Математическое моделирование динамики финансовых временных рядов с эффектом памяти тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, кандидат экономических наук Лашкарев, Алексей Николаевич

• Лашкарев, Алексей Николаевич
• кандидат экономических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат экономических наук Лашкарев, Алексей Николаевич

Введение.

Глава 1. Математические модели финансовых временных рядов.

1.1 Эффект памяти.

1.2 Биномиальная модель как модель без эффекта памяти.

1.3 Обобщение биномиальной модели как модель с короткой памятью.

1.3.1 Логарифмическая ОБМ.-.

1.3.2 Стандартный вид частного случая ОБМ.

1.4 Случайное блуждание в случайной среде как модель с долгой памятью.

Глава 2. Расчет вероятностных характеристик ОБМ.

2.1 Равносильное блуждание на цилиндре.

2.1.1 Блуждание на цилиндре.

2.1.2 Математическое ожидание для блуждания по цилиндру.

2.2 Характеристики ОБМ.

2.2.1 Собственные значения.'.

2.2.2 Собственные векторы.

2.2.3 Разложение по собственным векторам.

2.2.4 Оценка собственных значений.

2.2.5 Дисперсия модели.

2.2.6 Пример - применение формулы для дисперсии к частному случаю

2.3 Нейтральность к риску обобщённой модели.

2.4 Логарифмическая модель. Предельный переход.

2.4.1 Вероятностные характеристики логарифмической модели.

Глава 3. Экономические приложения ОБМ.

3.1 Оценка величины риска инвестирования.

3.2 Мобильность капитала и устойчивость экономики.

3.3 ОБМ как модель результатов управления.

3.4 Экономика предприятия. Методы планирования.

3.5 Страхование и ОБМ.

3.6 Примеры реализации траекторий ОБМ.

Глава 4. Применение обобщенной биномиальной модели к прогнозам индекса РТС и цен на нефть.

4.1 Вычисление вероятностных характеристик индекса РТС в рамках ОБМ.

4.2 Сравнение с аналогичным прогнозом простой биномиальной модели.

4.3 О применимости представленных расчетов для индекса РТС.

4.4 Прогноз цен на нефть.

4.5 Программный продукт.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование динамики финансовых временных рядов с эффектом памяти»

Актуальность темы. Современный финансовый рынок является одним из наиболее ярких примеров глобализации и модернизации мировой экономики. Инфраструктура финансовых рынков представлена большим разнообразием финансовых посредников, выполняющих как брокерские, так и дилерские функции, огромным количеством биржевых и внебиржевых финансовых операций, а также широким спектром новых финансовых инструментов, позволяющих не только получать высокие доходы, но и снижать финансовые риски. В условиях быстро изменяющейся конъюнктуры финансового рынка менеджеру финансовой компании необходимы стратегии управления, позволяющие в считанные секунды принимать решения по . управлению финансовыми активами. Чтобы не действовать вслепую, участникам рынка требуются эффективные инструменты, позволяющие проводить глубокий экономический анализ финансового рынка и прогнозировать динамику его развития. Очевидно, что такого рода прогнозы должны иметь под собой определенную научную основу, сформированную из построения соответствующей математической модели финансового временного ряда. Однако в настоящее время еще рано говорить о завершенной экономико-математической теории финансового рынка, имеющей адекватные приложения к любому финансовому временному ряду. Современные методы сбора и хранения статистических данных, их обработки и анализа с применением вычислительной техники дают эмпирический материал для анализа различных концепций относительно функционирования финансовых рынков, позволяют выделять новые эффекты финансовых временных рядов, строить гипотезы относительно характера распределений цен и динамики их поведения. В связи с этим становятся актуальными научные исследования по математическому моделированию новых свойств финансовых временных рядов, продвигающие нас в развитии экономико-математической теории финансового рынка.

В среде финансистов есть достаточное количество тех, кто скептически относится к построению математических моделей финансовых временных рядов, поскольку не находят в них сколько-нибудь значимого прогноза относительно будущего движения цен на финансовом рынке. Например, известный финансист Дж. Сорос в своих работах ([4]). подвергает критике гипотезу случайного блуждания, на основе которой построена известная модель Блэка-Мертона-Шоулса. Главным аргументом финансистов-скептиков против использования математического моделирования является то, что, как правило, построенные модели не дают возможности получить какой-либо прогноз о будущих ценах с достаточной надежностью. Действительно, в классической биномиальной модели с точки зрения будущего движения цены даже ее направление - вверх или вниз - определяется только с вероятностью Уг. Это все равно, что бросать монету, чтобы прогнозировать, куда пойдет цена: вверх или вниз. Понятно, что для финансового менеджера в момент спекулятивной игры на повышение или понижение данная модель не может дать каких-либо практических рекомендаций по управлению инвестиционным портфелем. Однако это не означает, что построение математической модели финансового временного ряда не несет никакой информации для его исследователя. Наоборот, как правило, построенная модель позволяет получать описание процесса эволюции цены на другом более качественном уровне. Неудивительно, что . гипотеза случайного блуждания привела к ставшей сегодня классической концепции рационально функционирующего (или эффективного) рынка. В частности, упомянутая выше модель Блэка-Мертона-Шоулса позволяет оценивать вероятностное распределение будущей цены финансового актива и его числовые характеристики. Это, в свою очередь, дает возможность рассчитать риски будущих финансовых операций и дисконтировать свои активы с учетом рассчитанного риска. Поэтому построение математических моделей финансовых временных рядов является актуальной задачей, требующей разнообразных методов ее решения.

Примерами классических моделей, получивших широкое применение в финансовой теории и финансовом менеджменте, являются модель Башелье, модель Блэка-Мертона-Шоулса и модель Кокса-Росса-Рубинштейна, в основе которых лежат, соответственно, линейное броуновское движение, геометрическое броуновское движение и геометрическое случайное блуждание. Однако, как показывает практика, существуют эмпирически подтвержденные феномены, которые не свойственны приведенным классическим моделям. Например, замечено, что при малых волатильностях финансового актива цены стремятся к тому, чтобы их рост или падение длились как можно больше, то есть сохранять направление движения. В то время как для активов с большой волатильностью характерно стремление цены повернуть движение в противоположном направлении, основанное на замедлении своего роста или падения. Все это говорит о том, что для финансовых временных рядов характерен эффект памяти, когда изменение цены зависит от величины предыдущего изменения. Поэтому является актуальным рассмотрение вероятностно-статистических моделей, описывающих эволюцию финансовых временных рядов с учетом выявленного эмпирически эффекта памяти.

Цель работы заключается в построении математических моделей финансовых временных рядов с эффектом короткой или долгой памяти, позволяющих анализировать влияние фактора памяти на динамические свойства финансового временного ряда, а также в разработке на основе построенных моделей математика ческих методов расчета динамических показателей, повышающих точность прогноза динамики финансового временного ряда и позволяющих оценивать финансовые риски инвестиционных проектов.

Для достижения поставленной цели определены следующие задачи:

- провести статистический анализ финансовых временных рядов с целью выявления эмпирических закономерностей, подтверждающих наличие в их динамике эффекта памяти;

- построить математические модели, позволяющие адекватно учитывать в поведении ряда эффект короткой и долгой памяти, и исследовать их динамические свойства;

- выписать формулы основных вероятностных характеристик построенных случайных процессов, моделирующих эффект памяти; *

- разработать и реализовать на ЭВМ на основе построенной модели методику прогнозирования будущих динамических характеристик конкретных финансовых временных рядов, обладающих эффектом короткой памяти;

- доказать возможность применения результатов построенной модели для анализа рисков управления инвестиционным портфелем на финансовых рынках.

Объектом исследования являются финансовые временные ряды - последовательности числовых данных, отражающие динамику курсов акций, фьючерсов, обменных курсов валют и биржевых индексов, а также другие временные ряды, обладающие свойством последействия.

Предметом исследования является анализ влияния различных эффектов памяти на динамические свойства и статистические характеристики наблюдаемых рядов.

Методы исследования. В ходе исследования использовались методы теории случайных процессов, стохастической финансовой математики, математической статистики, высшей алгебры, а также средства вычислительной техники и современные программные продукты.

Достоверность и обоснованность полученных в работе результатов и выводов основывается на том, что экономико-математические модели, предложенные в работе, базируются на фундаментальных положениях высшей алгебры, теории вероятностей и математической статистики. Достоверность результатов также подтверждается представительной статистикой финансовых временных рядов.

На защиту выносятся следующие основные положения:

- результаты статистического исследования финансовых временных рядов, позволяющие выявлять и классифицировать эффекты памяти;

- обобщение классической биномиальной модели, имитирующее эффект короткой памяти финансовых временных рядов;

- понятие геометрического случайного блуждания в случайной среде как случайного процесса, моделирующего эффект долгой памяти, и результаты его асимптотического исследования;

- методика расчета параметров обобщенной биномиальной модели, основанная на исследовании вспомогательного процесса случайного блуждания на цилиндре;

- формулы расчета вероятностных характеристик логарифма обобщенной биномиальной модели, полученные в результате применения метода предельной перенормировки;

- результаты применения обобщенной биномиальной модели для расчета инвестиционных рисков, к индексу РТС, цене на сырую нефть.

Научная новизна полученных результатов определяется проведенными комплексными исследованиями финансовых временных рядов и заключается в том, что:

- путем обобщения биномиальной модели построена математическая модель финансовых временных рядов, обладающих эффектом короткой памяти;

- впервые введено понятие геометрического случайного блуждания в случайной среде как процесса, моделирующего финансовый временной ряд с эффектом долгой памяти;

- разработана методика расчета вероятностных параметров обобщенной биномиальной модели, позволяющая вычислять моменты произвольного порядка будущей цены финансового актива;

- предложен оригинальный метод предельной перенормировки случайного процесса ценообразования в обобщенной биномиальной модели, применение которого позволило получить формулы для оценки математического ожидания и дисперсии логарифма цены исследуемого финансового инструмента;

- доказана возможность применения результатов построенной обобщенной биномиальной модели для анализа рисков управления инвестиционным портфелем на финансовых рынках.

Теоретическая значимость работы заключается в том, что построенные модели позволяют определять влияние эффекта памяти на свойства финансовых временных рядов и управлять их характеристиками.

Практическая значимость работы заключается в том, что полученные результаты были применены, при построении прогнозов динамики фондового рынка для анализа риска инвестирования и могут быть использованы при оценке устойчивости и управлении экономическими системами.

Разработанная методика и соответствующий программный продукт прошли опытную эксплуатацию в ЗАО «Инвестиционная компания «Финам»» (г. Москва), что подтверждено актом внедрения.

Структура и объем диссертации. Диссертация содержит введение, 4 главы, заключение, список литературы и приложение.

Заключение диссертации по теме «Математические и инструментальные методы экономики», Лашкарев, Алексей Николаевич

Заключение

В результате проведенного исследования решены следующие задачи: проведен статистический анализ финансовых временных рядов с целью выявления эмпирических закономерностей, подтверждающих наличие в их динамике эффекта памяти; построены математические модели финансовых временных рядов, адекватно учитывающие эффекты долгой и короткой памяти; проведены комплексные исследования динамических свойств построенных моделей; для случайных процессов, моделирующих эффект памяти в финансовых временных рядах, выписаны формулы основных вероятностных характеристик; на основе построенной модели разработана и реализована методика прогнозирования будущих динамических характеристик конкретных финансовых временных рядов, обладающих эффектом памяти; доказана возможность применения результатов построенной модели для анализа рисков управления инвестиционным портфелем на финансовых рынках.

Из результатов проведенных исследований сделаны следующие выводы.

1. Финансовые временные ряды имеют устойчивые эмпирические закономерности, подтверждающие наличие эффекта памяти в их динамике. Эти закономерности выявлены и формально описаны в ходе диссертационного исследования. Между тем классические модели финансовых временных рядов, такие как биномиальная модель эволюции цены акций, никоим образом не учитывают эффект памяти.

2. В работе показано, что поведение финансовых временных рядов, обладающих эффектом памяти, разнообразно в зависимости от того, насколько долго сохраняется зависимость будущей динамики финансового временного ряда от предыдущих его значений или изменений. Поэтому предложено различать эффекты долгой и короткой памяти.

3. Под короткой памятью в работе понимается зависимость распределения изменения цены финансового актива только от предыдущего изменения. Данный эффект короткой памяти моделируется с помощью обобщения биномиальной модели, в ходе которого предполагается, что последовательность изменений финансового временного ряда образуют цепь Маркова. Для такой модели установлено, что асимптотическое поведение цены финансового актива является классическим. В этом случае динамика финансового временного ряда может быть описана с помощью логнормального распределения, что позволяет сделать вывод о важности построения точных прогнозов для будущих среднего и дисперсии.

4. Эффект долгой памяти в настоящей работе смоделирован с помощью специального случайного процесса, названного геометрическим случайным блужданием в случайной среде. Приведенные в работе результаты показывают, что поведение геометрического случайного блуждания в случайной среде гораздо более разнообразно, чем поведение классического геометрического случайного блуждания, на котором основана биномиальная модель. А значит, исследования процессов, моделирующих эффект долгой памяти, не могут быть сведены к применении центральной предельной теоремы и оценке математического ожидания и дисперсии будущих значений финансового временного ряда.

5. В работе отдельно исследована обобщенная биномиальная модель. Для нее выведены явные формулы вычисления ее основных вероятностных, основанные на построении вспомогательного процесса случайного блуждания на цилиндре. Полученные формулы позволяют получать точные прогнозные оценки будущих значений среднего и дисперсии цены финансового актива в обобщенной биномиальной модели.

6. В работе реализован оригинальный метод предельной перенормировки случайного процесса ценообразования в обобщенной биномиальной модели, применение которого позволило получить формулы для математического ожидания и дисперсии логарифма цены моделируемого финансового инструмента. С учетом предельной нормальности логарифма обобщенной биномиальной модели это позволяет значительно упростить расчеты параметров и построение прогнозов при помощи обобщенной биномиальной модели.

7. Доказана возможность применения обобщенной биномиальной модели для анализа рискованности инвестиций на фондовом рынке. В ластности, выписаны формулы для вычисления вероятности непревышения заданного уровня убытков, а также для определения уровня убытка, который не будет превышен с заданной вероятностью.

8. Обоснована применимость обобщенной биномиальной модели при выборе стратегии управления хозяйствующим субъектом, при планировании его деятельности для расчета волатильности экономических показателей, таких как доход. В рамках применения обобщенной биномиальной модели показано отрицательное влияние неограниченной мобильности капитала на волатильность финансового рынка.

9. Применение обобщенной биномиальной модели для построения прогнозов будущих значений индекса РТС уточняет (вследствие учета эффекта последействия) прогнозы доверительного интервала значений индекса относительно прогнозов, построенных на основании применения классической биномиальной модели, в которой эффект последействия не учитывается.

10. Для практического применения обобщенной биномиальной модели создан удобный для пользователя программный продукт, позволяющий оценивать параметры модели для заданного ряда, строить прогнозы с произвольным уровнем значимости и моделировать поведение ряда. Данный программный продукт принят к использованию одним из ведущих участников фондового рынка России - компанией «ФИНАМ», что подтверждено соответствующим актом внедрения.

Основные положения диссертации и отдельные результаты исследований обсуждались и докладывались на XXXIX и ХЬ Международных конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2001г. и 2002г.), Всероссийской научно-практической конференции «Проблемы и перспективы российской экономики» (г. Пенза, 2005г.), Всероссийской научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов «Прикладные аспекты статистики и эконометрики» (МЭСИ, Москва, 2005г.), Седьмой научно-практической конференция преподавателей и сотрудников УдГУ, посвященной 245-летию г. Ижевска (г. Ижевск, 2005г.).

Список литературы диссертационного исследования кандидат экономических наук Лашкарев, Алексей Николаевич, 2005 год

1.' Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты. Модели. - М.: ФАЗИС, 1998. - 512 с,

2. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 2. Теория. М.: ФАЗИС, 1998. - 544 с.

3. Лётчиков А.В. Лекции по финансовой математики. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. - 240 с.

4. Сорос Дж. Алхимия финансов. Перев. с англ. М.: Инфра-М»1996.

5. P. A. Samuelson. Rational theory of warrant pricing. // Industrial Management Review, 1965, V. 6. P. 13-31.

6. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. -М: Наука, 1965.

7. Дж. Займан. Модели беспорядка. М.: Мир, 1982.

8. F. Solomon. Random walks in a random environment. Annals of Probability, 1975, vol. 3, no 1, p. 1-31.

9. M.B. Козлов. Блуждания в одномерной случайной среде. -Теория вероятностей и ее применения, 1973, т.18, вып. 2, с.406-408

10. Н. Kesten, M.V. Kozlov, F. Spitzer. A limit law for random walks in a random environmental Compos.Math., 1975, vol.30, no 2, p. 145-168.

11. A.O. Голосов. О предельных распределениях для случайного блуждания в критической одномерной случайной среде. Успехи матем. наук, 1986, т.41, №2, с. 189-190.

12. Н. Kesten. The limit distribution of Sinai's random walk in a random environment. Physica A, 1986, vol. 138, p. 299-309/

13. A.O. Голосов. О локализации случайного блуждания в случайной среде. Успехи матем. наук, 1984, т.39, №2, с. 145-146.

14. А.О. Голосов. Предельное распределение для случайных блужданий в случайных средах. Доклады АН СССР, 1983, т.271, №1, с.25-29.

15. Чжун Кай Лай. Однородные цепи Маркова. М.: Мир, 1964.

16. Я.Г. Синай. Предельное поведение одномерного случайного блуждания в случайной среде. Теория вероятностей и ее применения, 1982, т.27, вып. 2, с.247-258.

17. Тюрин Ю.Н., Макаров A.A. Статистический анализ данных на компьютере (под редакцией Фигурнова В.Э.) М.: Инфра-М, 1998.

18. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М.: Мир, 1974. - Вып. 1, 2.

19. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980. 576 с.

20. Летчиков A.B. Расчет рисков технического анализа рынка ценных бумаг. Известия института математики и информатики/Выпуск 1(18). - Ижевск: Удмуртский университет, 2000.

21. Магнус Я.Р., Катышев П.К. Пересецкий A.A. Эконометрика. Начальный курс. М.: Дело, 2000.

22. Вильяме Б. Новые измерения в биржевой торговле. М.: «ИК Аналитика», 2000.

23. Лашкарев А.Н. Обобщенная биномиальная модель и блуждания на цилиндре // Вестник Удм. ун-та. 2005. № 1. Серия Математика. -Ижевск: Изд-во УдГУ, 2005. С.215-224

24. Вавилова А.Ю., Лашкарев А.Н., Летчиков A.B. Динамические модели финансовых временных рядов // Вестник Удм. ун-та. 2005. № 3. Серия Экономика. Ижевск: Изд-во УдГУ, 2005. - С. 5-20.

25. Admati A. R., Pfleiderer P. A theory of intraday trading patterns // Review of Financial Studies. 1988. V. 1. P. 3-40.

26. Ball C. A., Torous W. N. Bond price dynamics and options // Journal of Financial and Quantitative Analysis. 1983. V. 18; P. 517-531.27. 3. Боди, А. Кейн, А. Дж. Маркус. Принципы инвестиций // Москва С.Петербург - Киев: Вильяме. 2002.

27. Boness A., Chen A., Jatusipitak S. Investigations of nonstationary prices // Journal of Business. 1974. V. 47. P. 518-537.

28. Буренин A. H. Фьючерсные, форвардные и опционные рынки. М.: Тривола, 1995.

29. Box G. Е. P., Jenkins G. М. Time Series Analysis: Forecasting and Control. San Francisco: HoldenDay, 1970.

30. Brennan M., Schwartz E. S. A continuous time approach to the pricing of bonds // Journal of Banking and Finance. 1979. V. 3. P. 133-155.

31. Brockwell P. J., Davis R. A. Time Series: Theory and Methods. 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 1991.

32. Четыркин E. M. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М.: Business Речь Дело, 1992.

33. Chan К. С., Karolyi G. A., LongstafFF., Sanders А. В. An empirical comparison of alternative models of the short-term interest rates // Journal of Finance. 1992. V. 47. №3. P. 1209-1227.

34. Cootner P. H. (Ed.). The Random Character of Stock Market Prices. Cambridge, MA: MIT Press, 1964.

35. Cox J.C., Ross R. A., Rubinstein M. Option pricing: a simplified approach // Journal of Financial Economics. 1979. V. 7. №3. P. 229-263.

36. Cox J.C., Rubinstein M. Options Markets. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1985.

37. Cowles A. Can stock market forecasters forecast? // Econometrica. 1933. V. 1. P. 309-324.

38. Cowles A. Stock Market Forecasting // Econometrica. 1944. V. 12. №3/4. P. 206-214.

39. Cowles A., Jones H. E. Some a posteriori probabilities in stock market action//Econometrica. 1937. V. 5. P. 280-294.

40. David H., Hartley H., Pearson E. The distribution of the ratio, in a single normal sample, of range to standard deviation // Biometrika. 1954. V. 41. P. 482-493.

41. Delbaen F., Schachermayer W. The Fundamental Theorem of Asset Pricing for Unbounded Stochastic Processes. Preprint. Zurich: ETH-Zentrum, 1997.

42. Ding Z., Granger C. W. J., Engle R. F. A long memory property of stock market returns and a new model// Journal of Empirical Finance. 1993. V. l.P. 83-106.

43. Dothan L. On the. term structure of interest rates // Journal of Financial Economics. 1978. V. 6. P. 59-69.

44. Dothan M. U. Prices in Financial Markets. Oxford: Oxford Univ. Press, 1990.

45. Duffie D. Dynamic Asset Pricing Theory. Princeton: Princeton Univ. Press, 1992.

46. Duffie D., Kan R. A yield-factor model of interest rates // Mathematical Finance. 1996. V. 6. №4. P. 379-406.

47. Dupire B. Model Art // RISK-magazin. 1993. V. 6. P. 118-124.

48. Dupire B. Pricing with a smile // RISK-magazin. 1994. V. 7. №1. P. 18-20.

49. El Karoui N., Quenez M. C. Dynamic programming and pricing of contingent claims in an incomplete market // SIAM Journal on Control and Opti-mization. 1995. V. 33. №1. P. 29-66.

50. Grangel C. W. J., Newbold P. Forecasting Economic Time Series. New York: Academic Press, 1977.

51. Granger C.W. J., Terasvirta T. Modelling Nonlinear Economic Relationships. Oxford: Oxford Univ. Press, 1993.

52. Hagerman R. More evidence on the distribution of security returns //Journal of Finance. 1978. V. 33. P. 1213-1221.

53. Hamilton J. D. Time Series Analysis. Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, 1994.

54. Hannan H. J. Multiple Time Series. New York: Wiley, 1970.

55. Harvey C. R., Huang R. D. Volatility in the foreign currency futures market // Review of Financial Studies. 1991. V. 4. P. 543-569.

56. Hasbrouck J. Trades, Quotes, Inventories and Information // Journal of Financial Economics. 1988. V. 22. P. 229-252.

57. Heath D., Jarrow R., Morton A. Bond pricing and the term structure of interest rates //Econometrica. 1992. V. 60. №1. P. 77-106.

58. Ho T., Lee S. Term structure movements and pricing interest rates contin-gent claims // Journal of Finance. 1986. V. 41. P. 1011-1029.

59. Home J. C. van. Financial Market Rates and Flows. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1984.

60. Hsu Der-Ann, Miller R.B., Wichern D.W. On the stable Paretian behavior of stock-market prices // Journal of American Statistical Association. 1974. V. 69. №345. P.-108-113.

61. Huberman G. A simple approach to arbitrage pricing theory // Journal of Economic Theory. March, 1982. P. 183-191.

62. Kreps D. Arbitrage and equilibrium in economies with infinitely many commodities // Journal of Mathematical Economics. 1981. V. 8. P. 1535.

63. Krugman P. Target zones and exchange rate dynamics//Quarterly Journal of Economics. 1991. V. 106. №3. P. 669-682.

64. Lamberton D., Lapeyre В. Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance. London: Chapman & Hall, 1996.

65. Malkiel B. A Random Walk down Wall Street. London: W. W. Norton & Co., 1991.

66. Malliaris A. G., Brock W. A. Stochastic Methods in Economics and Finance. Amsterdam: North-Holland, 1982.

67. Mandelbrot B.B. Statistical methodology for non-periodic cycles: from the covariance to R/S analysis // Annals of Economic and Social Measurement. 1972. V. 1. №3. P. 259-290.

68. Mandelbrot B.B. The variation of some other speculative prices // Journal of Business. 1967. V. 40. P. 393-413.

69. Mandelbrot В. В., Taylor H. M. On the distribution of stock price difference//Operations Research. 1967. V. 15. №6. P. 1057-1062.

70. Mantegna R. N., Stanley H. E. Scaling behaviour in the dynamics of an economic index // Nature. 1995. V. 376. P. 46-49.

71. Martin J.D., Cox S.H., Jr., McMinn R.D. The Theory of Finance. Evidence and Applications. London: The Dryden Press, 1988.

72. Mathematical Models in Finance. Ed. S.D. Howison, F.P. Kelly, P. Wilmott. London: Chapman & Hall, 1995.

73. Мельников А. В. Финансовые рынки: стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг. М.: ТВП, 1997.

74. Merton R. Continuous-Time Finance. Cambridge, MA/Oxford, UK: Blackwell, 1990.

75. Merton R. C. Theory of rational option pricing // Bell Journal of Economics and Management Science. 1973. №4 (Spring). P. 141-183.

76. Mills Т. C. The Econometric Modelling of Financial Time Series. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1995.

77. О'Брайен Дж., Шривастава С. Финансовый анализ и торговля ценными бумагами. М.: Дело Лтд, 1995. (Перевод с англ.: O'Brein

78. J.,ShrivastavaS. Financial Analysis and Security Trading. Pittsburg, PA: Carnegie Mellon University.)

79. Pagan A. R., Schwert G. W. Alternative models for conditional stock volatility// Journal of Econometrics. 1990. V. 45. P. 267-290.

80. Петраков H. Я., Ротарь, В. И. Фактор неопределенности и управление экономическими системами. М.: Наука, 1985.

81. Praetz P. The distribution of share price changes // Journal of Business. 1972. V. 45. P. 49-55.

82. Puu T. Nonlinear Economic Dynamics. New York: SpringerVerlag, 1989. (Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, № 336.)

83. РэдхэдК., Хъюс С. Управление финансовыми рынками. М.: Инфра-М, 1996. (Перевод с англ.: Redhead К., Huhhes S. Financial Risk Management.)

84. Risk Metrics. New York: Morgan Guaranty Trust Company, November, 1994.

85. Roberts H. V. Stock-market "patterns" and financial analysis: Methodological suggestions //Journal of Finance. 1959. V. 14. P. 1-10.

86. Rogers L. C. G., Talay D. (Eds). Numerical Methods in Finance. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1997.

87. Ross S. A. The arbitrage theory of capital asset pricing // Journal of Economic Theory. 1976. V. 13. P. 341-360.

88. Samuelson P. A. Proof that properly anticipated prices fluctuate randomly // Industrial Management Review. 1965. V. 6. P. 41-49.

89. Sandmann K., Sondermann D. A Note on the Stability of LogNormal Interest Rate Models and the Pricing of Eurodollar Futures. Preprint. Bonn: Bonn University, Dept. of Statistics, 1996.

90. Sandmann К., Sondermann D. A term structure model and the pricing of interest rate derivatives I I Review of Futures Markets. 1993. V. 12. №2. P. 391-423.

91. Schmidt W. M. On a general class of one-factor models for the term structure of interest rates // Finance and Stochastics. 1997. V. 1. №1. P. 324.

92. Sharpe W. F. Capital asset prices: A theory of market equilibrium under conditions of risk // Journal of Finance. 1964. V. 19 (September). P. 425442.

93. Shiller R. J. Stock Market Volatility. Cambridge, MA: MIT Press.

94. Ширяев A. H. Актуарное и финансовое дело: современное состояние и перспективы развития // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1994. Т. 1. №5. С. 684-697.

95. Ширяев А. Н. Вероятность. Изд. 2-е, перераб. и доп. М.: Наука, 1989

96. Ширяев А.Н. Стохастические проблемы финансовой математики // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва, ТВП. 1994. Т. 1. №5. С. 780-820.

97. Stein Е. М., Stein С. J. Stock prices distributions with stochastic volatility: an analytic approach // Review of Financial Studies. 1991. V. 4. №4. P. 727-752.

98. Стохастические аспекты финансовой математики. Тематический выпуск //Теория вероятностей и ее применения. 1994. Т. 39. №1.

99. Taylor S. Modeling Financial Time Series. New York: Wiley,1986.

100. TongH. Nonlinear Time Series. Oxford: Oxford Univ. Press,1990.

101. Tong H. Nonlinear Time Series: A Dynamical System Approach. Oxford-.Clarendon Press, 1990.

102. Timmermann A. Scales and stock markets // Nature. 1995. V. 376. P. 18-19.

103. Varian H. R. (Ed.). Economic and Financial Modeling with Mathematica (TELOS-The Electronic Library of Science). Berlin: SpringerVerlag, 1993.

104. Working H. A random-difference series for use in the analysis of time series // Journal of American Statistical Association. 1934. V. 29. P. 1124.