Модели негауссовых случайных блужданий с конечной дисперсией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Видов, Павел Викторович

• Видов, Павел Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Видов, Павел Викторович

Оглавление

Введение

Глава 1. Случайные блуждания: постановка и решение задачи

1.1 Предельный случай случайных блужданий - диффузия

1.2 Случайные блуждания при условии отсутствия второго и высших моментов функции распределения

1.3 Полеты Леви в физике

1.4 Случайные блуждания с непрерывным временем

Глава 2. Финансовые временные ряды: эмпирические данные

2.1 Автокорреляции на фондовых рынках

2.2 Автокорреляции модулей доходности на фондовых рынках

2.3 Функции распределения флуктуаций на фондовых рынках

Глава 3. Модели негауссовых случайных блужданий

3.1 Блуждания Леви

3.2 Усеченные блуждания Леви

Глава 4. Эмпирические исследования российского фондового рынка

4.1 Автокорреляции доходностей и волатильности на российском фондовом рынке

4.2 Функции распределения флуктуаций на российском фондовом рынке

4.3 Определение минимального масштаба случайного процесса на фондовом рынке

4.4 Модель негауссовых случайных блужданий с конечной дисперсией для флуктуаций на фондовых рынках

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели негауссовых случайных блужданий с конечной дисперсией»

Введение

Актуальность темы

Случайные блуждания являются очень удобным инструментом для описания физических процессов, динамика которых имеет стохастическую природу. Одним из наиболее распространенных физических примеров случайных блужданий является процесс переноса, возникающий в результате случайных блужданий молекул, известный как диффузия. По своей сути задачи о случайных блужданиях и диффузии являются эквивалентными. Случайные блуждания и диффузия исследуются уже более 100 лет и являются ключевыми составляющими теории стохастических процессов, которые находят применение в различных областях точных и социальных наук [43].

В последнее время все больший интерес вызывают исследования стохастических систем, не подчиняющихся гауссовой статистике. Такие системы не подчиняются классической центральной предельной теореме (ЦПТ). Основной статистической особенностью таких систем является существенно более высокая вероятность возникновения экстремально больших флуктуации по сравнению с гауссовыми системами. Зачастую в таких случаях вместо классической ЦПТ возникает ее обобщенная версия, в соответствии с которой распределение суммы независимых случайных величин описывается семейством устойчивых распределений, относящихся к более широкому классу безгранично делимых распределений [68, 98]. В частности, к таким распределениям относится достаточно широко распространенное распределение Леви [51, 54]. Практически же даже более интересны случайные процессы, в которых ЦПТ все же выполняется, но выход на гауссову асимптотику происходит чрезвычайно медленно. В этом случае на физически интересных масштабах доминирует промежуточная асимптотика, отличная от гауссовой статистики или статистики Леви.

Плотность распределения отдельных флуктуации (прыжков) в негауссовых системах описывается распределениями Леви (полеты Леви) или другими функциями, не имеющими всех конечных моментов распределения. Негауссовы случайные блуждания наблюдаются, например, при транспорте зарядов на поверхности полупроводников [75, 76, 84], в лазерном охлаждении методом селективного по скоростям когерентного пленения заселённостей [14], а также процессах диффузии в таких новых материалах, как, например, стекла Леви [18, 19] и целом ряде других физических систем [35, 42,61,95].

Необходимо отметить, что подобные процессы характерны и для большого количества нефизических систем. В частности, с ними можно столкнуться в биологических [26, 88, 91], социальных [17] и экономических системах (см., например [68]), которые, безусловно, требуют тщательного исследования в условиях современного мира.

В последнее время все большее внимание физиков, в том числе и в России, приковывают проблемы, не относящиеся к классическим разделам физики, решения которых требуют применения современных математического аппарата и физических методов. Например, к таким проблемам можно отнести экономические задачи (см. [2, 10, 53]) или даже проблемы дорожного трафика [59].

Экономические ряды, такие как изменения индексов, цен акций и производных инструментов или курсов валют возникают в результате взаимодействия большого количества агентов - участников финансовых рынков и представляют собой хороший пример естественной сложной системы. Известно, что приращения цен фондовых активов представляют собой случайные независимо распределенные величины, поэтому большинство используемых на практике финансовых моделей, описывающих динамику цен фондовых активов, основываются на представлениях о классическом гауссовом случайном блуждании цен. К таким моделям относятся базовые модели ценообразования опционов [22], модели

управления рисками [46] и модели формирования портфелей ценных бумаг. Исследования последних лет показывают ошибочность такого подхода.

В последние годы физики обращают все большее внимание на экономические временные ряды. Раздел науки, посвященный исследованию экономических временных рядов при помощи математического аппарата, используемого в физике, получил название эконофизика. [20]. Статьи по эконофизике на сегодняшний день составляют существенную часть публикаций в таких журналах как Nature, Physica A, Physical Review, Журнал Physica А имеет специальный ежеквартальный номер, который называется Econophysics, посвященный данной тематике. В свою очередь более 30% всех диссертаций в мире по физико-математическим наукам касаются именно эконофизических исследований [33].

Экономические вызовы последних лет в полной мере выявили несовершенство используемых моделей в экономике, поэтому исследования в этой области представляют огромный интерес как для государственных органов крупнейших стран мира, так и для широкого круга коммерческих компаний. В свою очередь технический прогресс ставит все более сложные задачи, требующие исследования систем, демонстрирующих аномальные транспортные свойства и не подчиняющихся гауссовой статистике.

Цель диссертационной работы

Целью диссертационной работы является получение микроскопической модели негауссовых случайных блужданий и применение данной модели для описания реальных систем, демонстрирующих такие случайные блуждания. Достижение цели осуществляется следующими путями:

1. Изучением существующих моделей, описывающих негауссовы случайные блуждания и выявлением ограничений применимости данных моделей для описания известных физических и нефизических систем.

2. Разработкой модели негауссовых случайных блужданий, позволяющей описывать макроскопические функции распределения на основе микроскопических законов элементарных флуктуации системы.

3. Эмпирическими исследованиями реальных систем на предмет их соответствия исходным требованиям разработанной модели, в частности финансовых временных рядов.

4. Анализом соответствия теоретически полученных асимптотик распределений флуктуаций случайных блужданий результатам экспериментальных исследований.

Научная новизна

1. На основе введенного микроскопического закона прыжка степенного типа получена модель, позволяющая единообразно статистически описать системы, не обладающие длинными пространственными или временными корреляциями, но в которых наблюдаются негауссовы случайные блуждания вне зависимости от наличия/отсутствия моментов функции распределения у закона элементарных прыжков.

2. Впервые получены точные асимптотики распределений для случая усеченных блужданий Леви, закон прыжка в которых не имеет моментов выше второго.

3. Исследованы статистические характеристики временных рядов, представляющих собой фиксации цен российских акций и значений фондовых индексов.

4. Построена модель, позволяющая на основе микроскопических законов флуктуаций цен на фондовых рынках описывать макроскопические распределения флуктуаций цен на фондовом рынке.

Практическая ценность

Результаты исследований автокорреляций и распределений флуктуаций российского фондового рынка, а также модели случайных блужданий с конечной дисперсией успешно используются для управления рисками торговых операций отдельных подразделений, а также фирмы в целом в ЗАО «Финансовая компания «ИНТРАСТ». Кроме того, полученные модели случайных блужданий могут быть применены при моделировании случайных процессов, характеризующихся негауссовой статистикой, в частности задач, связанных с аномальной диффузией.

Основные результаты, выносимые на защиту

1. Введение закона прыжка степенного типа позволяет единым аналитическим образом рассмотреть как обычные случайные блуждания Леви, так и усеченные случайные блуждания Леви. Усеченные блуждания Леви асимптотически проявляют те же свойства устойчивости и масштабируемости, что и обычные. Усеченные блуждания Леви имеют типично безмасштабное асимптотическое распределение степенного типа, характерное и для асимптот «чистых» блужданий Леви, но спадающее с ростом величины флуктуации быстрее.

2. Ряды данных относительных логарифмических приращений цен российских акций и фондовых индексов (доходностей) характеризуются короткими корреляциями, что повторяет поведение аналогичных величин на других фондовых рынках. При этом автокорреляции рядов модулей доходностей, напротив, длинные. Динамику цен акций и индексов можно представить как случайный процесс с независимыми приращениями.

3. Кумулятивные распределения вероятности доходностей российских акций и индексов, также как и у всех исследованных мировых индексов и

акций, обладают свойством масштабной инвариантности, а асимптотика при больших флуктуациях описывается законом типа обратного куба.

4. Элементарным прыжком в схеме случайных блужданий на основе анализа скейлинга средних значений доходностей акций на фондовом рынке, измеренных на различных временных интервалах, является акт совершения сделки или тик цены.

5. Модифицированная схема с зависимостью свободного параметра прыжка от количества акций в единичной сделке позволяет удовлетворительно описать эмпирические распределения доходностей акций.

Апробация работы

Полученные в диссертации результаты докладывались на трех научных конференциях «Математика. Компьютер. Образование» (в 2008, 2009 и 2010 году), международной конференции по экономической науке Е8ША/\\^ЕН1А (Варшава, 2008), Научной сессии Отделения физических наук РАН по эволюционной экономике и эконофизике (2010 г.), Первом всероссийском конгрессе по эконофизике в Финансовой академии при Правительстве РФ (Москва 2009 г.), Первом российском экономическом конгрессе в МГУ (Москва, 2009 г.), семинаре в теоретическом отделе ИОФАН (2012 г.).

Публикации

Полученные в диссертации результаты опубликованы в 7 работах [3-6, 9, 83, 90]

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, содержит 39 рисунков, 8 таблиц, список цитируемой литературы из 98 наименований. Объем диссертации 104 страницы.

Основное содержание работы.

Настоящая работа посвящена исследованию и моделированию систем, демонстрирующих негауссовы случайные блуждания. Большинство физических систем, в которых имеет место диффузия или случайные блуждания подчиняются гауссовой статистике. В таких системах стандартное отклонение частиц линейно зависит от времени. В то же время сегодня достаточно часто можно встретить и системы, в которых такая зависимость нарушается, и центральная предельная теорема не выполняется.

В первой главе сформулирована задача о случайных блужданиях и рассмотрены общие подходы к ее решению. Описывается связь задачи о случайных блужданиях с наиболее известной ее физической реализацией -процессом диффузии. Отдельное внимание уделяется рассмотрению вопроса перехода от дискретных случайных блужданий к непрерывным. В этой главе также представлены некоторые физические и нефизические примеры систем, хорошо описывающихся при помощи моделей негауссовых случайных блужданий.

Оказывается, что очень часто негауссовы случайные блуждания встречаются в нефизических системах. В частности, такое поведение присуще финансовым временным рядам, которые представляют собой флуктуации относительных приращений цен (доходностей) акций и других фондовых инструментов на биржах. Во второй главе рассматриваются основные свойства финансовых временных рядов и эволюция моделей, использующихся для их описания. Отдельно рассматриваются такие свойства, как автокорреляция доходностей ценных бумаг и индексов, автокорреляционные свойства нелинейных функций этих величин, дающих представление о характере процессов. Временные ряды доходностей большинства линейных финансовых инструментов имеют короткие автокорреляции или же и вовсе дельта-коррелированы во времени, поэтому для их моделирования, как правило, используется стохастический подход. В то же время такие нелинейные функции цены, как, например, модули

приращений или их стандартные отклонения обладают свойствами длинной корреляции во времени. Особое внимание в этой главе уделяется основной характеристике, позволяющей описывать стохастические процессы, а именно функции распределения вероятности случайных блужданий. Оказывается, что функции распределения доходностей финансовых инструментов обладают свойствами масштабной инвариантности и при этом характеризуются медленно спадающей асимптотикой в области больших флуктуаций (так называемыми толстыми хвостами). Хвосты кумулятивных распределений для всех исследованных инструментов хорошо описываются степенным законом вида 1 / л-3.

Третья глава посвящена построению микроскопической модели негауссовых случайных блужданий, позволяющей описывать макроскопические свойства таких процессов. Вводится закон элементарного прыжка степенного вида и решается задача о случайных блужданиях для случаев расходимости моментов разных порядков у плотности распределения отдельных флуктуации системы. Оказывается, что введение такого закона прыжка позволяет в зависимости от наличия или отсутствия второго и более высоких моментов функции распределения единообразно рассмотреть не только нормальную гауссову диффузию, но и так называемые блуждания Леви, а также усеченные блуждания Леви. Здесь же описаны и полученные точные асимптотики для усеченных распределений Леви.

Четвертая глава посвящена исследованиям статистических характеристик российского фондового рынка. В ней приведены исследования автокорреляций доходностей акций крупнейших российских компаний, а также фондового индекса РТС. Оказывается, что, как и у мировых аналогов этих инструментов, доходности российских акций дельта-коррелированы во времени, а индекс РТС имеет короткие автокорреляции с временем менее 1 минуты. При этом, как и у инструментов на западных биржах, модули доходностей имеют длинные автокорреляции с характерными временами более 1 месяца. Основное внимание в этой главе уделяется исследованиям

кумулятивных функций распределения доходностей российских акций. Они обладают всеми теми же свойствами, что и их западные аналоги. В частности, имеет место масштабная инвариантность функций распределения. При помощи метода Хилла определяются степенные показатели степенных функций, описывающих асимптотику для больших флуктуаций для разных интервалов фиксации данных. Хвосты распределений хорошо описываются законом вида 1 / х3, как и хвосты распределений для зарубежных финансовых инструментов. В этой главе также предложен способ определения минимального масштаба случайного процесса для флуктуаций на фондовом рынке, основанный на экспериментально определенном скейлинге средних величин доходностей. Таким образом, можно утверждать, что флуктуации доходностей финансовых инструментов являются независимыми случайными величинами, сумма которых описывается негауссовым распределением, характеризующимся скейлингом, но при этом обладающим конечным вторым моментом. Следовательно, ценовая динамика на фондовых рынках является процессом усеченных блужданий Леви. Встает вопрос построения модели для такого рода финансовых систем. Для решения этой задачи в четвертой главе приводится способ модификации схемы случайных блужданий, полученной в главе 3, которая позволяет достаточно точно моделировать процессы, эмпирически наблюдаемые на фондовых рынках.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Видов, Павел Викторович

Заключение

В работе построена двухуровневая модель негауссовых случайных блужданий с конечной дисперсией, где из степенного распределения вероятности единичного блуждания (прыжка на определенную величину) следует негауссово распределение вероятности найти частицу после большого количества прыжков. Введение закона прыжка типа (3.1.3) позволяет единым аналитическим образом рассмотреть как обычные блуждания Леви, так и усеченные блуждания Леви. Усеченные блуждания Леви асимптотически проявили те же свойства устойчивости и масштабируемости, что и обычные. Для усеченных блужданий получены аналитические асимптоты и выяснены законы масштабирования. Асимптотические усеченные блуждания Леви оказались имеющими типично безмасштабное распределение ~ Я'2/}, которое характерно и для асимптот «чистых» блужданий Леви, но спадает с ростом Я быстрее. Таким образом, усеченные блуждания Леви вместе с «чистыми» перекрывают весь класс распределений Парето [77].

Полученная модель применяется для описания статистических характеристик временных рядов, представляющих собой фиксации логарифмов относительных приращений цен (доходностей) акций и индексов на российском фондовом рынке. Ряды данных доходностей характеризуются короткими автокорреляциями, что повторяет поведение аналогичных величин на других фондовых рынках. Таким образом, можно утверждать, что динамику цен акций и индексов можно представить в первом приближении как случайный процесс с независимыми приращениями. Автокорреляции рядов модулей доходностей, напротив - длинные. Время автокорреляции этих величин достигает нескольких месяцев.

Были также исследованы функции распределения флуктуаций доходностей акций и индексов на российском фондовом рынке. Кумулятивные распределения вероятности флуктуаций доходностей

российских акций и индексов также как и у всех исследованных мировых индексов и акций, обладают свойством масштабной инвариантности, а асимптотика при больших флуктуациях описывается законом типа обратного куба, то есть не попадает в диапазон Леви. Таким образом, можно утверждать, что флуктуации доходностей финансовых инструментов являются независимыми случайными величинами, сумма которых описывается негауссовым распределением, характеризующимся скейлингом, но при этом обладающим конечным вторым моментом. Следовательно, ценовая динамика на фондовых рынках является процессом усеченных блужданий Леви.

Такое распределение может быть получено при помощи схемы случайных блужданий (прыжков) с законом единичного прыжка (3.1.3) только при ¡3=2. Закон прыжка является универсальным для всех исследованных финансовых рядов.

Для того чтобы решать задачу о случайных блужданиях на фондовом рынке, необходимо определить, каков минимальный масштаб данного процесса, то есть что можно считать элементарным прыжком в схеме случайных блужданий. Оказывается, что элементарным прыжком в схеме случайных блужданий исходя из скейлинга средних значений доходностей акций на фондовом рынке, измеренных на различных временных интервалах, является акт совершения единичной сделки (тик цены).

Простая схема случайных блужданий с законом единичного прыжка (3.1.3) при р=2 не позволяет дать точного объяснения зависимости нормированных функций распределения и кумулятивных распределений от N. Модификация схемы случайных блужданий обеспечивается за счет введения эмпирически подтвержденной зависимости величины {г,} от количества акций, торгуемых в одной сделке. В этом случае конечная зависимость кумулятивных функций распределения от количества тиков попадает в диапазон от №5 до №'27, что позволяет удовлетворительно описать эмпирические распределения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Видов, Павел Викторович, 2013 год

Литература

1. Справочник по элементарным функциям. Под ред. М.Абрамовица и И.Стиган. М.: Наука (1979), гл.6.

2. Батурин В. Н., Лебедев С. Г., Маслов В. П., Садовников Б. И., Чеботарев А. М., «Гипотеза о законе распределения высоких доходов и его интерпретации» // Экономическая наука современной России. № 4(31), (2005). С. 57-62.

3. Видов П.В., Романовский М.Ю., «Доходность активов российского фондового рынка: автокорреляции и распределения» // Математика. Компьютер. Образование, Тезисы XV международной конференции, (2008)

4. Видов П.В., Жуков И.А., Романовский М.Ю., «Доходность активов российского фондового рынка: автокорреляции и распределения» // Математика. Компьютер. Образование, Сб. трудов XV международной конференции, Ижевск: Научно-издательский центр "Регулярная и хаотическая динамика", (2008), Том 1, 302 стр. Стр. 196-201

5. Видов П.В., Романовский М.Ю., «Аналитические представления негауссовых законов случайных блужданий» // Труды Института общей физики им. A.M. Прохорова, Т.65, (2009)

6. Видов П.В., Романовский М.Ю., «Неклассические случайные блуждания и феноменология флуктуаций доходности ценных бумаг на фондовом рынке» // УФН, 181, 774-778, (2011)

7. Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н., «Предельные распределения для сумм независимых случайных величин» // М.:ГИТТЛ, (1949).

8. Романовский М.Ю., Романовский Ю.М. «Введение в эконофизику. Статистические и динамические модели» // Москва, Ижевск: РХД, (2007), 280 с

9. Романовский М.Ю., Видов П.В., Пыркин В.А., «Является ли тик элементарным прыжком в схеме случайных блужданий на фондовом

рынке?» // Компьютерные исследования и моделирование, Т.2, № 2, с.219-223, (2010)

10. Чеботарев А. М. «Распределение Парето как результат компьютерной реконструкции статистики авторынка России» // Ukrainian J. Economist. №7, (2004), С. 6-11.

11.Феллер В., «Введение в теорию вероятностей», Т.2 (глава 6) // М.: Мир (1976)

12. R. Brown, «Additional remarks on active molecules» // Phil. Mag. 4, (1828) 161; Ann. Phys. Chem. 14, (1828), 294.

13. L. Bachelier, «Theorie de la Speculation» // Paris: Gauthier-Villars, (1900)

14. F. Bardou, J.P. Bouchaud, O. Emile, A. Aspect and C. Cohen-Tannoudji, «Subrecoil Laser Cooling and Levy Flights» // Phys. Rev. Lett., 72 (2), (1994)

15. Robert C. Blattberg and Nicholas J. Gonedes, «А Comparison of the Stable and Student Distributions as Statistical Models for Stock Prices» // The Journal of Business, Vol. 47, No. 2, (1974), pp. 244-280

16. O. Bychuk, B. O'Shaughnessy, «Anomalous Diffusion at Liquid Surfaces» // Phys. Rev. Lett., 74 (10), (1995)

17. D. Brockman, L. Hufnagel, T. Geisel, «The scaling of human travel» // Nature 439, 462-465, (2006)

18. P. Barthelmy, J. Bertoltti, D. Wiersma, «А Levy flight for light» //Nature 453, 495-498, (2008)

19. J. Berlotti, K.Vynck, L.Patelli, P.Barthelmy et al., «Engineering Disorder in Superdiffusive Levy Glasses» // Adv. Funct. Mater. 20, 965, (2010)

20. J.-P. Bouchaud, «Economics needs a scientific revolution» //Nature. V. 455. P. 1181,(2008)

21. J.-P. Bouchaud, «The subtle nature of financial random walks» // Chaos 15, 026104,(2005)

22. F. Black, M. Scholes, «The pricing of options and corporate liabilities» // J. Polit. Econ. 81, 637-659, (1973)

23. Brailsford T. J., « The empirical relationship between trading volume, returns and volatility» // Accounting and Finance 36, 89, (1996)

24. S. Chandrasekhar, «Stochastic problems in physics and astronomy» // Rev.Mod.Phys. 15, 1, (1943)

25. Peter K. Clark, «A Subordinated Stochastic Process Model with Finite Variance for Speculative Prices»//Econometrica, Vol. 41, No. 1, (1973), pp. 135-155

26. Cole B.J., «Fractal time in animal behavior: the movement activity of Drosophila»//Anim. Behav., 50, 1317-1324, (1995)

27. P.H.Cootner, «The random Character of Stock Market Prices» // MIT Press, Cambrige MA, USA, (1964)

28. P. Cizeau, Y. Liu, M. Meyer, C.-K. Peng, and H. E. Stanley, «Volatility distribution in the S&P500 stock index» // Physica A 245, 441-445, (1997)

29.M.M. Dacorogna at al., «Statistical study of foreign exchange rates, empirical evidence of a price change scaling law, and intraday analysis» // J. Bank. Fin., Vol. 14(6), pp. 1189-1208, (1990)

30. A. Einstein, «On the movement of small particles suspended in stationary liquids required by the molecular-kinetic theory of heat » // Annalen der Physik 17, (1905), 549-560

31. W.Ebeling, I.M.Sokolov. «Statistical Thermodynamics and Statistic Theory of Nonequilibrium Systems» // World Sci. Publ., Singapore, (2005)

32. A. Fick, «Ueber diffusion» // Ann. Phys, Leipzig, 170, (1855)

33. Farmer, J.D., «Physicists attempt to scale the ivory towers of finance» // Computing in Science & Engineering (Nov./Dec.), 26-39, (1999)

34. E.F. Fama, «The Behavior of Stock Market Prices» // J. Business, Vol. 38, (1965), pp. 34-105

35. H.C. Fogedby, «Levy flights in random environments» // Phys. Rev. Lett. 73 (1994), 2517

36. X. Gabaix, P. Gopikrishnan, V. Plerou & H. Eugene Stanley, «A theory of power-law distributions in financial market» // Nature 423, 267-270, (2003)

37. P. Gopikrishnan, M. Meyer, L. A. N. Amaral and H. E. Stanley, «Inverse cubic law for the distribution of stock price variations» // Eur. Phys. J. B, 3, 139, (1998)

38. P. Gopikrishnan, V. Plerou, L. A. N. Amaral, M. Meyer, H. E. Stanley, «Scaling of the distribution of fluctuations of financial market indices» // Phys. Rev. E, 60, 5, 5305-5316, (1999)

39. P. Gopikrishnan et. al., « Quantifying and interpreting collective behavior in financial markets» // Phys. Rev. E 64, (2001)

40. P. Gopikrishnan P et al, «Scaling and correlation in financial time series» // Physica A 287, 362, (2000)

41. P. Gopikrishnan et al, «Statistical properties of share volume traded in financial markets // Phys. Rev.E 62, R4439, (2000)

42. S. Havlin, D. Movshovitz, B. Trus, G.H. Weiss, «Probability densities for the displacement of random walks on percolation clusters» // J. Phys. A 18, (1985)

43. P. Haenggi, F. Marchesoni, «Introduction: 100 years of Brownian motion» //Chaos 15, 026101, (2005)

44. B.M. Hill, «A Simple General Approach to Inference About the Tail of a Distribution» // The Annals of Statistics, Vol. 3, No. 5, (1975)

45. Jan Ingenhousz, «Nouvelles expériences et observations sur divers objets de physique» // Paris, (1785)

46. P. Jorion, «Value at Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk» // McGraw-Hill, New York, (2000)

47. A. Klemm, H.-P. Muller, R. Kimmich, «Evaluation of fractal parameters of percolation model objects and natural porous media by means of NMR microscopy» // Physica 266A, (1999) 242

48. J. Klafter, A. Blumen, M.F. Shlesinger, «Stochastic pathway to anomalous diffusion» // Phys. Rev. A 35, (1987) 3081

49. V.M. Kenkre, E.W. Montroll, M.F. Shlesinger, «Generalized master equations for continuous-time random walks» // J. Stat. Phys. 9, (1973)

50. Karpoff J. M., «The Relation between Price Changes and Trading Volume: A Survey»//Journal of Finance 41(5), 1069, (1986)

51. A. Khintchine, «Zur additiven Zahlentheorie», Mat. Sb., 39:3 (1932), 27-34

52. I.Koponen, «Analytic approach to the problem of convergence of truncated Levy flights towards the Gaussian stochastic process» // Phys.Rev.E. 52, 1197, (1995)

53. Leonidov A., Trainin V., Zaitsev A., ZaitsevS., «Market Mill Dependence Pattern in the Stock Market: Modeling of Predictability and Asymmetry via Multi-component Conditional Distribution» // Physica A 386, (2007), 240

54. P.Levy, «Theorie de l'Addition des Variables Aleatoires» // Gauthier-Villars, Paris, (1937)

55. W.D. Luedtke and Uzi Landman, «Slip Diffusion and Levy Flights of an Adsorbed Gold Nanocluster» // Phys. Rev. Lett., 82(19), (1999)

56. Y. Liu, P. Gopikrishnan, P. Cizeau, M. Meyer, C.-K. Peng and H. E. Stanley, «The statistical properties of the volatility of price fluctuations» // Phys. Rev. E 60, 1390-1400, (1999)

57. Y. Liu, P. Cizeau, P. Gopikrishnan, M. Meyer, C.-K. Peng and H. E. Stanley «Correlations in economic time series» // Physica A 245, 3-4, (1997)

58. Loretan M and Phillips P.C.B., « Testing the covariance stationarity of heavy-tailed time series: An overview of the theory with applications to several financial datasets»// J. of Empirical Finance 1 211,(1994)

59.1. A. Lubashevsky, N. G. Gusein-zade, K. G. Garnisov, «Macroscopic phase states of traffic flow in tunnels» // Physics of Wave Phenomena, Volume 17, Issue 4, (2009), pp 301-312

60. T. Lux, «The stable Paretian hypothesis and the frequency of large returns: an examination of major German stocks» // Appl. Financial Econ. 6, (1996), pp. 463-475

61. B.B. Mandelbrot, J.W. van Ness, «Fractional Brownian Motions, Fractional Noises and Applications» // SI AM Rev. 10, (1968) 422

1 62. E.W. Montroll, G.H. Weiss, «Random walks on lattices» // J.Math.Phys., 6, 2, (1965), 167-181

63. R. Metzler, J. Klafter, «Random walks guide to anomalous diffusion» // Phys. Rep. Rev. Sec. Phys. Lett, 339, 1, (2000)

64. B.B. Mandelbrot, «The Variation of certain speculative prices» // J. Business 36, 394-419, (1963)

65. B.B. Mandelbrot, H.M. Taylor, «On the distribution of stock price differences»// Operations research, 15, 1057-1062, (1967)

66. R. N. Mantegna and H. E. Stanley, «Scaling behavior in the dynamics of an economic index» // Lett. Nature 376, 46, (1995)

67. R. N. Mantegna and H. E. Stanley, «Stochastic process with ultraslow convergence to a Gaussian: the truncated Levy flight» // Phys. Rev. Lett., 73, 2946, (1994)

68. R.N. Mantegna, H.E. Stanley, «An Introduction to Econophysics: Correlations and Complexity in Finance» // Cambridge University Press, Cambridge, (2000)

69. R. Mantegna, H.E. Stanley, «Stock market dynamics and turbulence: parallel analysis of fluctuation phenomena» // Physica A 239 (1997), pp. 255-266

70. B. O'Shaugnessy, I. Procaccia, «Analytical Solutions for Diffusion on Fractal Objects» // Phys. Rev. Lett. 54, (1985) 455

71. A. Ott, J.P.Bouchaud, D. Langevin and W. Urbach, «Anomalous Diffusion in "Living Polymers": A Genuine Levy Flight?» // Phys. Rev. Lett., 65(17), (1990)

72. M.F.S. Osborne, «Brownian motion in the stock market» // Oper. Res. 7, 145-173, (1959)

73. A. Pagan, «The econometrics of financial markets» // J. Empirical Finance 3,15 (1996)

74. K. Pearson, «The Problem of the random walk» // Nature 72 (1905) 294, p. 342

75. G. Pfister, H. Scher, «Time-dependent electrical transport in amorphous solids: As2Se3» //Phys. Rev. B 15, (1977) 2062.

76. G. Pfister, H. Scher, «Dispersive (non-Gaussian) transient transport in disordered solids» // Adv. Phys. 27, (1978) 747.

77. V. Pareto, «Cours d'Economie Politique» // Lausanne and Paris, (1897)

78. V. Plerou, P. Gopikrishnan, L.A.N. Amaral, M. Meyer, IT.E. Stanley, «Scaling of the distribution of price fluctuations of individual companies» // Phys. Rev. E 60, 6519-6529, (1999)

79. Plerou V and Stanley H E, «Tests of scaling and universality of the distributions of trade size and share volume: Evidence from three distinct markets» // Phys.Rev.E. 76, 046109, (2007)

80. Plerou V and Stanley H.E, «Cross-correlations between volume change and price change» // Phys.Rev.E. 79, 068102, (2009)

81. Racz E et al., «Comment on «tests of scaling and universality of the distributions of trade size and share volume: evidence from three distinct markets»//Phys.Rev.E. 79, 068101, (2009)

82. L.F. Richardson, «Atmospheric Diffusion Shown on a Distance-Neighbour Graph» // Proc. R. Soc. Lond. A, (1926)

83. M.Yu. Romanovsky, P.V. Vidov, «Analytical representation of stock and stock-indexes returns: Non-Gaussian random walks with various jump laws» // Physica A, 390, 21-22, (2011)

84. H. Scher, E.W. Montroll, «Anomalous transit-time dispersion in amorphous solids» // Phys. Rev. B 12, (1975) 2455

85. Skjeltorp J.A., «Scaling in the Norwegian stock market» // Physica A 283, 486, (2000) -

86. I.M. Sokolov, «Levy flights from a continuous-time process» // Phys. Rev. E 63, 011104-1/10, (2001)

87. T.H. Soloman, E. Weeks and H. Swinney, «Observation of Anomalous Diffusion and Levy Flights in a Two-Dimensional Rotating Flow» // Phys.Rev.Lett., 71(24), (1993)

88. Shlesinger M.F., «On Growth and Form» // 283, Nijhof, Dordrecht, (1986)

89. M. T. Subbotin, «On the Law of Frequency of Error» //Mat. Sb., 31:2 (1923), 296-301

90.P.V.Vidov and M.Yu.Romanovsky, «Analytical representation of non-Gaussian laws of random walks» // Physics of wave phenomena, V. 17, No.3., (2009), P.218-228

91. G.M.Viswanathan, V. Afanasyev, S.V.Buldyrev et al., «Levy flight search patterns of wandering albatrosses» //Nature, 6581, (1996), pp.413-414

92. F. Wang, K. Yamasaki, S. Havlin and H.E. Stanley, « Scaling and memory of intraday volatility return intervals in stock markets» // Phys. Rev. E 73, 026117, (2006)

93. N.Wiener, «The homogenous chaos» // Amer. J. Math. 60, 897, (1938)

94. H.W. Weber, R. Kimmich, «Anomalous segment diffusion in polymers and NMR relaxation spectroscopy» // Macromol. 26, (1993) 2597

95. K.G. Wang, L.K. Dong, X.F. Wu, F.W. Zhu, T. Ko, «Correlation effects, generalized Brownian motion and anomalous diffusion» // Physica A 203, (1994) 53.

96. W. Young, A. Pumir, Y. Pomeau, «Anomalous diffusion of tracer in convection rolls» // Phys. Fluids A 1, (1989) 462

97. Zaitsev S., Zaitsev A., Leonidov A., Trainin V., «Market Mill Dependence Pattern in the Stock Market: Multiscale Conditional Dynamics» // Physica A 388 (2009), 4624

98. V. Zolotarev, «One-Dimensional Stable Distributions» // American Mathematical Society, Providence RI, (1986)