Вэйвлетные разложения пространств полиномиальных и тригонометрических сплайнов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Мохамед Валид Салх Отман Габр

• Мохамед Валид Салх Отман Габр
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мохамед Валид Салх Отман Габр

Введение

1 Вэйвлетные разложения пространств сплайнов лагранжева типа

1.1 Биортогональные системы со свойством локальности и вэйвлетное разложение лилейных пространств.

1.2 Предварительные обозначения и биортогональная система функционалов для сплайнов первой степени.

1.2.1 Калибровочные соотношения.

1.2.2 Вэйвлетное разложение.

1.2.3 Формулы реконструкции

1.3 Вэйвлетное разложение пространств сплайнов второй степени

1.3.1 Некоторые обозначения.

1.3.2 Оператор проектирования.

1.3.3 Вложенность пространств и вэйвлетное разложение

1.3.4 Матрица декомпозиции.

1.3.5 Формулы декомпозиции и реконструкции.

1.3.6 Оценки аппроксимации.

1.4 Вэйвлетное разложение для кубических сплайнов.

1.4.1 Предварительные сведения.

1.4.2 Биортогональная система функционалов.

1.4.3 Калибровочные соотношения.

1.4.4 Вэйвлетные разложения.

1.4.5 Формулы декомпозиции и реконструкции.

1.4.6 Анализ погрешностей.

2 Вложенные пространства тригонометрических сплайнов и их вэйвлетное разложение

2.1 Сплайн-вэйвлетные разложения для сплайнов второго порядка

2.1.1 Предварительные обозначения и биортогональная система.

2.1.2 Калибровочные соотношения.

2.1.3 Вэйвлетное разложение.

2.2 Сплайн-вэйвлетные разложения для сплайнов третьего порядка

2.2.1 Обозначения и вспомогательные утверждения

2.2.2 Биортогональная система функционалов.

2.2.3 Переход к новой сетке добавлением одного узла

2.2.4 Матрица декомпозиции.

2.2.5 Вэйвлетные разложения.

2.2.6 Оценки устойчивости

3 Один вариант вэйвлетных разложений пространств полиномиальных сплайнов

3.1 Предварительные сведения.

3.2 Калибровочные соотношения.

3.3 О системе функционалов, которая биортогональна, системе фуНКЦИЙ U)j.m (ж)

3.4 Вэйвлетное разложение. Формулы декомпозиции и реконструкции

3.5 Оценки погрешности.

4 Сплайновая модель аппроксимации

4.1 Квадратичное приближение на равномерной сетке.

4.2 Кубическая аппроксимация.

4.3 Тригонометрическая аппроксимация.

4.4 О добавлении произвольного числа узлов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вэйвлетные разложения пространств полиномиальных и тригонометрических сплайнов»

В настоящее время вэйвлет-преобразования и вэйвлетиый анализ используются во многих областях науки и техники для самых различных задач: для распознавания образов, для численного моделирования динамики сложных нелинейных процессов, для анализа аппаратной информации и изображений в медицине, космической технике, астрономии, геофизике, для эффективного сжатия сигналов и передачи информации по каналам с ограниченной пропускной способностью и т.п. Многие исследователи называют вэйвлет-анализ " математическим микроскопом" для точного изучения внутреннего состава и структур неоднородных сигналов и функций.

В то же время не следует рассматривать вэйвлет-методы обработки и анализа сигналов в качестве новой универсальной технологии для решения любых задач. Возможности вэйвлетов, несомненно, еще не раскрыты полностью. Однако это не означает, что их развитие приведет к полной замене традиционных средств обработки и анализа информации, хорошо отработанных и проверенных временем. Но оно может существенно расширить инструментальную базу информационных технологий обработки данных.

Теория вэйвлетов не является фундаментальной физической теорией, но она дает удобный и эффективный инструмент для решения многих практических задач. Основная область применения вэйвлетных преобразований: анализ и обработка сигналов и функций, нестационарных во времени или неоднородных в пространстве, когда результаты анализа должны содержать не только общую частотную характеристику сигна,-ла (распределение энергии сигнала по частотным составляющим), но и сведения об определенных локальных координатах, на которых проявляют себя те или иные группы частотных составляющих, или на которых происходят быстрые изменения частотных составляющих сигнала. По сравнению с разложением сигналов в ряды Фурье вэйвлеты способны с гораздо более высокой точностью представлять локальные особенности сигналов, вплоть до разрывов 1-го рода, (скачков).

Общий принцип построения базиса вэйвлет-преобразования состоит в использовании масштабного преобразования и смещений. Любой из наиболее часто применяемых вэйвлетов порождает полную ортонормирован-ную систему функций с конечным носителем, построенных с использованием масштабного преобразования и сдвигов. Именно за счет изменения масштабов вэйвлеты способны выявить различие характеристик в разных шкалах, а путем сдвига проанализировать свойства сигнала в разных точках на всем изучаемом интервале. В силу свойства полноты этой системы возможно сделать обратное преобразование. При анализе нестационарных сигналов за счет свойства локальности вэйвлеты получают существенное преимущество перед преобразованием Фурье, которое дает нам только глобальные сведения о частотах (масштабах) исследуемого сигнала, поскольку используемая при этом система функций (синусы, косинусы или комплексные экспоненты) определена на бесконечном интервале. Однако, используются и более общие определения вэйвлетов и их разные модификации, допускающие применение довольно широкого класса функций.

Литература, посвященная вэйвлетам, весьма обширна, и нетрудно получить огромное количество ссылок на нее. Математические проблемы подробно рассмотрены во многих книгах, статьях, монографиях (см., например, [18], [25], [26], [29], [31], [34], [22], [43]).

Интерес к области всплесковых (вэйвлетных) разложений связан с широким применением этих разложений в теории информации и в задачах обработки больших массивов чисел; основными методами исследования являются методы гармонического анализа. Информационные числовые массивы (называемые также цифровыми сигналами или информационными потоками) столь велики, что в первую очередь создаются средства их экономного компьютерного представления, обработки, хранения и передачи по каналам связи. Для достижения этих целей из информационного потока выделяют основной поток (несущий основную информацию) , уточняющий информационный поток (его иногда называют вэйвлетным потоком) и поток с несущественной информацией (который обычно отбрасывают); иногда, последний поток вообще не рассматривается: в этом случае исходный поток должен однозначно восстанавливаться по основному и вэйвлетному потокам.

Вопрос о том, какая информация является основной, какая уточняющей, а какая несущественной, выходит за рамки математических исследований и решается в каждом отдельном случае специалистом предметной области. Задача математических исследований состоит в том, чтобы предоставить предметному специалисту достаточно широкий набор средств для выделения необходимых информационных потоков.

В простейшем случае исходный сигнал отождествляется с функцией, которая задана на интервале (а, /3) вещественной оси; дальше эту функцию называем первоначальной. Для компьютерной обработки строится дискретный сигнал, представляющий собой сеточную функцию, определяемую как значения первоначальной функции (или результатов ее сглаживания) в узлах некоторой сетки (эту сеточную функцию и сетку назовем исходными). Использование исходной сеточной функции позволяет построить приближение к первоначальной функции с помощью того или иного аппарата аппроксимации или интерполяции. Линейное пространство таких приближений (будем называть его аналогично предыдущему — исходным пространством) затем представляют в виде прямой суммы пространств, одно из которых называют основным, а второе — вэйвлетным. Часто основное пространство связывают с сеткой, получающейся выбрасыванием узлов из исходной сетки, а подпространство вэйвлетов определяют операцией проектирования исходного пространства на основное. Таким образом, порождается разложение упомянутого приближения на основную и вэйвлетную составляющие. Центральными здесь оказываются два момента: вложенность основного пространства в исходное и задание операции проектирования исходного пространства на основное. Представления элементов этого разложения в базисах рассматриваемых пространств порождают соответствующие соотношения между коэффициентами этих представлений. Соотношения, позволяющие перейти от коэффициентов базиса исходного пространства к коэффициентам базисов основного и вэйвлетного пространств, называются формулами декомпозиции, а соотношения, дающие обратный переход — формулами реконструкции.

Каждое из упомянутых выше подпространств иногда также разлагают в прямую сумму некоторых подпространств и, возможно, продолжают этот процесс дальше; разложения подобного рода называются вэйвлет-пакетами.

Исследования в области обработки больших числовых массивов информации восходят к трем источникам, возникшим независимо друг от друга: к классической теории сплайнов, к методу конечных элементов и к теории вэйвлетов. В соответствии с этим можно выделить по крайней мере три направления развития теории обработки упомянутых массивов. Первое направление берет свое начало от работ Шоиберга (и. БсЬоепЬещ, 1946); здесь исходным моментом является решение какой-либо задачи интерполяции (задачи Эрмита, Эрмита-Биркгофа или Лагран-жа) в классе функций с " кусочными" свойствами и с определенной гладкостью в узлах рассматриваемой сетки (см. [17], [19], [30], [32], [40], [42]). Заметим, что если исходный массив числовой информации задан как сеточная функция на мелкой сетке, то замена этой сеточной функции на результат решения интерполяционной задачи для крупной сетки (являющейся подмножеством мелкой сетки) может рассматриваться как сжатие исходного массива числовой информации. Аппоксимационньте свойства и вычислительная простота получаемых сплайнов всякий раз исследуются дополнительно- Сюда относятся современные исследования по обобщенным сплайнам, так называемым ЕСТ-Б-сплайнам (см., например, [32], [40]); в этих работах для построения сплайнов на сеточных промежутках используются различные ЕСТ-системы, которые при определенных условиях удается гладко "склеить" в узлах.

Второе направление опирается на анпроксимациопные свойства рассматриваемых функций, где определение базисных функций связано с решением аппроксимационных соотношений, рассматриваемых как система уравнений (эти исследования появились в связи с теорией метода конечных элементов, см. [2], [6]-[13], [24], [37], [44]); при таком подходе интерполяционные свойства и алгоритмы минимизации вычислительной сложности (вложенность пространств и вэйвлетное представление цепочки вложенных пространств) приходится устанавливать дополнительно.

Третье направление - теория вэйвлетов - в основу кладет вычислительную простоту, отражением чего является кратно-масштабное уравнение (см. [34], [43], [29], [31], [22]); исследование последнего приводит в первую очередь ко вложенности получаемых пространств и к вэйв летному представлению соответствующей цепочки вложенных пространств (это ведет к минимизации вычислительной сложности); остальные из перечисленных выше свойств с большим или меньшим успехом исследуются дополнительно (см., например,[22]).

В теории сплайнов (см.[2]-[4[, [15], [19]-[23], [28), [30], [42] и библиографию в них) наиболее важными являются интерполяционные и ап-проксимационные свойства, свойства гладкости и устойчивости решения интерполяционных и апироксимационных задач; важно также минимизировать вычислительную сложность (объем используемых ресурсов вычислительной системы: памяти, каналов передачи результатов, времени счета). Если удается установить вложенность пространств сплайнов на последовательности измельчающихся сеток и представить цепочку вложенных пространств в виде прямой суммы вэйвлетных пространств, а также реализовать базисные функции с минимальной длиной носителя, то вычислительная сложность оказывается приемлемой.

Многие типы известных вэйвлетов обеспечивают быстрое, но весьма неточно сжатие. В данной работе используются сплайн-вэйвлетные подходы (см. [5]-[7]) с гарантированно высокой точностью приближения гладких цифровых потоков. Они приводят к эффективному сжатию и к достаточно результату, ибо учитывают "гладкость" обрабатываемого потока информации. Стимулом к разработке этого направления исследований стали работы С.Г. Михлина и Ю.К. Демьяновича, исходными здесь являются аппроксимационные соотношения.

Актуальность темы. Вэйвлеты широко применяются при составлении эффективных алгоритмов обработки больших потоков информации или цифровых сигналов. Роль теории вэйвлетов заключается в предоставлении предметному специалисту достаточно широкого набора средств, из которых он может выбрать именно то средство, которое ему подходит для обработки (для разложения на составляющие) интересующего его потока информации (цифрового сигнала).

В теории вэйвлетов упомянутыми средствами являются наборы вложенных пространств функций и их представлений в виде прямой (а иногда и ортогональной) суммы вэйвлетных пространств. Многие типы известных вэйвлетов обеспечивают быстрое, но весьма неточное сжатие. В данной работе используются сплайн-вэйвлетные системы с гарантированно высокой точностью приближения гладких цифровых потоков. Они приводят к эффективному сжатию и к достаточно точному результату. Стимулом к исследованиям в этом направлении стали работы С. Г. Михлина и Ю. К. Демьяновича.

В случае, когда (а, ¡3) = М1, а сетка - равномерная, удается применить мощный аппарат гармонического анализа (в пространстве функций и в пространстве последовательностей I'2). Этому случаю посвящено большое количество исследований (см. например, [22] и библиографию там). При обработке цифровых потоков с резко меняющимися характеристиками (со сменой плавного поведения на скачкообразное и наоборот) целесообразно использовать неравномерную сетку, приспосабливаемую к обрабатываемому потоку. Применение неравномерной сетки позволяет улучшить приближение функций без усложнения вычислений. Более того, для улучшения приближения могут понадобиться различные степени измельчения сетки в разных частях рассматриваемого промежутка. Особой задачей является получение вэйвлетных разложений в случае неравномерной сетки, поскольку обычно применяемое на равномерной сетке преобразование Фурье в условиях неравномерной сетки выполнить затруднительно. Оказалось, что использование биортого-нальной системы функционалов позволяет построить вэйвлетные разложения и при произвольном измельчении сетки (это ведет к упрощениям и в случае равномерной сетки). Для неравномерной сетки вэйвлеты рассматривались в работах [5]-[10], [27]. Весьма важны случаи, когда исходные данные естественным образом связаны с некоторым многообразием (примерами могут служить цифровые потоки значений мощности излучения от поверхности тел различной формы: сферической, тороидальной и др.)

К вэйвлетным (всплесковым) разложениям пространств полиномиальных и тригонометрических сплайнов имеется естественный интерес: пространства этих сплайнов легко строятся и обладают асимптотически оптимальными (по .А/"-поперечнику) аппроксимационными свойствами. Известно, однако, что построение ортогональных (в Ь2) разложений весьма затруднительно даже на равномерной сетке.

Ранее рассматривались вэйвлетные разложения пространств сплайнов, порождаемые дифференциальным распространением биортогональ-ной (к координатным сплайнам) системы функционалов определяемых с помощью производных генерирующей функции. Однако в тех случаях, когда величины производных генерирующей функции не известны, приходится ограничиваться необходимо лишь значениями самой функции.

В данной работе получен новый вариант вэйвлетного разложения пространства сплайнов; это разложение индуцируется разностным распространением упомянутой выше системы функционалов, построенных с помощью операций проектирования лагранжева типа, что позволяет строить вэйвлетные разложения, используя лишь упомянутую функцию.

Цель диссертационной работы. Целью работы является построения вэйвлетных разложений пространств полиномиальных и тригонометрических сплайнов лагранжева типа на неравномерных сетках.

Методы исследования. В диссертации используются методы линейной алгебры и теории функций вещественного переменного. Для построения биортогональной системы функционалов применены методы функционального анализа.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Разработаны способы продолжения на системы функционалов, биортогональной системы полиномиальных сплайнов; кроме того, найдены продолжения системы функционалов, биортогональной системы тригонометрических сплайнов.

2. Предложены новые простые варианты проектирования объемлющая пространства на пространства полиномиальных и тригономет-ричестах сплайнов.

3. Построены вэйвлетные (всплесковые) разложения полиномиальных и тригонометрических сплайнов пространств лагранжева типа на последовательности неравномерных измельчающихся сеток.

4. Даны формулы декомпозиции и реконструкции числовых потоков генерируемых исходной функцией класс С (а, /3).

5. Исследованы свойства аппроксимации и устойчивости предлагаемых алгоритмов. Проведена их численная апробация на модельных примерах.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая полезность. Данная работа носит теоретический характер, однако полученные результаты могут быть применены для создания эффективных алгоритмов решения многих прикладных задач, связанных с обработкой больших потоков числовой информации, в частности, к обработке изображений, к задачам интерполяции и аппроксимации, к численному решению ряда задач математической физики.

Апробация работы. Полученные результаты обсуждались на докладывались на ХЬ международной научной конференции "Процессы управления и устойчивость С.-Петербург, 6-9 апреля 2009 г., на ХЫ международной научной конференции "Процессы управления устойчивость С.Петербург, 5-8 апреля 2010 г., и на семинаре кафедры параллельных алгоритмов СПбГУ в 2009 году, математико-механического факультета.

Публикации. Основные результаты опубликованы в 6 работах, в том числе 2 статьи в журналах, входящих в список изданий рекомендованных Высшей аттестационной комиссией на момент публикации (см. раздел "Работы автора но теме диссертации" в конце списка литературы.)

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения и списка литературы. Текст диссертации изложен на 170 страницах, содержит 12 рисунков и 3 таблицы. Список литературы содержит 53 названия.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Мохамед Валид Салх Отман Габр

Заключение

Ранее рассматривались вэйвлетные разложения пространств сплайнов, порождаемые дифференциальным распространением биортогональ-ной (к координатным сплайнам) системы функционалов определяемых с помощью производных генерирующей функции. Однако в тех случаях, когда величины производных генерирующей функции не известны, приходится ограничиваться необходимо лишь значениями самой функции.

В данной работе получен новый вариант вэйвлетного разложения пространства сплайнов; это разложение индуцируется разностным распространением упомянутой выше системы функционалов, построенных с помощью операций проектирования лагранжева типа, что позволяет строить вэйвлетные разложения, используя лишь упомянутую функцию.

Разработаны способы продолжения системы функционалов, биорто-гональной системы полиномиальных сплайнов; кроме того, найдены продолжения системы функционалов, биортогональной системы тригонометрических сплайнов.

Предложены новые простые варианты проектирования объемлющего пространства на пространства полиномиальных и тригонометрических сплайнов.

Построены вэйвлетные (всплесковые) разложения полиномиальных и тригонометрических сплайнов пространств лагранжева типа на последовательности неравномерных измельчающихся сеток.

Даны формулы декомпозиции и реконструкции числовых потоков генерируемых исходной функцией класса С (а, ¡в).

Исследованы свойства аппроксимации и устойчивости предлагаемых алгоритмов. Проведена их численная апробация на модельных примерах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мохамед Валид Салх Отман Габр, 2010 год

1. Бахвалов Н. С. О сходимости одного релаксационного метода при естественных ограниче ниях на эллиптический оператор // ЖВМиМФ. 1966. Т. 6. № 5. С. 861-883.

2. Бурова И. Г., Демьянович Ю. К. Теория минимальных сплайнов. СПб, 2000. 316 с.

3. Вагер Б. Г., Серков Н. К. Сплайны при решении прикладных задач метеорологии и гидрологии. Л.: Гидрометеоиздат, 1987. 160 с.

4. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам. М., 1984. 303 с.

5. Демьянович Ю. К. Всплесковые разложения в пространствах сплайнов на неравномерной сетке. // Докл. РАН. 2002. Т. 382. № 3. С. 313-316.

6. Демьянович Ю. К. Всплески и минимальные сплайны, СПб, 2003. 200 с.

7. Демьянович Ю. К. Гладкость пространств сплайнов и всплес-ковые разложения. // Докл. РАН. 2005. Т.401, № 4. С.1-4.

8. Демьянович Ю. К. Локальная аппроксимация на многообразии и минимальные сплайны СПб, 1994. 356 с.

9. Демьянович Ю. К. Калибровочное соотношение для В-сплайнов на неравномерной сетке. // Математическое моделирование. 2001. Т. 13. № 9. С. 98-100.

10. Демьянович Ю. К. Минимальные сплайны и всплески. // Вестн. С.- Петерб. ун-та. Сер. 1. 2008. Вып. 2. С. 8-22

11. Демьянович Ю. К. Локальный базис всплесков на неравномерной сетке. Зап. научн. семин. ПОМП, 2006. Т. 334. С. 84-110.

12. Демьянович Ю. К. Сплайн-вэйвлетные разложения на многообразии. Проблемы математического анализа. 2007. Т. 36. С. 15-22.

13. Демьянович Ю. К., Михлин С. Г. Сеточной аппроксимации функций соболевских пространств. // Зап. науч. семинаров ЛО-МИАН СССР. 1973. Т. 35. С. 6-11

14. Демьянович Ю. К. Вложенные пространства тригонометрических сплайнов и их всплесковое разложение. // Мат. заметки, 2005. Т. 78. Вып. 5 С. 658-675.

15. Жёлудев В. А., Певный А., Б. Биортогональные вейвлетные схемы, основанные на интерполяции дискретными сплайнами // Журн. выч. мат. и матем. физ. 2001. Т. 41. №4. С. 537-548.

16. Жёлудев В. О вэйвлетах на базе периодических сплайнов. // Докл. РАН. 1994. №1. С.9-13.

17. Завьялов Ю. С., Квасов В. И., Мирошниченко В. JI. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980.

18. Малоземов В. Н., Машарский С. М. Основы дискретного гармонического анализа. СПб.: НИИММ, 2003.

19. Малозёмов В. Н., Певный А. Б. Полиномиальные сплайны. Л., 1986. 120 с.

20. Малозёмов В. Н., Селянинова Н. А. Прямая лифтинговая схема. // Семинар «DHA & CAGD». Избранные доклады. 26 апреля 2005 г. http://www.dha.spb.ru/

21. Малозёмов В. Н., Сергеев А. Н. Аналитические основы теории полярных форм // Алгебра и анализ. 1998. Т. 10. Вып. 6. С. 156-185.

22. Маяла С. Вэйвлеты в обработке сигналов. Пер. с англ. Я. М. Жи-лейкина. М.: Мир, 2005. 671 с.

23. Морозов В. А. Теория, сплайнов и задача устойчивого вычисления значений неограниченных операторов. // Ж. выч. матем. и матем. физики. 1971. Т. И № 3. С. 545-558.

24. Михлин С. Г. Вариационно-сеточная аппроксимация// Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. 1974. Т.48. С. 32-188.

25. Новиков И. Я., Стечкин С. Б. Основы теории всплесков. // Успехи математич. наук. 1998. Т. 53, № 6. С. 53-128.

26. Новиков И. Я., Протасов В. Ю., Скопина М. А. Теория всплесков. М.: 2005.

27. Осел еде И. В. Применение разделенных разностей и В-сплайнов для построения быстрых дискретных преобразований вейвлетов-ского типана неравномерных сетках. // Ж. Математические заметки. 2005. Т. 77, вып.5. С.743-752.

28. Певный А. Б. Дискретные сплайны и вейвлеты: Учебное пособие. Сыктывкар: Изд-во Сыктывкарского университета. 2004. 166 с.

29. Петухов А. П. Введение в теорию базисов всплесков. СПб., 1999. 132 с.

30. Стечкин С. В., Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике. М., 1976. 248 с.

31. Чуй Ч. К. Введение в вэйвлеты. Пер. с англ. Я. М. Жилейкина. М.: Мир, 2001. 412 с.

32. Buchwald В., Miihlbach G. Construction of B-splines for generalized spline spaces from local ECT-sysfems // Journal of Computational and Applied Mathematics 159 (2003). P. 249-267.

33. Ford J. M. ,Oseleds I. V., Tyrtyshnikov E. E. Matrix approximations and solvers using tensor products and non-standardwavelet transforms related to irregular grids. Rus. J. Numer. Anal, and Math. Modelling. Vol. 19, No. 2(2004), 185-204.

34. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Пер. с англ. Е. В. Мищен- ко; под ред. А. П. Пегухова. Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 2004. 464 с.

35. Daubechies I., Guskov I., Sweldens W. Commutation for Irregular Subdivision. // Const. Approx., 17(4),(2001). P.479-514

36. Jawerth В., Sweldens W. An overvew of wavelet based resolution analysis // SIAM Rev. 1994. V. 36. R 377-412.

37. Goel J. J. Construction of basis functions for numerical utilization of Ritz's method 11 Numer. Math. 1968. Vol. 12. P. 435-447.

38. Koch P. E. ,Lyche T. , Neamtu M., Schumaker L. L. Control curves and knot insertion for trigonometric splines, Adv. Comput. Math., Vol.3 , P. 405-424. 1995

39. Meyer Y., Roques S. Progress in Wavelet Analysis and Applications Gif-sur-Yvette: Editions Frontiers, 1993.

40. Miihlbach G. ECT-B-splines defined by generalized divided differences // Journal of Computational and Applied Mathematics 187 (2006). P. 96-122.

41. Bohm W. Inserting new knots into b-spline curves // Computer-Aided Design. 1980. Vol. 12, N 4. P. 199-201.

42. Schumaker L. L. Spline Functions. Basic Theory. Waley Interscience, NY. 1981. 548 p.r

43. Skopina M. Multiresolution analysis of periodic functions.// East Journal on Approximations. 1997. Vol. 3, № 2. P. 614-627.

44. Strang G., Fix G. Fourier analysis of the finite element method in Ritz-Galerkin theory // Stud. Appl. Math. 1969. Vol.48, №3. P. 265273.

45. Wim Sweldens The Liftiny Scheme: A new philosophy in, biorthogonal wavelet constructions // Wavelet applications in signal and image processing III. pp. 68-79. Proc. SPIE 2569. 1995.

46. Wim Sweldens, Peter Schroeder Building your own wavelets at home. In "Wavelets in Computer Graphics", ACM SIGGRAPH Course Notes, 1996.

47. Wim Sweldens The lifting scheme: A construction of second generation wavelets. // SIAM J. Math. Anal., 29(2):511546, 1997.

48. Работы автора по теме диссертации:

49. Демьянович Ю. К. , Габр М. B.C. Новый вариант вэйвлетно-го разложения пространств сплайнов // Вести. С.- Петерб. ун-та. Сер. 10. 2009. Вып. 4. С. 58-68.

50. Демьянович Ю. К. , Габр М. В. С. Один вариант вэйвлетных разложений пространств полиномиальных сплайнов// Проблемы математического анализа. Т.45, 2010. С. 53-68.

51. Демьянович Ю. К. , Габр М. В. С. Всплесковое разложение пространств тригонометрических сплайнов // Методы Вычислений выпуск 23, 2009. С. 30-52.

52. Демьянович Ю. К. , Габр М. В. С. О новом варианте вэй-влетного разложения пространств сплайнов третьей степени// Методы Вычислений выпуск 23, 2009. С. 53-70.

53. В совместных работах научному руководителю принадлежит общая постановка задач и указание на идею исследования, детальная реализация идеи и ее использование в криптографии полностью принадлежит диссертанту.