Моделирование динамических систем с интервальными параметрами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Морозов Александр Юрьевич

• Морозов Александр Юрьевич
• доктор наук
• 2024

Оглавление диссертации доктор наук Морозов Александр Юрьевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Интерполяционный подход к моделированию динамических систем с

интервальными параметрами. Алгоритм адаптивной интерполяции

1.1. Интервальная арифметика

1.2. Постановка задачи

1.3. Интерполяционный подход

1.4. Алгоритм адаптивной интерполяции

1.4.1. Практическая оценка погрешности интерполяции

1.4.2. Разбиение вершин kd-дерева

1.5. Построение внешней интервальной оценки параметрического множества решений

1.6. Теоретические аспекты алгоритма

1.7. Оценка сложности многомерной интерполяции

1.8. Оценка сложности алгоритма адаптивной интерполяции

1.9. Результаты

1.10. Выводы к главе

Глава 2. Вариант алгоритма адаптивной интерполяции на основе разложения в

тензорный поезд

2.1. Крестовая аппроксимация

2.2. Тензорный поезд и алгоритм TT-cross

2.3. Программная реализация и распараллеливание алгоритма TT-cross

2.4. Результаты применения параллельной реализации алгоритмов

2.5. Использование ^-разложения в алгоритме адаптивной интерполяции

2.6. Результаты

2.7. Выводы к главе

Глава 3. Вариант алгоритма адаптивной интерполяции на основе разреженных

сеток

3.1. Интерполяционный подход

3.2. Разреженные сетки с линейным базисом

3.3. Результаты применения разреженных сеток с линейным базисом

3.4. Разреженные сетки с нелинейным базисом

3.5. Результаты применения разреженных сеток с нелинейным базисом

3.6. Программная реализация и распараллеливание варианта алгоритма адаптивной интерполяции на основе разреженных сеток

3.6.1. Постановка задачи

3.6.2. Описание алгоритма

3.6.3. Распараллеливание и реализация

3.6.4. Результаты

3.7. Выводы к главе

Глава 4. Программная реализация классического варианта алгоритма

адаптивной интерполяции. Обзор и сравнение существующих методов и программных средств

4.1. Описание технологии CUDA

4.2. Постановка задачи

4.3. Распараллеливание и реализация

4.3.1. Структуры данных

4.3.2. Обновление узлов интерполяционных сеток

4.3.3. Вычисление погрешности интерполяции

4.3.4. Разбиение и удаление вершин

4.4. Результаты расчетов

4.5. Методы рядов Тейлора

4.5.1. Библиотека AWA

4.5.2. Библиотека VNODE-LP

4.6. Методы модели Тейлора

4.6.1. Библиотека COSY Infinity

4.6.2. Библиотека RiOT

4.6.3. Библиотека FlowStar

4.7. Сравнение методов и реализаций

4.8. Выводы к главе

Глава 5. Интервальный подход к параметрической идентификации динамических

систем. Алгоритм подвижного окна

5.1. Интервальная параметрическая идентификация в случае с точечными экспериментальными данными

5.1.1. Постановка задачи

5.1.2. Методы решения

5.1.3. Результаты

5.1.4. Обсуждение

5.2. Интервальная параметрическая идентификация на основе внешних интервальных оценок фазовых переменных

5.2.1. Постановка задачи

5.2.2. Методы решения

5.2.3. Результаты

5.3. Обобщение интерполяционного подхода на динамические системы с эллипсоидными оценками параметров

5.3.1. Постановка задачи

5.3.2. Описание интерполяционного подхода

5.3.3. Преобразования многомерного куба в многомерный шар

5.3.4. Результаты

5.4. Алгоритм подвижного окна для параметрической идентификации динамических систем с прямоугольными и эллипсоидными областями неопределенности параметров

5.4.1. Прямая задача

5.4.2. Интервальная задача параметрической идентификации

5.4.3. Построение целевой функции

5.4.4. Алгоритм подвижного окна

5.4.5. Построение окна

5.4.6. Результаты

5.5. Программная реализация и распараллеливание алгоритма интервальной параметрической идентификации в случае с точечными экспериментальными данными

5.5.1. Постановка задачи

5.5.2. Алгоритм параметрической идентификации

5.5.3. Распараллеливание и реализация

5.5.4. Результаты

5.6. Выводы к главе

Глава 6. Применение разработанных подходов для решения прикладных и

исследовательских задач с интервальными параметрами

6.1. Описание программного комплекса

6.2. Расчет интервального тензора напряжений материалов с ковалентной химической связью

6.3. Бифуркации и хаос

6.3.1. Осциллятор Ван дер Поля

6.3.2. Осциллятор Дуффинга

6.3.3. Аттрактор Лоренца

6.4. Моделирование движения астероида с интервальными неопределенностями в положении и скорости

6.5. Моделирование химических превращений с интервальными неопределенностями в константах скоростей реакций

6.6. Идентификация интервальных констант скоростей химической реакции окисления нафталина

6.7. Расчет неравновесных течений в сопле с учетом интервальных неопределенностей констант скоростей реакций

6.8. Алгоритмы численного решения дробно-дифференциальных уравнений с интервальными неопределенностями

6.8.1. Введение

6.8.2. Уравнение аномальной диффузии

6.8.3. Численное решение уравнения аномальной диффузии

6.8.4. Численное решение задачи параметрической идентификации уравнения аномальной диффузии

6.8.5. Результаты

6.9. Интервальные модели мемристоров

6.10. Выводы к главе

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование динамических систем с интервальными параметрами»

Введение

Актуальность темы. При решении различных прикладных и исследовательских задач часто возникают ситуации, когда какие-либо данные точно неизвестны, но есть информация о диапазонах, в которых находятся их значения. Для таких задач является актуальным получение интервальных оценок интересующих величин по известным исходным интервальным данным. Применительно к прямым задачам речь идет о нахождении интервальных оценок решения по интервальным значениям параметров, а применительно к обратным задачам — об определении интервальных оценок параметров, при которых соответствующее интервальное решение содержало бы в себе экспериментальные данные.

Традиционно подобные задачи формулируются в виде задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с интервальными параметрами, которые могут содержаться как в правой части системы, так и в начальных условиях.

Выполним обзор существующих работ, методов, подходов, а также программных комплексов, посвященных решению рассматриваемого класса задач (преимущественно прямых задач, так как обратные задачи, как правило, сводятся к ним).

Первая группа методов, представленных в работах И. М. Соболя [1], С. М. Ермакова, Г. А. Михайлова [2], Г. Крамера [3], В. М. Золотарева [4] и др., относится к методам типа Монте-Карло. Они заключаются в проведении многократных расчетов с использованием случайных значений параметров. Эти методы обладают рядом положительных свойств, таких как простота, возможность параллельного выполнения, и им достаточно представления правой части системы ОДУ в виде «черного ящика». Однако они имеют низкую скорость сходимости (квадратный корень из количества симуляций), требуют значительных вычислительных ресурсов и знания информации об исходном распределении значений.

К следующим группам отнесем методы, основанные на интервальных вычислениях. Идея интервальных оценок была использована еще Архимедом для определения числа п, но активное развитие этих методов началось в XX веке в работах R. C. Young [5], P. S. Dwyer [6], M. Warmus [7], T. Sunaga [8], R. E. Moore [9, 10], R. J. Lohner [11], E. Hansen [12], Г. Алефельда, Ю. Херцбергера [13], R. Krawczyk [14], K. Nickel [15-17], A. Neumaier [18], R. Rihm [19], G. F. Corliss [20] и др. В России интервальную математику развивали В. М. Брадис [21], Л. В. Канторович [22], Ю. И. Шокин [23, 24], Б. С. Добронец [25, 26], С. П. Шарый [27], А. Н. Рогалев [28-31], М. А. Посыпкин [32, 33] и др. Интервальные методы подвержены эффекту обертывания (эффекту Мура) [34, 35], который проявляется в неограниченном

увеличении ширины интервальных оценок решений. Этот эффект возникает из-за замены точной формы множества решений на более простую форму и зачастую приводит к экспоненциальному расхождению границ интервалов. Многие из существующих и разрабатываемых методов направлены на преодоление данного эффекта, включая [36].

Методы, относящиеся ко второй группе, базируются на рядах Тейлора и способны получать гарантированные оценки решений задачи Коши для систем ОДУ. Они не полностью исключают эффект обертывания. Основная концепция этих методов заключается в разложении решения в ряд Тейлора до определенного члена и в интервальном оценивании остаточного члена. Чтобы уменьшить эффект Мура, сохраняются линейные преобразования, которые были применены ко множеству решений в процессе расчетов. Эти методы включают метод Мура [9], QR-метод Лонера [11], метод параллелепипедов [37] и др. Они просты в использовании, не требуют больших вычислительных мощностей и эффективны в задачах с небольшими интервалами или слабыми проявлениями нелинейности. Существует несколько библиотек, в которых реализованы данные методы, например: AWA [20, 38], VNODE [39], ADIODES [40], VSNODE [41], VNODE-LP [42].

Библиотека VNODE-LP, разработанная N. S. Nedialkov в 2006 году на языке C++, является решателем интервальных систем ОДУ. Она является «продолжением» библиотеки VNODE (автор — N. S. Nedialkov, год создания — 2001). Одной из отличительных особенностей этого решателя является использование «грамотного программирования», концепции, введенной D. Knuth в 1984 году.

Библиотека VSNODE была разработана Y. Lin и M. A. Stadtherr на языке C++ в 2005 году. VSNODE по сравнению с VNODE расширяет последнюю и выполняет решение задач Коши с интервальными неопределенностями более эффективно.

Третья группа методов определяет явную зависимость решения задачи от точечных значений параметров из заданных интервалов. Она включает две подгруппы: символьные методы, которые используют символьные выражения, и полиномиальные методы, которые представляют решение в виде полинома от интервальных параметров.

К символьным методам относятся методы модели Тейлора, разработанные в Мичиганском университете M. Berz, K. Makino [43-47], M. Neher, K. R. Jackson, N. S. Nedialkov [48], P. S. V. Nataraj, S. Sondur [49] и др. Эти методы основаны на использовании модели Тейлора, которая представляет собой полином определенной степени с интервальным остатком. Модели Тейлора сочетают интервальную арифметику с символьными вычислениями и позволяют уменьшить эффект обертывания путем установления функциональных зависимостей между интервальными параметрами и решением. Операции с полиномами в модели Тейлора

осуществляются в рамках обычной математики, а интервальные вычисления используются при работе с остатком. Стоит отметить, что работа с полиномами выполняется медленнее, чем работа с интервалами [50]. Существует несколько библиотек, реализующих эти методы: COSY Infinity [51], RiOT [52], FlowStar [53, 54], verifyode [55] и др. Обычно ряды имеют ограниченную область сходимости, поэтому для решения задач с большими интервалами часто используются идеи разделения исходной области неопределенности на подобласти, представленные в работах K. Makino, M. Berz [56], M. Kletting, A. Rauh, H. Aschemann, E. P. Hofer [57].

Для уменьшения роста ширины интервального остатка в моделях Тейлора в работе [44] был предложен механизм shrink wrapping, заключающийся в замене одной модели Тейлора на другую, которая включает исходную, но при этом имеет нулевой остаточный член. В [58] предлагается версия shrink wrapping, которая приспособлена к задаче вычислительного доказательства существования периодических траекторий.

Профессор M. Berz и его команда разрабатывают библиотеку COSY Infinity в Мичиганском университете (последняя версия — 2022 год). Эта система предназначена для проведения современных научных вычислений и состоит из нескольких компонентов. В ней реализованы специальные типы данных, объектно-ориентированный язык программирования COSYScrip, ряд интерфейсов для ее использования в современных языках программирования, а также различные прикладные модули.

RiOT — это бесплатная программа для решения задачи Коши для систем ОДУ с интервальными неопределенностями (язык — C++, год разработки — 2008, место разработки — Технологический институт Карлсруэ, Германия). Однако исследования показали, что она может давать неточные результаты [59].

FlowStar — это библиотека для моделирования динамических систем с интервальными параметрами (язык — C++, год последней версии — 2017). Она состоит главным образом из двух модулей: вычислительной библиотеки и алгоритмов высокого уровня. Первый модуль включает реализации интервалов, интервальной арифметики и модели Тейлора, а второй модуль содержит методы, используемые в анализе достижимости.

Символьные методы, в том числе метод аппроксимации оператора сдвига вдоль траектории, представленный А. Н. Рогалевым [28-30], и методы модели Тейлора, представляют решение в виде символьного выражения относительно интервальных параметров. Эти методы имеют некоторые преимущества, такие как отсутствие или слабая подверженность эффекту обертывания и способность решать широкий класс задач. Однако они также характеризуются высокой вычислительной сложностью и трудностями при распараллеливании.

К подгруппе полиномиальных методов можно отнести метод, основанный на полиномиальной аппроксимации решения и представленный в работе [60]. Данный метод был успешно применен к задаче моделирования роторной системы как со случайными, так и с интервальными параметрами [61].

Для решения задач, обладающих определенными свойствами, в [62-64] представлены методы, позволяющие находить оптимальные оценки решений. Они основаны на анализе чувствительности, теоремах сравнения и интервальной математике и применимы только для определенных классов систем ОДУ.

Также существуют методы, которые приближают множество решений эллипсоидами, параллелепипедами или многогранниками [65, 66]. Они могут завышать оценки и обычно требуют, чтобы множество было выпуклым.

В общем случае определение явной зависимости между решением в каждый момент времени и точечными значениями параметров из заданных интервалов является ключевым подходом к устранению эффекта обертывания. Однако сложность таких методов экспоненциально зависит от количества интервальных неопределенностей, поэтому важно, чтобы они были хорошо распараллеливаемыми.

Обратные задачи играют важную роль в различных областях, включая аэрокосмическую отрасль [67], вычислительную астрофизику [68], электронику [69] и др. Они помогают определить закономерности на основе экспериментальных данных и построить математические модели. Задача параметрической идентификации возникает, когда модель физического процесса уже известна, но неизвестны ее параметры.

Одной из особенностей обратных задач является их частая некорректность. Это может проявляться в отсутствии решения, наличии более одного решения или сильной зависимости решения от погрешности входных данных.

Существуют работы, посвященные классическим обратным задачам [70-73]. В [74, 75] предлагаются методы определения коэффициентов для уравнений в частных производных, а в [76] определяется плотность тепловых источников для уравнения субдиффузии.

Методы восстановления зависимостей по интервальным данным подробно описаны в [22, 77-80]. Упомянем отдельно несколько работ. В сборнике [81] содержатся статьи по системной идентификации и обработке данных в условиях ограниченной, в частности интервальной неопределенности. В [82] и [83] рассматривается задача восстановления зависимостей по данным с интервальной неопределенностью. В [84] исследуется использование нейронных сетей для параметрической идентификации в обратных задачах теплопроводности с учетом интервальной неопределенности. В [85] предлагается структурно-параметрическая

идентификация динамических объектов по интервальным исходным данным. В [86] представлен итеративный интервальный метод для прогнозирования границ параметров модели при неопределенности в измеренных данных. В [87] описан оригинальный метод на основе метода Хука — Дживса для решения обратной задачи химической кинетики в условиях неопределенности исходных данных. В [88] выполняется разработка методов решения задач параметрической идентификации систем линейных уравнений и автономных систем дифференциальных уравнений на основе предельно допустимых оценок параметров в условиях неточности и неполноты экспериментальных данных.

Преимущество в использовании интервальных моделей в задачах параметрической идентификации заключается в том, что они дают коридор значений, который включает в себя экспериментальные данные, в отличие от классических моделей, которые аппроксимируют данные.

Зачастую существующие методы не всегда применимы к нелинейным задачам и не лишены свойства завышения получаемых интервальных оценок.

Исторически интервальные методы возникли для гарантированных вычислений, учитывающих погрешности вычислительных схем и ошибки округления на ЭВМ. Однако в современных задачах интервальные неопределенности зачастую являются частью постановки. При этом гарантированность вычислений отходит на второй план, если имеется возможность получать границы оценок решений с контролируемой точностью. Поэтому требуются методы, которые позволяют за приемлемое время находить интервальные оценки с контролируемой точностью, не подвержены эффекту обертывания, обладают высокой параллельностью, способны работать с нелинейными задачами и широкими интервалами.

Ранее соискателем был разработан и теоретически обоснован алгоритм адаптивной интерполяции [89-91], который предназначен для моделирования динамических систем с интервальными неопределенностями и удовлетворяет большинству вышеперечисленных требований. Данный алгоритм относится к полиномиальным методам, так как для каждого момента времени он получает кусочно-полиномиальную функцию, интерполирующую зависимость решения задачи от точечных значений интервальных параметров с заданной точностью. Для получения такой функции над множеством, образованным интервальными параметрами задачи, строится структурированная адаптивная сетка (адаптивное разбиение исходного множества на подобласти) [92]. Все ячейки сетки сгруппированы в kd-дереве. Каждая ячейка сетки соответствует определенной вершине дерева и содержит в себе регулярную интерполяционную сетку. Здесь в каждом узле находится вектор вещественных

значений фазовых переменных — состояние динамической системы, полученное при определенных параметрах из заданных интервалов.

Основная цель адаптивных сеток заключается в увеличении пространственного разрешения в областях, где происходят резкие изменения решения (в случае численного решения дифференциальных или интегральных уравнений [93]) или где расположение объектов на сцене становится более плотными (в случае компьютерной графики). В частности, в [94] представлен численный алгоритм для решения уравнений многокомпонентной газовой динамики с помощью разрывного метода Галеркина на локально-адаптивных сетках, а в [95] проведены расчеты обтекания модели высокоскоростного летательного аппарата с использованием неструктурных сеток. Существует множество вариантов сеток, и для интервальных данных, которые представляют собой многомерные прямоугольные параллелепипеды, используются ортогональные сетки. Для удобства организации ячеек применяются деревья, которые обеспечивают быструю работу с ячейками и естественную адаптацию.

Один шаг алгоритма адаптивной интерполяции включает два этапа. Сначала состояния динамической системы, находящиеся в узлах сеток, переносятся на следующий слой по времени. В случае если динамическая система задана в виде задачи Коши для системы ОДУ, то здесь используются классические численные методы, например методы Рунге — Кутты. На втором этапе происходит адаптивное перестроение разбиения исходной области неопределенности на подобласти (перестроение kd-дерева) с целью минимизации общей ошибки интерполяции.

Отметим, что с позиции разбиения области неопределенности на подобласти, алгоритм адаптивной интерполяции идеологически похож на декомпозицию доменной области моделей Тейлора, описанной в работе К. Макто и М. Веге [56]. Однако, так как здесь используются принципиально разные подходы к построению решения в каждой подобласти и в целом (в первом случае используется интерполяция, а во втором — модели Тейлора), различия уже начинают возникать на этапе практического оценивания необходимости разбиения области на подобласти. Кроме этого, в [56] речь идет о декомпозиции. Отличительной чертой алгоритма адаптивной интерполяции является использование kd-дерева для структуризации подобластей и выполнения адаптации (разбиений и объединений областей).

Алгоритм адаптивной интерполяции при всех своих достоинствах (универсальность, робастность, точность и возможность распараллеливания) обладает одним существенным недостатком: с увеличением количества интервальных параметров в задаче его сложность возрастает экспоненциально. Каждая интерполяционная сетка содержит (р + 1)т узлов, где

р — степень интерполяционного полинома по каждому измерению, а т — количество интервальных параметров. При значениях р = 4 и т = 20 количество узлов в сетке будет

порядка ста триллионов («1014), и использование алгоритма адаптивной интерполяции в этом случае становится затруднительным. Таким образом, вычислительная сложность алгоритма

Отметим, что аппарат исследования динамических систем достаточно широко развит [96-99] и обобщение его на динамические системы с интервальными параметрами представляет практический интерес.

В диссертации выполняется развитие и обобщение идей, на которых основан алгоритм адаптивной интерполяции, на случай большого количества интервальных параметров, а также выполняется разработка на их основе подходов и алгоритмов для параметрической идентификации динамических систем с интервальными параметрами.

Целью работы является разработка эффективных алгоритмов и их соответствующих программных реализаций для задач моделирования и параметрической идентификации динамических систем с интервальными параметрами. В диссертации были поставлены и решены следующие задачи:

1. Разработка и формализация интерполяционного подхода к решению задач моделирования динамических систем с интервальными параметрами.

2. Разработка алгоритма адаптивной интерполяции на основе разреженных сеток для решения задач моделирования динамических систем с небольшим и средним количеством интервальных параметров.

3. Разработка алгоритма адаптивной интерполяции на основе использования разложения в тензорный поезд (ТТ-разложения) для решения задач моделирования динамических систем с большим количеством интервальных параметров.

4. Разработка интервального подхода к решению задачи параметрической идентификации динамических систем на основе адаптивной интерполяции.

5. Разработка программного комплекса, включающего в себя реализацию предложенных алгоритмов решения задач моделирования и параметрической идентификации динамических систем с интервальными параметрами.

6. Сравнительный анализ различных вариантов алгоритма адаптивной интерполяции с доступными библиотеками программ гарантированных вычислений AWA, VNODE-LP, COSY Infinity, RiOT, FlowStar, Verifyode (INTLAB).

7. Решение ряда актуальных прикладных и исследовательских задач с интервальными параметрами из области вычислительного материаловедения, химической кинетики, небесной механики, микроэлектроники и других областей, включая задачи, содержащие дробно-дифференциальные уравнения с интервальными параметрами в показателях производных, с помощью предложенных подходов. Разработка соответствующих интервальных вычислительных моделей.

Методы исследования. Для исследования теоретических вопросов использовались: математический анализ, интервальный анализ, численные методы и теория дифференциальных уравнений. Для разработки программного комплекса и проведения вычислительных экспериментов использовались современные компьютерные технологии.

Научная новизна. В диссертационной работе получены новые результаты:

1. Разработан интерполяционный подход к решению задач моделирования динамических систем с интервальными параметрами.

2. Разработан алгоритм адаптивной интерполяции на основе разреженных сеток для решения задач моделирования динамических систем с небольшим и средним количеством интервальных параметров. Доказана теорема о зависимости глобальной погрешности алгоритма от уровня разреженной сетки.

3. Разработан алгоритм адаптивной интерполяции на основе использования разложения в тензорный поезд для решения задач моделирования динамических систем с большим количеством интервальных параметров.

4. Разработан интервальный метод решения задач параметрической идентификации динамических систем. Сформулированы постановки задач, в которых экспериментальные данные являются точечными и интервальными. Доказаны две теоремы: о ширине получаемых интервальных оценок параметров и о переходе от интервальных экспериментальных данных к точечным.

5. Разработан алгоритм подвижного окна для параметрической идентификации динамических систем с прямоугольными и эллипсоидными областями неопределенности параметров.

6. Построены интервальные вычислительные модели, которые позволяют решить ряд задач из области вычислительного материаловедения, химической кинетики, небесной механики, микроэлектроники и др.

Научная и практическая значимость работы состоит в том, что разработанные подходы и алгоритмы на их основе, а также созданный программный комплекс могут использоваться для решения ряда актуальных, практических и исследовательских задач из области

материаловедения, химической кинетики, газовой динамики, небесной механики и микроэлектроники, в том числе для решения задач, содержащих дробно-дифференциальные уравнения, и задач моделирования динамических систем, в которых имеют место бифуркации и динамический хаос.

Разработанный математический аппарат применен для решения задач вычислительного материаловеденья в рамках проекта 075-15-2020-799 Министерства науки и высшего образования Российской Федерации «Методы построения и моделирования сложных систем на основе интеллектуальных и суперкомпьютерных технологий, направленные на преодоление больших вызовов». Построен метод расчета интервального тензора напряжений материалов с ковалентной химической связью. Предложены методы моделирования и идентификации сложно структурированных систем, описываемых дробно-дифференциальными уравнениями.

Достоверность и обоснованность результатов, полученных в ходе диссертационной работы, обеспечивается строгостью математических постановок и выкладок, тестированием вычислительных алгоритмов и реализующего их программного обеспечения, согласованностью результатов проведенных вычислительных экспериментов с результатами, полученными с использованием других методов и программных комплексов, на представительном наборе как тестовых, так и прикладных задач.

Апробация результатов исследования. Основные результаты по теме работы были представлены и обсуждались на российских и международных научных конференциях и семинарах:

• Семинар «Вычислительные методы и математическое моделирование» им. Ю. П. Попова (ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, Москва, 2023);

• Всероссийский веб-семинар по интервальному анализу и его приложениям (Новосибирск, Барнаул, Томск, Красноярск, Москва и др., 2023);

• II Международный семинар «Вычислительные технологии и прикладная математика» (CTAM) (Благовещенск, 2023);

• XX, XXI, XXII, XXIII Международные конференции «Вычислительная механика и современные прикладные программные системы» (ВМСППС) (Алушта, 2017, 2019, 2021; Дивноморское, 2023);

• XII, XIII, XIV Международные конференции по прикладной математике и механике в аэрокосмической отрасли (NPNJ, AMMAI) (Алушта, 2018, 2020, 2022);

• 19th International symposium on scientific computing, computer arithmetic, and verified numerical computations (SCAN'2020) (Hungary, Szeged, 2021);

• Международная конференция «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики», посвященная памяти академика А. А. Самарского и приуроченная к 100-летию со дня его рождения (Москва, 2019);

• XXII Международная научно-практическая конференция, посвященная памяти генерального конструктора ракетно-космических систем академика М. Ф. Решетнева, «Решетневские чтения» (Красноярск, 2018);

• 15-я, 16-я, 19-я Международные конференции «Авиация и космонавтика» (Москва, 2016, 2017, 2020);

• XLIII, XLIV Международные молодежные научные конференции «Гагаринские чтения» (Москва, 2017, 2018);

• Международная научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов им. Е. В. Арменского (Москва, 2016).

• Школа молодых ученых «Микроэлектроника-2021» (Гурзуф, 2021).

Личный вклад автора заключается в разработке эффективных подходов и алгоритмов для решения задач моделирования и параметрической идентификации динамических систем с интервальными параметрами, формулировке и доказательстве сопутствующих утверждений и теорем, разработке соответствующего программного комплекса и в проведении вычислительных экспериментов с последующим анализом полученных результатов, в подготовке статей и докладов на конференциях. Положения диссертации, выносимые на защиту, получены соискателем самостоятельно.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 46 научных публикациях [36, 90, 91, 100-142], из них 1 рецензируемая монография, 7 публикаций в рецензируемых научных изданиях из Перечня ВАК, в том числе 6 в изданиях, отнесенных к категории К-2, 14 публикаций в изданиях, индексируемых в БД Scopus или Web of Science. В рамках работы по диссертации получено 2 свидетельства о регистрации программы для ЭВМ.

Личный вклад автора в совместных публикациях. Многие опубликованные работы выполнены в соавторстве. Однако все результаты, представленные для защиты, были получены соискателем лично. В совместных публикациях соискатель отвечал за разработку подходов, вычислительных алгоритмов, программного кода и проведение вычислительных экспериментов. В общих публикациях с научным консультантом Д. Л. Ревизниковым роль последнего заключалась в выборе направления исследований, участии в постановке прикладных задач и совместном с соискателем анализе полученных результатов. В работах [91, 107] В. Ю. Гидаспову принадлежит неинтервальная постановка задачи моделирования реакции горения водородно-кислородной смеси и неинтервальная постановка задачи

моделирования неравновесного течения в сопле ракетного двигателя, а также помощь при отладке программных кодов, реализующих соответствующие решатели неинтервальных задач. В рамках работы [110] Н. С. Капралов совместно с соискателем выполнял написание и отладку программного кода, реализующего алгоритм построения разложения в тензорный поезд, а С. П. Никулин занимался подбором тестовых задач. В работах [102, 104] А. А. Журавлев выполнял неинтервальную постановку задачи моделирования деформации идеального кристалла и программную реализацию ее решателя. В работах [111, 112] К. К. Абгарян принадлежит общая концепция использования мемристивных элементов при разработке нейроморфных систем. В статьях [91, 102, 104, 107, 111, 112] соискатель выполнял постановку соответствующих интервальных задач и численное их решение с использованием разработанных им подходов и алгоритмов.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Морозов Александр Юрьевич, 2024 год

Литература

1. Соболь И. М. Метод Монте-Карло. М.: Наука, 1978.

2. Ермаков С. М., Михайлов Г. А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982.

3. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975.

4. Золотарев В. М. Общая теория перемножения независимых случайных величин // Доклады АН СССР. 1962. Т. 142. № 4. С. 788-791.

5. Young R. C. The algebra of many-valued quantities // Mathematische Annalen. Vol. 104. 1931. P. 260-290.

6. Dwyer P. S. Linear Computations. New York: John Wiley & Sons, 1951.

7. Warmus M. Calculus of Approximations // Bulletin de l'Academie Polonaise de Sciences. 1956. Vol. 4. № 5. P. 253-259.

8. Sunaga T. Theory of an Interval Algebra and its Application to Numerical Analysis // RAAG Memoirs. 1958. Vol. 2. P. 547-564.

9. Moore R. E. Interval Analysis. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1966.

10. Moore R. E., Kearfott R. B., Cloud M. J. Introduction to Interval Analysis. SIAM. 2009. P. 223.

11. Lohner R. J. Enclosing the solutions of ordinary initial and boundary value problems // Computer Arithmetic: Scientific Computation and Programming Languages. 1987. P. 255-286.

12. Hansen E. Interval Arithmetic in Matrix Computations Part I // SIAM Journal on Numerical Analysis. 1965. Vol. 2. № 2. P. 308-320.

13. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. М.: Мир, 1987.

14. Krawczyk R. Newton-Algorithmen zur Bestimmung von Nullstellen mit Fehlerschranken // Computing. 1969. Vol. 4. № 3. P. 187-201.

15. Nickel K. Über die Notwendigkeit einer Fehlerschranken-Arithmetic für Rechenautomaten // Numerische Mathematik. 1966. Vol. 9. № 1. P. 69-79.

16. Nickel K. Interval Mathematics, ed, Academic Press, New York, London, Toronto, 1980.

17. Nickel K. Interval Mathematics, ed, Lect. Notes Comp. Sci., V. 29, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 1975.

18. Neumaier A. Interval Methods for Systems and Equations. Cambridge: Cambridge University Press, 1990.

19. Rihm R. Interval methods for initial value problems in odes // Topics in validated computations. 1994. Ed.: J. Herzberger. P. 173-208.

20. Corliss G. F. Where is validated ODE solving going? // Mathematical Research. 1996. Vol. 89. Akademic Verlag Berlin.

21. Брадис В. М. Теория и практика вычислений. Пособие для высших педагогических учебных заведений. М.: Учпедгиз, 1937.

22. Канторович Л. В. О некоторых новых подходах к вычислительным методам и обработке наблюдений // Сибирский математический журнал. 1962. Т. 3. № 5. С. 701-709.

23. Калмыков С. А., Шокин Ю. И., Юлдашев З. Х. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука, 1986.

24. Шокин Ю. И. Интервальный анализ. М.: Наука, 1981.

25. Добронец Б. С., Попова О. А. Численный вероятностный анализ неопределенных данных. Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2014. 168 с.

26. Добронец Б. С. Интервальная математика. Красноярск: Красноярский государственный университет, 2007.

27. Шарый С. П. Конечномерный интервальный анализ. Новосибирск: XYZ, 2017.

28. Рогалев А. Н. Гарантированные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе преобразования символьных формул // Вычислительные технологии. 2003. Т. 8. № 5. С. 102-116.

29. Рогалев А. Н. Вопросы реализации гарантированных методов включения выживающих траекторий управляемых систем // Сибирский журнал науки и технологий. 2011. № 2(35). С. 54-58.

30. Рогалев А. Н. Исследование и оценка решений обыкновенных дифференциальных уравнений интервально-символьными методами // Вычислительные технологии. 1999. Т. 4. № 4. С. 51-75.

31. Rogalev A. N., Rogalev A. A. Estimates of the accuracy of numerical solutions using regularization // Journal of Physics: Conference Series. 2020. 1441(1). 012165.

32. Маминов А.Д., Посыпкин М.А. Разработка библиотеки интервальной арифметики на языке Python // Системы компьютерной математики и их приложения, 2020. № 21. С. 166171

33. Posypkin M., Usov A. Implementation and verification of global optimization benchmark problems // Open Engineering. — 2017. — Т. 7, № 1. — С. 470—478.

34. Nickel K. How to fight the wrapping effect // Interval Mathematics. 1985. Springer Berlin Heidelberg. P. 121-132.

35. Neumaier A. The wrapping effect, ellipsoid arithmetic, stability and confidence regions // Validation Numerics: Theory and Applications. 1993. Springer Vienna. P. 175-190.

36. Морозов А. Ю., Ревизников Д. Л. Модификация методов решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с интервальными параметрами // Труды МАИ. 2016. № 89. С. 1-20. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=73407. (K-2)

37. Eijgenraam P. The Solution of Initial Value Problems Using Interval Arithmetic: Formulation and Analysis of an Algorithm. Amsterdam : Mathematisch Centrum, 1981. P. 185.

38. Lohner R. J. Einschließung der Losung gewohnlicher Anfangs- und Randwertaufgaben und Anwendungen. PhD thesis, Universitat Karlsruhe, 1988.

39. Nedialkov N. S., Jackson K. R., Pryce J. D. An effective high-order interval method for validating existence and uniqueness of the solution of an IVP for an ODE // Reliable Computing. 2001. Vol. 7. № 6. P. 449-465.

40. Stauning O. Automatic Validation of Numerical Solutions. PhD thesis, Technical University of Denmark, 1997.

41. Lin Y., Stadtherr M. A. Validated solutions of initial value problems for parametric ODEs // Applied Numerical Mathematics. 2007. Vol. 57. № 10. P. 1145-1162.

42. Nedialkov N. S. VNODE-LP — a validated solver for initial value problems in ordinary differential equations. Technical Report CAS-06-06-NN, Department of Computing and Software, McMaster University, 2006.

43. Berz M., Makino K. Verified integration of ODEs and flows with differential algebraic methods on Taylor models // Reliable Computing. 1998. Vol. 4. № 4. P. 361-369.

44. Berz M., Makino K. Suppression of the wrapping effect by Taylor model-based verified integrators: long-term stabilization by shrink wrapping // Differential Equations and Applications. 2005. Vol. 10. № 4. P. 385-403.

45. Makino K., Berz M. Efficient control of the dependency problem based on Taylor model methods // Reliable Computing. 1999. Vol. 5. № 1. P. 3-12.

46. Makino K., Berz M. Taylor models and other validated functional inclusion methods // Pure and Applied Mathematics. 2003. Vol. 4. № 4. P. 379-456.

47. Makino K., Berz M. Verified Computations Using Taylor Models and Their Applications // Numerical Software Verification 2017: conference proceedings. (Heidelberg, Germany, July 2223, 2017). Springer International Publishing AG 2017. P. 3-13.

48. Neher M., Jackson K. R., Nedialkov N. S. On Taylor Model Based Integration of ODEs // SIAM Journal on Numerical Analysis. 2007. Vol. 45. № 1. P. 236-262.

49. Nataraj P. S. V., Sondur S. The Extrapolated Taylor Model // Reliable Computing. 2011. Vol. 15. P. 251-278.

50. Позин А. В. Обзор методов и инструментальных средств решения задачи Коши для ОДУ с гарантированной оценкой погрешности // Международная конференция «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», 30 мая -4 июня 2011 г. Новосибирск. Тезисы. ИВТ СО РАН, 2011.

51. Berz M. COSY INFINITY version 8 reference manual. Technical Report MSUCL-1088, National Superconducting Cyclotron Lab., Michigan State Universitz, 1997.

52. Eble I. Über Taylor-Modelle: Dissertation zur erlangung des akademischen grades eines doktors der naturwissenschaften, Karlsruhe Institute of Technology, 2007.

53. Chen X., Sankaranarayanan S. Decomposed Reachability Analysis for Nonlinear Systems // 2016 IEEE Real-Time Systems Symposium (RTSS): conference proceedings. (Porto, Portugal, 29 Nov.-2 Dec. 2016). P. 13-24.

54. Chen X., Abraham E., Sankaranarayanan S. FLOW*: An Analyzer for Non-linear Hybrid Systems // Proceedings of the 25th International Conference on Computer Aided Verification. (Saint Petersburg, Russia, July 13-19, 2013), Springer-Verlag New York. Vol. 8044. P. 258263.

55. Rump S. M. INTLAB — INTerval LABoratory. In Tibor Csendes, editor, Developments in Reliable Computing, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999. P. 77-104.

56. Makino K., Berz M. Rigorous Reachability Analysis and Domain Decomposition of Taylor Models // Numerical Software Verification 2017: conference proceedings. (Heidelberg, Germany, July 22-23, 2017). Springer International Publishing AG 2017. P. 90-97.

57. Kletting M., Rauh A., Aschemann H., Hofer E. P. Consistency tests in guaranteed simulation of nonlinear uncertain systems with application to an activated sludge process // Computational and Applied Mathematics. 2007. Vol. 199. № 2. P. 213-219.

58. Евстигнеев Н.М., Рябков О.И., Шульмин Д.А. Об использовании стягивающего обрамления интервальных моделей Тейлора в алгоритмах вычислительного доказательства существования периодических траекторий в системах обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения, 2021, том 57, № 3, с. 411427, DOI: 10.31857/S0374064121030110.

59. Bünger F. Shrink wrapping for Taylor models revisited // Numerical Algorithms. 2018. № 4. P. 1-18.

60. Fu C., Ren X., Yang Y.-F., Lu K., Qin W. Steady-state response analysis of cracked rotors with uncertain but bounded parameters using a polynomial surrogate method. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 2019. 68. P. 240-256. DOI: 10.1016/j.cnsns.2018.08.004.

61. Fu C., Xu Y., Yang Y., Lu K., Gu F., Ball A. Response analysis of an accelerating unbalanced rotating system with both random and interval variables. J. Sound Vib. 2020. 466. 115047. DOI: 10.1016/j.jsv.2019.115047.

62. Dobronets B. S. On some two-sided methods for solving systems of ordinary differential equations // Interval Computation. 1992. Vol. 1. № 3. P. 6-19.

63. Добронец Б. С., Рощина Е. Л. Приложения интервального анализа чувствительности // Вычислительные технологии. 2002. Т. 7. № 1. С. 75-82.

64. Некрасов С. А. Эффективные двусторонние методы для решения задачи Коши в случае больших промежутков интегрирования // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39. № 7. С. 969-973.

65. Черноусько Ф. Л. Оценивание фазовых состояний динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: Наука, 1988. 319 с.

66. Kurzhanski А. В., Vdlyi I. Ellipsoidal Calculus for Estimation and Control. SCFA. Boston, 1997.

67. Nenarokomov A. V., Alifanov O. M., Krainova I. V., Titov D. M., Morzhukhina A. V. Estimation of environmental influence on spacecraft materials radiative properties by inverse problems technique // Acta Astronautica. 2019. Vol. 160. P. 323-330. DOI: 10.1016/j.actaastro.2019.04.014.

68. Кабанихин С. И., Куликов И. М., Шишленин М. А. Алгоритм восстановления характеристик начального состояния сверхновой звезды // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2020. Т. 60. № 6. С. 1035-1044. DOI: 10.31857/S0044466920060137.

69. Абгарян К. К., Носков Р. Г., Ревизников Д. Л. Обратная коэффициентная задача теплопереноса в слоистых наноструктурах // Известия высших учебных заведений. Материалы электронной техники. 2017. Т. 20. № 3. С. 213-219. DOI: 10.17073/1609-35772017-3-213-219

70. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. Учеб. пособие. М.: Изд-во ЛКИ, 2009. 480 с.

71. Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач. Учеб. пособие. М.: Изд-во МГУ, 1994. 208 с.

72. Марчук Г. И. Сопряженные уравнения и анализ сложных систем. М.: Наука, 1992. 335 с.

73. Ватульян А. О. Математические модели и обратные задачи // Соросовский образовательный журнал. 1998. № 11. С. 143-148.

74. Денисов А. М. Итерационный метод решения обратной коэффициентной задачи для гиперболического уравнения // Дифференциальные уравнения. 2017. Т. 53. № 7. С. 943. DOI: 10.1134/S0374064117070081.

75. Гаврилов С. В., Денисов А. М. Численные методы решения нелинейного операторного уравнения, возникающего в обратной коэффициентной задаче // Дифференциальные уравнения. 2021. Т. 57. № 7. С. 900-906. DOI: 10.31857/S0374064121070049.

76. Ашуров Р. Р., Мухиддинова А. Т. Обратная задача по определению плотности тепловых источников для уравнения субдиффузии // Дифференциальные уравнения. 2020. Т. 56. № 12. С. 1596-1609. DOI: 10.1134/S0374064120120043.

77. Баженов А. Н., Жилин С. И., Кумков С. И., Шарый С. П. Обработка и анализ данных с интервальной неопределенностью. Рукопись книги. Новосибирск, 2022.

78. Жолен Л., Кифер М., Дидри О., Вальтер Э. Прикладной интервальный анализ. М.; Ижевск: Изд-во «РХД», 2007.

79. Оскорбин Н. М. Некоторые задачи обработки информации в управляемых системах // Синтез и проектирование многоуровневых иерархических систем. Материалы конференции. Барнаул: Алтайский государственный университет, 1983. С. 64-70.

80. Merkuryev Yu. A. Identification of objects with unknown bounded disturbances // International Journal of Control. 1989. Vol. 50. № 6. P. 2333-2340. DOI: 10.1080/00207178908953501.

81. Milanese M., Norton J., Piet-Lahanier H., Walter E., eds. Bounding Approaches to System Identification. New York: Plenum Press, 1996.

82. Шарый С. П. Восстановление функциональных зависимостей по данным с интервальной неопределенностью // Информатика и системы управления. 2022. № 3(73). С. 130-143. DOI: 10.22250/18142400_2022_73_3_130.

83. Шарый С. П. Задача восстановления зависимостей по данным с интервальной неопределенностью // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2020. Т. 86. № 1. С. 62-74. DOI: 10.26896/1028-6861-2020-86-1-62-74.

84. Дилигенская А. Н., Самокиш А. В. Параметрическая идентификация в обратных задачах теплопроводности в условиях интервальной неопределенности на основе нейронных сетей // Вестник Самарского государственного технического университета. 2020. Т. 28. № 4(68). С. 6-18.

85. Петрикевич Я. И. Структурно-параметрическая идентификация динамических объектов по интервальным исходным данным: дис. ... канд. техн. наук: 05.13.18. М.: Кемеровский государственный университет, 2006. 225 с.

86. Xiao N., Fedele F., Muhanna R. L. Inverse Problems Under Uncertainties-An Interval Solution for the Beam Finite Element // Conference Paper: 11th International Conference on Structural Safety & ReliabilityAt: New York, NY, USA, 2013. DOI: 10.1201/b16387-430 (https://www.researchgate.net/publication/269518192).

87. Мифтахов Э. Н., Зигангирова Д. Р., Мустафина С. А., Морозкин Н. Д. Алгоритм решения обратной задачи химической кинетики в условиях неопределенности исходных данных // Вестник технологического университета. 2020. Т. 23. № 11. С. 101-105.

88. Кантор О. Г. Предельно допустимые оценки в задачах параметрической идентификации математических моделей: дис. ... д-ра физ.-мат. наук: 05.13.18. М.: ФГБОУ ВО «Уфимский государственный нефтяной технический университет», 2020. 272 с.

89. Морозов А. Ю. Алгоритмы адаптивной интерполяции для моделирования динамических систем с интервальными параметрами: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18. М.: Московский авиационный институт, 2018. 130 с.

90. Морозов А. Ю., Ревизников Д. Л. Алгоритм адаптивной интерполяции на основе kd-дерева для численного интегрирования систем ОДУ с интервальными начальными условиями // Дифференциальные уравнения. 2018. Т. 54. № 7. С. 963-974. DOI: 10.1134/S0374064118070130. (WoS, Scopus)

91. Морозов А. Ю., Ревизников Д. Л., Гидаспов В. Ю. Алгоритм адаптивной интерполяции на основе kd-дерева для решения задач химической кинетики с интервальными параметрами // Математическое моделирование. 2018. Т. 30. № 12. С. 129-144. DOI: 10.31857/S023408790001940-8. (Scopus)

92. Berger M. J., Colella P. Local adaptive mesh refinement for shock hydrodynamics // J. Comput. Phys. 1989. Vol. 82, Issue 1. P. 64-84.

93. Мартыненко С. И. Многосеточная технология: теория и приложения. M.: Физматлит, 2015. 170 c.

94. Жалнин Р. В., Масягин В. Ф., Пескова Е. Е., Тишкин В. Ф. Моделирование развития неустойчивости Рихтмайера — Мешкова с использованием разрывного метода Галеркина на локально-адаптивных сетках // Математическое моделирование. 2020. Т. 32. № 10. С. 34-46. DOI: 10.20948/mm-2020-10-03.

95. Луцкий А. Е., Северин А. В., Ханхасаева Я. В. Расчет высокоскоростных течений на основе гиперболической квазигазодинамической системы // Математическое моделирование. 2022. Т. 34. № 2. С. 17-31. DOI: 10.20948/mm-2022-02-02.

96. Павлов Б. М., Новиков М. Д. Автоматизированный практикум по нелинейной динамике (синергетике). Диалог МГУ МГУ, ВМК, 2000. 115 с.

97. Красильников П. С. Прикладные методы исследования нелинейных колебаний. М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2015. 528 с.

98. Рыбаков К. А., Рыбин В. В. Моделирование распределенных и дробно-распределенных процессов и систем управления спектральным методом. М.: Изд-во МАИ, 2016. 160 с.

99. Пантелеев А. В., Рыбаков К. А. Прикладной вероятностный анализ нелинейных систем управления спектральным методом. М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2010. 160 с.

100. Morozov A. Yu., Reviznikov D. L. Modelling of Dynamic Systems with Interval Parameters on Graphic Processors // Programmnaya Ingeneria. 2019. Vol. 10. № 2. P. 69-76. DOI: 10.17587/prin.10.69-76. (K-2)

101. Morozov A. Yu., Reviznikov D. L. Modeling of Dynamic Systems with Interval Parameters in the Presence of Singularities // Russian Journal of Nonlinear Dynamics. 2020. Vol. 16. № 3. P. 479-490. DOI: 10.20537/nd200306. (Scopus)

102. Морозов А. Ю., Журавлев А. А., Ревизников Д. Л. Анализ и оптимизация алгоритма адаптивной интерполяции численного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений с интервальными параметрами // Дифференциальные уравнения. 2020. Т. 56. № 7. С. 960-974. DOI: 10.1134/S0374064120070122. (WoS, Scopus)

103. Morozov A. Yu., Reviznikov D. L. Adaptive Interpolation, TT-Decomposition and Sparse Grids for Modeling Dynamic Systems with Interval Parameters. Chapter 19 in book Applied Mathematics and Computational Mechanics for Smart Applications. Proceedings of AMMAI 2020. Smart Innovation, Systems and Technologies. 2021. Vol. 217. Springer. P. 271-286. DOI: 10.1007/978-981 -33-4826-4_19. (Scopus)

104. Morozov A. Yu., Zhuravlev A. A., Reviznikov D. L. Sparse Grid Adaptive Interpolation in Problems of Modeling Dynamic Systems with Interval Parameters // Mathematics. 2021. Vol. 9. № 4. Article 298. DOI: 10.3390/math9040298. (WoS, Scopus)

105. Морозов А. Ю., Ревизников Д. Л. Алгоритм адаптивной интерполяции на разреженных сетках для численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений с интервальными неопределенностями // Дифференциальные уравнения. 2021. Т. 57. № 7. С. 976-987. DOI: 10.31857/S0374064121070104. (WoS, Scopus)

106. Морозов А. Ю. Параллельный алгоритм адаптивной интерполяции на основе разреженных сеток для моделирования динамических систем с интервальными параметрами // Программная инженерия. 2021. Т. 12. № 8. С. 395-403. DOI: 10.17587/prin. 12 .395-403. (K-2, RSCI)

107. Гидаспов В. Ю., Морозов А. Ю., Ревизников Д. Л. Алгоритм адаптивной интерполяции с использованием TT-разложения для моделирования динамических систем с

интервальными параметрами // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2021. Т. 6. № 9. С. 1416-1430. DOI: 10.31857/S0044466921090106. (WoS, Scopus)

108. Морозов А. Ю., Ревизников Д. Л. Интервальный подход к решению задач параметрической идентификации динамических систем // Дифференциальные уравнения. 2022. Т. 58. № 7. С. 962-976. DOI: 10.31857/S0374064122070081. (WoS, Scopus)

109. Морозов А. Ю. Параллельный алгоритм параметрической идентификации динамических систем с интервальными параметрами // Программная инженерия. 2022. Т. 13. № 10. С. 497-507. DOI: 10.17587/prin.13.497-507. (K-2, RSCI)

110. Капралов Н. С., Морозов А. Ю., Никулин С. П. Параллельная аппроксимация многомерных тензоров с использованием графических процессоров // Программная инженерия. 2022. Т. 13. № 2. С. 94-101. DOI: 10.17587/prin. 13.94-101. (Scopus)

111. Morozov A. Yu., Abgaryan K. K., Reviznikov D. L. Interval Model of a Memristor Crossbar Network // Physica status solidi (b). 2022. Vol. 269. № 11. 2200150. DOI: 10.1002/pssb.202200150. (WoS, Scopus)

112. Морозов А. Ю., Абгарян К. К., Ревизников Д. Л. Имитационное моделирование аналоговой импульсной нейронной сети на основе мемристорного кроссбара с использованием параллельных вычислительных технологи // Известия высших учебных заведений. Материалы электронной техники. 2022. Т. 25. № 4. С. 288-297. DOI: 10.17073/1609-3577-2022-4-288-297. (Scopus)

113. Морозов А. Ю. Алгоритм адаптивной интерполяции для решения задач небесной механики с интервальными неопределенностями // Труды МАИ. 2022. № 123. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=165501. DOI: 10.34759/trd-2022-123-24. (K-2)

114. Морозов А. Ю. Интерполяционный подход в задачах моделирования динамических систем с эллипсоидными оценками параметров // Труды МАИ. 2022. № 124. URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=167168. DOI: 10.34759/trd-2022-124-24. (K-2)

115. Морозов А. Ю., Ревизников Д. Л. Алгоритм подвижного окна для параметрической идентификации динамических систем с прямоугольными и эллипсоидными областями неопределенности параметров // Дифференциальные уравнения. 2023. Т. 59. № 6. С. 814827. DOI: 10.31857/S0374064123060110. (WoS, Scopus)

116. Морозов А. Ю. Идентификация интервальных констант скоростей химической реакции окисления нафталина // Моделирование и анализ данных. 2023. Т. 13. № 3. С. 66-78. DOI: 10.17759/mda.2023130305.

117. Morozov A. Yu., Reviznikov D. L. Adaptive sparse grids with nonlinear basis in interval problems for dynamical systems // Computation. 2023. Vol. 11. № 8. Article 149. DOI: 10.3390/computation11080149. (WoS, Scopus)

118. Морозов А. Ю., Ревизников Д. Л. Моделирование динамических систем с интервальными параметрами. Обзор методов и программных средств // Моделирование и анализ данных. 2019. Т. 9. № 4. С. 5-31. DOI: 10.17759/mda.2019090401.

119. Морозов А. Ю. Уменьшение эффекта обертывания в методах рядов Тейлора решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с интервальными начальными условиями // Международная научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов им. Е.В. Арменского. Материалы конференции. - М.: МИЭМ НИУ ВШЭ, 2016. С. 14-15.

120. Морозов А. Ю., Ревизников Д. Л. Учет интервального характера начальных условий при моделировании динамических систем // 15-я Международная конференция «Авиация и космонавтика - 2016», 14-18 ноября 2016 г. Москва. Тезисы. - Типография «Люксор»,

2016. С. 541-542.

121. Морозов А. Ю. Интерполяционный подход к задачам моделирования динамических систем с интервальными параметрами // Гагаринские чтения - 2017: XLIII Международная молодежная научная конференция: Сб. тезисов докладов. - М.: Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет),

2017. С. 1015.

122. Морозов А. Ю., Ревизников Д. Л., Гидаспов В. Ю. Применение адаптивной интерполяции в задачах моделирования динамических систем с интервальными параметрами // Материалы ХХ Юбилейной международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным системам (ВМСППС'2017). - М.: МАИ-Принт, 2017. С. 90-92.

123. Морозов А. Ю., Сергеева Т. С. Использование графических процессоров в задачах моделирования динамических систем с интервальными параметрами // 16-я Международная конференция «Авиация и космонавтика - 2017», 20-24 ноября 2017 г. Москва. Тезисы. - Типография «Люксор», 2017. С. 401.

124. Морозов А. Ю. Динамические структурированные сетки на основе kd-деревьев в задачах интегрирования систем ОДУ с интервальными начальными условиями // Гагаринские чтения - 2018: XLIV Международная молодежная научная конференция: Сб. тезисов докладов. Т. 2. - М.: Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), 2018. С. 372.

125. Сергеева Т. С., Морозов А. Ю. Использование графических процессоров в задачах интегрирования систем ОДУ с интервальными данными // Гагаринские чтения - 2018: XLIV Международная молодежная научная конференция: Сб. тезисов докладов. Т. 2. -М.: Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет),

2018. С. 383-384.

126. Сергеева Т. С., Морозов А. Ю. Использование графических процессоров в задачах интегрирования систем ОДУ с интервальными начальными условиями // Материалы XII Международной конференции по прикладной математике и механике в аэрокосмической отрасли (NPNJ'2018), 24-31 мая 2018 г., Алушта. - М.: Изд-во МАИ, 2018. С. 659-661.

127. Морозов А. Ю., Ревизников Д. Л., Гидаспов В. Ю. Алгоритм адаптивной интерполяции на основе kd-дерева для моделирования химических неравновесных течений с неопределенностями в константах скоростей реакций // Материалы XII Международной конференции по прикладной математике и механике в аэрокосмической отрасли (NPNJ'2018), 24-31 мая 2018 г., Алушта. - М.: Изд-во МАИ, 2018. 768 с.: ил. С. 66-68.

128. Морозов А. Ю., Ревизников Д. Л. Алгоритм адаптивной интерполяции для моделирования динамических систем с интервальными параметрами // Материалы XXII Междунар. науч.-практ. конф., посвящ. памяти генерального конструктора ракетно-космических систем академика М. Ф. Решетнева (12-16 нояб. 2018, г. Красноярск): в 2 ч. / под общ. ред. Ю. Ю. Логинова, СибГУ им. М. Ф. Решетнева. - Красноярск, 2018. Ч. 2. С. 143-145.

129. Морозов А. Ю., Ревизников Д. Л. Использование алгоритма адаптивной интерполяции для идентификации особенностей в динамических системах // Материалы XXI Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2019), 24-31 мая 2019 г., Алушта. — М.: Изд-во МАИ,

2019. C. 95-97.

130. Морозов А. Ю., Ревизников Д. Л. Алгоритм адаптивной интерполяции с TT -разложением для моделирования динамических систем с интервальными параметрами // Современные проблемы вычислительной математики и математической физики: Международная конференция, Москва, МГУ имени М. В. Ломоносова, 18-20 июня 2019 г.: Тезисы докладов. - М.: Издательский отдел факультета ВМК МГУ имени М.В.Ломоносова, 2019, С. 116-117.

131. Морозов А. Ю., Ревизников Д. Л. Алгоритм адаптивной интерполяции и тензорные разложения в задачах моделирования динамических систем с интервальными параметрами // Материалы XIII Международной конференции по прикладной математике

и механике в аэрокосмической отрасли (AMMAI'2020), 6-13 сентября 2020 г., Алушта.— М.: Изд-во МАИ, 2020, С. 535-537.

132. Морозов А. Ю., Ревизников Д. Л. Технология NVIDIA CUDA в задачах моделирования динамических систем с интервальными параметрами // 19-я Международная конференция «Авиация и космонавтика». 23-27 ноября 2020 года. Москва. Тезисы. - М.: Издательство «Перо», 2020, С. 580-581.

133. Морозов А. Ю., Ревизников Д. Л. Алгоритм адаптивной интерполяции на основе разреженных сеток для моделирования динамических систем с интервальными параметрами // Материалы XXII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2021), 4-13 сентября 2021 г., г. Алушта. — М.: Изд-во МАИ, 2021. С. 68-70.

134. Морозов А. Ю., Абгарян К. К., Ревизников Д. Л. Интервальный подход к задаче моделирования мемристивных элементов // Наноиндустрия. Спецвыпуск 2021 (7s, том 14 (107)). Российский форум «Микроэлектроника-2021» 7-я Научная конференция «Электронная компонентная база и микроэлектронные модули». Сборник тезисов. Республика Крым, г. Алушта, 03-09 октября 2021 г. c. 783-785.

135. Morozov A. Yu., Reviznikov D. L. Kd-tree based adaptive interpolation algorithm for modeling dynamic systems with interval parameters // The 19th international symposium on scientific computing, computer arithmetic, and verified numerical computations (SCAN'2020), September 13 - September 15, 2021, Szeged, Hungary. Institute of Informatics, University of Szeged. P. 55-56.

136. Морозов А. Ю., Ревизников Д. Л. Параметрическая идентификация динамических систем с интервальными параметрами // Материалы XIV Международной конференции по прикладной математике и механике в аэрокосмической отрасли (AMMAI'2022), 4-13 сентября 2022 г., Алушта. — М.: Изд-во МАИ, 2022. С. 346-348.

137. Морозов А. Ю., Ревизников Д. Л. Интерполяционный подход к решению дробно-дифференциальных уравнений с интервальными порядками производных // Вычислительные технологии и прикладная математика : Материалы II Международного семинара (12-16 июня 2023 г., Благовещенск) / отв. ред. А. Г. Масловская. - Благовещенск : Изд.-во Амурского гос. университета, 2023. С. 147-149.

138. Морозов А. Ю., Ревизников Д. Л. Идентификация порядков производных дробно-дифференциальных уравнений в интервальной постановке // Вычислительные технологии и прикладная математика: Материалы II Международного семинара (12-16 июня 2023 г.,

Благовещенск) / отв. ред. А. Г. Масловская. - Благовещенск: Изд.-во Амурского гос. университета, 2023. С. 144-146.

139. Морозов А. Ю., Ревизников Д. Л. Алгоритм подвижного окна для параметрической идентификации динамических систем с интервальными параметрами // Материалы XXIII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2023), 4-10 сентября 2023 г., Дивноморское, Краснодарский край. — М.: Изд-во МАИ, 2023. С. 63-66.

140. Морозов А. Ю. Программа для численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений с интервальными начальными условиями // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2018664623 от 20 ноября 2018 г.

141. Морозов А. Ю. Программа для интервальной параметрической идентификации динамических систем // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2022668591 от 10 октября 2022 г.

142. Морозов А. Ю., Ревизников Д. Л. Методы компьютерного моделирования динамических систем с интервальными параметрами. М.: Изд-во МАИ, 2019. 160 с.

143. Bentley J. L. Multidimensional binary search trees used for associative searching // Communications of the ACM. 1975. Vol. 18. № 9. P. 509-517.

144. Russell A. B., Building a Balanced k-d Tree in O(kn log n) Time // Computer Graphics Techniques. 2015. Vol. 4. № 1. P. 50-68.

145. Oseledets I. V. Tensor-train decomposition // SIAM Journal on Scientific Computing. 2011. Vol. 33. № 5. P. 2295-2317.

146. Oseledets I., Tyrtyshnikov E. TT-cross approximation for multidimensional arrays // Linear Algebra and its Applications. 2010. Vol. 432. Iss. 1. P. 70-88.

147. Смоляк С. А., Квадратурные и интерполяционные формулы на тензорных произведениях некоторых классов функций, Докл. АН СССР, 148:5 (1963), 1042-1045.

148. Gerstner T., Griebel M. Sparse Grids // Encyclopedia of Quantitative Finance, R. Cont (ed.), Wiley, 2008.

149. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация / Пер. с англ. М.: Мир, 1985.

150. Пантелеев А. В., Летова Т. А. Методы оптимизации в примерах и задачах: Учеб. пособие. 2-ое изд. М.: Высш. шк., 2005. 544 с.

151. Hansen E., Walster G. W., Global Optimization Using Interval Analysis. New York: Marcel Dekker, 2004.

152. Shary S. P. Randomized algorithms in interval global optimization // Num. Anal. Appl. 2008. V. 1. P. 376-389. DOI: 10.1134/S1995423908040083.

153. Shary S. P. A Surprising Approach in Interval Global Optimization // Reliable Computing. 2001. V. 7. № 6. P. 497-505. DOI: 10.1023/A:1014754803382.

154. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М. 1984.

155. Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980. 352 с.

156. Формалев В. Ф., Ревизников Д. Л., Численные методы. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 400 с.

157. Бельхеева Р. К., Шарый С. П. Вычислительные методы в примерах: учеб. пособие. Новосиб. гос. ун-т. — Новосибирск : ИПЦ НГУ, 2022. — 90 с.

158. Воронина П. В., Лебедев А. С. Численные методы в задачах : учеб. пособие. Новосиб. гос. ун-т. — Новосибирск : РИЦ НГУ, 2015. — 122 с.

159. Niesen J., Hall T., On the Global Error of Discretization Methods for Ordinary Differential Equations, University of Cambridge, 2004.

160. Арнольд В. И., Обыкновенные дифференциальные уравнения. Издание четвертое. Ижевск: Ижевская республиканская типография, 2000.

161. Тыртышников Е. Е. Тензорные аппроксимации матриц, порожденных асимптотически гладкими функциями // Математический сборник. 2003. Т. 194. № 6. С. 147-160.

162. Тыртышников Е. Е., Щербакова Е. М. Методы неотрицательной матричной факторизации на основе крестовых малоранговых приближений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2019. Т. 59. № 8. С. 1314-1330.

163. Желтков Д. А., Тыртышников Е. Е. Параллельная реализация матричного крестового метода // Вычислительные методы и программирование. 2015. Т. 16. С. 369-375.

164. Горейнов С. А., Замарашкин Н. Л., Тыртышников Е. Е. Псевдоскелетные аппроксимации при помощи подматриц наибольшего объема // Математические заметки. 1997. Т. 62. Вып. 4. С. 619-623.

165. Hitchcock F. L. The expression of a tensor or a polyadic as a sum of products // J. Math. Phys. 1927. Vol. 6. № 1. P. 164-189.

166. Tucker L. R. Some mathematical notes on three-mode factor analysis // Psychometrika. 1966. Vol. 31. P. 279-311.

167. ttpy. URL: https://github.com/oseledets/ttpy.

168. Press W. H., Teukolsky S. A., Vetterling W. T., Flannery B. P. Singular Value Decomposition, §2.6 in Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press. P. 51-63, 1992.

169. CUDA Zone. URL: https://developer.nvidia. com/ cuda-zone.

170. Керниган Б. У., Ритчи Д. М. Язык программирования C. М.: Вильямс, 2019. 288 с.

171. Джосаттис Н. М. Стандартная библиотека C++. Справочное руководство. М.: Вильямс, 2017. 1129 с.

172. Matrix A lgebra on GPU and Multicore Architectures (MAGMA), available at: https://icl.cs.utk.edu/magma.

173. cuBLAS, available at: https://docs.nvidia.com/cuda/cublas.

174. ScaLAPACK, available at: http://www.netlib. org/ scalapack.

175. MATLAB, available at: https://www.mathworks.com/help/matlab.

176. Оселедец И. В. Тензорные методы и их применение: дис. ... д-ра физ.-мат. наук: 01.01.07. М.: Учреждение Российской академии наук Институт вычислительной математики РАН, 2009. 282 с.

177. Goreinov S. A., Oseledets I. V., Savostyanov D. V., Tyrtyshnikov E. E. How to find a good submatrix. Institute for Computational Mathematics Hong Kong Baptist University, China, 2008. 10 P. DOI: 10.1142/9789812836021_0015.

178. LAPACK, available at: http://www.netlib.org/lapack.

179. Chrzeszczyk A., Anders J. Matrix computations on the GPU, Jan Kochanowski University, Poland, 2017, 455 P.

180. Griewank A. O. Generalized Decent for Global Optimization // Journal of Optimization Theory and Applications. 1981. Vol. 34. P. 11—39. DOI: 10.1007/BF00933356.

181. Dolgov S. V., Kazeev V. A., Khoromskij B. N. Direct tensor-product solution of one-dimensional elliptic equations with parameter-dependent coefficients // Mathematics and Computers in Simulation. 2018. Vol. 145. P. 136-155. DOI: 10.1016/j.matcom.2017.10.009.

182. Olivier C., Ryckelynck D., Cortial J. Multiple Tensor Train Approximation of Parametric Constitutive Equations in Elasto-Viscoplasticity // Mathematical and Computational Applications. 2019. Vol. 24. № 1. 17. DOI: 10.3390/mca24010017.

183. Yserentant H. Hierarchical bases. In ICIAM 91: Proceedings of the Second International Conference on Industrial and Applied Mathematics, Washington, DC, 8-12 July 1991; SIAM: Philadelphia, PA, USA, 1992; P. 256-276.

184. Garcke J. Sparse Grids in a Nutshell. Sparse Grids and Applications // Lecture Notes in Computational Science and Engineering. 2013. Vol. 88. Springer, Berlin, Heidelberg. P. 57-80.

185. Brumm J., Scheidegger S. Using Adaptive Sparse Grids to Solve High-Dimensional Dynamic Models // Econometrica. 2017. Vol. 85. № 5. P. 1575-1612.

186. Bungatrz H-J., Griebel M. Sparse grids // Acta Numerica. 2004. Vol. 13. № 1. P. 147-269.

187. Judd K. L., Maliar L., Maliar S., Valero R., Smolyak method for solving dynamic economic models: Lagrange interpolation, anisotropic grid and adaptive domain // Journal of Economic Dynamics and Control. 2014. Vol. 44. P. 92-123, DOI: 10.1016/j.jedc.2014.03.003.

188. Sauer T., Xu Y. On multivariate Lagrange interpolation // Mathematics of Computation. 1995. Vol. 64. № 211. P. 1147-1170.

189. Bungatrz H.-J. Finite Elements of Higher Order on Sparse Grids, Shaker, 1998. P. 127.

190. Bungartz H.-J., Dirnstorfer S. Higher Order Quadrature on Sparse Grids // Computational Science — ICCS 2004. ICCS 2004. Lecture Notes in Computer Science, vol 3039. Springer, Berlin, Heidelberg. DOI: 10.1007/978-3-540-25944-2_52.

191. OpenMP. URL: https://www.openmp.org.

192. OpenMP technology, available at https://pvs-studio.com/ru/a/0057.

193. Мартыненко С. И., Волохов В. М., Яновский Л. С. Параллельная многосеточная технология: редукция к независимым задачам // Математическое моделирование. 2016. Т. 28. № 6. С. 89—97. DOI: 10.1134/S2070048217010100.

194. Klimke A., Wohlmuth B. Constructing dimension-adaptive sparse grid interpolants using parallel function evaluations // Parallel Processing Letters. 2006. Vol. 16. № 4. P. 407—418. DOI: 10.1142/S0129626406002733.

195. Amdahl G. M. Validity of the Single Processor Approach to Achieving Large-Scale Computing Capabilities, AFIPS Conference Proceedings (30), 1967. P. 483—485, DOI: 10.1145/1465482.1465560.

196. Семенов С. А., Ревизников Д. Л. Эффективное использование программируемых графических процессоров в задачах молекулярно-динамического моделирования // Системы и средства информатики. 2017. Т. 27. № 4. С. 109-121.

197. Ревизников Д. Л., Семенов С. А. Особенности молекулярно-динамического моделирования наносистем на графических процессорах // Программная инженерия. 2013. № 2. М.: Новые технологии, С. 31-35.

198. Казённов А. М. Основы технологии CUDA // Компьютерные исследования и моделирование. 2010. Т. 2. № 3. С. 295-308.

199. Dae-Hwan K. Evaluation of the performance of GPU global memory coalescing // Multidisciplinary Engineering Science and Technology (JMEST). 2017. Vol. 4. № 4. P. 70097013.

200. Sengupta S., Harris M., Garland M. Efficient Parallel Scan Algorithms for GPUs: NVIDIA Technical Report, 2008.

201. Alcantara D. A., Sharf A., Abbasinejad F., Sengupta S. and other. Real-time Parallel Hashing on the GPU // ACM Transactions on Graphics (Proceedings of ACM SIGGRAPH, Asia, 2009). . 2009. Vol. 28. № 5P. 1-9.

202. Mei G., Tian H. Impact of data layouts on the efficiency of GPU-accelerated IDW interpolation // SpringerPlus. 2016. Vol. 5. P. 1-18.

203. Dinesh P. M., Sartaj S. Handbook Of Data Structures And Applications. Chapman & Hall/CRC, 2018. P. 1100.

204. Harris M. Optimizing Parallel Reduction in CUDA URL: https://developer.download.nvidia.com/assets/cuda/files/reduction.pdf.

205. Соколов Ю. Н., Соколов А. Ю., Илюшко В. М. Компьютерные технологии в задачах природы и общества. Ч. 2. Модель Лотки - Вольтерра «хищник - жертва» в задачах экономики // Радюелектронш i комп'ютерш системи. 2010. № 2 (43). С. 20-26.

206. Neher M. Interval methods and Taylor model methods for ODEs // Workshop Taylor Model Methods VII, 14 — 17 december 2011 y. Florida. Abstracts. MSU 2011. P. 17.

207. COSY INFINITY. URL: https://www.bmtdynamics.org/cosy.

208. Software RiOT. URL: www.math.kit.edu/ianm1/~ingo.eble/de.

209. Flow*: A Verification Tool for Cyber-Physical Systems. URL: https://flowstar.org.

210. Шенк Х. Теория инженерного эксперимента / Пер. с англ. Е.Г. Коваленко; под ред. Бусленко Н. П. М.: Мир, 1972. 382 с.

211. Martyshov M. N., Emelyanov A. V., Demin V. A. et al. Multifilamentary Character of Anticorrelated Capacitive and Resistive Switching in Memristive Structures Based on (Co-Fe-B)x(LiNbO3)100-x Nanocomposite // Phys. Rev. Applied. 2020. V. 14. № 3. 034016 DOI: 10.1103/PhysRevApplied.14.034016.

212. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972.

213. Евтушенко Ю. Г. Некоторые локальные свойства минимаксных задач // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1974. 14:3 669-679; DOI: 10.1016/0041-5553(74)90107-4.

214. Sylvester J. J. A question in the geometry of situation // Quarterly Journal of Mathematics. 1857. V. 1. P. 79.

215. Васильев Н. С. О численном решении экстремальных задач построения эллипсоидов и параллелепипедов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1987. Т. 27. № 3. С. 340-348. DOI: 10.1016/0041-5553(87)90148-0.

216. Шор Н. З., Стеценко С. И. Алгоритм последовательного сжатия пространства для построения описанного эллипсоида минимального объема // Исследование методов решения экстремальных задач. 1990.

217. Khachiyan L. G. Rounding of Polytopes in the Real Number Model of Computation // Mathematics of Operations Research. 1996. Vol. 21. № 2. P. 307-320.

218. Kutta M. Beitrag zur näherungsweisen Integration totaler Differentialgleichungen. Zeitschrift für Mathematik und Physik, 1901. 46. P. 435-453.

219. Астахов В. В., Коблянский С. А., Шабунин А. В. Осциллятор Дуффинга: Учебное пособие для студентов вузов. Саратов: СГУ. 2007. 53 с.

220. Tersoff J. New empirical approach for the structure and energy of covalent systems. Phys. Rev. B 1988, 37, 6991-7000. DOI: 10.1103/PhysRevB.37.6991.

221. Abgaryan K. K., Posypkin M. Optimization methods as applied to parametric identification of interatomic potentials // Comput. Math. Math. Phys. 2014. 54. P. 1929-1935. DOI: 10.1134/S0965542514120021.

222. Abgaryan K. K., Grevtsev A. V. Parametric Identification of Tersoff Potential for Two-Component Materials // Agent Multi-Agent Syst. Technol. Appl. 2020. 173. P. 257-268. DOI: 10.1007/978-981-15-2600-8_19.

223. Shoemake K. Uniform random rotations // Graph. Gems Iii (Ibm Version) 1992. P. 124-132. DOI: 10.1016/b978-0-08-050755-2.50036-1.

224. Арнольд В. И., Афраймович В. С., Ильяшенко Ю. С., Шильников Л. П. Теория бифуркаций. М.: ВИНИТИ, 1986. 284 с.

225. Красников С. Д., Кузнецов Е. Б. Метод прохождения точек бифуркации коразмерности три // Прикладная математика и механика (Ульяновск) 2011. №9. с. 335-346.

226. Кузнецов Е. Б., Леонов С. С. Параметризация задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с предельными особыми точками // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2017. Т. 57. №6. С. 934-957.

227. Кузнецов А. П., Кузнецов С. П., Рыскин Н. М. Нелинейные колебания: Учебное пособие для вузов. М.: Физматлит, 2002. 292 с.

228. Лоскутов А. Ю. Динамический хаос. Системы классической механики // Успехи физических наук. 2007. Т. 177. № 9. С. 989-1015.

229. Кроновер P. M. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М.: Постмаркет, 2000. 352 с.

230. Кулиш С. М., Морозов А. Ю., Тыкоцкий В. В. Проблема астероидной опасности. Компьютерная программа «Астероид» // Тезисы доклада в сб. материалов XXIII

Международной научно-практической конференции «Предупреждение. Спасение. Помощь» (Россия, Химки, 28 марта 2013 г.). С. 210.

231. Кулиш С. М., Морозов А. Ю., Тыкоцкий В. В. Проблема астероидной опасности -точность расчетов и измерений // Тезисы доклада в сб. материалов XXIII Международной научно-практической конференции «Предупреждение. Спасение. Помощь» (Россия, Химки, 28 марта 2013 г.). С. 211-212.

232. Hoefkens J., Berz M., Makino K. Controlling the Wrapping Effect in the Solution of ODEs for Asteroids // Reliable Computing. 2003. Vol. 8. № 1. P. 21-41.

233. Вайтиев В. А., Мустафина С. А. Поиск областей неопределенности кинетических параметров математических моделей химической кинетики на основе интервальных вычислений // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». 2014. Т. 7. № 2. С. 99-110.

234. Гидаспов В. Ю., Северина Н. С. Элементарные модели и вычислительные алгоритмы физической газовой динамики. Термодинамика и химическая кинетика: Учебное пособие. М.: Факториал, 2014. 84 с.

235. Глушко В. П., Гурвич Л. В., Вейц И. В. и др. Термодинамические свойства индивидуальных веществ. Т. 1. М.: Наука, 1978-2004.

236. Варнатц Ю., Маас У., Диббл Р. Горение. Физические и химические аспекты, моделирование, эксперименты, образование загрязняющих веществ / Пер. с англ. Г. Л. Агафонова. Под ред. П. А. Власова. М.: Физматлит, 2003. 352 с.

237. Старик А. М., Титова Н. С., Шарипов А. С., Козлов В. Е. О механизме окисления синтез-газа // Физика горения и взрыва. 2010. Т. 46. № 5. С. 3-19.

238. Новиков E. А., Голушко М. И. (m, 3)-метод третьего порядка для жестких неавтономных систем ОДУ // Вычислительные технологии. 1998. Т. 3. № 3. С. 48-54.

239. Васильев Е. И., Васильева Т. А. Мульти-неявные методы с автоматическим контролем погрешности в приложениях с химическими реакциями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2019. Т. 59. № 9. С. 1570-1580.

240. Вайтиев В. А., Мустафина С. А. Построение двусторонних оценок решения прямой задачи химической кинетики // Журнал Средневолжского математического общества. 2012. Т. 14. № 4. С. 18-25.

241. Пирумов У. Г., Росляков Г. С. Газовая динамика сопел. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. 368 с.

242. Harten A., Lax P. D., van Leer B. On Upstream Differencing and Godunov-Type Schemes for Hyperbolic Conservation Laws. In: Hussaini M. Y., van Leer B., Van Rosendale J. (eds) Upwind

and High-Resolution Schemes. Springer, Berlin, Heidelberg. 1997. DOI: 10.1007/978-3-642-60543-7_4a.

243. Черный Г. Г. Газовая динамика. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. 424 с.

244. Журавская Т. А., Левин В. А. Стабилизация детонационного горения высокоскоростного потока горючей газовой смеси в плоском канале // Изв. РАН. МЖГ. 2015. № 2. С. 117128.

245. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

246. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 272 с.

247. Шитикова М. В. Обзор вязкоупругих моделей с операторами дробного порядка, используемых в динамических задачах механики твердого тела // Известия РАН. Механика твердого тела, 2022, № 1, с. 3-40, DOI: 10.31857/S0572329921060118

248. Староверов Н. Н. Моделирование вязкоупругих свойств и гистерезисного демпфирования рессор из композиционных материалов // Известия ВУЗов. Машиностроение. 2011. № 8. С. 24 - 33.

249. Головизнин В. М., Киселев В. П., Короткин И. А., Юрков Ю. И. Некоторые особенности вычислительных алгоритмов для уравнений дробной диффузии. Препринт IBRAE-2002-01. М.: Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН, 2002. 57 с.

250. Meerschaert M. M., Tadjeran C. Finite difference approximations for two-sided space-fractional partial differential equations // Application of Numerical Mathematics. 2006. V.56. № 1. P. 8090.

251. Zhang Yong, David A. Benson, Mark M. Meerschaert, Eric M. LaBolle Space-fractional advection-dispersion equations with variable parameters: Diverse formulas, numerical solutions, and application to the MADE-site data // Water Resources Research. 2007. V. 43. P. W05439.

252. Мороз Л. И., Масловская А. Г. Дробно-дифференциальная модель процесса теплопроводности сегнетоэлектрических материалов в условиях интенсивного нагрева // Математика и математическое моделирование. 2019. Т. 2. С. 29-47.

253. Maslovskaya A. G., Moroz L. I., Chebotarev A. Yu., Kovtanyuk A. E. Theoretical and numerical analysis of the Landau-Khalatnikov model of ferroelectric hysteresis // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2021. V. 93. P. 105524 (13).

254. Мороз Л. И., Масловская А. Г. Численное моделирование процесса аномальной диффузии на основе схемы повышенного порядка точности // Математическое моделирование. 2020. Т. 32. № 10. С. 62-76.

255. Ревизников Д. Л., Сластушенский Ю. В. Численное моделирование аномальной диффузии бильярдного газа в полигональном канале // Математическое моделирование. 2013. Т. 25. № 5. С. 3-14.

256. Tverdyi D., Parovik R. Application of the Fractional Riccati Equation for Mathematical Modeling of Dynamic Processes with Saturation and Memory Effect// Fractal and Fractional. 2022. V. 6. № 3. P. 163. DOI: 10.3390/fractalfract6030163.

257. Твёрдый Д. А., Паровик Р. И. Математическое моделирование с помощью дробного уравнения Риккати динамических процессов с насыщением и памятью. Петропавловск-Камчатский: КамГУ им.Витуса Беринга — Петропавловск-Камчатский : КамГУ им.Витуса Беринга, 2021. 116 с.

258. Zaky M. A., Van Bockstal K., Taha T. R., Suragan D., Hendy A. S. An L1 type difference/Galerkin spectral scheme for variable-order time-fractional nonlinear diffusion-reaction equations with fixed delay // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2023. V. 420. 114832. DOI: 10.1016/j.cam.2022.114832.

259. Ким В. А., Паровик Р. И. Некоторые аспекты математического моделирования дробного осциллятора Дуффинга: монография. КамГУ им. Витуса Беринга, ИКИР ДВО РАН. — Петропавловск-Камчатский : КамГУ им. Витуса Беринга, 2022. 93 с.

260. Паровик Р. И. Хаотические и регулярные режимы дробных осцилляторов: монография. Петропавловск-Камчатский: КамГУ им. Витуса Беринга. — Петропавловск-Камчатский: КамГУ им. Витуса Беринга, 2019. — 132 с.

261. Петухов А. А., Ревизников Д. Л. Алгоритмы численных решений дробно-дифференциальных уравнений // Вестник МАИ. 2009. Т. 16. № 6. С. 228-243.

262. Wong H.-S. P. et al. Metal-oxide RRAM // Proceedings of the IEEE, 2012. Vol. 100. № 6. P. 1951-1970. DOI: 10.1109/JPROC.2012.2190369.

263. Yang J. J., Strukov D. B., Stewart D. R. Memristive devices for computing // Nature Nanotechnology, 2013. Vol. 8. № 1. P. 13-24. DOI: 10.1038/nnano.2012.240.

264. Strukov D. B., Snider G. S., Stewart D. R., Williams R. S. The missing memristor found // Nature. 2008. Vol. 453. № 7191. P. 80. DOI: 10.1038/nature06932.

265. Yang J. J., Pickett M. D., Xuema L., Ohlberg D. A. A., Stewart D. R., Williams R. S. Memristive switching mechanism for metal/oxide/metal nanodevices // Nature nanotechnology. 2008. Vol. 3. № 7. P. 429. DOI: 10.1038/nnano.2008.160.

266. Pickett M. D., Stukov D. B., Borghetti J. L., Yang J. J., Snider G. S., Stewart D. R., Williams R. S. Switching dynamics in titanium dioxide memristive devices // Journal of Applied Physics. 2009. Vol. 106. № 7. P. 074508. DOI: 10.1063/1.3236506.

267. Joglekar Y. N., Wolf S. J. The elusive memristor: properties of basic electrical circuits // European Journal of Physics. 2009. Vol. 30. № 4. P. 661. DOI: 10.1088/0143-0807/30/4/001.

268. Biolek Z., Biolek D., Biolkova V. SPICE Model of Memristor with Nonlinear Dopant Drift // Radioengineering. 2009. Vol. 18. № 2.

269. Prodromakis T., Peh B. P., Papavassiliou C., Toumazou C. A versatile memristor model with nonlinear dopant kinetics // IEEE Transactions on Electron Devices. 2011. Vol. 58. № 9. P. 3099-3105. DOI: 10.1109/TED.2011.2158004.

270. Zha J., Huang H., Liu Y. A novel window function for memristor model with application in programming analog circuits // IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs. 2015. Vol. 63. № 5. P. 423-427. DOI: 10.1109/TCSII.2015.2505959.

271. Kvatinsky S., Friedman E. G., Kolodny A., Weiser U. C. TEAM: Threshold adaptive memristor model // IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers. 2012. Vol. 60. № 1. P. 211-221. DOI: 10.1109/TCSI.2012.2215714.

272. Kvatinsky S., Ramadan M., Friedman E. G., Kolodny A. VTEAM: A general model for voltage-controlled memristors // IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs. 2015. Vol. 62. № 8. P. 786-790. DOI: 10.1109/TCSII.2015.2433536.

273. Yakopcic C., Taha T. M., Subramanyam G., Pino R. E., Rogers S. A memristor device model // IEEE electron device letters. 2011. Vol. 32. № 10. P. 1436-1438. DOI: 10.1109/LED.2011.2163292.

274. Rodriguez-Fernandez A., Cagli C., Perniola L., et al. Characterization of HfO2-based devices with indication of second order memristor effects // Microelectronic Engineering. 2018. V. 195. P. 101-106. DOI: 10.1016/j.mee.2018.04.006.

275. Teplov G. S., Gornev E. S. Multilevel bipolar memristor model considering deviations of switching parameters in the Verilog-A language // Russian Microelectronics, 2019. Vol. 48. № 3. P. 131-142. DOI: 10.1134/S1063739719030107.

276. Абгарян К. К., Ревизников Д. Л., Журавлёв А. А., Морозов А. Ю., Гаврилов Е. С. Многомасштабное моделирование нейроморфных систем. М.: Изд-во МАКС Пресс, 2022. — 120 с.

277. Baraka A. M. A. Using interval arithmetic for electronic circuits simulation // A Thesis Submitted to the Faculty of Engineering at Cairo University. 2015. 68 P.

278. Zheng G., Mohanty S. P., Kougianos E., Okobiah O. Polynomial Metamodel integrated Verilog-AMS for memristor-based mixed-signal system design, 2013 IEEE 56th International Midwest Symposium on Circuits and Systems (MWSCAS), Columbus, OH, 2013. P. 916-919. DOI: 10.1109/MWSCAS.2013.6674799.

279. Rylkov V., Nikolaev S., Demin V. et al. Transport, Magnetic, and Memristive Properties of a Nanogranular (CoFeB)x(LiNbOy)100-x Composite Material // Journal of Experimental and Theoretical Physics. 2018. V. 126. № 3. P.353-367. DOI: 10.1134/S1063776118020152.

280. Mladenov V., Analysis of Memory Matrices with HfO2 Memristors in a PSpice Envi-ronment // Electronics. 2019. 8(4), 383. P. 16. DOI: 10.3390/electronics8040383.