Модели плоских вихревых течений и задачи экологии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 03.00.16, кандидат физико-математических наук Марковский, Алексей Николаевич

• Марковский, Алексей Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Марковский, Алексей Николаевич

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

1.1. Представление функции логарифмическими потенциалами.

1.2. Полные системы потенциалов.

1.3. О базисных последовательностях функций и потенциале Робена.

ГЛАВА 2. МОДЕЛИ ПЛОСКИХ ВИХРЕВЫХ ТЕЧЕНИЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ОГРАНИЧЕННЫХ РУСЛАХ.

2.1. Интегральное представление функции тока.

2.2. Течение в раструбе и трубке типа Вентури.

2.3. Течения с источниками на границе.

ГЛАВА 3. ДВИЖЕНИЕ ТОЧЕЧНЫХ ВИХРЕЙ.

3.1. Функция тока для точечных вихрей.

3.2. Задача о движении вихрей в ограниченной области.

3.3. Траектории точечных вихрей в неограниченной области.

ГЛАВА 4. ЗАДАЧА О РАСПРОСТРАНЕНИИ СУБСТАНЦИИ ПРИ ПЕРЕНОСЕ НЕИЗОТРОПНОЙ ДИФФУЗИИ.

4.1. Существование и единственность решения прямой краевой задачи.

4.2. Исследование спектральной задачи, представление решения.

4.3. Регуляризация обратной задачи.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели плоских вихревых течений и задачи экологии»

Развитие промышленности, ставит перед современной наукой все новые и новые задачи, связанные с сохранением экологического равновесия и предупреждением ситуаций, приводящих к его нарушению. К примеру, загрязнение атмосферы, водных источников, а также предупреждение природных катаклизмов (смерчей, торнадо, вихрей) остается одной из самых актуальных проблем экологии в настоящее время [17].

В связи с этим появляется острая необходимость в разработке и создании эффективных математических моделей и средств описания механизмов функционирования и оценки состояний экологических систем. Не менее остро стоит проблема усовершенствования уже имеющихся в арсенале науки моделей и методов. При этом необходимо, чтобы такие модели могли служить основой для автоматизированных систем оперативного предупреждения, прогноза и эффективной оценки масштабов в случае чрезвычайной экологической ситуации [35].

Диссертация посвящена разработке математических моделей плоских вихревых течений и моделей движения точечных вихрей. А также рассмотрению прямой и обратной задач о распространении субстанции при переносе анизотропной диффузии. Каждая из рассматриваемых моделей находит собственное отражение в общем числе задач экологии.

Например, используя предлагаемую в диссертации модель плоского вихревого течения с точечными источниками, можно моделировать притоки и стоки реки, а также имитировать источники загрязнения. Предложенная модель плоских вихревых течений не зависит от сложности геометрии берегов русла, не исключает наличия в области течения контуров, интерпретируемых как острова, а также присутствия в ней вихрей, диполей, стоков и истоков, имеющих соответствующие физические интерпретации в рамках рассматриваемой задачи.

В задачах плоских вихревых течений основным остается аппарат теории функций комплексного переменного (А.М. Лаврентьев [20],[21], Дж. Бэтчелор, Г. Ламб [22]). Один из основных численных методов - метод дискретных вихрей (С.М. Белоцерковский [2]) - опирается на представление комплексной скорости интегралом типа Коши, что приводит к сингулярным интегральным уравнениям с сильной особенностью (И.К. Лифанов [2]).

Модели движения точечных вихрей имеют чрезвычайно широкие и многообразные области приложения (В.В. Козлов [14], A.B. Борисов, [3]). При изучении процессов формирования отдельных гидродинамических структур в задачах экологии зачастую оказывается достаточным ограничиться рамками относительно простых моделей. Так, в частности, решение задачи о движении точечных вихрей в канале может быть использовано для определения характеристик обтекаемого тела. Модель простейшей вихревой конструкции - пары вихрей - оказывается полезной при описании поведения, с одной стороны, термических аномалий в атмосфере или океане, а с другой - концевых вихрей при срыве их с крыла самолета (Д.Н. Горелов, [3]). Задача о движении N точечных вихрей и, в частности, их стационарных конфигураций (В.И. Юдович, Л.Г. Куракин, [18], [19], [3]) имеет важные для прилржений аналоги в небесной механике, в математической биологии и экологии. Изучение движения небольшого числа точечных вихрей вблизи простейших форм границ (например, прямолинейной или круговой) дает представления о влиянии геометрически более сложных границ на природу порядка и хаоса в динамике вихрей (Ф.Дж. Сэффмэн, [44]).

Общая, форма уравнения вихрей внутри (и вне) произвольной области, используя теорию конформных отображений, сводится к системе дифференциальных уравнений, при этом порядок системы увеличивается вдвое (относительно количества рассматриваемых вихрей). Численное решение таких систем уравнений с достаточной точностью является сложной задачей и встречает определенные компьютерные трудности (Т. Сарпкайя, [42]).

Предлагаемый в диссертации метод точечных потенциалов, лежащий в основе численной реализации моделей вихревых течений и движения точечных вихрей, дает простой несеточный алгоритм, что позволяет в значительной степени увеличить точность численных результатов и уменьшить объем вычислений. Обоснование метода опирается, во-первых, на системы потенциалов, полных на контуре и позволяющих строить сходящиеся алгоритмы. Во-вторых, используются полученные теоремы о представлении функций логарифмическими потенциалами.

И, наконец, в диссертации рассмотрены прямая и обратная задачи о распространении субстанции при переносе анизотропной диффузии на основе уравнения распространения и переноса (Г.И. Марчук [35], В.А. Бабешко [1]). Доказываются существование, единственность и корректность решения прямой краевой задачи. Исследуется спектральная задача и доказывается, что решение представляется в виде ряда. Затем доказывается некорректность обратной задачи и предлагается метод регуляризации решения.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, двенадцати параграфов, составляющих четыре главы, заключения, списка литературы и приложения.

Заключение диссертации по теме «Экология», Марковский, Алексей Николаевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе разработана математическая модель плоских вихревых течений рек и рассмотрена задача о распространении субстанции. Предложено представление функции тока вихревого плоскопараллельного течения несжимаемой жидкости в ограниченной области. Построена модель плоско параллельного течения в сложном русле, в русле с источниками и стоками на границе, в не односвязном русле. Проведено исследование движения точечных вихрей в ограниченной области, разработаны эффективные алгоритмы и получены численные результаты. Исследована задача о распространении субстанции в процессе переноса анизотропной диффузии. Предложен алгоритм обратной задачи переноса анизотропной диффузии.

Практическая ценность работы состоит в том, что предлагаемые в диссертации модели могут быть использованы при моделировании плоских течений рек для задач экологии. Точечными источниками можно моделировать притоки и стоки реки, а также моделировать источники загрязнения. Предлагаемые модели не исключают наличия в области течения сложных контуров, интерпретируемых как острова, а так же присутствия в области вихрей, диполей, стоков и истоков, имеющих соответствующие физические интерпретации в рамках предлагаемой модели.

Предложенный метод точечных потенциалов дает простой не сеточный алгоритм, что позволяет в значительной степени увеличить точность результатов и уменьшить объем вычислений.

В ходе выполнения диссертации получены следующие результаты: доказана теорема о представлении функции тока на границе ограниченной области логарифмическим потенциалом по этой области; д оказана лемма о полноте специальной системы потенциалов; получено представление функции тока плоского вихревого течения в ограниченной области, представление ее аппроксимации в аналитическом виде, доказана сходимость; получены сходящиеся алгоритмы вихревых течений в сложных руслах с источниками и стоками на границе, произведены расчеты; для задачи распространения примеси в ограниченной области получено представление в виде ряда, исследована спектральная краевая задача; предложена корректная регуляризация обратной краевой задачи распространения анизотропной диффузии и алгоритм ее решения; произведены расчеты для вихревого течения с минимальной адвекцией в трубке типа Вентури (плоский случай).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Марковский, Алексей Николаевич, 2005 год

1. Бабешко В.А., Гладской И.Б., Зарецкая M.B., Кособуцкая E.B. К проблеме оценки выбросов загрязняющих веществ источниками различных типов//ДАН. 1995. Т. 342. №6. с. 835-838.

2. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М.: Наука, 1985.

3. Борисов A.B., Мамаев И.С., Соколовский М.А. Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей. Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2002.

4. Бояринцева Т.Е., Савин A.C. Возмущенное движение центрально-симметричной системы точечных вихрей. // Изв. РАН. Мех. Жидкости и газа. 2001, №1, с. 102-107.

5. Быковский Ф.А., Ведерников Е.Ф. Течение в вихревой плоскорадиальной камере. Вихревая структура течения.// Прикл. Мех. и Техн. физ. 2000. Т. 41, №1, с.41-49.

6. Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа. М.: Мир, 1986.

7. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.

8. Воропаев С.И. Динамика и взаимодействие вихревых структур в стратифицированной / вращающейся жидкости. Докторская дис. РАН Институт океанологии им. Ширшова П.П. М. 2003.

9. Гельмгольц Г. Основы вихревой теориию Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.

10. Карман Т. Аэродинамика. Избранные темы в их историческом развитии. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001.

11. П.Катков М. В. Исследование течений вблизи щелевидных стоков. Кандидатская дисс. Казан, гос. ун-т, Казань, 2001.

12. Кирякин В.Ю. Моделирование вихревых течений жидкости в близи твердых поверхностей. Кандидатская дис. Военный авиационный технический университет. М. 1999.

13. Козлов В.В. Общая теория вихрей. Ижевск. Изд. дом "Удмуртский университет", 1998.

14. Котеров В.Н., Шмыглевский Ю.Д. О стоксовских плоскопараллельных вихревых системах в каналах.// Изв. РАН. Мех. жидкости и газа. 2000, №5, с. 57-65.

15. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Т. 1,2. М.: Физматгиз, 1963.

16. Кривошеин Д.А., Муравей JI.A., Роева H.H. и др. Экология и безопасность жизнидеятельности. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002 г.

17. Куракин Л.Г. Об устойчивости правильного вихревого п-угольника //ДАН. 1994, т. 335, №6, с. 729-731.

18. Куракин Л.Г., Юдович В.И. О нелинейной устойчивости стационарного вращения правильного вихревого многоугольника // ДАН. 2002. т 384. №4. с. 476-482.

19. Лаврентьев A.M., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1965.

20. Лаврентьев A.M., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1973.

21. Ламб Г. Гидродинамика. М.: ГТТИ, 1947.

22. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.6. Гидродинамика. М.:Физматлит, 2001.

23. Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир, 1970.

24. Лежнев В.Г. Асимптотические задачи линейной гидродинамики. Краснодар, КубГУ, 1993.

25. Лежнев В.Г. Данилов Е.А. Задачи плоской гидродинамики. Краснодар 2000.

26. Лежнев В.Г., Марковский А.Н. О движении точечных вихрей в области. //Труды 16-ой Крымской осенней математической школы -симпозиума, Спектральные и эволюционные задачи, Т. 15, С. 127131, Украина, Крым, 2004.

27. Лежнев В.Г., Марковский А.Н. Прямая и обратная краевые задачи уравнения распространения неизотропной диффузии. //Экологический вестник научных центров Черноморского Экономического Сотрудничества. №3. С. 28-33. Краснодар. 2005.

28. Мазо А.Б. Моделирование воздействия проницаемой перегородки на течение идеальной несжимаемой жидкости в канале.// Изв. РАН. Мех. жидкости и газа. 2002, №6, с. 74-80.

29. Марковский А.Н., Лежнев В.В. Вычисление функции тока задачи обтекания профиля. //Труды 1-ой конференции Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах. Т. 2. С. 17-19., Краснодар, 2004.

30. Марковский А.Н. О радиусах полигональных конфигураций вихрей с чередующимися интенсивностями. //Труды И-ой конференции Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах. Т. 2. С. 116-117. Анапа, 2005.

31. Марковский А.Н., Мороз О.В. Плоское вихревое течение в области клина. //Труды П-ой конференции Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах. Т. 2. С. 118-119. Краснодар, 2005.

32. Марковский А.Н. Плоское вихревое течение в канале с источником на границе. //Известия Высших Учебных Заведений. Северокавказский регион. Технические науки. Приложение №4. С.78-85. Ростов. 2005.

33. Марковский А.Н. О движении точечных вихрей на плоскости. //Математическое моделирование, прикладная информатика и геофизика: Материалы IV школы-семинара. Т.1. С. 45-49. Краснодар. 2005.

34. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М. Наука, 1982.

35. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.

36. Прандть JI. Гидроаэромеханика. Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2002.

37. Пуанкаре А. Теория вихрей. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2000.

38. Раус Э. Дж. Об устойчивости заданного состояния движения, в частности, установившегося движения. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.

39. Рейнольде А. Дж. Турбулентные течения в инженерных приложениях: М.: Энергия, 1979.

40. Садовский B.C. Об особенностях плоского течения, образованного источником и вихревым потоком идеальной несжимаемой жидкости.//Учен. зап. ЦАГИ. 2001, т. 32, №1-2, с. 60-67, 176.

41. Сарпкайя Т. Вычислительные методы вихрей. Фримановская лекция (1988) // Современное машиностроение. Серия А. - 1989. - №10.

42. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.-Л.: Гостехиздат, 1950.

43. Сэффмэн Ф.Дж. Динамика вихрей. М.: Научный мир, 2000.

44. Терентьев А.Г. Полные и точечные вихри в потоке жидкости.// Тр. Мат. Центра им. Лобачевского. 1999. т. 3. с. 362-367.

45. Хазин Л.Г. Правильные много угольники из точечных вихрей и резонансная неустойчивость стационарных состояний.// ДАН, 1976, т.230, №4, с. 799-802.

46. Markovsky A.N., Lezhnev V.V., Algorithm of the overflow problem above the plan screen. // International Summer Scientific School, High Speed Hydrodynamics, P. 267-269., Cheboksary, Russia. 2002.

47. Morozov V.A. Grebennikov A.I. Methods for solution of ill-posed problems. Moscow University Press, 2005.