Моделирование квазипериодической динамики импульсных систем автоматического регулирования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Сухотерин, Евгений Александрович

• Сухотерин, Евгений Александрович
• кандидат технических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат технических наук Сухотерин, Евгений Александрович

Введение

1 Переход к хаосу через разрушение двумерного тора в кусочно-гладких динамических системах

1.1 Переход к хаосу через разрушение двумерного тора

1.2 Особенности сложной динамики кусочно-гладких динамических систем.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование квазипериодической динамики импульсных систем автоматического регулирования»

Актуальность теш*. Импульсные системы автоматического регулирования (САР) представляют собой важный класс нелинейных систем, широко используемых в различных областях промышленности, например, в машиностроении, энергетике, электрическом транспорте, нефтяной и газовой промышленности. Такие системы обычно описываются кусочно-гладкими дифференциальными уравнениями. Другие практические приложения, в которых приходится прибегать к рассмотрению кусочно-гладких динамических моделей, включают системы с сухим трением и виброударные осцилляторы, широкий класс устройств современной силовой электроники, электронные и радиотехнические системы с кусочно-гладкими характеристиками отдельных элементов.

Проблема сложной динамики в кусочно-гладких системах в последние годы привлекла столь значительное внимание исследователей, что сейчас уже можно говорить о формировании самостоятельного направления в нелинейной динамике — «хаос в кусочно-гладких динамических системах».

Большинство нелинейных явлений в кусочно-гладких динамических системах, открытых за эти годы, относятся преимущественно к исследованиям в области силовой электроники, теории управления (см., например, [1-6]), механики и аэрокосмической техники. Именно здесь впервые была осознана принципиальная роль С-бифуркаций (border-collision bifurcations) [7-10] в организации сложного поведения, открыт ряд новых динамических явлений, таких, например, как бифуркации периодических режимов с участками скольжения (sliding bifurcations, multisliding bifurcations, chattering) [11-14], мягкое рождение нескольких аттракторов или хаоса из периодического движения через С-бифуркацию (multiple-choice bifurcations) [15-17]. В то же время, ожидаемых результатов в изучении нелинейных процессов в кусочно-гладких системах, связанных с двухчастотными режимами, получить пока не удаётся. Между тем, хорошо известно, что во многих практически важных классах систем, таких, например, как устройства силовой электроники, импульсные системы автоматического регулирования, описываемые кусочно-гладкими дифференциальными уравнениями или кусочно-гладкими отображениями, реализуется квазипериодический сценарий развития сложной динамики.

Переход к хаосу через разрушение двумерного тора является одним из классических сценариев хаотизации колебаний в диссипативных системах [18-21]. В. С. Афраймович и Л. П. Шильников доказали теорему о разрушении двумерного тора с резонансной структурой и указали возможные пути возникновения хаотической динамики [22]. Общий характер выводов этой теоремы был подтверждён численно и экспериментально для широкого класса дискретных и потоковых систем [23-28]. Однако, имеющиеся результаты относятся, главным образом, к гладким системам.

В кусочно-гладких системах механизмы разрушения двумерного тора могут принципиально отличаться от установленных Афраймо-вичем и Шильниковым [5, 29-32]. Это связано с тем, что в таких системах усложнение колебаний может быть связано как с локальными, гомо- и гетероклиническими бифуркациями, так и с С-бифуркациями. До настоящего времени остаётся невыясненным, какие типы бифуркаций ответственны за потерю гладкости тора и последующее его разрушение в кусочно-гладких системах.

В нелинейной динамике эталонные, или базовые модели играют чрезвычайно важную роль. К настоящему времени пока ещё не выделен класс базовых математических моделей, позволяющих детально изучить основные закономерности, свойства и бифуркационные механизмы перехода к хаосу через разрушение двумерного тора в кусочно-гладких динамических системах.

В связи с этим поиск путей создания базовых моделей многомерных кусочно-гладких динамических систем, демонстрирующих переход к хаосу через разрушение двумерного тора, разработка алгоритмов и комплекса программ численного анализа бифуркаций периодических движений на поверхности тора, анализ и выявление закономерностей потери гладкости и разрушения двумерного тора в кусочно-гладких системах являются актуальными задачами.

Диссертационная работа выполнена при реализации НИР, проводившихся в рамках международного сотрудничества Курского государственного технического университета с Центром моделирования, нелинейной динамики и необратимой термодинамики Датского технического университета. Исследование поддержано грантами Министерства образования Российской Федерации по фундаментальным исследованиям в области естественных и точных наук (грант Б02-2.0-81, 2003-2004 гг.) и научной программы «Университеты России» (грант УР.03.01.004, 2004-2005 гг.), а также частично фондом Датского Совета по естественнонаучным исследованиям (The Danish Natural Science Research Council, SNF).

Объект исследований. Преобразователи электрической энергии с релейным и широтно-импульсным регулированием.

Цель и задачи исследования. Разработка алгоритмов и комплекса программ численного моделирования и анализа бифуркаций периодических движений на двумерном торе, анализ и выявление закономерностей потери гладкости и разрушения двумерного резонансного тора в кусочно-гладких динамических моделях импульсных систем автоматического регулирования.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1. Формирование базовых математических моделей широтно-импульсных систем автоматического регулирования с квазипериодической динамикой.

2. Разработка алгоритмов и комплекса программ численного моделирования и анализа бифуркаций периодических движений на двумерном торе.

3. Анализ и выявление закономерностей разрушения резонансного тора в кусочно-гладких моделях систем автоматического регулирования с широтно-импульсной модуляцией (ШИМ).

4. Исследование закономерностей разрушения резонансного тора в релейной системе с гистерезисом.

Научная новизна работы. В диссертационной работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

1. Разработана обобщённая математическая модель, описывающая поведение систем автоматического регулирования с двумя различными видами широтно-импульсной модуляции в форме кусочно-гладкого стробоскопического отображения методом сечения Пуанкаре, позволяющая использовать единый подход при разработке вычислительных алгоритмов моделирования и анализа квазипериодической динамики.

2. Разработаны алгоритмы численного моделирования и анализа бифуркаций на двумерном торе, позволяющие исследовать закономерности перехода к хаосу через разрушение двумерного резонансного тора и включающие:

2.1 Гибридный алгоритм поиска периодических режимов, основанный на сочетании четырёх подходов:

• численного решения уравнения для неподвижной точки т-кратного отображения, позволяющего находить устойчивые и неустойчивые циклы заданного периода независимо от типа;

• решения системы трансцендентных уравнений относительно коэффициентов заполнения импульсов, позволяющего находить устойчивые и неустойчивые циклы заданного типа;

• модифицированного метода установления, позволяющего находить устойчивые циклы, когда их существует несколько, различать периодические и апериодические колебания;

• описания траектории периодического движения при помощи символической характеристики и эвристического алгоритма поиска неустойчивых циклов.

2.2 Алгоритм анализа локальной устойчивости периодических решений, основанный на линеаризации стробоскопического отображения в окрестности периодического движения и численно-аналитическом вычислении оператора монодромии, позволяющего с заданной точностью рассчитывать бифуркационные значения параметров и идентифицировать типы бифуркаций.

2.3 Алгоритм расчёта одномерных неустойчивых многообразий седловых движений кусочно-гладких систем, основанный на эвристическом алгоритме расчёта неустойчивых циклов и стандартном алгоритме расчёта неустойчивых многообразий седловых движений.

3. Разработанные алгоритмы бифуркационного анализа позволили впервые для резонансных языков кусочно-гладких динамических систем построить границы разрушения резонансного тора через гомоклиническую бифуркацию и линии потери гладкости тора, связанные с появлением комплексных мультипликаторов резонансного цикла. Установлено, что в кусочно-гладких системах потеря гладкости тора при появлении комплексных мультипликаторов может происходить как непрерывно, так и скачком через С-бифуркацию простого изменения типа решения.

4. Анализ динамики математических моделей широтно-импульсных САР позволил установить следующие закономерности разрушения резонансного тора:

4.1 Выявлены два способа разрушения резонансного тора, связанные с касанием устойчивых и неустойчивых многообразий седловых циклов. В первом случае, характерном для области мультистабильности, разрушение тора происходит через ге-тероклиническую бифуркацию при касании неустойчивого многообразия седлового цикла с устойчивым многообразием другого седлового цикла, не лежащего на торе. Во втором случае тор разрушается через гомоклиническую бифуркацию, когда неустойчивое многообразие седлового движения касается с устойчивым того же седлового цикла.

4.2 Установлено, что после разрушения тора устойчивый цикл может и не исчезать. Исчезновение устойчивого цикла происходит следующим образом: седловой цикл, лежащий на границе бассейнов притяжения апериодического движения и устойчивого цикла, «подтягивается» к устойчивому циклу, сливается с ним и исчезает через С-бифуркацию. Поэтому в каждом клюве имеется область сосуществования устойчивого цикла с режимом апериодических колебаний, ограниченная С-бифуркационной линией и линией гомоклинической бифуркации.

5. Выявлено, что в релейной системе с гистерезисом разрушение резонансного тора происходит в соответствии с двумя сценариями Афраймовича-Шильникова, а именно, в результате бифуркации удвоения периода и через гомоклиническую бифуркацию.

Методы исследования. Полученные в диссертационной работе результаты базируются на использовании методов математического моделирования, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории нелинейных колебаний, теории устойчивости и бифуркаций, методов вычислительной математики и теории автоматического управления.

Практическая ценность. Разработанные математические модели, методы, вычислительные алгоритмы и установленные в исследованиях закономерности квазипериодической динамики кусочно-гладких динамических систем могут быть использованы для анализа, моделирования и проектирования широкого класса импульсных систем автоматического регулирования, устройств силовой электроники.

При непосредственном участии автора разработаны методики, алгоритмы и пакет прикладных программ для исследования бифуркаций и хаотических колебаний в динамике систем автоматического регулирования с широтно-импульсной модуляцией. Разработка внедрена на ОАО «Счётмаш» (г. Курск) и использована при проектировании импульсных источников электропитания с бестрансформаторным входом.

Научно-методические результаты, полученные в диссертационной работе, внедрены в учебный процесс и используются в Курском государственном техническом университете при изучении дисциплин «Моделирование», «Основы теории управления», «Математические методы расчёта электронных схем».

Апробация результатов. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и получили положительные оценки на: Международной молодёжной научной конференции «XXV Га-гаринские чтения» (Москва, 1999); молодёжной научно-технической конференции технических вузов Центральной России (Брянск, 2000, первое место в конкурсе научных работ); 9-й Международной студенческой олимпиаде по автоматическому управлению (Санкт-Петербург, 2002); 11-й Международной конференции «Нелинейная динамика электронных систем» ("Nonlinear Dynamics of Electronic Systems 2003", NDES 2003, Шульс (Scuol/Schuls), Швейцария, 2003); Международной конференции «Физика и управление» ("Physics and control", PhysCon'03, Санкт-Петербург, 2003); 6-й Международной конференции «Распознавание» (Курск, 2003); 6-й Международной научно-технической конференции «Вибрация-2003» (Курск, 2003); научных семинарах кафедры вычислительной техники Курского государственного технического университета (1999-2004).

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Семейство базовых математических моделей широтно-импульс-ных систем автоматического регулирования с квазипериодической динамикой, алгоритмы численного моделирования и анализа бифуркаций на двумерном торе в кусочно-гладких динамических системах.

2. Закономерности потери гладкости и разрушения двумерного резонансного тора в кусочно-гладких математических моделях систем автоматического регулирования с широтно-импульсной модуляцией, связанные с С-бифуркациями, гомо- и гетероклиниче-скими бифуркациями.

3. Закономерности разрушения двумерного тора с резонансной структурой в кусочно-гладкой автономной модели релейной системы с гистерезисом через бифуркацию удвоения периода и го-моклиническую бифуркацию.

Публикации. Результаты диссертации отражены в 11 печатных работах. В работах, выполненных в соавторстве, соискателю принадлежат: в [33, 34] — результаты расчёта и анализа одной из картин ветвления для релейной системы с гистерезисом; в [30] — бифуркационный анализ резонансного языка с числом вращения 1:6; в [35, 36] — математическая модель, комплекс программ, алгоритмы бифуркационного анализа и результаты исследования сценария перехода к хаосу через квазипериодичность для системы автоматического регулирования с симметричной ШИМ-1; в [37, 38] — математическая модель, расчёт карт резонансных языков и анализ их расположения в плоскости параметров; в [39, 40] — анализ бифуркации рождения двумерного тора в релейной системе с гистерезисом.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы, включающего 149 наименований и приложения, изложена на 141 странице, содержит 46 рисунков и 1 таблицу.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Сухотерин, Евгений Александрович

4.5 Основные результаты и выводы

1. Установлено, что в релейной системе с гистерезисом квазипериодические и резонансные режимы располагаются на различных типах (одно-, двух- и пятиоборотном) двумерных торов в фазовом пространстве, возникающих через суперкритическую бифуркацию Андронова-Хопфа из циклов соответствующего периода.

2. Выявлен бифуркационный переход, при котором эргодический пятиоборотный тор мягко трансформируется в эргодический од-нооборотный тор. Установлено, что этот переход связан с гомо-клинической бифуркацией.

3. Выявлено, что в релейной системе с гистерезисом разрушение резонансного тора происходит в соответствии с двумя сценариями Афраймовича-Шильникова, а именно:

3.1 В результате бифуркации удвоения периода. В этом случае резонансный тор сначала теряет гладкость при появлении пары комплексно-сопряжённых мультипликаторов устойчивого цикла. Затем резонансный цикл теряет устойчивость (один из мультипликаторов выходит из единичного круга через — 1), что приводит к возникновению цикла удвоенного периода и разрушению резонансного тора.

3.2 Через гомочслиническую бифуркацию. При этом сначала на неустойчивом многообразии седлового цикла возникают складки, затем это многообразие первый раз касается устойчивого многообразия седлового цикла. Дальнейшее изменение параметров приводит к возникновению точек трансверсально-го пересечения и, наконец, ко второму касанию неустойчивого и устойчивого многообразий седлового цикла и разрушению тора.

Заключение

В диссертационной работе решена задача разработки базовых моделей многомерных кусочно-гладких динамических систем, демонстрирующих переход к хаосу через разрушение двумерного тора, алгоритмов и комплекса программ численного анализа бифуркаций периодических движений на поверхности тора, анализа и выявления закономерностей потери гладкости и разрушения двумерного тора в кусочно-гладких системах.

При решении задачи диссертационной работы получены следующие результаты.

1. Разработана обобщённая математическая модель, описывающая поведение систем автоматического регулирования с двумя различными видами широтно-импульсной модуляции в форме кусочно-гладкого стробоскопического отображения методом сечения Пуанкаре, позволяющая использовать единый подход при разработке вычислительных алгоритмов моделирования и анализа квазипериодической динамики.

2. Разработаны алгоритмы численного моделирования и анализа бифуркаций на двумерном торе, позволяющие исследовать закономерности перехода к хаосу через разрушение двумерного резонансного тора и включающие:

2.1 Гибридный алгоритм поиска периодических режимов, основанный на сочетании четырёх подходов:

• численного решения уравнения для неподвижной точки тп-кратного отображения, позволяющего находить устойчивые и неустойчивые циклы заданного периода независимо от типа;

• решения системы трансцендентных уравнений относительно коэффициентов заполнения импульса, позволяющего находить устойчивые и неустойчивые циклы заданного типа;

• модифицированного метода установления, позволяющего находить устойчивые циклы, когда их существует несколько, различать периодические и апериодические колебания;

• описания траектории периодического движения при помощи символической характеристики и эвристического алгоритма поиска неустойчивых циклов.

2.2 Алгоритм анализа локальной устойчивости периодических решений, основанный на линеаризации стробоскопического отображения в окрестности периодического движения и численно-аналитическом вычислении оператора монодромии, позволяющего с заданной точностью рассчитывать бифуркационные значения параметров и идентифицировать типы бифуркаций.

2.3 Алгоритм расчёта одномерных неустойчивых многообразий седловых движений кусочно-гладких систем, основанный на эвристическом алгоритме расчёта неустойчивых циклов и стандартном алгоритме расчёта неустойчивых многообразий седловых движений.

Разработанные алгоритмы численного анализа бифуркаций на двумерном торе реализованы в виде комплекса программ на языке Borland Pascal.

3. Разработанные алгоритмы бифуркационного анализа позволили впервые для резонансных языков кусочно-гладких динамических систем построить границы разрушения резонансного тора через гомоклиническую бифуркацию и линии потери гладкости тора, связанные с появлением комплексных мультипликаторов резонансного цикла. Установлено, что в кусочно-гладких системах потеря гладкости тора при появлении комплексных мультипликаторов может происходить как непрерывно, так и скачком через С-бифуркацию простого изменения типа решения.

4. Анализ динамики математических моделей широтно-импульсных САР позволил установить следующие закономерности разрушения резонансного тора:

4.1 Выявлены два способа разрушения резонансного тора, связанные с касанием устойчивых и неустойчивых многообразий седловых циклов. В первом случае, характерном для области мультистабильности, разрушение тора происходит через ге-тероклиническую бифуркацию при касании неустойчивого многообразия седлового цикла с устойчивым многообразием другого седлового цикла, не лежащего на торе. Во втором случае тор разрушается через гомоклиническую бифуркацию, когда неустойчивое многообразие седлового движения касается с устойчивым того же седлового цикла.

4.2 Установлено, что после разрушения тора устойчивый цикл может и не исчезать. Исчезновение устойчивого цикла происходит следующим образом: седловой цикл, лежащий на границе бассейнов притяжения апериодического движения и устойчивого цикла, «подтягивается» к устойчивому циклу, сливается с ним и исчезает через С-бифуркацию. Поэтому в каждом клюве имеется область сосуществования устойчивого цикла с режимом апериодических колебаний, ограниченная С-бифуркационной линией и линией гомоклинической бифуркации.

5. Выявлено, что в релейной системе с гистерезисом разрушение резонансного тора происходит в соответствии с двумя сценариями Афраймовича-Шильникова, а именно, в результате бифуркации удвоения периода и через гомоклиническую бифуркацию.

6. При непосредственном участии автора разработаны методики, алгоритмы и специализированный пакет прикладных программ для исследования бифуркаций и хаотических колебаний в динамике систем автоматического регулирования с широтно-импульсной модуляцией. Разработка использована при проектировании импульсных источников электропитания с бестрансформаторным входом.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Сухотерин, Евгений Александрович, 2004 год

1. Исследование локальной устойчивости периодических режимов в нелинейных импульсных системах / О. А. Алейников, В. С. Ба-ушев, А. В. Кобзев, Г. Я. Михальченко // Электричество.— 1991. — № 4.— С. 23-31.

2. Баушев, В. С. О недетерминированных режимах функционирования стабилизатора напряжения с широтно-импульсным регулированием / В. С. Баушев, Ж. Т. Жусубалиев // Электричество,- 1992.- № 8,- С. 47-53.

3. Баушев, В. С. Стохастичность в динамике стабилизатора напряжения с широтно-импульсным регулированием / В. С. Баушев, Ж. Т. Жусубалиев, С. Г. Михальченко // Электричество. — 1996.- X* 3.- С. 69-75.

4. Nonlinear phenomena in power electronics: bifurcations, chaos, control, and applications / Ed. by S. Banerjee, G. C. Verghese.— IEEE Press, 2001.— 472 pp.

5. Zhusubaliyev, Zh. T. Bifurcations and Chaos in Piecewise-Smooth Dynamical Systems / Zh. T. Zhusubaliyev, E. Mosekilde. — Singapore: World Scientific, 2003. — 376 pp.

6. Tse, С. K. Complex behavior of switching power converters / С. K. Tse. — Boca Raton, USA: CRC Press, 2003.

7. Фейгин, М. И. Удвоение периода колебаний при С-бифуркациях в кусочно-непрерывных системах / М. И. Фейгин // Прикладная механика и механика. — 1970. — Т. 34, № 5. — С. 861-869.

8. Фейгин, М. И. Вынужденные колебания систем с разрывными нелинейностями / М. И. Фейгин. — М.: Наука, 1994. — 288 с.

9. Hommes, С. Н. "Period three to period two" bifurcation for piecewise linear models / С. H. Hommes, H. E. Nusse //J. Economics.— 1991.- Vol. 54.- Pp. 157-169.

10. Johansson, К. H. Fast switching in relay feedback systems / К. H. Johansson, A. Rantzer, K. J. Astrom // Automatica. — 1999. — Vol. 35, no. 4.- Pp. 539-552.

11. Johansson, К. H. Limit cycles with chattering in relay feedback systems / К. H. Johansson, A. Barabanov, K. J. Astrom // IEEE Transactions on Automatic Control.— 2002,— Vol. 47, no. 9.— Pp. 1414-1423.

12. Kapitaniak, T. Multiple choice bifurcations as a source of unpredictability in dynamical systems / T. Kapitaniak, Yu. L. Maistrenko // Phys. Rev. E.— 1998.— Vol. 58, no. 4.— Pp. 5161-5163.

13. C-bifurcations in the dynamics of control system with pulse-width modulation / Zh. T. Zhusubaliyev, V. S. Titov, E. Yu. Emelyanova,

14. E. A. Soukhoterin // Материалы 2-й международной конференции «Управление колебаниями и хаосом» ("Control of Oscillations and Chaos", COC'2000). — Vol. 1.— СПб.: 2000.— Pp. 203-204.

15. Zhusubaliyev, Zh. T. Border-collision bifurcations and chaotic oscillations in a piecewise-smooth dynamical system / Zh. T. Zhusubaliyev, E. A. Soukhoterin, E. Mosekilde // Int. J. Bifurcation Chaos. — 2001.— Vol. 11, no. 12.— Pp. 2977-3001.

16. Ruelle, D. On the nature of turbulence / D. Ruelle, F. Takens // Commun. Math. Phys.- 1971.- Vol. 20.- Pp. 167-192.

17. Рюэль, Д. О природе турбулентности / Д. Рюэль, Ф. Такенс // Странные аттракторы / Под ред. Я. Г. Синая, Л. П. Шильнико-ва.— М.: Мир, 1981.— С. 117-151.

18. Newhouse, S. Occurrence of strange axiom A attractors near quasi-periodic flows on Tm, m > 3 / S. Newhouse, D. Ruelle,

19. F. Takens // Comm. Math. Phys.— 1979.— Vol. 64, no. 1.— Pp. 35-40.

20. Universal transition from quasiperiodicity to chaos in dissipative systems / S. Ostlund, D. Rand, J. Sethna, E. D. Siggia // Physica D. — 1983. — Vol. 8, no. 3. — Pp. 303-342.

21. Афраймович, В. С. Инвариантные двумерные торы, их разрушение и стохастичность / В. С. Афраймович, Л. П. Шильников // Методы качественной теории дифференциальных уравнений. — Горький: Изд-во Горьк. ун-та, 1983. — С. 3-26.

22. Maurer, J. Rayleigh-Benard experiment in liquid helium: Frequency locking and the onset of turbulence / J. Maurer, A. Libchaber //J. Phys. Lett. — 1979. no. 50. - Pp. L419-L423.

23. Bifurcations from an invariant circle for two-parameter families of maps of the plane: A computer-assisted study / D. G. Aranson, M. A. Chori, G. R. Hall, R. P. McGenehe // Comm. Math. Phys. — 1982. — no. 83. — Pp. 303-354.

24. Pranceschini, V. Bifurcations of tori and phase locking in a dissipative system of differential equations / V. Pranceschini // Physica D. — 1982. — Vol. 6, no. 3. — Pp. 285-304.

25. Stavans, J. Experimental study of quasiperiodicity in a hydrodynamical systems / J. Stavans // Phys. Rev. A.— 1987.— no. 35. Pp. 4314r-4328.

26. Аншценко, В. С. Механизмы разрушения инвариантной кривой в модельном отображении плоскости / В. С. Анищенко, М. А. Сафонова // Радиотехника и электроника.— 1987.— Т. 32, № 6.— С. 1207-1216.

27. Жусубалиев, Ж. Т. Теоретические и алгоритмические основы хаотической динамики релейных и широтно-импульсных систем автоматического управления: Дисс. докт. техн. наук: 05.13.06. — Курск, 2002. — 357 с.

28. Zhusubaliyev, Zh. Т. Border-collision bifurcations on a two-dimensional torus / Zh. T. Zhusubaliyev, E. A. Soukhoterin, E. Mosekilde // Chaos, Solitons and Fractals.— 2002.— Vol. 13, no. 9. — Pp. 1889-1915.

29. Zhusubaliyev, Zh. T. Torus birth bifurcations in piecewise-smooth dynamical systems / Zh. T. Zhusubaliyev, E. Mosekilde // Phys. Rev. E. — 2004. — submitted.

30. Zhusubaliyev, Zh. T. Torus breakdown in piecewise-smooth dynamical systems / Zh. T. Zhusubaliyev, E. Mosekilde // Phys. Rev. Lett. — 2004. — submitted.

31. Bifurcations and chaotic oscillations in an automatic control relay system with hysteresis / Zh. T. Zhusubaliyev, E. A. Soukhoterin, V. N. Rudakov et al. // Int. J. Bifurcation Chaos. — 2001. — Vol. 11, no. 5.- Pp. 1193-1231.

32. Жусубалиев, Ж. Т. Квазипериодические колебания в релейной системе с гистерезисом / Ж. Т. Жусубалиев, Е. А. Сухотерин // Системы управления и информационные технологии. — 2004. — № 1.- С. 15-20.

33. Анищенко, В. С. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем / В. С. Анищенко, Т. Е. Вадивасова, В. В. Астахов. — Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1999. — 368 с.

34. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах / В. С. Анищенко, В. В. Астахов, Т. Е. Вадивасова и др. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. — 544 с.

35. Кузнецов, С. П. Динамический хаос / С. П. Кузнецов. Сер. Современная теория колебаний и волн.— М.: Изд-во физико-математической литературы, 2001.— 296 с.

36. Пиковский, А. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление / А. Пиковский, М. Розенблюм, Ю. Курте.— М.: Техносфера, 2003. — 496 с.

37. Арнольд, В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко.— М.: ВИНИТИ, 1985.— Т. 1. Динамические системы — 1, ч. I из Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — 149 с.

38. Maistrenko, V. Torus breakdown in noninvertible maps / V. Maistrenko, Yu. Maistrenko, E. Mosekilde // Phys. Rev. E.— 2003. — Vol. 67, no. 4. — Pp. 046215-1-046215-6.

39. Теория бифуркаций / В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников. — М.: ВИНИТИ, 1986.— Т. 5. Динамические системы — 5, ч. I из Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — 218 с.

40. Afraimovich, V. S. Invariant two-dimensional tori, their breakdown and stochasticity / V. S. Afraimovich, L. P. Shilnikov // Amer. Math. Soc. Transl. — 1991. — Vol. 149, no. 2. — Pp. 201-212.

41. Bifurcation theory / V. I. Arnold, V. S. Afraimovich, Y. S. Il'yashenko, L. P. Shilnikov // Dynamical Systems, Encyclopaedia of Mathematical Sciences 5. — Berlin: Springer-Verlag, 1994.

42. Жусубалиев, Ж. Т. О синхронизации квазипериодических колебаний при С-бифуркациях в неавтономной кусочно-линейной динамической системе / Ж. Т. Жусубалиев, Е. Ю. Емельянова // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. — 2000. — Т. 8, № 5. С. 15-30.

43. Ivanova, E. N. Development of complex behaviour in piecewise-smooth control systems / E. N. Ivanova, E. A. Soukhoterin / / Preprints of the 9th International student Olympiad on automatic control (Baltic Olympiad).— Saint-Petersburg: 2002. — Pp. 69-73.

44. Zhusubaliyev, Zh. T. Complexity and chaos in piecewise-smooth dynamical systems / Zh. T. Zhusubaliyev, E. A. Soukhoterin,

45. E. Mosekilde // Proc. of int. conf. "Physics and Control 2003" (PhysCon'03).— Saint-Petersburg: 2003.— Pp. 1159-1164.

46. Zhusubaliyev, Zh. T. Routes to chaos in piecewise-smooth dynamical systems / Zh. T. Zhusubaliyev, B. A. Soukhoterin, Б. Mosekilde // Electronic Transactions on Numerical Analysis. — 2003. — in press.

47. Жусубалиев, Ж. Т. Квазипериодическая динамика релейной системы с гистерезисом / Ж. Т. Жусубалиев, Е. А. Сухоте-рин // Материалы 6-й междунар. конф. «Распознавание-2003». — Курск: 2003. — С. 274-276.

48. Жусубалиев, Ж. Т. Бифуркации и хаос в релейных и широтно-импульсных системах автоматического управления / Ж. Т. Жусубалиев, Ю. В. Колоколов.— М.: Машиностроение-1, 2001.— 120 с.

49. Local analysis of C-bifurcations in n-dimensional piecewise-smooth dynamical systems / M. di Bernardo, M. I. Feigin, S. J. Hogan, M. E. Homer // Chaos, Solitons and Fractals.— 1999.— Vol. 10, no. 11.— Pp. 1881-1908.

50. Halse, C. C-bifurcations and period-adding in one-dimensional piecewise-smooth maps / C. Halse, M. Homer, M. di Bernardo // Chaos, Solitons and Fractals. — 2003. — Vol. 18. — Pp. 953-976.

51. Banerjee, S. Border collision bifurcations in two-dimensional piecewise smooth maps / S. Banerjee, C. Grebogi // Phys. Rev. E.— 1999.— Vol. 59, no. 4.— Pp. 4052-4061.

52. Banerjee, S. Bifurcations in two-dimensional piecewise smooth maps — Theory and applications in switching circuits / S. Banerjee, P. Ranjan, C. Grebogi // IEEE Trans. Circuits and Systems I: Fund. Theory and Appl.— 2000.— Vol. 47, no. 5.— Pp. 633-643.

53. Border-collision bifurcations in the buck converter / G. H. Yuan, S. Banerjee, E. Ott, J. A. Yorke // IEEE Trans. Circuits and Systems I: Fund. Theory and Appl.— 1998.— Vol. 45, no. 7.— Pp. 707-716.

54. Jain, P. Border-collision bifurcations in one-dimensional discontinuous maps / P. Jain, S. Banerjee // Int. J. Bifurcation Chaos.— 2003.— Vol. 13, no. 11.— Pp. 3341-3351.

55. Parui, S. Border collision bifurcations at the change of state-space dimension / S. Parui, S. Banerjee // Chaos.— 2002.— Vol. 12, no. 4. — Pp. 1054-1069.

56. Фейгин, M. И. О рождении семейств субгармонических режимов в кусочно-непрерывной системе / М. И. Фейгин // Прикладная механика и механика. — 1974. — Т. 38, X* 5. — С. 810-818.

57. Фейгин, М. И. О структуре с-бифуркационных границ кусочно-непрерывных систем / М. И. Фейгин // Прикладная механика и механика. — 1978. — Т. 42, № 5. — С. 820-829.

58. Nusse, Н. Е. Border-collision bifurcations: An explanation for observed bifurcation phenomena / H. E. Nusse, E. Ott, J. A. Yorke // Phys. Rev. E. — 1994. — Vol. 49. — Pp. 1073-1076.

59. Nusse, H. E. Border-collision bifurcation for piecewise smooth one-dimensional maps / H. E. Nusse, J. A. Yorke // Int. J. Bifurcation Chaos. — 1995. — Vol. 5, no. 1. — Pp. 189-207.

60. Secondary bifurcations and high periodic orbits in voltage controlled buck converter / M. di Bernardo, E. Fossas, G. Olivar, F. Vasca // Int. J. Bifurcation Chaos.— 1997.— Vol. 7.— Pp. 2755-2771.

61. Switchings, bifurcations, and chaos in DC/DC converters / M. di Bernardo, F. Garofalo, L. Glielmo, F. Vasca // IEEE Trans. Circuits and Systems I: Fund. Theory and Appl. — 1998. — Vol. 45, no. 2.— Pp. 133-141.

62. Multiple attractor bifurcations: a source of unpredictability in piecewise smooth systems / M. Dutta, H. E. Nusse, E. Ott et al. // Phys. Rev. Lett.- 1999.- Vol. 83, no. 21.- Pp. 4281-4284.

63. Hopf bifurcation and chaos from torus breakdown in a PWM voltage-controlled DC-DC boost converter / A. El Aroudi, L. Benadero, E. Toribio, G. Olivar // IEEE Trans. Circuits and Systems I: Fund. Theory and Appl. — 1999.— Vol. 46.— Pp. 1374-1382.

64. Quasiperiodicity and chaos in the DC-DC buck-boost converter / A. El Aroudi, L. Benadero, E. Toribio, S. Machiche // Int. J. Bifurcation Chaos. — 2000. — Vol. 10, no. 2. — Pp. 359-371.

65. El Aroudi, A. Quasi-periodic route to chaos in a PWM voltage-controlled DC-DC boost converter / A. El Aroudi, R. Leyva // IEEE Trans. Circuits and Systems I: Fund. Theory and Appl. — 2001. — Vol. 48, no. 8. — Pp. 967-978.

66. El Aroudi, A. Quasi-periodic phenomena and phase-locked orbits in DC-DC boost switching regulators / A. El Aroudi, G. Olivar // Proc. of 15th IFAC Congress. — Barcelona, Spain: 2002, July 22-26.

67. Rasmussen, D. R. Bifurcations and chaos in a generic management model / D. R. Rasmussen, E. Mosekilde // Eur. J. Oper. Res.— 1988.- Vol. 35, no. 1.- Pp. 80-88.

68. Mosekilde, E. Deterministic chaos in the beer production-distribution model / E. Mosekilde, E. R. Larsen // Syst. Dyn. Rev. — 1988. — Vol. 4, no. 1-2.- Pp. 131-147.

69. Hicks' trade cycle revisited: Cycles and bifurcations / M. Gallegati, L. Gardini, T. Puu, I. Sushko // Math. Comp. Sim.— 2003.— Vol. 63. Pp. 505-527.

70. Johnson, M. A. Experimental characterization of quasiperiodicity and chaos in a mechanical system with delay / M. A. Johnson,

71. F. С. Moon 11 Int. J. Bifurcation Chaos.— 1999.— Vol. 9, no. 1.— Pp. 49-65.

72. Domenichini, F. Quasiperiodicity and chaos in the dynamics of an elastically mounted circular cylinder / F. Domenichini // Eur. J. Mech. — 2002. — Vol. 21, no. 3. — Pp. 341-354.

73. Vittori, G. Quasiperiodicity and phase locking route to chaos in the 2-D oscillattory flow around a circular cylinder / G. Vittori, P. Blondeaux // Phys. Fluids A.— 1993.— Vol. 5, no. 3.— Pp. 1866-1868.

74. Mustafa, G. Experimental evidence of quasiperiodicity and its breakdown in the column-pendulum oscillator / G. Mustafa, A. Ertas // J. Dyn. Syst. Meas. Contr.— 1995.— Vol. 117, no. 2.— Pp. 218-225.

75. Глазенко, Т. А. Состояние и перспективы применения полупроводниковых преобразователей в приборостроении / Т. А. Глазенко, В. С. Томасов // Известия ВУЗов. Приборостроение.— 1996. Т. 39, № 3. - С. 6-12.

76. Розанов, Ю. К. Полупроводниковые преобразователи со звеном повышенной частоты / Ю. К. Розанов.— М.: Энергоатомиздат, 1987.- 184 с.

77. Кобзев, А. В. Модуляционные источники питания РЭА / А. В. Кобзев, Г. Я. Михальченко, Н. М. Музыченко. — Томск: Радио и связь, Томский отдел, 1990. — 336 с.

78. Моин, В. С. Стабилизированные транзисторные преобразователи / В. С. Моин. — М.: Энергоатомиздат, 1986.— 376 с.

79. Берендс, Д. А. Приборы и системы автоматического управления с широтно-импульсной модуляцией / Д. А. Верендс, Р. М. Куку-лиев, К. К. Филиппов.— Л.: Машиностроение, 1989.— 272 с.

80. Четти, П. Р. К. Проектирование ключевых источников электропитания / П. Р. К. Четти. — М.: Энергоатомиздат, 1990. — 191 с.

81. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков.— М.: Наука, 1987.

82. Деннис, Д. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений / Д. Деннис, Р. Шнабель. — М.: Мир, 1988. — 440 с.

83. Розенвассер, В. Н. Колебания нелинейных систем / Е. Н. Розен-вассер.— М.: Наука, 1969.— 576 с.

84. Рудаков, В. Н. Хаос в динамике стабилизированных преобразователей электрической энергии с релейным регулированием: Дисс канд. техн. наук: 05.13.07.— Курск, 1998.— 180 с.

85. Parker, Т. S. Practical numerical algorithms for chaotic systems / T. S. Parker, L. O. Chua. — New York: Springer-Verlag, 1989. — 362 pp.

86. Паркер, Т. С. Введение в теорию хаотических систем для инженеров / Т. С. Паркер, Л. О. Чуа // ТИИЭР.- 1987.- Т. 75, № 8. С. 6-40.

87. Bifurcations of attracting cycles from time-delayed Chua's circuit / Yu. L. Maistrenko, V. L. Maistrenko, S. I. Vikul, L. O. Chua // Int. J. Bifurcation Chaos.— 1995.— Vol. 5, no. 3.— Pp. 653-671.

88. Я. 3. Цыпкин. Релейные автоматические системы / Я. 3. Цып-кин.— М.: Наука, 1974.— 576 с.

89. Tsypkin, Ya. Z. Relay control systems / Ya. Z. Tsypkin. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1984. — 530 pp.

90. Андронов, А. А. Теория колебаний / А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин.— М.: Физматгиз, 1959.— 916 с.

91. Fltigge-Lotz, I. Discontinuous and optimal control / I. Fliigge-Lotz. — New York, NY, USA: McGraw-Hill, 1968. 296 pp.

92. Astrom, K. J. Oscillations in systems with relay feedback / K. J. Astrom // Adaptive control, filtering, and signal processing, IMA volumes in mathematics and its applications, Vol. 74. — Berlin: Springer-Verlag, 1995. — Pp. 1-25.

93. Holmberg, U. Relay feedback of simple systems: Ph. D. thesis TFRT-1034 / Dept. of Automatic Control, Lund Institute of Technology, Lund, Sweden. — 1991.

94. Johansson, К. H. Relay feedback and multivariable control: Ph. D. thesis TFRT-1048 / Dept. of Automatic Control, Lund Institute of Technology, Lund, Sweden. — 1997.

95. Fltigge-Lotz, I. Discontinuous automatic control / I. Fliigge-Lotz. — Princeton: Princeton Univ. Press, 1953. — 176 pp.

96. Уткин, В. И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления / В. И. Уткин.— М.: Наука, 1981.— 368 с.

97. Utkin, V. I. Sliding modes in control optimization / V. I. Utkin.— Berlin: Springer-Verlag, 1992. — 286 pp.

98. Balasubramanian, R. Stability of limit cycles in feedback systems containing a relay / R. Balasubramanian // IEE Proc. D. — 1981. — Vol. 128, no. 1. — Pp. 24-29.

99. Atherton, D. P. Analysis and design of relay control systems / D. P. Atherton // CAD for control systems / Ed. by D. A. Linkens. — New York: Marcel Dekker, 1993. — Pp. 367-394.

100. Megretski, A. Global stability of oscillations induced by relay feedback / A. Megretski // Preprints of IFAC 13th World Congress, Vol. E. — San Francisco, 1996. — Pp. 49-54.

101. Goncalves, J. M. Global stability of relay feedback systems: Tech. rep. / J. M. Goncalves, A. Megretski, M. A. Dahleh: Preprint LIDS-P-2458, Dept. of Elec. Eng. Сотр. Sci., MIT, Cambridge, MA., 1999.

102. Баушев, В. С. К анализу релейных САР тока в режимах электродинамического торможения высокоскоростных электропоездов / В. С. Баушев, Ж. Т. Жусубалиев, Ю. В. Колоколов // Электричество. — 1989. — № 7. — С. 66-70.

103. Тищенко, В. Н. Исследование режима автоколебаний асинхронного электропривода с релейным тиристорным регулятором тока / В. Н. Тищенко, В. Н. Ковалёв // Электричество. — 1991.— X* 4.- С. 25-31.

104. Modern power electronics: Evolution, technology, and applications / Ed. by В. K. Bose. — New York: IEEE Press, 1992.

105. Зайцев, А. П. Устойчивость синхронизации колебаний релейно-импульсной системы регулирования тока / А. П. Зайцев, В. А. Подлягин // Изв. ВУЗов. Электромеханика.— 1987.— X» 7. С. 94-98.

106. Колоколов, Ю. В. Формирование принципов построения релейно-импульсных регуляторов тока тяговых двигателей постоянного тока / Ю. В. Колоколов // Электричество.— 1990.— X« 9. — С. 35-44.

107. Dynamics and control of large space structures / G. S. Nurre, R. S. Ryan, H. N. Scofield, J. L. Sims // J. of Guidance, Control and Dynamics. — 1984. — Vol. 7, no. 5. — Pp. 514-526.

108. Постников, H. С. Стохастические колебания в ядерном реакторе с релейной системой регулирования / Н. С. Постников // Атомная энергия.— 1994.— Т. 76, X* 1.— С. 3-11.

109. Postnikov, N. S. Dynamic chaos in relay systems with hysteresis / N. S. Postnikov // Computational Mathematics and Modeling.— 1997. no. 8. - Pp. 62-72.

110. Постников, H. С. Стохастичность релейных систем с гистерезисом / Н. С. Постников // Автоматика и телемеханика. — 1998. — X« 3. С. 57-68.

111. Johansson, K. H. Global analysis of third-order relay feedback systems / K. H. Johansson, A. Rantzer // Preprints of IFAC 13th World Congress, Vol. E. — San Francisco, 1996. — Pp. 55-60.

112. Brockett, R. W. Hybrid models for motion control systems / R. W. Brockett // Essays in control: perspectives in the theory and its applications. — Boston: Birkhauser, 1993. — Pp. 29-53.

113. Delta-sigma data converters — theory, design, and simulation / Ed. by S. R. Norsworthy, R. Schreier, G. C. Temes. — New York: IEEE Press, 1997. — 512 pp.

114. Aziz, P. M. An overview of sigma-delta converters / P. M. Aziz, H. V. Sorensen, J. van der Spiegel // IEEE Signal Processing Magazine.- 1996.- T. 13, № 1.- C. 61-84.

115. Holzhiiter, Th. Simulation of relay control systems using MATLAB/SIMULINK / Th. Holzhiiter // Control Engineering Practice. — 1998. — no. 6. — Pp. 1089-1096.

116. Palmor, Z. J. Limit cycles in decentralized relay systems / Z. J. Palmor // Int. J. Control.- 1992.- no. 56.— P. 744.

117. Palmor, Z. J. A general and exact method for determining limit cycles in decentralized relay systems / Z. J. Palmor, Y. Halevi, T. Efrati // Automatica. 1995. - Vol. 31, no. 9. - Pp. 1333-1339.

118. Жусубалиев, Ж. Т. Бифуркации и хаос в релейных и широтно-импульсных системах автоматического управления / Ж. Т. Жусубалиев, Ю. В. Колоколов.— М.: «Машиностроение-1», 2001. — 120 с.

119. Жусубалиев, Ж. Т. Хаотические колебания в релейной системе с гистерезисом / Ж. Т. Жусубалиев, В. С. Титов // Автоматика и телемеханика.— 2001.— № 1.— С. 67-79.

120. Giannakopoulos, F. Closed trajectories in planar relay feedback systems / F. Giannakopoulos, K. Pliete // Dynamical systems.— 2002. — Vol. 17, no. 4. — Pp. 343-358.

121. Неймарк, Ю. И. Стохастические и хаотические колебания / Ю. И. Неймарк, П. С. Ланда.— М.: Наука, 1987.— 424 с.

122. Neimark, Yu. I. Stochastic and chaotic oscillations / Yu. I. Neimark, P. S. Landa. — Dordrecht: Kluwer Academic Publ., 1992.— 512 pp.

123. Алексеев, А. С. Электронная модель двухпозиционного регулятора температуры с зоной опережения / А. С. Алексеев // ДАН СССР. — 1952. Т. 57, № 3. - С. 393-396.

124. Алексеев, А. С. Двухпозиционный регулятор температуры с зоной опережения / А. С. Алексеев // Памяти А. А. Андронова.— М.: Изд-во АН СССР, 1955.- С. 45-76.

125. Cook, P. A. Simple feedback systems with chaotic behavior / P. A. Cook // Syst. Contr. Lett.- 1985.— no. 6.— Pp. 223-27.

126. Amrani, D. Designing autonomous relay systems with chaotic motion / D. Amrani, D. P. Atherthon // Proc. 28th IEEE Conf. Decision and Control. — Vol. 1. — Tampa, FL: 1989. — Pp. 932-936.

127. Genesio, R. Chaos prediction in a third order relay system: Internal report RT 29/90 / R. Genesio, A. Tesi.— Italy: Dipartimento di Sistemi ed Informática, University of Florence, 1990.

128. Крутова, И. H. Исследование процесса стабилизации многомерной динамической системы с релейным управлением / И. Н. Крутова // Автоматика и телемеханика. — 1999. — К2 4. — С. 27-43.

129. Крутова, И. Н. Об устойчивости режима стабилизации космического аппарата с учетом упругих колебаний / И. Н. Крутова // Автоматика и телемеханика. — 1999. — К« 7. — С. 44-58.

130. Жусубалиев, Ж. Т. Бифуркации и хаотические движения в релейных системах автоматического регулирования / Ж. Т. Жусубалиев // Материалы НТК «Распознавание-97». — Курск: 1997. — С. 25-29.

131. Жусубалиев, Ж. Т. Хаотические колебания в кусочно-линейной модели релейной системы с гистерезисом / Ж. Т. Жусубалиев // Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. — 2000. — Т. 8, №4.- С. 37-51.

132. Kassakian, J. G. Principles of power electronics / J. G. Kassakian, M. F. Schlecht, G. C. Verghese. Addison-Wesley Series in Electrical Engineering. — Reading, MA: Addison-Wesley, 1991. — 740 pp.

133. Mohan, N. Power electronics: converters, applications and design / N. Mohan, Т. M. Undeland, W. P. Robbins. — 3 edition. — Wiley Text Books, 2002. — 824 pp.