Моделирование нелинейных волновых процессов в деформируемых средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Штейнберг, Евгений Ильич

• Штейнберг, Евгений Ильич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование нелинейных волновых процессов в деформируемых средах»

Нелинейная динамика деформируемых систем является одним из бурно развивающихся направлений современной математической физики. Значительные успехи, достигнутые на рубеже 70-х годов прошлого века в области аналитических методов решения нелинейных УЧП, позволили эффективно использовать нелинейные теории механики деформируемых тел, которые выявляют и адекватно описывают явления, невозможные в рамках линейного анализа.

Основным эффектом, породившим целое направление современной науки, стал эффект существования устойчивых стационарных импульсов - "солитонов" в нелинейных средах с дисперсией, первые опыты научного наблюдения которых в виде волн на воде восходят еще к середине 19 века. Численные эксперименты, связанные с исследованием солитонов привели Крускала, Забусского и Миуру к созданию нового метода математической физики - Метода Обратной Задачи Рассеяния и теории солитонов. Будучи решениями нелинейных уравнений и обладая при этом свойствами частиц, солитоны являются воплощением корпускулярно-волнового дуализма.

В настоящее время солитоны обнаружены в средах самой различной природы - от плазмы до деформируемых твердых тел. Экспериментальные подтверждения существования уединенных волн в стержнях даны в работах Дрейдена Г.В., Островского Ю.И., Самсонова A.M., Семеновой И.В., Сокуринской Е.В. (1988) Эксперименты по генерации уединенных волн в пластинах успешно проводились Порубовым A.B., Самсоновым А.М, Семеновой A.M., Дрейденом Г.В. (1996) Первое экспериментальное наблюдение солитона огибающей изгибной волны в тонкой металлической цилиндрической оболочке описано в работе Рудника И., By Дж. И., Питермана С. (1987)

Постоянный рост мощности и производительности современной компьютерной техники является значительным подспорьем на пути преодоления трудностей, связанных с применением нелинейных теорий. Даже нелинейные математические модели, приводящие к интегрируемым уравнениям, зачастую оказываются идеализированными. Усовершенствованные модели, учитывающие необходимые в технике реальные факторы, часто приводят к неинтегрируемым уравнениям, аналитическое исследование которых затруднено. В этой ситуации численное моделирование позволяет убедиться в существовании решения и нащупать пути для построения аналитического метода. Аналитическое и численное решение, верифицируя друг друга,позволяют обеспечить корректность решения поставленной задачи.

История вопроса

Впервые термин "солитон" появился благодаря вычислительному эксперименту, проведенному Ферми, Паста и Уламом в 1953 году, которые сформулировали приводящую к этому понятию проблему. В результате численного эксперимента по динамике нелинейных волн уравнения Кортевега де Вриза Забуски определил солитоны как уединенные волны, выходящие из взаимодействия, не изменяя своей формы и скорости. Несколько ранее Перрингом и Скирме были обнаружены аналогичные эффекты для уравнения синус-Гордона. Аналитически двухсолитонные решения были найдены десятью годами ранее Зеегером и др. В 1971 г. были обнаружены солитоны уравнения Шредингера с кубической нелинейностью (Яджима и Оути).

В результате этих пионерских численных исследований последовал целый каскад важнейших открытий в области нелинейной динамики. Были разработаны Метод Обратной Задачи Рассеяния (МОЗР), метод Хироты и преобразования Бэклунда. В результате этих успехов возникло представление, что большинство, если не все, ла-гранжевы системы являются вполне интегрируемыми. Однако, эти надежды были развенчаны в 1974 г., когда в Дубне было обнаружено неупругое взаимодействие ленг-мюровских солитонов в плазме, солитонов модифицированных вариантов уравнений Буссинеска, КдВ, Хиггинса и Клейна-Гордона. Оказалось что "малого" изменения уравнения оказывается достаточно, чтобы оно стало неинтегрируемым. В связи с этим возникло понятие "почти интегрируемых" уравнений, для которых своеобразным нулевым приближением могут служить интегрируемые модели. В случае, если такое отклонение возможно выделить в правой части уравнения, с помощью метода последовательных приближений зачастую можно получить решения. Однако, даже в этом случае возможно получить решения, принципиально отличающиеся от соответствующих решений интегрируемых моделей.

В настоящее время численный эксперимент является весьма мощным орудием исследования вопроса интегрируемости систем. В частности, упругое взаимодействие солитонов является важной предпосылкой для положительного ответа на этот вопрос, в то время как обнаружение неупругости обрекает все попытки обнаружить следствия интегрируемости, такие как многосолитонные решения, на неудачу. Однако, представления о "почти интегрируемых" системах помогли обнаружить пульсирующие солитоны - "бионы" в рамках уравнений Клейна-Гордона, Хиггса и синус-Гордона.

Трансформация физической системы, описывающей взаимодействие ленгмю-ровских и ионно-звуковых волн в плазме, от "сильно неинтегрируемой" (при малых скоростях солитоны могут сливаться) вплоть до вполне интегрируемой была впервые прослежена на компьютере.

В результате значительных усилий, приложенных в этой области, одномерные солитоны сейчас относительно хорошо изучены. Обнаружены солитоны с весьма экзотическими свойствами: возвращающиеся "бумероны" (Калоджеро и Дегасперис), расщепляющиеся солитоны (Захаров и Михайлов)

Одним из первых уравнений решения которых были исследованы численно и проявили солитонное поведение, было уравнение КдВ, которое в общей форме выглядит следующим образом: ut + их + auvux + иххх = 0. (1)

При v = 1, 2 это уравнение вполне интегрируемо и его солитоны взаимодействуют упруго. При v = 3 уравнение теряет это свойство и становится "почти интегрируемым". [1] Легко можно получить солитоноподобные решения (1) и = | A seek ( —7= ^ =(х — vt — ж0) ] ] , (2)

V 2 д/(г/ + l)(i/ + 2) V/

2аА2 v =--Н1. и + \){v + 2)

Уравнение (1) описывает очень широкий спектр физических явлений - от волн на воде до волн в плазме и упругих волн в твердых телах. Во многом ему подобно уравнение Буссинеска (1872 г) д2-д2х-%)и-дхи2 = 0. (3)

Действительно, после однократного интегрирования и замены переменных оно приводится к виду: dt + дх + д2х)и + дхи2 = const. (4)

Это уравнение при рассмотрении решений с ограниченной энергией совпадает с КдВ поскольку в этом случае const = 0. Уравнение (3) является интегрируемым [2] и для него были получены Хиротой многосолитонные формулы [3].

Также важно упомянуть нелинейное уравнение Шредингера iut + ихх + р\и\"и = 0. (5) солитоноподобные решения которого имеют вид, аналогичный солитонам КдВ: ti = Л0 ехр {г [(^ + JjL^45)* + £(*-*) 0О] } seek2/"

• (6)

При и = 2 уравнение (5) является вполне интегрируемым [4], а его уединенные волны огибающей - истинными солитонами. При других значениях и решения уравнения Шредингера уже квазисолитоны.

В нелинейной оптике часто возникает уравнение, кратное синус-Гордон: т . тп

Пи = У-5т-и, П = д2-д2х. (7) пп г X \ /

171=1

Солитоноподобные решения этого уравнения численно подробно исследованы в [5], а при п = 2 в [6] и [7]

Еще одно уравнение, часто встречающееся в литературе щ + их + и"их - иХХ1 = 0. (8)

При и = 1 это уравнение было предложено Перегрином [8] для описания приливных волн. Оно обладает солитонным решением и = весЛ (^д [{и + 1)(1/ + 2) + 2А2] ~1/2 (х-Ы- х0)) | ' , (9) 2 А2

V = 1 Ч--. (и + 1)(и + 2)

Уравнение Бенджамина - Оно [9,10] используется для описания внутренних волн в слоистых жидкостях где Н - оператор Гильберта

В [11] дано его решение: щ + 6иих + Нихх = 0. (10) Я и = 2/3--г.-гг. (12)

Вначале исследования, вдохновленные машинными экспериментами по проблеме Ферми-Паста-Уламы, вращались вокруг динамики формирования и взаимодействия солитонов вполне интегрируемых систем. Первые результаты полученные при исследовании этих систем показывали, что взаимодействие солитонов в этих системах приводит лишь к сдвигу положения и фазы, оставляя форму и скорость волн неизменной. Именно из-за этого свойства многие исследователи ассоциировали солитоны с частицами. Так продолжалось до тех пор, пока в 1976 году не были открыты возвращающиеся солитоны - "бумероны" и солитоны, осциллирующие вокруг некоторого положения - "траппоны". [12]. Наконец, в 1978 году появилась работа, которая демонстрировала распад и взаимопревращения солитонов интегрируемых моделей [13]. Эта работа показывала, что первоначальное определение солитона оказывалось слишком узким даже для интегрируемых систем.

В 1978 году Дж.Эйлбек отметил, что в области численного моделирования уравнений в частных производных вообще, и исследовании солитонов в частности, численный анализ является в той же мере искусством что и наукой. В этом смысле за истекшие десятилетия мало что изменилось. Вопрос о "наилучшем" численном методе для каждого нового уравнения является самым спорным. В середине 80-х годов традиционно применяющиеся разностные методы начали отходить на второй план, уступая место спектральным методам с использованием недавно открытого в то время Быстрого Преобразования Фурье (БПФ) [14]. Эти методы были с успехом использованы в [15,16].

С точки зрения численного эксперимента динамика формирования солитонов как для интегрируемых, так и для близких к ним уравнений практически одинакова. В зависимости от энергии первоначального импульса образуются один, два и т.д. солитонов и осцилляторный хвост. Именно это свойство ввело исследователей в заблуждение, и была потрачена масса усилий на то чтобы показать что все эти уравнения интегрируемые. Распад начального условия на солитоны вообще говоря является характерной особенностью квазиинтегрируемых систем.

Однако, когда исследование доходит до взаимодействия солитонов, картина качественно меняется. Солитоны КдВ и модифицированного КдВ являются истинными в том смысле что претерпевают лишь фазовый сдвиг при столкновении [17], в то время как солитоны остальных КдВ-подобных уравнений взаимодействуют неупруго [16,18]. При этом степень неупругости обычно мала, но растет с увеличением и и при V = 4 становится явной. Это хорошо прослеживается на примере уравнения 1ШУ: щ + их + иих — иххг = 0. (13)

Разностные схемы для него были исследованы Эйлбеком и Макгиром [19], а также X. Абдуллоевым, И. Боголюбским и В. Маханьковым в [18]. В этих работах было обнаружено слабое, на уровне долей процента "дыхание", солитонов. Была разработана изощренная вычитательная процедура которая позволила выявить эффект неупругого взаимодействия солитонов.

Аналогичные результаты были получены в процессе численного исследования улучшенного уравнения Буссинеска (IBq). [19]. Несмотря на внешнюю схожесть уравнений ШАУ и IBq поведение их солитонов при взаимодействии существенно различно. Это связано с тем, что солитоны ШЛ¥ догоняют один другой, а солитоны IBq могут испытывать встречные соударения. Последний тип столкновений приводит к большей неупругости соударения.

Более того, в результате численной работы с квазисолитонами КдВ-подобных уравнений было установлено, что неупругость взаимодействия увеличивается с ростом их амплитуды и степени нелинейности. Бона, Причард и Скотт разработали весьма совершенный вычислительный алгоритм [20], который позволил им детально изучить взаимодействие солитонов ШЖ.

Численные исследования нелинейного уравнения Шредингера впервые были проведены Яджимой и Оутой [21] в 1971г. Они обнаружили упругое взаимодействие солитонов огибающей уравнения Шредингера с кубической нелинейностью. Объяснение этого факта было дано Захаровым и Шабатом [4] которые показали интегрируемость этой системы.

Наиболее полно нелинейное уравнение Шредингера было исследовано (в том числе численно) в применении к описанию ленгмюровских волн в плазме. В [15] проведен подробный анализ солитонных явлений в применении к теории плазмы. Проведены сравнения результатов при различных параметрах плазмы, амплитуды и скорости солитонов. Детали сравнения различных кодов вычисления можно найти например в [22]. Также большой объем вычислительных исследований ленгмюров-ской турбулентности в плазме при наличии поля накачки или электромагнитного поля была проделана калифорнийскими группами [23].

Французская группа, исследовавшая взаимодействие квазисолитонов в рамках возмущенных вариантов уравнения КдВ-Бюргерса

В этом случае, как и следовало ожидать, отклонение от интегрируемости заключается в появлении осциллирующих хвостов в процессе эволюции квазисолитона и при их взаимодействии [24].

Большая вычислительная работа была проделана в Манчестере для исследования кратных БО-уравнений. В частности, уравнение БЭС: было изучено в [5,25] Авторам удалось показать что система весьма близка к интегрируемой. При определенных условиях начальные импульсы распадаются на цуг солитонов, взаимодействие которых практически упруго при достаточно больших скоростях. При малых скоростях неупругость становится существенной а при очень малых образуется связанное состояние кинк-антикинк. щ + 6 иих + иххх = цихх

14) и = т[зти+1 /2А вт и/2].

15)

Весьма интересные объекты, возникающие в теории солитонов - это их связанные состояния. По-видимому впервые такие состояния описаны в [26], где анаг литически было найдено бисолитонное решение типа кинк-антикинк для уравнения синус Гордона. и = 4 arctg | y/l/u2 - 1 sechC sin (С" + } ,

С' = 7VI — ш2(х — vt — xo), (16)

С" = yu>(vx - t); 7-2 = 1 — v2.

Интересно отметить, что в настоящее время появление таких систем во вполне интегрируемых уравнениях типа КдВ считается невозможным, так так из решения обратной задачи рассеяния следует, что каждому дискретному уровню соответствует лишь один солитон.

Бионное решение (16) обладает двумя важными особенностями. Во-первых, состояние, описываемое им нельзя получить как результат взаимодействия отдельных кинков и антикинков, так как в силу интегрируемости уравнения синус Гордона в момент взаимодействия не возникает излучения. Во вторых, время жизни биона, благодаря все тому же отсутствию излучения, бесконечно. Наконец, взаимодействие бионов является упругим.

Указания на возможность существования связанных состояний содержались уже в ранних работах по численному исследованию динамики начальных пакетов в рамках нелинейного уравнения Шредингера. В работах [27,28] в результате эволюции начального пакета было получено решение, весьма напоминающее связанное состояние. В работе [27] было исследовано образование биона нелинейного уравнения Шредингера: л it/2 ch Зж + 3 ch ж е~ы и — Ае t ,¿-. (17) ch 4.т + 4 ch 2ж + 3 eos 4f v ' из начального пакета и = 2sech(x).

С полной очевидностью был обнаружен бион в численных экспериментах Кудрявцева по исследованию взаимодействия кинков и антикинков в модели Хиггса [29]. Оказалось, что окончательное состояние зависит от скорости v сталкивающихся ква-зисолитонов. Если скорость v больше некоторого критического значения, то кинк и антикинк отталкиваются друг от друга, теряя некоторую долю энергии на излучение. Причем эта доля падает с ростом скорости, так что в релятивистской области столкновение становится квазиупругим. При скоростях меньших критической картина качественно меняется и в результате образуется осциллируещее во времени решение описывающее связанное состояние кинка-антикинка. Этот новый объект продолжат ет слабо излучать энергию в виде линейных вон малой амплитуды. Тем не менее, время его жизни является весьма значительным.

Эти результаты навели исследователей на мысль, что связанные состояния не являются прерогативой лишь интегрируемых моделей. Системы, близкие к интегрируемым тоже должны обладать решениями, описывающими долгоживущие связанные состояния. Это предположение было подтверждено в работах [7,30]. Таким образом особенно интересным становится факт возникновения устойчивых долгожи-вущих состояний из неустойчивых квазисолитонов.

Одним из важнейших вопросов солитонной теории является устойчивость солитонов. Можно говорить о двух типах устойчивости солитонов: 1) по отношению к возмущению начальных данных 2) по отношению к структурным возмущениям определяющего эволюционного уравнения. С вычислительной точки зрения обе проблемы можно исследовать в рамках единого подхода - начальной задачи. В первом случае изучается эволюция возмущенного начального состояния, заданного в виде исследуемого на устойчивость начального состояния. Во втором случае эволюция начального состояния подчиняется возмущенному уравнению.

В первом случае под устойчивым решением понимают решения для которого возмущение не нарастает лавинообразно с течением времени. Также устойчивыми считаются слабоизлучающие солитонные решения не теряющие своей структурной целостности под действием возмущения. При моделировании на компьютере такая устойчивость особенно важна так как не позволяет накапливаться ошибкам округления, связанным с конечной точностью компьютерных вычислений.

Под структурной устойчивостью понимают решения, достаточно долго (с точки зрения физики задачи) сохраняющие свою форму. Некоторые из невозмущенных решений при этом могут разрушаться весьма быстро, при этом возможно появление вместо них совершенно других типов решений.

В одномерном случае большинство исследованных систем обладает устойчивыми солитонами, во всяком случае по отношению к возмущениям не изменяющим симметрию системы. Устойчивость истинных солитонов вытекает из интегрируемости соответствующих систем [4]. Однако, существует весьма поучительный контрпример, который привел Берриман в [31]. Второй контрпример был обнаружен Сатсу-мой и Яджимой [27] в численном эксперименте которых бион нелинейного уравнения Шредингера распадался на составляющие его солитоны под воздействием начального возмущения с ассиметричной мнимой частью.

В самых современных работах особое внимание уделяется гибридным методам различной природы, а также вопросам реализации их на векторной и массивнопараллельной архитектуре. В работе [32] сравнивались различные численные методы для решения обобщенного уравнения Кортевега-де Вриза. В статье предложен метод численного моделирования уравнения за счет последовательного решения двух составляющих уравнения задач - гиперболического закона сохранения и дисперсионного соотношения. Все численные методы были протестированы на одно и двусолитон-ных решениях КдВ. Саттингер [33] рассматривал взаимодействие солитонов в ионно-акустической плазме. Уравнения описывающие динамику системы, были сведены к уравнению КдВ. С помощью неявного псевдоспектрального метода был прослежен эффект почти упругого взаимодействия солитонов. В результате взаимодействия за солитонами оставался дисперсионный хвост малой амплитуды. А.В.Вухановский и А.М.Самсонов [34] решали задачи численного моделирования распространения и фокусировки уединенных нелинейных волн упругой деформации в твердотельных волноводах с переменным поперечным сечением, в том числе, составных. Исследован процесс трансформации солитонов в волноводах с периодически меняющейся площадью сечения. Алгоритмы численного моделирования реализованы на векторном CONVEX С3820 и массивном параллельном HP SPP 1600 суперкомпьютерах.

В работе [35] исследуется другое обобщение уравнения КдВ - с периодически изменяющимся коэффициентом дисперсии. Авторы упрощают обобщенное уравнение, сводя его к интегрируемому аналогу, солитонное решение которого используется в качестве начальных условий для численного моделирования полного уравнения. Обсуждаются эффекты различных законов изменения коэффициента дисперсии и введения дисперсии пятого порядка.

Другой класс обобщений КдВ рассматривался в работе [36]. Для достаточно широкого класса КдВ-подобных уравнений построены точные волновые решения и проведено численное исследование распространения и взаимодействия солитонов, в том числе и для неинтегрируемых уравнений.

В работе [37] с помощью явного псевдоспектрального метода с высокой точностью рассматривается детальная картина формирования солитона КдВ из синусоидального начального пакета. Изучаются спектральные свойства генерируемых солитонов в широком диапазоне параметров.

Уравнения механики ДТТ являются удобным предметом исследований нелинейных волновых явлений, поскольку они естественным образом содержат пространственные производные высокого порядка. Изначальная сложность этих уравнений оборачивается возможностью сведения их к хорошо исследованным интегрируемым и близким к ним моделям нелинейной динамики. Исследование нелинейных волн деформации имеет более чем 30-летнюю историю.

Первыми подошли к новой проблеме У.К.Нигул и Ю.К.Энгельбрехт в [38,39]. В этих работах изучались переходные волновые процессы в задачах термоупругости и были получены важные качественные результаты о процессе распространения нелинейных волн деформации в сплошных средах. Нелинейные явления при распространении упругих волн в твердых телах рассматривали Л.К.Зарембо и В.А.Красильников [40], JI. А. Островский, Е. Н. Пелиновский [41], Нелинейные волны в ферроупругих кристаллах исследовались Я.Н.Давыдовым и З.А. Спольником [42]. В книге В.И.Карпмана [43] изучены общие закономерности при распространении нелинейных волн в диспергирующих средах. Общие закономерности нелинейного волнового движения в свете последних исследований обсуждаются в статье Энгель-брехта [44].

По-видимому, первой работой интересующего нас направления применительно к конкретным тонкостенным конструкциям можно назвать статьи Naxiboli и Sedov [45,46] , в которых изучались продольные диспергирующие волны в упругих и вязко-упругих стержнях и пластинах. Для компоненты продольной деформации были получены уравнения Кортевега - де Вриза и Кортевега - де Вриза -Бюргерса.

Отечественные исследования начинаются со статьи Л.А.Островского и A.M. Сутина [47], в которой анализировались нелинейные упругие волны в стержнях. Авторы показали, что продольные колебания стержня удовлетворяет уравнению Кортевега - де Вриза. Был рассмотрен процесс нелинейных искажений волны, включая образование солитонов, а также исследовано их затухание с учетом реальных потерь в стержне. Приведены результаты экспериментального наблюдения солитонов в стальной проволоке диаметром 1 мм. Кроме того, показано, что минимальная длина солитона достигается при максимально возможном упругом напряжении, для которого еще выполняется закон Гука. Так, для стального цилиндрического стержня длина солитона составляет примерно семь диаметров стержня (т.е. предположение о малости "поперечных размеров стержня по сравнению с длиной волны практически всегда выполняется для солитонов).

И.А.Молотков и С.А.Вакуленко рассматривали продольные волны в стержнях с медленно меняющимися плотностью и модулем Юнга [48]. С использовалием метода возмущений были получены выражения для амплитуды и скорости возмущенного солитона. Было отмечено, что решение представляет собой локализованное в малой области пространства и времени ядро солитона, за которым следует имеющий почти постоянную величину "хвост". В работах А.М.Самсонова и Е.В.Сокуринской [49-52] изучено влияние непостоянства геометрии, модуля Юнга, коэффициента Пуассона и параметра нелинейности вдоль стержня на волновой процесс, Было отмечено, что при расширении стержня импульс теряет свою энергию и трансформируется в волновой пакет, в то время как при сужении стержня солитон скорости деформации усиливается, что может стать причиной необратимых деформаций в стержне. Авторы сделали вывод, что при упрочнении материала солитон теряет массу и энергию, а при разупрочнении амплитуда и энергия могут неограниченно возрастать.

В работе [53] тем же коллективом авторов были впервые описаны эксперименты по наблюдению продольных солитонов деформации в упругом стержне. В качестве экспериментальной установки использовался канал, предназначенный для генерации волн деформации в твердом теле с помощью малой ударной волны в жидкости. Ударная волна генерировалась с помощью вызванного лазерным излучением взрывного вскипания элемента металлической мишени, расположенной в жидкости в непосредственной близости от торца исследуемого прозрачного полистиринового стержня диаметром 1 см. Процесс генерации и распространения солитона регистрировался с помощью метода топографической интерферометрии. На расстоянии 7-12 см от начала стержня формировался солитон продольной деформации, который распространялся вдоль стержня без наблюдаемых изменений формы. В отличие от него, ударные волны деформации, связанные с начальным воздействием, очень быстро разрушались под действием диссипации и дисперсии.

A.В.Мартынов [54] рассматривает продольные вибрационных колебания в тонкой пластине. Исследуются уравнения нелинейных продольных колебаний пластины с большими прогибами срединной упругой поверхности, полученные вариационным методом. В случаи плоской продольной волны, распространяющейся вдоль какой-либо координатной оси, уравнения сводятся к волновым возмущенным уравнениям синус-Гордона (для неограниченного пространства). В общем случае исследовано качественное поведение решения уравнения, а для неограниченного пространства получен простой класс решений в виде бегущих волн неизменной формы, распространяющихся с неизменной скоростью.

B.И.Потапов, И.Н.Солдатов [55] исследовали распространение слаборасходя-щегося пучка нелинейных продольных волн в пластине, показав, что компонента продольной деформации удовлетворяет уравнению Кадомцева - Петвиашвили. Таким образом, было показано, что в пластинах могут распространяться двумерные солитоны. Заметим, что уравнения продольных колебаний пластин были получены авторами из соотношений трехмерной теории упругости, а не из классических теорий пластин. Учет геометрической и физической нелинейностей проводился путем использования пятиконстантной теории упругости [56]. Результаты исследований о распространении ударных волн деформации в стержнях и пластинах были обобщены

Потаповым в [57].

В статье Ю.С.Кившаря и Е.С.Сыркина [58] рассматриваются сдвиговые соли-тоны в упругой пластине. Проанализировано влияние нелинейности на чисто сдвиговые волны. Выведено эффективное нелинейное параболическое уравнение (нелинейное уравнение Шредингера), описывающее динамику огибающих таких волн. Показало, что в зависимости от нелинейных свойств упругой пластины в ней могут распространяться "светлые"или "темные"сдвиговые солитоны, параметры которых связаны с линейными модами пластины. Важно отметить, что сдвиговые солитоны в упругой пластине недавно наблюдались экспериментально [59].

В работах В.И.Ерофеева [60-65] рассмотрен широкий спектр проблем нелинейной волновой динамики упругих систем с микроструктурой. На основе теоретического анализа показано, что в средах с микроструктурой могут наблюдаться резонансные взаимодействия продольной волны с волнами продольного вращения и волнами сдвига - вращения, формирование нелинейных стационарных волн (в частности, солитонов деформации), и другие эффекты, не имеющие аналогов в классической теории упругости. Здесь же указано на возможность использования перечисленных эффектов для акустического зондирования твердых тел. При исследовании распространения упругих волн в поврежденной среде определены зависимости между основными параметрами волны и поврежденностью материала. Отмечено, что эти зависимости могут быть положены в основу разработки акустического метода диагностики поврежденности материала.

Практически все авторы, исследующие нелинейный волновой процесс в стержнях и пластинах, исходят из неклассических теорий колебаний [66]; Это закономерно в силу того, что все классические теории продольных и изгибных колебаний являются одномодовыми аппроксимациями задач трехмерной динамической теории, упругости, в основе которых лежит модель обобщенного "плоского напряженного состояния (ОПНС). Модель ОПНС не учитывает связи продольных и поперечных движений (в теориях оболочек эта связь возникает автоматически за счет наличия в соотношениях "деформации - перемещения "слагаемых вида кхУ/, ку\У, то есть является следствием криволинейности) и потому применима лишь при невысоких частотах. Из сказанного следует, что никакие уточнения не улучшат качественно классические теории, если эти уточнения не увеличивают числа мод (форм колебаний по толщине). К таким уточнениям относятся поправка Лява, учитывающая силы инерции поперечных движений при продольных колебаниях стержня, и поправка Рэлея, учитывающая инерцию вращения элемента балки при изгибных колебаниях. Таким образом, не выходя за рамки ОПНС, невозможно адекватно описать нелинейный волновой процесс, возникающий в деформируемом твердом теле.

Значительный вклад в решение динамических проблем теории упругости внесли. Л. А.Айнола, Н.А.Алумяэ, В.В.Болотин, А.С.Вольмир, Ш.У. Гали-ев, М.П.Галин, А.Л.Гольденвейзер, Э.И.Григолюк, Л.Ю.Коссович, В.Н.Кукуджанов, Ю.Н.Новичков, Ю.Н.Работнов, С.П. Тимошенко, В.А.Фельдштейн, Г.С.Шапиро и другие ученые.

Книга Л. Ю. Коссовича [67] посвящена разработке асимптотических методов исследования важного класса нестационарных задач теории упругих тонких оболочек - задач о распространении волн деформаций в оболочках вращения под действием торцевых нагрузок. Асимптотический подход используется в двух направлениях: проводится построение асимптотической модели волнового процесса, включающее выявление характерных типов напряженно - деформированного состояния, расчленение его на составляющие с различными показателями изменяемости и выяснение зон применимости приближенных теорий, а также разрабатываются аналитические методы описания волнового процесса во всех участках фазовой плоскости.

В работах М.Д. Мартыненко и его коллег [68-70] рассматриваются задачи об условиях существования солитонов в нелинейно упругих телах, а также задачи об упругих волнах в движущихся цилиндрических оболочках с учетом нелинейных эффектов, обусловленных влиянием инерционных сил. Отметим, что в первой работе, где были экспериментально обнаружены солитоны в твердом деформируемом теле [71], описаны солитоны огибающей изгибной волны, описываемые нелинейным уравнением Шредингера, в тонкой металлической цилиндрической оболочке.

Число публикаций, посвященных решению задач динамики оболочек огромно. Можно выделить два основных подхода к решению таких задач. Первый подход (классический) базируется на гипотезах Кирхгофа - Лява, а соответствующие модели оболочек называют моделями первого приближения. Второй подход, связываемый с именем С.П.Тимошенко, в дополнение к "классическим"деформациям, учитывает деформации, связанные с поперечными силами и инерцией Модели, основанные на таком подходе, называют моделями второго приближения [72]. Альтернативный путь построения моделей состоит в разложении перемещений или напряжений в ряды по нормальной координате и удержании определенного отрезка этого ряда в зависимости от требуемой точности.

Известно, что уравнения движения элемента оболочки для модели Кирхгофа-Лява имеют параболический тип, что предсказывает бесконечные скорости распространения фронтов возмущений. Уравнения движения для модели типа Тимошенко имеют гиперболический тип, что выражает конечность скорости распространения любого возмущения в рассматриваемой среде. Однако указанные различия в математических формулировках и физических следствиях несущественны при анализе распространения квазиплоских пучков продольных и сдвиговых волн [73], т.к. уравнения для перемещений ¿7 и V в обоих случаях совпадают [72]. Другими словами, в данном случае параболичность уравнений модели Кирхгофа - Лява не является недостатком, как и гиперболичность уравнений модели Тимошенко не является преимуществом. Тонкостенность рассматриваемых конструкций привносит особый вид дисперсии, обеспечивающий формирование нелинейных волн деформации различной структуры. Таким образом, нелинейные волны в стержнях, пластинах и оболочках являются, по классификации Уизема, диспергирующими. Поэтому в каждом конкретном случае при выборе исходной системы уравнений необходимо опираться на физические представления о волновом движении.

В работах Ковригина [74,75] изучались нелинейные резонансные взаимодействия квазигармонических волн различных типов в тонкостенной цилиндрической оболочке: 1) параметрическое взаимодействие осесимметрической волны с изгибны-ми волнами, распространяющимися попутно в продольном направлении и бегущими встречно в поперечном направлении. 2) кросс-взаимодейсвие осесимметричных и неосесимметричных волн, приводящее к состоянию стационарной волны. 3) самомодуляция осесимметричной волны в продольном направлении. Было показано, что как и в прямолинейном стержне, в оболочке могут формироваться трехчастот-ные солитоны огибающих, представляющие собой модулированные волны, бегущие в продольном направлении.

Приведение уравнений динамики оболочек (а также стержней и пластин) к нелинейным эволюционным уравнениям производилось в диссертации Човнюка Ю.А. [76].

Широкий круг вопросов нелинейной волновой динамики цилиндрических оболочек освещен в работах Землянухина А.И, Могилевича Л.И., сведенных в монографию [77]. Рассмотренные ими задачи включают в себя:

• вывод эволюционных уравнений, моделирующих распространение продольных, сдвиговых и изгибных волн в нелинейно-упругих, нелинейно вязко-упругих, однородных и неоднородных цилиндрических оболочках.

• нахождение классов точных солитонных и ударно-волновых решений

• выявление условий, при которых возникающие модели связаны с интегрируемыми методом обратной задачи рассеяния

• теоретико-групповой анализ нелинейных уравнений в частных производных и механическую интерпретацию инвариантных решений.

Многочисленные практические приложения оболочечных конструкций в различных отраслях техники обуславливают актуальность проблемы моделирования и исследования нелинейных волновых процессов в цилиндрических оболочках.

Цель работы: Целью работы является моделирование и исследование нелинейных волновых процессов в деформируемых системах на основе теории тонких оболочек Кирхгофа-Лява.

Комплексный характер исследования приводит к необходимости решения следующих задач:

• Вывод обобщенного эволюционного уравнения, моделирующего распространение продольных волн деформации в геометрически и физически нелинейной неоднородной цилиндрической оболочке.

• Нахождение классов точных решений полученного уравнения, включающих в себя солитоноподобные решения.

• Численное моделирование выведенного уравнения и исследование эволюции импульсов различной формы.

Научная новизна работы: Получила дальнейшее развитие нелинейная волновая динамика цилиндрических оболочек, а именно:

• Выведено новое обобщенное пространственно-двумерное нелинейное эволюционное уравнение, описывающее распространение продольных волн деформации в геометрически и физически нелинейных неоднородных тонких цилиндрических оболочках Кирхгофа-Лява:

Щт + Ъщи^ + с2и\и^ + с3иШ£ + с4и(((((( = с5ищ. (18)

• Для выведенного уравнения (18) построено преобразование Бэклунда и найдены классы точных солитоноподобных решений.

• Исследовано обобщение выведенного уравнения на случай нелинейности пятого порядка:

Щ — С\и2их — С2-и}их + с$иххх + с4иххххх = 0. (19) описывающее волновое движение в среде, где зависимость интенсивности напряжений Ох от интенсивности деформаций имеет вид полинома пятой степени. Для него построено преобразование Бэклунда, классы точных уединенно-волновых решений, и установлена его эквивалентность паре связанных уравнений Риккати.

• На основе проведенного анализа основных численных методов для решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных показана целесообразность использования для уравнений 3-го порядка явных конечно-разностных, а для уравнений 5-го порядка псевдоспектрального численных методов.

• Численно исследованы солитоноподобные решения для выведенного уравнения и его обобщения. Численно промоделированы явления распространения и упругого взаимодействия солитоноподобных решений выведенного уравнения.

• Разработана и реализована программа исследования аналитической структуры нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с использованием систем компьютерной алгебры. Программа автоматизирует процесс тестирования уравнений на обладание свойством Пенлеве и позволяет автоматически строить преобразования Бэклунда и точные волновые решения.

• Разработана и реализована программная оболочка для интеграции различных методов численного решения нелинейных эволюционных уравнений в частных производных.

Достоверность результатов: Анализ волнового процесса проводился на основе классической модели оболочки Кирхгофа-Лява. Упрощение получившихся уравнений проводилось с помощью метода многих масштабов. Численное моделирование проводилось на основе численных методов, устойчивость и сходимость которых была теоретически обоснована. Достоверность результатов численного моделирования модельных уравнений и уравнений, полученных в работе, подтверждается совпадением поведения численной модели и аналитически построенных точных решений.

Практическая значимость: Полученные результаты могут быть использованы в приложениях, связанных с акустическими методами диагностики поврежден-ности материалов. Результаты моделирования поведения уединенных волн могут быть использованы для передачи информации по акустическим волноводам. Точные решения неинтегрируемых эволюционных уравнений могут применяться для тестирования различных численных методов решения УЧП. Программа ат^пкй может применяться для автоматического исследования нелинейных УЧП на удовлетворение свойству Пенлеве и для построения их точных волновых решений.

Апробация работы: Основные результаты работы докладывались на ежегодных Нижегородских акустических конференциях в Институте Проблем Машиноведения имени Благонравова (Нижний Новгород, 2001, 2002), на коллоквиуме "Евромех-439" (Саратов, 2002), на международной конференции "Нелинейные Колебания Механических Систем" (Санкт-Петербург 2003), на научном семинаре в Институте проблем машиноведения РАН (рук. Индейцев Д.А.) (Санкт-Петербург, 2004), на научном семинаре кафедры теории упругости и биомеханики (рук. Коссович Л.Ю.) (Саратов 2003, 2004).

На защиту выносятся: следующие основные результаты работы:

• Выведенные новые нелинейные уравнения в частных производных, описывающие волновые процессы в физически и геометрически нелинейных цилиндрических оболочках Кирхгофа-Лява.

• Преобразования Бэклунда и точные решения полученных неинтегрируемых эволюционных уравнений.

• Результаты численного моделирования эволюции различных начальных импульсов в выведенных уравнениях.

• Программа автоматического исследования аналитической структуры нелинейных УЧП.

Публикации: Основное содержание диссертационной работы и результаты исследований опубликованы в 7 научных статьях и учебном пособии.

Структура и объем работы: Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений и содержит 136 страниц наборного текста.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Штейнберг, Евгений Ильич

Заключение

Проведенный аналитический и численный анализ показал, что моделирование волновых процессов в деформируемых средах с учетом геометрической и физической

Рис. 15: Дезинтеграция искаженного солитона уравнения (190) нелинейности и дисперсии приводит к выявлению эффектов, невозможных в рамках линейной теории, а именно: уединенных волн деформации, бризеров и ударных волн.

Вывод нового эволюционного уравнения, его аналитическое и численное исследование с использованием разработанного программного комплекса является основным результатом работы.

В диссертационной работе разработана программа anstruct для системы символьной математики Maple. Программа anstruct полностью автоматизирует процесс исследования ОДУ и УЧП на обладание свойством Пенлеве. С помощью информации, полученной на этапе теста Пенлеве, автоматически строятся преобразования Бэклунда и классы точных волновых решений для исследуемого уравнения.

В рамках численного исследования выведенных уравнений разработан программный комплекс SolitonLab, интегрирующий средства проведения, визуализации и документирования численных экспериментов. Комплекс реализует следующие численные методы:

1. Явная разностная схема типа "чехарда" (LF),

2. Обобщенная неявная разностная схемы (©-метод),

3. Явная разностная схема с интегрированием по времени типа Рунге-Кутты (RK),

4. Явный псевдоспектральный метод (ASD),

5. Неявный псевдоспектральный метод (WGMS).

Проведенное численное исследование показало устойчивость солитоноподоб-ных решений выведенного неинтегрируемого уравнения (188). Солитоноподобные решения этого уравнения при взаимодействии ведут себя почти упруго, что говорит о его близости к интегрируемым моделям.

Исследованное в работе уравнение (190) напротив, обладает неустойчивыми солитоноподобными решениями. Однако, это уравнение обладает удивительно простой аналитической структурой - оно эквивалентно двум связанным уравнениям Рик-кати.