Моделирование концентрационной микронеоднородности полупроводниковых кристаллов при выращивании методами вертикальной направленной кристаллизации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат наук Дормидонтов, Алексей Николаевич

• Дормидонтов, Алексей Николаевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Дормидонтов, Алексей Николаевич

Содержание

Введение

Глава 1. Полосы роста в полупроводниковых кристаллах

1.1 Проблема полос роста в полупроводниковых кристаллах

1.2 Сегрегация примеси

1.3 Модели пограничного слоя

1.4 Модели, основанные на численном решении уравнений

гидродинамики

Выводы по главе 1

Глава 2. Математическая модель роста полупроводниковых кристаллов

2.1 Постановка задачи

2.2 Цилиндрические координаты

2.3 Характерные величины и числа подобия

2.4 Криволинейные координаты

2.5 Численная схема для уравнений Навье-Стокса в

ортогональных цилиндрических координатах

2.5.1 Численная схема расщепления

2.5.2 Пространственные аппроксимации этапов расщепления

для уравнений движения

2.5.3 Пространственные аппроксимации этапов расщепления уравнения теплопроводности

2.5.4 Об аппроксимации и устойчивости численной схемы

2.6 Уравнение диффузии и задача Стефана

2.7 Возможное обобщение уравнений на трехмерный случай

Выводы по главе 2

Глава 3. Решение уравнений в криволинейных координатах

3.1 Преобразование уравнений к криволинейным координатам

3.1.1 Преобразование уравнений движения жидкости

3.1.1.1 Преобразование уравнения неразрывности

3.1.1.2 Преобразование производной по времени

3.1.1.3 Преобразование оператора переноса

3.1.1.4 Преобразование слагаемых градиента давления и

массовой силы

3.1.1.5 Преобразование слагаемых вязких сил

3.1.2 Окончательный вид уравнений в криволинейных координатах

3.2 Схема расщепления уравнений

3.2.1 Расщепление уравнений движения

3.2.2 Центральный этап и уравнение Пуассона

3.2.3 Расщепление уравнения теплопроводности

3.2.4 Этап «г-теплопроводность»

3.2.5 Этап «Я-теплопроводность»

3.2.6 Расщепление уравнения диффузии

3.3 Тестовая задача. Сравнение численного решения задачи

Стефана с аналитическим решением

3.3.1 Аналитическое решение задачи Стефана

3.3.2 Сравнение численного и аналитического решений

Выводы по главе 3

Глава 4. Моделирование нестационарных воздействий

ростового оборудования

4.1 Аппаратура для выращивания кристаллов

методами вертикальной направленной кристаллизации

4.1.1 Контролирование температуры в печи

4.1.2 Неравномерное перемещение тигля

4.2 Моделирование нестационарных воздействий

4.2.1 Неравномерное перемещение тигля шаговым двигателем

4.2.2 Моделирование погрешности подержания

температуры на нагревательных элементах

4.3 Сопоставление результатов с теоретическими

моделями и экспериментальными данными

4.4 Требования, рекомендованные автором к ростовому оборудованию

Выводы по главе 4

Основные результаты работы

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование концентрационной микронеоднородности полупроводниковых кристаллов при выращивании методами вертикальной направленной кристаллизации»

Введение

Многочисленные эксперименты по выращиванию кристаллов полупроводников и полупроводниковых соединений показывают, что методы вертикальной направленной кристаллизации (ВНК) — вертикальный метод Бриджмена (ВМБ) и vertical gradient freeze (VGF), позволяют получать кристаллы с высоким структурным совершенством. Это достигается благодаря возможности задавать необходимый осевой температурный профиль вдоль тигля, который контролируется на протяжении всего процесса роста кристалла. Однако, нестационарные воздействия со стороны оборудования, такие как погрешность поддержания температуры и неравномерность перемещения тигля, приводят к флуктуациям температуры и нарушают технологический процесс. Следствием таких флуктуации является образование микроскопических неоднородностей состава кристалла, так называемых полос роста. Эти полосы нарушают однородность свойств получаемых подложек, что в дальнейшем оказывает негативное влияние на качество эпитаксиальных слоев и характеристики полупроводниковых приборов.

Флуктуации температуры у фронта кристаллизации приводят к колебаниям скорости роста, в результате чего возникает неоднородность состава кристалла на микроскопическом уровне. Расчёту величины микроскопической неоднородности от колебаний скорости роста посвящено значительное число теоретических работ, основанных на построении математической модели пограничного слоя: Херл и др. [1], Ван Ран [2], Фавье и др. [3], Тевенард и др. [4], Гарандет [5] и др. Однако следует отметить, что применить эти модели на практике для расчёта реальной величины микроскопической неоднородности достаточно трудно. Для этого необходима информация о ширине пограничного слоя и колебаниях скорости роста, которая в реальных экспериментах неизвестна.

При выращивании кристаллов методами ВНК колебания скорости роста являются следствием нестационарных воздействий со стороны аппаратуры. Так, в работах Фу, Вилкокс [6,7], численно решая одномерное уравнение

теплопроводности, на примере роста кристалла вертикальным методом Бриджмена авторы показали, что неравномерное перемещения тигля приводит к колебаниям скорости роста. Особого внимания заслуживает работа Янга и Мюллера [8]. В ней авторы с помощью двумерной численной модели метода УвИ, рассмотрев синусоидальные колебания температуры на нагревательных элементах с амплитудой 0.5 К, рассчитали образующиеся колебания скорости роста и величину микроскопической неоднородности. Затем они сравнили рассчитанную величину микронеоднородности с аналитическими моделями [4] и [5]. Получив хорошее соответствие результатов численных расчётов и аналитических моделей, авторы также указали о сложности применения аналитических моделей на практике.

Необходимо отметить работу Шелла [9], посвященную получению кристаллов без полос роста. Автор считает, что проблема полос роста разрешима, но это требует серьезных теоретических и технологических усилий, необходимых для контроля температуры у фронта кристаллизации.

Таким образом, на сегодняшний день отсутствуют модели, позволяющие с необходимой точностью осуществлять количественные расчеты величины микроскопических неоднородностей, возникающих от конкретных нестационарных воздействий аппаратуры при выращивании полупроводниковых кристаллов методами ВНК.

Цель и задачи работы

Целью диссертационной работы является моделирование нестационарных воздействий ростового оборудования при выращивании кристаллов методами ВНК и прогнозирование величины микроскопических концентрационных неоднородностей, возникающих в результате заданных воздействий.

1.На основе математической модели В.А. Гончарова [10, 11] разработать модель выращивания кристаллов методами ВНК, способную рассчитывать малые колебания скорости роста, возникающие в результате нестационарных воздействий аппаратуры, и образующиеся вследствие этого микросегрегации примеси.

2. С помощью разработанной модели рассчитать максимальную величину микронеоднородности, возникающую в полупроводниковых кристаллах в результате заданной погрешности поддержания температуры в электропечи и неравномерности перемещения тигля (в том числе характерных для современных технологических установок).

Научная новизна

Для расчёта процесса роста кристаллов из расплава методами ВНК в диссертационной работе была выбрана математическая модель, основанная на численном решении 20-осесимметричной нестационарной задачи Стефана совместно с системой уравнений Навье-Стокса в расплаве [10-12]. Существенной особенностью этой модели является то, что в ней удается одновременно с вычислением поля температур учесть скрытую теплоту кристаллизации и, таким образом, определить мгновенную скорость роста кристалла. Расчёт малых колебаний скорости роста является необходимым для вычисления величины микроскопических неоднородностей примеси. Однако следует отметить, что очень не многие существующие модели роста кристаллов способны вычислять мгновенную скорость роста.

В предложенную выше модель решения задачи Стефана, позволяющую рассчитывать процессы тепло- и массообмена в расплаве и теплообмена в кристалле, был добавлен учет теплообмена внутри стенок тигля. В результате, возникла возможность задавать различные внешние профили температур на нагревателях и флуктуации температуры на них. Флуктуации температуры приводят к колебаниям мгновенной скорости роста и рассчитываются в математической модели [10-12]. Решение уравнения диффузии в рамках системы уравнений Навье-Стокса с граничным условием сегрегации примеси на фронте кристаллизации позволило, в итоге, рассчитать микронеоднородность примеси в слитке.

Для расчёта конкретной величины микронеоднородности были изучены характеристики современного оборудования для выращивания кристаллов. В результате анализа технических характеристик этих установок было выяснено,

что погрешность поддержания заданного температурного профиля ДГ в них варьируется от 0.01 до 1 градуса, а минимальный шаг перемещения тигля АИ может принимать значения от 0.1 мкм до 0.1 мм. В работе определяется максимальная величина микронеоднородности примеси в кристалле, которая может возникнуть при указанных погрешностях аппаратуры. Рассматривается зависимость этой величины от наиболее важных технологических параметров (от температурного градиента у фронта и средней скорости перемещения тигля).

Практическая ценность работы

В диссертационной работе рассматриваются режимы роста, характерные для выращивания полупроводниковых кристаллов вертикальным методом Бриджмена и методом УвР. Как показывают расчёты, конвекция в расплаве стационарна и не приводит к флуктуациям температуры вблизи фронта кристаллизации. По этой причине, в работе рассчитывается микроскопическая неоднородность примеси в кристалле АС/С, связанная со следующим уровнем величины возмущений и возникающая в результате погрешности механического привода тигля и точности поддержания температуры в электропечи технологической установки.

Современные мировые требования, предъявляемые к однородности полупроводниковых подложек, достаточно высокие и составляют АС/С = 10~4 -10"5

(и выше). Такие материалы необходимы современной электронной промышленности для создания светодиодов и лазеров, быстродействующих фотоприемников, детекторов рентгеновского и /-излучения и других устройств. Однако, как показывают проведенные в диссертации исследования, далеко не все задекларированные для методов ВНК технологические установки позволяют получать кристаллы с микроскопической неоднородностью, например, АС/С = 10^ -1(Г5. Таким образом, построенная в работе математическая модель

позволяет заранее определять ожидаемые значения микронеоднородности примеси, характерные для аппаратуры с заданными техническими параметрами и может быть использована при конструировании перспективной аппаратуры.

Достоверность полученных результатов

Достоверность результатов расчетов подтверждается последовательным применением методов вычислительной математики, сходимостью результатов расчетов по сеткам, успешным решением исходной численной схемой международной тестовой задачи, совпадением численного решения задачи Стефана с аналитическим решением с высокой точностью и совпадением результатов реализованной численной схемы с результатами близкой модели других авторов [8].

Личный вклад

Основные результаты диссертационной работы получены автором лично.

1. Оптимизирован наиболее трудоемкий вычислительный этап численной схемы [10-12], связанный с решением уравнения Пуассона для функции тока.

2. Разработан модуль, позволяющий в модели [10-12] дополнительно учитывать теплообмен внутри тигля.

3. Выполнено моделирование роста кристаллов с учетом неравномерности перемещения тигля и погрешности поддержания температуры на нагревательных элементах.

4. Получены количественные характеристики влияния перечисленных в пункте 3 факторов на величину микроскопической неоднородности примеси в кристалле.

В результате получены и выносятся на защиту следующие основные научные результаты:

1. Математическая модель выращивания полупроводниковых кристаллов методами вертикальной направленной кристаллизации, позволяющая прогнозировать концентрационную микронеоднородность в результате нестационарных воздействий в ростовой аппаратуре.

2. Результаты численного моделирования образования полос роста с учётом погрешности поддержания температуры на нагревательных элементах в диапазоне от 0.01 до 1 градусов.

3. Результаты моделирования образования полос роста с учётом неравномерности перемещения тигля относительно печи с шагом от 0.1 мкм до 0.1 мм.

Краткое содержание

Первая глава диссертационной работы посвящена описанию проблемы образования микроскопических неоднородностей в виде концентрационных полос роста при выращивании кристаллов из расплава. Как известно, микроскопические неоднородности образуются из-за колебаний скорости роста кристалла и сегрегации примеси между твердой и жидкой фазой. К колебаниям скорости роста могут приводить различные причины, однако, при выращивании кристаллов методом вертикальной направленной кристаллизации этой причиной являются нестационарные воздействия в ростовых установках.

Для моделирования влияния нестационарных воздействий со стороны аппаратуры и расчёта величины микроскопических неоднородностей, во второй главе построена математическая модель роста кристаллов из расплава методом вертикальной направленной кристаллизации. Модель основана на решении нестационарной задачи Стефана совместно с системой уравнений Навье-Стокса, уравнениями диффузии и теплопроводности в расплаве, а также уравнениями теплопроводности в кристалле и тигле.

Следует отметить, что решение задачи о флуктуациях скорости роста кристалла и возникающих вследствие этого полосах роста принципиально невозможно в модели с плоским фронтом кристаллизации. По этой причине в третьей главе выполнен переход к криволинейной системе координат и неплоскому фронту кристаллизации. Сформулирована численная схема решения системы дифференциальных уравнений в криволинейных координатах. Такая громоздкая задача отчасти упрощается тем, что искривление фронта не может быть слишком велико - это привело бы к срыву монокристаллического роста. Таким образом, решается задача с малым параметром - кривизной фронта.

В четвертой главе диссертационной работы на примере арсенида галлия, легированного кремнием, выполнены численные расчёты величины

микроскопической неоднородности, возникающей от нестационарных воздействий в оборудовании. На основании математического моделирования и проведенных расчётов сформулированы рекомендации к параметрам технологического оборудования для получения кристаллов с требуемой величиной микроскопической неоднородности примеси.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы из 74 наименований. Диссертация включает 183 страницы основного текста, 36 рисунков, 11 таблиц.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на Национальной конференции по росту кристаллов «НКРК-2010» (Москва, ИК РАН, 2010), научно-практической конференции «Современные информационные технологии и ИТ-образование» (Москва, ЖИНТУИТюРУ, 2009) и четырёх Всероссийских межвузовских научно-технических конференциях студентов и аспирантов «Микроэлектроника и Информатика» (Москва, МИЭТ, 2009,2010, 2012, 2013).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 10 работ и одна передана в печать. Среди них 4 статьи, три из которых в журналах, рекомендованных ВАК Минобразования России. Список работ представлен ниже.

1. Балдина H.A., Дормидонтов А.Н. Анализ параллельных алгоритмов расчета уравнения Пуассона в задачах гидродинамики / Микроэлектроника и информатика - 2009. XVI Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция: Тезисы докладов - М.: МИЭТ, 2009 - С. 121.

2. Балдина Н.А, Гончаров В.А, Дормидонтов А.Н. Параллельные алгоритмы в компьютерном моделировании процесса выращивания полупроводниковых кристаллов / Современные информационные технологии и ИТ-образование: сборник трудов; ред. В.А. Сухомлина- М.: МГУ, 2009 - С. 777-782.

3. Балдина H.A., Гончаров В.А., Дормидонтов А.Н. Применение параллельных алгоритмов решения уравнения Пуассона в модели выращивания

полупроводниковых кристаллов / Информационно-управляющие вычислительные системы: алгоритмы, аппаратурные и программные средства: межвузовский сборник; ред. В.А. Бархоткина - М.: МИЭТ, 2011.— С. 11-18.

4. Гончаров В.А., Васекин Б.В., Дормидонтов А.Н. Применение модели неравновесной кристаллизации для решения задачи о выращивании полупроводниковых кристаллов методом Бриджмена / XIV Национальная конференция по росту кристаллов «НКРК-2010». Москва, 6-10 декабря 2010г.-Т.1.- Москва, Россия, 2010 - С.112.

5. Дормидонтов А.Н. Попеременно-треугольный метод для параллельного решения уравнения Пуассона / Микроэлектроника и информатика - 2010. XVII Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция студентов и аспирантов: Тезисы докладов - М.: МИЭТ, 2010 - С. 143.

6. Дормидонтов А.Н. Моделирование технологических полос роста при выращивании полупроводниковых кристаллов методом Бриджмена / Микроэлектроника и информатика - 2012. 19-я Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция студентов и аспирантов: Тезисы докладов —М.: МИЭТ, 2012.-С. 111.

7. Гончаров В.А., Дормидонтов А.Н. Применение трехслойного попеременно-треугольного метода для решения уравнения Пуассона в математической модели выращивания кристаллов полупроводников / Вестник Московской государственной академии делового администрирования. Серия: Философские, социальные и естественные науки - 2012 - №3(15) .- С. 154-158. Статья в журнале, рекомендованном ВАК РФ.

8. Загребин Д.А. Кушников М.С. Дормидонтов А.Н. Оценка влияния нестационарных воздействий аппаратуры на образование микронеоднородностей при выращивании полупроводниковых кристаллов методом Бриджмена / 20-я Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция студентов и аспирантов: Тезисы докладов.- М.: МИЭТ, 2013 - С.137.

9. Гончаров В.А., Дормидонтов А.Н. Численное моделирование влияния нестационарных условий на образование концентрационных полос роста при выращивании кристаллов методом Бриджмена / Изв. ВУЗов. Электроника-2013- №6 (104).- С.3-9. Статья в журнале, рекомендованном ВАК РФ.

10. V.A. Goncharov, A.N. Dormidontov Numerical Simulation of the Effect of Non_Steady_State Conditions on the Formation of Concentration Growth Striations when Growing Crystals by the Bridgman Method / Semiconductors - 2014 - V. 48-№. 13.-P. 1716-1719.

11. Дормидонтов А.Н. Влияние нестационарных воздействий на концентрационную микронеоднородность при выращивании кристаллов методом вертикальной направленной кристаллизации / Изв. ВУЗов. Электроника - 2015.-№1 (111). Передана в печать. Статья в журнале, рекомендованном ВАК РФ.

Глава 1. Полосы роста в полупроводниковых кристаллах

Изделия и приборы, основанные на полупроводниковых технологиях, стали неотъемлемой частью современной жизни человека. Технические характеристики этих приборов во многом зависят от используемых для их производства материалов. Поэтому ключевой технологией среди всей последовательной цепочки производственного процесса создания микро- и оптоэлектронных устройств является выращивание монокристаллов полупроводников и полупроводниковых соединений.

Значительное место среди выращиваемых полупроводниковых кристаллов занимают монокристаллы кремния, используемые в производстве различных полупроводниковых приборов [13-15]. Кремниевые монокристаллы на сегодняшний день является основным материалом подложки при создании интегральных схем. Также широкое применение имеют некоторые соединения трех- и пятивалентных материалов А3В5, например арсенид галлия ваАБ, обладающих полупроводниковыми свойствами. Областями применения приборов на основе таких соединений в основном являются оптические системы передачи данных и оптические устройства отображения информации.

Развитие микро- и оптоэлектронной техники невозможно без увеличения качества используемых полупроводниковых кристаллов и соединений. Поэтому получение качественных кристаллов необходимых размеров, чистоты и однородности электрофизических и оптических свойств является важной задачей. Для решения этой задачи разрабатываются новые и совершенствуются старые методы выращивания кристаллов. При этом мощным инструментом выступает математическое моделирование.

Свойства кристаллов в большей степени определяются распределением легирующих и остаточных примесей и дефектами структуры кристалла [16-17]. Для получаемых кристаллов характерны макроскопические (порядка 1-10 мм) и микроскопические (порядка 1 - 102 мкм) неоднородности примесей. В настоящее время существуют несколько технологических методик выращивания кристаллов,

позволяющих влиять на макроскопические неоднородности посредством дополнительного перемешивания расплава: метод ACRT(Accelerated Crucible Rotation Technique) [18], AVT (Angular Vibration Technique) [19], выращивание кристаллов в магнитных полях [20], использование погружённого осциллятора [21,22] и др.

1.1 Проблема полос роста в полупроводниковых кристаллах

Существенной проблемой при выращивании полупроводниковых кристаллов и соединений является образование микроскопических концентрационных полос легирующей примеси (микросегрегаций). Из-за полос, наблюдаемых на микроскопических снимках поверхности кристалла после электрохимического травления (рис. 1.1), эти неоднородности принято называть полосами роста. Под полосами роста в настоящее время также подразумеваются и вариации состава сложных кристаллов или периодические флуктуации в структуре эвтектики. В результате, полосы роста приводят к неоднородности свойств получаемых подложек в пределах от одного микрометра до миллиметра [23, 24], что в дальнейшем оказывает негативное влияние на качество эпитаксиальных слоев и характеристики полупроводниковых приборов.

а) б)

Рисунок 1.1. Полосы роста, а - снимок продольного сечения кристалла ОаБ^г),

выращенного методом Чохральского, б - Снимок продольного сечения кристалла

2пОеРг , выращенного вертикальным методом Бриджмена

В микро- и оитоэлектронике широко используются многокомпонентные полупроводниковые соединения или твердые растворы, такие как СаАзхР1.х, Оах1п1.х8Ь, Сс1хН§1-хТе и др. Концентрация компонентов варьируется и, тем самым, свойства получаемого твердого раствора оптимизируются в зависимости от условий применения. Так, меняя состав х твердого раствора СсУ^/.Де в пределах 0,2 - 0,5, можно получать материал, пригодный для детектирования ИК-диапазона в трёх диапазонах длины волны: 1,5 - 2,5; 3 - 5 и 8 - 14 мкм [25]. При этом современные мировые требования к однородности состава являются достаточно высокими, см. таблицу 1.1 [9]. Например, для полупроводниковых подложек из Сс^^^Те необходимо, чтобы максимально допустимая неоднородность состава составляла Ах/х^К)-4-10~5. Образующиеся в кристалле

полосы роста часто нарушают это требование, что приводит к уменьшению эффективности полупроводниковых приборов или полной непригодности выращенных кристаллов.

Таблица 1.1. Требования к однородности состава кристаллов

Материал Неоднородность состава, Ах/х

Легированные кристаллы 10"2 - 10"3

Магнитные и магнитооптические кристаллы 10"4 - 10"5

Полупроводниковые кристаллы твёрдых растворов GaAs.jP7.jt, Са,1п/.,А5, СаДп/.^Ь, Сс^/./Ге ю-4- кг5

Оптические кристаллы 10"5- 10"7

1.2 Сегрегация примеси

Образование в выращиваемых кристаллах как макроскопических, так и микроскопических неоднородностей примеси связано с явлением сегрегации примеси между твердой и жидкой фазой. Из многих экспериментальных исследований известно, что концентрация примеси в твердой фазе имеет, как правило, иное значение, чем в сосуществующей жидкой фазе. При затвердевании

расплава концентрация в твёрдой фазе обычно понижена, в то время как в расплаве концентрация повышена, т.е. происходит распределение, или сегрегация примеси. При небольших концентрациях примеси (< 1%) для многих веществ существует пропорциональность между концентрацией в жидкой С£ и концентрации С5 в твердой фазе, а коэффициент пропорциональности к = с3/сь называют коэффициентом сегрегации. В таблице 1.2 даны примеры значений к для некоторых важных примесей в кремнии и арсениде галлия [26]

Таблица 1.2. Коэффициент сегрегации различных примесей X в кремнии и арсениде галлия [26]

X ваАз: X

в 8,0-10"1 -

ва 8,0-10'3 -

1п 4,0 10"4 1,0-ИГ1-7,0-10"3

Бп 1,6-10"2 3,0-10"2 - 3,5-10"3

Р 3,5-ИГ1 2,0 - 3,0

Ав 3,0-10"1 -

БЬ 2,3-10"2 1,6-ИГ2

О 1,4 3,0-иг1

Б 1,0-10"5 3,0-10"1

Сг 1,0-10"5 1,0-Ю-3 -5,7-Ю-4

Ре 6,0-10"5 1,0-10'3 - 3,0-10"3

N1 8,0-10"6 6,0- ю-4

Безусловно, одной из важнейших работ, посвящённых теоретическому описанию явления сегрегации и расчёту распределения концентрации примеси в кристалле, является работа Бартона, Прима и Слихтера [27]. Авторы разработали модель пограничного слоя, описывающую сегрегацию в стационарных условиях. Модель построена при учете следующих ограничений:

- это одномерная модель, которая описывает перераспределение примеси только вдоль направления роста;

- на границе раздела фаз коэффициент сегрегации к имеет постоянное значение к0;

- диффузия примеси рассматривается только в расплаве с постоянным коэффициентом диффузии Б;

- теплоперенос учитывается неявно с помощью постоянной скорости перемещения фазовой границы Я;

- предполагается, что распределение концентрации в жидкости зависит от координат только в пределах примыкающего к фронту слоя толщиной 8, так называемого пограничного слоя. За пределами этого слоя предполагается полное перемешивание, вызванное конвекцией.

Таким образом, математическая модель БПС записывается так:

дх дх .дС

+ = 0, 0<х<<5

- И = (I — ) • • С(Ь), х = 0 С = С", Х = д.

Решение данной краевой задачи имеет следующий вид:

с - к С"

где С5 - концентрация примеси в кристалле, С" - концентрация примеси в расплаве на достаточно большом удалении от фронта кристаллизации, т.е. за пределами пограничного слоя, кеЖ- эффективный коэффициент сегрегации, который определяется по формуле

кп

к.,гг —

к0+(\-коу*»

Несмотря на то, что модель получена для установившегося состояния, она показывает, какие именно параметры могут приводить к микроскопическим неоднородностям распределения примеси в кристалле. В предположении, что концентрация примеси в расплаве вдали от фронта кристаллизации и

коэффициент диффузии постоянны, такими параметрами являются скорость роста и толщина пограничного слоя. Так, авторами работы [28] на примере кристалла кремния, легированного сурьмой, выращенного методом Чохральского, была экспериментально подтверждена связь между временными флуктуациями скорости роста и образующимися микроскопическими неоднородностями распределения примеси (рис 1.2). При этом микросегрегация проявляется только в том случае, если равновесный коэффициент сегрегации отличен от единицы, что характерно почти для всех легированных примесью полупроводников, см. например таблицу 1.2. Поэтому развитие теоретических моделей полос роста связано, в первую очередь, с расчётом концентрации легирующей примеси в кристалле под действием периодических изменений скорости роста [2,3,8, 29-37].

Distance Grown (дт)

Рисунок 1.2. Анализ микросегрегаций в выращенном методом Чохральского

| Q 1

кристалле кремния (Si) легированного сурьмой Sb (10 см" ) [28]

Часто образование полос роста связывают с флуктуациями температуры. Учитывая, что скорость роста кристалла зависит от потоков тепла на фронте, следует, что она зависит и от изменения температуры вблизи фронта. Поэтому изменение скорости роста и температуры при описании полос роста часто используются как взаимозаменяемые понятия, а в литературе можно также встретить термин «температурные полосы роста». Однако следует отметить, что

скорость роста кристалла изменяется по разным причинам, которые можно классифицировать следующим образом [26]:

• нестационарные условия в ростовой установке из-за вибрации механической части, нестабильной работы системы регулирования, вращения кристалла в неосесимметричном температурном поле;

• нестационарная конвекция: гравитационная, капиллярная (эффект Марангони), вызванная взаимодействием градиентов температуры и концентрации (конвекция в результате двойной диффузии);

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Дормидонтов, Алексей Николаевич, 2014 год

Список литературы.

1. Hurle, D.T.J. Striated solute distributions produced by temperature oscillations during crystal growth from the melt / D.T.J. Hurle, E. Jakeman, E.R. Pike // Journal of Crystal Growth.- 1968.- V. 3-4.- P. 633-640.

2. Van Run, A.MJ.G. Computation of striated impurity distributions in melt-grown crystals, taking account of periodic remelt / A.MJ.G. Van Run // Journal of Crystal Growth - 1979.- V. 47- P. 680-692.

3. Favier, J.J. A test of the boundary layer model in unsteady Czochralski growth / J.J. Favier, L.O. Wilson // Journal of Crystal Growth - 1982 - V. 58.- P. 103-110.

4. Thevenard, D. Influence of convective thermal oscillations on a solidification interface in Bridgman growth / D. Thevenard, A. Rouzand, J. Comera, J.J. Favier // Journal of Crystal Growth - 1991- V. 108 - P. 572582.

5. Garandet, J.P. Microsegregation in crystal growth from the melt: an analytical approach / J.P. Garandet // Journal of Crystal Growth - 1993.- V. 131- P. 431-438.

6. Fu, T.W. Rate change transients in Bridgman-Stockbarger growth / T.W. Fu, W.R. Wilcox // Journal of Crystal Growth.- 1981.- V. 51.- P. 557-567.

7. Fu, T.W. Programmed and oscillatory motion in Bridgman-Stockbarger growth / T.W. Fu, W.R. Wilcox // Journal of Crystal Growth - 1982 - V. 57.- P. 91-93.

8. Jung, T. Amplitude of doping striation: comparison of numerical calculation and analytical approaches / T. Jung, G. Muller // Journal of Crystal Growth.- 1997-V. 171-P. 373-379.

9. Scheel, H. J. Theoretical and technological solution of the striation problem / H. J. Scheel // Journal of Crystal Growth - 2006.- V. 287 - P. 214-223.

Ю.Гончаров, В.А. Численная схема моделирования задач термоконвекции / В.А. Гончаров, Е.В. Марков // Журн. вычисл. математики и матем. физики.- 1999.- Т. 39.- № 1.- С. 87-97.

П.Гончаров, В.А. Об одном методе решения двухфазной задачи Стефана с неплоской границей / В.А. Гончаров // Ж. вычисл. матем. и матем. физики.- 2000.- Т.40.- №11- С.1706-1715.

12.Бапдина, Н.А. Моделирование возникновения аномальной поперечной неоднородности распределения примеси в космических экспериментах по выращиванию кристаллов / Н.А. Балдина, Б.В. Васекин, В.А. Гончаров // Математическое моделирование - 2009 - Т.21- № 10.-С.67-75.

13.Мильвидский, М.Г. Современное состояние технологии выращивания кристаллов твердых растворов Ge-Si / М.Г. Мильвидский, A.M. Мильвидский // Материалы электронной техники - 2005 - №4- С. 5460.

14.Мильвидский, М.Г. Современное состояние технологии полупроводникового кремния часть 1 / М.Г. Мильвидский, A.M. Мильвидский//Материаловедение-2006.-№ 11- С. 15-27.

15.Мильвидский, М.Г. Современное состояние технологии полупроводникового кремния часть 2 / М.Г. Мильвидский, A.M. Мильвидский//Материаловедение - 2007.- № 1- С. 19-31.

16.Кайбышев, О. А. Границы зерен и свойства металлов / О. А. Кайбышев, Р. 3. Валиев.-М. :Металлургия, 1987 - 214 с.

17.Жданов, Г.С. Лекции по физике твердого тела / Г.С. Жданов, Ф.Г Хунджуа.- М: Изд-во МГУ, 1988 - 231 с.

18. Scheel, H.J. Accelerated crucible rotation: A novel stirring technique in high-temperature solution growth / H.J Scheel // Journal of Crystal Growth.-1972.-V. 13-14.-P. 560-565.

19.Wang, L.C. Segregation control of vertical Bridgman growth of Ga-doped germanium crystals by accelerated crucible rotation: ACRT versus angular vibration / L.C. Wang [и др.] // Journal of Crystal Growth.- 2009 - V. 311.- P. 684-687.

20.Dolda, P. Thermoelectromagnetic convection in vertical Bridgman grown germanium - silicon / P. Dolda, F.R. Szofranb, K.W. Benzc // Journal of Crystal Growth.- 2006.- V. 291.- P. 1-7.

21.Zharikov, E.V. Experimental study of the influence of vibration on crystal growth by the vertical Bridgman method / E.V. Zharikov [и др.] // Vibrational effects in fluid dynamics - 2000.-pp. 1-10.

22.Fedyushkin, A. I. Influence of vibration on heat and mass transfer during crystal growth in ground-based and microgravity environments / A. I. Fedyushkin [и др.] // 2nd Pan Pacific Basin Workshop on Microgravity Sciences.-2001 -P. 1-9.

23.DE Kock, A. J. R. On the relation between growth striation and resistivity variation in silicon crystals / A. J. R. DE Kock, P. J. Severin, P.J. Rocksnoer // Phys. stat. sol. (a).- 1974.- V. 22 - P.163-166.

24.Mazur, R.G. A Spreading Resistance Technique for Resistivity Measurements on Silicon / R.G. Mazur, D.H. Dickey //Journal of the Electrochemical Society.- 1966 - V. 113- P. 255-259.

25.Пономаренко, В.П. Теллурид кадмия - ртути и новое поколение приборов инфракрасной фотоэлектроники / В.П. Пономаренко // Успехи физических наук - 2003- Т. 173 - № 6 - С. 649-665.

26.Мюллер, Г. Выращивание Кристаллов из расплава / Г. Мюллер; пер с англ.- М.: Мир, 1991.- 143 с.

27.Burton, J. A. The Distribution of Solute in Crystals Grown from the Melt. Part I. Theoretical / J. A. Burton, R. C. Prim, W. P. Slichter // Journal of Chemical Physics.- 1953.-V. 21.-№ 11.-P. 1953-1957.

28.Murgai, A. Effect of Microscopic Growth Rate on Oxygen Microsegregation and Swirl Defect Distribution in Czochralski Grown Silicon / A. Murgai, H.C. Gatos, W.A. Westdorp // Journal of Electrochemical Society.- 1979-V. 126.- № 12.- P. 2240-2245.

29.Wilson, L.O. A new look at the Burton, Prim, and Slichter model of segregation during crystal growth from the melt / L.O. Wilson // Journal of Crystal Growth.- 1978.- V.44.- P. 371-376.

30.Wilson, L.O. Analysis of microsegregation in crystals / L.O. Wilson // Journal of Crystal Growth.- 1980.- V. 48.- P. 363-366.

31.Wilson, L.O. The effect of fluctuating growth rates on segregation in crystals grown from the melt: I. No backmelting / L.O. Wilson // Journal of Crystal Growth.- 1980.- V.48.- P. 435-450.

32.Wilson, L.O. The effect of fluctuating growth rates on segregation in crystals grown from the melt: II. Backmelting / L.O. Wilson // Journal of Crystal Growth.- 1980.- V.48.- P. 451-458.

33.Favier, J.J. Initial transient segregation during unidirectional solidification of a binary alloy in a furnace with thermal damping / J.J. Favier // Journal of Crystal Growth.- 1980.- V. 49.- P. 373-380.

34.Favier, J.J. Macrosegregation—I unified analysis during non-steady state solidification / J.J. Favier // Acta Metallurgica- 1981.- V.29 - P.l97-204.

35.Favier, J.J. Macrosegregation—II a comparative study of theories / J.J. Favier // Acta Metallurgical 1981.- V.29 - P. 205-214.

36.Camel, D. Theoretical analysis of solute transport regimes during crystal growth from the melt in an ideal Czochralski configuration / D. Camel, J.J. Favier // Journal of Crystal Growth.- 1983.-V.61.-P. 125-137.

37.Haddad, F.Z. Analysis of the unsteady segregation in crystal growth from a melt I. Fluctuating interface velocity / F.Z. Haddad [и др.] //Journal of Crystal Growth.- 1999.- V. 204.- P. 213-223.

38.Cochran, W.G. The flow due to a rotating disk / W.G. Cochran // Proc. Comb. Phil. Soc.- 1934.- V. 30.- P. 365-375.

39.Potard, C. Impurity Striations During Bridgman Growth of InSb / C. Potard, P. Dusserfle, T. Duffar // Cryst. Res. Technol- 1997 - V. 32 - № 7.- P. 925-929.

40.Филиппов, M. Система управления многозонной термической установкой для выращивания кристаллов по методу бриджмена / М. Филиппов [и др.] // Известия Томского политехнического университета-2010-Т. 316-№5- С. 146-151.

41.Гоник, М.М. Повышение точности управления температурным режимом в установках выращивания кристаллов / М.М. Гоник, В.И. Боевкин // Управление большими системами: сборник трудов - 2010-№28.- С. 211-229.

42.Интернет ресурс, официальный сайт компании ОАО НИИ Изотерм URL: http://nii-izoterm.ru/ (дата обращения 01.08.2013).

43.Avetisov, I. Kh. A Computer-Based Facility for Investigating the Melt Hydrodynamics during Bridgman Crystal Growth at Low-Frequency Vibrations in a Melt / I. Kh. Avetisov [и др.] // Instruments and Experimental Techniques - 2004- V. 47 - № 4 - P. 554-561.

44.Avetisov, I. Kh. Growth of Nonstoichiometric PbTe Crystals by the Vertical Bridgman Method Using the Axial-Vibration Control Technique / I. Kh. Avetisov [и др.] // Crystallography Reports. Suppl. 1.- 2005 - V. 50 - P. S124-S129.

45.Интернет ресурс, официальный сайт ФГУП «ЦЭНКИ» URL: http://www.tsenki.com / (дата обращения 06.03.2014).

46.Wang, С.А. Analysis of crystal growth characteristics in a convention vertical Bridgman configuration / C.A. Wang, A.F. Witt, J.R. Carruthers // Journal of Crystal Growth.- 1984.- V.66.- P. 299-308.

47.Балдина, Н.А. Неоднородность примеси в полупроводниковых кристаллах, выращенных в космических условиях методами направленной кристаллизации / Н.А. Балдина, В.А. Гончаров, А.А. Тананыкин // Известия ВУЗов. Электроника - 2007- №6.- С.3-10.

48.Балдина, Н.А. Математическое моделирование поперечной сегрегации примеси в кристаллах, выращиваемых в условиях ламинарной конвекции / Н.А. Балдина, Б.В. Васекин, В.А. Гончаров // Теоретические основы химической технологии - 2009 - Т.43.- №4- С. 371-378.

49.Балдина, Н.А. Параллельные алгоритмы в компьютерном моделировании процесса выращивания полупроводниковых кристаллов / Н.А. Балдина, В.А. Гончаров, А.Н. Дормидонтов //

Современные информационные технологии и ИТ-образование: сборник трудов; ред. В.А. Сухомлина- М.: МГУ, 2009- с.777-782.

50.Гончаров, В.А. Численное моделирование процесса кристаллизации полупроводников с использованием параллельных вычислений / В.А. Гончаров [и др.] // Известия ВУЗов. Электроника.- 2010 - №6(86) .- С. 49-57.

51.Лодиз, Р. Рост монокристаллов / Р. Лодиз, Р. Паркер - М. : Мир, 1974.--541 с.

52.Марченко, М.П. Комплекс программ КАРМА1 решения нестационарных задач выращивания монокристаллов в ампулах / М.П. Марченко, И.В. Фрязинов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ - 1997-Т.37 - №8 - С. 988-998.

53.Lin, К. Numerical method for industrial vertical Bridgman growth of (Cd,Zn)Te / K. Lin [и др.] // Journal of Crystal Growth.- 2002 - V. 237-239.-P. 1736-1740.

54.Stelian, C. Thermo-hydrodynamic transient modeling of vertical Bridgman growth / C. Stelian [и др.] // Journal of Optoelectronics and Advanced Materials.- 2000 - V. 2 - №5 - P.481-486.

55.Davis, G. De V. Natural convection of air in a square cavity: a bench mark numerical solution / G. De V. Davis // Internat. J. Numer. Method. Fluids.-1983.-№3.- P. 249-264.

56.Роуч, П. Вычислительная гидродинамика / П. Роуч- М. :Мир, 1980616 с.

57.Самарский, А.А. Методы решения сеточных уравнений / А.А. Самарский, Е.С. Николаев.- М.: Наука, 1978 - 592 с.

58.Гончаров, В.А. Применение трехслойного попеременно-треугольного метода для решения уравнения Пуассона в математической модели выращивания кристаллов полупроводников / В.А. Гончаров, А.Н. Дормидонтов // Вестник Московской государственной академии делового администрирования. Серия: Философские, социальные и естественные науки.- 2012 - №3(15).- С. 154-158.

59.Мартинсон, JI.K. Дифференциальные уравнения математической физики / JI.K. Мартинсон, Ю.И. Малов; ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко - М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002 - 368 с.

60.Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, A.A. Самарский - М.: Наука, 1997- 736 с.

61.МЭК 60584 - 1 (1995 - 09). Термопары. Часть 1. Справочные таблицы-Введ. 1995-09-01.- IEC, 2005.- 158 с.

62.МЭК 60584 - 2 (1982) Термопары. Часть 2. Допуски.- Введ. 1982-0101.- IEC, 1982.- Юс.

63.МЭК 60584 - 2 (1982)/Amd. 1(1989) Термопары. Часть 2. Допуски. Изменение 1- Введ. 1989-06-01.- IEC, 1989 - 6 с.

64.МЭК 60584 - 3 (1989) Термопары. Часть 3. Удлинительные и компенсационные кабели. Допуски и система идентификации - Введ. 1989-07-01.- IEC, 1989.- 14 с.

65.Интернет ресурс URL: http://temperatures.ru/ (дата обращения 01.08.2013)

66.ГОСТ Р. 8.585—2001 Государственная система обеспечения единства измерений. Термопары. Номинальные статические характеристики

преобразования - Введ. 2002-07-01 - М.: Изд-во стандартов, 2002 - 84 с.

67.МЭК 62460:2008 Температура. Таблицы значений электродвижущей силы для комбинаций термопар на основе чистых элементов.- Введ. 2008-07-24 - IEC, 2008.- 62 с.

68.Scheel, H.J. A precise temperature sensor for 600-1600°C / H.J. Scheel, C. H. West // Phys. E: Sci. Instrum.- 1973.-№.6.- P. 1178-1179.

69.CHASE, A. B. Temperature Fluctuations and Striations in Flux Crystal Growth / A. B. CHASE, W. R. WILCOX // Journal of The American Ceramic Society.- 1967.- V.50.- №6 - P.332-333.

70.Емельянов, А. В. Шаговые двигатели : учеб. пособие / А. В. Емельянов, А. Н. Шилин - ВолгГТУ- Волгоград, 2005 - 48 с.

71.Huang, W.D. Vertical Bridgman growth of AlxGal~xSb single crystals / W.D. Huang, S. Naritsuka, T. Nishinaga // Journal of Crystal Growth-2000.-V.213.-P. 207-213.

72.Гончаров, В.А. Модель неравновесной кристаллизации для численного решения задач выращивания полупроводниковых кристаллов из расплава / В.А. Гончаров, И.В. Азанова, Б.В. Васекин // Изв. ВУЗов. Электроника - 2010 - №5С.5-14.

73.Азанова, И.В. Об одной модели неравновесной кристаллизации для численного решения задач выращивания кристаллов / И.В. Азанова, Б.В. Васекин // 17-я Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция студентов и аспирантов-М.: МИЭТ, 2010 -С.133.

74.Гончаров, В.А. Применение модели неравновесной кристаллизации для решения задачи о выращивании полупроводниковых кристаллов методом Бриджмена / В.А. Гончаров, Б.В. Васекин, А.Н. Дормидонтов

// Тезисы докладов XIV Национальной конференции по росту кристаллов (НКРК-2010), Москва, Россия, 6-10 декабря 2010 - Т.1.-Москва, Россия 2010- С.112.