Моделирование динамики нелинейных возмущений границы раздела вязких сред тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Архипов, Дмитрий Григорьевич

• Архипов, Дмитрий Григорьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Архипов, Дмитрий Григорьевич

Введение

История и современное состояние проблемы Краткая характеристика диссертации

Глава 1 Новая модель для описания нелинейных пространственных волн на поверхностях раздела неглубоких слоев жидкостей

1.1 Эволюция трехмерных умеренно длинных возмущений свободной поверхности слоя вязкой жидкости

1.2 Распространение пространственных волн на границе раздела двух неглубоких слоев вязких жидкостей

1.3 Динамика трехмерных возмущений на поверхности раздела двух горизонтальных потоков

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование динамики нелинейных возмущений границы раздела вязких сред»

История и современное состояние проблемы

Задача о волнах на поверхности жидкости естественным образом привлекала исследователей всех времен [Островский, Потапов (2003)]. Форма свободной поверхности разнообразных природных и искусственных водоемов легко поддается наблюдению даже невооруженным глазом, а возникновение, в результате воздействия ветра или предмета, брошенного в воду, на первоначально гладком водном зеркале возмущений связывалось древними философами с человеческими эмоциями, буквально волнением. Не меньшее значение оказывали стихийные события, связанные с волнами на воде - разрушительные цунами, приливные волны и боры, наводнения. С развитием мореходства особый интерес вызывали аномально большие волны, так назваемый «девятый вал», способные затопить, перевернуть или разломить большое судно.

Простейшая теория волн на поверхности воды была предложена Ньютоном в 1687 г. [Голин и др. (1989)]. Эта теория была основана на неверном предположении о том, что гравитационные волны являются поперечными. Правильное решение задачи о волнах на мелкой воде было найдено Лагранжем в 1788 г. [Лагранж (1950)]. Он получил выражение для скорости этих волн в виде с = л/gh. В 1815 г. Парижская Академия Наук объявила Большой Приз по математике на тему «теория волн». Среди участников этого конкурса можно отметить О.Коши и С.Пуассона [Cauchy (1815), Poisson (1816)]. В дальнейшем теория волн на воде активно разрабатывалась в трудах Дж.Стокса и Д.Релея [Stokes (1880), Rayleigh (1883)].

Попытки решения задачи о волнах на протяжении многих лет обогащали математическую физику интересными открытиями. Причина этого состоит в первую очередь в том, что все волновые явления независимо от их природы описываются похожими уравнениями и, соответственно, содержат подобные эффекты, а волны на воде, как упоминалось выше, весьма удобный объект для наблюдения и теоретического анализа. Так, простейшие демонстрации дифракции и интерференции волн проводились на гравитационных волнах, ввиду исключительной их наглядности. Однако гораздо большее значение для теоретической физики оказало развитие теории волн на воде после включения в нее эффектов дисперсии и нелинейности. В большинстве других областей физики, эти эффекты появляются в результате изменений свойств среды в зависимости от амплитуды и частоты сигнала, а в случае волн на воде нелинейность и дисперсия волн неразрывно связана с внутренним возмущенным движением частиц жидкости. К примеру, фазовая скорость коротких волн в однородной жидкости описывается формулой с = \jgjk, то есть дисперсия является основным механизмом их динамики. В случаях, когда дисперсия достаточно мала, а именно, для длинных волн, можно воспользоваться разложением с = \J~gh — 0к2 (член пропорциональный к отброшен из соображений симметрии). Такое дисперсионное соотношение соответствует уравнению:

Далее, предположим, что существуют слабые нелинейные поправки к уравнению, не уточняя их физической природы: d(rj + air)2) д(г) + а2г)2) , 0дг7) 2 д2ц2 ш—+со—ш—+рж = азГ1 +

Здесь не выписаны нелинейные члены с более высокими производными, поскольку предполагается, что и нелинейность и дисперсия малы и, соответственно, их комбинацией можно пренебречь. Члены, стоящие в правой части уравнения содержат четные производные по координате (включая нулевую) и ответственны за затухание и накачку сигнала, поэтому для консервативных физических систем они равны нулю. Наконец, нелинейное слагаемое с производной по времени может быть приближенно заменено по линейному соотношению: , , ч dF{r]) dFjrj) dt С° дх дг)2 drj2 dt °° дх

Таким образом, простейшее волновое уравнение, описывающее консервативную систему с малым влиянием нелинейных и дисперсионных эффектов может быть приведено к виду: drj ^ drj ^ J3r)2 рдгг) g dt дх дх dxz или, после преобразования t' = t — x/cq, + р&Л = 0 dt' дх дх3

Это уравнение было получено Д. Кортевегом и Г. де Вризом (1895) [Korteweg & de Vries (1895)] для описания, так называемой, «волны трансляции», обнаруженной ранее С. Расселом [Russel (1845)] в узком речном канале. Согласно экспериментам Рассела, такие волны обладают рядом необычных свойств, среди которых: неизменность профиля, зависимость скорости от амплитуды, а также способность проникать друг через друга без видимого изменения формы. Кортевег и де Вриз нашли также частное решение своего уравнения в виде уединенной стационарно-бегущей волны и показали, что оно удовлетворяет характеристиками указанным в работах Рассела. Однако потребовалось еще более полувека для того, чтобы доказать, что это уравнение описывает упругое столкновение солитонов, при котором волны восстанавливают свою первоначальную форму после выхода из области взаимодействия. Это было сделано в работе [Забуски и М.Крускал (1965)]. Затем С.Гарднер, Дж.Грин, М.Крускал и Р.Миура в классической работе [Gardner et al. (1967)] нашли общее решение уравнения Кортевега-де Вриза с помощью метода обратной задачи рассеяния. Основанная на этом методе техника L-A пар операторов, разработанная П.Лаксом [Lax (1968)], стала рабочим инструментом для поиска общих решений целого ряда нелинейных уравнений математической физики, таких как, например, нелинейное уравнение Шредингера [Захаров и Шабат (1971)] и уравнение Sin-Гордона, представляющие исключительную ценность для теоретической физики.

С повышением мощностей вычислительных машин развитие теории волн на воде пошло по двум направлениям: прямое численное решение системы исходных гидродинамических уравнений и поиск упрощенных моделей, учитывающих различное количество основных эффектов. Первый путь требует чрезвычайно большого объема вычислений и при этом имеет весьма существенные недостатки: сложность анализа численного решения, определения степени влияния различных физических явлений, а также комплексная проблема верификации результатов, включающая в себя анализ значительного числа предельных и частных случаев и неизбежную проверку на экспериментальных данных. От второго подхода, в свою очередь, трудно ожидать универсальности ко всему многообразию задач, так как при выводе каждой конкретной модели используются разные физические предположения и допущения.

К настоящему времени в литературе описано множество систем, позволяющих решать как плоские, так и пространственные задачи о распространении нелинейных волн на поверхности жидкости [Хакимзянов и др. (2001)]. В случае относительно длинных возмущений наиболее универсальной системой, по видимому, является модель Железняка-Пелиновского [Железняк, Пелинов-ский (1985)], не требующая дополнительных предположений об амплитуде возмущений:

И + V(#U) = О

J + (U • V)u + дЩ = iv+ ~ + Д2)

R2 = -^Vh+(u- V)(uV/i) где векторы u и V определены в горизонтальной плоскости.

Известная система уравнений Грина-Нагди [Green & Naghdi (1976)] также претендует на строгое описание умеренно-длинных возмущений при произвольном соотношении амплитуды возмущения к глубине жидкости: дН at V(#u) = О

9u , + (u- V)u + pV77 =

- (D2h)V(2r] -h) + (D27])V(4t] + h) + HV(2D2t] - D2h)

-" ~6 здесь H = h + rj, а оператор D = d/dt + (u • V) Ограничив амплитуду волн так, чтобы можно было пренебречь всеми нели-нейно-дисперсионными слагаемыми приходим к системе уравнений Перегрина [Peregrine (1967)]: g+V([/i'+77]u) = 0 (u . V)u + gVV = ~(v[V(Au)] - v|[Vuf du dt

Наконец, потребовав, чтобы длина волн была существенно больше глубины слоя, отбросим все дисперсионные слагаемые, стоящие в правой части второго уравнения, получив, тем самым, наиболее распространенную в современных расчетах модель «мелкой воды»: g + + „]„) = о + (u-V)u + <7Vr/ = 0

Для учета вязкой диссипации возмущений в модель мелкой воды вводят эффективные слагаемые, моделирующие придонное трение. Часто в этих целях используется следующая модернизация системы: дН | д{Нч) | d(Hv) = Q dt дх ду д(Нч) d(Hu2) d(Huv) ддн2 dh 2 дГ + + + - gHdi - 9uH'c d(Hv) dIHuv) 0(Hv2j gdH2 „Oh , , , „

Наряду с моделями, основанными на уравнениях движения жидкости, развитие получило направление в котором гидродинамическая система уравнений сводится к единственному эволюционному уравнению для возмущения границы раздела. Одним из первых такое уравнение было выведено Бусси-неском, предложившим нелинейно-дисперсионную систему уравнений: ди ди дг) Н2 d3u u— + g dt дх *дх 2 dx2dt дт] d[h + r)]u^Q dt дх

Ограничив рассмотрение волнами, бегущими только в одну сторону, Бусси-неск сделал приближенную замену d/dt = —сод/дх, получив уравнение, носящее теперь его имя: д2т] 2 д2т] с§ д2г)2 gh2 дАт] 2~ 2 дх4

Это уравнение допускает факторизацию, путем выделения оператора движения со скоростью v = —со, при этом:

-4- - д?7 срдг}2 cQh937j\ dt + С° дх) { dt °° дх 4h дх 4 дхУ ~

В скобках, как видно, стоит уравнение Кортевега-де Вриза, записанное для лабораторной системы отсчета. Очевидным недостатком уравнения Бусси-неска является то, что оно описывает только плоские волны, бегущие в каком-либо одном направлении. Расширение этого уравнения на случай квазиплоских волн, то есть таких, у которых вариация формы в поперечном направлении значительно более пологая, чем в продольном, было сделано [Кадомцев и Петвиашвили (1970)]. Интересно отметить, что уравнение (1.24), выведенное авторами, было впоследствие точно проинтегрировано методом обратной задачи рассеяния. д fdu ди <93?Л ^д2и dx\dt дх дх3/ ду2

Модификация уравнения Буссинеска для расчета трехмерных нелинейных возмущений в бассейне небольшой глубины приводится в работе [Пелинов-ский и Степанянц (1994)], посвященной поперечной неустойчивости плоских уединенных волн.

Ни -с2ДЯ + 2/Зс2А2Н + асА(Н2) = О

Это уравнение правильно описывает линейные пространственные волны, однако на волны большой амплитуды накладывается условие, чтобы основное нелинейное возмущение было квазиплоским и двигалось только в каком-либо одном направлении. При таких же предположениях, [Хабахпашев (1997)] было выведено эволюционное уравнение для гравитационных волн на поверхности неглубокой жидкости, учитывающее не только дисперсионные и нелинейные явления, но также и вязкую диссипацию, связанную с нестационарным трением о дно:

§ - * - f , V - ,(V,. V.) - + s Л / ^ = о со v

Для описания встречного взаимодействия квазиплоских волн в работе [Johnson (1996)] предложено интегро-дифференциальное уравнение, в котором горизонтальная скорость находится из уравнения неразрывности. д2г) d2rj д2 (г}2 Г °гдг] Л2\ сдъг] д2т) еdt2 дх2 дх2V 2 €-~ = О

3 дх3 ду х здесь интегральный член соответствует обычной гидродинамической нелинейности, поскольку из первого уравнения теории мелкой воды: + V([ft + 7j]u)=0 в плоском случае можно приближенно получить: ди 1 drj 1 °[дг] , dx = ~hW u = hJxdi

Изучение длинных волн на поверхности спокойной жидкости имеет богатую историю. Перечислим только некоторые монографии, посвященные этой благодатной теме, которые опубликованы в последние 35 лет: Карпмана (1973), Сретенского (1977), Уизема (1977), Захарова и др. (1980), Овсянникова и др. (1985), Додда и др. (1988), Вольцингера и др. (1989), Накорякова и др. (1990), Алексеенко и др. (1992), Степанянца и Фабриканта (1996), Ляпидевского и Тешукова (2000), Хакимзянова и др. (2001), Ильичева (2003),

Островского и Потапова (2003). Большинство имеющихся в литературе работ относятся к безвихревым течениям жидкости, и в лучшем случае допускают тонкий нестационарный вязкий пограничный слой вблизи дна бассейна. Важная с точки зрения приложений задача о волнах на поверхности сдвигового течения долгие годы оставалась без решения, вследствие недопустимости использования методов, разработанных для теории потенциальных движений. Первой, по-видимому, работой по теории гравитационных волн на сдвиговом течении следует считать классическую статью [Burns (1953)]. Рассматривая длинные волны на поверхности потока с произвольным профилем скорости по глубине, автор пришел к дифференциальному уравнению:

ФЪ) {Щу)-с)-и'(у)<Ку) + 9Т1 = 0 с граничными условиями на дне и свободной поверхности: ф( 0) = 0, ф(К) = [с-и(К)]т] здесь ф(у) - функция тока для возмущения, определяемая равенствами: u = tf(y)eiaix-ct\ v = -гаф{у)е1а{х~с1) u, v - горизонтальная и вертикальная компонента возмущения скорости соответственно, с - фазовая скорость, представляющая собой собственное число системы.

Решая данную задачу, Берне нашел соотношение для расчета фазовой скорости длинных волн по известному профилю течения U(y): h dy 1 о (U(V) ~ с? 9 У этого уравнения есть два решения, такие, что:

U(0) -\[gh<cl< U{0), U(h) < с2 < U{h) + Jgh

В частности, если U(0) = 0, то существуют как волна двигающаяся вдоль по потоку, так и против него. Уже на простых примерах, вроде профиля с вязким подслоем автор отмечал сомнительность этого вывода и необходимость учета вязких членов при выводе уравнения 2.1. В то же время, формула 2.4 часто дает хорошее количественное согласие для небольших по сравнению с фазовой скоростей потока.

Хант в работе [Hunt (1955)] рассмотрел более общее уравнение Рэлея с турбулентным профилем течения U = U\{y/К)1!7: и(у)-с)ф"(у) k2 (U(у) - с) + U"(у) ф(у) = 0

Используя технику разложения решения в ряд он получил выражение для фазовой скорости гравитационных волн:

1 U2 4 U3 с = ±\[gh + U ±

42 yjjh 735 gh где U = TC/i/8 - средняя скорость потока.

В работе [Benjamin 1962] предположено, что при скорости потока меньшей \fgh должна существовать нелинейная стационарно-бегущая волна, соответствующая солитону Кортевега-де Вриза. Переходом в систему отсчета волны, автор сводит задачу к поиску стационарного распределения скорости в жидкости с неизвестной переменной глубиной. В частности, используется сохранение вдоль линий тока интеграла Бернулли, записанного через функцию тока в предположении гидростатического распределения давления по глубине. В результате, Бенджамин получил солитонное решение в виде: г} = asech2(x/b) д = д~1 - h gh здесь введены обозначения:

6 = 2 h(5-a д-1 - h

1/2 т } dy т - } dy

12-J (ТТ(„\-Л*> U~J i(U(v)-cr imv)-c)4 ajjyr (U(y) - c)2

P-flfM^ AU{y)-cfdy о о №)

Для определения скорости распространения с, Бенджамин использовал разложение в ряд по малым параметрам U/л/дК « 1, а « 1:

С2 = gh + 3U2A + a(gh + 4U2A)

Д = / My) ~ Ufdy о

Развивая идеи Бенджамина, [Freeman h Johnson (1970)] вывели эволюционное уравнение типа Кортевега - де Вриза для гравитационных волн на сдвиговых течениях небольшой скорости. Для того, чтобы расчитывать эволюцию возмущений авторы перешли в систему двигающуюся не со скоростью солитона, а с фазовой скоростью распространения линейных возмущений, определяемую из формулы 2.4. После этого, в результате несложных преобразований можно получить уравнение:

2/377t - ЗЬЩх ~ Г)хххаК = О

Несмотря на эффективность разработанной авторами методики, расчеты показывают, что аналитические выражения для профилей скоростей и, соответственно для коэффициентов уравнения остаются справедливыми только при относительно малых скоростях потока.

В последнее время интерес к исследованиям по взаимодействию волн и сдвиговых течений возрастает (см. [Степанянц и Фабрикант (1996), Ляпидевский и Тешуков (2000)]). Модельные уравнения для внутренних волн, учитывающие стационарные потоки идеальных жидкостей с кусочно-постоянной зависимостью скорости от глубины предложены в [Пелиновский и др. (2000), Grimshaw et al. (2002)]. Эволюционное уравнение для возмущений границы раздела двухслойной системы с учетом диссипации, но в отсутствие установившегося течения выведено в [Hooper &; Grimshaw (1985)]. В данной работе предлагается вывод модельного эволюционного уравнения для умеренно-длинных волн на границе раздела двухслойного течения Пуазейля.

Начиная с первых экспериментов [Капица (1948)] исследование волн на поверхности жидких пленок интересует исследователей всего мира. Прикладная значимость пленочных течений обусловлена широким использованием их в технологических процессах химической промышленности, металлургии, энергетике. Для теоретического описания волн на поверхности пленки требуется решить в полной постановке систему уравнений Навье-Стокса с кинематическими и динамическими граничными условиями. При этом основными параметрами являются отношение невозмущенной толщины пленки к длине волны б = h/X и характерное число Рейнольдса. В случае, когда (Re ~ 1 /е) систему уравнений можно свести к системе пограничного слоя [Капица (1948), Алексеенко и др. (1992), Бочаров (2004)]. Несмотря на то, что на основе этой системы проводились расчеты (см., например, [Демехин и др. (1983), Гешев и Ездин (1985), Chang et al (1993)] необходимо разрабатывать более эффективные алгоритмы для решения задачи, ввиду сложности течения. В практических приложениях зачастую пленочное течение сопровождается спутным турбулентным потоком газа, оказывающего значительное влияние на волновое движение. Решение сопряженной задачи чрезвычайно трудоемко, поэтому обычно (см., например, [Гугучкин, Демехин и др. (1979)] задача разделяется на две: определение напряжений газ на поверхности пленки жидкости и моделирование течения пленки в известном поле напряжений на границе.

Одним из наиболее эффективных методов решения задач со сложными подвижными и неподвижными границами является метод адаптивных сеток [см., например, [Хакимзянов, Шокин, Барахнин, Шокина (2001)]. Его реализация основана на преобразованиях координат, позволяющих сделать граничные условия более простыми. Для пленочных течений подобные методы рассматривались ранее [см., например, Гешев и Ездин (1985)]. Однако при этом не производилось полного преоразования координат, а делалась только замена переменных. В третьей главе диссертации на примере двух задач пленочных течений продемонстрированы возможности применения полных тензорных преобразований координат как для неподвижных, так и для подвижных сеток.

Первая глава дайной работы посвящена моделированию трехмерных волн в слоях, как первоначально покоящейся жидкости, так и системы двух несме-шивающихся жидкостей, стационарно движущихся в прямоугольном канале. Несмотря на «классичность» постановки, задача и сейчас вызывает большой интерес гидромехаников, а также инженеров-проектантов прибрежных и морских конструкций, защитных береговых сооружений. Значительное внимание к внутренним волнам в стратифицированной жидкости и, в особенности, к волнам на границах раздела течений уделяют океанологи, Кроме того, с известной долей условности к стратифицированным двухслойным течениям относят также раздельные двухфазные потоки, характеризующиеся большим отношением плотностей сред. Волны на границах раздела таких течений являются одним из наиболее широко исследуемых объектов в теплофизике и энергетике.

Во второй главе представлена новая нелинейно-дисперсионная модель, позволяющая рассчитывать взаимодействия существенно трехмерных возмущений, движущихся под произвольными углами друг к другу. Для получения модельной системы уравнений был несколько модернизирован подход, активно разрабатываемый Г.А.Хабахпашевым [Хабахпашев (2005)], а также предложено сохранить вектор скорости в нелинейных членах основного эволюционного уравнения, и, по аналогии с моделью Джонсона, выписать для него линеаризированное уравнение неразрывности. В задачах о локализованных или периодических возмущениях это дополнительное уравнение легко решается в Фурье-прострапстве так, что машинное время затрачиваемое на него на каждом расчетном шаге пренебрежимо мало по сравнению с временем решения основного эволюционного уравнения. Интересно отметить, что полученная система уравнений имеет точное решение в виде уединенной стационарно-бегущей волны, которое удобно использовать для тестирования численной схемы. Со л итон тонко чувствует численные и алгоритмические ошибки, так как в нем уравновешены дисперсионные и нелинейные эффекты, представляемые в рамках выбранных предположений членами второго порядка малости.

Краткая характеристика диссертации

Актуальность темы диссертации обусловлена необходимостью теоретического осмысления богатого экспериментального материала, посвященного широко распространенному как в естественных, так и в искусственных условиях явлению волн на границах раздела, а также пленочному и расслоенному режимам двухфазного течения, активно используемых в промышленных теп-ломассообменных аппаратах и системах охлаждения.

Разработка новых математических моделей позволяет глубже понять механизмы распространения и взаимодействия нелинейных волн в каналах различной геометрии и, в перспективе, найти ответы на фундаментальные вопросы физики моря, связанные с динамикой поверхностных и внутренних гравитационных волн, а также со взаимодействием волн и течений. Внутренние гравитационные волны, вследствие малости относительных скачков плотности жидкости, обыкновенно имеют низкую скорость распространения, сравнимую со скоростями стационарных течений, и достаточно большую амплитуду, что приводит к их сильному взаимному влиянию и оказывает значительное воздействие на динамику океана в целом.

Важнейшие, с точки зрения приложений, задачи устойчивости расслоенного режима течения двухкомпонентной среды имеют непосредственное отношение к эволюции линейных и нелинейных возмущений границы раздела. Описание нелинейных волновых режимов в области их линейной неустойчивости имеет большое значение для расширения границ режимной карты двухфазных потоков и определения наиболее важных параметров течения в различных технологических задачах.

Постоянное требование уменьшения размеров теплообменных установок с одновременным повышением их эффективности приводит к необходимости активного применения пленочного режима течения совместно со спутным потоком газа. Существенная нелинейность возмущений, подвижность границы раздела, а также турбулентное трение со стороны газовой фазы делают задачу чрезвычайно сложной для теоретического анализа. Для ее решения необходимо построение адекватных математических моделей при одновременном развитии соответствующих вычислительных методов.

Основная цель данной работы состоит в разработке новых подходов к моделированию распространения волн малой, но конечной амплитуды на свободной поверхности одного слоя жидкости и на границе раздела двух различных жидкостей, как в отсутствии, так и при наличии в слоях стационарных ламинарных течений, а также в детальном анализе и совершенствовании существующих методов решения задачи об эволюции длинных нелинейных волн на стекающей, обдуваемой турбулентным потоком газа, пленке жидкости.

Научная новизна состоит в том, что в работе получены новые уравнения и системы, а также использованы оригинальные методики их вывода:

1. Разработан новый подход для моделирования распространения существенно трехмерных волн малой, но конечной амплитуды в неглубоких слоях жидкости.

2. Выведено эволюционное уравнение для нелинейных волн на границе раздела двухслойного течения Пуазейля. При его получении использованы результаты численного решения уравнения Орра-Зоммерфельда для нахождения профилей возмущенных скоростей в слоях.

3. В результате проведенного математического анализа взаимного соответствия моделей для расчета турбулентного трения газа о жесткую волнистую стенку: Бенджамина, Абрамса-Ханратти и модели переноса граничных условий на невозмущенный уровень, выведено модернизированное уравнение Бенджамина с корректным учетом тензора турбулентных напряжений.

4. Получена новая дивергентная система нелинейных уравнений для пленки жидкости, свободно стекающей по вертикальной плоскости в системе координат, преобразующей неизвестную заранее область течения в полосу, постоянной ширины.

5. Предложен метод вывода эволюционных систем для задач со свободными границами на основе специального преобразования координат в системе уравнений релятивистской гидродинамики.

Научная и практическая ценность разработанных моделей и подходов к решению эволюционных задач состоит в их относительной простоте, позволяющей анализировать механизмы волновых явлений, используя только надежные, хорошо зарекомендовавшие себя аналитические и численные методы. Алгоритмы получения модельных уравнений могут быть применены в других областях физики нелинейных волн. Перспективной является возможность рассматривать нелинейное эволюционное уравнение для гравитационных волн в двухслойном течении Пуазейля, как уравнение, описывающее развитие неустойчивости границы раздела от бесконечно малых к конечным возмущениям. Использование бескоординатного тензорного подхода, как для Чисто пространственных, так и для пространственно-временных задач, позволяет единообразно и математически строго делать практически произвольные замены переменных, что может быть полезно для весьма широкого спектра проблем.

Краткая аннотация основных семи глав диссертации приведена ниже. Общими допущениями являются несжимаемость жидкостей, слабая нелинейность волн, пренебрежение величинами третьего порядка малости, а также неподвижность и недеформируемость пологого дна (в главах 2, 5, 7 - и крышки системы). Во всех главах, кроме последней, предполагается, что средние значения скоростей частиц в слоях равны нулю, т. е. стационарные течения отсутствуют.

В главе 1 предложен новый подход к описанию умеренно-длинных гравитационных волн малой, но конечной амплитуды в слоях не только идеальных, но и вязких жидкостей как постоянной, так и слабопеременной глубины. Возможности разработанной методики вывода модельной системы продемонстрированы на задачах о гравитационных волнах на свободной поверхности однородного слоя идеальной жидкости с медленно меняющейся глубиной, на границе раздела двухслойной системы первоначально покоившихся вязких жидкостей и постоянных по толщине потоков идеальных жидкостей в широком горизонтальном канале. В диссертации проведен анализ области применимости нового подхода, в частности, показано, что при наличии внешнего стационарного сдвигового течения вывод модельной системы наталкивается на непреодолимые трудности, в то время как наличие нестационарного трения может быть введено в процедуру вывода достаточно просто.

Глава 2 посвящена проблеме взаимодействия гравитационных волн со сдвиговым течением. Рассмотрено двухслойное течение Пуазейля в горизонтальном канале. Для ряда геометрических (отношение глубин верхнего и нижнего слоев) и физических (отношения вязкостей и плотностей) параметров получены профили возмущенной скорости для умеренно-длинных возмущений границы раздела жидкостей. Основное внимание уделено, так называемой гравитационной моде, устойчивой при небольших скоростях потока. Особенность этого типа возмущений в том, что их фазовая скорость стремится к величине со при уменьшении скорости потока. Поэтому при обычной нормировке U = 1 безразмерная фазовая скорость волн на спокойной воде неограниченно велика. Для устранения этой трудности была выбрана нормировка со = 1. Используя технику интегрирования по слоям, на основании рассчитанных профилей, вычислены коэффициенты нелинейно-дисперсионного эволюционного уравнения для возмущения границы раздела слоев. При небольших скоростях потоков, такое уравнение обобщено на квазидвумерный случай, когда градиенты по трансверсальной координате малы. В работе отмечено, что существуют области параметров задачи и скоростей течения, когда гравитационная мода является самой неустойчивой. В этом случае развитие неустойчивости начинается с нарастания амплитуды внутренних волн, подчиняющихся выведенному уравнению.

В главе 3 рассматривается чрезвычайно актуальная задача совместного движения двухслойной системы, составленной из тонкой пленки жидкости, расположенной на твердой поверхности и обтекающего ее турбулентного потока газа. Такие системы часто встречаются в теплофизике, химической технологии и энергетике, в высокоэффективных тепло- и массообменниках. Обилие экспериментальных и вычислительных работ, посвященных данной тематике затрудняет сколько-нибудь полный анализ современного состояния вопроса. Тем не менее, ряд фундаментальных задач недостаточно изучен. Двум таким задачам посвящена данная глава. Малость толщины пленки и ее скорости позволяет разделить систему на течение газа, для которого влияние жидкой фазы связано, в основном, с изменением геометрии, и жидкости, на которую газ воздействует через напряжения на границе. Как было показано в ряде работ, в частности в работах Демехина с коллегами, возмущения в потоке газа можно считать линейными и моделировать более простой задачей о течении газа над синусоидальной жесткой поверхностью. В первой части рассмотрено стационарное турбулентное течение газа над волнистой стенкой с целью определения нормальных и касательных напряжений на стенке. При малой амплитуде волнистости возможно разложение основного течения на основное, соответствующее движению над гладкой поверхностью, и возмущенное, связанное с шероховатостью. Простейшим методом решения является перенос граничных условий на невозмущенный уровень, с последующим решением уравнения Орра-Зоммерфельда для определения профиля возмущения. Другой метод, предложенный Бенджамином, основан на переходе в систему координат, соответствующую конформному преобразованию области над синусоидальной поверхностью в полуплоскость. Еще один метод, разработанный Абрамсом и Ханратти, соответствует системе координат пограничного слоя. Анализ системы отношений между данными методами, а также уточнение метода Бенджамина являются основными результатами главы, необходимыми для получения адекватной модели воздействия газа на пленку. Во второй части, рассматривается классический метод решения задач со свободной поверхностью - подвижные адаптивные сетки. Данный подход развивался, в частности, в трудах Барахнина и Хакимзянова в приложении к длинным гравитационным волнам на поверхности идеальной жидкости. Основным приемом, используемым для построения сеток является преобразование координат, переводящее неизвестную заранее область течения в полосу постоянной ширины. Существенной трудностью при проведении преобразования является неортогональность новых переменных в пространстве-времению. Поэтому необходимо иметь четырехмерную инвариантную относительно координат систему уравнений для описания динамики жидкости. Такой системой может служить классическая система уравнений релятивисткой гидродинамики. На основе этой системы проведен вывод модельной системы уравнений для эволюции волн на стекающей пленке жидкости и сравнение ее с системой уравнений Гешева-Ездина. Важным преимуществом системы является дивергентный вид, позволяющий использовать классические алгоритмы для ее численного решения.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием классических допущений и приближений при аналитическом выводе модельных уравнений и систем. Все уравнения и системы проверялись на соответствие с известными моделями в предельных случаях. Численные алгоритмы тестировались на аналитических решениях типа уединенной волны. В случае, когда аналитическая проверка оказывалась затруднительной (уравнение Орра-Зоммерфельда и аналогичное уравнение Бенджамина), для проверки корректности результатов использовалось два независимых метода решения.

Автор защищает следующие положения и результаты диссертации:

1. Систему уравнений для описания динамики слабонелинейных пространственных возмущений на поверхности одного слоя идеальной жидкости с медленно меняющейся глубиной. Уравнения для плоских волн, распространяющихся в двух направлениях и для аксиально-симметричных возмущений, полученные на основе данной системы. Аналогичные системы уравнений для волн на границе раздела двух вязких жидкостей в горизонтальном канале и двух идеальных жидкостей, стационарно текущих с постоянными по глубине скоростями.

2. Метод численного решения выведенной системы, использующий неявную схему "предиктор-корректор"для основного эволюционного уравнения и быстрое преобразование Фурье для вспомогательных уравнений.

3. Результаты расчетов по уравнению Орра-Зоммерфельда профилей вертикальной и горизонтальной скоростей для умеренно-длинных гравитационных возмущений границы раздела двухслойного течения Пуазейля.

4. Эволюционное уравнение для плоских нелинейных волн на границе раздела сдвигового ламинарного течения в горизонтальном канале, (коэффициенты уравнения рассчитываются по найденным профилям). Нелинейное эволюционное уравнение для квазиплоских возмущений границы раздела двухслойного течения Пуазейля в приближении линейности профилей вертикальных скоростей жидкостей.

5. Вывод основных уравнений моделей Бенджамина и Абрамса-Ханратти для определения нормальных и касательных напряжений турбулентного потока газа на волнистой поверхности из модели переноса граничных условий на невозмущенный уровень путем корректной подстановки тензора рейнольд-совских напряжений взятого из соответствующей модели. Модернизированное уравнение Бенджамина, явно включающее тензор турбулентных напряжений.

6. Дивергентную систему уравнений для пленки жидкости, стекающей по вертикальной плоскости. Методику вывода этой системы из системы уравнений релятивистской гидродинамики на основе преобразования координат, переводящего область течения в вертикальную полосу.

Апробация работы проходила на следующих научных мероприятиях: IV Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям"(Красноярск, 2003), IX и X конференции "Устойчивость и турбулентность течений гомогенных и гетерогенных жидкостей"(Новосибирск, 2004 и 2008), Всероссийская конференция "Новые математические модели в механике: построение и изучение"(Новосибирск, 2004), XXI и XXII Международные конгрессы по теоретической и прикладной механике (Варшава, 2004; Аделаида, 2008), Международная конференция "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании" (Алматы, 2004, Павлодар 2006), Всероссийская конференция молодых ученых "Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики" (Новосибирск, 2004), VI Международная конференция "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике" (Новосибирск, 2005), Всероссийские конференции "Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения"(Бийск, 2005 и 2008), XXVIII Сибирский теплофизический семинар (Новосибирск, 2005), VI Европейская конференция по механике жидкости и газа (Стокгольм, 2006), Международная конференция "Рубежи нелинейной физики "(Нижний Новгород, 2007), Международный семинар "Явления переноса с подвижными границами"(Берлин, 2007), Международная конференция "Двухфазные системы для космических и земных приложений" (Брюссель, 2008), Международная конференция "Математические методы в геофизике" (Новосибирск, 2008). На всех этих мероприятиях докладывались и обсуждались основные результаты диссертации.

Кроме того, ряд разделов данной работы был поддержан Российским фондом фундаментальных исследований (гранты 04-01-00183, 06-08-01501 и 0701-00574), Советом по господдержке ведущих научных школ Российской Федерации (гранты НШ-6749.2006.8 и НШ-4366.2008.8), СО РАН и ИНТАС (грант 06-1000013-9236).

Работа опубликована в 31 научном труде (в отечественных и зарубежных изданиях). Основными из них являются следующие 9 наименований: Архипов Д. Г., Хабахпашев Г. А. Моделирование длинных нелинейных волн на границе раздела горизонтального потока двухслойной вязкой жид-кости в канале // Изв. РАН, Механ. жидк. и газа. - 2005 - № 1. - С. 143-158. Архипов А. Г., Хабахпашев Г. А. Новый подход к описанию пространственных нелинейных волн в диспергирующих средах // Доклады Академии наук. - 2006. - Т. 409, № 4. - С. 476-480.

Архипов Д. Г., Хабахпашев Г. А. Эволюция длинных нелинейных волн на границе раздела расслоенного течения вязких жидкостей в канале // Прикладная механика и техническая физика. - 2007. - Том 48, № 4. - С. 49-61. Alekseenko S. V., Arkhipov D. G.,Tsvelodub О. Yu. Modelling of the shear stresses produced by the turbulent gas flow over the wavy liquid film // 4th Internat. Berlin Workshop - IBW 4 on Transport Phenomena with Moving Boundaries, Berlin, 27-28 Sept. 2007. - Duesseldorf: VDI Verlag, 2007. - P. 51-62. Алексеенко С. В., Архипов Д. Г., Цвелодуб О. Ю. Моделирование напряжений на твердой волнистой поверхности, обтекаемой турбулентным потоком газа. // Устойчивость и турбулентность течений гомогенных и гетерогенных жидкостей: Докл. Молодежной конф., Вып. XI.- Новосибирск: Параллель, 2008. - С. 43-46.

Alekseenko S. V., Arkhipov D. G.,Tsvelodub О. Yu. The system of equations in divergent form for the film flowing down a vertical surface // Third International Topical Team Workshop on Two-phase System for Ground and Space Applications: Book of Abstracts, Brussels, 10-12 Sept. 2008. - P. 37. Архипов Д.Г., Верещетин И.А. Влияние стационарного потока на динамику гравитационных волн на границе раздела двух вязких жидкостей. // 3-я Всеросс. конф. с участ. зарубеж. ученых "Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения Вийск, 28 июня - 3 июля 2008. - Новосибирск: ИГиЛ СО РАН, 2008. - С. 12.

Архипов Д. Г., Хабахпашев Г. А. Динамика нелинейных трехмерных возмущений свободной поверхности неглубокого слоя вязкой жидкости с пологим дном // XXVIII Сиб. теплофизич. семинар: Сб. трудов (CD). Новосибирск: ИТ СО РАН, 2005. - 9 с.

Arkhipov D. G., Khabakhpashev G. A., Safarova N. S. Mathematical modeling for moderately long nonlinear spatial internal waves in a water with breaks of its density and current // International Conf. on Mathematical Methods in Geophysics: CD-ROM Proceedings, Novosibirsk, 13-15 October 2008. - Novosibirsk: Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics, 2008. - 6 p.

Личный вклад автора в защищаемую работу является следующим: вывод всех модельных нелинейных эволюционных уравнений и систем, нахождение их аналитических решений, разработка численного алгоритма и проведение расчетов для первой главы диссертации, а также анализ полученных результатов. Постановки задач для первых двух глав принадлежат Г.А.Хабахпашеву, постановка задачи для третьей главы - С.В.Алексеенко. Вывод системы для пространственных волн и уравнения для волн на двухслойном сдвиговом течении разработан совместно с Г.А.Хабахпашевым. Модернизация первоначальной версии программы расчета пространственных возмущений проведена Н.С.Сафаровой. Детерминаптный метод решения уравнения Орра-Зоммерфельда реализован И.А.Верещетиным. Массой полезных обсуждений и консультаций автор обязан О.Ю.Цвелодубу.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Архипов, Дмитрий Григорьевич

Заключение

В первом параграфе на основе модели Бенджамина выведено уравнение для возмущения функции тока турбулентного потока газа, обтекающего волнистую стенку. Полученное уравнение явно включает тензор турбулентных напряжений аналогично тому, как это сделано в модели Абрамса-Ханратти. Проведен анализ соотношений между моделями Бенджамина, Абрамса—Хан-ратти и модели переноса граничных условий на невозмущенный уровень. Установлено, что уравнение каждой модели может быть получено из любой другой, путем подстановки соответствующего тензора рейнольдсовских напряжений, т.е. различие между моделями состоит в предположениях о характере пристенной турбулентности. В случае, когда тензор напряжений полностью определяется профилем течения, проведены расчеты касательных напряжений газа на стенке. В работе предложено интересное направление для будущих исследований - распространение описанного в главе тензорного подхода на нелинейный случай. Возможно, что при учете первых нелинейных поправок, удастся найти вид тензора напряжений, позволяющий адекватно описывать систему в широком диапазоне отншения амплитуды шероховатости к толщине пограничного слоя.

Во втором параграфе, выведена дивергентная система уравнений, описывающая эволюцию длинноволновых возмущений свободной поверхности пленки жидкости, стекающей по вертикальной плоскости. При ее получении сделано преобразование координат, переводящее нестационарную и неизвестную заранее область течения в полосу постоянной ширины. Использованный при этом тензорный подход, основанный на системе уравнений релятивистской гидродинамики может быть эффективно применен в разнообразных задачах со свободными поверхностями. В частности, при выводе уравнений вплоть до последнего этапа сохранялись все члены уравнений так, что при необходимости, например, отказаться от приближения пограничного слоя, новая система может быть получена без труда. Интересно также, получить систему уравнений для неизотермической пленки жидкости, что может быть сделано путем учета первых релятивистских поправок в первоначальной системе уравнений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Архипов, Дмитрий Григорьевич, 2008 год

1. Абрамов А. А. 1961 О переносе граничных условий для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Журн. вычислит, математики и математической физики. Т. 1, № 3. С. 542-545.

2. Алексеенко С. В., Антипин В. А., Гузанов В. В. и др. 2005 Стационарные уединенные трехмерные волны на вертикально стекающей пленке жидкости // Докл. РАН Т. 405, № 2. С. 193-195.

3. Алексеенко С. В., Накоряков В. Е. и Покусаев Б. Г. 1992 Волновое течение пленок жидкости. Новосибирск: Наука. 256 с.

4. Архипов Д. Г. и Хабахпашев Г. А. 2005 Динамика нелинейных трехмерных возмущений свободной поверхности неглубокого слоя вязкой жидкости с пологим дном // XXVIII Сибирский теплофизический семинар: Сборник труд. (CD). Новосибирск: ИТ СО РАН. 9 с.

5. Архипов Д. Г. и Хабахпашев Г. А. 2005 Моделирование длинных нелинейных волн на границе раздела горизонтального потока двухслойной вязкой жидкости в канале // Изв. РАН, МЖГ. № 1. С. 143-158.

6. Архипов А. Г. и Хабахпашев Г. А. 2006 Новый подход к описанию пространст-венных нелинейных волн в диспергирующих средах // Доклады Академии наук. Т. 409, № 4. С. 476-480.

7. Архипов Д. Г. и Хабахпашев Г. А. 2007 Эволюция длинных нелинейных волн на границе раздела расслоенного течения вязких жидкостей в канале // Прикладная механика и техническая физика. Т. 48, № 4. С. 49-61.

8. Бахвалов Н. С. 1975 Численные методы. Москва: Наука. 631 с.

9. Бочаров А.А. 2004 Трехмерные волны на поверности пленки вязкой жидкости, стекающей по вертикальному цилиндру.: Дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.02.05 /РАН. Сиб. отд-ние. Институт теплофизики им С.С. Кутателадзе. -Новосибирск. 93 с.

10. Вольцинер Н. Е., Клеванный К. А. и Пелиновский Е. Н. 1989 Длинноволновая динамика прибрежной зоны. JL: Гидрометеоизд. 271 с.

11. Гешев П. И. 1981 Линейная модель пристенного турбулентного переноса. Новосибирск. (Препринт / Академия наук СССР, Сибирское отделение, Институт теплофизики; № 73-81). 40 с.

12. Гешев П. И. и Ездин Б. С. 1985 Расчет профиля скорости и формы волны на стекающей пленке жидкости //В кн.: Гидродинамика и тепломассообмен течений жидкости со свободной поверхностью. Новосибирск. -С. 49-57.

13. Гугучкин В.В., Демехин Е. А., Калугин Г.Н., Маркович Э.Э., Пикин В.Г. 1979 О линейной и нелинейной устойчивости совместного плоскопараллельного течения пленки жидкости и газа. // Изв. АН СССР. МЖГ. № 1. С. 36-42.

14. Голин Г. М., Филонович С. Р. 1989 Классики физической науки (с древнейших времен до начала XX в) М.: Высш. шк.

15. Гольдштик М. А. и Штерн В. Н. 1977 Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. Новосибирск: Наука. - 366 с.

16. Демехин Е. А. 1981 Нелинейные волны в пленке жидкости, увлекаемой газовым потоком // Изв. АН СССР. МЖГ. № 2. С. 37-43.

17. Демехин Е. А.,Демехин И. А., Шкадов В. Я. 1983 Солитоны в стекающих слоях вязкой жидкости // Изв. АН СССР, МЖГ № 4. С.49-58.

18. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж. и Моррис X. 1988 Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир. 694 с.

19. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. 1979 Современная геометрия. М.: Наука 760 с.

20. Железняк М. И. и Пелиновский Е. Н. 1985 Физико-математические модели наката цунами на берег // Накат цунами на берег. Горький: ИПФ ФН СССР С. 122-140

21. Желтухин Н. А. 1973 Детерминантный метод решения уравнения Орра-Зоммерфельда //В кн.: Аэрогазодинамика: Труды Первой Сибирской конф. по аэродинамике. С. 70-73.

22. Захаров В. Е. и Шабат А. Б. 1971 Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах // ЖЭТФ Т. 61. С. 118-134.

23. Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П. и Питаевский JI. П.1980 Теория солитонов: Метод обратной задачи. М.: Наука. 320 с.

24. Ильичев А.Т. 2003 Уединенные волны в моделях гидродинамики. М.: Физ-матлит. 256 с.

25. Кадомцев Б. Б. и Петвиашвили В. И. 1970 Об устойчивости уединенных волн в среде со слабой дисперсией // Доклады Академии наук СССР. Т. 192, № 4. С. 753-756.

26. Капица П. JI. 1948 Волновые течения тонких слоев вязкой жидкости // ЖЭТФ. Т. 18 т С. 3-28.

27. Карпман В. И. 1973 Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука. 175 с.

28. Кильчевский Н. А. 1954 Элементы тензорного исчисления и его прило-эюения в механике. М.: Гос. изд-во техн.-теорет. лит. 167 с.

29. Лагранж Ж. 1950 Аналитическая механика. M.-JI: Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры. 594 с.

30. Лайтман А., Пресс В., Прайс Р. и Тюкольски С. 1979 Сборник задач по теории относительности и гравитации. М.: Наука 539 с.

31. Лайтхилл Дж. 1981 Волны в жидкостях. М.: Мир. 598 с.

32. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М 1986 Гидродинамика. М.: Наука 736 с.

33. Ле Блон П. и Майсек Л. 1981 Волны в океане. T.l. М.: Мир. 480 с.

34. Литвиненко А. А. и Хабахпашев Г. А. 1999 Численное моделирование нелинейных достаточно длинных двумерных волн на воде в бассейнах с пологим дном // Вычислит, технол. Т. 4, № 3. С. 95-105.

35. Ляпидевский В. Ю. и Тешуков В. М. 2000 Математические модели распространения длинных волн в неоднородной жидкости. Новосибирск: Изд-во СО РАН. 419 с.

36. Мальцева Ж. Л. 1989 Нестационарные длинные волны в двухслойной жидкости // Динамика сплошной среды. Вып. 93-94. С. 96-110.

37. Накоряков В. Е., Покусаев Б. Г. и Шрейбер И. Р. 1990 Волновая динамика газо- и парожидкостных сред. М.: Атомэнергоиздат. 248 с.

38. Овсянников JI. В., Макаренко Н. И., Налимов В. И. и др. 1985 Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. Новосибирск: Наука. 319 с.

39. Островский JI. А. и Потапов А. И. 2003 Введение в теорию модулированных волн. М.: Физматлит. 400 с.

40. Пелиновский Е. Н., Полухина О. Е. и Лэмб К. 2000 Нелинейные внутренние волны в океане, стратифицированном по плотности и течению // Океанология. Т. 40, № 6. С. 805-815.

41. Пелиновский Д. Е. и Степанянц Ю. А. 1994 Неустойчивость уединенных волн в средах с положительной дисперсией в рамках двумерных уравнений Буссинеска // Ж. экспер. теор. физ. Т. 106, № 1. С. 192-206.

42. Петвиашвили В. И., Цвелодуб О. Ю. 1978 Подковообразные солитоны на стекающей вязкой пленке жидкости // Докл. АН СССР. Т. 238, № 6. С. 1321-1323.

43. Сретенский JI. Н. 1973 Теория волновых движений жидкости. М.: Наука. 816 с.

44. Степанянц Ю. А. и Фабрикант A. JI. 1996 Распространение волн в сди-говых потоках. М.: Наука, Физматлит. 240 с.

45. Уизем Дж. 1977 Линейные и нелинейные волны. М.: Мир. 622 с.

46. Хабахпашев Г. А. 1987 Влияние трения жидкости о дно на динамику гравитационных возмущений // Изв. АН СССР, МЖГ. № 3. С. 119-127.

47. Хабахпашев Г. А. 1990 Эволюция возмущений границы раздела двух слоев вязкой жидкости // Изв. АН СССР, МЖГ № 6. С. 118-123.

48. Хабахпашев Г. А. 1997 Нелинейное эволюционное уравнение для достаточно длинных двумерных волн на свободной поверхности вязкой жидкости // Вычислит, технол. Т. 2, № 2. С. 94-102.

49. Хабахпашев Г. А. 2005 Трансформация длинных нелинейных волн в двухслойной вязкой жидкости между пологими дном и крышкой // Прикл. мех. техн. физ. Т. 46, № 6. С. 45-57.

50. Хабахпашев Г. А. 2006 Моделирование нелинейной динамики поверхностных и внутренних волн в однородных и двухслойных жидкостях: Дис. . доктор физ.-мат. наук: 01.02.05 / РАН. Сиб. отд-ние. Институт теплофизики им С.С. Кутателадзе. Новосибирск. 225 с.

51. Хакимзянов Г. С., Шокин Ю. И., Барахнин В. Б. и Шокина Н. Ю.2001 Численое моделирование течений с поверхностными волнами. Новосибирск: Изд-во СО РАН. 394 с.

52. Abrams J. and Hanratty Т. J. 1985 Relaxation effects observed for turbulent flow over a wavy surface //J. Fluid Mech. V. 151. P. 443-455.

53. Benjamin Т. B. 1959 Shearing flow over a wavy boundary // J. Fluid Mech. V. 6, No. 2. P. 161-205.

54. Benjamin Т. B. 1962 The solitary wave on a stream with an arbitrary distribution of vorticity // J. Fluid Mech. V. 12, Pt 1. P. 97-116.

55. Burns J.C. 1953 Long waves in running water // Proc. Camb. Phil. Soc. V. 49, No. 4. P. 695-706.

56. Cauchy A. 1815 Theorie de la propagation des ondes a la surface d'un fluide pesant d'une profondeur indefinie // Oeuvres Completes d'Augustin Cauchy P. 5318.

57. Chang H. C., Demekhin E. A. and Kopelevich D. I. 1993 Nonlinear evolution of waves on a vertically falling film J. Fluid Mech. V. 250. P. 433-480.

58. Choi W. and Camassa R. 1999 Fully nonlinear internal waves in a two-fluid system // J.Fluid Mech. V. 396. P. 1-36.

59. Freeman N. C. and Johnson R. S. 1970 Shallow water waves on shallow flows // J. Fluid Mech. V. 42, Pt 2. P. 401-409.

60. Gardner C. S., Greene J. M., Kruskal M. D. and Miura R. M. 1967 Method for solving the Korteweg de Vries equation // Phys. Rev. Lett. V. 19.1. Р, 1095-1097.

61. Green А. Е. and Naghdi P. М. 1976 A derivation of equations for wave propagation in water of variable depth //J. Fluid Mech. V. 78, No. 2. P. 237246.

62. Grimshaw R., Pelinovsky E., and Poloukhina O. 2002 Higher-order Korteweg de Vries models for internal solitary waves in a stratified shear flow with free surface // Nonlin. Processes Geophys. V. 9, No. 3/4. P. 221-235.

63. Hooper A. P. and Grimshaw R. 1985 Nonlinear instability at the interface between two viscous fluids // Phys. Fluids. V. 28, No. 1. P. 37-45.

64. Hunt J. N. 1955 Gravity waves in flowing water // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. V. 231, No. 1187. P. 496-504.

65. Johnson R. S. 1996 A two-dimensional Boussinesq equation for water waves and some of its solutions //J. Fluid Mech. V. 323, P. 65-78.

66. Ng B. S. and Reid W.H. 1979 A numerical method for linear two-point boundary-value problems using compound matrices //J. Computational Phys. V. 33. P. 70.

67. Ng B. S. and Reid W.H. 1985 A numerical method for linear two-point boundary-value problems using compound matrices //J. Computational Phys. V. 58. P. 209.

68. Peregrine D. H. 1967 Long waves on a beach //J. Fluid Mech. V. 27, No. 4. P. 815-827.

69. Poisson S. 1816 Memorie sur la theorie des ondes // Mem. de L'Acad. roy. des Sciences. P. 272.

70. Rayleigh (Strutt J. W.) 1883 The form on standing waves on the surface of running water // Proc. bond. Math. Soc. V.15, P. 69-78.

71. Russel J. S 1845 Report on waves. London.

72. Stokes G. G. 1880 On the theory of oscillatory waves // Mathematical and physical papers. Cambridge P. 197-229.

73. Yiantsios S. G. 1988 Linear stability of plane Poiseuille flow of two superposedfluids // Phys. Fluids. Vol. 31, No. 11. P 3225-3238.

74. Yiantsios S. G. and Higgins B.G. 1988 Numerical solution of eigenvalue problems using the compound matrix method// J. Computational Phys. V. 74. P. 25-40.

75. Zabusky N. J. and Kruskal M. D. 1965 Interaction of solitons in a collision-less plasma and the recurrence of initial states // Phys. Rev. Lett. V. 15. P. 240243.