Моделирование оптических свойств квантовых нитей простых металлов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Смогунов, Александр Николаевич

• Смогунов, Александр Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Смогунов, Александр Николаевич

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННОЙ СТРУКТУРЫ КВАНТОВО-РАЗМЕРНЫХ СИСТЕМ

1.1 Основные методы теоретического исследования электронных свойств квантово-размерных систем

1.2 Теория функционала плотности

1.3 Модели квантово-размерных систем

1.3.1 Модели, учитывающие атомную структуру

1.3.2 Континуальные модели

2. ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА МЕТАЛЛИЧЕСКИХ НИТЕЙ

2.1 Формализм расчета электронной структуры цилиндрических нитей-" желе"

2.2 Методика решения самосогласованных уравнений Кона-Шэма

2.3 Электронноя плотность и одночастичные потенциалы

2.4 Потенциал ионизации и ширина заполненной энергетической области

3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ НИТЕЙ С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ

3.1 Расчет взаимодействия цилиндрических нитей-"желе" с электромагнитным полем

3.2 Вычислительные аспекты расчета линейного отклика цилиндрических нитей-" желе"

3.2.1 Вычисление радиальных функций Грина

3.2.2 Учет конечного времени жизни возбужденных состояний

3.2.3 Построение итерационного процесса и методы улучшения сходимости

3.3 Металлические нити в постоянном электрическом поле

3.3.1 Коэффициент экранирования электрического поля

3.3.2 Статическая поляризуемость нитей

3.3.3 Влияние среды на поляризуемость нитей

3.4 Оптические свойства металлических нитей

3.4.1 Спектры фотопоглощения

3.4.2 Поверхностные плазменные колебания

3.4.3 Парциальные сечения фотопоглощения

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование оптических свойств квантовых нитей простых металлов»

ВВЕДЕНИЕ

Быстрое развитие нанотехнологий сделало возможным создание кван-тово-размерных электронных систем различной эффективной размерности и стимулировало их дальнейшее теоретическое и экспериментальное исследование.

Известно, что многие физические свойства конденсированных сред определяются энергетическим спектром квазичастиц и их взаимодействием между собой. Эффективная размерность электронной системы существенно влияет на характер энергетического спектра квазичастиц. В частности, понижение размерности электронной системы приводит к уменьшению числа конечных состояний при рассеянии электронов и, следовательно, к увеличению электронной подвижности [1,2], делая такие системы перспективными при создания быстродействующих элементов в микро- и наноэлектронике. Кроме того, от размерности и симметрии системы значительно зависят как размерное квантование энергетического спектра, так и одночастичные потенциалы внутри системы и на больших расстояниях от нее. Так, вследствие увеличения напряженности эффективного кулоновского поля во внутренней области при уменьшении размерности в полупроводниках наблюдается значительное возрастание энергии связи примесных атомов [3,4]. Эти и другие особенности делают свойства низкоразмерных систем весьма нетривиальными и открывают широкие перспективы для их использования в самых разных областях физики. В частности, на основе низкоразмерных систем ведется активная разработка новых типов люминесцирующих экранов, солнечных батарей, различного рода фотодетекторов и фотоумножителей.

Следует отметить, что в отличие от атомных кластеров и тонких пленок, исследованию которых посвящено довольно большое число работ, изучение квантовых нитей, по сути, только начинается. При этом основное

внимание уделяется полупроводниковым структурам, хотя квазиодномерные металлические нити также представляют большой интерес (например, в качестве контактов в наноэлектронных устройствах [5,6]).

К сожалению, использование для расчета электронной структуры одномерных кристаллов первопринципных методов, известных из зонной теории, приводит к большим трудностям, поскольку в низкоразмерных системах отсутствует трансляционная симметрия по крайней мере в одном из направлений. Поэтому для исследования подобных объектов требуется разработка специальных моделей и методов. Свойства простых металлов с 5- и р- валентными электронами достаточно хорошо описываются в

99 99 / и °

рамках модели желе (в которой дискретныи заряд ионных остовов решетки равномерно " размазывается" по всему объему системы) вследствие слабого рассеяния валентных электронов на псевдопотенциале экранированных остовов. Данная модель успешно применялась для исследования электронных свойств бесконечных и полуограниченных кристаллов, тонких пленок и кластеров простых металлов. В частности, в рамках модели "желе" для кластеров простых металлов были получены практически все основные результаты, наблюдаемые в эксперименте: оболочечный характер электронной структуры, магические числа, увеличение статической поляризуемости и "красное" смещение поверхностного плазмона по сравнению с классическими значениями и др.

Цель данной работы. Применение модели "желе" в рамках теории функционала плотности для исследования электронной структуры и оптических свойств квантовых нитей простых металлов.

Научная новизна.

1. На основе теории функционала плотности создана эффективная методика расчета электронной структуры и оптических свойств цилиндриче-

° 99 99

ских нитеи- желе .

2. Рассчитана электронная структура нитей простых металлов. Получены зависимости потенциала ионизации и ширины заполненной энергетической области от радиуса нити.

3. Получена статическая поляризуемость и коэффициент экранирования нитей простых металлов.

4. Проведен расчет спектров фотопоглощения <т(о;) нитей Ка различных радиусов. Исследованы коллективные и одночастичные возбуждения.

5. Исследовано влияние межэлектронного взаимодействия на спектры фотопоглощения. Проанализированы фазы колебаний различных динамических характеристик в области поверхностного плазменного резонанса.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Методика и комплекс компьютерных программ для расчета электронной структуры и оптических свойств квантовых нитей простых металлов в модели "желе".

2. При увеличении радиуса нити потенциал ионизации осциллирует и приближается снизу к работе выхода объемного кристалла. Потенциал ионизации возрастает с увеличением плотности валентных электронов. В масштабе Я/Хр потенциал ионизации нитей разных металлов имеет схожую размерную зависимость.

3. Рассчитанная статическая поляризуемость а нитей больше классического значения аС1 = Я2/2, причем это различие усиливается с увеличением плотности валентных электронов.

4. Поверхностный плазменный резонанс для взаимодействующих электронов нитей Ка сдвинут в сторону низких энергий по сравнению с результатами классической электродинамики и лежит в области непрерывного спектра, что затрудняет его идентификацию.

5. Учет межэлектронного взаимодействия приводит к появлению поверхностной коллективной моды, которая накладывается на ближайшее одно-

частичное возбуждение. При увеличении коэффициента межэлектронного взаимодействия д частота поверхностного плазмона увеличивается. При д от 0.2 до 0.5 поверхностный резонанс лежит в области свободной от од-ночастичных возбуждений и хорошо идентифицируется. 6. В области поверхностного плазменного резонанса максимум индуцированной электронной плотности приходится на поверхность нити, а плотность тока осциллирует в фазе с внешним потенциалом.

Научная и практическая значимость работы. В рамках теории функционала плотности и модели "желе" разработана методика исследования электронных свойств нитей простых металлов, реализованная в комплексе компьютерных программ. Данная методика может быть использована при изучении свойств других систем с аксиальной симметрией.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на IX Международном симпозиуме "Малые частицы и неорганические кластеры" (Лозанна, 1998); XV Всероссийской научной школе-семинаре "Рентгеновские и электронные спектры и химическая связь" (Екатеринбург, 1997); Всероссийской конференции "Микроэлектроника и информатика - 98" (Москва, 1998); а также на научных сессиях физического факультета ВГУ.

Личный вклад автора. Основной материал, представленный в диссертации, опубликован в работах [92,116-121]. Личный вклад автора состоит в разработке теоретического подхода для исследования электронных свойств аксиально-симметричных систем, написании части программ (на основе программного комплекса, созданного Курганским С.И. и Кур-киной Л.П.), проведении вычислений и интерпретации полученных результатов.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка ци-

тируемои литературы.

Во введении обосновывается актуальность темы исследования; обозначены задачи и цели данной работы; показаны ее научная и практическая значимость; формулируются положения, выносимые на защиту и дается краткое описание структуры диссертации.

Первая глава посвящена обзору основных методов теоретического исследования физических свойств квантово-размерных электронных систем; рассматриваются различные подходы для учета взаимодействия электронов с ионами решетки; основное внимание уделяется методам и моделям, используемым в диссертации: формализму функционала плотности и его обобщению на нестационарные процессы, а также модели "желе".

Во второй главе представлены результаты расчетов электронной структуры и свойств нитей 1л, Ыа, К в основном состоянии. Получены зависимости от радиуса потенциала ионизации и ширины заполненной энергетической области цилиндрических нитей-"желе".

Третья глава посвящена исследованию линейного отклика цилиндрических нитей-"желе" на внешнее электромагнитное поле. Расчеты проводятся в рамках нестационарной теории функционала плотности и ди-польного приближения. Получены коэффициент экранирования внешнего электрического поля и статическая поляризуемость нитей 1л, Иа, К. Рассчитаны спектры фотопоглощения нитей Ка различного радиуса. Проводится исследование влияние межэлектронного взаимодействия на положения одночастичных и коллективных резонансов. Анализируется поведение различных динамических характеристик при переходе через поверхностный плазменный резонанс.

Исследование электронной структуры квантово-размерных систем

1.1 Основные методы теоретического исследования электронных свойств квантово-размерных систем

Функция Гамильтона квантово-размерной системы складывается из кинетической энергии всех частиц системы и их взаимодействия между собой. Отметим, что при образовании квантово-размерной системы из отдельных атомов химические связи осуществляются только валентными электронами, тогда как большая часть электронов прочно связана в оболочках (электроны остова) и практически не влияет на свойства системы. Поэтому ионы решетки и валентные электроны можно рассматривать как независимые элементы. Такое разделение на ионные остовы и валентные электроны, носящее название валентной аппроксимации, довольно хорошо описывает свойства даже материалов с локализованными валентными электронами и обеспечивает основу для самых разнообразных исследований молекул, кластеров и твердых тел. Полный гамильтониан системы (которая состоит из Лг атомов валентности го) тогда разбивается на сумму гамильтонианов N взаимодействующих ионных остовов (Н1) и IVN взаимодействующих валентных электронов (Не), движущихся в потенциале ионных остовов V/: •

II = III + #г,

2М 2 ^ ^-КаГ

а— 1 (зф-а ' ^ 1

ад/У 2 1 2

Не = Ге+т,г)+ж(г) = £ ^+Е+5 £ га-

г=1 г=1 1 ^

где Т/ и Те - кинетические энергии ионов и валентных электронов. Потенциальные энергии взаимодействия ионов с ионами II (И), электронов с ионами г) и электронов с электронами И^(г) зависят от координат

ионных остовов и валентных электронов, которые обозначены через И и г, соответственно. Потенциал ионных остовов

N

называемый псевдопотенциалом, является довольно гладкой функцией координат вследствие экранирования со стороны остовных электронов.

Стационарные состояния валентных электронов и ионных остовов определяются уравнением Шредингера:

ЯФ(К,г) = .ЕФ(11,г) (1)

Волновая функция Ф(К, г) зависит от координат ионов и валентных электронов. Нахождение ее является практически невыполнимой задачей даже в случае достаточно малых квантово-размерных систем. Поэтому необходимо использовать следующее упрощение.

Поскольку масса ионных остовов более чем в 1000 раз превышает массу электрона, а силы взаимодействия одни и те же, ионы должны двигаться значительно медленнее электронов. Основное приближение состоит в том, чтобы сначала рассчитать орбитальное движение электронов, считая ионные остовы неподвижными, а затем вычислить равновесные положения и колебательные движения ионов и оценить их влияние на энергии электронов. Такое приближение называется адиабатическим или приближением Борна-Оппенгеймера. В рамках адиабатического приближения волновую функцию ионов и электронов представляют в виде:

Ф(К,г) =-^(г)Ф(К)

Подставляя эту функцию в уравнение Шредингера (1), получаем два уравнения:

Йеф(П,г) = е{К)ф{К,г), (2)

{#/+ б(и)} Ф(К) = ЕФ(В), (3)

если пренебречь производными функции ф(Л, г) по К, что можно сделать из-за сильного различия масс ионов и электронов [7,8]. В этом пренебрежении, по существу, и состоит адиабатическое приближение в своей простейшей форме. Уравнение (2) описывает движение электронов в поле неподвижных ионов с координатами К. Зная энергии электронов е(К), даваемые при любых фиксированных К уравнением (2), можно в принципе решить уравнение (3) и тем самым найти полное решение.

Практически решение уравнения (3) находят, развивая далее мысль о медленном движении ионов. Уравнение (3) можно переписать в эквивалентном виде:

{Т/ + #(К)}Ф(К) = ЯФ(К), (4)

вводя энергию

= 17(Н)+€(К),

включающую в себя энергию электронной подсистемы е(К) и потенциальную энергию взаимодействующих друг с другом ионов II(И). Можно сказать, что ионные остовы движутся в потенциальном поле Е(Л), т.е. под действием силы

Е(К) = -УкЕ(Н) = -Ук17(П)-Ук€(К). (5)

Первое слагаемое в этой формуле соответствует межионному взаимодействию, в то время как вторая часть определяет силу, действующую на ионные остовы со стороны электронной подсистемы. Заметим, что уравнение (2) имеет дискретный набор собственных значений. Следовательно,

энергии ете(К) и Еп(В.) должны характеризоваться еще дополнительным индексом п. Для определения низших энергий рассматривают ветвь основных состояний бо(11) уравнения (2). Пренебрегая кинетической энергией в (4) и просто минимизируя функцию Е'о(К):

можно определить равновесную конфигурацию ионных остовов Ко и энергию основного состояния всей системы Ео(Ио). Колебания ионных остовов можно учесть разлагая в ряд потенциальную функцию Ео(И) вблизи Ыо. На практике равновесная конфигурация может быть найдена из некоторой начальной конфигурации И' [9]. Ионная подсистема релаксирует в равновесное состояние, которое определяется в несколько этапов. На каждом этапе происходит изменение координат ионов К' в направлении действия сил (5):

где 7 - малое положительное число и Го (К') = — ^кЕ^К^н^н/ - действующая на ионные остовы сила. Для исследования динамики подси-

стемы ионных остовов широко используется метод молекулярной динамики [10,11], в котором ионная часть Н/ трактуется как классическая функция Гамильтона. Тогда динамика ионных остовов описывается уравнениями Ньютона:

Даже если ионная часть Л/ игнорируется и рассматривается равновесная конфигурация ионных остовов Ко, решение волнового уравнения для

дЕр (К) Ж

К.— Яц

= 0

К' +

МК = Ро(К).

взаимодействующей электронной подсистемы

Неф = еф,

представляется по-прежнему трудной задачей.

Поскольку получить точное решение уравнения (6) для многоэлектронной системы в общем случае невозможно, обычно или решают его приближенно или, что бывает чаще, заменяют реальную систему модельной, которую выбирают так, чтобы она отражала основные черты реальной системы. Обозначая гамильтониан модельной системы через Н'е, можно точно найти его собственные функции и собственные значения. Далее, если окажется необходимым, можно улучшить это приближение путем использования теории возмущений или какого-либо другого подходящего метода. Примером такой модели может служить одноэлектронное приближение, в котором каждому электрону приписывается определенная волновая функция и энергетический уровень. Это соответствует выбору модельного гамильтониана в виде суммы одночастичных операторов:

»: = Е

г

В рамках одноэлектронного приближения предполагается, что каждый электрон сложной системы движется в некотором самосогласованном поле, создаваемом неподвижными ионными остовами и другими электронами. Это позволяет свести многоэлектронную задачу к решению одноэлектронного уравнения Шредингера:

Щф{ = Е^ (7)

Наиболее известными подходами, приводящими к уравнениям самосогласованного поля, являются метод Хартри-Фока и уравнения Кона-Шэма теории функционала плотности. В первом из них одночастичные гамильтонианы выбираются таким образом, чтобы многочастичная функция ф, построенная в виде детерминанта Слэтера

ф(г) = ае^г(г^),

являлась наилучшим приближением среди однодетерминантных функций. Получающиеся при этом одночастичные гамильтонианы Hi являются ин-тегро-дифференциальными операторами и приводят к довольно сложным нелинейным уравнениям Хартри-Фока для ф^. В более полном варианте метода Хартри-Фока - методе конфигурационного взаимодействия - оперируют с линейными комбинациями детерминантов Слэтера, отличающихся разным набором орбиталей.

В теории функционала плотности в качестве основной величины рассматривается не многочастичная волновая функция ф (содержащая слишком много излишней информации), а электронная плотность, являющаяся функцией пространственных координат. В отличие от уравнений Хартри-Фока, в уравнения Кона-Шэма входят одночастичные операторы Hi, выбираемые таким образом, чтобы электронная плотность невзаимодействующих электронов с волновыми функциями фг совпадала с правильной электронной плотностью многочастичной системы. При этом детерминант Слэтера, построенный на одночастичных функциях фг не обязательно близок к ф. Операторы Hi имеют более простой вид, чем в уравнениях Хартри-Фока и являются дифференциальными операторы.

Теоретическую основу расчетов, представленных в данной работе, составляет метод функционала электронной плотности (DFT - density- functional theory). Одним из преимуществ данного подхода является его относительная вычислительная простота. Самосогласованные уравнения Кона-Шэма представляют собой дифференциальные уравнения типа уравнения Шредингера и могут быть легко решены численно. В рамках метода функционала плотности было проведено огромное количество расчетов электронной структуры и динамических свойств самых разнообразных электронных систем (атомов, молекул, кластеров и т.д.). Все многочастичные эффекты включены в обменно-корреляционный потенциал Vxc,

вычисление которого и является основной задачей в теории функционала плотности. Точное выражение для Ухс неизвестно, и на практике приходится использовать для него те или иные приближения, что является главным недостатком метода функционала плотности.

1.2 Теория функционала плотности

Теория функционала плотности занимает одно из ведущих мест в современных исследованиях электронных свойств многочастичных систем и как физическая концепция, и как практический метод. Она позволяет перейти от статистического оператора р (при нулевой температуре р = |Ф)(Ф| , где многочастичная волновая функция Ф зависит от З.ЛГ переменных и N - число электронов в системе), к некоторым функциям плотности та(г) (вид которых определяется внешним полем), которые однозначно связаны с р и, таким образом, полностью определяют все свойства электронной системы в основном состоянии.

Пусть система взаимодействующих электронов находится во внешнем поле, которое характеризуется функциями Уа(г) и действует на электронную систему через некоторые операторы плотности и)а(г) (оператор плотности числа частиц, плотности тока и т.д.):

V = I Уа(г)гиа(г)(1г,

где предполагается суммирование по а. Гамильтониан электронной системы тогда имеет вид:

н = т.+ у + и,

где Т и и - операторы кинетической энергии и энергии межэлектронного взаимодействия. Теория функционала плотности утверждает, что существуют взаимно-однозначные отображения:

0т(г)} ^ {Мг)}.

{ша(г)} «-► Д

где гуа(г) = (г&а(г)) - среднее значение операторов плотности в основном состоянии. Следовательно, все физические свойства системы определяются функциями плотности гиа(г) (являются их функционалами). Вариационный принцип позволяет определить гиа(г) путем минимизации либо функционала полной энергии Е{ша) (при Т — 0), либо термодинамического потенциала 0|/ша] (при Т ф 0):

Е[гпа] = Т>«] + I У»ша(г)ЛЧ-

III ^(г,г>а(г)^(г')«Ч4сЫ, (8)

^Ы = с8[юа] + I Уа(г)та(г)^+

1~11 иа13(г, г>«(г)^(г')^г' + ЕХСК] (9)

при условии (М) = ./V, где N - оператор числа частиц и N - число электронов в системе. При правильных значениях функций гиа(т) функционалы (8,9) дают полную энергию и термодинамический потенциал системы в основном состоянии. Функционалы Ехс и Ехс носят название обменно-корреляционной энергии и включают в себя, по существу, все многочастичные эффекты. Для удобства расчета в функционалах энергии и термодинамического потенциала выделены части, соответствующие кинетической энергии Т8 и свободной энергии Гельмгольца системы невзаимодействующих электронов. Тогда, как видно из функционалов (8,9), правильные функции гиа(г) совпадают с функциями плотности системы невзаимодействующих электронов, находящейся в эффективном поле:

= + I + ¿^ЯхсК],

= Уа(т) + I ^(гУ)Мг'Мг' + ¿Т^хсЫ

и, таким образом, могут быть найдены путем решения некоторых самосогласованных уравнений для системы независимых электронов. Эти уравнения, в принципе, позволяют точно решить многочастичную задачу, если известны функционалы обменно-корреляционной энергии Ехc[wa] и Fxc[wa]- Поэтому одной из основных задач в теории функционала плотности является построение различных приближений для Exc[wa] и Fxc[wa]. Наиболее простым и широко используемым является приближение локальной плотности (LDA - local-density approximation):

Exc[wa] = J £*c(wa(r))wa(r)dr, Fxc[wa] = J f?c{wa(r))wa(r)dr,

где для локальных функций fxc используются различные параметризации.

Рассмотрим теперь конкретные случаи внешних полей Уа(г) и соответствующих функций плотности wa(r). Теория функционала плотности первоначально формулировалась для спин-ограниченного случая [12], когда электронная система находится во внешнем электростатическом поле У (г). В этом случае существует взаимно-однозначное отображение:

У (г) ^ п(г),

где п(г) = (Ф+(г)Ф(г)) - электронная плотность в основном состоянии. Электронная плотность может быть найдена прямо из условия минимума функционалов (8,9) с использованием различных вариационных алгоритмов [13,14]. В этом случае для функционалов кинетической энергии Ts, свободной энергии Гельмгольца Gs, а также обменно-корреляционной энергии Ехс или Fxc необходимо использовать некоторые приближения (чаще всего используется локальное приближение), иногда с различными градиентными поправками [14]). При нахождении электронной плотности из самосогласованных одночастичных уравнений Кона-Шэма [15] (использу-

ется система единиц е2 = % = 2т = 1):

' V2 1

- — + (Г) Фэ (Г) = (Г) ,

N

п(г) = ^\ФА*)\2

3=1

функционал кинетической энергии Т8 учитывается точно. Эффективный потенциал Уец включает в себя электростатическую Уе8 и обменно-корреляционную Ухс часть:

Приближение локальной плотности для обменно-корреляционной энергии и потенциала в данном случае:

где £хс(п(г)) - обменно-корреляционная энергия, приходящаяся на один электрон однородного электронного газа плотностью п(г). Наиболее часто для £хс(п(г)) используют параметризации Воско [16], Вигнера [17], Гуннарссона-Лундквиста [18] и др.

В работах [18-20] дается обобщение функционала плотности на случай спин-поляризованных систем. В этом случае устанавливается взаимнооднозначное соответствие:

где пар(г) = (Ф+(г)Ф^(г)) - матрица спиновой плотности и УаР(г) - зависящий от спиновых индексов внешний потенциал.

^(г) = Т4в(г) + 7хс(г),

(И)

{^(г)} о {паР(г)},

В последнее время развиваются различные обобщения функционала плотности для учета взаимодействия внешнего магнитного поля с орбитальным моментом электронной системы [21,22], в которых:

{F(r),A(r)}^{n(r),j(r)},

где А (г) - вектор-потенциал магнитного поля и оператор плотности тока имеет следующий вид:

ib

j(r) - -~-{Ф+(г)УФ(г) - УФ+(г)Ф(г)}.

Z fit

Подробное описание теории функционала плотности и различных аспектов ее приложения к атомам, молекулам, кластерам и кристаллам, а также обширная библиография по данному вопросу содержатся в [23].

Успех теории функционала плотности в описании свойств основного состояния широкого класса физических объектов вызвал естественное желание обобщения его на зависящие от времени процессы. В рамках нестационарной теории функционала плотности (TDDFT - time-dependent density-functional theory) в случае зависящего от времени внешнего поля Vext,a(r,t) устанавливается взаимно-однозначная связь между зависящей от времени многочастичной волновой функцией Ф(£) и функциями плотности wa (г, £):

Как и для стационарного случая, точные функции плотности wa(r,t) системы взаимодействующих электронов могут быть получены путем решения зависящих от времени одночастичных уравнений Шредингера в некотором самосогласованном потенциале:

где Ахс по аналогии со стационарным случаем называют зависящим от времени функционалом обменно-корреляционной энергии. Знание Ахс позволяет проводить точные расчеты (без использования теории возмущении) отклика электронной системы на внешнее зависящее от времени поле yext>a. Большое число работ специально посвящено исследованию и построению различных выражений для функционала обменно-корреляционной энергии Ахс [24,25].

Первоначально нестационарное обобщение теории функционала плотности было проведено для спин-ограниченных электронных систем, находящихся во внешнем зависящем от времени электрическом поле Fext(r,t) [26-28]. В этом случае электронная система описывается гамильтонианом:

H(t) = É0 + H1(t), (13)

где Hi(t) = f n(r)Vext(r,t)dr - гамильтониан взаимодействия; Н0 - гамильтониан системы взаимодействующих друг с другом электронов в отсутствие внешнего поля; п(г) = Ф+(г)Ф(г) - оператор электронной плотности. В данном случае устанавливается взаимно-однозначное соответствие:

Vext(r,t)++n(r,t), n(r, t) Ф(£).

Нестационарная теория функционала плотности [28,29] утверждает, что данная задача эквивалентна задаче о невзаимодействующих друг с другом электронов, движущихся в самосогласованном потенциале:

J |г г I ôn(r,t) Гамильтониан такой системы имеет вид:

ÈQ{t) = Êl+Èïcv(t). (14)

где = f п(г)Узср(г, - самосогласованный гамильтониан вза-

имодействия и Но - гамильтониан невзаимодействующих между собой электронов, находящихся в эффективном потенциале (11).

Решение зависящих от времени одночастичных уравнений представляет собой довольно сложную задачу. Поэтому чаще всего ограничиваются исследованием линейного отклика электронной системы на внешнее возмущение. Рассмотрим вначале гамильтониан (13), в котором оператор Нх^) будем считать малым возмущением. В рамках теории линейного отклика [30] фурье-компонента индуцированной электронной плотности <5п(г,и;) линейно связана с соответствующей компонентой внешнего потенциала:

где х(г, г', а;) - функция отклика оператора электронной плотности п(г):

<0|п(г')и)0'|п(г)|0) <0|п(г)|Л0-|п(г')|0)

х(г, Г ,из) = ■ 11111 У^

3

Пиз - (Еу - Е0) + ¿А пиз + - Е0) + г'А_

Здесь |- собственные функции и значения гамильтониана Но (индекс у = 0 соответствует основному состоянию).

В случае гамильтониана (14), в котором оператор предпола-

гается малым возмущением, получаем для 6п(г,из):

6п(т,ш) = I х°(г, г/,о;)У8ср(г/,из)(1г'. (15)

Функция отклика х°(г, г', о;) для невзаимодействующих электронов выражается через собственные функции ф{(г) и собственные значения ег- уравнений Кона-Шэма (10):

ф*(т)ф^г)ф*(т')ф{(г')

Л/г ~ Л)

,3

х°

(г, г , ол = 1ш1 > [и— тп) —г-7-—г-:-,

где fi - числа заполнения. Используя запаздывающие функции Грина оператора Щ и их представление

G(r,r,€)= lim > --——,

} д^+о^ б - €j + гА

з J

можно получить для функции отклика следующее выражение:

осс

ф{(г)ф*(г')С*(г,г',е{-Ни>)

(16)

Фурье-компонента самосогласованного потенциала У8СГ выражается в виде:

У8СР(г,и;) = Уех\г,и;)+д-6У(г,со) (17)

и является суммой внешнего потенциала Уех1; и индуцированного потенциала 6У:

6У{г,и;) = 6Ус(г,и) + 5Ухс(г,и;), 5УСМ= /'^фг',

<5Fxc(r,u;) =

J |r - г

духе

Sn( r,w). (18)

п=гг(г)

dn

Здесь n(r) - распределение электронной плотности в основном состоянии. Для индуцированного обменно-корреляционного потенциала 6VXC в данной работе используется приближение локальной плотности (TDLDA -time-dependent local-density approximation) [29], которое может также рассматриваться как адиабатическое приближение при медленно меняющейся во времени электронной плотности. Коэффициент межэлектронного взаимодействия д — 1 в (17) соответствует взаимодействующим электронам, д = 0 - системе электронов без взаимодействия.

Таким образом, в методе TDLDA индуцированная электронная плотность 6п(г,из) может быть найдена путем решения самосогласованных уравнений (15,17). Однако, нет причин ограничиваться лишь оператором электронной плотности п(г). В данной работе мы рассмотрели произвольные одночастичные операторы и построили соответствующие функции отклика. Среднее значение произвольного одночастичного оператора А (это может быть уже рассмотренный оператор электронной плотности п(г) = — г'), тока j(r), импульса р и т.д.) изменяется под действием внешнего поля A(t) = (A) + SA(t). Как и в случае электронной плотности, фурье-компонента 6А(из) в линейном приближении связана с соответствующей компонентой внешнего поля соотношением:

у(г,ш) = lim

з

6А(и) = J xMVext(r,u3)dr,

<0|i|i)(j|n(r|0) <0|n(r)|j)(j|i|0)

Пиз - (Еу - Е0) + гД Тьиз + [Е^ - Е0) + гД

где х(г5 и) - функция отклика оператора А для взаимодействующей электронной системы.

Переходя к самосогласованному потенциалу Узср и гамильтониану (14), линейный отклик произвольного одночастичного оператора А в рамках ТБЬБА может быть рассчитан по формуле:

8А(из) = J х°(г, (v)VSCF(г, to)dr,

которая аналогична уравнению (15) для индуцированной плотности. Функцию линейного отклика х°(г, из) оператора А для невзаимодействующих электронов можно выразить через функции Грина:

осс

X°(r,u;) = ]C

^(r)(^(r')|A|G(r,,r,€i + M)+

tf (r)(il>i(r')\A+\G(r\r,€i - Пиз)У

где А+ - сопряженный оператор.

В данной работе исследовался линейный отклик системы на однородное электрическое поле Е(£) = Ее-ги^, где Е - постоянный вектор напряженности электрического поля, т.е. использовалось дипольное приближение. Тогда потенциал внешнего поля имеет вид:

УехЬ (г, из) = Ег (19)

Согласно "оптической теореме" сечение фотопоглощения определяется мнимой частью динамической поляризуемости:

, ч 4тгиз , . . .

а (из) = ~—1та(из), (20)

Р(о;) = с*(ц>)Е(и;),

где Р(<л>) - дипольный момент системы, который может быть рассчитан через индуцированную электронную плотность ёп(г). В работе [31] было показано, что о~(из) может быть также представлено следующим образом:

а(и) = -^у4у*зср(г,^)1тХ°(г,г',а;)Узср(г,,а;)СгЫг'. (21)

Для расчета парциальных сечений фотопоглощения в формуле (21) необходимо использовать следующее разложение функции отклика

Х°(г,г» = ^Х?(г,г',о;) = £Х°Дг,г>),

г г,3

Тогда полное сечение фотопоглощения (т(из) является суммой парциальных сечений с^(из) за счет перехода электрона с уровня г на уровень

^и = Х^м = (22)

г г,3

Видно, что в пределе Д —»■ 0 для получается известное в квантовой

механике выражение:

47Г2О;

= "^Г^1 " Л)01я1 ИЮ12 ¿(^ - + €,-). (23)

Используя функции Грина (2(г, г',е), выражение для определя-

ющее вклад г-го уровня сгг(из) в полное сечение фотопоглощения, может быть записано:

X°(r,r>)=V>*(r)^(r')

tn(*rJ \ ( ФзШКг') /t-G(r,г ,е< + М - £/,-^_(€,_€г) + гД

Для расчета aj(aj) при энергиях /г<х? больших порога ионизации (Tito > |€j — бг"| для занятых состояний i,j) оказывается возможным пренебречь вторым слагаемым.

Математическое обоснование и развитие спин-поляризованного варианта TDLDA наиболее полно представлено в работе [32]. Описание функций линейного отклика неоднородных многоэлектронных систем с помощью функционала плотности является весьма эффективным. Помимо вычислительной простоты, теория функционала плотности позволяет учесть обменно-корреляционные эффекты. Заметим, что приближение случайных фаз (RPA) пренебрегает обменно-корреляционным вкладом в инду-цированый потенциал. В приближении случайных фаз с обменом (RPAE -random-phase approximation with exchange) учитывается только обменная составляющая 5VXC [33]. Уже первые расчеты в рамках TDLDA спектров поглощения атомов [26,31,34] показали удивительно хорошее согласие с экспериментальными данными, существенно лучшее, чем результаты RPAE (этот вывод подтверждают и более поздние расчеты [35]). Оказалось, что в рамках RPAE можно получить результаты, сравнимые с TDLDA, только при включении релаксационных эффектов (хотя схема

функционала плотности релаксацию не включает) [23]. Введение нелокальных поправок к обменно-корреляционному потенциалу позволило еще более приблизить теоретические результаты к наблюдаемым функциям отклика [36-40].

1.3 Модели квантово-размерных систем

Ранее были рассмотрены методы, позволяющие свести многоэлектронную задачу к системе невзаимодействующих электронов, движущихся в некотором самосогласованном потенциале. Теперь обратимся к методам решения одночастичного волнового уравнения (7), которое перепишем в виде:

Н'фг = (24)

Одночастичный гамильтониан Н имеет следующее представление:

Я = -^ + УКг) + Уе(г), (25)

где потенциал У/ описывает взаимодействие электронов с атомными остовами, а потенциал межэлектронного взаимодействия Уе включает в себя кулоновскую и обменно-корреляционную составляющую.

Методы решения уравнения (24) тесно связаны с моделями, используемыми для построения потенциала электрон-ионного взаимодействия У/. Эти модели можно разделить на две большие группы:

1. Модели, учитывающие в той или иной мере реальную атомную структуру квантово-размерной системы.

2. Континуальные модели, в которых реальная атомная структура системы заменяется некоторой усредненной величиной, будь то потенциал или плотность заряда остовных ионов.

Типичным представителем первой модели в зонной теории твердого тела является метод сильной связи, в то время как ко второй модели

можно отнести приближение почти свободных электронов.

1.3.1 Модели, учитывающие атомную структуру

В общем случае, потенциал взаимодействия валентных электронов с ионными остовами может быть представлен в виде суммы остовных псевдопотенциалов:

N

УК г) = ]Гур°(г-11а), (26)

а=1

где N - число атомов в системе. Введение псевдопотенциала позволяет учесть влияние остовных электронов на энергетический спектр валентных электронов.

Теория псевдопотенциала возникла первоначально в зонных расчетах как обобщение метода ОПВ (ортогонализованных плоских волн) [7]. Идея состояла в замене реального кристаллического потенциала V неким достаточно малым псевдопотенциалом Ур5, который дает тот же энергетический спектр для валентных электронов (что, однако, ни в коем случае не относится к псевдоволновым функциям). Вследствие малости для расчетов псевдоволновых функций можно использовать приближение почти свободных электронов и рассматривать псевдопотенциал как малое возмущение. Теория псевдопотенциала не только дает возможность уточнения расчетов ОПВ, но и позволяет объяснить, почему расчеты зонной структуры в приближении почти свободных электронов дают хорошие результаты для щелочных металлов. Существуют многочисленные подходы к проблеме построения конкретных псевдопотенциалов [41,42]. К ним относятся подходы, основанные на ОПВ-методе (построение из первых принципов) и различные модельные псевдопотенциалы (например, псевдопотенциалы Ашкрофта, Хейне-Абаренкова и т.д. [42]). К недостаткам псевдопотенциалов относится то, что они нелокальны и к тому же зависят от энергии искомого уровня, поэтому многие из фундаментальных

теорем (например, об ортогональности собственных функций, принадлежащих различным собственным значениям), уже не применимы для Ур£\ Для атомных псевдопотенциалов в формуле (26) получены различные выражения как в рамках теории Хартри-Фока, так и методом функционала плотности. Наиболее широко используется представление для псевдопотенциала, полученное в рамках БГТ в работе [43] для всех элементов периодической таблицы:

где х = г — К, Р^И) - проектор на подпространство функций с угловым моментом I в точке И и - некоторая функция. Присутствие остов-

ных электронов делает псевдопотенциал более отталкивающим на малых расстояниях, чем обычный кулоновский потенциал иона и приводит к его нелокальности.

Провести самосогласованные расчеты электронной структуры с использованием нелокального псевдопотенциала (26,27) оказывается возможным лишь для отдельных молекул [11] и кластеров, состоящих из нескольких атомов [9]. С целью упрощения вычислительной процедуры на практике часто применяют различные локальные приближения для псевдопотенциала [43] и различные алгоритмы, позволяющие свести нелокальный псевдопотенциал (27) к локальному [44-46].

Однако, при любом выборе атомного псевдопотенциала найти точное решение одночастичного уравнения Шредингера (24) с потенциалом (26) оказывается невозможным. В таких случаях для приближенного решения уравнения (24) используют хорошо известный вариационный принцип Ритца. Волновую функцию электрона ф{ задают в виде линейной комбинации некоторых базисных функций фр:

(27)

I

V

выбирая обычно в качестве фр волновые функции электронных состояний свободных атомов, из которых состоит система (метод ЛКАО). Вариационные параметры С\р определяются путем минимизации полной энергии системы с учетом нормировки для ф{. Нетривиальное решение получаемой в этом случае для С{р системы уравнений

Фр\ЩФЯ > < ФР\Фя >]Сщ = 0 (29)

я

существует в том случае, если

<1е1;| < фр\Щ\фч > -Е{ < фр\фя >| = 0. (30)

Решение секулярного уравнения (30) дает значения энергии Е{ для каждой Решение (29) с Е{ позволяет получить набор коэффициентов С{р, которые определяют вид одноэлектронных волновых функций. По существу, приближенное решение (28) является проекцией точного решения на подпространство базисных функций фр. Если бы система функций фр являлась полной, волновая функция (28) была бы точным решенем уравнения Шредингера. Поэтому важным является удачный выбор базисных функций, которые должны по-возможности лучше описывать искомую волновую функцию ф{. Так, в зонной теории твердого тела для расчета узких энергетических зон с осциллирующими вблизи ядер волновыми функциями более пригоден метод ЛКАО, в то время как валентные зоны с размазанными по кристаллу волновыми функциями лучше описываются приближением почти свободных электронов и методом ОПВ [7].

Практическое использование методов ЛКАО сталкивается с необходимостью вычисления огромного количества различных интегралов, число которых сильно возрастает с увеличением размера системы. Это накладывает жесткие ограничения на размер исследуемых атомных агрегаций. Поэтому при вычислениях ЛКАО-методами часто вводят различные полуэмпирические приближения, позволяющие существенно уменьшить чи-

ело интегралов электронного отталкивания или даже вообще исключить их (метод Хюккеля, метод полного пренебрежения дифференциальным перекрытием, метод частичного пренебрежения дифференциальным перекрытием и др.). Подгоночные эмпирические параметры подбираются, как правило, специально для каждой конкретной задачи. Так как полуэмпирические методы оперируют с произвольными параметрами, полученные результаты не могут претендовать на большую точность, несмотря на порой близкое согласие с экспериментальными данными. Однако, они отностиельно просты, поэтому довольно широко используются при интерпретации экспериментов.

Другие, не менее известные, подходы к исследованию электронной структуры квантово-размерных систем и твердых тел связаны с использованием так называемого muffin-tin приближения (МТ-приближение) для описания потенциала электрон-ионного взаимодействия Vi(г). В рамках МТ-приближения каждый атом окружают МТ-сферой. Радиус МТ-сфер выбирают, как правило, таким образом, чтобы сферы соседних атомов соприкасались. В МТ-приближении потенциал внутри сфер предполагается сферически симметричным, а вне сфер - постоянным. В случае конечной электронной системы ее помещают внутри ограничивающей сферы (сферы Ватсона).

Одним из методов, использующих МТ-приближение, является Ха-ме-тод рассеянных волн (Xa-SW) [47]. В основу метода было положено од-ноэлектронное уравнение Хартри-Фока для г-ой орбитали многоэлектронного атома, в котором обменный интеграл заменялся некоторым локальным статистическим приближением, использующим выражение для газа свободных электронов. Обменный потенциал Ха-метода содержит подгоночный параметр а, выбираемый таким образом, чтобы при разнесении атомов на бесконечность полная энергия атома равнялась энергии, рас-

читанной методом Хартри-Фока. Согласно атомным расчетам а изменяется для разных атомов от 2/3 до 1 [47]. Внутри каждой из атомных сфер используется значение параметра а для соответствующего атома; в области между сферами а обычно определяется усреднением по всем атомам, а вне сферы Ватсона используется значение для внешних атомов системы. Использование МТ-приближения для остовного потенциала определяет вид одноэлектронной волновой функции: сферические гармоники (являющиеся решением уравнения Шредингера внутри МТ-сфер и вне сферы Ватсона) и комбинации рассеянных МТ-сферами волн (описывающие свободное движение электрона с определенным значением углового момента между сферами), сшитые на границах раздела. Уравнение Шредингера решают самосогласованно методом "многократного рассеяния волн". По точности метод XQ;-SW не уступает неэмпирическим методам ЛКАО, а затраты счетного времени меньше на два порядка. Некоторая погрешность в методе появляется вследствие использования МТ-приближения, но, как это следует из проведенных к настоящему времени расчетов, она, вероятно, меньше погрешности, вносимой использованием слишком малых базисных наборов в методах ЛКАО. Возможна коррекция МТ-потенциала, но это значительно увеличивает время расчетов.

Метод Х^-БАУ может быть легко переформулирован для периодических кристаллов, что приводит к уравнениям метода ККР. Другим известным методом расчета зонной структуры, использующим МТ-прибли-жение, является метод присоединенных плоских волн (ППВ). В заключении отметим, что МТ-потенциал для полупроводников с направленными ковалентными связями является менее подходящим приближением, чем для металлов и ионных кристаллов.

1.3.2 Континуальные модели

Во всех рассмотренных ранее методах вычислительные трудности значительно возрастают при увеличении числа атомов в квантово-размерной системе, что приводит к ограничению размера исследуемых данными методами систем. С другой стороны, при обсуждении теории псевдопотенциала было отмечено, что экранирование со стороны остовных электронов заметно уменьшает кулоновский потенциал ионных остовов, что особенно заметно проявляется в случае простых металлов с валентными з- и р-оболочками. Зонная структура таких металлов достаточно хорошо описывается в рамках приближения почти свободных электронов. Поэтому во многих случаях оказывается возможным заменить реальную атомную структуру некоторой модельной системой, которая характеризуется усредненными по объему параметрами. Такими параметрами могут быть, например, потенциал или плотность заряда ионных остовов. Усреднение может проводиться как по всему объему системы, так и в некоторых направлениях (например, по угловым переменным в случае сферических кластеров). В рамках таких моделей (которые могут быть названы континуальными моделями) трехмерное уравнение Шредингера в силу симметрии сводится к одномерному уравнению, точное решение которого легко может быть получено численно. Кроме того, использование континуальных моделей (в отличие от методов, рассмотренных в предыдущем пункте) позволяет без особых усложнений провести самосогласованные расчеты различных динамических характеристик системы и учесть многоэлектронные эффекты. Таким образом, предполагая некоторые допущения относительно учета электрон-ионного взаимодействия, можно достаточно точно исследовать свойства электронной подсистемы.

Наиболее простой из таких моделей является модель, в которой валентные электроны заключены в бесконечно глубокую потенциальную яму.

Данная модель вместе с приближением эффективной массы наиболее часто применяется для исследования различных свойств полупроводниковых структур. В случае нити радиусом Я потенциал имеет вид (используются цилиндрические координаты):

В этом случае волновыми функциями радиального уравнения Шредингера являются функции Бесселя Jm((5nmr/R). Энергетические состояния характеризуются квантовыми числами пт и чередуются также, как корни функций Бесселя (Зпт при возрастании их величины (10,11,12,20,13,21 и т.д.). В рамках RPA с использованием данной модели и приближения эффективной массы проводилось исследование электронной подвижности [1,2] и коллективных возбуждений [48-50] в полупроводниковых нитях. Более реальной представляется, однако, модель, в которой электроны заключены в потенциальную яму конечной глубины. Как следствие конечности потенциала волновые функции электронов плавно спадают на границе ямы и имеют "хвост" в классически запрещенной области.

Более последовательной представляется модель "желе", в которой дискретный заряд ионов решетки "размывается" по всему объему системы и заменяется однородным положительно заряженным фоном с плотностью заряда п+ = 3/(4лт^), где rs - электронный радиус Вигнера-Зейтца. В отличие от модели потенциальной ямы, данная модель позволяет проводить самосогласованные расчеты и приводит к потенциалу, плавдо убывающего на больших расстояниях. Модель "желе" успешно применялась для исследования электронных свойств как полуограниченных металлов [17,51,52], так и конечных металлических кластеров. В первых расчетах [53] потенциала ионизации и энергии электронного сродства металлических кластеров в рамках модели "желе" периодичность полученных характеристик представлялась не имеющей физической природы, а обу-

словленной исключительно специфичностью модели. Чуть позже Экардт

[54] пришел к заключению, что осциллирующая размерная зависимость свойств малых кластеров простых металлов - реальный эффект, а Найт

[55] подтвердил эту идею экспериментально. Одним из главных успехов сферической модели "желе" можно считать объяснение существования так называемых "магических чисел". Оказалось, что наиболее стабильными являются кластеры, которым соответствуют "сферы-желе" с полностью заполненными оболочками [55-59].

Однако для кластеров, которым соответствовали "сферы-желе" с частично заполненными оболочками, между теоретическими и экспериментальными результатами наблюдалось значительное расхождение, что вызвало критику в отношении данной модели. Это побудило Экардта и Пензара при рассмотрении кластеров с незаполненными (в сферической симметрии) оболочками перейти к сфероидальной модели "желе" [60-62], результаты которой значительно лучше совпадали с экспериментальными данными. В работах [60-62] представлены потенциал ионизации, статическая и динамическая поляризуемости сфероидальных кластеров-"желе" натрия. В работе [63] с помощью сфероидальной модели исследовано влияние температуры на фотопоглощение металлических кластеров.

Еще одна проблема возникла при попытке исследовать в рамках модели "желе" энергию связи и поверхностную энергию металлов с очень низкой и очень высокой плотностью валентных электронов. Как отмечалось в работе Лэнга и Кона [17], пренебрежение влиянием ионных остовов на энергию металла приводит к тому, что в модели "желе" стабильным является только металл с г8 « 4.0 а.е. Для металлов с высокой электронной плотностью модель "желе" предсказывает отрицательную поверхностную энергию, а для металлов с низкой электронной плотностью - отрицательный объемный модуль упругости. Небольшие модификации модели, пред-

ложенные в работах [64] (модель "псевдожеле") и [65] ("стабилизированное желе") позволили получить корректные результаты при расчете когези-онных свойств металлических кластеров с любой плотностью электронов. В обоих подходах учет влияния ионных остовов на свойства металла в модели "желе" проводился посредством введения в энергетический функционал добавок, параметры которых определялись путем подгонки энерге-

99

тических характеристик модели желе к свойствам реальных массивных металлов.

Следует отметить, что многие качественные выводы модели "желе", такие как оболочечный характер электронной структуры металлических кластеров, увеличение статической поляризуемости и сдвиг в "красную" область частоты поверхностного плазмона для кластеров по сравнению с классическими значениями, подтверждаются псевдопотенциальными расчетами [9,66,67] и экспериментальными данными. Однако, количественные предсказания модели "желе" оставляют желать лучшего. С целью достижения лучшего согласия расчетов с экспериментом были предложены различные видоизменения модели "желе". Одним из приближений модели "желе" является распределение положительного заряда в виде ступеньки с резким краем. В работе [68] рассматриваются различные возможности размытия резкого края "желе"-сферы, которые позволяют увеличить просачивание электронной плотности за пределы "желе" и тем самым добиться лучшего согласия расчетов с экспериментальными исследованиями. Такое приближение по своей сути является по большей части феноменологическим.

Более обоснованными являются попытки улучшения предсказаний модели "желе" путем учета псевдопотенциала ионных остовов без существенных усложнений расчетов [44-46,69,70]. В модели "желе" предполагается, что положительный заряд фона создает лишь кулоновский потен-

циал, в котором движутся валентные электроны. Если ввести в рассмотрение псевдопотенциал ионных остовов с распределением положительного фона "желе", получается простейшая такая модель, предложенная в [44-46]. Данная модель более правильно предсказывает "магические" числа и просачивание электронов за край сферы-"желе" по сравнению с моделью "желе". Следующая попытка улучшить модель "желе", оставляя ее по-прежнему простой и удобной для вычислений, была предпринята в работах [46,69], в которых было предложено использовать для кластеров сферически-усредненный псевдопотенциал (SAPS - spherically averaged pseudopotential scheme). Псевдопотенциал ионных остовов можно разложить по сферическим гармоникам:

V(r) = £ V(r- Rj = £Е^(г)У,га(г).

а I т

Если в этом разложении ограничиться I — О, получаем модель SAPS. Слагаемые с I ф 0 можно учесть во втором порядке теории возмущений к результатам SAPS-модели. Отметим, что для кластеров в форме элипсои-дов вращения предложена аналогичная модель CAPS (cylindrically averaged pseudopotential scheme) [70]. В этом случае в представлении псевдопотенциала

УР*(г) = ][>ps(r- Ra) =

а т к

ограничиваются аксиальносимметричным слагаемым (га = ОД = 0).

Рассмотренные выше модели не нарушают высокую симметричность системы, а потому оставляют качественные предсказания модели "желе" неизменными, позволяя лишь улучшить количественное согласие с экспериментальными данными. Как мы видели, модель "желе" позволяет для кластеров простых металлов без особых вычислительных трудностей получить основные результаты, наблюдаемые в эксперименте: оболочечную структуру и магические числа, увеличение статической поляризуемости

и сдвиг в сторону низких энергии частоты поверхностного плазмона по сравнению с классическими значениями и т.д. Модель "желе" успешно применялась для исследования свойств тонких пленок [71] и поверхностей [17,51,52,72]. Опираясь на вышеизложенные факты, в данной работе нами предлагается использовать модель "желе" для исследования электронных свойств цилиндрических нитеи простых металлов. В этой модели валентные электроны движутся в поле положительно заряженного фона (используются цилиндрические координаты):

где Я - радиус нити, ось которой выбрана совпадающей с осью -2Г; г8 - ра-

электронов в объемном кристалле. К сожалению, отсутствие экспериментальных данных не позволяет с достаточной степенью точности судить о том, насколько правильно полученные результаты отражают свойства реальных нитей. Однако, в работе проводятся многочисленные сравнения и сопоставления, которые свидетельствуют о согласии наших расчетов с аналогичными результатами для кластеров, пленок, поверхностей, а также с выводами классической электродинамики. Поэтому данную работу можно также рассматривать как исследование, посвященное изучению влияния размерности системы на свойства электронной подсистемы.

г > Я г < Я,

(31)

диус Вигнера-Зейтца и п+(г8) = 3/(47гг^) - средняя плотность валентных

2 Электронные свойства металлических

нитеи

2.1 Формализм расчета электронной структуры

цилиндрических нитеи-" желе"

В случае цилиндрических нитей-" желе" валентные электроны движутся в поле положительного заряда п+(г) (31), обладающего аксиальной симметрией. Поэтому одночастичный гамильтониан коммутирует с операторами вращения М и трансляции Т вдоль оси Z и волновые функции Фз^) уравнений Кона-Шэма (6) могут быть выбраны в виде собственных функций операторов МиГ [8,73]:

Здесь к = 2тгр/1-, р и т - целые числа; I - параметр вдоль оси Z. Физические результаты (энергия Ферми, электронная плотность, одночастичные потенциалы и др.) не должны зависеть от выбора параметра I. Поэтому его можно считать достаточно большим для возможности перехода:

где /(к) - некоторая функция от к. Такой переход от суммирования к интегрированию часто значительно упрощает вычисления.

Таким образом, энергетическое состояние определяется тремя квантовыми числами: п, ш, к. Каждый энергетический уровень епт порождает одномерную параболическую энергетическую зону с квантовыми числами пт (Рис. 1). Отметим, что закон дисперсии е(к) ~ к2 является следствием

'фj(r) = Япт{г)фт^ к(<Р,г),

Фт,к(<Р, = ехр({тер + 1кг)/л/2тг£,

(32)

Рис. 1. Схематическая зонная энергетическая структура аксиально симметричных систем; бптк = епт + к2, где к = 2кр/£ и р - целое число.

модели "желе". Однако, как показывает опыт и независимые вычисления вне рамок модели "желе", безразмерная эффективная масса для простых металлов (и особенно для Ка) действительно близка к единице [91].

При расчете электронной электронной структуры удобно пользоваться системой единиц, в которой Ь, = 2т = 1,е2 = 2. Функция Ипш(г) удовлетворяет радиальному уравнению Кона-Шэма (10):

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Смогунов, Александр Николаевич

Основные результаты и выводы, полученные в диссертации:

1. В рамках теории функционала плотности и модели "желе" разработана эффективная методика расчета электронной структуры и оптических свойств цилиндрических нитей-"желе".

2. Получены немонотонные зависимости различных величин (потенциала ионизации /Р, ширины заполненной энергетической области АЕ, статической поляризуемости а и др.) от радиуса нити, являющиеся следствием зонного характера энергетического спектра.

3. Обнаружено, что при одинаковых значениях Я/Хр для нитей разных металлов заполнено одинаковое количество зон. Следствием этого являются схожие размерные зависимости различных характеристик, построенных в масштабе Я/Хр.

4. В случае одномерной системы (нити) /Р стремится снизу к работе выхода объемного кристалла, в отличие от нульмерных кластеров и двумерных пленок.

5. Статическая поляризуемость а больше классического значения Я2/2, что является следствием увеличения эффективного радиуса нити за счет просачивания электронов через поверхность "желе". Отличие от классического результата усиливается с увеличением плотности валентных электронов.

6. Поверхностный плазменный резонанс лежит в области непрерывного спектра и сдвинут в сторону низких энергий по сравнению с результатами классической электродинамики. Наложение поверхностного плазмона на одночастичные возбуждения приводит к его размытию и затрудняет идентификацию.

7. При уменьшении межэлектронного взаимодействия поверхностный плазменный резонанс смещается в сторону низких энергий, не накладывается на одночастичные возбуждения и хорошо идентифицируется. Обнаружено, что вблизи поверхностного плазмона максимум индуцированной электронной плотности приходится на поверхность нити, а плотность тока осциллирует в фазе с внешним электрическим полем, что характерно для поверхностного плазменного резонанса.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Смогунов, Александр Николаевич, 1999 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Tanatar В., Gold A. Correlation effects in the impurity-limited mobility of quantum wires// Phys. Rev. В.- 1995.- v. 52, N 3,- p. 1996-2000

2. Gold A., Ghazali A. Analytical results for semiconductor quantum-well wire: Plasmons, shallow impurity states, and mobility// Phys. Rev. В.- 1990.- v. 41, N 11.- p. 7626-7640

3. Bastard G. Hydrogenic impurity states in a quantum well: A simple model // Phys. Rev. В.- 1981.- v. 24, N 8.-p. 4714-4722

4. Bryant Garnett W. Hydrogenic impurity states in quantum-well wires// Phys. Rev. В.- 1984.- v. 29, N 12.- p. 6632-6638

5. Torres J.A., Saenz J.J. Conductance and mechanical properties of atomic-size metallic contacts: A simple model// Phys. Rev. Lett.- 1996.- v. 77, N 11.- p. 2245-2248

6. Landman U., Barnett R.N., Luedtke W.D. Nanowires: size evolution, reversibility, and one-atom contacts// Z. Phys. D.- 1997.- v. 40.- p. 282-287

7. Цидильковский И.М. Электроны и дырки в полупроводниках. Энергетический спектр и динамика - М.: Наука, 1972.- 640 с.

8. Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике - М.: Мир, 1983., т. 1,2

9. Martins J.L., Buttet J. Electronic and structural properties of sodium clusters//Phys. Rev. В.- 1985.-v. 31, N 4.-p. 1804-1816

10. Car R., Parrinello M. Unified approach for molecular dynamics and density-functional theory// Phys. Rev. Lett.- 1985.- v. 55, N 22.- p. 2471-2474

11. Barnett R.N. Born-Oppenheimer molecular-dynamics simulations of finite systems: Structure and dynamics of (H20)2// Phys. Rev. В.- 1993.- v. 48, N 4.-p. 2081-2097

12. Hohenberg P., Kohn W. Ingomogeneous electron gas// Phys. Rev. B.-

1964.- v. 136, N 3.- p. 864-871

13. Levy M., Perdew J.P., Sahni V. Exact differential equation for the density and ionization energy of a many-particle system// Phys. Rev. A.- 1984.- v. 30, N 5.- p. 2745-2748

14. Engel E., Dreizier R.M. Extension of the Thomas-Fermi-Dirac-Weizsäcker model: fourth-order gradient corrections to the kinetic energy// J. Phys. B.- 1989.- v. 22.- p. 1901-1912

15. Kohn W., Sham L.J. Self-consistent equations including exchange and correlation effects// Phys. Rev. A.- 1965.- v. 140, N 4.- p. 1133-1137

16. Vosko S.H., Wilk L., Nusair M. Accurate spin-dependent electron liquid correlation energies for local spin-density calculation: a critical analysis// Can. J. Phys.- 1980.- v. 58., N 8 - p. 1200-1211

17. Gunnarsson O., Lundqvist B.I. Exchange and correlation in atoms, molecules, and solids by the spin-density-functiönal formalism// Phys. Rev. B.- 1976.-v. 13, N 10.- p. 4274-4298

18. Lang N.D., Kohn W. Theory of metal surfaces: Charge density and surface energy//

19. von Barth U., Hedin L. A local exchange-correlation potential for the spin-polarized case// J. Phys. C.- 1972.- v. 5, N 13.- p. 1629-1642

20. Rajagopal A.K., Callaway J. Ingomogeneous electron gas// Phys. Rev. B.-1973.- v. 7, N 5.- p. 1912-1919

21. Vignale G., Rasolt M. Density-functional theory in strong magnetic fields// Phys. Rev. Lett.- 1987.-v. 59, N 20.-p. 2360-2363

22. Capelle K., Gross E.K.U. Spin-density functionals from current-density functional theory and vice versa: A road towards new approximations// Phys. Rev. Lett.- 1997.- v. 78, N 10.- p. 1872-1875

23. Теория неоднородного электронного газа/ под ред. Марча Н. и Лунд-квиста С. - М.: Мир, 1987.- 400 с.

24. Ullrich С.А., Gossmann U.J., Gross E.K.U. Time-dependent optimized effective potential// Phys. Rev. Lett.- 1995.- v. 74, N 6.- p. 872-875

25. van Leeuwen R. The Sham-Schliiter equation in time-dependent density-functional theory// Phys. Rev. Lett.- 1996.- v. 76, N 19.- p. 3610-3613

26. Peuckert V. A new approximation method for electron systems// J. Phys. C.- 1978.- v. 11, N 24.- p. 4945-4956

27. Stott M.J., Zaremba E. Linear-response theory within the density-functional formalism: Application to atomic polarizabilities// Phys. Rev. A.- 1980.-v. 21, N 21.- p. 12-13

28. Runge E., Gross E.K.U. Density-functional theory for time-dependent systems// Phys. Rev. Lett.- 1984.- v. 52, N 12.- p. 997-1000

29. Gross E.K.U., Kohn W. Local density-functional theory of frequency-dependent linear response// Phys. Rev. Lett.- 1985.- v. 55, N 26. - p. 2850-2852

30. Зубарев Д.Н. Неравновесная статистическая термодинамика.- М.: Наука, 1971.- 415 с.

31. Zangwill A., Soven P. Density-functional approach to local-field effects in finite systems: Photoabsorption in the rare gases// Phys. Rev. A.- 1980.-v. 21, N 5.- p. 1561-1571

32. Rajagopal A.K. Linear-response functions in spin-density-functional theory Phys. Rev. В.- 1978.- v. 17, N 7.- p. 2980-2988

33. Амусья М.Я. Атомный фотоэффект.- M.: Наука, 1987.- 272 с.

34. Zangwill A., Soven P. Resonant photoemission in barium and cerium// Phys. Rev. Lett.- 1980.- v. 45, N 3.- p. 204-207

35. Choe A.S., Yoo В., Lee J. Calculation of photoionization cross sections for

the potassium and the bromine atoms by using time-dependent local spin-density approximation// J. Phys. В.- 1993.- v. 26, N 22.- p. 4099-4107

36. Stampfli P., Bennemann K.H. Theory for the polarizability of spherical matallic clusters// Phys. Rev. В.- 1989.- v. 39, N 3.- p. 1007-1011

37. Rubio A., Balbas L.C., Serra LI., Barranco M. Static dipole polarizability of alkali-metal clusters: Electronic exchange and correlation effects// Phys. Rev. В.- 1990.- v. 42, N 17.- p. 10950-10964

38. Saito S., Bertsch G.F., Tomanek D. Collective electronic excitations in small metal clusters// Phys. Rev. В.- 1991.- v. 43, N 8.- p. 6804-6807

39. Rubio A., Balbas L.C., Alonso J.A. Influence of nonlocal exchange-correlation effects on the response properties of simple metal clusters// Phys. Rev. B.-1992.- v. 46, N 8.- p. 4891-4898

40. Pacheco J.N., Ekardt W. A new formulation of the dynamical response of many-electron systems and the photoabsorption cross section of small metal clusters// Z. Rev. D.- 1992.- v. 24, N 1.- p. 65-69

41. Харрисон У. Псевдопотенциалы в теории металлов - М.: Мир, 1968.366 с.

42. Хейне В., Коэн М., Уэр Д. Теория псевдопотенциала- М.: Мир, 1973.557 с.

43. Bachelet G.B., Hamann D.R., Schlüter М. Pseudopotentials that work: From H to Pu// Phys. Rev. В.- 1982.- v. 26, N 8.- p. 4199-4228

44. Lerme J., Pellarin M., Baguenard В., Bordas C., Cottancin E., Palpant В., Vialle J.L., Broyer M. Influence of the ion-pseudepotential on the electronic shell structure and the dipole strength distribution in metal clusters// Z. Phys. D.- 1997.- v. 40.- p. 298-305

45. Lerme J., Pellarin M., Baguenard В., Bordas C., Vialle J.L., Broyer M.

Influence of ion-pseudepotential on the electronic shell structure of metal clusters// Phys. Rev. В.- 1994.- v. 50, N 8.- p. 5558-5577

46. Lerme J., Pellarin M., Vialle J.L., Broyer M. Effects of nonlocal ion pseude-potential on the electronic shell structure of metal clusters// Phys. Rev. В.- 1995,- v. 52, N 4.- p. 2868-2877

47. Слэтер Дж. Методы самосогласованного поля для молекул и твердых тел. - М.: Мир, 1978.- 662 с.

48. Wendler L., Grigoryan V.G. Optical and acoustic plasmons in cylindrical quantum-well wires// Phys. Rev. В.- 1994.- v. 49, N 20.- p. 14531-14541

49. Chen H., Zhu Y., Zhou Sh. Collective modes of a quasi-two-dimensional electron gas in a cylindrical quantum well// Phys. Rev. В.- 1987.- v. 36, N 15.- p. 8189-8191

50. Zhu Y., Huang F., Xiong X., Zhou Sh. Self-consistent energy-functional perturbation theory for an electron gas in a cylindrical quantum well// Phys. Rev. В.- 1988.- v. 37, N 15.- p. 8992-8999

51. Lang N.D., Kohn W. Theory of metal surfaces: Work function// Phys. Rev. В.- 1971.- v. 3, N 4.- p. 1215-1223

52. Lang N.D., Kohn W. Theory of metal surfaces: Induced surface charge and image potential// Phys. Rev. В.- 1973.- v. 7, N 8.- p. 3541-3550

53. Martins J.L., Car R., Buttet J. Variational spherical model of small metallic particles// Surf. Sci.- 1981.- v. 106, N 1.- p. 265-271

54. Ekardt W. Work function of small metal particles: Self-consistent spherical jellium-background model//Phys. Rev. В.- 1984.-v. 29, N 4.-p. 1558-1564

55. Knight W.D., Clemenger K., de Heer W.A., Saunders W., Chou M.Y., Cohen M.L. Electronic shell structure and abundances of sodium clusters// Phys. Rev. Lett.- 1984.- v. 52, N 24.- p. 2141-2143

56. Knight W.D., Clemenger K., de Heer W.A., Saunders W. Electronic shell structure in potassium clusters// Solid State Commun.- 1985.- v. 53, N 5.-p. 445-446

57. Chou M.Y., Cleland A., Cohen M.L. Total energies, abundances, and electronic shell structure of lithium, sodium, and potassium clusters// Solid State Commun.- 1984.- v. 52, N 7.- p. 645-648

58. Baladron C., Iniguez M.P., Alonso J.A. Cohesive energy of small metallic particles// Solid State Commun.- 1984.- v. 50, N 6.- p. 549-552

59. Kappes M.M., Schar M., Radi P., Schumacher E. On the manifestation of electronic structure effects in metal clusters// J. Chem. Phys.- 1986.- v. 84, N 3.- p. 1863-1875

60. Ekardt W., Penzar Z. Self-consistent Sommerfeld droplet as a simple model for an accurate prediction of the electronic properties of small metal particles// Phys. Rev. B.- 1988.- v. 38, N 6.- p. 4273-4278

61. Penzar Z., Ekardt W. Electronic shell structure of metal clusters: The self-consistent spheroidal jellium model. Recent results and further developments// Z. Phys. D.- 1990.- v. 17, N 1.- p. 69-72

62. Ekardt W., Penzar Z. Collective excitations in open-shell metal clusters: The time-dependent local-density approximation applied to the self-consistent spheroidal jellium particle//Phys. Rev. B.- 1991.-v. 43, N 2.-p. 1322-1330

63. Penzar Z., Ekardt W., Rubio A. Temperature effects on the optical absorption of jellium clusters// Phys. Rev. B.- 1990.- v. 42, N 8.- p. 5040-5045

64. Utreras-Diaz C.A., Shore H.B. Pseudojellium model for metal clusters// Phys. Rev. B.- 1989.- v. 40, N 15.- p. 10345-10350

65. Perdew J.P., Tran H.Q., Smith E.D. Stabilized jellium: Structureless pseudopotential model for the cohesive and surface properties of metals// Phys.

Rev. В.- 1990.- v. 42, N 18.- p. 11627-11636

66. Manninen M. Structures of small alkali-metal clusters// Phys. Rev. B.-1986.- v. 34, N 10.- p. 6886-6894

67. Cogordan J.A., Virkkunen R., Manninen M. Interplay between the geometry and the electronic shell model in small metal clusters// Physica Scripta.-1988.- v. 38.- p. 758-761

68. Lerme J., Bordas Ch., Pellarin M., Baguenard В., Vialle J.L., Broyer M. Influence of surface softness on supershell structure of metal clusters: Application to gallium// Phys. Rev. В.- 1993.- v. 48, N 16.- p. 12110-12122

69. Iniguez M.P., Lopez M.J., Alonso J.A., Soler J.M. Electronic and atomic structure of Na, Mg, A1 and Pb clusters// Z. Phys. D.- 1989.- v. 11, N 2.-p. 163-174

70. Montag В., Reinhard P.-G. Small metal clusters in a cylindrically averaged pseudopotential scheme// Phys. Lett. A.- 1994.- v. 193.- p. 380-386

71. Schulte F.K. A theory of thin metal films: Electron density, potentials and work function// Surf. Sci.- 1976.- v. 55.- p. 427-444

72. Makov G., Nitzan A. Electronic properties of finite metallic systems// Phys. Rev. В.- 1993.- v. 47, N 4.- p. 2301-2307

73. Петрашень М.И., Трифонов Е.Д. Применение теории групп в квантовой механике - М.: Наука, 1967.- 308 с.

74. Puska М. J., Nieminen R.M., Manninen М. Electronic polarizability of small metal spheres// Phys. Rev. В.- 1985.- v. 31, N 6.- p. 3486-3495

75. Serra LI., Rubio A. Collective excitations of embedded potassium clusters// Z. Phys. D.- 1993.- v. 26.- p. sl22-124

76. Герман M.M., Купершмидт В.Я., Фарберович О.В. Электронная структура и статическая поляризуемость малых металлических кластеров в

диэлектрической матрице// Поверхность. Физика, химия, механика.-1989.- N 7.- с. 45-50

77. Lerme J., Palpant В., Prevel В., Pellarin М., Treilleux J.L., Vialle J.L., Perez A., Broyer M. Quenching of the size effects in free and matrix-embedded silver clusters// Phys. Rev. Lett.- 1998.- v. 80, N 23.- p. 5105-5108

78. Lushnikov A.A., Simonov A.J. Surface plasmons in small metal particles//Z. Phys.- 1974.- v. 270, N 1.- p. 17-24

79. Kurkina L.I., Farberovich O.V. Static polarizability of small simple metal clusters in dielectric media// Z. Phys. D.- 1996.- v. 37, N 4.- p. 359-364

80. Kurkina L.I., Farberovich O.V. Dynamic polarizability of small simple metal clusters in dielectric media// Phys. Rev. В.- 1996.- v. 54, N 20.- p. 1479114795

81. Давыдов А.С. Квантовая механика - M.: Наука, 1973.- 702 с.

82. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами/ под ред. Абрамовича М. и Стигана И. -М.: Наука, 1979.- 800 с.

83. Хартри Д. Расчеты атомных структур - М.: Изд. ин. лит., I960.- 270 с.

84. Beck D.E. Self-consistent calculation of the electronic structure of small jellium spheres// Solid State Commun.- 1984.- v. 49, N 4.- p. 381-385

85. Almbladh C.O., von Barth U. The spherical-solid model: An application to X-ray edges in Li, Na, and A1 Phys. Rev. В.- 1976.- v. 13, N 8.- p. 3307-3319

86. Janak J. Proof that дЕ/дп{ = in density-functional theory// Phys. Rev. В.- 1978.- v. 18, N 12.- p. 7165-7168

87. Perdew J.P., Parr R.G., Levy M., Balduz J.L. Density-functional theory for fractional particle number: Derivative discontinuities of the energy// Phys.

Rev. Lett.- 1982.- v. 49., N 23.- p. 1691-1694

88. Michaelson H.B. The work function of the elements and its periodicity// J. Appl. Phys.- 1977.- v. 48., N 11 - p. 4729-4733

89. Hintermann A., Manninenn M. Feasibility of cluster calculations in describing impurities in simple metals// Phys. Rev. В.- 1983.- v. 27, N 12.- p. 7262-7270

90. Герман M.M., Купершмидт В.Я., Куркнна Л.И., Фарберович О.В. Изменение оптических характеристик натрия при переходе от малых металлических частиц к кристаллу// ФТТ.-1990.- т. 32, N 4.- с. 1220-1222

91. Немошкаленко В.В., Алешин В.Г. Теоретические основы рентгеновской эмиссионной спектроскопии - Киев: Наук. Думка, 1974.- 376 с.

92. Smogunov A.N., Kurkina L.I., Kurganskii S.I., Farberovich O.V. Electronic structure of simple metal whiskers// Surface Science - 1997.- v. 391.- p. 245-251

93. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля - М.: Наука, 1988.- 512 с.

94. Базь А.И., Зельдович Я.Б., Переломов A.M. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике - М.: Наука, 1971.- 540 с.

95. Бабиков В.В. Метод фазовых функций в квантовой механике - М.: Наука, 1988.- 256 с.

96. Грей Э., Мэтьюз Г.Б. Функции Бесселя и их приложения к физике и механике - М.: Изд. ин. лит., 1953.- 370 с.

97. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры - М.: Изд. физ.-мат. лит., I960.- 620 с.

98. Загускин В.Л.- Справочник по численным методам решения алгебраических и трансцендентных уравнений - М.: Изд. физ.-мат. лит., 1960.216 с.

99. Snider D.R., Sorbello R.S. Density-functional calculation of the static electronic polarizability of a small metal sphere// Phys. Rev. В.- 1983.- v. 28, N10.-p. 5702-5709

100. Ekardt W. Size-dependent photoabsorption and photoemission of small metal particles// Phys. Rev. В.- 1985.- v. 31, N 10.- p. 6360-6370

101. Knight W.D., Clemenger K., de Heer W.A., Saunders W.A. Polarizability of alkali clusters// Phys. Rev. В.- 1985.- v. 31, N 4.- p. 2539-2540

102. Beck D.E. Self-consistent calculation of the polarizability of small jellium spheres// Phys. Rev. В.- 1984.- v. 30, N 12.- p. 6935-6942

103. Rice M.J., Schneider W.R., Strassler S. Electronic polarizabilities of very small metal particles and thin films// Phys. Rev. В.- 1973.- v. 8, N 2.- p. 474-482

104. Dasgupta B.B., Fuchs R. Polarizability of small sphere including nonlocal effects// Phys. Rev. В.- 1981.- v. 24, N 2.- p. 554- 561

105. Петров Ю.И. Физика малых частиц - М.: Наука, 1982.- 359 с.

106. Selby К., Kresin V., Masui J., Vollmer M. Photoabsorption spectra of sodium clusters// Phys. Rev. В.- 1991.- v. 43, N 6.- p. 4565-4572

107. Selby K., Vollmer M., Masui J., Kresin V., de Heer W.A., Knight W.D. Surface plasma resonances in free metal clusters// Phys. Rev. В.- 1989.- v. 40, N 8.- p. 5417-5427

108. Ekardt W. Dynamic polarizability of small metal particles: Self-consistent spherical jellium background model// Phys. Rev. Lett.- 1984.- v. 52, N 21.-p. 1925-1928

109. Dellafiore A., Matera F. Electric polarizability of small metal particles// Phys. Rev. В.- 1990.- v. 41, N 6.- p. 3488-3493

110. Wood D.M., Ashcroft N.W. Quantum size effects in the optical properties of

small metallic particles// Phys. Rev. В.- 1982.- v. 25, N 10.- p. 6255-6274

111. Kresin V. Static electric polarizabilities and collective resonance frequencies of small metal clusters// Phys. Rev. В.- 1989.- v. 39, N 5.- p. 3042-3046

112. von Felde A., Fink J., Ekardt W. Quantum size effects in excitations of potassium clusters// Phys. Rev. Lett.- 1988.- v. 61, N 19.- p. 2249-2252

113. Достижения электронной теории металлов/ под ред. Цише П., Леманн Г. и др. в 2-х т.- М.: Мир, 1984

114. Beck D.E. Self-consistent calculation of the eigenfrequencies for the electronic excitations in small jellium spheres// Phys. Rev. В.- 1987.- v. 35, N 14,- p. 7325-7333

115. Beck D.E. Self-consistent calculation of the collective excitations in neutral and charged jellium microspheres// Phys. Rev. В.- 1991.- v. 43, N 9.- p. 7301-7304

116. Smogunov A.N., Kurkina L.I., Kurganskii S.I., Farberovich O.V. Density-functional calculations of static and dynamic polarizabilities of thready cylindrical crystals// Surface Science.- 1999.- v. 421.- p. 237-245

117. Смогунов A.H. Теоретические основы и математическая модель для расчета свойств малых металлических образований// Сб. науч. трудов "Математическое моделирование, компьютерная оптимизация технологий, параметров оборудования и систем управления": Воронеж.-1998.- с. 132-135

118. Смогунов А.Н., Куркина Л.И., Курганский С.И., Фарберович О.В. Расчет электронной структуры и фотопоглощения аксиальносимметрич-ных систем// ВГУ.- Воронеж.- 1998.- 16 е.- Деп. в ВИНИТИ 24.11.98.-N 3433-В98

119. Smogunov A.N., Kurkina L.I., Kurganskii S.I., Farberovich O.V. Self-consis-

tent calculations of the photoabsorption cross section of thready cylindrical crystals// Book of abstracts of 14th International Vacuum Congress/ 10th International Conference on Solid Surfaces/ 5th International Conference on Nanometer-scale Science and Technology, Birmingham.- 1998.- p. 260

120. Smogunov A.N., Kurkina L.I., Kurganskii S.I., Farberovich O.V. Static and dynamic polarizabilities of alkali metal wires// Book of abstracts of 9th International Symposium on Small particles and Inorganic clusters, Lausanne.- 1998.- p. 2.28

121. Смогунов A.H., Куркина JI.И., Курганский С.И., Фарберович О.В. Поляризуемость металлических нитей квантово-размерных поперечных сечений// Тезисы докладов Всероссийской конференции "Микроэлектроника и информатика - 98", Москва.- 1998.- ч. 1.- с. 71