Интерполяционные формулы для функций с погранслойными составляющими и их применение тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат наук Задорин, Никита Александрович

• Задорин, Никита Александрович
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Задорин, Никита Александрович

Оглавление

Введение

Глава 1. Интерполяция функции одной переменной

с погранслойной составляющей

1.1. Необходимость построения

специальных интерполяционных формул

1.2. Погрешность неполииомиальной интерполяции

1.3. Двухточечная специальная интерполяция

1.4. Неполиномиальный аналог

Эрмитовой интерполяции

1.5. Трехточечная специальная интерполяция

1.6. Интерполяционная формула

с произвольным числом узлов интерполяции

1.6.1. Построение и обоснование

интерполяционной формулы

1.6.2. Результаты численных экспериментов

Глава 2. Квадратурные формулы для функций

с погранслойной составляющей

2.1. Квадратурная формула с двумя узлами

2.2. Квадратурная формула с тремя узлами

2.3. Квадратурная формула с четырьмя узлами

2.4. Квадратурная формула с пятью узлами

2.5. Аналог формул Ныотона-Котеса

в общем случае

2.5.1. Построение и обоснование квадратурной формулы

2.5.2. Результаты численных экспериментов

2.6. Формулы Ныотона-Котеса на сетке Шишкина

2.7. Сравнение трехточечной формулы подгонки с формулой Симпсона на сетке Шишкина

2.7.1. Формула, точная на иогранслойной составляющей

2.7.2. Формула Симпсона на ссткс Шишкина

2.7.3. Численные эксперименты

2.8. Квадратурная формула Эйлера на

кусочно-равномерной сетке

2.8.1. Квадратурная формула Эйлера

2.8.2. Квадратурная формула Грегори

2.8.3. Численные эксперименты

Глава 3. Интерполяционные формулы для функции двух переменных с

погранслойными составляющими и их применение

3.1. Построение и анализ интерполяционных

формул для функции двух переменных

3.2. Применение построенной интерполяционной

формулы в двухсеточном алгоритме

3.3. Результаты численных экспериментов

3.4. Аналог кубатурной формулы Симпсона

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интерполяционные формулы для функций с погранслойными составляющими и их применение»

Введение

Актуальность темы исследования. Математическое моделирование конвективно - диффузионных процессов приводит к необходимости численного решения сингулярно-возмущенных краевых задач. Решение сингулярно возмущенной задачи имеет пограничные или внутренние слои, где решение имеет большие градиенты. Как известно, применение классических разностных схем для решения таких задач может привести к погрешностям порядка 0(1). Впервые на это обратили внимание Ильин A.M. [42] и Бахвалов Н.С. [7] в 1969 году. Они предложили два подхода для построения разностных схем, сходящихся равномерно по возмущающему параметру е: построение разностной схемы с учетом того, чтобы она была точной на пограпелойной составляющей [42] и сгущение сетки в пограничном слое [7]. Далее эти подходы развивались в работах многих авторов. Сетка Бахвалова [7] была модифицирована, например, в работах Шишкина Г.И. [63], Ли-сейкина В.Д. и Петренко В.Е. [51], Vulanovic R. [77] и других авторов. Построение схем на основе иподгонки к пограпелойной составляющей решения осуществлялось, например, в работах [42], [19], [20]. Отметим, что вопросы разработки разностных схем для сингулярно возмущенных задач исследовались в [2], [4], [5], [10], [22], [71], [72], [74], [76] и в ряде других работ.

Вопрос построения интерполяционных формул для функций с большими градиентами в пограничном слое намного меньше исследован и актуален. В соответствии с [23] применение интерполяционных многочленов Лаграпжа для интерполяции таких функций приводит к погрешностям порядка 0(1).

Остановимся на анализе неполиномиальных интерполяционных формул. Обобщенный интерполяционный многочлен можно записать в виде:

где система функций Ф^ж) должна быть Чебышевской [9, с. 49]. Тогда, если заданы различные узлы интерполяции {х\, ж2,..., х^}, то система (^(м, хд — и(х{), г = 1, 2,..., к на коэффициенты {а^} однозначно разрешима. При задании Фj{x) = следует мно-

гочлен Лагранжа. Аналогично из обобщенного интерполяционного многочлена можно получить экспоненциальную и тригонометрическую интерполяцию. Как известно [56],

к

тригонометрическая интерполяция эффективна для восстановления достаточно гладких периодических функций.

Для интерполяции функций широко применяются сплайн-интерполяционные методы. Преимущество сплайпового подхода в том, что интерполянт является достаточно гладким, может сохранить такие свойства интерполируемой функции, как монотонность, выпуклость или вогнутость, положительность. Отметим некоторые работы по интерполяции сплайнами [1], [3], [13], [16], [17], [21], [47], [55]. Для построения разностных схем для сингулярно возмущенных задач сплайны использовались, например, в [11], [75]. В [83] разработан аналог гладкого квадратического сплайна, точный на погранслойной составляющей интерполируемой функции.

Остановимся на случае, когда большие градиенты интерполируемой функции обусловлены наличием пограничного слоя. Для того, чтобы погрешность интерполяционной формулы не росла из-за больших градиентов интерполируемой функции, как и при построении разностных схем для сингулярно возмущенных задач, предлагаем исследовать два подхода: сгущение сетки в пограничном слое и подгонку интерполяционной формулы к погранслойной составляющей.

Формула линейной интерполяции на сетках Бахвалова и Шишкина для функций одной переменной, соответствующих решению сингулярно-возмущенной краевой задачи, обосновывалась в [71]. Линейная и квадратичсская интерполяции для таких функций на сетке Шишкина и ее модификации исследовалась в [24].

В [18] исследовались численные методы решения трехмерных диффузиоино-конвектив-ных смешанных краевых задач на основе конечнообъемных абсолютно монотонных аппроксимаций экспоненциального типа.

В [23] исследован вопрос интерполяции функции, соответствующей решению краевой задачи с экспоненциальным пограничным слоем. Построена формула экспоненциальной интерполяции на сеточном интервале [хп-\, хп] длины /г, обладающая погрешностью порядка О {К) равномерно по малому параметру. Интерполяционная формула строилась так, чтобы она была точной па погранслойной составляющей, являющейся главным членом внутреннего асимптотического разложения решения дифференциальной задачи.

В диссертационной работе предлагается развить подход из [23] на случай, когда по-гранслойная составляющая рассматривается как функция общего вида. В таком случае погранслойная составляющая интерполируемой функции может соответствовать экспоненциальному, степенному или другому пограничному слою. Будут разработаны интерполяционные формулы с заданным числом узлов интерполяции к. При построении интерполяционной формулы предлагается использовать обобщенный интерполяционный многочлен, в базис которого включены одночлены х-7, ] = 0,1,..., к — 2 и погранслойная составляющая.

В случае функций с погранслойными составляющими применение интерполяционного

многочлена Лагранжа приводит к существенным погрешностям, поэтому основанные на этом многочлене формулы численного дифференцирования и формулы Ныотона-Котеса так же приводят к существенным погрешностям. Поэтому представляет интерес разработка формул численного дифференцирования и квадратурных формул, учитывающих наличие погранслойной составляющей.

Для численного интегрирования функций с особенностями хорошо известны два подхода: выделение весового множителя и аддитивное выделение особенности, когда численно интегрируется функция уже без особенностей. В данной работе предполагается, что быстро растущая погранслойная составляющая аддитивно выделяется с точностью до множителя. Квадратурные формулы Ныотона-Котеса строятся на основе того, чтобы они были точны на многочленах до некоторой степени. В диссертационной работе предлагается строить квадратурные формулы, точные на погранслойной составляющей и на многочленах степени на единицу меньше, чем в формулах Ньютона-Котсса. Такой подход к построению квадратурных формул представляется новым.

Остановимся на возможности применения разрабатываемых интерполяционных формул в двухсеточных алгоритмах. Как известно, применение двухсеточных [78], [79], [81] и многосеточных алгоритмов [60], [65], [62], [67] приводит к существенной экономии в числе арифметических действий, необходимых для реализации разностной схемы. Двухсеточ-ный алгоритм предполагает, что решение схемы находится на основе итераций. Тогда предварительно дифференциальная задача решается на достаточно грубой сетке, далее найденное сеточное решение интерполируется на исходную сетку с формированием начального приближения для последующих итераций на исходной сетке. Это приводит к существенной экономии вычислительных затрат. Например, если для линеаризации разностной схемы точности О (к) используется метод Ньютона и вспомогательная сетка имеет шаг Н = \/К, то на исходной сетке с шагом к требуется сделать только одну итерацию [81]! В двухсеточном методе иитерполяционная формула играет ключевую роль. Применение полиномиальной интерполяционной формулы при наличии пограничного слоя приводит к существенным погрешностям, что сказывается на эффективности двухсеточного метода. Предлагается исследовать эффективность применения разрабатываемых интерполяционных формул в двухсеточном методе решения сингулярно возмущенной краевой задачи.

Цель работы. Целью работы является разработка интерполяционных формул для функций одной и двух переменных с быстро растущими погранслойными составляющими и их применение для построения формул численного дифференцирования и квадратурных формул, анализ эффективности применения разрабатываемых формул интерполяции в двухсеточном алгоритме решения линейной эллиптической задачи с регулярными пограничными слоями.

Основные задачи работы.

1. Для функции одной переменной с большими градиентами в пограничном слое разра-

ботать интерполяционные формулы, погрешность которых равномерна по погранс-лойным изменениям интерполируемой функции.

2. На основе построенных интерполяционных формул разработать формулы численного дифференцирования функций с погранслойной составляющей.

3. Разработать квадратурные формулы для численного интегрирования функций с быстро растущей погранслойной составляющей.

4. Исследовать возможность применения построенных двумерных интерполяционных формул в двухсеточном алгоритме численного решения линейного эллиптического уравнения с регулярными пограничными слоями.

Научная новизна. Предложен новый подход к построению интерполяционных формул для функций одной и двух переменных с болыцими градиептаими в пограничном слое. Интерполяционные формулы строятся на основе того, чтобы они были точными на составляющих, задающих основной погранслойный рост. На основе построенных интерполяционных формул построены новые формулы численного дифференцирования и квадратурные формулы для функций с аддитивно выделенной, с точностью до множителя, погранслойной составляющей. Для функций, соответствующих решению краевой задачи с экспоненциальным пограничным слоем, получены равномерные по малому параметру оценки погрешности квадратурных формул Ньютона-Котеса и Эйлера на кусочно-равномерных сетках, сгущающихся в пограничном слое. Показана эффективность применения построенной двумерной интерполяционной формулы в двухсеточном алгоритме решения эллиптической задачи с пограничными слоями.

Теоретическая и практическая значимость работы. Разработанные в диссертации интерполяционные и квадратурные формулы, формулы численного дифференцирования вносят вклад в методы интерполяции, численного интегрирования и дифференцирования функций с большими градиентами. Разработанные интерполяционные формулы могут использоваться в двухсеточных и многосеточпых алгоритмах решения сингулярно возмущенных краевых задач, на основе которых моделируются конвективно-диффузионные процессы с преобладающей конвекцией. Полученные в диссертации результаты используются в учебном процессе на кафедре математического моделирования в Омском государственном университете им. Ф.М. Достоевского при подготовке специалистов по математическому моделированию.

Методы исследования. В работе использованы фундаментальные положения вычислительной математики, математического анализа, теории дифференциальных уравнений. Достоверность полученных научных результатов основывается на строгих формулировках и доказательствах, подтверждается результатами проведенных вычислительных экспериментов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на совместном семинаре лаборатории математического моделирования в механике ОФ ИМ СО РАН и кафедры математического моделирования ОмГУ (Омск, 2011-2014), на Международной конференции «Вычислительная математика, дифференциальные уравнения, информационные технологии» (Улан-Удэ, 2009), На Международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент, практика», посвященной 90-летию со дня рождения академика H.H. Яненко (Новосибирск, 2011), на Международной научной конференции с элементами научной школы для молодежи «Молодежь третьего тысячелетия» (Омск, 2012), на Российской молодежной научно-практической конференции с элементами научной школы «Прикладная математика и фундаментальная информатика» (Омск, 2012, 2014), на Девятой Всероссийской конференции «Сеточные методы для краевых задач и приложения» (Казань, 2012), на Региональной конференции магистрантов, аспирантов и молодых ученых по физике и математике (Омск, 2013, 2014), на Международной конференции «Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений», посвященной 105-летию со дня рождения C.JI. Соболева (Новосибирск, 2013), на Международной конференции «Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики-2014» (Новосибирск, 2014), па совместном семинаре ИВМ и МГ СО РАН и кафедры Вычислительной математики НГУ «Численный анализ» (Новосибирск, 2015).

Публикация результатов. Результаты работы опубликованы в 21 печатной работе, из них 9 статей в журналах, рекомендуемых ВАК: [26], [27], [28], [31], [35], [36], [39], [84], [85].

Структура работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников (86 источников), содержит 127 страниц текста, 44 таблицы, 3 рисунка.

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, ставятся задачи исследования, приводится новизна полученных результатов и краткое содержание диссертации по главам.

В первой главе исследуются вопросы интерполяции функций одной переменной с быстро растущей погранслойной составляющей. Предполагаем, что интерполируемая функция является достаточно гладкой и представима в виде:

и{х)=р{х)+ 7Ф(а;), (1)

где функции р(х),Ф(а;) являются достаточно гладкими, функция р(х) является регулярной составляющей, с равномерно ограниченными производными до некоторого порядка, функция Ф(ж) - известная погранслойная составляющая, производные которой не являются равномерно ограниченными, постоянная 7 не задана.

Представление (1), в частности, справедливо для решения сингулярно возмущенной

краевой задачи:

еи"(х) + а(х)и'(х) - Ъ{х)и(х) = Д.х), и(0) = А, и( 1) = В,

где функции а,Ь, / - достаточно гладкие, а(х) > а > 0, Ъ(х) >0, е > 0. В соответствии с [68] для решения краевой задачи справедливо представление (1), если задать Ф(х) = е-а(°)х/£^ -у = —еи'(0)/а(0). Тогда для некоторой постоянной С, не зависящей от параметра е, выполнится неравенство |р'(а:)| < С. Итак, в данном случае функция и(х) при малых значениях е имеет большие градиенты у левого конца интервала, основной рост этой функции задает составляющая 7Ф(ж). Производная Ф'(гг) неограниченно растет, если параметр е приближается к нулю, оставаясь положительным.

В п. 1.1 показано, что интерполяция Лагранжа функций вида (1) с составляющей Ф(х), соответствующей экспоненциальному или степенному пограничному слою, может приводить к погрешностям порядка 0(1). Из этого следует актуальность построения специальных интерполяционных формул.

В п. 1.2 анализируется погрешность неполипомиальных аналогов линейной и квадратичной интерполяции с заданными условиями интерполяции на концах сеточного интервала [хп_1, хп]. Показано, что при заданных условиях интерполяции порядок погрешности полиномиальной и неполиномиальпой интерполяции одинаковый.

В п. 1.3 на сеточном интервале [жга_1,жп] построен аналог многочлена Лагранжа с узлами интерполяции хп-1,хп, точный па составляющей Ф(ж). Доказано, что если функция Ф(х) монотонна, то погрешность построенного интерполянта порядка О (К) равномерно по Ф(ж) и ее производным, к = хп — хп-\.

В п. 1.4 на интервале [хп-1,хп] построен аналог интерполяционной формулы Эрмита, с условиями интерполяции на функцию в узлах жга_1, хп и ее первую производную в узле хп-\. Построенная формула точна на составляющей Ф(х). Доказано, что если Ф"(х) Ф О, то построенная формула - порядка точности 0(к2) равномерно по составляющей Ф(ж) и ее производным.

В п. 1.5 на сеточном интервале [хп-\,хп+1] с условиями интерполяции функции в трех узлах построен аналог квадратической интерполяции, точный на составляющей Ф(х). Для построенного интерполянта обоснован второй порядок точности но шагу сетки, равномерно но функции Ф(х) и ее производным.

В п. 1.6 построена интерполяционная формула с произвольно заданным числом узлов интерполяции к. Эта формула точна иа составляющей Ф(х). Получена оценка погрешности построенной формулы. Доказано, что при определенных ограничениях па Ф(ж) формула обладает погрешностью порядка 0{кк~1) равномерно по составляющей Ф(ж) и ее производным. На основе дифференцирования построенного интерполянта получены новые формулы численного дифференцирования, точные на погранслойной составляющей Ф(х). Проведены численные эксперименты, подтвердившие примущество в точности

построенных формул в сравнении с известными, основанными на дифференцировании многочлена Лагранжа.

Во второй главе строятся и исследуются квадратурные формулы для вычисления интеграла

ь

'<»> = /«<*>«* <2>

а

от функции и(х) с большими градиентами в пограничном слое.

В п. 2.1-2.5 построены квадратурные формулы для численного интегрирования функций вида (1). При построении подынтегральная функция заменяется интерполянтами, разработанными в Главе 1. Построенные квадратурные формулы с к равноотстоящими узлами точны на погранслойной составляющей Ф(:с). Для к = 2,3,4,5 получены оценки погрешности построенных квадратурных формул, равномерные по погранслойной составляющей Ф(х) и ее производным. Доказано, что если на каждом сеточном интервале длины (к — 1)Н применяется построенная квадратурная формула с к узлами, и на этом интервале ф 0, то для составных квадратурных формул Б к (и) справедливы оценки погрешности:

- 1(и)| < Скт^к-1\х)\1гк-\ (3)

X

где Ск ие зависит от погранслойной составляющей Ф(ж) и ее производных. Для случая, когда производная ие является ограниченной, получены оценки погрешности, в

которых эта производная находится под интегралом.

Показано, что точность составной квадратурной формулы повышается на порядок, если вне пограничного слоя применяется формула Ньютона-Котеса с к узлами, а в пограничном слое - построенная формула, точная на погранслойной составляющей.

В п. 2.1 строится и обосновывается аналог квадратурной формулы трапеций, в п. 2.2 - аналог формулы Симпсона, в п. 2.3 - аналог квадратурной формулы с четырьмя узлами и, наконец, в п. 2.4 разрабатывается аналог квадратурной формулы с пятью узлами.

В п. 2.5 разработана квадратурная формула в общем виде, с к равноотстоящими узлами, точная на составляющей Ф(ж). Построение основано на использовании разработанного интерполянта общего вида в п. 1.6. Доказано, что при некоторых ограничениях справедлива оценка погрешности вида (3). Эти ограничения включают требования к Ф(х) в п. 2.1-2.4.

В п. 2.6 рассматривается другой подход к построению квадратурных формул для функций с большими градиентами в пограничном слое. Предполагается, что интегрируемая функция соответствует решению краевой задачи с экспоненциальным пограничным слоем [72]. Обосновывается применение составных формул Ныотона-Котеса на сетке

Шишкина. Доказана оценка погрешности:

\I(u)-Sk(u)\<C—-

где N - число узлов сетки, Sk(u) - составная формула, основанная на формуле Ньютопа-Котеса с к равноотстоящими узлами, постоянная С не зависит от возмущающего параметра £.

В п. 2.7 сравнивается два подхода к модификации формулы Симпсона для интегрирования функций с экспоненциальной погранслойной составляющей: подгонка формулы к погранслойной составляющей и применение формулы Симпсона на сетке Шишкина. Для обоих подходов получены оценки погрешности, из которых следует, что сгущение сетки по точности является более эффективным, что подтверждается экспериментами.

В п. 2.8 исследуется квадратурная формула Эйлера для интегрирования функций с составляющей, соответствующей экспоненциальному пограничному слою. В случае равномерной сетки составная формула Эйлера для таких функций приводит к погрешностям порядка 0(h2/e). Предложено применить формулу Эйлера па кусочно-равномерной сетке с выделением пограничного слоя ширины порядка 0(е11пг|). Тогда производная интегрируемой функции в составной формуле Эйлера используется только в трех узлах. Доказано, что для некоторой постоянной С, не зависящей от е, справедлива оценка погрешности:

где £(и) - составная формула Эйлера, N - число узлов сетки. Эта оценка соответствует оценке в регулярном случае, когда пограничный слой отсутствует. Показано, что переход к формуле Грегори не понижает полученную оценку погрешности.

В третьей главе строятся и исследуются формулы сплайн-интерполяции первого и второго порядка точности по шагу сетки для функции двух переменных с погранслойны-ми составляющими. Эти формулы применяются в двухсеточном методе и при построении кубатурной формулы.

В п. 3.1 разработана интерполяционная формула для функции вида:

где (х,у) £ П, Г2 = [О, I]2. Предполагается, что производные функций являют-

ся ограниченными до второго порядка, производные функций Ф(х),Э(у) не являются равномерно ограниченными. Решение эллиптического уравнения с регулярными пограничными слоями представимо в виде (4), когда функции Ф(ж),0(^) соответствуют экспоненциальному пограничному слою. На основе разработанной в п. 1.5 формулы с тремя узлами интерполяции построена двумерная интерполяционная формула /$,©(«, х, у), точная на погранслойных составляющих Ф(х),0(г/) для произвольной сеточной ячейки

u(x,y)=p(x,y)+dl(y)$(x)+d2(x)Q(y)+d3<!>(x)e(y),

(4)

[£¿-1, ¡Гг+х] х \yj-i, У]+\}- Доказано, что для некоторой постоянной С, не зависящей от производных функций Ф(ж),0(у), справедлива оценка погрешности:

где , /г2 - шаги сетки по х и у.

В п. 3.2 исследовано применение построенной двумерной интерполяционной формулы в двухсеточном методе решения эллиптической задачи с регулярными пограничными слоями. Ключевой момент двухсеточного метода - пролонгация сеточного решения с вспомогательной грубой сетки на исходную. Интерполяционная формула должна учитывать наличие пограничных слоев, поэтому предложено использовать построенную интерполяционную формулу, точную на погранслойных составляющих. Численные эксперименты показали, что тогда применение двухсеточного метода приводит к существенному уменьшению числа итераций на исходной сетке. Отметим, что применение полиномиальной интерполяции не приводит к существенному уменьшению числа итераций.

В п. 3.3 интерполяционная формула 1фго(и,х,у) применена для построения кубатур-ной формулы для вычисления кратного интеграла:

где функция и(х,у), имеет представление (4). Применение кубатурной формулы Симпсо-на приводит к погрешностям порядка 0(Н 1, к2).

Кубатурная формула, точная на погранслойных составляющих, строится для ячеек К^ = х [yj_l,yj+-í\. Доказано, что если функция и(х,у) имеет представление

(4), производные Ф"(х) и 0"(у) не меняют знак на интервалах (х^, х^) и то справедлива оценка погрешности составной кубатурной формулы:

где постоянная С не зависит от производных составляющих Ф(х), <Э(у). Показано, что точность составной кубатурной формулы повышается па порядок, если в ячейках вне пограничных слоев применять кубатурную формулу Симпсона, а в пограничных слоях -построенную кубатурную формулу.

В заключении сформулированы основные результаты.

Обозначения. Под С и С„ г > О будем подразумевать положительные постоянные, не зависящие от шагов сетки и от производных погранслойных составляющих. В случае экспоненциального пограничного слоя эти постоянные не зависят от параметра е. Определим нормы функции непрерывного аргумента

\\У(Х1У)\\= тах \У(Х^У)I) 11^(^)11= тах \г!(х)\ и сеточной функции ||г^||/( = тах Пусть [г>]пл - проекция функции ь(х,у) на сетку ||г>||\/ = тах \у(х,у)\.

\1ф,е(и,х,у) - и(х,у)\ < С + /1з , {х,у)еП,

ь а

а с

\1(и) - 5(гг)| < С + ,

(х,у)еУ

Глава 1

Интерполяция функции одной

переменной с погранслойной составляющей

В данной главе исследуется вопрос интерполяции функции одной переменной с большими градиентами в пограничном слое. Полиномиальные интерполяционные формулы в случае таких функций могут приводить к погрешностям порядка 0{1). Предлагается следующий подход к интерполяции таких функций: аддитивное выделение погранслойной составляющей, задающей основной рост функции в пограничном слое, с точностью до неизвестного множителя, и построение интерполяционной формулы, точной на выделенной составляющей.

1.1. Необходимость построения

специальных интерполяционных формул

Пусть функция и(х) достаточно гладкая и представима в виде:

и(х) = р(х) + уФ(х), (1-1-1)

где функции р(х) и Ф(ж) - достаточно гладкие, функция Ф(ж) известна, но се производные не являются равномерно ограниченными, функция р(х) пе известна и имеет ограниченные производные до некоторого порядка, постоянная 7 пе задана. Составляющую р(х) будем называть регулярной, а составляющую Ф(:г) - погранслойной.

Представление (1.1.1) справедливо для решений задач с пограничным слоем слоем. Задача с экспоненциальным пограничным слоем. Рассмотрим краевую задачу:

еи"{х) + а(х)и'{х) - b(x)u(x) = f(x), u(0) = А, и( 1) = В, (1.1.2)

где

а(х) >а> 0 ,Ь(х) > О, е > О,

функции а(х), Ъ{х), /(х) - достаточно гладкие. Согласно [68], решение задачи (1.1.2) содержит экспоненциальный погранслой вблизи точки х = 0 и в представлении (1.1.1) можно

задать

Ф(.т) = ехр(-а0е_1х), 7 = ~£и'(0)/а0, а0 = а(0). (1.1.3)

Тогда

ра\х) <С0\£14 ехр{-аЕ~1х) + \], Ъ<з <А. (1.1.4)

Заметим, что

Ф\х) < 0, Ф"(х) > 0, х Е [0,1]. (1.1.5)

Согласно (1.1.4) производная р'(х) является ограниченной при любом значении параметра е, а производная Ф'(х) неограниченно растет с убыванием е.

Задача со степенным пограничным слоем. Рассмотрим задачу со степенным по-гранслоем [50], [77]:

-{г + х)2и" + с(х)и = /(ж), 0 < х < 1,

и(0) = А, и{1) = В, (1.1.6)

где

с,/€ С1 [0,1], с(х) > 0, с(0) > 0.

Согласно [77], существует единственное решение задачи (1.1.6), и представление (1.1.1) для и{х) имеет место при задании

ф{х) = {1+х/£)~т, г = {у/1 + 4с(0) - 1)/2, 7 = —еи'(0)/г. (1.1.7)

Тогда выполнены ограничения:

\р{з)(х)\ <С{е + хУ~\ ^ = 1,2,3, же [0,1] (1.1.8)

и производная р'(х) является ограниченной равномерно по е. Согласно (1.1.7)-(1.1.8), решение задачи (1.1.6) содержит степенной пограничный слой вблизи точки х = 0. Условия (1.1.5) выполнены для функции Ф(ж) из (1.1.7).

Пусть функция и(х) задана в узлах равномерной сетки Пн :

Пн = {хп : хп = жп_! + /г, = 0, хи = 1, п =

где ип = п = 0,1,2,..., N.

Покажем необходимость построения специальной интерполяции для функций с по-гранслойной составляющей.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Задорин, Никита Александрович, 2015 год

Список литературы

[1] Альберг Дж. Теория сплайнов и её приложения / Дж. Альберг , Э. Нильсон , Дж. Уолш М.: Мир, 1972 - 318с.

[2] Андреев В.Б. Об исследовании разностных схем с аппроксимацией первой производной центральным разностным отношением / В.Б. Андреев, Н. В. Коптева // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. - 199G. - Т. 36, № 8. - С. 101 - 117.

[3] Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам / К. Де Бор. - М.: Радио и связь, 1985. - 304с.

[4] Багаев Б.М. Сеточные методы решения задач с пограничным слоем / Б. М. Багаев, В. В. Шайдуров.- Новосибирск: Наука, 1998. - Ч. 1. - 198с.

[5] Багаев Б.М. Сеточные методы решения задач с пограничным слоем /Б. М. Багаев , Е. Д. Кареиова , В. В. Шайдуров .- Новосибирск: Наука, 2001. - Ч. 2. - 224с.

[6] Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов , Н.П. Жидков , Г.М. Кобельков . - М.: Наука, 1987. - 598с.

[7] Бахвалов Н.С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя / Н.С. Бахвалов // Журнал вычисл. матем. и мат. физики. - 1969. -Т. 9, Я 4. - С. 841-890.

[8j Бахвалов Н.С. О сходимости одного релаксационного метода при естественных ограничениях на эллиптический оператор / Н.С. Бахвалов // Журнал вычисл. матем. и мат. физики. - 1966. - Т. 6 , № 5. - С. 861-883.

[9] Березин И.С. Методы вычислений. Т. 1 / И.С. Березин, Н.П. Жидков. - М.: Наука, 1966. -632с.

[10] Благов И.А. Условная ^-равномерная сходимость алгоритмов адаптации в методе конечных элементов для сингулярно возмущенных адач /И. А. Блатов , Н. В. Доб-робог // Журнал вычисл. матем. и мат. физики. - 2010. - Т. 50, № 9. - С. 1550 - 1568.

[11] Блатов И.А. Элементы теории сплайнов и метод конечных элементов для задач с пограничным слоем / И.А. Блатов, В.В. Стрыгин. - Воронеж: ВГУ, 1997. - 391 с.

[12] Блатов И.А. Анализ интерполяционной формулы, точной на погранслойной составляющей интерполируемой функции / И.А. Блатов , H.A. Задорин // Наука и мир. - 2015. 2(18), Т. 1. - С. 13-17.

[13] Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы / В.А. Василенко.

- Новосибирск: Наука, 1983.-212с.

[14] Вишик М.И., Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром / М.И. Вишик, J1. А. Люстерник // Успехи математических наук. - 1957. - Т. 12, № 5. - С. 3 - 122.

[15] Воеводин В.В. Матрицы и вычисления / В. В. Воеводин, Ю. А. Кузнецов. - Москва: Наука, 1984. - 320 с.

[16] Волков Ю.С. Формосохраняющая интерполяция кубическими сплайнами / Ю.С. Волков , В.В. Богданов , В.Л. Мирошниченко , В.Т. Шевалдин // Матем. заметки.

- 2010. - Т. 88, № 6. - С. 836-844.

[17] Волков Ю.С. 50 лет задаче Шёнберга о сходимости сплайн-интерполяции / Ю.С. Волков , Ю.Н. Субботин // Труды ИМ УрО РАН. - 2014. - Т. 20, № 1. - С. 52-67.

[18] Гурьева Я.Л. О численном решении трехмерных диффузионно-конвективных краевых задач / Я.Л. Гурьева , В.П. Ильин // Сиб. журн. индустр. матем. - 2003. - Т. 6, Л* 1. - С. 27-34.

[19] Дулан Э. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем / Э. Дулан , Д. Миллер, У. Шилдерс .- М.: Мир, 1983. - 184с.

[20] Емельянов К.В. Разностная схема для трехмерного эллиптического уравнения с малым параметром при старшей производной / К.В. Емельянов // Краевые задачи для уравнений математической физики: Сб. науч. трудов. - Свердловск: Уральское отделение РАН, 1973. - С. 30-42.

[21] Завьялов Ю.С. Методы сплайн-функций / Ю.С. Завьялов , Б.И. Квасов , В.Л. Мирошниченко. - М.: Наука, 1980. - 352с.

[22] Задорин А.И. О численном решении уравнения с малым параметром при старшей производной / А.И. Задорин, В.Н. Игнатьев // Журнал вычислительной матем. и матем. физики. - 1983. - Т.23, № 3. - С. 620 - 628.

[23] Задорин А.И. Метод интерполяции для задачи с пограничным слоем / А.И. Задорин // Сибирский журнал вычислительной математики. - 2007. - Т. 10. Л'9 3. - С. 267 -275.

[24] Задорин А.И. Метод интерполяции на сгущающейся сетке для функции с погранс-лойной составляющей / А.И. Задорин // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2008. - Т. 48, № 9. - С. 1673-684.

[25] Задорин А.И. Метод сплайп-интерполяции для функции с погранслойной составляющей и его применение / А.И. Задорин, H.A. Задорин // Труды Международной конференции "Вычислительная математика, дифференциальные уравнения, информационные технологии".- 2009 - Улан-Удэ, ВСГТУ- С. 42-49.

[26] Задорин А.И. Сплайн-интерполяция на равномерной сетке функции с погранслойной составляющей /А.И. Задорин , H.A. Задорин // Журнал вычисл. матем. и мат. физики. - 2010. - Т. 50, № 2. - С. 221-233.

[27] Задорин А.И. Квадратурные формулы для функций с погранслойной составляющей / А.И. Задорин , H.A. Задорин // Журнал вычисл. матем. и матем. физики,-2011.- Т. 51, Л* И.- С. 1952-1962.

[28] Задорин А.И. Интерполяция функций с погранслойными составляющими и ее применение в двухсеточном методе / А.И. Задорин, H.A. Задорин // Сибирские электронные математические известия.- 2011.- Т. 8.- С. 247-267.

[29] Задорин А.И. Двухсеточпый метод решения линейного эллиптического уравнения с регулярными пограничными слоями / А.И. Задорин, H.A.Задорин // Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика: Труды Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения академика H.H. Яиенко (Новосибирск 30 мая - 4 июня 2011).-№ гос. регистр. 0321101160, ФГУП НТЦ "Информрегистр", Новосибирск, 2011-http: //conf.nsc.ru/files/conferences/niknik-90/fulltext/38172/45731/Zadorin-2011 .pdf

[30] Задорин А.И. Двухсеточный метод решения линейного эллиптического уравнения с регулярными пограничными слоями / А.И. Задорин, H.A. Задорин // Тезисы Международной конференции "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика", посвященной 90-летию со дня рождения академика H.H. Яненко. Новосибирск, ИВТ СО РАН.- 2011.- С. 90.

[31] Задорин H.A. Интерполяционные и квадратурные формулы для функций с погранслойной составляющей на сетке Шишкина / H.A. Задорин // Вестник Омского университета.- 2012.- Д* 4 - С. 17-20.

[32] Задорин А.И. Интерполяция функций с учетом пограничного слоя и ее применения / А.И. Задорин , H.A. Задорин // Сеточные методы для краевых задач и приложения. Материалы Девятой Всероссийской конференции.- 2012. Казань: Отечество.-С. 147-151.

[33] Задорин H.A. Интерполяционная формула для функции с погранслойной составляющей / H.A. Задорин // Молодежь третьего тысячелетия: Международная научная конференция с элементами научной школы для молодежи. Сборник статей секции "Физико-математические науки". - Омск: Изд-во Ом. гос. ун-т.- 2012.- С. 13-16.

[34] Задорин H.A. Квадратурная формула для функций с погранслойной составляющей / H.A. Задорин // Труды Второй Российской молодежной научно-практической конференции с элементами научной школы "Прикладная математика и фундаментальная информатика".- 2012,- Омск: ОмГТУ.- С. 22-25.

[35] Задорин А.И. Аналог формулы Ныотопа-Котеса с четырьмя узлами для функции с погранслойной составляющей / А.И. Задорин, H.A. Задорин // Сиб. журн. вычисл. математики.- 2013.- Т. 16, № 4.- С. 313-323.

[36] Задорин А.И. Квадратурная формула Эйлера для функции с погранслойной составляющей на кусочно-равномерной сетке / А.И. Задорин , H.A. Задорин // Сибирские электронные математические известия.- 2013.- Т. 10.- С. 491-503.

[37] Задории А.И. Квадратурные формулы для функций с погранслойной составляющей / А.И. Задорин, H.A. Задорин // Международная конференция "Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений", посвященная 105-летию C.J1. Соболева. Новосибирск, 18-24 августа 2013г. Тезисы локладов. Новосибирск, 2013, .- С. 385.

[38] Задорин H.A. Аналог кубатурной формулы Симпсона для функции с большими градиентами / Задорин H.A. // ФМ ОмГУ 2013: сборник статей региональной конференции магистрантов, аспирантов и молодых ученых по физике и математике. -Омск: Изд-во Ом. гос. ун-та. - 2013. - С. 7 - 10.

[39] Задорин А.И. Формула Симпсона и ее модификации для функции с погранслойной составляющей / А.И. Задорин , H.A. Задорин // Сибирские электронные математические известия.- 2014.- Т. 11.- С. 258-267.

[40] Задорин H.A. Анализ формулы Симпсона на сетке Шишкина для функций с погранслойной составляющей / H.A. Задории // Прикладная математика и фундаментальная информатика - 2014.- Л*2 1.- С. 40-44.

[41] Задорин H.A. Формулы Ныотона-Котеса для функций с погранслойной составляющей на кусочно-равномерной сетке / H.A. Задорин // ФМ ОмГУ 2014: сборник статей второй региональной конференции магистрантов, аспирантов и молодых ученых по физике и математике.- 2014.- Омск: Изд-во Ом. гос. ун-та. - С. 20 - 23.

[42] Ильин A.M. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной / A.M. Ильин // Матем. заметки,- 1969.- Т.6, Xs 2,- С. 237-248.

[43] Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач / А. М. Ильин,- М.: Наука, 1989. - 336 с.

[44] Ильин В.П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений/ В.П. Ильин.- Новосибирск: ИВМ и МГ СО РАН, 2001.-318с.

[45] Ильин В.П. Численный анализ / В.П. Ильин - Новосибирск: ИВМ и МГ СО РАН, 2004.- 334с.

[46] Калиткии H.H. Численные методы / H.H. Калиткин.- М.: Наука, 1978. - 512с.

[47] Квасов Б.И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами / Б.И. Квасов,-М.: Физматлит, 2008.- 360с.

[48] Крылов В.И. Начала теории вычислительных методов. Интерполирование и интегрирование / В.И. Крылов , В.В. Бобков, П.И. Монастырский.- Минск: Наука и техника, 1983.- 287с.

[49] Крылов В.И. Справочная книга по численному интегрированию / В.И. Крылов , А.Т. Шулыгина - М.: Наука, 1966 - 370с.

[50] Лисейкин В.Д. О численном решении уравнений со степенным пограислоем / В.Д. Лисейкин.- Журнал вычисл. матем. и матем. Физики.- 1986.- Т. 26, JY2 12.- С. 18131820.

[51] Лисейкин В.Д. Адаптивно-инвариантный метод численного решения задач с пограничными и внутренними слоями / В.Д. Лисейкин , В.Е. Петренко.- Новосибирск: Вычислительный центр СО АН СССР, 1989.- 258с.

[52] Милн В.Э. Численный анализ / В.Э. Милн.- М.: ИЛ, 1951 - 292с.

[53] Марчук Г.И. Повышение точности решений разностных схем / Г.И. Марчук , В.В. Шайдуров.- М.: Наука, 1979. 316с.

[54] Никольский С.М. Квадратурные формулы / С.М. Никольский .- М.:Наука, 1974,-224с.

[55] Рожеико А.И. Абстрактная теория сплайнов / А.И. Роженко,- Новосибирск: НГУ, 1999.- 176с.

[56] Рябенький B.C. Введение в вычислительную математику / B.C. Рябенький.- М.: Физматлит, 2000.- 296с.

[57] Самарский А.А. Теория разностных схем. / А. А. Самарский.- М.: Наука, 1983. -616 с.

[58] Смелов В.В. Аналог квадратуры Гаусса, реализованный па специфическом тригонометрическом базисе В.В. Смелов , А.С. Попов // Сиб. журн. вычисл. математики. —2010. — Т. 13, № 4. — С. 439-450.

[59] Тиховская С. В. Двухсеточный метод для эллиптического уравнения с пограничными слоями на сетке Шишкина / С. В. Тиховская // Учен. зап. Казан, ун-та. Серия Физ.-матем. науки. - 2012. - Т. 154, кн. 4. - С. 49 - 56.

[60] Федоренко Р.П. О скорости сходимости одного итерационного процесса / Р.П. Фе-доренко // Журнал вычисл. матем. и мат. физики. - 1964. - Т. 4, Л'5 3. - С. 221-233.

[61] Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. / Р. П. Федоренко.- Москва: Изд-во МФТИ, 1994,- 528 с.

[62] Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов / В.В. Шайдуров.- М.: Наука, 1989 - 289с.

[63] Шишкин Г.И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений / Г.И. Шишкин.- Екатеринбург: УрО РАН, 1992.- 233с.

[64] Angelova I.T. A two-grid method on layer-adapted meshes for a semilinear 2D reaction-diffusion problem / I. T. Angelova, L. G. Vulkov // // Lecture Notes in Computer Science, Springer, Berlin.- 2010.- V. 5910,- P. 703 - 710.

[65] Brandt A. Multi-level adaptive solutions to boundary value problems / A. Brandt // Math. Comput.. - 1977,- V. 31, № 138. - P. 333 - 390.

[66] Dahlquist G. Numerical methods in scientific computing, V. 1. / G. Dahlquist, A Bjeorck. - Philadelphia: SIAM, 2007.

[67] Hackbusch W. Multi-grid methods and applications / W. Hackbusch. - Berlin: Springer, 1985. - 377.

[68] Kellog R.B. Analysis of some difference approximations for a singular perturbation problems without turning points / R.B. Kellog, A. Tsan // Math. Comput.- 1978.-V. 32. - P. 1025-1039.

[69] Han H. Flow directed iterations for convection dominated flow / H. Han, V. P. Il'in , R.B. Kellog // Proceeding of the Fifth Int. Conf. on Boundary and Interior Layers.-1988. - P. 7 - 17.

[70] Lins T. The Necessity of Shishkin Decompositions / T. Lins // Applied Mathematics Letters.- 2001.- V. 14.- P. 891-896.

[71] Lins T. Layer-adapted meshes for reaction-convection-diffusion problems / T. Lins // Lecture Notes in Mathemat,ics.-2010 - V. 1985 - Berlin: Springer-Verlag- 320 p.

[72] Miller J.J.H. Fitted Numerical Methods for Singular Perturbation Problems: Error Estimates in the Maximum Norm for Linear Problems in One and Two Dimensions. Revised Edition / J.J.H. Miller, E. O'Riordan, G.I. Shishkin.-Singapore: World Scientific Publishing, 2012 - 176c.

[73] Roos H.-G. Numerical Methods for Singularly Perturbed Differential Equations, Convection-Diffusion and Flow problems / H.-G. Roos , M. Stynes, L. Tobiska. - Berlin: Springer, 2008 - 348c.

[74] Shishkin G.I. Difference methods for singular perturbation problems. V. 140. Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics / G.I. Shishkin , L.P. Shishkina. - Boca Raton: Chapman&Hall/CRC, 2009.- 393c.

[75] Surla K. A solving singularly perturbed boundary value problem by spline in tension / K. Surla , M. Stojanovic // J. Coinput. Appl. Math.- 1988.-V. 24.- P. 355-363.

[76] Vulanovic R. A uniform numerical method for quasilinear singular perturbation problems without turing points / R. Vulanovic // Computing. - 1989. - V. 41. - P. 97 - 106.

[77] Vulanovic R. On a numerical solution of a power layer problem / R. Vulanovic // Numerical methods and approximation theory 3. - University of Nis. -1989. - P. 423-431.

[78] Xu J. A novel two-grid method for semilinear elliptic equations / J. Xu // SIAM J. Sci. Comput.-1994.-V. 15.- P. 231-237.

[79] Vulkov L.G. Two-grid Interpolation Algorithms for Difference Schemes of Exponential Type for Semilinear Diffusion Convection-Dominated Equations / L.G. Vulkov , A.I. Zadorin // American Institute of Physics Conference proceedings.- 2008.- V. 1067.- P. 284-292.

[80] Vulkov L.G. Two-Grid Algorithms for the Solution of 2D Semilinear Singularly Perturbed Convection-Diffusion Equations Using an Exponential Finite Difference Scheme / L.G. Vulkov , A.I. Zadorin // American Institute of Physics Conference proceedings.- 2009.-V. 1186.- P. 371-379.

[81] Vulkov L.G. Two-Grid Algorithms for an ordinary second order equation with exponential boundary layer in the solution / L.G. Vulkov , A.I. Zadorin // International Journal of Numerical Analysis and Modeling.- 2010.- V. 7, J№ 3.- P. 580-592.

[82] Zadorin A.I. Interpolation Method for a Function with a Singular Component / A.I. Zadorin // Lect. Notes in Computer Science, Springer, Berlin.- 2009.- V.- 5434.- P. 612-619.

[83] Zadorin A.I. Spline interpolation of functions with a boundary layer component / A.I. Zadorin // International Journal of Numerical Analysis and Modeling, series B. - 2011.-V. 2, № 2-3.- P. 262-279.

[84] Zadorin A.I. Interpolation formula for functions with a boundary layer component and its application to derivatives calculation / A.I. Zadorin , N.A. Zadorin // Siberian Electronic Mathematical Reports-2012- V. 9 - P. 445-455.

[85] Zadorin A. Quadrature Formula with Five Nodes for Functions with a Boundary Layer Component / A. Zadorin , N. Zadorin // Lecture Notes in Computer Science, Springer, Berlin.- 2013.- V. 8236.- P. 540 - 546.

[86] Zadorin A.I. Interpolation formulas for functions with a boundary layer component and its application / A.I. Zadorin, N.A. Zadorin // Abstracts of International conference "Advanced Mathematics, Computations and Applications-2014", Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS.- Novosibirsk.-2014,- P. 25.