Минимальные вещественные и комплексные сплайны тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, доктор физико-математических наук Бурова, Ирина Герасимовна

• Бурова, Ирина Герасимовна
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Бурова, Ирина Герасимовна

Введение

Глава I. Минимальные полиномиальные интерполяционные сплайны

§1. Минимальные лагранжевы сплайны.

1.1. Аппроксимационные соотношения

1.2. Элементарные минимальные сплайны.

1.3. О понятии однородности сплайнов.

1.4. Последовательная интерполяция минимальными сплайнами

§2. Минимальные эрмитовы сплайны

2.1. Аппроксимационные соотношения

2.2. О существовании минимальных эрмитовых сплайнов

2.3. Частные случаи минимальных эрмитовых сплайнов

2.4. Еще о свойствах минимальных эрмитовых сплайнов

§3. О построении гладких минимальных сплайнов

3.1. Первый вариант расположения носителя.

3.2. Второй вариант расположения носителя

3.3. Свойства гладких минимаьных сплайнов

3.4. О сплайновых аппроксимациях без свойства точности на многочленах класса 7гт

3.5. О совпадении базисных сплайнов

3.6. Левые и правые гладкие минимальные сплайны

§4. О модификации эрмитовых и лагранжевых сплайновых аппроксимаций

4.1. Применение разностных отношений при построении минимальных сплайнов

4.2. Другой вариант применения разностных отношений

4.3. Еще об использовании разностей

4.4. Аппроксимация четвертого порядка.

4.5. Аппроксимация более высокого порядка.

4.6. Некоторые частные случаи

4.7. О длине носителя и степени сплайна.

§5. Граничные минимальные сплайны

5.1. Постановка задачи

5.2. Описание основных результатов.

5.3. Об экстремальных значениях многочлена.

§6. Оценка базисных функций на приведенной сетке

§7. Некоторые вспомогательные утверждения

§8. Оценка аппроксимации на общей локально квазиравномерной сетке

§9. Оценка констант эквивалентности

9.1. О связи констант эквивалентности и аппроксимации

9.2. Один вариант оценки константы аппроксимации

§10. Оценка погрешности некоторых квадратурных формул

§11. О вычислении коэффициентов квадратурных формул

§12. Согласованная квадратурная формула на равномерной сетке

§13. О построении локально квазиравномерных сеток

13.1. Степенные сетки.

13.2. Экспоненциальные сетки

§14. Усредняющие и сглаживающие сплайны

14.1 Усредняющие сплайны.

14.1.1. Кусочно-линейные усредняющие сплайны

14.1.2. Квадратичные усредняющие сплайны.

14.2. Сглаживающие сплайны

14.2.1. Построение сглаживащих сплайнов

14.2.2. Примеры сглаживащих сплайнов.

14.2.3. Оценки погрешности аппроксимации

14.2.4. Некоторые замечания

§15. О построении мультипликативных координатных функций

Глава II. Тригонометрические минимальные сплайны.

§1. О построении минимальных тригонометрических сплайнов нулевой высоты

§2. Четные тригонометрические сплайны

§3. Нечетные тригонометрические сплайны

§4. Построение квадратурных формул

§5. Некоторые частные случаи -гранично-минимальных тригонометрических базисных сплайнов

§6. Построение базиса тригонометрических сплайнов ненулевой высоты

6.1. Оценка погрешности аппроксимации.

6.2. Частные случаи тригонометрических сплайнов ненулевой высоты

6.3. О построении четных тригонометрических сплайнов ненулевой высоты.

6.4. Частный случай

§7. О построении гладких минимальных тригонометрических сплайнов

7.1. Вводные замечания

7.2. Вычисление полиномов Pkif)

7.3. О точности аппроксимации.

7.4. Условия гладкости

§8. Об использовании сплайнов при решении краевых задач

§9. Аппроксимация комплексными сплайнами на окружности

9.1. Вывод достаточных условий аппроксимации

9.2. Построение интерполяционных сплайнов

9.3. Оценка погрешности аппроксимации

9.4. Построение системы гладких интерполяционных сплайнов

9.5. Базисные функции на прямой как предельный случай базисных функций на окружности.

9.6. Аппроксимация периодических'функций

Глава III. Аппроксимация комплексными сплайнами.

§1. О построении комплексных сплайнов ненулевой высоты на окружности

§2. Аналитические сплайны.

§3. Аппроксимация гармоническими сплайнами

§4. Аппроксимация на радиально-кольцевой сетке

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Минимальные вещественные и комплексные сплайны»

Сплайны в математике имеют достаточно давнюю историю. Так, ломаную Эйлера можно считать простейшей онлайновой аппроксимацией. Дженкинс (W.A.Jenkins) фактически рассматривал сплайны, когда исследовал оскуляторную интерполяцию в 1926 г.; изучал ее также и Гревилль (Th. N. Е. Grevill) в 1944 г. Слово "сплайн" английского происхождения: так называлась гибкая линейка, применявшаяся английскими инженерами в конце XIX века для проектирования закруглений железных дорог. Математика получила этот термин благодаря работам Шонберга в 1946 г. (см. [75]), который назвал так рассмотренные им функции с "кусочными" свойствами. К настоящему времени имеется большая серия статей и ряд монографий, освещающих многие стороны теоретических исследований и практического применения сплайнов (см. [1, 27, 29,42, 48, 50, 51, 57] и библиографию в них). Отметим в связи с этим глубокие связи сплайнов с конечно-элементной аппроксимацией [2, 50, 56, 58, 59, 70, 71, 77] и их фундаментальную роль в бурном развитии теории вейвлетов [68, 69, 72, 77].

Аппроксимация и интерполяция широко используются при построении конечно-элементного и сеточного методов приближен- ^ ыого решения задач математической физики, при сжатии и последующем восстановлении с заданным порядком потоков числовой информации, при их фильтрации и статистической обработке. Значительное место среди средств приближения и интерполяции занимают пространства сплайнов. Стремление к разработке экономичных методов приводит к использованию функций с малым носителем (локальных функций — см. [32]) с теми или иными минимальными свойствами. Наиболее часто применяются пространства с базисом из функций, носители которых имеют минимальную кратность перекрытия (обычно именуемую кратностью накрытия). К ним относятся В-сплайны [1, 43, 44, 57], сравнительно недавно разработанные интерполяционные минимальные сплайны [39, 50, 55], а также ряд конечно-элементных аппроксимаций (см., например, [59]). Подобные аппроксимации называются минимальными [33, 37]. Они позволяют значительно снизить трудоемкость вычислений [34].

В монографиях [29, 43, 49] отмечено, что в ряде-случаев предпочтение отдается сплайнам с локальным интерполяционным базисом. Отличительная особенность таких сплайнов заключается в том, что решение интерполяционной задачи|в точке не зависит от информации о поведении функции в достаточно удаленных узлах сетки и, таким образом, интерполирующая функция строится достаточно просто.

Свойство минимальности рассматриваемых аппроксимаций позволяет экономить ресурсы вычислительного устройства. Например, при решении краевых задач упомянутое свойство приводит к минимизации ширины ленты у матрицы соответствующей конечномерной задачи, а в итоге уменьшается число арифметических операций при отыскании решения.

Свойство минимальности особенно важно при аппроксимации функций с быстро растущими производными, где приходится использовать сильно неравномерную сетку. Характер неравномерности сетки можно определить в соответствии с классом приближаемых функций [36], при этом сохраняются свойства оптимальности приближения (по порядку) и оценка числа арифметических действий. К рассматриваемому семейству сеток относятся конечные сетки, а также определенные бесконечные сетки с конечными или бесконечными точками сгущения.

Сплайн В. С. Рябенького [55] был, по-видимому, первым интерполяционным минимальным сплайном. С помощью сплайнов с локальным интерполяционным базисом, как было отмечено выше, удобно решеть краевые задачи вариационно-разностным методом, так как в этом случае в результате решения системы линейных алгебраических уравнений с матрицей ленточного типа мы сразу получим приближенное решение исходной задачи. Преимущества применения базисных фунций с конечным малым носителем при решении задач вариационно-разностным и проекционным методом отмечались в монографиях [49, 50].

Иногда в узлах сетки известна информация не только о значениях аппроксимируемой функции, но и о ее производных. В этом случае для получения приближенного значения функции и ее производных целесообразно использовать сплайновую аппроксимацию ненулевой высоты (под высотой понимается число производных приближаемой функции, используемых при построении аппроксимирующего сплайна). Сплайны с локальным интерполяционным базисом первой высоты на равномерной сетке в одномерном и двумерном случае предложены Дж. Гоэлом [70]. С.Г.Михлин в работе

50] исследовал аппроксимацию сплайнами с локальным интерполяционным базисом произвольной высоты в соболевских пространствах на равномерной сетке. В одномерном случае носитель этих сплайнов занимает два сеточных интервала. Построение сплайнов с локальным интерполяцонным базисом произвольной высоты с заданным порядком аппроксимации на неравномерных сетках рассмотрено в работе [35]. В статье [37] изучен вопрос об аппроксимации такими сплайнами функций с особой точкой, вблизи которой наблюдается быстрый рост производных, на юхассе существенно неравномерных сеток и получены оценки погрешности аппроксимации в соболевских пространствах.

Аппроксимация на единичной окружности с равноотстоящими узлами предложена Шонбергом [75]. Как известно, тригонометрические сплайны Шонберга [76] не обладают локальным интерполяционным базисом, для их построения необходимо решение системы линейных алгебраических уравнений, порядок которой совпадает с числом узлов интерполирования.

Комплексные полиномиальные сплайны на замкнутой жорда-новой кривой Г, лежащей в комплексной плоскости и ассоциированные с ними аналитические сплайны введены в работах Алберга, Нилсона, Уолша [60, 61]. Авторами предложены аналитические сплайны в круге, следы на окружности которых не являются локальными функциями. В случае равномерной сетки на единичной окружности Албергом, Нилсоном, Уолшем даны оценки погрешности аппроксимации аналитическими сплайнами внутри этой окружности. При приближении к границе области эти оценки уточнены в работах Вронича [79, 80].

В работах [64], [78] рассматривались аналоги В-сплайнов и ¿-сплайнов на жордановых кривых в комплексной плоскости, их интерполяционные свойства на регулярной сетке. В статье [74] предложена интерполяция неаналитическими комплекснозначными сплайнами на треугольной и четырехугольной сетке на плоскости.

В книге Т. Громадка II, Ч. Лей [31] рассмотрен комплексный вариант метода граничных элементов. Привлекательность этого метода обусловлена прежде всего тем, что в нем размерность задачи снижается на единицу, в частности, плоские задачи, о которых идет речь в книге, редуцируются к одномерным. Авторы использовали интегральную формулу Коши, связывающую значение функции в некоторой внутренней точке области на комплексной плоскости с интегралом от функции на границе. При приближении функции на границе области использовались линейные функции. Авторы отметили следующие наиболее важные и полезные свойства полученных аппроксимаций: 1) Аппроксимирующие функции являются аналитическими и точно удовлетворяют двумерному уравнению Лапласа в области, содержащейся внути кривой, на которой решается задача, при этом погрешность допускается только на границе. 2) Вычисление граничных интегралов осуществляется точно, без привлечения процедур численного интегрирования.

В диссертации предлагаются приближения заданного порядка аппроксимациии с помощью разнообразного множества типов минимальных сплайнов с локальным интерполяционным базисом, как нулевой высоты, так и не нулевой высоты, как полиномиальные, так и тригонометрические, непрерывные и непрерывно-дифференцируемые требуемое число раз, вещественные и комплексные. Рассмотрены вопросы устойчивости алгоритмов построения прибли- г женного решения. Получены оценки погрешности аппроксимации на классе локально квазиравномерных сеток. Исследована аппроксимация с помощью вещественных и комплексных мультипликативных функций на кубической и радиально-кольцевой сетке с возможным сгущением в каком-либо из направлений. Предложены новые квадратурные формулы.

В диссертации построены тригонометрические сплайны с локальным интерполяционным базисом, как нулевой, так и не нулевой высоты, как общего вида, так четные и нечетные. Предлагаются также сглаженные тригонометрические базисные функции.

Диссертация содержит три главы и Приложение.

Первая глава посвящена полиномиальным минимальным ин- . терполяционным сплайнам. Вводятся основные понятия: аппрок-симационные соотношения, элементарные и простейшие минимальные сплайны, понятия однородности сплайнов, сплайнов нулевой и ненулевой высоты. Все предлагаемые типы сплайнов рассматриваются как на бесконечной, так и на конечной сетке узлов. Следует заметить, что для сохранения порядка погрешности аппроксимации на всем промежутке интерполирования приходится вводить некоторую неоднородность. Получаемые при этом базисные функции называем гранично-минимальными. Здесь также рассматривается построение гладких минимальных сплайнов и связь между аппроксимациями гладкими минимальными сплаинами и сплайнами ненулевой высоты. Рассматриваются оценки погрешности аппроксимации в соболевских пространствах на локально квазиравномерной сетке. Многие оценки содержат вычислимые константы; в некоторых случаях эти константы не могут быть улучшены.

Рассматривается построение квадратурных формул, согласованных с минимальными сплайнами. Коэффициенты этих квадратурных формул положительны, а на равномерной сетке интересны тем, что равны единице всюду, за исключением нескольких узлов около концов промежутка интегрирования. При построения квадратурных формул с помощью сплайнов ненулевой высоты получаются формулы, аналогичные формуле Эйлера-Маклорена. В этой же главе предлагаются усредняющие сплайны с локальным интерполяционным базисом, удобные для усреднения данных. В конце главы рассматриваются приближения мультипликативными минимальными интерполяционными сплайнами. Отметим, что в случае применения базисных функций разного типа вдоль разных направлений, например, полиномиальных — вдоль одного и тригонометрических — вдоль другого, получаем приближения, точные для алгебраических и тригонометрических полиномов заданного порядка по соответствующей переменной.

Во второй главе изучаются тригонометрические минимальные сплайны. Они обладают теми же преимуществами перед полиномиальными сплайнами, какие имеют тригонометрические полиномы перед алгебраическими: большая устойчивость при счете.

Здесь предлагаются вещественные непрерывные и непрерывно-дифференцируемые тригонометрические сплайны, сплайны нулевой и ненулевой высоты, четные и нечетные. Получены новые квадратурные формулы. Показана связь между базисными сплайнами на окружности и прямой. Изучается неравенство эквивалентности норм, играющее существенную роль при изучении вопросов построения устойчивого приближенного решения краевых задач вариационно-разностными и проекционными методами. В случае раномерной сетки узлов приближенное решение оказывается устойчивым. Для устойчивости вычислений на сгущающейся сетке узлов целесообразно выбирать "левые" или "правые" базисные функции в зависимости от характера сгущения сетки (например, вправо или влево в одномерном случае). В заключении главы рассматривается комплексная форма записи тригонометрических сплайнов сплайны на окружности.

В третьей главе рассмотривается аппроксимация комплексных функций. Строятся комплексные базисные сплайны ненулевой высоты на окружности. Как следствие, в вещественном случае, пред— 7) ТП ложены аппроксимации, точные для х , га, п — целые положительные числа. Предлагаются комплексные аналитические сплайны, построенные с помощью интеграла Коши и различых типов сплайнов на окружности. Получены оценки погрешности ап-проксимции.

Рассматривается приближение гармонических функций гармоническими сплайнами, в частности решение уравнения Пуассона в круге. Заметим, что применение тригонометрических сплайнов на границе и такой системы аналитических вычислений, как МАРЬЕ 7 позволяет приближать гармонические функции, с точностью, которая была допущена при задании значений функции на границе. Здесь также рассматривается приближение вещественной и мнимой части комплексной функции на радиально-кольцевой сетке.

Изложение материала сопровождается большим количеством графиков, иллюстрирующих базисные функции и результаты численных аппроксимаций, полученных с помощью предлагаемых базисных функций. Некоторое количество графиков приведено в Приложении.

Основные результаты диссертации опубликованы в [3] - [17]. Теоретические исследоввания использовались при разработке пакетов прикладных программ [18] - [26]. N

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Бурова, Ирина Герасимовна, 2000 год

1. Альберг Дж., Нильсен Э., Уолт Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М., 1972. 316 с.

2. Астраханцев Г.П., Руховец Л.А. Метод релаксации на последовательности сеток для эллиптических уравнений с естественными краевыми условиями // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1981. Т. 21. №4. С. 926-944.

3. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К. Теория минимальных сплайнов. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2000. 311 с

4. Бурова И.Г. Интерполяция минимальными сплайнами и вариационно-разностные методы: учебное пособие. СПб: Изд-во СПбГУ, 1998. 52 с

5. Бурова И.Г. Об аппроксимации комплексными сплайнами // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1986. № 2. С. 3-9.

6. Бурова И.Г. О тригонометрических сплайнах на конечной сетке. Л., 1996. 30 с. Деп. в ВИНИТИ 22.11.96. №3392.

7. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К. О построении сглаженных сплайнов с минимальным носителем // Вести. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1983. №13. С. 10-15.

8. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К. О локальной аппроксимации переменной высоты // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1986. №13. С. 38-43.

9. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К. Об устойчивости минимальных сплайнов ненулевой высоты на локально квазиравномерной сетке // Тез. докл. Всесоюз. сем. Вопросы оптимизации вычислений: Киев, 1987. С.39.

10. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К. Точные константы в оценках аппроксимации минимальными сплайнами //Вестн.С.тПетерб. ун-та. Сер. 1. 1994. Вып. 4. С. 27-30.

11. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К. Граничные минимальные сплайны и их применение: Курс лекций. СПб.: Изд-во Петерб. гос. ун-та путей сообщ., 1996. 88 с.

12. Бурова И.Г., Дюкина A.M. О сглаживающих аппроксимациях // Методы вычислений. Вып. 17. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1995. С. 15-27.

13. Бурова И.Г., Патрушева Е.В, Чермных Т.В. О построении аппроксимаций на конечной сетке // Там же. С. 28-42.

14. Бурова И.Г. Об аппроксимации локальными тригонометрическими и гармоническими сплайнами Деп. в ВИНИТИ 6.01.87. № 132-В87 . 49 с.

15. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К. О квадратурных формулах, согласованных с минимальными интерполяционными сплайнами Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1997. Вып. 2. С. 3-10.

16. Бурова И.Г. Одномерные и многомерные интерполяционные минимальные сплайны Деп. в ВИНИТИ 22.06.98. № 1891-В98. 41 с.

17. Бурова И.Г. Интерполяционные тригонометрические сплайны и квадратурные формулы // Методы вычислений. Вып. 18. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1999. С. 3-29.

18. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К. Вычисление минимальных сплайнов (программный комплекс). ГФАП СССР, 1987 N 50870000994 от 14.10.87

19. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К., Пакулина А.Н. Библиотека минимальных сплайнов на Фортране (программный комплекс) ГФАП СССР, 1987 N 50870001540 от 22.12.87

20. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К., Царицына И.В. Программная система сжатия и восстановления информации (программный комплекс) ОФАП МИНВУЗа СССР, 1990, инв. М90073

21. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К., Малинина Н.Ю. Сжатие и восстановление графической информации на персональном компьютере (программный комплекс). ОФАП МИНВУЗа СССР, 1990 инв. М90072

22. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К., Царицына Й.В. Программная система сжатия и восстановления информации ЛЕНЦ-НТИ, 1991, инф.листок N 447-91

23. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К., Дюкина А.М. Сглаживание графической информации минимальными сплайнами (программный комплекс) ОФАП МГУ М92010 13.04.92

24. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К., Чермных Т.В.Аппроксимация сплайнами нулевой высоты (программный комплекс) ОФАП МГУ М92011 13.04.92

25. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К., Пакулина А.Н. Библиотека минимальных сплайнов для БЭСМ-6, С ЭВМ и IBM PC AT) ЛЕНЦНТИД992, инф.листок N68-92

26. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К., Гурьев A.B. Вычисление интеграла от функции, заданной аналитическим выражением наравномерной сетке узлов. ГФАП инв N 50960000045

27. Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы. Новосибирск, 1983. 215 с.

28. Воеводин В.В. Математические модели и методы в параллельных процессах. М., 1986. 296 с.

29. Гребенников А.И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. 208 с.

30. Гончаров В.Л. Теория интерполирования и приближения функций М., 1954. 327 с.

31. Т.Громадка II, Ч. Лей. Ч. Комплексный метод граничных элементов в инженерных'задачах. М., Мир. 1990. 303 с.

32. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам. М., 1984. 303 с.

33. Демьянович Ю.К. Об аппроксимации локальными функциями в пространстве с дробными производными // Диф. уравнения и их применение: Тр. семинара. Вып. 11. Вильнюс, 1975. С. 35-48.

34. Демьянович Ю.К. Об устойчивости и длительности вычислений в вариационно-разностном методе // Зап. науч. семмнаров ЛОМИ АН СССР. 1978. Т. 10. С. 5-29.

35. Демьянович Ю.К. О последовательной аппроксимации пространствами локальных функций // Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. 1981. Т. 111. С. 31-51.

36. Демьянович Ю.К. Об аппроксимации и интерполяции локальными функциями на неравномерной сетке // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1982. № 13. С. 15-19.

37. Демьянович Ю.К. О построении пространств локальных функций на неравномерной сетке // Зап. науч. сем. ЛОМИ АН СССР. 1983. Т. 124. С. 140-163.

38. Демьянович Ю.К. Аппроксимация локальными функциями и вариационно-разностные методы. Л., 1987. 85 с.

39. Демьянович Ю.К. Локальная аппроксимация на многообразии и минимальные сплайны. СПб., 1994. 356 с.

40. Демьянович Ю.К., Михлин С.Г. О сеточной аппроксимации функций соболевских пространств // Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. 1973. Т. 35. С. 6-11.

41. Демьянович Ю.К., Ваюми С.Э. Константы в оценках сплайновой аппроксимации на двоичной сетке. Л., 1993. 27 с. Деп. в ВИНИТИ 01.07.93. № 1818-В93.Ж'

42. Жук В.В., Натансон Г.И. К теории кубических периодических сплайнов по равноотстоящим узлам//Вестн.Ленингр .ун-та. 1984.N 1. С.5-11.

43. Завьялов Ю.С., Квасов В.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М., 1980. 352 с.

44. Калиткин H.H., Шляхов Н.М. B-сплайны произвольной степени // Докл. РАН. 1999, 367, N 2, с. 157-160.

45. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Наука, 1959. 684 с.

46. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. Л.-М. 1949. 695 с.

47. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1959. 327 с.

48. Малоземов В.Н., Певный A.B. Полиномиальные сплайны. Л., 1986. 120 с.

49. Марчук Г.И., Агошков В.Н. Введение в проекционно-се-точные методы. М., 1981. 416 с.

50. Михлин С.Г. Вариационно-сеточная аппроксимация // Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. 1974. Т. 48. С. 32-188.

51. Морозов В.А. Теория сплайнов и задача устойчивого вычисления значений неограниченных операторов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1971. Т. 11. №3. С. 545-558.

52. Мысовских И.П. Интерполяционные кубатурные формулы. М.: Наука, 1981. 336 с.

53. Новиков И.Л., Стечкин С.Б. Основы теории вейвлетов // Успехи мат.наук. 1998. т.53. вып.6 (324). с. 54-128.

54. Петухов Л.В., Троицкий В.А. Оптимизация формы упругих тел. М.: Наука, 1982. 432с.

55. Рябенький B.C. Об устойчивости конечно-разностных уравнений: Дис. канд. физ.-мат. наук. М., 1952.

56. Рукавишников В.А.Рукавишникова Е.И. Метод конечных элементов для первой краевой задачи с согласованным вырождением исходных данных//Доклады РАН.-1994.-Т.338, N6.-C.731-733.

57. Стечкин С.В., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М., 1976. 248 с.

58. Стрэнг ГФикс Дж. Теория метода конечных элементов. М., 1977. 349 с.

59. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М., 1980. 512 с.

60. Ahlberg J.H., Niison E.N., Walsh. Complex polynomial splines on the unit circle // J.Math. Mech.6 13, 1964, 795-896.

61. Ahlberg J.H., Niison E.N., Walsh. Properties of Anlitic Splines and Complex Polinomial Splines / / J .Math. Mech. Anal. Appl. v.27. 1963, 262-278.

62. Aubin J.P. Evaluation des erreure de troncature des approximation des espacas de Sobolev //J. of Math. Analysis and Applic., 21, N 2, 1968, 356-368.

63. Burova I.G.JDemjanovich Fti.A~.On constants in minimal spline approximation//Optimization Finite Element Approximations: Intern. Conf.(Abstr.) St.-Petersburg, Russia. June 25-29, 1995.P.45-46.

64. Chen Han Lin Complex spline functions. // Sci.Sinica 24, N 2, 1981. c. 160-169.

65. Chatterjee A., Dikshit H.P. Complex cubic spline interpolation. // Acta. math. Acad. Sci.Hung. 1980, 36, N 3-4, 243-249.

66. Coen A., Daubechies /., Feauveau J.-C. Biortogonal bases of compactly supportet wavelets // Com. Pure Appl. Math. 1992. N 45. P. 485-560.

67. Dahmen W., Prossdorf S.f Schneider R. Wavelet approximation methods for pseudodifFerential equations I: stability and convergence. Preprint № 7. Berlin, 1992.

68. Daubechies I. Orthonormal bases of compactly supported wavelets // Com. Pure and Appl. Math. 1988. Vol. 41. P. 909-996.

69. Daubechies I. Ten Lectures on Wavelets. CBMS-NSF Lecture Notes nr. 61, SIAM, 1992. 351 p.

70. Goel J.J. Construction of basis functions for numerical utilization of Ritz's method // Numer. Math. 1968. Vol. 12. P. 435-447.

71. Hackbusch W. Multi-grid convergence theory // Multi-grid methods. Proc. of the Conf. Held at Koln-Porz. Lecture Notes in Math. 1982. Vol. 960. 170-219 p.

72. Mallat S. Multiresolution approximation and wavelet orthonormal bases of L2 // Trans. Amer. Soc. 1989. Vol. 315. P. 69-68.

73. Mikhlin S.G. Constants in Some Inequalities of Analysis. L., 1986. 108 p.

74. Opfer G. Complex planer splines// J. Approx. Theory, v.31. N 4, 1981, p. 383 -402.

75. Schoenberg I.J. Contributions to the problem of approximation of equidistant date by analytic function // Qaurt. Appl. Math. 1946. Vol. 4. Pt A. P. 45-99; Pt B. P. 112-141.

76. Schoenberg I.J. On trigonometric spline interpolation //J. Math. Mech., 13, 19646 P.795-826.

77. Strang G., Fix G. Fourier analysis of the finite element method in Ritz-Galerkin theory // Stud. Appl. Math. 1969. Vol. 48. N 3. P. 265-273.

78. Tzimbalario J. Interpolation by complex splines // Trans. Amer. Math. Soc., 243, 1978, P. 213-222.

79. Wronicz, Interpolation by complex cubic splines // Constructive function theory' 77. Sofia. 1980. p.549-558.