Моделирование гладких неполиномиальных сплайнов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Демина, Анна Федоровна

• Демина, Анна Федоровна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Демина, Анна Федоровна

Введение

1 О построении неполиномиальных сплайнов минимального и максимального дефекта

1.1 Построение интерполяционных минимальных сплайнов максимального дефекта.

1.2 Оценка погрешности приближения непрерывными лагран-жевыми сплайнами и выражение остатка.

1.2.1 Построение решения ассоциированного дифференциального уравнения.

1.2.2 Остаток приближения и оценка погрешности.

1.2.3 Погрешность при равномерной и равномерно сгущающейся сетке.

1.3 Построение непрерывных лагранжевых сплайнов в частных случаях.

1.3.1 Непрерывные лагранжевые сплайны при п —

1.3.2 Непрерывные лагранжевые сплайны при п =

1.4 Построение сплайнов минимального дефекта на равномерной сетке.

1.5 Построение сплайнов минимального дефекта на неравномерной сетке при п —

1.6 Построение мультипликативных координатных функций на плоскости.

1.7 О решении задачи Коши с помощью неполиномиальных минимальных сплайнов.

2 О гладких интерполяционных сплайнах

2.1 Построение непрерывных минимальных сплайнов, точных на степенях заданной функции.

2.2 Построение гладких минимальных сплайнов, точных на степенях заданной функции

2.2.1 Первый вариант расположения носителя

2.2.2 Второй вариант расположения носителя.

2.3 Свойства гладких минимальных сплайнов.

2.4 О совпадении базисных сплайнов.

2.5 Левые и правые гладкие минимальные сплайны.

2.6 О непрерывных полиномиальных и неполииомиальных сплайнах

2.7 Выражение остатка и оценка погрешности приближения

2.7.1 Оценка погрешности для непрерывных сплайнов

2.7.2 Оценка погрешности для гладких сплайнов.

2.8 Непрерывные и гладкие сплайны, точные на отрицательных степенях заданной функции.

2.8.1 Аппроксимация непрерывными сплайнами.

2.8.2 Аппроксимация гладкими сплайнами

3 О сплайнах со свойством точности на положительных и отрицательных степенях аргумента

3.1 Непрерывные сплайны со свойством точности на функциях 1,х,1/х.

3.2 Непрерывные сплайны со свойством точности на функциях

1, 1/х, 1/х2.

3.3 Непрерывно дифференцируемые приближения со свойством точности на функциях 1, х, 1/ха.

3.3.1 Построение приближений на неравномерной сетке

3.3.2 Построение приближений на равномерной сетке

3.3.3 Численные эксперименты.

3.4 Непрерывно дифференцируемые приближения со свойством точности на функциях 1, 1/ха, 1/х13.

3.4.1 Построение приближений на неравномерной сетке

3.4.2 Построение приближений на равномерной сетке

3.4.3 Численные эксперименты.

3.5 Приближение мультипликативных координатными функциями на плоскости.

4 Построение и свойства сплайнов третьего порядка специального вида

4.1 Непрерывные лагранжевые сплайны со свойством точности на функциях 1, х, еАх, е~Лх.

4.2 Гладкие сплайны со свойством точности на функциях 1, х, еЛх, е~Лх.

4.3 Приближение мультипликативных координатными функциями на плоскости.

4.4 Числовые примеры.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование гладких неполиномиальных сплайнов»

В математике интенсивное изучение сплайнов началось, фактически, только в середине XX века, когда в 1946 году Исаак Шёнберг [66] впервые употребил этот термин в качестве обозначения для рассмотренных им функции с "кусочными" свойствами.

До 1960-х годов сплайны были в основном инструментом теоретических исследований, они часто появлялись в качестве решений различных экстремальных и вариационных задач, особенно в теории приближений. Однако довольно скоро область их применения начала быстро расширяться, и обнаружилось, что существует очень много сплайнов самых разных типов. Например, в начале 70-х годов появились дискретные сплайны [67], которые недавно вновь стали объектом интенсивных исследований (см. [3], [36], [38], [43], [52], [69]). А в 1966 году Швайкерт ввел в рассмотрение гиперболические сплайны с натяжением [68], которые до сих пор остаются весьма популярным аппаратом решения задачи изогеометри ческой интерполяции (см. [59], [61], [62], [64]).

К настоящему моменту существует большое количество статей и серия монографий, посвященных теоретическим исследованиям и практическому применению сплайнов (см. [1], [19], [21], [22], [29], [32], [35], [37], [40], [41], [48] и библиографию в них). Заметим, что сплайны играют фунда5 ментальную роль в бурном развитии теории вейвлетов (см. [30], [31], [54], [56], [60]), а также тесно связаны с конечно-элементной аппроксимацией (см. [2], [40], [47], [50], [51], [53], [58], [65]). Сплайны активно используются при построении конечно-элементного и сеточного методов приближенного решения задач математической физики, в системах автоматического проектирования и автоматизации научных исследований, при сжатии и восстановлении потоков числовой информации, во многих других областях человеческой деятельности и, конечно, в компьютерной графике и моделировании (см., например, [44], [45], [55], [57], [63]).

Стремление к разработке более экономичных методов приводит к использованию функций с малым носителем (локальных функций — см. [23]) с теми или иными минимальными свойствами. Наиболее часто применяются пространства с базисом из функций, носители которых имеют минимальную кратность перекрытия (обычно именуемую кратностью накрытия). К ним относятся В-сплайны (см. [1], [22], [49]), сравнительно недавно разработанные интерполяционные минимальные сплайны (см. [10], [25], [47]), а также ряд конечно-элементных аппроксимаций (см., например, [51]). Подобные аппроксимации называются минимальными [26], [28] и позволяют значительно снизить трудоемкость вычислений [27]. Сплайн В. С. Рябенького [47] был, по-видимому, первым интерполяционным минимальным сплайном.

В работах Буровой И.Г. и Демьяновича Ю.К. (см., например, [6], [11]) рассматривались построение и свойства непрерывных и непрерывно дифференцируемых заданное число раз минимальиых полиномиальных и тригоиометрических интерполяционных сплайнов со свойством "точности" соответственно на алгебраических и тригонометрических полиномах заданной степени. Отличительная черта этих сплайнов заключается в том, что аппроксимация строится отдельно на каждом сеточном интервале в виде линейной комбинации базисных сплайнов с коэффициентами, равными значениям приближаемой функции в нескольких соседних узлах сетки. При этом интерполирующая функция строится достаточно просто, поскольку решение интерполяционной задачи в точке не зависит от поведения функции в достаточно удаленных узлах сетки.

Интерполяционные минимальные полиномиальные сплайны хорошо себя зарекомендовали при проведении последовательной интерполяции в реальном масштабе времени, а иеиолиномиальные сплайны в настоящее время вновь привлекают интерес многих авторов (см., например, [34]). Интерес к ним обусловлен удобством реализации на различных вычислительных системах и, в частности, с возможностью достижения более высокой точности результата при меньших затратах ресурсов ЭВМ. Поэтому представляется особенно важным исследовать приближения, обладающие свойством "точности" на достаточно произвольном множестве функций, и оценить погрешности полученных приближений.

В данной работе исследованы минимальные неполиномиальные сплайны, удобные для решения интерполяционной задачи Лагранжа, обладающие локальным интерполяционным базисом и свойством точности на обобщенных полиномах заданного порядка. Получены оценки погрешности на локальных квазиравномерных сетках.

Построены минимальные интерполяционные неиолиномиальные непрерывно дифференцируемые заданное число раз сплайны со свойством точности на степенях, в том числе возможно отрицательных, заданной достаточно гладкой произвольной функции. Получены оценки погрешности приближения, а также соотношения между неполиномиальными и известными (см. [И]) минимальными полиномиальными сплайнами.

Построены непрерывные и непрерывно дифференцируемые сплайны со свойством точности на положительных и отрицательных, возможно дробных, степенях аргумента, а также исследованы некоторые неполиномиальные сплайны третьего порядка специального вида. Получены оценки погрешности приближения.

Разработаны программные комплексы для генерации исследованных сплайнов.

Диссертация содержит 4 главы (24 параграфа) и два Приложения. В первой главе рассматривается аппроксимация функций с помощью неполиномиальных сплайнов минимального и максимального дефекта, получены оценка погрешности приближения и выражение остатка. В первом параграфе приводятся формулы интерполяционных минимальных сплайнов максимального дефекта, а также аппроксимационные соотношения, из которых они могут быть получены. Во втором параграфе получены выражение для остатка приближения интерполяционными минимальными сплайнами максимального дефекта и оценка погрешности приближения; рассмотрена погрешность приближения на равномерной и равномерно сгущающейся сетке узлов. В третьем параграфе рассмотрены частные случаи непрерывных лагранжевых сплайнов. В четвертом и пятом параграфах приводятся методы построения минимальных сплайнов минимального дефекта на равномерной и неравномерной сетке соответственно. Шестой параграф посвящен построению мультипликативных координатных функций на плоскости, а седьмой — подходу к решению задачи Коши с помощью неполиномиальных минимальных сплайнов.

Глава 2 посвящена интерполяционным минимальным неполиномиальным непрерывно дифференцируемым заданное число раз сплайнам со свойством точности на степенях, возможно отрицательных, заданной достаточно гладкой произвольной функции. В первом параграфе приведены формулы для построения непрерывных интерполяционных минимальных неполиномиальных сплайнов со свойством точности на степенях заданной достаточно гладкой произвольной функции. Во втором параграфе с помощью расширения носителя базисного сплайна на один сеточный интервал построены непрерывно дифференцируемые заданное число раз сплайны со свойством "точности" на степенях заданной достаточно гладкой произвольной функции. В третьем, четвертом и пятом параграфах изучены свойства полученных гладких неполиномиальных базисных сплайнов. Рассматривались левые и правые гладкие минимальные сплайны. В шестом параграфе получены соотношения между неполиномиальными и известными [11] минимальными полиномиальными сплайнами. В седьмом параграфе получены выражение остатка приближения и оценка погрешности. Там же показано, что определитель Вронского построенный по системе функций 1, <р(х), ip2(x),.(рп(х) равен = 1! 2!. n\((f'(x))Js^~L.

Восьмой параграф посвящен интерполяционным минимальным иеполи-номиальным сплайнам со свойством точности на отрицательных степенях заданной достаточно гладкой произвольной функции.

В третьей главе рассматриваются сплайны со свойством "точности" на положительных и отрицательных, возможно дробных, степенях аргумента. В первом и втором параграфе получены непрерывные минимальные сплайны со свойством "точности" на системах функций 1. х, 1/х и 1, 1/х, 1/х2 соответственно. Получены оценки погрешности приближения как на равномерной, так и на неравномерной сетках. В третьем параграфе получены непрерывно дифференцируемые сплайны минимального дефекта со свойством "точности" на функциях 1, х, 1/ха, где а может быть как целым, так и дробным положительным или отрицательным числом, а ф 0,-1. Согласно методу работы [24] поставлены интерполяционные задачи; подсчитаны погрешности приближения. Четвертый параграф посвящен непрерывно дифференцируемым сплайнам со свойством "точности" на функциях 1, 1/ха, 1/х®, где а, (3 могут быть как целыми, так и дробными положительными или отрицательными числами, а ф 0, (3 ф 0, а ф Р; поставлены интерполяционные задачи, подсчитаны погрешности приближения. В пятом параграфе построены мультипликативные базисные функции по предложенным системам функций.

В четвертой главе рассмотрены непрерывные и дважды непрерывно дифференцируемые сплайны третьего порядка, обладающие свойством точности на функциях 1, х, еЛх, е~Лх, А > 0. В первом параграфе получены непрерывные сплайны третьего порядка, обладающие свойством точности на функциях 1, х, еАх, е~Ах, Л > 0, позволяющие решать интерполяционную задачу Лагранжа. Получена оценка погрешности приближения. Второй параграф посвящен дважды непрерывно дифференцируемым базисным сплайнам минимального дефекта, обладающие свойством точности на функциях 1, х, еАх1 е~Ах, А > 0. Поставлены интерполяционные задачи. В третьем параграфе рассматриваются приближения мультипликативными координатными функциями на плоскости, а четвертый параграф посвящен числовым примерам, рассмотренных также в работе [34].

Заключает работу Приложение, которое содержит численные эксперименты, графики некоторых базисных функций и тексты программ. Нумерация формул — своя в каждой главе: ссылка из другой главы сопровождается номером главы, отделяемым точкой от номера формулы. Например, ссылка на формулу (1.3.2) означает ссылку на формулу (3.2) главы 1.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Демина, Анна Федоровна, 2007 год

1. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972.- 316 с.

2. Астраханцев Г.П., Руховец JI.A. Метод релаксации на последовательности сеток для эллиптических уравнений с естественными краевыми условиями // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1981. Т. 21. №4. С. 926 944.

3. Белоусов А.В. Дискретные кубические В-сплайны//Сплайны в вычислительной математике. Сб. трудов иод ред. К).С. Завьялова иB.J1. Мирошниченко. Новосибирск: ИМ СО АН, 1986. С. 72-84.

4. Бурова И.Г. Интерполяция минимальными сплайнами и вариационно-разностные методы: учебное пособие. СПб: Изд-во СПбГУ, 1998. 52 с.

5. Бурова И. Г. Приближения минимальными сплайнами максимального и минимального дефекта // Вестн. С.Петербург, ун-та. Сер. 1. 2005. Вып. 1 С. 9-13.

6. Бурова И.Г. О построении тригонометрических сплайнов // Вестн.C.Петерб. ун-та. Сер. 1. 2004. Вып. 2. С. 9-14.

7. Бурова И.Г. Минимальные вещественные и комплексные сплай-Hbi//International Conference C)FEA'2001 Optimization of Finite element Approximation Splines and Wavelets. June 25-29 2001

8. Бурова И.Г. Optimization of finite element approximations & splines and wavelets // Proc. of the 2-nd Intern, conference OFEA-2001. St.Petersburg (Russia). June 25-29.2001. St.Petersburg, 2002. C.56-64.

9. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К. Граничные минимальные сплайны и их применение: Курс лекций. СПб.: Изд-во Петерб. гос. ун-та путей сообщ., 1996. 88 с.

10. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К. О построении сглаженных сплайнов с минимальным носителем /'/' Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1983. №13. С. 10-15.И. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К. Теория миниимальных сплайнов. СПб. 2000. 316 с.

11. Бурова И. Г., Демьянович Ю.К. О сплайнах максимальной гладкости // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2005. Вып. 2. С. 5-9.

12. Бурова И.Г., Дюбина А.В. Приближения с помощью экспоненциальных сплайнов четвертого порядка и максимальной гладкости // Международный семинар "Супервычисления и математические вычисления". Саров. 5-8 октября 2004 г. С. 19-20

13. Бурова И.Г., Дюбина А.В. Построение приближений экспоненциальными сплайнами. // Деп в ВИНИТИ N 221-В2005 от 15 февраля 2005. 12 с.

14. Бурова И.Г., Дюбина А.В. О построении экспоненциальных сплайнов // Труды XXXV науч конф. "Проблемы управления и устойчивость". СПб. 2004. С. 151-157.

15. Бурова И.Г., Евдокимова Т.О. О гладких тригонометрических сплайнах второго порядка // Вестн. С.Петерб. ун-та. Сер 1. Мат., мех., астр. 2004. Вып. 3. С. 13-19.

16. Бурова И.Г., Евдокимова Т.О. О гладких тригонометрических сплайнах третьего порядка // Вестн. С.Петерб. ун-та. Сер. 1. Мат., мех., астр. 2004. Вып. 4. С. 12-23.

17. Вагер Б.Г., Серков Н.К. Сплайны при решении прикладных задач метеорологии и гидрологии. Л.: Гидрометеоиздат, 1987. 160 с.

18. Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы. Новосибирск, 1983. 215 с.

19. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе.- М.: Мир, 1974.- 126 с.

20. Гребенников А.И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. 208 с.

21. Гончаров В.Л. Теория интерполирования и приближения функций М., 1954. 327 с.

22. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам. М., 1984. 303 с.

23. Демьянович Ю. К. Биортогональная система для минимальных сплайнов и решения задач интерполяции // Докл. РАН 2001. Т. 377, N 6. С. 739-742.

24. Демьянович Ю.К. Локальная аппроксимация на многообразии и минимальные сплайны. СПб., 1994. 356 с.

25. Демьянович Ю.К. Об аппроксимации локальными функциями в пространстве с дробными производными // Диф. уравнения и их применение: Тр. семинара. Вып. 11. Вильнюс, 1975. С. 35-48.

26. Демьянович Ю.К. Об аппроксимации пространствами локальных функций // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1977. №1. С. 35-41.

27. Демьянович Ю.К. О построении пространств локальных функций на неравномерной сетке // Зап. науч. сем. ЛОМИ АН СССР. 1983. Т. 124. С. 140-163.

28. Демьянович Ю.К., Михлин С.Г. О сеточной аппроксимации функций соболевских пространств // Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. 1973. Т. 35. С. 6-11.

29. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ "Регуля-торная и хаотическая динамика", 2001. 464 с.

30. Желудев В.А. О вейвлетах на базе периодических сплайнов // Докл. РАН. 1994. т. С. 9-13.

31. Жук В.В., Натансон Г.И. К теории кубических периодических спланов по равноотстоящим узлам//Вестн. Ленингр.ун-та. 1984.Т1.С.5-11.

32. Завьялов Ю.С., Квасов В.И., Мирошниченко В.К. Методы сплайн-функций. М. 1980. 352 с.

33. Квасов Б.И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2006. 416 с.

34. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближений. М., 1984. 352 с. 416 с.

35. Малоземов В.Н., Сергеев А.Н. Дискретные непериодические сплайны на равномерной сетке//Тр. С.-Петербург, матем. об-ва. 2000. Т. 8. С. 199-213.

36. Малоземов В.Н., Певный А.Б. Полиномиальные сплайны. Л., 1986. 120 с.

37. Малоземов В.Н., Певный А.Б. Дискретные периодические В-сплайны// Вестник СПбГУ. Сер.1. 1997. Вып. 4 (№19). С. 14-19.

38. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. СПб, М.-Краснодар. 2003. 832 с.

39. Михлин С.Г. Вариационно-сеточная аппроксимация // Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. 1974. Т. 48. С. 32-188.

40. Морозов В.А. Теория сплайнов и задача устойчивого вычисления значений неограниченных операторов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1971. Т. 11. №3. С. 545-558.

41. Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. М., 1998. 472 с.

42. Певный А.Б. Дискретные сплайны и вейвлеты: Учебное пособие. Сыктывкар: Изд-во Сыктывкарского университета, 2004, 166 с.

43. Панкратова Т. В. Freehand 9. Учебный курс.С.-Петербург: Изд-во Питер, 2000, 448 с.

44. Роджерс Д., Адаме Дж. Математические основы машинной графики. М.: Мир, 2001.

45. Рябенький B.C. Об устойчивости конечно-разностных уравнений: Дис. канд. физ.-мат. наук. М., 1952.

46. Рябенький B.C. Метод разностных потенциалов для некоторых задач механики сплошных сред. М., 1987. 320 с.

47. Стечкин С.В., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М. 1976. 248 с.

48. Стечкин С.В., Субботин Ю.Н. Добавления к книге Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения.- М.: Мир, 1972.

49. Стрэнг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М., 1977. 349 с.

50. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М., 1980. 512 с.

51. С. de Boor, К. Hollig, S. Riemenschnieder. Box splines. New York: Springer-Verlag, 1994.

52. Dahmen W., Prossdorf S., Schneider R. Wavelet approximation methods for pseudodifferential equations I: stability and convergence. Preprint W 7. Berlin, 1992.

53. Daubechies I. Ten Lectures on Wavelets. CBMS-NSF Lecture Notes nr. 61, SI AM, 1992. 351 p.

54. David F. Rogers and J. Alan Adams. Mathematical Elements for Computer Graphics 2nd Ed., McGraw Hill 1990, ISBN 0-07-053530-2

55. Demjanovich Yu.K. New properties of minimal splines // Proceedings of St.-Petersburg Jyvaskyla Seminars of Applied Mathematics and Numerical Analysis. 1992. P. 27-44.

56. Gerald E. Farin. Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design: A Practical Guide, 3rd Edition,Academic Press 1993. ISBN 012-249052-5

57. Hackbusch W. Multi-grid convergence theory // Multi-grid methods. Proc. of the Conf. Held at Koln-Porz. Lecture Notes in Math. 1982. Vol. 960. 170-219 p.

58. Koch P.E., Lyche T. Interpolation with exponential B-splines in tension//Geometric Modeling, Computing Supplementum 8.G. Faring ed al.(eds.) — Wien: Springer-Verlag, 1993.-P.173-190.

59. Mallat S. Multiresolution approximation and wavelet orthonormal bases of L2 // Trans. Amer. Soc. 1989. Vol. 315. P. 69-68.

60. Renka R.J. Interpolation tension splines with automatic selection of tension splines factors//CIAM J. SCI. St. Сотр.- 1987.-Vol.8-P.393-415.

61. Rentrop P. An algorithm for the computation of exponential splines//Numer.Math.— 1980.-Vol.35.-P.81-93.

62. Richard H. Bartels, John C. Beatty, Brian A. Barsky. An1.troduction to Splines for Use in Computer Graphics and Geometric Modeling. Morgan Kaufman Publishers, 1987, ISBN 0-934613-27-3.

63. Sapdis N.S., Kiklis P.D. An algorithm for the constructing convesity and monotonicity preserving splines in tension//Computer Aided Geometric Design.- 1988.-Vol.5.-P.127-137.

64. Strang G., Fix G. Fourier analysis of the finite element method in Ritz-Galerkin theory // Stud. Appl. Math. 1969. Vol. 48. N 3. P. 265273.

65. Schoenberg I.J. Contributions to the problem of approximation of equidistant date by analytic function // Qaurt. Appl. Math. 1946. Vol. 4. Pt A. P. 45-99; Pt B. P. 112-141.

66. Schumacker L.L. Constructive aspects of discrete polinomial spline functions. Approximation Theory (G.G. Lorentz ed.), 1973. P. 469-476.

67. Schweikert D.G. An interpolating curve using a spline tension//G. Math. Phys.—1966.—Vol.45.—P.312-317.

68. Zheludev V.A. Integral representation of slowly growing equidistant splines and spline wavelets. Technical Report 5-96. Tel Aviv University, School of Math. Sciences, Tel Aviv, 1996.Работы автора по теме диссертации:

69. Демина А.Ф. О длительности вычисления приближений функций с особенностью гладкими сплайнами. Proceedings International conference in memory of V.I.Zubov. "Stability and Control Processes". 29.06-1.07.2005. SPb. V.2. p 808-815.

70. Бурова И.Г., Демина А.Ф. О гладких сплайнах с заданным свойством точности//Материалы XXXVII международной научной конференции аспирантов и студентов "Процессы управления и устойчивость", 11-13 апреля 2006 г., СПб., с.113-115.

71. Бурова И.Г., Демина А.Ф. О построении гладких интерполяционных сплайнов //Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. 2007. Вып. 1. С. 88-95.