равновесии криволинейного разреза с областями налегания и раскрытия, скольжения и сцепления без учета траектории нагружения.

1.2. Анализ влияния траектории нагружения на процесс скольжения контактирующих поверхностей. Модельная задача.

1.3. Постановка краевой задачи о равновесии криволинейной трещины с областями налегания и раскрытия, скольжения и сцепления с учетом траектории нагружения.

1.4. Асимптотическое поведение решения вблизи особых точек ломаных и краевых трещин с контактирующими поверхностями.

1.5. Выводы к главе

ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ.

2.1. Система интегральных уравнений задачи о равновесии криволинейного разреза в упругой плоскости с областями налегания и раскрытия, скольжения и сцепления без учета траектории нагружения.

2.2. Система интегральных уравнений задачи о полуплоскости, ослабленной произвольной внутренней или краевой трещиной с областями налегания.

2.3. Система интегральных уравнений задачи об эволюции равновесного состояния криволинейной трещины в процессе нагружения.

2.4. Системы уравнений задач об асимптотическом поведении решения вблизи особых точек ломаных и краевых трещин с контактирующими поверхностями.

2.5. Выводы к главе 2.

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ.

3.1. Адаптация метода механических квадратур к решению задач о внутренних и краевых криволинейных трещинах в плоскости и полуплоскости.

3.2. Численное решение систем сингулярных интегральных уравнений.

3.3. Критерии и алгоритмы определения границ областей налегания и раскрытия, скольжения и сцепления поверхностей трещины.

3.4. Инкрементальный алгоритм анализа эволюции равновесного состояния криволинейной трещины в процессе нагружения.

3.5. Численный анализ результатов в задачах об асимптотике упругого поля вблизи особых точек ломаных и краевых трещин с контактирующими поверхностями.

3.6. Выводы к главе 3.

ГЛАВА 4. РЕЗУЛЬТАТЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ.

4.1. Равновесие криволинейных разрезов сложных форм со взаимодействующими с трением поверхностями в условиях двухосного растяжения - сжатия.

4.2. Прямолинейная произвольно ориентированная внутренняя или краевая трещина в упругой полуплоскости в условиях сдвигового нагружения.

4.3. Эволюция равновесного состояния криволинейных трещин-разрезов и уплощенных полостей при нагружении по заданной траектории.

4.4. Асимптотическое поведение упругого поля вблизи особых точек в задачах о ломаных и краевых трещинах с контактирующими поверхностями.

4.5. Выводы к главе 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование предельного равновесия криволинейных трещин со взаимодействующими поверхностями в двумерных упругих телах»

В конструкциях и природных объектах дефекты часто оказываются в зонах, где наряду с растягивающими напряжениями действуют сжимающие и сдвиговые напряжения. Анализ процессов разрушения при наличии дефекта в этом случае требует разработки методов расчета его предельного равновесия, учитывающих возможное возникновение на нем локальных областей контакта. В частности, разрушение часто сопровождается реализацией напряженно-деформированных состояний эквивалентных в зоне трещины полю сжатия и сдвига, что приводит к ситуации, когда противоположные поверхности ее смыкаются, налегая друг на друга.

Следует отметить, что причиной контакта поверхностей трещины может являться не только действие внешних нагрузок, но и особенности формы трещины, а также взаимодействие трещин и других дефектов между собой [25, 86] и с границей упругого тела [67]. Так, например, одноосное растяжение упругой плоскости, ослабленной криволинейной или ломаной трещиной, в ряде случаев вызывает контакт ее поверхностей [3, 28, 67]. Образование области налегания, в частности, имеет место в задаче об упругой полуплоскости, ослабленной произвольно ориентированной прямолинейной краевой (или внутренней) трещиной в случае, когда на поверхностях ее приложены сдвиговые нагрузки [67]. Кроме того, образование областей налегания на поверхностях трещины на границе раздела двух сред может быть обусловлено различием их упругих характеристик [69, 84, 85].

Контакт поверхностей трещины приводит к перераспределению полей напряжений и смещений в ее окрестности, что оказывает значительное влияние на равновесное состояние [3, 18, 19, 38, 39, 40, 67, 114, 115]. Деформация трещиноватой среды при сжатии в результате взаимодействия поверхностей с трением оказывается существенно нелинейной [24, 42, 43], а сама нагруженная среда по отношению к внешнему воздействию эффективно становится анизотропной [22, 24, 42, 43, 70, 92]. Кроме того, влияние сил трения приводит к диссипации энергии в процессе нагружения и необратимости деформации трещиноватого тела [24, 42, 43]. Следует также отметить, что равновесие такой среды не является функцией параметров нагружения, а существенно зависит от процесса нагружения [24, 42, 43].

Формирование структур разрушения в сжатых горных породах и массивных телах рассматривается на основе моделирования взаимодействия, развития и срастания различных дефектов, в частности пор [27] и сдвиговых микротрещин [37, 60, 90, 96, 103]. В условиях квазистатического нагружения траектория и условия развития трещины часто описываются в рамках гипотезы о том, что направление начального распространения трещины совпадает с плоскостью, в которой растягивающие напряжения достигают максимального (критического) значения (принцип локальной симметрии для плоской задачи) [7, 63, 64, 67, 79, 94]. Как следствие, значительный интерес представляет исследование равновесного состояния криволинейной трещины произвольной формы, поскольку результаты решения такой задачи могут быть использованы для определения условий и траектории квазистатического роста трещины в упругом теле при изменении внешних нагрузок [36, 67, 87, 91]. Из экспериментальных исследований распространения трещин (например, при циклическом нагружении) известно, что траектория представляет собой гладкую кривую, однако точка излома может быть в самом начале роста исходной трещины. С этой точки зрения представляет интерес исследование равновесного состояния кусочно-гладких трещин [2, 67, 113, 114, 115]. Отметим, что рост трещины может происходить и при наличии на ее поверхностях областей сцепления.

Диссертация посвящена теоретическому исследованию деформации сред, ослабленных криволинейными и ломаными трещинами со взаимодействующими поверхностями при учете траектории нагружении. Проведен анализ влияния особенностей формы трещины, трения и истории нагружения на напряженно-деформированное состояние упругого тела.

Основным элементом теоретического описания деформации трещиноватой среды является построение решения, описывающего напряженное состояние твердого тела, ослабленного трещиной. Задачи определения напряженнодеформированного состояния в теле с трещиной (полостью) представляют собой в условиях сжатия комбинацию задач о трещинах и о контакте деформируемых тел, поскольку поверхности трещины (полости) налегают одна на другую. Следует отметить, что особенностью построения решения такой задачи является необходимость одновременного определения как полей напряжений и смещений, так и неизвестных границ областей налегания и раскрытия, а при учете трения на поверхности контакта, - границ областей сцепления и взаимных сдвиговых смещений.

В областях налегания в результате взаимодействия поверхностей по закону сухого трения Кулона возникают зоны скольжения и сцепления. При квазистатическом изменении внешних нагрузок в зависимости от некоторых параметров, скольжение на части трещины или на всей ее поверхности молсет прекратиться. В результате возможно образование зон сцепления двух типов - с нулевым и ненулевым скачком смещений [19, 38]. Границы зон налегания и раскрытия, скольжения и сцепления подлежат определению в процессе построения решения. Таким образом, постановка краевой задачи содержит ограничения на смещения поверхностей трещины (полости), что в свою очередь приводит к ограничениям на нормальные и касательные напряжения. Области выхода решения на ограничения заранее неизвестны, что обуславливает нелинейность задачи и ее отличие от традиционных задач с фиксированными линиями раздела краевых условий разного типа. Геометрия неизвестных границ (и областей) и распределение напряжений на поверхности трещины (полости) взаимосвязаны и взаимообусловлены, поэтому решение задачи должно строиться самосогласованно. Существенная трудность задачи связана с тем, что силы трения зависят от распределения нормальных напряжений в области контакта. Последние в общем случае зависят от распределения касательных напряжений. Такая ситуация характерна, например, для криволинейных трещин [3, 39, 40, 66], трещин на границе раздела двух сред с различными упругими свойствами [72, 78, 84, 85], для трещин в телах сложной геометрии [25].

Как уже отмечалось выше, существенную часть задачи о равновесном состоянии деформированного тела, ослабленного трещиной (полостью) в условиях сжатия, представляет собой определение областей реализации того или иного взаимодействия ее поверхностей. В этом контексте задача о трещине близка к классической контактной задаче о взаимодействии упругих тел [1 1, 12, 34, 35, 49, 59], где также необходимо определять размер площадки взаимодействия и контактные напряжения, а при учете сил трения, - распределение областей сцепления и относительного проскальзывания контактирующих тел.

В большинстве работ по теории трещин не рассматривается взаимодействие поверхностей трещины при нагружении. В задачах же о равновесии трещин с учетом налегания их поверхностей часто пренебрегают контактным трением [14, 18, 63, 67, 99], а при его учете полагают, что взаимные сдвиговые смещения имеют место вдоль всей поверхности контакта, а их возникновение определяется из условия превышения сдвиговой силой силы трения [48, 63, 76, 80, 82].

Постановка пространственной смешанной задачи о плоской трещине с учетом образования областей раскрытия, взаимных сдвиговых смещений и сцепления, дана в [32]. Как отмечалось выше, в общем случае скачки нормальных компонент смещений точек поверхностей трещины и нормальные напряжения в области налегания не могут быть определены независимо от касательных компонент скачка смещений и напряжений. Однако в пространственных задачах о трещинах, занимающих плоскую область в бесконечной однородной изотропной упругой среде (и в задачах об уплощенных полостях) указанная трудность отсутствует. Это позволяет разделить общую задачу для данного случая на две, решаемые последовательно [15, 18, 19, 20].

Первая - нормальная задача, в результате решения которой определяются скачки нормальных смещений точек поверхностей трещины (полости), области их налегания и распределение в этих областях нормальных напряжений [14, 31].

Вторая - сдвиговая задача. В ней с использованием распределения нормальных напряжений в области налегания определяются скачки касательных компонент смещения, касательные напряжения, области скольжения и сцепления (двух типов), если таковые возникают [33, 75].

Общее исследование пространственной нормальной задачи вариационными методами проведено в [13, 26, 31, 32], где эта задача сведена к задаче минимизации квадратичного функционала с ограничениями. Нормальные осесим-метричные задачи о равновесии трещины-разреза с областями налегания в слое рассматривались в [62], при этом области налегания определялись из условия несингулярности напряжений в окрестности их границ в построенном решении. В [18] предложен регулярный численно-аналитический метод отыскания неизвестных границ как линий несингулярности решения, приведены примеры его реализации для осесимметричных полостей при сжатии. В [14] была установлена эквивалентность определения границ областей налегания и раскрытия вариационным методом и путем построения на них несингулярного решения. Вариационный подход в сочетании с модифицированным методом проекции градиента позволяет [5, 26] строить численное решение задач при произвольной форме трещины (полости) в плане (и произвольном начальном раскрытии полости).

Сдвиговая задача с условиями трения в областях налегания рассматривалась в [16, 56], а в [74] исследовалась асимптотика решений вблизи границ областей скольжения и сцепления. В [32, 33, 73, 75, 98] в рамках вариационного подхода предложена методика построения решения с областями сцепления (с нулевым скачком смещений). Рассмотренные в [33, 75] задачи соответствуют [16] частному случаю траектории нагружения. В [21] установлен ряд свойств решения задачи о процессе скольжения поверхностей трещины с учетом сил трения при сложном нагружении. Примеры описания процесса скольжения поверхностей трещин различной геометрии при конкретных траекториях сложного нагружения рассмотрены в [17, 19, 20, 23].

В рамках двумерной задачи линейной теории упругости с учетом контактного трения рассматривались случаи прямолинейной трещины-разреза конечной длины [11, 47, 95, 106] и неэллиптических трещин [9, 53] в условиях сжатия поверхностей трещины с последующим приложением сдвиговой нагрузки. Исследовалась также эволюция равновесного состояния прямолинейных разрезов [8, 38] и плоских неэллиптических трещин [41] при сложном на-гружении с использованием квазистатического описания напряженного состояния. В указанных работах был предложен метод выделения границ областей однородного взаимодействия поверхностей трещины - на этих границах строилось несингулярное решение из условия равенства нулю соответствующего коэффициента интенсивности напряжений. В [10, 81] для определения границ областей скольжения и сцепления использовалось несингулярное решение задачи сопряжения с условием ограниченности его на бесконечности [57, 58]. Система прямолинейных трещин в упругой плоскости с гладким контактом поверхностей рассматривалась в [99], исследовалась также устойчивость краевой прямолинейной трещины в трещиноватой полуплоскости без учета трения на ее поверхностях [105]. В [86] с учетом контактного взаимодействия поверхностей с трением рассматривалась радиальная трещина, исходящая из кругового отверстия в упругой плоскости.

Трещины со взаимодействующими поверхностями на прямолинейной границе раздела двух сред рассматривались в [72, 84], ас учетом трения на поверхности контакта в [85, 88, 89].

В рамках плоской задачи в основном рассматривались криволинейные разрезы при растяжении [28, 52, 65, 104], то есть в случае, когда поверхности трещины не взаимодействуют. В [6] получено решение задачи о полубесконечном криволинейном разрезе, слабо отличающемся от прямолинейного, путем разложения комплексных упругих потенциалов по величине отклонения разреза от прямолинейной оси, касательной к разрезу в его конце. Слабоис-кривленные трещины рассматривались также в [29, 30]. Равновесие разрезов по дуге окружности исследовалось в [57, 63], рассматривалась также задача о трещине на границе упругой плоскости и кругового [109, 110] и эллиптического [111] включения. В [67] при использовании интегральных представлений комплексных потенциалов через скачки смещений на линии разреза построены интегральные уравнения задачи о бесконечной плоскости с криволинейным разрезом произвольной формы, предложен и реализован на ряде примеров численный метод их решения. В [51] рассматривались трещины вдоль криволинейных поверхностей.

В [39, 40, 66, 77] была рассмотрена двумерная задача о равновесии дугообразного разреза с учетом взаимодействия его поверхностями с трением и был показан существенно нелинейный характер этого взаимодействия. В [67] исследовалось равновесие произвольного криволинейного разреза со взаимодействующими поверхностями. При этом рассматривались два предельных случая: когда трение между поверхностями трещины ничтожно мало (гладкий контакт) или велико (полное сцепление). В [3] с использованием аналогичного подхода получено решение задачи о произвольной криволинейной трещине с поверхностями, взаимодействующими по закону сухого трения Кулона. Критерием, определяющим положение границ областей налегания и раскрытия, скольжения и сцепления в указанных задачах также служила несингулярность решения в окрестности этих границ. Следует отметить, что в задачах о криволинейных трещинах краевая задача, как правило, сводится к сингулярному интегральному уравнению первого рода с ядром Коши (или системе таких уравнений) [29, 50, 58, 65, 67, 82, 68], которое затем решается аналитически [30, 39, 40] или численно [3, 28 67, 114, 115]. Численные методы решения сингулярных интегральных уравнений, к которым сводятся краевые задачи механики разрушения, исследуются в [45, 46, 52, 58, 64, 67, 83, 93, 108], где имеются и дальнейшие ссылки.

В рамках двумерной теории упругости в [54, 55] рассматривалось растяжение плоскости с трещиной в виде трехзвенной ломаной, близкой к прямой настолько, что граничные условия предполагалось возможным сносить на направление среднего звена. В [101] дано точное решение задачи о полубесконечной трещине в виде двухзвенной ломаной. Решение задач о ветвящихся [67] и ломаных [67, 113] трещинах в указанных работах строилось на основе численного решения системы сингулярных интегральных уравнений. Ломаные трещины со взаимодействующими поверхностями рассматривались в [114], а с учетом трения в областях налегания в [115]. Следует отметить, что в случае, когда поверхности трещины вблизи точки ее излома не контактируют, асимптотическое поведение решения разбивается на две независимые асимптотики для клиновидных областей с вершинами в точке излома. Такие задачи, а именно асимптотика напряжений вблизи вершины клина с различными граничными условиями на его образующих, рассматривались в [1, 44, 82, 107, 112]. Напротив, при налегании поверхностей трещины вблизи точки ее излома, задача не разделяется. Асимптотическое поведение решения в контактной задаче (с учетом трения) о ломаной трещине на границе раздела двух сред исследовалось в [2].

Квазистатический рост произвольной криволинейной трещины при растяжении рассматривался в [36, 67], а слабоискривленной в [30]. В работах [88, 102] исследовалось, с учетом контактного трения, распространение прямолинейной трещины. В [87] предложена постановка задачи о квазистатическом росте внутренних и краевых трещин, с учетом контакта между их поверхностями с трением, при воздействии циклических нагрузок на упругую полуплоскость. Рост плоской пространственной трещины при ее неосесимметричном сжатии рассматривался в [91].

Приведенный выше литературный обзор дает представление о современном состоянии теории, описывающей равновесие упругих сред, ослабленных трещинами со взаимодействующими поверхностями, криволинейными и ломаными трещинами. Как видно, исследования требует широкий круг вопросов, связанных с анализом предельного равновесия трещин различных форм со взаимодействующими с трением поверхностями в условиях нагружения по различным траекториям. Это обстоятельство и определяет актуальность рассматриваемых в диссертации проблем.

Диссертация характеризуется следующими новыми элементами: 1. Развиты численные методы решения двумерных задач о равновесии кусочно-гладких криволинейных разрезов произвольной формы в плоскости и полуплоскости (в последнем случае, включая краевые разрезы) с учетом взаимодействия их поверхностей с трением. 2. Получено решение, описывающее равновесие трещин сложной геометрии с учетом образования на их поверхностях областей сцепления и взаимных смещений. Проанализировано влияние этих областей на их предельное равновесие. 3. Получено решение задачи о равновесии произвольно ориентированной прямолинейной трещины (внутренней и краевой) с контактирующими поверхностями в упругой полуплоскости. 4. Предложен алгоритм расчета напряженно-деформированного состояния тела с трещиной (уплощенной полостью) произвольной формы при нагружении по заданной траектории. 5. Получено решение задачи об эволюции равновесного состояния криволинейных трещин-разрезов и уплощенных полостей в зависимости от траектории нагружения. Проанализировано влияние истории нагружения и начального раскрытия криволинейной трещины на ее предельное равновесие. 6. Выполнен асимптотический анализ упругого поля вблизи особых точек в задачах о ломаных и краевых трещинах с контактирующими поверхностями.

В главе 1 рассмотрена постановка двумерных краевых задач линейной теории упругости о равновесном состоянии трещин произвольной формы при частичном контакте их поверхностей. Приведена постановка краевой задачи о криволинейном разрезе с поверхностями, взаимодействующими по закону сухого трения Кулона. Иллюстрируется необходимость учета истории нагружения при исследовании напряженно-деформированного состояния трещин с учетом трения между их поверхностями. Рассмотрена постановка задачи об эволюции равновесного состояния трещин в процессе нагружения. Приведены постановки краевых задач об асимптотическом поведении решения вблизи особых точек ломаных и краевых трещин с контактирующими поверхностями.

В главе 2 для указанных в первой главе краевых задач получены уравнения, описывающие равновесное состояние трещин произвольной формы в плоскости и полуплоскости.

В главе 3 изложены численные методы и алгоритмы, используемые при решении указанных задач.

В главе 4 приведены результаты решения задач о равновесии трещин различной геометрии в условиях, когда на их поверхностях образуются области раскрытия, скольжения и сцепления. Проанализировано влияние областей контакта на поверхностях трещины на перераспределение напряжений и смещений в ее окрестности. Исследовано влияние трения, истории нагружения, формы и начального раскрытия трещины на ее предельное равновесие, проведен анализ взаимодействия трещины с границей упругого тела при контакте ее поверхностей.

Полученные решения задач механики разрушения позволяют выполнять анализ предельного равновесия внутренних и краевых трещин сложных форм в плоскости и полуплоскости со взаимодействующими с трением поверхностями при различных условиях нагружения. Разработанная в диссертации методика может использоваться для решения задач о росте трещин в упругих телах с учетом возможного контакта их поверхностей при изменении внешних нагрузок. Кроме того, результаты исследования могут быть использованы для расчета деформационных характеристик трещиноватой среды с неплоскими трещинами с контактирующими поверхностями.

Результаты диссертации опубликованы в работах [2, 3, 4, 97] и доложены на:

- 23-й, 24-й и 26-й Международных молодежных научно-технических конференциях «Гагаринские чтения» (Москва, 1997, 1998, 2000);

- на 13-й Европейской конференции по разрушению (Сан-Себастьян, Испания, 2000);

- на конференции «Методы и программное обеспечение расчетов на прочность» (Туапсе, 2000);

- на семинарах Института проблем механики РАН.

Автор глубоко признателен своим научным руководителям Роберту Вениаминовичу Гольдштейну и Юрию Владимировичу Житникову за полезные советы и постоянную помощь в работе.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Андреев, Андрей Вячеславович

4. 5. Выводы к главе 4.

В настоящей главе приведены результаты решения краевых задач о равновесии трещин со взаимодействующими с трением поверхностями. Проведенный анализ этих результатов позволяет сделать вывод о взаимном влиянии внешних нагрузок, формы и начального раскрытия трещины, величины трения между ее поверхностями, истории нагружения, а также близости границы тела на условия, при которых трещина может достигать предельного равновесия.

Выполнен расчет предельного равновесия криволинейных разрезов в бесконечной плоскости, с учетом образования областей раскрытия, скольжения и сцепления в условиях двухосного растяжения - сжатия (без учета траектории нагружения). Рассмотрены два вида разрезов - в форме дуги параболы и в форме полуэллипса. Проанализировано влияние областей налегания на поверхностях трещины, трения и формы трещины на ее предельное равновесие.

Получено решение задачи о равновесии произвольно ориентированной прямолинейной трещины (внутренней и краевой) с контактирующими поверхностями в упругой полуплоскости в условиях сдвигового нагружения. Проанализировано взаимное влияние областей налегания на поверхностях трещины, трения в этих областях, границы тела и ориентации трещины на ее предельное равновесие. Выявлено существенное влияние особенности в решении вблизи краевой вершины трещины на ее предельное равновесие, определяемое КИН во внутренней вершине.

Получены решения задач об эволюции криволинейных разрезов и уплощенных полостей в форме дуги эллипса в условиях двухосного растяжения -сжатия по различным траекториям нагружения. Рассмотрены два вида криволинейных уплощенных полостей - с плавносмыкающимися поверхностями и с эллиптической формой раскрытия вблизи вершин. Проанализировано влияние истории нагружения и начального раскрытия криволинейной трещины на ее предельное равновесие.

118

Получена асимптотика решения в окрестности точки излома трещины при различных условиях контакта ее поверхностей. Получена асимптотика решения в окрестности краевой вершины разреза, выходящего на границу полуплоскости, при учете образования зоны контакта его поверхностей, прилегающей к этой вершине.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Теоретический анализ, проведенный в диссертации, позволил выявить ряд существенных закономерностей решений задач о равновесии трещин с областями налегания и раскрытия, скольжения и сцепления.

1. Выполнен расчет показателя асимптотики упругого поля вблизи точки излома трещины при различных сочетаниях условий контакта поверхностей. Показано, что вблизи точки излома трещины решение может иметь особенность как в отсутствие трения в области налегания, так и при его учете. Результаты расчета позволяют обобщить предложенные в диссертации методы решения задач о гладких криволинейных трещинах с контактирующими поверхностями на кусочно-гладкие разрезы.

2. Выполнен расчет показателя асимптотики упругого поля вблизи краевой вершины разреза, выходящего на границу полуплоскости, при образовании области контакта его поверхностей. Показано, что вблизи краевой вершины особенность в решении может иметь место только при наличии трения на поверхности контакта. Результаты расчета использованы при исследовании предельного равновесия краевой трещины с контактирующими поверхностями в упругой полуплоскости.

3. Развиты численные методы, алгоритмы и разработана программа решения задач о предельном равновесии кусочно-гладких внутренних и краевых криволинейных трещин (уплощенных полостей) произвольной формы в плоскости и полуплоскости с учетом взаимодействия их поверхностей с трением с учетом истории нагружения.

4. Получено решение, описывающее равновесие трещин сложной геометрии с учетом образования на их поверхностях областей сцепления и взаимных смещений. Показано, что предельное равновесие определяется комплексным влиянием растягивающих, сдвиговых и сжимающих напряжений, инициированных внешними нагрузками, силами трения в областях налегания и формой трещины. Для всех рассмотренных случаев учет трения между контактирующими поверхностями увеличивает нагрузки, при которых трещина достигает предельного равновесия, причем последние возрастают с ростом коэффициента трения. В зависимости от формы трещины и величины коэффициента трения может наблюдаться как близкое к линейному увеличение (уменьшение) коэффициентов интенсивности напряжений при увеличении внешних нагрузок, так и сильно нелинейная немонотонная зависимость коэффициентов интенсивности напряжений от величины внешних нагрузок.

5. Получено решение задачи о равновесии произвольно ориентированной прямолинейной трещины (внутренней и краевой) с контактирующими поверхностями в упругой полуплоскости в условиях сдвигового нагружения. Показано, что при рассмотренных условиях нагружения при удалении внутренней трещины от границы полуплоскости коэффициенты интенсивности напряжений убывают немонотонно. Учет особенности в решении вблизи краевой вершины оказывает существенное влияние на коэффициенты интенсивности напряжений во внутренней вершине, которые сильно возрастают (приблизительно в два раза).

6. Получено решение задачи об эволюции равновесного состояния криволинейных трещин-разрезов и уплощенных полостей в зависимости от траектории нагружения. Выявлен класс траекторий нагружения, предельное равновесие в конечной точке которых не зависит от пути нагружения, причем решения, полученные в рамках этого класса, совпадают с решением, полученным без учета истории нагружения. Показано, что в зависимости от траектории нагружения возможно образование примыкающей к вершине трещины области сцепления со скачком касательной компоненты смещений отличным от нуля. Как следствие, рост трещины может происходить и при наличии на ее поверхностях областей сцепления. Показано, что форма начального раскрытия трещины, особенно вблизи ее вершин, оказывает существенное влияние на ее предельное равновесие.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Андреев, Андрей Вячеславович, 2001 год

1. Аветисян А. Г., Чобанян К. С. Характер напряжений в заделанной окрестности края поверхности соединения составного тела, нагруженного в условиях плоской задачи теории упругости. // Изв. АН АрмССР. Механика. 1972. Т. 25. №6. С. 13-23.

2. Андреев А. В., Голъдштейн Р. В., Житников Ю. В. Асимптотический анализ решения в окрестности точки излома трещины на границе раздела двух сред. // ПММ. 1999. Т. 63. № 5. С. 865-870.

3. Андреев А. В., Голъдштейн Р. В., Житников Ю. В. Равновесие криволинейных разрезов с учетом образования областей налегания, скольжения и сцепления берегов трещины. // ИПМ РАН. Препринт № 643. Москва. 1999. 36 с.

4. Андреев А. В., Голъдштейн Р. В., Житников Ю. В. Равновесие криволинейных разрезов с учетом образования областей налегания, скольжения и сцепления берегов трещины. // Изв. Ан СССР. МТТ. 2000. № 3. С. 137-148.

5. Балуева А. В., Голъдштейн Р. В., Зазовский А. Ф. Метод расчета смещений поверхностей тонких пространственных полостей. // Физ.-техн. пробл. разраб. полез, ископаемых. 1984. № 6. С. 3-9.

6. Баничук Н. В. Определение формы криволинейной трещины методом малого параметра.//Изв. Ан СССР. МТТ. 1970. №2. С. 130-137.

7. Баренблатт Г. И., Черепанов Г. П. О хрупких трещинах продольного сдвига.//ПММ. 1961. Т. 25. №6. С. 1110-1119.

8. Беркович П. Е., Моссаковский В. И., Рыбка В. М. Влияние истории внешнего нагружения на напряженно-деформированное состояние трещиноватой среды при наличии трения. // Изв. Ан СССР. МТТ. 1977. № 4. С. 137-142.

9. Бойко Л. Т., Беркович П. Е. Контактная задача для плоскости, содержащей щель переменной ширины. // ПММ. 1974. Т. 38. № 6. С. 1084-1089.

10. Витвицкий П. М., Кривенъ В. А. Упругое равновесие тела, ослабленного трещиной со взаимодействующими берегами. // ФХММ. 1981. № 4. С. 111116.11 .Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости. // М.: Наука. 1980. 303 с.

11. Галин Л. А., Горячева И. Г. Контактные задачи теории упругости при наличии износа. // В сб.: Теория трения, износа и проблемы стандартизации // Брянск: Приокское книжное издательство. 1978. С. 251-265.

12. Голъдштейн Р. В. Плоская трещина произвольного разрыва в упругой среде. //Изв. АН СССР. МТТ. 1975. №3. С. 111-126.

13. А.Голъдштейн Р. В., Житников Ю. В. Равновесие полостей и трещин-разрезов с областями налегания и раскрытия в упругой среде. // ПММ. 1986. Т. 50. №5. С. 826-834.

14. Голъдштейн Р. В., Житников Ю. В. Равновесие трещин и полостей при сложном нагружении с учетом областей контакта и свободной поверхности, скольжения и сцепления. // ИПМ АН СССР. Препринт № 276. Москва. 1986. 63 с.

15. Голъдштейн Р. В., Житников Ю. В. Анализ равновесия плоской трещины с учетом образования в областях налегания зон скольжения и сцепления при сложном нагружении. // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. № 2. С. 141-148.

16. Голъдштейн Р. В., Житников Ю. В. Напряженное состояние упругой среды, ослабленной эллиптической трещиной со взаимодействующими поверхностями при сложном нагружении. // Изв. АН СССР. МТТ. 1988. № 1. С. 126132.

17. Голъдштейн Р. В., Житников Ю. В. Численно-аналитический метод решения пространственных смешанных задач теории упругости с неизвестной границей для полостей и трещин. Часть I. // Изв. АН СССР. МТТ. 1988. № 4. С. 7585.

18. Голъдштейн Р. В., Житников Ю. В. О некоторых особенностях деформации трещиноватой среды при сдвиговом нагружении. // Докл. АН СССР. 1991. Т. 321. № 5. С. 929-931.

19. Голъдштейн Р. В., Житников Ю. В. Анализ предельного равновесия трещин при сложном нагружении с учетом образования областей налегания и раскрытия, скольжения и сцепления ее поверхностей. // ФХММ. 1993. № 4. С. 38-45.

20. Голъдштейн Р. В., Житников Ю. В. Деформация трещиноватой среды при сдвиговом нагружении. // Изв. Ан СССР. МТТ. 1993. № 3. С. 161-168.

21. Голъдштейн Р. В., Житников Ю. В., Морозова Т. М. Равновесие системы разрезов при образовании на них областей налегания и раскрытия. // ПММ. 1991. №4. С. 672-678.

22. Голъдштейн Р. В., Савова Л. Н. Об определении раскрытия и коэффициентов интенсивности напряжений для гладкой криволинейной трещины в упругой плоскости. // Изв. Ан СССР. МТТ. 1972. № 2. С. 69-78.

23. Голъдштейн Р. В., Салганик Р. Л. Плоская задача о криволинейных трещинах в упругом теле. // Изв. АН СССР. МТТ. 1970. № 3. С. 69-82.

24. ЗЪ .Гольдштейн Р. В., Спектор А. А. Вариационный метод исследования пространственных задач о плоском разрезе в упругой среде при наличии проскальзывания и сцепления его поверхностей. // ПММ. 1983. Т. 47. № 2. С. 276-285.

25. ЪА.Горячева И. Г. Плоские и осесимметричные контактные задачи для шероховатых упругих тел. //ПММ. 1979. Т. 43. № 1.

26. Горячева И. Г., Добычин М. Н. Контактные задачи в трибологии. // М.: Машиностроение. 1988. 254 с.36Дацышин А. П., Марченко X. П., Панасюк В. В. К теории развития трещин при контакте качения. // ФХММ. 1993. № 4. С. 49-61.

27. Житников Ю. В., Тулинов Б. М. Расчет деформационных свойств твердого тела с закрытой трещиноватостью в сложнонапряженном состоянии. // Изв. Ан СССР. МТТ. 1984. № 1. С. 117-124.

28. Каландия А. И. Замечания об особенности упругих решений вблизи углов. // ПММ. 1969. Т. 33. № 1. С. 132-134.

29. Каландия А. И. Математические методы двумерной упругости. // М.: Наука. 1973.303 с.

30. Карпенко Л. Н. Про зображення функцш за допомогою многочлешв Якоб1 та обчислення деяких гнтегралгв типу Кони. // Вюник Кшвського ушверситету. Сер1я математики та мехашки. 1971. № 13. С. 74-79.

31. Карпенко Т. Н. Контактная задача для цилиндрической оболочки со штампом в условиях сцепления. // Прикладная механика. 1980. № 5. С. 57-61.

32. Костров Б. В., Фридман В. Н. Механика хрупкого разрушения при сжимающих нагрузках. // В кн.: Физика очага землетрясения // М.: Наука. 1975. С. 30-44.

33. Кравчук А. С. Вариационные и квазивариационные неравенства в механике. М.: МГАПИ. 1997. 340 с.

34. Линьков А. М. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости. // Санкт-Петербург: Наука. 1999. 384 с.

35. Линьков А. М., Могилевская С. Г. Конечно-частные интегралы в задачах о пространственных трещинах. //ПММ. 1986. Т. 50. № 5. С. 844-850.

36. Линъков А. М., Могилевская С. Г. Гиперсингулярные интегралы в плоскихзадачах теории упругости. // ПММ. 1990. Т. 54. № 1. С. 116-122.

37. Моссаковский В. И., Загубиженко П. А., Беркович П. Е. Об одной задаче для плоскости, содержащей трещину // Прикладная механика. 1965. № 8. С. 108111.

38. Моссаковский В. И., Рыбка В. М. Неосесимметричное сжатие упругого пространства ослабленного круговой щелью. // В кн.: Гидроаэромеханика и теория упругости. // Днепропетровск: Изд-е ДГУ. 1976. № 23. С. 149-156.

39. Никитин Л. В., Одищев В. Н. Распространение трещин отрыва в сжатых горных породах. // В сб: Пластичность и разрушение твердых тел. Сер. Прочность и вязкоупругопластичность. //М.: Наука. 1988. С. 157-165.

40. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики.//М.: Наука. 1984.344 С.

41. Ы.Никишин В. С., Шапиро Е. С. О локальном осесимметричном сжатии упругого слоя, ослабленного кольцевыми и круговыми щелями. // ПММ. 1974. Т. 38. № 1. С. 139-144.

42. Панасюк В. В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. // Киев:

43. Наукова думка. 1966. 246 с.бА.Панасюк В. В., Саврук М. П., Дацышш А. П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. // Киев: Наукова думка. 1976. 443 с.

44. Саврук М. П. О построении интегральных уравнений теории упругости для тел с криволинейными трещинами. // ФХММ. 1976. № 6. С. 111-113.

45. Саврук М. П. Контактная задача теории упругости для бесконечной плоскости с криволинейным разрезом. // ФХММ. 1981. Т. 17. № 1. С. 67-71.

46. Саврук М. П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. // Киев: Наукова думка. 1981. 323 с.

47. Саврук М. П. Система криволинейных трещин в упругом теле при различных граничных условиях на их берегах. // ФХММ. 1978. V. 14. № 6. С. 74-84.

48. Салганик Р. Л. О хрупком разрушении склеенных тел. // ПММ. 1963. Т. 27. № 5.С. 957-962.

49. Салганик Р. Л. Механика тел с большим числом трещин. // Изв. АН СССР. МТТ. 1973. №4. С. 149-158.71 .Сеге Г. Ортогональные многочлены. // М.: Физматгиз. 1962. 500 с.

50. Спектор А. А. Асимптотика решений некоторых пространственных контактных задач с проскальзыванием и сцеплением около линий раздела граничных условий. //Изв. АН АрмССР. Механика. 1980. Т. 33. № 1. С. 43-53.

51. Спектор А. А. Некоторые пространственные статические контактные задачи теории упругости с проскальзыванием и сцеплением. // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. №3. С. 12-25.

52. Уфлянд Я. С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. // Л.: Наука. 1967. 402 с.

53. Черепанов Г. П. Механика разрушения композиционных материалов. // М.: Наука. 1983. 296 с.

54. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. // М.: Наука. 1974. 640 с.

55. Chau К. Т., Wang Y. B. Singularity analysis and boundary equation method for frictional crack problems in two-dimensional elasticity. // Int. J. Fracture. 1998. V. 90. P. 251-274.

56. Chawla M. M., Ramacrishnan T. R. Modified Gauss-Jacobi quadrature formulas for the numerical evaluation of Cauchy type singular integrals. // BIT. 1974. V. 14. № l.p. 14-21.

57. ComninouM. The interface crack. // J. App. Mech. 1977. V. 44. P. 631-636. %Ъ.Сотптои M. Interface crack with friction in the contact zone. // J. App. Mech.1977. V. 44. P. 780-781.

58. Comninou M., Chang F.-K. Effects of partial closure and friction on a radial crack emanating from a circular hole. // Int. J. Fracture. 1985. V. 28. P. 29-36.

59. Datsyshyn O. P., Panasyuk V. V. Durability and fracture calculation model of solids under their contact interaction. // Proceedings of the 11th Biennial European Conference on Fracture. France. 1996. V. 2. P. 1381-1385.

60. Deng X. An asymptotic analysis of stationary and moving cracks with frictional contact along bimaterial interfaces and in homogeneous bodies. // International Journal of Solids and Structures. 1994. V. 31. P. 2407-2429.

61. Deng X. A note on interface cracks with and without friction in contact zone. // J. App. Mech. 1994. V. 61. P. 994-995.

62. Dyskin A. V., Salganik R. L. Model of dilatancy brittle materials with cracks under compression. //Mechanics of Solids. 1987. V. 6. P. 165-173.

63. Erdogan F. E., Gupta G. D., Cook T. S. The numerical solutions of singular integral equations. 11 In: Methods of Analysis and Solutions of Crack Problems. Noordhoff Intern. Publ. Leyden. 1973. P. 368-425.

64. Goldstein R. V., Entov V. M. Variations bounds and qualitative methods in fracture mechanics. // Prock. 4th Internal Conf. on Fracture. Canada. 1977. New-York // London: Pergamon Press. 1978. V. 4.

65. Goldstein R. V., Zitnikov Y. V. Equilibrium of a crack system with a partial contact and opening of their surfaces. IJ С. R. Academie des Sciences Paris. Mecanique des solides. 1992. T. 315. Seriell. P. 1581-1584.

66. Irwin G. R. Analysis of stress and strain near the end of crack traversing a plate. II J. Appl. Mech. 1957. V. 24. № 3. P. 361-364.

67. Khrapkov A. A. The first basic problem for a notch at the apex of an infinite