Регулярные и стохастические колебания в автогенераторах резонансного типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Чан Хао Быу

• Чан Хао Быу
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чан Хао Быу

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ ПО АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫМ СИСТЕМАМ РЕЗОНАНСНОГО ТИПА СО СТОХАСТИЧЕСКИМ ПОВЕДЕНИЕМ

1.1. Генераторы с туннельным диодом

1.2. Генераторы с инерционной нелинейностью

1.3. Кольцевые автоколебательные системы с 1.5 степенями свободы

1.4. Кольцевые автоколебательные системы с числом степеней свободы более полутора

1.5. Семейство схем Чуа

1.6. Сценарии перехода к хаосу в динамическш^системах. Типичные бифуркации

ГЛАВА 2. РЕЗОНАТОР НА ОАВ. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ГЕНЕРАТОРА С ОАВ- РЕЗОНАТОРОМ

2.1. Структура, эквивалентная схема и электрический адмиттанс композиционного резонатора СВЧ

2.2. Колебательные моды и соответствующие им эквивалентные схемы композиционного резонатора

2.3. Выбор схемы генератора с резонатором на ОАВ

2.4. Колебательные режимы генератора с резонатором на ОАВ

ГЛАВА 3. КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ РЕЖИМЫ СВЧ

ГЕНЕРАТОРА, СОДЕРЖАЩЕГО РЕЗОНАНСНЫЕ КОНТУРЫ И ЛИНИЮ ЗАДЕРЖКИ В ЦЕПИ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ

3.1. Постановка задачи

3.2. Дифференциальные уравнения схемы и получение укороченных уравнений

3.3. Одно- и двухчастотный режимы двухконтурного генератора при жесткой характеристике усилителя

3.4. Устойчивость колебаний в двухконтурных генераторах с линией задержки в цепи обратной связи. Анализ методом ММА

3.4.1. Условие устойчивости одночастотного режима

3.4.2. Условие устойчивости двухчастотного режима

3.5. Результаты численных расчетов двухчастотных режимов

3.5.1. Случай генератора с аппроксимацией характеристики усилителя полиномом пятой степени и без линии задержки

3.5.2. Случай генератора с линией задержки в цепи обратной связи

3.6. Образование трехмерного тора в двухконтурной автоколебательной системе

3.7. Применимость асимптотических методов. Жесткие системы дифференциальных уравнений и сходимость вычислительных алгоритмов

ГЛАВА 4. ПЕРЕХОД К СТОХАСТИЧНОСТИ В ДВУХКОНТУРНЫХ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА

4.1. Схема генератора. Система дифференциальных уравнений. Равновесные решения

4.2. Условие устойчивости равновесных решений. Бифуркации

4.3. Сценарии перехода к хаосу. Типичные бифуркации

4.4. Природа явления перемежаемости. Устойчивость стохастического движения

4.5. Влияние линии задержки

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ПРИЛОЖЕНИЕ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Регулярные и стохастические колебания в автогенераторах резонансного типа»

ВВЕДЕНИЕ

1. Общая характеристика работы

Актуальность проблемы

Радиофизические системы с детерминированными параметрами, демонстрирующие нерегулярные движения (хаотичность, стохастичность) даже без видимых случайных воздействий, составляют один из основных предметов исследования современной теории колебаний. Интерес к ним вызван тем, что изучение таких объектов позволяет выявить фундаментальные особенности движений в нелинейных колебательных системах, присущие как разнообразным физическим явлениям, так и процессам, наблюдаемым в химии, биологии, технике и экономике.

Естественно, что адекватное и достаточно полное описание и объяснение процессов в таких сложных динамических системах, как современные радиоэлектронные устройства, должно как при анализе, так и при проектировании, выполняться с учетом возможности стохастических колебаний.

Хаотизация движений, наблюдаемая в целом ряде нелинейных автономных систем 3-го и более высокого порядка и неавтономных систем, порядок которых не ниже, чем два, в одних ситуациях может оказаться нежелательным явлением, а в других - послужить основой для создания специальных видов сигналов, расширения функциональных возможностей и улучшения характеристик радиофизических систем.

Данная работа посвящена исследованию колебательных режимов, которые могут быть реализованы в автономных автогенераторах резонансного типа, образующих широкий класс динамических систем, издавна привлекающий к себе внимание исследователей - радиофизиков.

Под автогенератором резонансного типа обычно понимают систему, при анализе процессов в которой можно применять структурную схему, состоящую из линейной колебательной системы (КС) с малыми потерями и присоединенных к ней одного или нескольких нелинейных активных элементов (АЭ). Первоначально основной целью создания автогенераторов резонансного типа было получение колебаний, близких по форме к синусоидальным (гармоническим). Однако, как оказалось при многих разновидностях КС и АЭ, таким генераторам присуще разнообразие видов колебаний, в том числе стохастических, наблюдаемых при различных значениях параметров элементов.

В качестве примеров на рис.1.а и б приведены структурные схемы автогенераторов с только одним нелинейным активным двухполюсником или только одним четырехполюсником.

Рис. 1а. Рис. 1.6.

Колебательные системы могут содержать сосредоточенные и распределенные линейные элементы, а число степеней свободы КС может быть больше единицы. К числу генераторов с активным двухполюсником (рис.1.а) относится известная схема Чуа. Другой разновидностью генераторов, рассматриваемых в литературе, является система в виде кольца (рис. 1.6), образованного широкополосным безынерционным активным нелинейным элементом, и цепью обратной связи с линейным фильтром и линией задержки. В литературе рассмотрены в основном только случаи фильтров малого порядка. Таким устройством является, например, модель генератора

на широкополосном усилителе (таком, как ЛЕВ) с цепью обратной связи в виде единственного избирательного контура. Однако, такие модели в настоящее время уже недостаточны для имеющихся практических потребностей. Технологические успехи микроэлектроники позволяют создать образцы малогабаритных высокодобротных резонаторов на объемных акустических волнах (ОАВ), частотная характеристика которых имеет вид «гребенки» с относительно малым фиксированным шагом. Применение таких резонаторов в генераторах перспективно для создания источников стабильных моногармонических колебаний, источников сетки частот и, возможно, для создания мультистабильных колебательных устройств. Исследование особенностей колебаний в таких многочастотных системах представляет интерес как с практических, так и с теоретических позиций.

Характерной чертой современных исследований сложных движений в нелинейных колебательных системах является то, что основные результаты получены преимущественно численными методами. При этом результаты оказываются вынужденно ограниченными сравнительно узкими областями в пространстве параметров системы из-за большого объема вычислений. Поэтому представляет интерес также и рассмотрение возможностей использования приближенных аналитических методов, в том числе метода медленно меняющихся амплитуд [1], для анализа динамики сложных колебательных систем.

С точки зрения теории стохастической динамики весьма актуальной является проблема исследования моделей автогенераторов, представляющих собой относительно сложные динамические системы, например, пятого порядка. Интерес к таким системам объясняется, во-первых, тем, что в этих системах возможно проявление нетривиальных мультистабильных свойств. Во-вторых, в пятимерных фазовых пространствах наблюдаются многие бифуркации двумерного тора, которые невозможны в трехмерных фазовых

пространствах. Динамические системы третьего порядка были достаточно полно изучены многочисленными исследователями (Анищенко B.C., Астахов В.В., Дмитриев A.C., Кислов В .Я., Кияшко C.B., Пиковский A.C., Рабинович М.И., Chua L.O., Zhong G.Q., Ayrom F., и др.). Среди работ по исследованию автономных динамических систем с числом степеней свободы, большим, чем 1.5, преобладают работы по связанным в цепочку генераторам. В связи с этим детальное и всестороннее исследование структуры фазового пространства пятимерных динамических систем, ее эволюции при вариации параметров представляется весьма актуальным. Особое внимание в работе уделено изучению бифуркациям двумерных торов и закономерностям перехода от квазипериодических колебаний к хаосу. Другой актуальной проблемой является исследование бифуркаций странных аттракторов и механизма установления таких сложных колебательных режимов, как перемежаемости для данной системы.

Целью диссертационной работы является исследование колебательных процессов в генераторе резонансного типа с широкополосным активным элементом и резонатором на ОАВ в цепи обратной связи и его математических моделях.

В рамках достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач:

1 .Разработать эквивалентную схему резонатора на ОАВ, позволяющую установить связь ее электрических параметров с геометрическими и электрофизическими характеристиками резонатора;

2. Разработать математическую модель генератора;

3. Аналитическими методами приближенно проанализировать возможные виды колебаний в многоконтурных генераторах;

4. Провести теоретическое изучение регулярной и хаотической динамики модели генератора, представляющей собой динамическую систему пятого

порядка. Установить характерные особенности системы, ее типичные бифуркации и сценарии перехода к хаосу;

5. Провести экспериментальные исследования макета генератора, сопоставить экспериментальные данные с результатами теоретического анализа.

Объектами исследования являются резонатор на ОАВ, генератор кольцевой структуры с резонатором на ОАВ и математические модели генератора.

Основные методы исследования - методы теории электрических цепей, методы теории нелинейных колебаний, методы математической физики, экспериментальные методы радиоэлектроники.

Защищаемые научные положения

1.Резонатор на ОАВ может быть представлен эквивалентной схемой из сосредоточенных элементов в виде системы включенных параллельно последовательных контуров, собственные частоты которых отличаются на фиксированную величину А/, определяемую толщиной звукопровода и скоростью звука, а добротность зависит от параметров пьезопреобразователя.

2.Генератор кольцевой структуры с ОАВ- резонатором в цепи обратной связи может быть представлен моделью в виде активного безынерционного четырехполюсника с цепью обратной связи, содержащей согласованную линию задержки и систему контуров с идеальным сумматором напряжения.

3.Аналитическим методами для сложной модели генератора, содержащей два колебательных контура и линию задержки в цепи обратной связи, могут быть решены задачи о нахождении в пространстве параметров системы областей, соответствующих одночастотным, двухчастотным и трехчастотным колебательным режимам.

4. Для математической модели генератора без линии задержки, представляющей собой динамическую систему пятого порядка, установлены

следующие характерные особенности, типичные бифуркации и сценарии перехода к хаосу:

-данная система является мультистабильной, в ее фазовом пространстве могут существовать одновременно до восьми аттракторов, включая двумерные торы и странные аттракторы;

-для данной системы возможны серии бифуркаций удвоения двумерного тора, причем каждая бифуркация соответствует делению на два одной из базовых частот квазипериодических колебаний;

-в автономной динамической системе пятого порядка возможно раздвоение тора, т.е. возникновение в окрестности двумерного тора второго тора практически идентичной структуры, при этом торы оказываются вложенными друг в друга, а тороидальные поверхности разделяет весьма тонкий слой фазового пространства. На обоих торах могут одновременно существовать резонансные циклы с различными числами вращения Пуанкаре, а сценарий перехода к хаосу для каждого тора индивидуален;

-для данной системы характерны следующие сценарии перехода к хаосу.

а)переход к хаосу через серию бифуркаций удвоения периода предельного цикла;

б)переходы к хаосу, связанные с закономерностями разрушения тора: переход через серию бифуркаций умножения периода1 резонансных циклов (серия удвоений является ее частным случаем), жесткий переход в связи с возникновением гомоклинической структуры у седлового предельного цикла

1 При бифуркации умножения периода цикла количество оборотов изображающей точки изменяется в число раз, которое может отличаться от двух. Примером серии умножений периода является последовательность сильных резонансов на двумерном торе с числами вращения Пуанкаре 1/7, 1/22, 1/27, 1/32, 1/52 ...

и мягкий переход к хаосу при слиянии устойчивого и седлового циклов на торе.

5.В автономных потоковых динамических системах с гладкими прямым и обратным отображениями сложный колебательный режим, в котором характер колебаний периодически меняется, именуемый режимом перемежаемости, соответствует движению изображающей точки в окрестности определенных седловых положений равновесия, циклов, или торов;

6.Автогенератор с резонатором на ОАВ в цепи обратной связи пригоден для генерирования следующих типов колебаний: а) одночастотных, с возможностью переключения по акустическим гармоникам, б) многочастотных с сеткой частот, соответствующих собственным частотам резонатора, в) стохастических (со сплошным спектром).

Новые научные результаты работы

1. Получены аналитические выражения для расчета параметров эквивалентной схемы ОАВ- резонатора, исходя из заданных геометрических размеров и физических параметров структуры резонатора.

2. Получены экспериментальные данные по характеристикам кольцевых генераторов с ОАВ- резонатором в цепи обратной связи.

3. Для модели генератора с ОАВ- резонатором и линией задержки получены аналитические соотношения для расчета карты одно-, двух- и трехчастотных колебаний. Построены бифуркационные диаграммы для двух конфигураций генератора, проведено сравнение с результатами компьютерного моделирования. Получено удовлетворительное соответствие результатов.

4. Для математической модели генератора без линии задержки, представляющей собой динамическую систему пятого порядка, впервые проведены детальные исследования структуры фазового пространства, его

эволюции при вариации параметров, в результате которых получены следующие результаты:

-обнаружено наличие до восьми аттракторов, включая торы и странные аттракторы, в пятимерном фазовом пространстве системы, -установлено и исследовано явление раздвоения тора,

-установлено, что для данной системы серия бифуркаций умножения периода является типичным сценарием перехода от квазипериодических колебаний к хаосу, а серия удвоений - ее частным случаем,

-сформулированы условия установления режима перемежаемости для автономных потоковых динамических систем с гладкими прямым и обратным отображениями. Дана физическая интерпретация движения в сложных колебательных процессах.

Практическая ценность работы заключается в следующем: -полученные соотношения позволяют рассчитывать параметры эквивалентной схемы ОАВ- резонатора;

-полученные аналитические соотношения позволяют с приемлемой точностью построить карты колебательных режимов для модели генератора с линией задержки;

-рассматриваемая в работе динамическая система пятого порядка может служить для исследования практически всех известных бифуркаций и сценариев перехода к хаосу, кроме того, она пригодна и для изучения ряда явлений, не наблюдавшихся ранее в других динамических системах;

-генератор с ОАВ- резонатором может использоваться для формирования моночастотных сигналов с возможностью дискретной перестройки по акустическим гармоникам, а также для генерирования сложных видов колебаний.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международной конференции «Acoustoelectronics, Frequency Control and Signal Generation» (Москва, 1996), Научно-технической конференции «Фундаментальные исследования в технических университетах» (1997), Пятой Международной научно-методической конференция «Высокие интеллектуальные технологии образования и науки» (Санкт-Петербург, 1998).

Материалы диссертационной работы обсуждались на научных семинарах кафедры радиофизики СПбГТУ и используются в учебном процессе при преподавании дисциплины «Введение в стохастическую динамику».

По теме диссертации опубликовано четыре печатные работы.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Чан Хао Быу

Данные выводы непосредственно вытекают из свойств автономных динамических систем с функцией Ф,, представляющей собой диффеоморфизм. Налицо логически оправданная картина: так как все предельные множества являются седловыми, в численных и физических экспериментах изображающая точка всегда находится в окрестности этих множеств на конечном интервале времени, затем попадает в неустойчивое интегральное многообразие и уходит из-за наличия микрофлуктуаций. Исключением является лишь случай особой точки равновесия типа седла: действительно, в численном эксперименте теоретически изображающая точка может находиться в данной точке бесконечно долго.

Таким образом, широко применяемый в обиходе термин «перемежаемость (взаимодействие) аттракторов» по своей сути является неточным. О взаимодействии аттракторов, строго говоря, можно говорить лишь в том случае, когда имеет место переключение колебательных режимов из-за сильных флуктуационных явлений.

В этом свете становятся ясны и некоторые другие вопросы, например, касающиеся устойчивости странных аттракторов. В отличие от периодического и квазипериодического колебаний, вопрос о устойчивости стохастического движения является отнюдь не тривиальным. Как известно, странному аттрактору соответствует притягивающее предельное множество траекторий, неустойчивых по Ляпунову, но устойчивых по Пуассону. Другими словами, он представляет собой совокупность седловых регулярных предельных множеств, в простейшем случае - седловых периодических циклов и положений равновесия типа седла. Предположим, что все эти седловые предельные множества удовлетворяют условию (4.8). Очевидно, в физических и численных экспериментах если в некоторый момент времени изображающая точка попадает в устойчивое многообразие какого либо седлового предельного множества, то она окажется в окрестности седловых множеств бесконечно долго. Так как все траектории неустойчивы по Ляпунову, то движение весьма чувствительно по отношению к начальным условиям. Другими словами, микроскопическое изменение начальных условий с течением времени приводит к изменению траектории на макроскопическом уровне. В этом случае стохастическое движение устойчиво. Если же не выполняется условие (4.8) хотя бы для одного седлового множества, то стохастическое движение неустойчиво, и странный аттрактор, образно говоря, становится седловым. Таким образом, в режиме странного аттрактора колебание также является перемежаемостью: в любой момент времени изображающая точка находится в окрестности одного седлового регулярного множества. С другой стороны, перемежаемость в обычном понимании, например перемежаемость типа цикл-хаос, тоже является стохастическим движением. Для такого усложненного «странного аттрактора» можно получить такие характеристики, как ляпуновские характеристические показатели и фрактальную размерность. Об этом свидетельствуют результаты численных экспериментов. Средняя длительность реализации, необходимая при обработке для получения статистических средних с заданной точностью приблизительно пропорционально зависит от средней длительности ламинарных фаз

О 1000 2000 3000 4000 0 1000 2000 3000 4000 число итераций (тысяч) Рис.4.20. Промежуточные результаты расчета .

На рис.4.20 а и б приведены промежуточные результаты расчета положительного ляпуновского показателя Х} для странного аттрактора ленточного типа (к = 0.1,Т0 = 0.19т,М = 1.119) и для случая перемежаемости СА2 - Гр3 (И = 0.1, Т0 - 0.19т, М = 1.132). Так как в численных экспериментах в режиме перемежаемости время пребывания изображающей точки в окрестности седлового цикла Г{ всегда мало (рис.4.8а), то в процессе расчета ляпуновских показателей промежуточные результаты достаточно быстро сходятся к искомому значению. «Переходные процессы» при расчете Х1 для СА2 и СА2 - Г}' по длительности сопоставимы. Во всех случаях применяется алгоритм с обязательной ортогонализацией по методу Грама-Шмидта на каждом промежутке времени 0.57], с шагом итерации к = 0.001 Т1. На рис.4.20 черная и синяя линии соответствуют двум разным сеансам расчета, каждый со своими начальными условиями.

Таким образом, все притягивающие предельные множества, более сложные, чем регулярные аттракторы, есть не что иное, как объединение седловых положений равновесия, седловых циклов и седловых торов, удовлетворяющих условиям (4.8). Характеристики этих седловых множеств, их положение в фазовом пространстве и структура устойчивых и неустойчивых многообразий определяют такие статистические средние странных аттракторов, как ляпуновские показатели и фрактальную размерность. Седловые положения равновесия, циклы и торы являются как бы «кирпичами», из которых и строятся более сложные аттракторы.

4.5. Влияние линии задержки

Введение в схему линии задержки, даже с весьма небольшим временем задержки, резко изменяет динамику системы. Система с задержкой, строго говоря, является распределенной. Для нее теорема единственности решения перестает быть справедливой. Из рассмотренных в данной главе бифуркационных явлений для системы с задержкой имеет место практически только серия бифуркаций удвоения периода. В данной системе возможны также и переходы к хаосу через бифуркации квазипериодических колебаний, однако однозначное определение характера бифуркаций представляется затруднительным.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе посредством асимптотических методов теории колебания, численных методов теории стохастической динамики и экспериментальных методов радиофизики получены следующие результаты:

1. Получены аналитические выражения для расчета параметров эквивалентной схемы ОАВ- резонатора, исходя из заданных геометрических размеров и физических параметров структуры резонатора. Эти выражения могут быть использованы при компьютерном моделировании различных устройств с резонатором на ОАВ.

2. Для модели генератора с ОАВ- резонатором и линией задержки получены аналитические соотношения для расчета карты одно-, двух- и трехчастотных колебаний. Построены бифуркационные диаграммы для двух конфигураций генератора, проведено сравнение с результатами компьютерного моделирования. Получено удовлетворительное соответствие результатов.

3. Для математической модели генератора без линии задержки, представляющей собой динамическую систему пятого порядка, впервые проведены детальные исследования структуры фазового пространства, его эволюции при вариации параметров, в результате которых получены следующие результаты.

-Исследованы мультистабильные свойства системы. Обнаружено наличие до восьми аттракторов, включая двумерные торы и странные аттракторы, в пятимерном фазовом пространстве.

-Исследована серия бифуркаций удвоения двумерного тора в автономной системе. Установлено, что удвоение тора соответствует делению на два одной из двух базовых частот.

-Установлено и исследовано явление раздвоения тора, т.е. возникновение в окрестности двумерного тора второго тора «близнеца», при этом торы оказываются вложенными друг в друга, а тороидальные поверхности разделяет весьма тонкий слой фазового пространства. На обоих торах могут одновременно существовать резонансные с различными числами вращения Пуанкаре, а сценарии перехода к хаосу являются строго индивидуальными.

-Для данной системы в зависимости от значений параметров реализуются следующие сценарии перехода к хаосу. а)переход к хаосу через серию бифуркаций удвоения периода предельного цикла; б)переходы к хаосу, связанные с закономерностями разрушения тора: переход через серию бифуркаций умножения и удвоения периода резонансных циклов, жесткий переход в связи с возникновением гомоклинической структуры у седлового периодического цикла, и мягкий переход к хаосу при слиянии устойчивого и седлового циклов на торе.

-Установлено, что для данной системы серия бифуркаций умножения периода резонансных циклов является типичным сценарием перехода от квазипериодических колебаний к хаосу, а серия удвоений - ее частным случаем.

-Сформулированы условия установления режима перемежаемости для автономных потоковых динамических систем с гладкими прямым и обратным отображениями. Дана физическая интерпретация движения в сложных колебательных процессах. Установлено, что в этих системах все аттракторы, более сложные, чем циклы и торы, являются объединениями «элементарных» седловых положений равновесия, циклов и торов, удовлетворяющих ряду условий, касающихся структуры устойчивых и неустойчивых интегральных многообразий в фазовом пространстве.

4. Получены экспериментальные данные по характеристикам кольцевых генераторов с (ЗАВ- резонатором в цепи обратной связи. Установлено, что генераторы с резонатором на ОАВ пригодны для генерирования следующих типов колебаний: а) одночастотного, с возможностью переключения по акустическим гармоникам, б) многочастотного с сеткой частот, соответствующих собственным частотам резонатора, в) стохастического со сплошным спектром

Рассматриваемая в работе динамическая система пятого порядка может служить для исследования практически всех известных бифуркаций и сценариев перехода к хаосу, кроме того, она пригодна и для изучения ряда явлений, не наблюдавшихся ранее в других динамических системах

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чан Хао Быу, 1999 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Конторович М.И. Нелинейные колебания в радиотехнике и электронике. -М.: Сов.радио, 1973.

2. Кияшко С. В., Пиковский А. С., Рабинович М. И. Автогенератор радиодиапазона со стохастическим поведением i i Радиотехника и

___ _ _____ _ 1 ЛПА гр ^ г л Л Л Л Л 4 Л

электроника,- i Уои,- i .¿j, j4h z.-l,. j

3. Рабинович M. И. ¡¡ УФН. 1978. T. 125. C. 123.

4. Рабинович M. И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн.-М.: Наука 1984.

5. Pikovsky A. S., Rabino vichM. I. Stochastic Oscillations in Dissipative System //

т»1 • * _ т\ 1 A01 т т А \т 1 тч о ^ 4

PlHSICa D.-1951 ,-V.z, INO i.-r,5-z4.

¡Г t rr Л* Г1 i I • ТП>1 , ^ • •__ ' J A -| Г |1 1 ¿ 1

u. YaiTiaoa i. ъпаоис эшю in an üiecuouics v_n can Analysis oí vjoiíuu ei ai s

Т-» * , // T T\1 Г» T___ 1 AO^ TT Г 1 > T -f 1 "ГЧ Ц ЛЛЛ Л Л ЛА

Experiment // j. rnys. ooc. japan.-iybz.-v э i. No 11,-P.j4¿ó-j4jkj.

7. Андрушкевич А. В., Кипчатов А. А. Хаос и периодичность в генераторе на туннельном диоде. /У Известия ВУЗов. Радиофизика. 1990. Т. 33. № 4. С.431-434.

8. Андрушкевич А. В., Кипчатов А. А., Красичков Л. В., Коноровский А. А. Путь к хаосу в кусочно-линейной модели генератора на туннельном диоде.

// ТТ ТЛтг» _ f-1 Ж Г TT 1 ААЛ гп 1 > (• 1 11» /> Г~\ АЛ 1 А1

// Изв. ВуЗов. Пнд. 1УУ.5. 1. I. Ж i, Ж z. ь. yj-iuj.

9. Теодорчик К.Ф. Автоколебательные системы с инерционной нелинейностью // ЖТФ. 1946. Т. 16, вып. 7, С.845-854.

10. Анищенко B.C. Международная конференция по нелинейным колебаниям: Тезисы докладов. Киев: Институт математики АН УССР, 1981, с.35.

11. Анищенко B.C.. Астахов В.В., Летчфорд Т.Е. Многочастотные и стохастические автоколебания в генераторе с инерционной нелинейностью.

/ / "ГЛ _ 1 AAA ГР A rf > I* А А 1 А^А АГ»П

// гадиотехника и электроника. \уsz. i . 27. jn» i и. l,. i9/z-19/6.

12. Анищенко B.C., Астахов В.В. Экспериментальное исследование механизма возникновения и структуры странного аттрактора в генераторе с

l» __w / / тч __1 алл гг л о

инерционном нелинейностью. . /7 гадиотехника и электроника. í9о j. i. 2b.

"V Л /" 1 1 ЛЛ Ч 1 -Í

J№ О. I IUV- I I ID.

1 л 4 ___ТЧ /П А ТЧ Т> ТТ__1 ГТ1 /-1 1 -fcr fc ТЛ

i j. Анищенко ts.C., Астахов аЪ., летчфорд i л., ьафанова М.а. К вопросу о структуре квазигиперболической стохастичности в инерционном

; / тт тлт тл_ _ i _ 1 лпл гр л у п о пл л о .í л

автогенераторе, а Изв. В у job. гадиофизика. i^oj. i. zo. Jn» /. v.. o3z-o4z.

14. Анищенко B.C., Астахов В В., Летчфорд Т.Е. Экспериментальное исследование структуры странного аттрактора в модели генератора с

__„_„____________" _________________ .'/ -».тл'т'лч 1 аол т fo ____1 /ч ! гл л с а

инерционном нслинеиниигью. // Ж 1 Ф. 1 УОЭ. 1 - JJ, Вьш. 1. v_ . I JZ- í J4-.

15. Анищенко B.C., Постнов Д.Е. Переходы к стохастичности в инерционном

ТТ ___ II "VT^rp

генераторе с запаздыванием, проолема конечномерною описания. /./ ж i

1 АП Г гтп Г Г t 1 /"A I ЛП

i9o3. Т.ээ, вып. i. b.ioz-io/.

16. Анищенко B.C. К вопросу о стохастических колебаниях радиосистем с обратной связью // IX Международная конференция по нелинейным колебаниям. Киев: Наукова думка, 1984. Т.З. (с.396-398).

17. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. Механизмы возникновения, структура и свойства хаоса в радиофизических системах. М.: Наука. 1990. 312 с.

18. Анищенко B.C. Взаимодействие странных аттракторов. Перемежаемость

/ I ТТ "\ТЛГПЛч 1 АО * гр 1 А 1 A ЛАА /"1 Л

«хаос-хаос» и письма в ж i Ф, 1.ш, вып. i о. ^ .олу-ojj.

19. Кузнецов С.П, Сложная динамика генераторов с запаздывающей обратной связью. - Радиофизика, 1982, т.25, №12, с.1410-1428.

20. Кузнецов С.П. Бифуркация удвоения в простой модели распределенной

ТЧ 1 1 АПА АГ 1 1 1 Л А 4

системы, гадиофизика, i vez, т./э, .гш i, ел js4.

21. Kaneko K. Doubling of Toras /7 Progr. Theor. Phys. 1983. V.69, K® 6. P. 18061810.

22. Kaneko К. Oscillation and Doubline of Toms // Proer. Theor. Phvs. 1984. V.72. № 2. P.202-215.

23. Franceschini V. Bifurcations of tori and phase locking in a dissipative system of differential equations. - PhysicaD. V.6D, №3, 1983, p.285-304.

24. Gollub J.P., Benson S.U. Many routes to turbulent convections. J. Fluid Mech. 1980, VI00, part.3, p.449-470.

TT __ т» т~< Tл _ __ т~\ rr тч_ _ _ _ v /• «j

Id. дихтяр b.D., Кислив о.л. гасчет автогенератора с внешней ооратнои связью временным методом /У Радиотехника и электроника. 1977, Т.22, №10. С.2141-2147.

26. Дихтяр В.Б., Кислов В.Я. Стохастические колебания в резонансных автогенераторах с запаздыванием /У Нелинейные волны. Стохастичность и турбулентность. Горький: ИПФ АНСССР. 1980. С.37-45.

27. Кислов В.51., Залогин H.H., Мясин Е.А. Исследование стохастических автоколебательных процессов в автогенераторах с запаздыванием /У Радиотехника и электроника. 1979. Т.24, Мю. С Л118-1130.

28. Анисимова Ю.В., Дмитриев A.C., Залогин H.H.,Калинин В.И., Кислов В.Я., Панас А.И. Об одном механизме перехода к хаосу в системе электронный пучок - электромагнитная волна /У Письма ЖЭТФ. -1983. -Т.37, №8.-С.387-389.

29. Безручко Б.П., Кузнецов С.П., Трубецков Д.И. Экспериментальное наблюдение стохастических автоколебаний в динамической системе

__f .________/ / Т~Г_ ^ТЛ Г~Ч гр j*^.

электронный пучок - ооратная элекгромал мир ная волна // письма sk j t Ф -1979,- Т.29, №3 .-С. 180-184.

30. Безручко Б.П., Булгакова Л.В., Кузнецов СЛ., Трубецков Д.И. Экспериментальные и теоретические исследования Стохастических колебаний в лампе обратной волны /У Лекции по электронике СВЧ и радиофизике, кн. 5,- Саратов: Издательство СГУ, 1980.-С.25-77.

31. Безручко Б.П., Булгакова Л.В., Кузнецов СЛ., Трубецков Д.И. Стохастические автоколебания и неустойчивость в лампе обратной волны // Радиотехника и электроника. -1983,- Т.28. №6. С.1136-1139.

32. Гинзбург Н.С., Кузнецов С П. Периодические и стохастические автомодуляционные режимы в электронных генераторах с распределенным взаимодействием // Релятивистская высокочастотная электроника. -

1—' V ТТТТЛ. А X X 1 ЛП1 1 А1 * А А

I орькии: УН1ЧУ /Ш ъи^/Г, 1У51. 1 и I -144.

о ТТ Т> т* _ /Ч А __о

33. Дихтяр В ь., Старков С.и. Автостохастизация колеоании в генераторах, описываемых нелинейным разностным уравнением, сводящимся к дифференциальному уравнению второго порядка с запазды вающим аргументом волны /7 Радиотехника и электроника. -1982.- Т.27. №12. С.2457-2463.

34. Кал В.А. Стохастизация структур и переходы в хаосе в автогенераторе с запаздыванием /7 Лекции по электронике СВЧ и радиофизике, кн.2,-Саратов: Издательство СГУ, 1983,- С.49-64.

35. Кац В.А. Экспериментальная демонстрация универсальных свойств последовательности удвоения Фейнгенбаума при переходе к хаосу в

_ __/ / ТТ _ ^Т/ЧП Л. 1 ЛП 4 ГТ 1Л

распределенном генераторе с запаздыванием // письма в жгФ. -1Уо4.- л. №11,- С.684-689.

36. Кац В.А. Переход к «развитому хаосу» в модели распределенного генератора с запаздыванием /7 Некоторые вопросы современной физики.

4 1 Тт г 1 АО л Л 1

.1- ьаратов: Издательство у, /.

37. Кац В.А., Кузнецов С.П. Переход к хаосу через бифуркации удвоения периода в модели генератора с запаздывающей обратной связью. Численный эксперимент // Некоторые вопросы современной физики. 4.2.-

у—* ТТ / 11 Т 1 ЛГ» I /Л А £ А о

Саратов: издательство ы у, 1У54.-ь.4Э-45.

38. Кац В.А. Возникновение и эволюция хаоса в распределенном генераторе с запаздыванием /7 Известия ВУЗов. Радиофизика. -1985.-Т.28, №2,- С. 161176.

39. Кац В.А., Трубецков Д.И. Возникновение хаоса при разрушении квазипериодических режимов и переходе через перемежаемость в распределенном генераторе с запаздыванием /7 Письма ЖЭТФ. -1984,- Т.39,

л а 11/ ■% 1

вып.з- b.l IO-1

40. Кузнецов С.П. Сложная динамика генераторов с запаздывающей обратной связью (обзор) // Известия ВУЗов. Радиофизика. -1982.-Т.25, №12.- С. 14101428.

41. Кузнецов С.П., Перельман А.Н., Трубецков Д.И. Автомодуляционные и стохастические режимы в клистроне бегущей волны с внешней обратной связью. /7ЖТФ. -1983,- Т.53, вып.1- С.163-166.

42. Ланда П.С., Перминов С.М., Шаталова Г Г., Дамгов Г.Н. Стохастические автоколебания в генераторе с дополнительной запаздывающей обратной связью. //' Радиотехника и электроника. -1986,- Т.31. №4. С.730-733.

43. Кальянов Э.В., Иванов В.П., Лебедев М.Н. Экспериментальное исследование транзисторного автогенератора с запаздывающей обратной связью //' Радиотехника и электроника. -1982.- Т.27. №5. С.982-986.

44. Дмитриев A.C., Кислов В.Я. Стохастические колебания в автогенераторе с инерционным запаздыванием первого порядка. /У Радиотехника и электроника. -1984,- Т.29. №12. С.2389-2398.

45. Дмитриев A.C. Странные аттракторы в автоколебательных системах с апериодическими звеньями //' X Международная конференция по

w__/— TT ___ А 1 1АЛР ЛЛЛ Л Л

нелинейным колебаниям: Доклады, еофия, jvöd. C .juj-juo.

46. Дмитриев A.C. Динамический хаос в кольцевых автоколебательных системах с нелинейным фильтром //' Известия ВУЗов. Радиофизика. 1985. Т.28, №4. С,429-439.

47. Дмитриев A.C., Кислов В.Я., Старков C.B. Экспериментальное исследование образования и взаимодействия странных аттракторов в кольцевом автогенераторе.//ЖТФ. 1985. Т.55,№12. С.2417-2419.

48. Дмитриев A.C., Панас А.И. Странные аттракторы в кольцевых автоколебательных системах с инерционными звеньями // ЖТФ. 1986. Т.56, №4. С.419-427.

49. Дмитриев A.C., Старков С.О. Исследование хаотической динамики кольцевого автогенератора с асимметричной характеристикой нелинейного элемента/'/'Радиотехника и электроника. -1986,- Т.31. №12. С.2396-2405.

50. Дмитриев A.C., Панас А.И. Затягивание и конкуренция мод в системе с

__1 / "ГТ лглгрл. 1 AAfl гтч 1 Л ЛС 1 Л л «1 Л m п

странными аттракторами // письма в жТФ. i9ö /. i. и, j\2iz. . / и- / iö.

51. Дмитриев A.C., Панас А.И. Квазипериодические, резонансные и хаотические режимы в кольцевых автоколебательных системах /У Известия ВУЗов. Радиофизика. 1987. Т.30, №9. С.1085-1098.

52. Дмитриев A.C., Иванов В.П., Лебедев М.Н. Модель транзисторного генератора с хаотической динамикой // Радиотехника и электроника. -1988.-Т.ЗЗ. №5. С.1085-1088.

53. Кислов В.Я., Дмитриев A.C. Стохастические колебания в радиотехнических и электронных системах /7 Проблемы современной радиотехники и электроники. М.: ИРЭ АН СССР, 1983. С. 193-212.

54. Кислов В.Я., Дмитриев A.C. Нелинейная стохастизация колебаний в

/ / TT f _ w

радиотехнических и электронных системах .// ироолемы современной радиотехники и электроники. М.: Наука, 1987. С.154-169.

55. Дмитриев A.C., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 1989.

56. Кальянов Э.В. Хаотические явления в генераторе с фильтром в запаздывающей обратной связи /У Радиотехника и электроника. -1996,- Т.41. №8. С.979-984.

57. Кальянов Э.В. Каскадные генераторы с управляемым спектром колебаний /7 Радиотехника и электроника. -1996.- Т.41. №9. С. 1120-1124.

58. Неймарк Ю.И., Ланда П С. Стохастические с хаотические колебания. М.: Наука, 1987, 422 с.

59. Chua L.O., Nonlinear circuits /7 ШЕЕ Trans. Circuits Syst. (Centennial Special Issue). 1984. Vol. CAS-31, №1. r.69-87.

60. Chua L.O., Komuro M., Matsumoto T. The double scroll family /7 IEEE Trans. Circuits Syst. 1986. Vol. CAS-33, №11. P.1072-1118.

61. Mees I., Chapman P.B. Homociinic and heteroclinic orbits in the double scroll attractor /./ IEEE Trans. Circuits Syst. 1987. Vol. CAS-34, №9.

62. Afraimovich V., Chua L.O. Enigma of the double scroll Chua's attractor // Chua's Circuit: A Paradigm of Chaos (Madan N. R., Ed.). Singapore: World Scientific, 1993.

/-А 4 -n Г71 /ч ГМ ' •> * V // ТЧ 1 A£> XT 1 1 л л

63. Ayron г., ¿nong u.y. bnaos m i_oua s circuit // rroc. int. iv8o. voi. bj. P.307-3I2.

64. Beiykh N.N., Chua L.O. New type of strange attractor related to the Chua's circuit. /7 J.Circuits Syst.Comput. 1993. Voi. 3. № 6. P-36I-374.

65. Biey S., Chialina S., Hasler M., Premoli A. Piecewise-linear analysis for Chua's circuit family // J.Circuits Syst.Comput. 1993. Vol. 3. .№o. P. 525-536.

66. Blazquez C.M., Tuma E. Dynamics of double scroll circuit /7 IEEE Trans. Circuit Syst. 1990. Vol. 37. №5. P. 589-593.

67. Chua L.O. Global unfolding of Chua's circuit /7 lElCE Trans. Fundamentals Electron. Commun. Comput. Sci. 1993. Vol. 76-A. P. 704-734.

68. Chua L.O., Lin G.N. Canonical realization of Chua's circuit family // IEEE

ГП гл * «д Г( 1 t AAA XT 1 лч ТЧ л A Г AAA

irans. circuit aysr. ivyu. vol. :>/. r. »b5-9uz.

69. Chua L.O., Lin G.N. Intermittency in a piecewise-linear circuit // IEEE Trans.

a * п л л а а л x t 1 л a t\ г 1 a paa

Circuit byst. lyyi. VOL .35. Г. DIUOZU.

70. Chua L.O., Wu C.W., Huang A., Zhong G.Q. A universal circuit for studying and generating chaos, part I: Routes to chaos /'/' IEEE Trans, on Circuits and Syst. 1993. V.40, ж 10. P.732-744.

71. Chua L.O., Wu C.W., Huang A., Zhong G.Q. A universal circuit for studying and generating chaos, part II: Strange attractors /7 IEEE Trans, on Circuits and

Г1 i 1 АЛЛ T T 4Л IP 1 Л T\ П < Г /Ч Л 1

ayst. 1УУ.5. V.4U, J№ 1U. Г./4Э-/01.

72. Geresio R., Tesi A. Harmonic balance approach for chaos prediction: The Chua's circuit /7 Int. J. Bifurcation Chaos. 1992. Vol. 2. № 1. P. 129-136.

73. Kahlert C. The chaos producing mechanism in Chua's circuit // Int. J. Circuit Theory Applications. 1988. Vol. 16. № 4. P. 227-232.

74. Kahlert C. Heteroclinic orbits and scaled similar structures in the parameter space of the Chua oscillator /7 Chaotic Hierarchy (Baier G. and Klein M., Eds.). Singapore: World Scientific, 1991. P. 209-234.

75. Komuro M., Tokunaga R., Matsumoto Т., Chua L.O., Hotta A. Global

1 • n i * 1 • Л ,1 1 11 11 _ * • t / / T J Т ТЧ • Л J* _ 1 AA1

oirurcation analysis oi tne aouoie scroll circun // mi. J. jonurcanon v^naos. i9yi. Vol. l.Jsfel.P. 139-182.

76. Matsumoto Т., Chua L.O., Tokunaga R. Chaos via torus breakdown .// IEEE Trans, on Circuits and Syst. 1987. V. 34, № 3. P. 240-253.

77. Шарковский A.H. Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя /У Укр.мат.журнал. 1964. Т.26. №1. С.61-71.

78. Feigenbaum M.J. Quantitative Universality for a Class of Nonlinear

m P , • // т Aj у ТМ 1 APJA t T 1 А Л1* Л Ti А Г ГА

iransrormanons // j.Siat.rnys. iy/6. v.iy, j№i. r.zD-Dz.

79. Пуашсаре А. Избр. труды. Т.П. - M.: Наука, 1972.

80. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. - М.; Л.: ОГИЗ, 1947.

81. Шильников Л.П. О некоторых случаях рождения периодических движений из особых траекторий // Мат. сб. 1963. Т.61 (104). С.443-466.

О А ттт тт ТТ "Г Л _______V» ____л

82. шшгьников Ji.ii. к вопросу о структуре расширенном окрестности груоого

_ _____1 //и*- г" 1 АПА m А 1 /1 У~Ч АЛ

состояния равновесия типа седло-фокуса // мат. со. ly/u. i .8i (izj). е .уz-103.

83. Шшгьников JI.П. Теория бифуркаций и модель Лоренца /У Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980. С. 317-335.

84. Ландау Л.Д. К проблеме турбулентности// ДАН СССР. 1944. Т.44, №8, С.339-342.

85. Hopf Е.А. Mathematical Example Displaying the Features of Turbulence // Comm.Pure.Appl.Math. 1948. V.l. P.303-322.

86. Рюэль Д., Такенс Ф. О природе турбулентности /У Странные аттракторы / Под ред. Я.Г. Синая и Л.П. Шильникова. - М.: Мир, 1981. С. 117-151.

87. RuelleD. Strange Attractors/'/'Math. Intellegencer. 1980. V. 2, №3. P. 126-137.

88. Афраймович B.C., Шильников Л.П. Инвариантные двумерные торы, их разрушение и стохастичность /У Методы качественной теории дифференциальных уравнений. - Горький: Изд-воГТУ, 1983. С. 3-26.

89. Moon Н.Т., Huerre P., Redekopp L.G. Three-Frequency Motion and Chaos in the Ginzburg-Landau Equation // Phys.Rev.Lett. 1982. V.49. №7, P. 458-460.

90. Анищенко B.C., Летчфорд Т.Е., Сафанова M.A. Критические явления при гармонической модуляции двухчастотных колебаний /У Письма в ЖТФ. 1985. Т.11, вып. 9. С. 536-541.

91. Gollub J.P., Benson S.V. Many Routes to Turbulence Convection // J. Fluid. Mech. 1980. V. 100, Part 3. P. 449-470.

92. Kaneko K. Collapse of Tori and Genesis of Chaos in Dissipative Systems. -Singapore: World Scientific, 1986. 264 p.

93. Grebogi G., Ott E., Yorke J.A. Are Three-Frequency Quasiperiodic Orbits to be Expected in Typical Nonlinear Dinamical Systems? H Phys. Rev. Lett. 1983. V. 51, №5. P. 339-342.

94. Newhouse S., Ruelle D., Takens F. Occurance of Strange Axiom a Attractor near Quasi-Periodic Flows on Tm,m = 3.// Comm.Math.Phys. 1978. V. 64. P. 3540.

95. Дьелесан Э., Руайе Д. Упругие волны в твердых телах (применение для обработки сигналов). -М.: Наука, 1982.

96. Karasev A. S., Martynov В. A., Tran Н. В. Operation Modes of Microwave Oscillator with Bulk Acoustic Wave Resonator. International Symposium «Acoustoelectronics, Frequency Control and Signal Generation». Moscow, September 1996.

97. Безделкин B.B., Карасев А. С., Мартынов Б. А., Чан X. Б. Генератор с резонатором на объемных акустических волнах // Радиотехника и Электроника. 1997. Т.42.№4.

98. Карасев А. С., Мартынов Б. А., Чан X. Б. О значении асимптотических методов математического анализа процессов, протекающих в сложных динамических системах. Пятая международная научно-методическая конференция «Высокие интеллектуальные технологии образования и науки», Санкт-Петербург, 1998.

99. Карасев А. С., Мартынов Б. А., Чан X. Б. Бифуркации автоколебательной системы с СВЧ резонатором на ОАВ. Научно-техническая конференция «Фундаментальные исследования в технических университетах» , Санкт-Петербург, 1997.

100. Капчинский И.М. Методы теории колебаний в радиотехнике. М.: Гостехиздат, 1954.

101. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. -М.: Изд. Московского физико-технического института, 1994.

102. Kaplan J.L., Yorke J.A. Chaotic Behavior of Multi-Dimensional Difference Equations // Lect. Notes in Math. 1979. V.730. P. 204-227.

103. Farmer J.D. Information Dimension and the Probabilistis Structure of Chaos // Z. Naturforsch. 1982. Bd 37a, h. 11. S. 1304-1325.

104. Farmer J.D., Ott E., Yorke J.A. The Dimension of Chaotic Attractors // Physika D. 1983. V.7, № 1-3. P. 153-180.

105. Grassberger P. On the Hausdorff Dimension of Fractal Attractors // J. Stat. Phys. 1981. V.26, № 1. P. 173-179.

106. Grassberger P. Generalized Dimension of Strange Attractors // Phys. Lett. 1983. V. 97A, № 6, P.227-231.

107. Hausdorff G. Dimension und Äußeres Maß // Math. Ann. 1918. Bd 79, h.2.S.157-179.

108. Mandelbrot B.B. Fractals: Form, Chance and Dimension. San Francisco: Freeman Comp., 1977.

109. Mane R. On the Dimension of the Compact Invariant Sets of Certain NonLinear Maps // Lect. Notes in Math. 1981. V.898. P. 230-242.

110. Штерн B.H. Устройство и размерность аттракторов структурно-стохастического движения // Структурная турбулентность / Под ред. М.А. Гольдпггика. - Новосибирск: Наука, - 1982. С.49-76.

111. Mori Н. Fractal Dimensions of Chaotic Flow of Autonomous Systems // Progr. Theor. Phys. 1980. V. 45, №4. P. 1175-1178.

112. Анищенко B.C., Сафанова М.А. Механизм разрушения инвариантной кривой в отображении Пуанкаре модели самолета // Радиотехника и электроника. -1987.- Т.32. №5. С.1207-1216.

113. Anishchenko V.S., Safanova М.А., Chua L.O. Confirmation of the Afraimovich-Shilnikov Torus-Breakdown Theorem via a Torus Circuit. // IEEE Trans, on Circuits and Systems. 1993. V.40, № 11. P.792-800.

114. Мартынов Б.А., Бочков B.B. Введение в стохастическую динамику -СПб.: Изд. Санкт-Петербургского государственного технического университета, 1998.

115. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Наука, 1984.

116. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. -М.: Наука, 1966.

117. Ляпунов A.M. Собр. соч., т.1,2.-М.: Изд-во АН СССР, 1954-1956.

118. Оселедец В.И. Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических систем // Тр. Моск. об-ва. 1968.-Т.19. С.179-210.

119. Benettin G., Froeschle С., Scheidecker J.P. Komogorov Entropy of a Dynamical System with an Increasing Number of Degrees of Freedom // Phys. Rev. A.-1979.-V. 19, No 6.-P.2454-2460.

120. Benettin G., Galgani L. Lyapunov Characteristic Exponents and Stochasticity // Intrinsic Stochasticity in Plasmas /Ed. by G.Laval, D.Gressilon.-Orsay: Les Edition de physique courtaboeuf, 1979.-P. 93-114.

121. Benettin G., Galgani L., Strelcyn J.M. Komogorov Entropy and Numerical Experiments // Phys. Rev. A.-1976.-V.14, No 6.-P. 2338-2342.

122. Shimada I., Nagascima T. A Numerical Approach to Ergodic Problem of Dissipative Dynamical System // Progr. Theor. Phys. Japan.-1979.-V.61, No 6.-P. 1605-1616.

123. Бутенин H.B., Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Введение в теорию нелинейных колебаний. - М.: Наука, 1987.

124. Мун Ф. Хаотические колебания. - М.: Мир, 1990.

125. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. -М.: Мир, 1984.