Нелинейные дисперсионные волны в вязкоупругих тонкостенных конструкциях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Лаптев, Сергей Владимирович

• Лаптев, Сергей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лаптев, Сергей Владимирович

Введение.

1. Уединенные волны в вязкоупругих стержнях.

1.1. Уравнение динамики вязкоупругого стержня.

1.2. Применение методов многомасштабных разложений к выводу эволюционного уравнения для уединенных волн в вязкоупругом стержне.

1.3. Уравнение динамики нелинейно-вязкоупругого стержня

1.4. Применение методов многомасштабных разложений к выводу эволюционного уравнения для уединенных волн в нелинейно-вязкоупругом стержне.

2. Уединенные волны в вязкоупругих пластинах.

2.1. Уравнение динамики вязкоупругой пластины.

2.2. Применение методов многомасштабных разложений к выводу эволюционного уравнения для уединенных волн в вязкоупругой пластине.

2.3. Уравнение динамики нелинейно-вязкоупругой пластины

2.4. Применение методов многомасштабных разложений к выводу эволюционного уравнения для уединенных волн в нелинейно-вязкоупругой пластине.

3. Уединенные волны в вязкоупругих оболочках.

3.1 Уравнение динамики вязкоупругой оболочки.

3.2 Применение методов многомасштабных разложений к выводу эволюционного уравнения для уединенных волн в вязкоупругой оболочке.

3.3. Уравнение динамики нелинейно-вязкоупругой оболочки

3.4. Применение методов многомасштабных разложений к выводу эволюционного уравнения для уединенных волн в нелинейно-вязкоупругой оболочке.

4. Точное решение уравнений, неинтегрируемых методом обратной задачи рассеяния, описывающих ударно-волновую структуру

4.1. Уединенные волны в вязкоупругих тонкостенных конструкциях.

4.2. Уединенные волны в нелинейно-вязкоупругих тонкостенных конструкциях.

Основные результаты и краткие выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейные дисперсионные волны в вязкоупругих тонкостенных конструкциях»

В последнее время широкое развитие получила теория солитонов, которые являются решением нелинейных эволюционных уравнений и обладают при этом свойствами частиц. Корпускулярно-волновой дуализм, о котором говорил Луи де Бройль в 1923 году, модельно воплощается в теории солитонов. В связи с развитием теории солитонов, а также с созданием нового метода математической физики - метода обратной задачи рассеяния (МОЗР) [1], значительно возрос интерес к решению нелинейных уравнений.

В 1953 году Ферми, Паста и Улам [1] численно исследовали поперечные колебания струны с учетом нелинейных членов, а именно, квадратичных относительно смещений. Целью исследований было наблюдение того, как благодаря нелинейным силам, возмущающим периодическое линейное решение, струна будет принимать все более сложные формы и как при стремлении времени к бесконечности полная энергия струны будет распределяться на все частоты.

Результаты вычислений с самого начала оказались неожиданными. Вместо непрерывного потока энергии от первой частоты к более высоким во всех задачах обнаружилось абсолютно иное поведение - вопреки предсказываемому теорией постепенному увеличению энергии во все более высоких частотах, ею в основном обменивались лишь некоторые из частот, причем в достаточно закономерном порядке, то есть система оказалась почти периодической. Естественно, при таких результатах усмотреть частоту перемешивания, что было целью исследований, не удалось. Тенденция к равномерному распределению энергии между степенями свободы проявила себя в очень незначительной степени, что явилось косвенным подтверждением существования "квазисостояний", то есть на макроуровне было выявлено квантование энергии [54].

В 1967 году Гарднером, Забусским, Крускалом и Миурой [112] было исследовано уравнение Картевега-де Вриза

Ut + 6UUX + и ххх = о впервые возникшее в качестве модели волн на мелкой воде. Здесь нижний буквенный индекс обозначает дифференцирование по соответствующей независимой переменной:

I у-\, 7 XXX 1 dt дх

Решения уравнения КдВ в виде уединенных волн с с1'2

U = - sec h2 [-(х - ct) 1

2 2 известны давно, но до 1967 года не было известно замечательное свойство этих решений: решения в виде уединенных волн взаимодействуют друг с другом "упруго", то есть после взаимодействия восстанавливают свои исходные характеристики, за что их назвали солитонами.

В настоящее время идея солитонов находит все более широкие приложения. В современной физике она рассматривается как фундаментальная проблема, а именно - отсутствует общий принцип, на основании которого можно было бы выбрать одно нелинейное волновое уравнение из бесчисленного набора возможных. Решение этой проблемы знаменовало бы собой рождение новой микрофизики [17].

В конце 60-х годов, в процессе изучения уравнения КдВ был предложен метод обратной задачи рассеяния, позволяющий аналитически решать нелинейные эволюционные уравнения [112]. Оказалось, что несмотря на нелинейность дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих движение солитонов, эти уравнения тесно связаны линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями типа Штурма-Лиу вил ля.

Если бы функция и(х) в уравнении Штурма-Лиувилля содержала параметр а, так, что и -11(х,а), то можно было бы ожидать, что изменение формы потенциала при изменении параметра а приведет к некоторому изменению собственных значений , то есть можно было бы ожидать зависимость Я, от а. Естественно, возникло предположение о существовании потенциальных функций и(х, а), для которых Яг- при изменении параметра а остается постоянным. Предположение оказалось верным, более того, функции и(х, а), удовлетворяющие нелинейному эволюционному уравнению иа + 6 иих + и ххх = о, оставляют собственные значения задачи Штурма-Лиувилля неизменными. Если считать параметр а временем (соответствующее уравнение Штурма-Лиувилля не является зависящим от времени уравнением Шредингера), то последнее уравнение является уравнением Кортевега-де Вриза.

Таким образом, нахождение решений уравнения КдВ может быть связано с определением зависящих от параметра потенциалов в уравнении Штур-ма-Лиувилля и наоборот. В отличии от квантомеханических, здесь речь идет об определении потенциала по некоторой информации о волновой функции, поэтому такая задача получила название обратной задачи рассеяния [54].

В результате оказалось, что многие нелинейные уравнения имеют простую внутреннюю структуру и могут быть проинтегрированы методом линейной теории, а также выяснилось, что такие уравнения естественно возникают в качестве моделей физических явлений. В результате список классических уравнений математической физики пополнился уравнениями Картевега-де Вриза, синус-Гордона и нелинейным уравнением Шредингера.

Механика деформируемого твердого тела не стала исключением. Многочисленные исследования привели к формированию нового раздела механики - нелинейной волновой динамики.

Предметом данного исследования являются нелинейные волны в деформируемых твердых телах, поэтому остановимся подробнее на истории этого процесса.

Первые важные качественные результаты о процессе распространения нелинейных волн деформаций в сплошных средах были получены в работах У.К. Нигула и Ю.К. Энгельбрехта [87,89], в которых изучались переходные волновые процессы в задачах термоупругости. Нелинейные явления при распространении упругих волн в твердых телах рассматривали JI.K. Зарембо и В.А. Красильников [36], J1.A. Островский и E.H. Пелиновский [96]. В ферро-упругих кристаллах нелинейные волны исследовались JI.H. Давыдовым и З.А. Спольником [27]. В книге В.И. Карпмана [56] изучены общие закономерности при распространении нелинейных волн в диспергирующих средах.

Отечественные исследования начинаются со статьи J1.A. Островского и A.M. Сутина [97], в которой анализировались нелинейные упругие волны в стержнях. Было показано, что продольная скорость частиц стержня удовлетворяет уравнению Кортевега-де Вриза. Был рассмотрен процесс нелинейных искажений волны, включая образование солитонов, а также исследовано их затухание с учетом реальных потерь в стержне. Приведены результаты экспериментального наблюдения солитонов в стальной проволоке диаметром в 1 мм. Показано, что минимальная длина солитона достигается при максимально возможном упругом напряжении, для которого еще выполняется закон Гука. Так, для стального цилиндрического стержня длина солитона составляет примерно семь диаметров стержня, то есть предположение о малости поперечных размеров стержня по сравнению с длиной волны практически всегда выполняется для солитона.

В работах A.M. Самсонова и Е.В. Сокуринской [106-109] изучено влияние непостоянства геометрии, модуля Юнга, коэффициента Пуассона и параметра нелинейности вдоль стержня на волновой процесс. Было отмечено, что при расширении стержня импульс теряет свою энергию и трансформируется в волновой пакет, в то время как при сужении стержня солитон скорости деформации усиливается, что может стать причиной необратимых деформаций в стержне. Авторы сделали вывод, что при упрочнении материала солитон теряет массу и энергию, а при разупрочнении амплитуда и энергия могут неограниченно возрастать.

И.А. Молотков и С.А. Вакуленко рассматривали продольные волны в стержнях с медленно меняющейся плотностью и модулем Юнга [83]. С использованием метода возмущений были получены выражения для амплитуды и скорости возмущенного солитона. Было отмечено, что решение представляет собой локализованное в малой области пространства и времени ядро соли-тона, за которым следует имеющий почти постоянную величину "хвост".

A.B. Мартынов [81] рассматривает продольные вибрационные волны в тонкой пластине. Исследуются уравнения нелинейных продольных колебаний пластины с большими прогибами срединной упругой поверхности, полученные вариационным методом. В случае плоской продольной волны, распространяющейся вдоль какой-либо координатной оси, уравнения сводятся к волновым возмущениям уравнения синус-Гордона (для неограниченного пространства). В общем случае исследовано качественное поведение решения уравнения, а для неограниченного пространства получен простой класс решений в виде бегущих волн неизменной формы, распространяющихся с неизменной скоростью.

В статье Ю.С. Кившаря и Е.С. Сыркина [57] рассматриваются сдвиговые солитоны в упругой пластине. Проанализировано влияние нелинейности на чисто сдвиговые волны. Выведено эффективное нелинейное параболическое уравнение (нелинейное уравнение Шредингера), описывающее динамику огибающих таких волн. Показано, что в зависимости от нелинейных свойств упругой пластины в ней могут распространяться "светлые" или "темные" сдвиговые солитоны, параметры которых связаны с линейными модами пластины. Сдвиговые солитоны в упругой пластине недавно наблюдались экспериментально [146].

А. И. Потапов и И.Н. Солдатов [100] исследовали распространение сла-борасходящегося пучка нелинейных продольных волн в пластине, показав, что компонента продольной деформации удовлетворяет уравнению Кадомце-ва-Петвиашвили. Таким образом, было показано, что в пластинах могут распространяться двумерные солитоны. Уравнения продольных колебаний пластин были получены авторами из соотношений трехмерной теории упругости, а не из классических теорий пластин. Учет геометрической и физической нелинейности проводился путем использования пятиконстантной теории упругости [24]. Результаты исследований о распространении нелинейных волн деформации в стержнях и пластинах были обобщены А.И. Потаповым в [99].

В работах В.И. Ерофеева [30-34, 131] рассмотрен широкий спектр проблем нелинейной волновой динамики упругих систем с микроструктурой. На основе теоретического анализа показано, что в средах с микроструктурой могут наблюдаться резонансные взаимодействия продольной волны с волнами продольного вращения и волнами сдвига-вращения, формирование нелинейных стационарных волн (в частности, солитонов деформации) и другие эффекты, не имеющие аналогов в классической теории упругости. Здесь же указано на возможность использования перечисленного в задачах акустического зондирования твердых тел. При исследовании распространения упругих волн в поврежденной среде определены зависимости между основными параметрами волны и поврежденностью материала. Отмечено, что эти зависимости могут быть положены в основу разработки акустического метода диагностики поврежденности материала.

В процессе исследования нелинейного волнового процесса в стержнях и пластинах практически все авторы исходят из неклассических теорий колебаний. Это закономерно в силу того, что все классические теории продольных и изгибных колебаний являются одномодовыми аппроксимациями задач трехмерной динамической теории упругости, в основе которой лежит модель обобщенного плоского напряженного состояния (ОПНС). Модель ОПНС не учитывает связи продольных и поперечных движений, и потому применима лишь при невысоких частотах. Из сказанного можно сделать вывод, что никакие уточнения не улучшат качественно классические теории, если эти уточнения не увеличивают числа мод (форм колебаний по толщине). К таким уточнениям относятся поправка Лява, учитывающая силы инерции поперечных движений при продольных колебаниях стержня, и поправка Рэлея, учитывающая инерцию вращения элемента балки при изгибных колебаниях. Таким образом, не выходя за рамки ОПНС, невозможно адекватно описать волновой процесс, возникающий в деформируемом твердом теле [54].

Значительный вклад в решение динамических проблем теории упругости внесли Л.А. Айнола, H.A. Алумяэ, В.В. Болотин, A.C. Вольмир, Ш.У. Га-лиев, М.П. Галин, А.Л. Гольденвейзер, В.Н. Кукуджанов, Э.И. Григолюк, Ю.Н. Работнов, С.П. Тимошенко, Ю.Н. Новичков, Г.С. Шапиро, В.А. Фельд-штейн и другие ученые.

В книге Л.Ю. Коссовича [60] подробно исследуется важный класс нестационарных задач теории упругих тонких оболочек - задач о распространении волн деформации в оболочках вращения под действием торцевых нагрузок. Разработаны асимптотические методы исследования данного класса задач. Асимптотический подход используется в двух направлениях: проводится построение асимптотической модели волнового процесса, включающее выявление характерных типов напряженно-деформированного состояния, расчленение его на составляющие с различными показателями изменяемости и выяснение зон применимости приближенных теорий, а также разрабатываются аналитические методы описания волнового процесса во всех участках фазовой плоскости.

В работах М.Д. Мартыненко и его коллег [78-80] рассматриваются задачи об условиях существования солитонов в нелинейно-упругих телах, а также задачи об упругих волнах в движущихся цилиндрических оболочках с учетом линейных эффектов, обусловленных влиянием инерционных сил.

Несмотря на положительные результаты экспериментов по наблюдению продольных и сдвиговых солитонов в стержнях и пластинах, математическая теория до сих пор является в значительной степени академической дисциплиной. Этим объясняется важность проблемы поиска приложений теории солитонов к решению динамических задач теории упругости.

Проблема исследования распространения волн в вязкоупругих и нели-нейно-вязкоупругих тонкостенных конструкциях на данный момент также остается далеко не достаточно изученной, поэтому она является актуальной. В настоящей работе будут рассматриваться такие однородные вязкоупругие и нелинейно-вязкоупругие конструкции, как стержень, пластина и цилиндрическая оболочка.

Целью настоящей работы является развитие общего теоретического подхода к исследованию нелинейной волновой динамики вязкоупругих стержней, пластин и цилиндрических оболочек.

Из этой цели вытекают задачи:

- вывод эволюционных уравнений, моделирующих распространение волн в нелинейно-вязкоупругих однородных стержнях, пластинах и цилиндрических оболочках;

- нахождение классов точных решений получаемых уравнений, включающих в себя солитоноподобные и ударно-волновые решения;

- нахождение условий, при которых могут возникать упомянутые решения.

Объем работы: Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов по диссертации и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Лаптев, Сергей Владимирович

Основные результаты:

1. Используя метод многомасштабных разложений, проведено моделирование процессов распространения продольных волн в нелинейно-вязко-упругих стержнях, пластинах и цилиндрических оболочках. Во всех случаях задача сведена к анализу нелинейных эволюционных уравнений, допускающих аналитические решения.

2. Выведены неинтегрируемые уравнения волновой механики, моделирующие эволюцию возмущений в нелинейно и линейно вязкоупругих дис-сипативных диспергирующих конструкциях.

3. Для всех выведенных уравнений получены точные решения, описывающие ударно-волновую структуру.

4. Получены условия возникновения уединенных волн для вязкоупругих и нелинейно-вязкоупругих стержней, пластин и цилиндрических оболочек.

98

5. Получены зависимости между скоростями продольных волн и фи зико-механическими параметрами линейно-вязкоупругих и нелинейно-вязкоупругих конструкций, которые могут использоваться при диагностике поврежденности материалов акустическими методами.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лаптев, Сергей Владимирович, 2000 год

1. Абловиц С., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М. Мир, 1987.

2. Абросимов H.A., Баженов В.Г. Исследование упругопластических процессов деформации пластин и оболочек при импульсивном нагружении в неклассической постановке // прикл. Механика, 1985 т. 21, N1.

3. Алумяэ H.A. Переходные процессы деформации упругих оболочек и пластин // Тр. 6-й Все. конф. По теории оболочек и пластин. М., 1966.

4. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек. М. Физматгиз, 1961, 384 с.

5. Аршинов Г.А., Землянухин А.И., Могилевич Л.И. Волны деформации в геометрически и физически нелинейной вязко-упругой цилиндрической оболочке // Труды VIII сессии РАО. Нижний Новгород, 1998. С. 7-9

6. Аршинов Г.А., Землянухин А.И., Могилевич Л.И. Нелинейные волны в вязко-упругих цилиндрических оболочках. Саратов, Сарат. гос. техн. ун-т, 1996, 8 с. Деп. в ВИНИТИ 22.04.1996, N1308-B96.

7. Аршинов Г.А., Лаптев C.B., Могилевич Л.И. Асимптотический анализ продольных волн в физически и геометрически нелинейных вязкоупру-гих средах // Наука Кубани. Сер. Проблемы физико-математического моделирования, 1999. С. 51-58.

8. Аршинов Г.А., Лаптев C.B., Могилевич Л.И. Точное решение эволюционного уравнения для физически и геометрически нелинейной вязкоуп-ругой пластины // Сб. "Труды КЮИ МВД РФ" Краснодар: - Изд-во

9. Краснодарского юридического института МВД РФ, N4, 1999. С. 171179.

10. Аршинов Г.А., Лаптев С.В., Гуреева Е.В. Асимптотическое исследование уравнений движения для вязкоупругой пластины // Труды молодых ученых СГАУ. Саратов. Изд-во СГАУ, 2000 (в печати).

11. Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. -М.: ИЛ, 1961.

12. Бикбаев Р.Ф. Об ударных волнах в одномерных моделях с кубической нелинейностью // Теор. и мат. физика. 1993. Т. 97 N2. С. 191-212

13. Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г., Прикладная математика. -М.: Наука, 1976.

14. Богоявленский О.И. Опрокидывающиеся солитоны. М., Наука, 1991.

15. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М. Машиностроение. 1980.

16. Броберг К.Б. ударные волны в упругой и упругопластической среде. М., Гостехиздат, 1959.

17. Де Бройль Л. Соотношения неопределенностей Гейзенберга. М.: Мир, 1986.

18. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир 1987, 568 с.

19. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М., Наука, 1972.

20. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967, 785 с.

21. Вуд Д. Продольные плоские волны упруго-пластических деформаций в твердых телах. Сб. перев. "Механика" вып. 5 (21), 1953.

22. Галиев Ш.У. вынужденные продольные колебания нелинейно-упругого тела. // Изв. АН СССР. Сер. Мех. Тв. Тела, 1972, N4.

23. Галин М.П. Распространение упруго-пластических волн в оболочках. -Инж. Сборник. 1961. 31.

24. Гольденблат И.И. нелинейные проблемы теории упругости. М., Наука, 1969.

25. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. В кн.: Итоги науки и техники. Сер. Механика твердых тел. Т. 5, М.: ВИНИТИ, 1973.

26. Гудков В.В. Явный вид волновых решений эволюционных уравнений // Ж. вычисл. мат. и матем. физ. 1996. Т.36. N3. С. 66-72.

27. Давыдов Л.Н., Спольник З.А. Нелинейные волны в ферроупругих кристаллах. Физ. твердого тела, 1974, т. 16. Вып. 6.

28. Ержанов Ж.С, Менцель В., Бергман Э.И., Шрейнер В., Аршинов Г.А., Вебер Д. Основы расчета напряженного состояния полостей газохранилищ в соляных отложениях. Алма-Ата, Наука КазССР, 1977.

29. Ержанов Ж.С., Бергман Э.И. Ползучесть соляных пород. Алма-Ата, Наука, КазССР, 1977.

30. Ерофеев В.И. Волновые процессы в нелинейно-упругих средах с микроструктурой // Волн, динамика машин. М.: Наука, 1991. С. 140-152.

31. Ерофеев В.И. Солитоны огибающих при распространении изгибных волн в нелинейноупругом стержне // Акуст. журнал. 1992. Т. 38, вып. 1, с . 172173.

32. Ерофеев В.И. Распространение нелинейных сдвиговых волн в твердом теле с микроструктурой // Прикл. механика. 1993. Т. 29 N4 С. 18-22.

33. Ерофеев В.И. Раскин И.Г. О распространении сдвиговых волн в нелинейно-упругом теле // Прикл. механика. 1991. Т 27.

34. Ерофеев В.И. Плоские стационарные волны в поврежденной среде с микроструктурой // акуст. журнал. 1994. Т.40 N1. С. 67-70.

35. Заболотская Е.А., Хохлов Р.В. Квазиплоские волны в нелинейной акустике ограниченных пучков // Акуст. журнал 1969. Т. 15. Вып. 1. С. 40-46.

36. Зарембо Л.К., Красильников В.А. Нелинейные явления при распространении упругих волн в твердых телах. Успехи физ. наук, 1970. Т. 102. Вып. 4.

37. Заславский Г.М. Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику от маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988.

38. Землянухин А.И., Могилевич Л.И. Эволюция нелинейных продолных волн в цилиндрических оболочках. Саратов. - Сарат. гос. техн. ун-т. 1993, 45 с. Деп. в ВИНИТИ, N1737-93.

39. Землянухин А.И. Нелинейные волны деформаций в неоднородных цилиндрических оболочках. Саратов. - Сарат. гос. техн. ун-т, 1994, 16с. деп. в ВИНИТИ, N 1899-В94.

40. Землянухин А.И., Могилевич Л.И. Нелинейные волны деформаций в цилиндрических оболочках // Изв. Вузов. Сер. Прикладная нелинейная динамика. Т. 3 -1995. N 1. С 52-58

41. Землянухин А.И. Нелинейные интегрируемые уравнения в динамических задачах теории упругости. Дис. канд. физ.-мат. наук. Саратов: СГУ, 1995.

42. Землянухин А.И., Могилевич Л.И. Продольные волны в нелинейно-упругой оболочке: новое эволюционное уравнение // Матем. моделирование и управление в техн. системах. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1998. С 21-27.

43. Землянухин А.И. Аналогии теории упругости, газовой динамики и теории солитонов // Матем. моделирование и управление в техн. системах. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1998. С. 43-50.

44. Землянухин А.И. Симметрии и солитоиы в нелинейно-упругих диспергирующих средах // Матем. моделир. и краевые задачи. Труды VII межвуз. конф. 28.05.-30.05.1997. Самара. С. 36-37.

45. Землянухин А.И. Сдвиговые волны в нелинейно-упругой цилиндрической оболочке // Нелин. колебания механ. систем: Тр. 25 Междунар. школы-семинара. 01.07.-07.07.1997. СПб. 1998.

46. Землянухин А.И. Нелинейные эффекты при распространении сдвиговых волн в цилиндрических оболочках // Проблемы прочности. Саратов: СГТУ, 1998. С. 114-121.

47. Землянухин А.И. Точное решение обобщенного эволюционного уравнения третьего порядка // Проблемы прочности. Саратов: СГТУ, 1999 (в печати).

48. Землянухин А.И. Свойство Пенлеве и точные решения нелинейных эволюционных уравнений пятого порядка. Саратов, Сарат. гос. техн. ун-т,1998, 9 с. Деп. в ВИНИТИ 16.10.1998, №006-В98

49. Землянухин А.И. Нелинейные осесимметричные изгибные волны в упругих цилиндрических оболочках. Саратов, Сарат. гос. техн. ун-т, 1998, 12 с. - Деп. в ВИНИТИ 25.11.1998, N3458-698.

50. Землянухин А.И. Аналитические методы исследования нелинейных уравнений механики деформируемого твердого тела. Саратов: СГТУ,1999.

51. Землянухин А.И. Точное солитоноподобное решение нелинейного эволюционного уравнения пятого порядка // Изв. вузов. Сер. Прикладная нелин. динамика. 1999 Т.7 N2.

52. Землянухин А.И. Точные решения нелинейного эволюционного уравнения пятого порядка // Проблемы прочности. Саратов: СГТУ, 1999.

53. Землянухин А.И. Нелинейные изгибные волны в упругой цилиндрической в оболочке // Проблемы прочности. Саратов: СГТУ, 1999.

54. Землянухин А.И., Могилевич Л.И. Нелинейные волны в цилиндрических оболочках: солитоны, симметрии, эволюция. Саратов: Изд-во СГТУ 1999. 132 с.

55. Ильюшин A.A. Пластичность. — М.: Гостехиздат, 1948.

56. Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М., Наука 1973.

57. Кившарь Ю.С., Сыркин Е.С. Сдвиговые солитоны в упругой пластине // Акуст. журнал. .1991. Т.37 Вып. 1. С. 104-109.

58. Ковригин Д.А., Потапов А.И. Нелинейная волновая динамика одномерных упругих систем // Изв. вузов. Сер. Прикладная нелинейная динамика. 1996. Т. 4. N2. С. 72-102.

59. Косевич A.M., Ковалев A.C. Введение в нелинейную физическую механику. Киев.: Наук. Думка, 1989, 304 с.

60. Коссович Л.Ю. Нестационарные задачи теории упругих тонких оболочек. Саратов. Изд-во Сарат. гос. ун-та, 1986.

61. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972.

62. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир. 1982.

63. Кристеску Н. О распространении продольных волн в тонких упруго-вязко-пластических стержнях. Механика: Сб. перев. М., Мир, 1966, N3 (97).

64. Кудряшов H.A. Точные решения нелинейных волновых уравнений, встречающихся в механике // Прикл. матем. и мех. 1990. Т. 54 Вып. 3 С. 450-453.

65. Кудряшов H.A. точные солитонные решения обобщенного эволюционного уравнения волновой динамики // ПММ. 1988 . Т. 52. Вып. 3 . С. 450453

66. Кудряшов H.A. Преобразования Бэклунда для уравнения в частных производных четвертого порядка с нелинейностью Бюргерса Кортевага -де Вриза // Докл. АН СССР. 1988. Т. 300, N2. С. 342-345.

67. Кукуджанов В.Н. Распространение упруго-пластических волн в стержне с учетом влияния скорости деформации // Труды Вычисл. центра АН СССР -M., 1967.

68. Кукуджанов В.Н. Асимптотические решения уточненных уравнений упругих и упруго-пластических волн в стержнях // Волны в неупругих средах. Кишинев, 1970.

69. Кукуджанов В.Н., Никитин J1.B. Распространение волн в стержнях из уп-руговязкопластического материала// Изв. АН СССР. Отд. техн. наук ме-хан. и машиностроения. 1960. N4

70. Лаптев C.B. Нелинейные уединенные волны в вязкоупругой пластине. / Материалы научно-практической конференции КЮИ МВД РФ. Краснодар, 1999,- С. 234-239.

71. Лаптев C.B. Эволюция уединенной волны в вязкоупругом стержне.// Труды межвуз. научн. конф. "Современные проблемы нелинейной механики конструкций ". Саратов: Изд-во СГТУ - 2000. С. 36-41.

72. Лаптев C.B. Уединенные волны в линейно-вязкоупругой цилиндрической оболочке. Краснодарский юридический институт МВД РФ. Краснодар, 2000, - 9с. - Деп. в ВИНИТИ. 26.04.2000. N1219-B00.

73. Лаптев C.B., Амерханов P.A. Точное решение эволюционного уравнения для линейной вязкоупругой пластины. // Сб. "Труды КГАУ" Краснодар - Изд-во Кубан. аграрного ун-та, 2000. - С. 218-224 (в печати).

74. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М.: МГУ, 1976.

75. Лэм Дж. мл. Введение в теорию солитонов. М.: Мир, 1983.

76. Магадеев Б.А. О групповой классификации нелинейных эволюционных уравнений // Алгебра и анализ. 1993. Т. 5. N2.

77. Малверн Л. Распространение продольных пластических волн в стержне с учетом влияния скорости деформации. // Механика: Сб. перев. 1952 N1.

78. Мартыненко М.Д., Нгуен Данг Бик. Уединенные волны в нелинейной упругой среде с трением // Весщ АН Беларусь Сер. физ.-мат. наук 1992. N1.

79. Мартыненко М.Д., Нгуен Данг Бик. Существование уединенных волн, распространяющихся в упругопластическом пространстве // Диф. уравн. 1990. Т. 26 N12

80. Мартыненко М.Д., Нгуен Данг Бик., Фам Ши Винь. Уединенные волны в упругопластической среде с предварительным напряжением // Докл. АН БССР. 1991. Т. 35 N4.

81. Мартынов А.В. Качественный анализ продольных вибрационных колебаний в тонкой пластине // Избр. вопр. алгебры, геометрии и дискр. Математики / МГУ. Мех.-мат. фак. М., 1992.

82. Миллер У. Симметрия и разделение переменных. М.: Мир. 1981.

83. Молотков И.А., Вакуленко С.А. Нелинейные продольные волны в неоднородных стержнях // Интерференционные волны в слоистых средах. 1. Зап. науч. семин. ЛОМИ. Л.: Наука, 1980. Т. 99. С. 64-73.

84. Москвитин В.В. Сопротивление вязко-упругих материалов. М.: Наука, 1972.

85. Найфэ А. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984.

86. Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Шрейбер И.Р. Волновая динамика газо и парожидкостных сред. - М.: Энергоатомиздат, 1990.

87. Нигул У.К., Энгельбрехт Ю.К., Нелинейные и линейные переходные волновые процессы деформации термоупругих и упругих тел // АН ЭССР. Таллинн, 1972.

88. Нигул У.К. Нелинейная акустодиагностика. Л.: Судостроение, 1981.

89. Нигул У.К. Сопоставление результатов анализа переходных волновых процессов в оболочках и пластинах по теории упругости и приближенным теориям // Прикл. мат. и мех. 1969. Т. 33. Вып. 2.

90. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. JI.: Судпромгиз, 1962.

91. Образцов И.Ф., Нерубайло Б.В., Андрианов И.В. Асимптотические методы в строительной механике тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение, 1991.

92. Овсянников JI.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

93. Олвер П. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989.

94. Олыиак В. Савчук С. Неупругое поведение оболочек. М.: Мир, 1969.

95. Островский Л.А. Ударные волны и солитоны // Изв. вузов. Радиофизика. 1976. Т. 19. N5-6. С. 661-690.

96. Островский Л.А., Пелиновский E.H. О приближенных уравнениях для волн в средах с малыми нелинейностью и дисперсией // ПММ 1974. Т. 38 Вып. 1.

97. Островский Л.А., Сутин A.M. Нелинейные упругие волны в стержнях // ПММ. 1977. Т. 41 Вып. 3. С. 531-537.

98. Порубов A.B., Самсонов A.M. Уточненные модели распространения продольных волн деформации в нелинейно-упругом стержне // Письма в ЖТФ. 1993. T.19N12.

99. Потапов А.И. Нелинейные волны деформации в стержнях и пластинах. -Горький: Изд-во Горьк. Гос. ун-та, 1985.

100. Потапов А.И., Солдатов И.Н. Квазиплоский пучок нелинейных продольных волн в пластине // Акуст. журн. 1984. Т. 30. Вып. 6.

101. Потапов А.И., Солдатов И.Н. Квазиоптической приближение для пучка сдвиговых волн в наследственной среде // Прикл. механика и техн. физика. 1986. N1 С. 144-147.

102. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. -М.: Наука, 1984.

103. Райнхарт Д. Пирсон Д. Поведение металлов при импульсивных нагрузках. -М.: ИЛ., 1958.

104. Ржаницын А.Р. Теория ползучести. Изд-во литературы по строительству. Москва, 1968.

105. Саймондс П. Динамика неупругих конструкций. М.: Мир, 1982.

106. Самсонов A.M. Эволюция солитона в нелинейно-упругом стержне переменного сечения // ДАН СССР. 1984. Т. 277. N2 С. 332-335.

107. Самсонов A.M., Сокуринская Е.В. Уединенные продольные волны в неоднородном нелинейно-упругом стержне // ПММ. 1987. Т. 51 Вып. 3. С. 483-488.

108. Самсонов A.M. О существовании солитонов продольной деформации в бесконечном нелинейно-упругом стержне // ДАН СССР. 1988. Т. 299. С. 1083-1086.

109. Самсонов A.M., Сокуринская Е.В. О возможности возбуждения солитона продольной деформации в нелинейно-упругом стержне // ЖТФ. 1988. Т. 58. Вып. 8 С. 1632-1634.

110. Сейлер Д., Коттер Б., Саймондс П. Импульсивное нагружение упругопла-стических балок // Механика: Сб. перев. 1957. N4.

111. Стернберг Э. Некоторые новые успехи в приложении нелинейной теории упругости к сингулярным задачам // Механика деформируемых твердых тел. -М.: Мир, 1983.

112. Теория солитонов. Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980.113114115116117118119120121122,123,124.125.126.127.

113. Тзян Х.Ш., Лин Ц.Ц., Рейснер Е. О двумерном неустановившемся движении тела в сжимаемой жидкости // Газовая динамика. М., 1950. С. 181196.

114. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М.: Наука, 1971.

115. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. Томсон В. Поведение балок при ударе в упругой и пластической областях // Механика: Сб. перев. 1956 N1.

116. Шапиро Г.С. О распространении волн в упруго-вязко-пластических средах // Материалы II симпозиума по распростр. упр.-пласт, волн в сплошных средах. Баку: Изд-во АН АзССР, 1966.

117. Эйбрамсон Х.Н., Пласс X. Дж. Риппергер Э.А. Распространение волн напряжения в стержнях и балках // Проблемы механики. М.: Изд-во иностр. лит. 1961. Вып. 3.

118. Энгельбрехт Ю.К., Нигул У.К. Нелинейные волны деформации. М.: Наука, 1981.

119. Эриксен Дж. Исследования по механике сплошных сред. М.: Мир, 1977.

120. Ames W.F. , Adams Е., Lohner R.J. Group properties of solidsutt = f(U)Ux.x II Int. J. Non-linear Mech. 1981. V. 16 N5/6, P. 439-447.

121. Davey A. The propogation of a weak nonlinear wave // Journal of Fluid Mech. 1972. V. 53. Part 4.

122. Gibbon J.D., Radmore P., Tabor M. The Painleve property and Hirota's Method // Studies in Appl. math. 1985. V. 72. P. 39-63.

123. Grimshaw R., Malomed B. A note on interaction between solitary waves in a singularly perturbed Korteweg - de Vries equation // J. Phys. A: Math. Gen., 1993, V. 26 P. 4087-4091.

124. Erofeyev V.I. Microstructured solids. Mathematical models and wave processes analysis. Nizhny Novgorod. Intelservice Publ. Comp. 1996.

125. Hirota R. Exact solution of the Modified Korteweg de Vries equation for multiple collisions of solitons // J. Phys. Soc. Japan. 1972. V. 33. N5 P. 14561458.

126. Hunter S.C., Johnson I. A. The propogation of small amplitude elastic-plastic waves in the stressed bars, "Stress Waves in anelastic solids". Kolsky H., Prager W, IWTAM Symp. Brown Univ. Provid., 1964.

127. Human J.M., Nicolaenko B. The Kuramoto Sivashinsky equation: a bridge between PDE's and dynamical systems // Physica D. 1986. V. 18. N1-3. P. 113-126.

128. Jones N. A literature review on the dynamical plastic response of structures. -Shock Vibr. Digest. 1075. V. 8.

129. Kamenov O. Localised analytical solutions of the "FKdV" equation // Math. Balvan. 1993. V.7N1 P. 35-44.

130. Kane T.R., Mindlin R.D. High-frequency vibrations of plates // Journal of Applied Mech, 1956, V. 2. P. 556-563.

131. Kaplunov J.D, Kossovich L. Yu, Nolde E.V. Dynamics of thin walled elastic bodies. London: Academic Press, 1988.

132. Konig J. A. theory of shakedown of elastic plastic structures // Arch. Mech. Stos. 1966. T. 18.

133. Kudryashov N., Zargaryan E. Solitary waves in active dissipative media // J. Phys. A. 1996. V. 29 N24. P. 8067-8075.

134. Mindlin R.D. Waves and vibrations in isotropic elastics plates // Structural Mech., Proc. 1-st Simp, on Naval Struct. Mech. Pergamon Press, 1960.

135. Nariboli G.A. Nonlinear longitudinal waves in elastic rods // J. of Math. And phys. Sciences. 1970. V. 4. P. 64-73

136. Nariboli G.A., Sedov A. Burgers's Korteweg - de Vries equation for vis-coelastic rods and plates // J. Math. Anal. And Appl. 1970. V. 32 N3 P. 661677.

137. Nonlinear waves in solids; Minisymp., Washington, D.C., July 8-12, 1991 // Wave Motion. 1992. 16. N2.

138. Ostrovsky L.A. Nonlinear dynamics of media with complex structures // Dynamics of systems. 1993. V. 1 P. 115-130.

139. Planat M. and Hoummady M. Observation of soliton-like envelope modulations generated in an anisotropic quarts plate by metallic in interdigital transducers // Appl. Phys. Lett. 1989. V. 55. N2, P. 103.

140. Save М., Massonet Ch. Plastic analysis and design of plates shells and disks. -Amsterdam: North-Holland, 1972.

141. Stolarski H. Assessment of large displacements of a rigid-plastic shell witholding a localized impact. -Nucl. Engrg. Design. 1977. V. 41.

142. Stolarski H. An extremum principle for dynamic of rigid-plastic shells with large displacements. In: Theory of shells (Koiter W.T., Michailov G.K., eds.). - Amsterdam: North-Holland, 1980.112

143. Wadati M. The exact solution of the modified Korteweg de Vries equation // J. Phys. Soc. Japan. 1972, V. 32 . P. 1681.

144. Waszczyszyn Z. Calculation of finite deflections of elastic plastic plates and rotatioinally simmetric shell (на польском языке). Technol. Univ. Cracow, Rep. No. 5. 1970.

145. Weiss J., Tabor M., Carnevale G. The Painleve property for partial differential equation // J. Math. Phys. 1983, V. 24 P. 522-526.

146. Weiss J. The Painleve property for partial differential equations. II: Backlund transformation, Lax pairs, and the Schwarzian derivative // J. Math. Phys. 1983. V. 24 N6. P. 1405-1413.

147. Weiss J. The Painleve property and Backlund transformation for the sequence of Boussinesq equations // J. Math. Phys. 1985. V. 26 N2 P. 258-269.

148. Weiss J. Modified equations, rational solutions, and the Painleve property for the Kadomtsev Petviashvili and Hirota - Satsuma equations // Math. Phys. 1983. V. 26. N9. P. 2174-2180.