Моделирование минимальных сплайнов в задачах Эрмита-Биркгофа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Тимофеев, Василий Алексеевич

• Тимофеев, Василий Алексеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тимофеев, Василий Алексеевич

ВВЕДЕНИЕ

1 Минимальные лагранжевы сплайны

1.1 Полиномиальные минимальные лагранжевы сплайны

1.1.1 Элементарные минимальные сплайны.

1.1.2 О лагранжевых гранично минимальных полиномиальных сплайновых аппроксимациях

1.1.3 Оценки погрешности приближения кубическими сплайнами.

1.1.4 О построении мультипликативных координатных функций на плоскости.

1.2 Неполиномиальные минимальные сплайны.

1.2.1 Построение непрерывных базисных функций.

1.2.2 Построение решения ассоциированного уравнений

1.2.3 Оценка погрешности.

2 Минимальные эрмитовы сплайны

2.1 Полиномиальные эрмитовы сплайны.

2.1.1 Общие сведения

2.1.2 О существовании минимальных эрмитовых сплайнов.

2.1.3 Частные случаи минимальных эрмитовых сплайнов.

2.1.4 Примеры

2 2 Неполиномиальные эрмитовы сплайны

2.3 Аппроксимации первой и второй высоты

32.3.1 Построение приближений третьего порядка

2.3.2 Построение приближений четвертого порядка

2.3.3 Приближение сплайнами шестого порядка

2.3.4 Результаты численных экспериментов.

3 Аппроксимации Эрмита-Биркгофа

3.1 Решение задачи Эрмита-Биркгофа при применении неполиномиальных сплайнов.

3.2 Решение задачи Эрмита-Биркгофа при применении полиномиальных сплайнов.

3.3 Квадратурные формулы, согласованные с построенными аппроксимациями.

4 Описание программного комплекса

4.1 Первая версия программы.

4.2 Система "SPTools".

4.2.1 Основные принципы.

4.2.2 Реализация "SPTools"

4.2.3 Организация интерфейса "SPTools"

4.2.4 Основные возможности.

4.2.5 Модификация информационной части.

4.2.6 Экранные формы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование минимальных сплайнов в задачах Эрмита-Биркгофа»

В настоящее время остается актуальной задача совершенствования методов решения извесгных интерполяционных задач Лагранжа, Эрмита и Эрмита-Биркгофа. Всем хорошо известно классическое решение этих задач с помощью интерполяционных полиномов. В ряде случаев применение интерполяционных полиномов не дает желаемого эффекта. Так, например, решение задачи Эрмита-Биркгофа с помощью интерполяционных полиномов в ряде случаев не существует.

При решении разнообразных задач хорошо зарекомендовало себя применение различных видов сплайновых приближений [27], [16], [24], [21], [15]. Применение минимальных полиномиальных сплайнов позволяет проводить последовательную интерполяцию в реальном масштабе времени. Стимулом к изучению этого направления приближения функций послужили работы В.С.Рябенького [26], С.Г. Михлина [23] и Ю.К. Демьяновича [18].

Решение задач Лагранжа и Эрмита с помощью полиномиальных минимальных сплайнов подробно рассмотрено в [18], [6], [8] и [1]. В монографиях [18], [6], в частности, показано преимущество данного подхода при решении ряда задач математической физики, приближение строится на отдельном сеточном интервале в виде линейной комбинации нескольких соседних значений приближаемой функции в узлах сетки и некоторых функций, называемых базисными сплайнами. Набор базисных сплайнов вычисляется в аналитическом виде один раз для решения данной задачи интерполяции и далее при построении приближения никаких дополнительных систем решать не требуется. Полиномиальные минимальные сплайны обладают свойством точности на степенях аргумента.

Ввиду бурного развития информационных технологий вычислений, актуальной является задача построения приближений, обладающих свойством точности на произвольном множестве функций, что во многих случаях способствует уменьшению вычислительных ресурсов ввиду достижения более высокой точности результата с меньшими затратами памяти ЭВМ и меньшим количеством операций. Некоторый подход к построению таких приближений в классе сплайнов дан в [6].

Для удобства пользователя должен быть создан набор соотвег-ствующих программных средств с удобным интерфейсом, способствующим быстрому знакомству со свойствами различных видов возможных аппроксимаций и выбору наиболее подходящей для эффективного решения конкретной задачи.

В диссертации рассматриваются построение и свойства минимальных лагранжевых, эрмитовых неполиномиальных сплайнов, изучаются решение задачи Эрмита-Биркгофа минимальными полиномиальными и неполиномиальными сплайнами. Предлагаемые виды приближений были реализованы в виде модулей для пакета аналитических вычислений Maple, позволяющих получать соответствующие базисные функции в аналитическом виде.

Для удобства пользователя создана оболочка в среде разработки Borland С f-t- Builder.

При построении минимальных сплайнов, так же как в работах [18], [6], [8], [1], используется идея аппроксимационных соотношений, благодаря чему удается построить приближения с заданным порядком аппроксимации и обладающие точностью на заданном множестве функций как на конечной, так и на бесконечной сетке. При этом рассмотрены несколько типов аппроксимационных соотношений, порождающих различные типы минимальных сплайнов (Лагранжа, Эрмита). Для сохранения свойств приближения на конечной сетке

-6в структуру минимальных сплайнов вблизи концевых точек вводится некоторая неоднородность. Полученные таким образом сплайны называются гранично-минимальными.

Для приближения функций одной переменной предлагается использовать базисы полиномиальных и неполиномиальных минимальных сплайнов, позволяющие строить приближения, точные на соохветствующих полиномах.

Для аппроксимации функций многих переменных вводятся мультипликативные базисные функции, причем здесь возможна аппроксимация разного типа по разным координатным направлениям (смешанная аппроксимация).

Существенную роль играет введение класса локально неравномерных сеток; благодаря этому удается получать аппроксимацию функций с особенностью у самой функции или у ее производных. В этой ситуации достаточно, чтобы производные аппроксимируемой функции лежали в некоюром весовом соболевском классе (с вырождающимся весом). На основе полученных результатов строятся новые квадратурные формулы, точные на соответствующих пространствах минимальных сплайнов.

В первой главе диссертации рассматривав гея аппроксимация функций одной и многих переменных вещественными полиномиальными и неполиномиальными минимальными сплайнами. Построенные сплайны мы называем минимальными ввиду того, что при заданном порядке аппроксимации они имеют минимально возможный носитель и задаются полиномами минимально возможной степени.

В дальнейшем рассматривается сетка X одного из двух видов: бесконечная сетка

X = {^j} : . < x-i <xq<X\< . < rcjv-i < ., (1) где а = lim X,, b= lim xu

J->-00 J->00 или — конечная сетка

X = {xj} : a = xq < X\ < . < x^-i < = b. (1;)

С сеткой X свяжем упорядоченное множество индексов J = J{X), состоящее из всех целых чисел в случае бесконечной сетки X и из чисел {0,1,., N} — в случае конечной сетки X вида

П.

Пусть К0 — вещесгвенное число, Kq > 1. Будем говорить, что сетка X = {х3} лежит в классе Xi(Kq) локально квазиравномерных сеток, если для любого j со свойсгвом j — 1, j,j + 1 € J выполнено условие

KiГ1 < bilZlL < К0. (2)

Xj Xj-l

Пусть m,l,s — натуральные числа, такие что I + s = т + 1.

В случае бесконечной сетки вида (1) определим базисные минимальные сплайны uij с носителями suppa^ = [xj-s,x3+i\ из соотношений (если <р{х) строго монотонная достаточно гладкая) а = 0,1,., т. (5) jeJ

Соотношения (5) называются апироксимационными соотношениями. Получающиеся в результате функции ш3(х) непрерывны и обладают интерполяционным свойством ш3(хг) = 5hJ, где 51}J — символ Кронекера. Они имеют вид ф)-фу) г ч

Д Ф,)~Ф,'У XblXbxk+1),

-l+\<j'-k<s k = j-s,.J + l- 1; W и)j(x) =

0, X £ [Xj-g,Xj+l]', и называются элементарными базисными (неполиномиальными) минимальными сплайнами. Таким образом, в этом случае пространство минимальных сплайнов состоит из функций й(х), определяемых при х (Е [xk,xk+1) равенством k+s й(х) = Е (7) j=k-l+l где Vj = v(xj) - значения сеточной функции, заданной на сетке X = vj е R1.

В случае конечной сетки (1') рассмотрения аналогичны, но при этом оказывается, что формула (7) сохраняется лишь для интервалов [xki Хк+i), & = / — 1,., iV — s, а для интервалов вблизи левого и правого концов отрезка [а, Ь] получаю гея следующие формулы: при к = 0,.,/ — 2, х G [xk, Xk+i), полагаем I й(ж) = (8) з=о где П У "У *e[*o,*i-i]. (9) з'Фз фз) - <РЫ

О <з'<т а при к = N — s + l,.,N — 1, х £ [х^ берем й(х) в виде N и(х) = UjLOJ(X), (10)

3=N-s где и,{х) = П Г^Г^/v (11) з'Фз 4>\хз) ~ N-m<3'<N

Базисные сплайны, определяемые формулами (6), (9), (11) будем называть гранично-минимальными базисными сплайнами.

Завершает главу приближение функций многих переменных. С помощью рассмо!ренных одномерных минимальных сплайнов строим многомерные мультипликативные базисные сплайны

3U32, АХЬХ2, ' • -Хк) = ^(xi)lVJ2(x2) . . .Шл(хк), линейные комбинации коюрых позволяют строить приближения функций многих переменных на локально квазиравномерных ( вдоль каждой из осей ) сетках. Здесь ujJk — полиномиальные или неполиномиальные минимальные сплайны.

Предлагаются мультипликативные приближения смешанными типами одномерных сплайнов, где, например, по одной переменной используются непрерывные полиномиальные или экспоненциальные базисные сплайны, а по другой непрерывные тригонометрические базисные сплайны.

Основные результаты первой главы можно сформулировать следующим образом.

Предложены решения задачи Лагранжа в виде неполиномиальных сплайновых аппроксимаций. Используемые полиномиальные и неполиномиальные минимальные сплайны являются непрерывными функциями, но их первая производная имеет разрывы первого рода в узлах сетки. Предлагаемые сплайновые аппроксимации обладают свойством точносги на заданном множестве функций.

Перечислим свойства минимальных неполиномиальных сплайнов.

1) Точность аппроксимации равна т, т. е. и(х) — й(х) = 0, если и(х) = (рг(х), г = 0,1 ,.т, где ipt(x) достаточно произвольные, гладкие и линейно независимый функции.

2) Базисный сплайн представляет собой обобщенный полином порядка т: Ег=о

3) При I > 1, s > 1 функция, задающая базисный сплайн, непрерывна.

4) Носитель базисного сплайна содержит т + 1 сеточных интервалов, а кратность накрытия точки t £ [a, b] носит елями базисных сплайнов равна ш + 1 (за исключением узлов сетки

Приведены различные частные случаи эрмитовых минимальных сплайнов.

Во второй главе рассматривается построение сплайнов (а < s, s — целое число), удобных для решения итерполяционной задачи Эрмита (по этой причине эти сплайны называем эрмитовыми гранично-минимальными сплайнами).

Функцию и 6 Ст+1(а, Ь) будем приближать функциями u(t) вида й(*) = ЕЕи(а)(ъ KaW, (1) j а=0 где s — неотрицательное число, а | j £ Z, а. = 0,1,., s} семейство функций с компактным носителем на (а, Ь). Предполагаем, что кратность семейства о/ конечна: аэ|„^(w) < +оо.

Аппроксимация (1) точна на функциях = ipa(t), а = 0,1,., m югда и только тогда, когда = 0,1.rn;

J а'=0 (а-а')! а! здесь счиааем, что д1 = 0 при 7 < 0 и х1 /7! = 1 при 7 = 0.

Предполагаем, что вронскиан системы функций tpa{t) = 4>a{t), а = 0,1,., m огличен от нуля на промежутке [а, 6].

Предположим, что неотрицательные числа г и г\ таковы, что г + r\ = М, (s + 1 )М = m + 1, suppи)ЗА = [xj-r.xj+rJ, a = 0,1,., s. Тогда, при t G (Xk,Xk+i) получаем: k^rV J £ ЙЛМ = о < P < щ (3)

J=k-r\+1 Q=0 здесь {(рР{х3)Уа^ означает производную порядка a or функции (p@(t) в точке Xj.

Матрица системы уравнений (3) состоит из прямоугольных блоков j = 1 ,.,М, здесь и далее через X будем обозначать вектор-столбец (1 ,(p(t),. .,<pm(t)), а xf — вектор-сголбец, составленный из г-х производных компонент вектора X, причем символ j означает, что вектор-функции от t вычислены в точке t = х*.

Таким образом, махрица системы (3) может быть записана в виде суммы

Е( У У^Л k-ri+l<j<k+r

H'jcmt = П,= 4 f rjs-Zf\x-i - П»-г +1 гг>ог$ск Xi . Хм, Хм ,., Хм ) — м \ Rs (l!2!.s!) П (Ф.) ~ П <рЩ

1 <J<1<M \=1

Доказательство проводится дифференцированием определителя Вандермонда det(Ai, Х2,., Xs+\. Xm(s+i)) по входящим в него переменным Xj,j = 1,2,., М следующим образом: один раз по Х2, два раза по х^, ., s раз по xs+i и полагая

XI = Х2 = • • • = Xs+1 И Т.Д.

Итак, базисные функции wJ)Q находим, решая систему линейных алгебраических уравнений

У у№ У yW v(s)\T/ V л1 ,. . , Л1 , . . ., Лм, Ам , . . . , лм ) V — Л , где вектор-функция V имеег вид:

У — (wl,0> • • ■ » )S, • • • , WM,0i • • • ? Wjif,e). По теореме Крамера имеем: det(— + (Xj, A'i \ . •., xj \ X, X\ + \ . •, xj + —) шзЛч =-—7---\—-' det E

1<7'<Л/ ^ J J J j = 1,2,., M; i = 1,2,., s. Здесь определитель в числителе получается из определителя в знаменателе заменой столбца Xна столбец X, в первом из определителей выписана j-я группа столбцов, а остальные группы обозначены многоточием.

Оиределитель, стоящий в знаменателе находится с помощью теоремы, а определитель, стоящий в числителе, вычисляем аналогично.

Третья глава посвящена решению задач Эрмита-Биркгофа. Остановимся кратко на содержании.

Пусть в узлах сетки {я?}, . < х3-\ < х3 < xJ+\ < . заданы поочередно значения то функции и(х), то ее производной

• • •, uji uj+\i

Считаем, что и £ Cl{Rl).

На промежутке [х}, х]+\) функцию и(х) приближаем выражением й(х) = u'(xj-i + u(xj)ujfl(x) + u'(xJ+i)u)J+hi(x).

Из условий й(х) = и(х) при и = l,</?i(х),(р2(х) получаем систему аипроксимационных соотношений

Vj,o(x) = p[(xj-.i)u;j-iii{x) + ipi(xj)cjh о(®) + 4>'i{xj+i)uj+iti(x) = <fii(x), (р'2(х3-.1)и;3-1Л(х) + <P2(xj)u>jfl(x) + <^2(^+1)^+1,1 (ж) = (p2(x). Пусть (f2(x) = tpj(x), тогда определитель системы равен

При Aj ф О формулы базисных сплайнов имеют вид: ujfl{x) = 1, ч Vj+i&j ~ ФЖ2<Рз+ 1 -4>з~ Ф)) —-д-, ч Pj-iMx) - Ч>з)(1ч>з-\ - Ф) - Ч>3) шз+мМ =-д-•

Эти же формулы применяем на промежутке [xj-i,xj].

Пусть в узлах сетки {х3} заданы поочередно значения то функции иj, то второй производной: ., и"ь и"+1,.

Функцию и{х) будем приближать на [х3,хх+\) выражением й(х) = и"хи)^(х) + UjUJjfi(x) + u"+1Wj+ifi(x). Базисные функции u3il(x) определяемые из условий и(х) = й(х), и(х) = 1, <pi(х), ip2{x), при 83 ф 0 имеют вид: и3-it2(x) = iVj ~ ФЖЩ+1)2 + ~ vff+i^j ~ tf+M*))

Sj lt2(x) = (Ф) - <Р3)(Щ-1)2 + tyj-itf-i - tf-гФ) - M*))

S,

Аналогичные формулы применяем на [х3-\,х3].

Пусть опять заданы в узлах сетки поочередно значения то функции, то вюрой производной: ., и3, .

Функцию и(х) приближаем на [х3,х3+\) соотношением й(х) = и3ш3$(х) + и"+1ш3+1)2(ж), где

WJ+1>2(®) = —J,-.

Более подробно рассмотрены решения полиномиальными сплайнами, получены оценки погрешностей аппроксимаций.

В четвертой главе описан программный комплекс для решения задач Лагранжа, Эрмита и Эрмита-Биркгофа.

К настоящему времени разработана версия программного комплекса, предназначенная для работы в операционной системе Windows 9х/2000/ХР. Отдельные модули, входящие в состав программного комплекса, снабжены подробными инструкциями по применению и могут использоваться как самостоятельные библиотечные процедуры. Основным языком интерфейса является русский.

Основными входными данными являются: промежуток интерполяции, шаг сетки или набор упорядоченных по возрастанию узлов сетки; параметры сплайна: аналитические выражения для функций, задающих базисный сплайн (в случае неполиномиального базисного сплайна), целые числа, задающие расположение носителя базисного сплайна относительно вершины, целое число, определяющее количество используемых производных при построении приближения (высоту аппроксимации), аналитическое выражение приближаемой функции или ее значения в узлах сетки.

В результате работы программного комплекса аналитически генерируются формулы базисных сплайнов нулевой и ненулевой высоты, рассчитывается приближение, строятся графики базисных функций, приближений и погрешностей для аппроксимаций Лагранжа и Эрмита.

Программная система для вычисления приближений, решающих задачу Эрмита Биркгофа, и приближенного интегрирования с помощью полученных сплайнов, состоит из двух подсистем — для проведения численных экспериментов с помощью полученных сплайнов и для проведения численных экспериментов по приближенному вычислению интегралов с помощью построенных квадратурных формул.

Первая программная система обладает следующими возможностями:

1) вывод графиков функций и аппроксимаций, в том числе практически неограниченного количества графиков на одном чертеже;

2) реализация четырех методов аппроксимации как по заранее встроенным в программу тестовым функциям, так и по вводимым пользователем функциям, при эгом программный комплекс вычисляет необходимые производные;

3) реализация экспорта полученных иллюстраций в графические файлы, сохранение таблицы значений функций и аппроксимаций в текстовый файл.

Программный комплекс включает в себя встроенные тестовые примеры и предусматривает возможность пользователю проводить собственные вычисления (используя соответствующие рекомендации) приближений и построению изображений функций и поверхностей.

Для удобства пользователя разрабогана оболочка в С+ f Builder, вычислительным ядром для аналитических вычислений которой является среда Maple.

Объем представленной реализации составляет приблизительно 14000 строк. Объем обьектного кода примерного 220 КВ. Минимальный объем необходимой для исполнения оперативной памяти составляет 8 MB.

В приложении к диссертационной работе даны аексты программ.

Перечислим основные результаты работы

Построены минимальные сплайны, удобные для решения интерполяционных задач Лагранжа и Эрмша, обладающие локальным интерполяционным базисом и свойством точности на обобщенных полиномах заданного порядка, исследованы их свойства, составлены оптимальные алгоритмы и отлажены соответствующие программные модули. Создана оболочка, позволяющая быстро проводить сравнение различных видов приближений. Построены семейства неполиномиальных элементарных непрерывных гранично минимальных сплайнов, мультипликативных неполиномиальных сплайнов.

Построены решения некоторых задач Эрмита-Биркгофа с помощью семейства полиномиальных и неполиномиальных минимальных сплайнов. Составлены программные модули и разработана удобная оболочка для изучения тонкостей применения разных видов аппроксимаций, что позволяет эффективно исследовать поведение различных сплайновых приближения на конечной и бесконечной сетках.

Автор приносит глубокую благодарность своему научному руководителю профессору И.Г. Буровой за помощь в постановке задач и анализе результатов, а также за постоянное внимание в течение всего времени работы над диссертацией. Автор также выражает признательность профессору Ю.К. Демьяновичу за конструктивные замечания и обсуждение материалов диссертации.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Тимофеев, Василий Алексеевич

Основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту

1. Построены минимальные сплайны, удобные для решения интерполяционных задач Лагранжа и Эрмита, обладающие локальным интерполяционным базисом и свойством точности на обобщенных полиномах заданного порядка, исследованы их свойства, составлены оптимальные алгоритмы и оглажены соответствующие программные модули.

2. Создана оболочка, позволяющая быстро проводить сравнение различных видов приближений. Составлены программные модули и разработана удобная оболочка для изучения тонкостей применения разных видов аппроксимаций, что позволяет эффективно исследовать поведение различных сплайновых приближения на конечной и бесконечной сетках.

3. Построены семейства неполиномиальных элементарных непрерывных гранично минимальных сплайнов, мультипликативных неполиномиальных сплайнов.

4. Построены решения некоторых задач Эрмита-Биркгофа с помощью семейства полиномиальных и неполиномиальных минимальных сплайнов.

Апробация работы

Полученные результаты обсуждались на семинарах кафедры параллельных алгоритмов (2005, 2006 гг.) и докладывались на конференциях:

2. XXXVII Международная научная конференция аспирантов и студентов "Процессы управления и устойчивость", 11-13 апреля 2006 г. СПб.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тимофеев, Василий Алексеевич, 2006 год

1. Бурова И. Г. Интерполяция минимальными сплайнами и вариационно-разностные методы: учебное пособие. СПб: Изд-во СПбГУ, 1998. 52 с.2j Бурова И. Г. О построении тригонометрических сплайнов // Вестн. С.Петерб. ун-та. Сер. 1. 2004. Вып. 2. С. 9-14.

2. Бурова И.Г. Приближение минимальными сплайнами максимального и минимального дефекта. // Вестн. С.Петерб. ун-та. Сер. 1. 2006. Вып. 1. С. 11-16

3. Бурова И. Г. Optimization of finite element approximations к splines and wavelets // Proc. of the 2-nd Intern, conference OFEA-2001. St.Petersburg (Russia). June 25-29.2001. St.Petersburg, 2002. C.56-64.

4. Бурова И.Г., Демина А. Ф. Построение приближений с особенноегью в нуле на неравномерной сетке // Деп в ВИНИТИ N 220-В2005 от 15 февраля 2005 г. И с.

5. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К. Граничные минимальныесплайны и их применение: Курс лекций. СПб.: Изд-во Петерб. гос. ун-та путей сообщ., 1996. 88 с.

6. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К. О сплайнах максимальной гладкости // Вестн. С.Петерб. ун-та. Сер 1. 2004. Вып 4. С. 3-11.

7. Бурова И.Г., Дюбина А.В. О построении экспоненциальных сплайнов // Труды XXXV науч конф. "Проблемы управления и устойчивость". СПб. 2004. С. 151— 157.

8. Бурова И.Г., Дюбина А.В. Построение приближений экспоненциальными сплайнами. // Деп в ВИНИТИ N 221-В2005 or 15 февраля 2005. 12 с.

9. Бурова И.Г., Дюбина А.В. Приближения с помощью экспоненциальных сплайнов четвертого порядка и максимальной гладкости // Международный семинар "Суиервычисления и математические вычисления". Саров. 5-8 октября 2004 г. С. 19 20

10. Бурова И.Г., Евдокимова Т.О. О гладких тригонометрических сплайнах второго порядка // Вестн. С.Петерб. ун-та. Сер 1. Мат., мех., астр. 2004. Вып.3. С. 13-19.

11. Бурова И.Г., Евдокимова Т.О. О гладких тригонометрических сплайнах третьего порядка // Вестн. С.Петерб. ун-та. Сер. 1. Мат., мех., астр. 2004. Вып.4. С. 12-23.

12. Бурова И.Г., Евдокимова Т.О. Об оценках аппроксимации тригонометрическими и полиномиальными сплайнами // Деп в ВИНИТИ N 955-В2004 от 4.06. 2004. 12 с.

13. Гребенников А.И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. 208 с.

14. Демьянович К).К. Биортогональная система для минимальных сплайнов и решения задач интерполяции // Докл. РАН 2001. Т. 377, N 6. С. 739-742.

15. Демьянович Ю.К. Локальная аппроксимация на многообразии и минимальные сплайны. СПб., 1994. 356 с.

16. Завьялов Ю.С., Квасов В.И., Мирошниченко В.К. Методы сплайн-функций. М. 1980. 352 с.

17. Б.И. Квасов Методы изогеомегрической аппроксимации сплайнами. М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2006. 416 с.

18. Малоземов В.Н., Певный А.Б. Полиномиальные сплайны. Л., 1986. 120 с.

19. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. СПб, М.Краснодар. 2003. 832 с.

20. Михлин С. Г. Вариационно-се точная аппроксимация // Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. 1974. Т. 48. С. 32-188.

21. Морозов В.А. Теория сплайнов и задача устойчивого вычисления значений неограниченных операторов //

22. Мысовских И.П. Лекции по мегодам вычислений. М., 1998. 472 с.

23. Рябенький B.C. Об устойчивости конечно-разностных уравнений: Дис. канд. физ.-мат. наук. М., 1952.

24. Стечкин С.В., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М. 1976. 248 с.