Дробно-дифференциальная теория аномальной кинетики носителей заряда в неупорядоченных полупроводниковых и диэлектрических системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, доктор физико-математических наук Сибатов, Ренат Тимергалиевич

• Сибатов, Ренат Тимергалиевич
• доктор физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Сибатов, Ренат Тимергалиевич

Введение

1 Дробно-дифференциальная кинетика дисперсионного переноса в неупорядоченных полупроводниках

1.1 Универсальность кривых переходного тока и автомодельность дисперсионного переноса.

1.2 От автомодельности к устойчивым законам и дробному уравнению адвекции

1.3 Модель Шера-Монтролла и дробно-дифференциальное уравнение Фоккера-Планка

1.4 Физические основания степенной асимптотики в распределении времён локализации

1.5 Кинетика в режиме многократного захвата

1.6 Подход Архипова-Руденко-Никитенко.

1.7 Дробно-дифференциальные уравнения дисперсионного переноса для локализованных и квазпсвободных носителей.

1.8 Диффузия электронов по собственным локализованным состояниям

1.9 Концепция локализации и дробно-дифференциальная кинетика

1.10 Учёт рекомбинационных процессов.

1.11 Учёт генерационных процессов.

1.12 Биполярный дисперсионный перенос.

1.13 От переходного тока к распределению времён ожидания.

1.14 Статистический подход.

1.15 Концепция слабой ограниченности и модель гауссова беспорядка Басслера

1.16 Перколяция и дробно-дифференциальная кинетика.

1.17 Моделирование дисперсионного переноса с помощью конечно-разностного метода.

1.18 Динамика Ланжевена и уравнение дробной диффузии.

1.19 Дробное уравнение Больцмана.

1.20 Систематизация дробно-дифференциальных уравнений дисперсионного переноса

Выводы к главе

2 Применение дробно-дифференциального подхода к описанию переноса в неупорядоченных полупроводниках

2.1 Переходный ток в неупорядоченных полупроводниках.

2.2 Переходный ток в случае усечённых степенных распределений времён ожидания

2.3 Переходный ток в полупроводниках с распределенным дисперсионным параметром

2.4 Кривые переходного тока в модели гауссова беспорядка Басслера

2.5 Частотная зависимость проводимости.

2.6 Нестационарная радиационная электропроводность.

2.7 Перколяционный подход для описания время-пролётного эксперимента в нанопористом кремнии.

2.8 Непуассоновское распределение ловушек в пространстве.

2.9 Роль корреляций в случае фрактального распределения пробегов

2.10 Фотолюминесценция, контролируемая дисперсионным переносом.

Выводы к главе 2.

3 Описание переходных процессов в структурах на основе неупорядоченных полупроводников

3.1 Учёт пространственного распределения локализованных состояний

3.2 Учёт поверхностных слоев полимера во время-пролётном эксперименте и перенос в многослойных структурах

3.3 Переходный ток в структурах неупорядоченный полупроводник - кристаллический полупроводник.

3.4 Переходный процесс при переключении диода из нейтрального в пропускное состояние в условиях дисперсионного транспорта.

3.5 Переходный процесс при выключении диода из пропускною состояния размыканием цепи в условиях дисперсионного транспорта.

3.6 Дисперсионная диффузия водорода в окисле МОП-транзисторов.

3.7 Частотная зависимость комплексной проводимое!и диода при дисперсионном переносе.

3.7.1 Частотная зависимость кондактанса

3.7.2 Частотная зависимость проводимости диода.

3.7.3 Частотная зависимость диффузионной ёмкости диода.

Выводы к главе 3.

4 Недебаевская релаксация в диэлектрических системах

4.1 Недебаевская диэлектрическая релаксация.

4.2 Частотные диэлектрические отклики.

4.3 Модель вращательной дробно-дифференциальной субдиффузии.

4.4 Диэлектрическая релаксация, управляемая дисперсионным транспортом носителей заряда.

4.4.1 Два представления функции Грина.

4.4.2 Сравнение с экспериментальными данными.

4.5 ДД-кинетика и отклик Коула-Дэвидсона.

4.6 ДД-кинетика и отклик Гаврильяка-Негами.

4.7 Универсальный диэлектрический отклик Джоншера.

4.8 Учёт сквозной проводимости и отклик Райку.

4.9 Закон релаксации Кольрауша-Вильямса-Ваттса.

4.10 Методика токов поляризации-деполяризации

4.11 Радиационно-диэлектрический эффект в рамках дробно-дифференциальной теории

Выводы к главе 4.

5 Аномальная кинетика в наноструктурах

5.1 Электронный транспорт в массиве коллоидных квантовых точек.

5.1.1 Моделирование методом Монте-Карло.

5.1.2 Блокирование переноса электронов в модифицированной модели Шера-Монтролла

5.1.3 Степенное затухание тока

5.1.4 Физические основания стенного распределения времён локализации в квантовых точках.

5.1.5 Обобщённый закон Ома и эффект памяти в массиве КТ.

5.2 Электронный транспорт в нанокомпозитах.

5.3 Мерцающая флуоресценция одиночных панокрпсталлов.

5.3.1 Физические механизмы степенного мерцания

5.3.2 Статистическое описание.

5.3.3 Распределение числа счёта фотонов.

5.4 Проводимость многоканальных квантовых проводников с фрактальным беспорядком

5.4.1 Режим слабого рассеяния.

5.4.2 Режим последовательного некогерентиого туинелировагшя.

Выводы к главе 5.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дробно-дифференциальная теория аномальной кинетики носителей заряда в неупорядоченных полупроводниковых и диэлектрических системах»

К настоящему времени накоплен большой объём информации по переносу и релаксации носителей заряда в неупорядоченных твёрдых телах [132, 309, 380]. Характерным свойством кинетики носителей заря/^а в неупорядоченных средах является степенной режим (скейлинг) релаксации, который подразумевает бесконечный иерархический набор времён релаксации. Скейлинг такого типа характерен для дисперсионного переноса в неупорядоченных полупроводниках, недебаевской релаксации в диэлектриках, переноса электронов в массивах коллоидных квантовых точек, мерцающей флуоресценции одиночных нанокристаллов, проводимости неупорядоченных квантовых проволок, полимерных нанофибрилл и др. Этим процессам свойственна универсальность, т. е. нечувствительность вероятностных распределений некоторых измеримых величин к микроскопическим деталям, что стимулирует развитие статистических моделей. Долговременная релаксация в большинстве случаев объясняется асимптотически степенным распределением времён локализации носителей заряда. Последний факт обуславливает неприменимость центральной предельной теоремы (ЦПТ) и гауссовой (нормальной) статистики, модели пуассоновского случайного процесса и классических диффузионных схем. В связи с этим, совокупность таких процессов обозначается в последнее время термином "аномальная кинетика" (АК).

Весьма эффективным для анализа АК является отказ от ограничений ЦПТ, применение устойчивых законов с бесконечными моментами и связанного с ними дробно-дифференциального исчисления. Были введены дробные обобщения уравнений Лиувилля [219], Больцмана [252], Фоккера-Планка [123]. Ланжевена [261], закона Фика [164]. Однако, с прикладной точки зрения, эти исследования в большинстве случаев ограничивались только демонстрацией адекватности дробно-дифференциального уравнения частному экспериментальному результату. Системный анализ процессов АК в неупорядоченных конденсированных средах на основе кинетических уравнений с производными дробного порядка отсутствовал. Сами уравнения часто вводились формально. Не было алгоритмов расчёта параметров кинетических уравнений дробного порядка на основе экспериментальных кривых. В большинстве работ отсутствовали выражения, связывающие коэффициенты дробных уравнений переноса с характеристиками микроскопических моделей: плотностью локализованных состояний, темпами захвата и эмиссии, подвижностью квазисвободных носителей и др. Пренебрегалось эффектами рекомбинации, биполярной диффузией, заполпяемостыо локализованных состояний, дальнодействующими корреляциями, кулоновской блокадой, переходом к квазиравновесной статистике и др. явлениями. Решению этих и близких к ним задач в рамках кинетической теории на основе дробно-дифференциальных уравнений переноса, и посвящена данная диссертация.

В неупорядоченных полупроводниках наблюдаются различные транспортные режимы. С точки зрения статистической физики нормальный режим характеризуется гауссовой статистикой и описывается стандартным диффузионным уравнением. Среди аномальных (негауссовых) диффузионных режимов принято выделять дисперсионный транспорт [193, 309, 113]. Этот тип негауссова переноса наблюдается во многих неупорядоченных материалах, различающихся своей микроскопической структурой: в аморфных полупроводниках, в пористых твёрдых телах, в поликристаллических плёнках. жидкокристаллических материалах, полимерах и др. Главные особенности дисперсионного транспорта были выявлены на основе время-пролётных экспериментов по измерению переходного тока и определению дрейфовой подвижности носителей заряда в аморфных полупроводниках. Важное свойство кривых переходного тока I(t) для дисперсионного переноса - это так называемая «универсальность», которая подразумевает самоподобие кривых в координатах logI — logt. Кривые тока существенно отличаются от нормального случая, для которого I(t) имеет вид ступеньки. При дисперсионном переносе ток затухает по очень медленному закону, выделяются два степенных участка: I(t) ос t~L+a для t < ¿т, и ос для t > ¿т. Параметр 0 < а < 1 называется дисперсионным параметром, он зависит от структуры материала и механизма транспорта, для некоторых механизмов наблюдается температурная зависимость сч(Т) [309].

Среди разработанных теорий дисперсионного переноса только в двух из них предлагаются аналоги диффузионного уравнения. Первая из них -теория Архипова-Руденко-Никитенко [283, 342], оперирующая уравнениями с нестационарными коэффициентом диффузии и подвижностью, и вторая -дробно-дифференциальная теория (ДДТ). Подходы не эквивалентны, и необходим сравнительный анализ их возможностей при анализе процессов, управляемых дисперсионным транспортом, в структурах на основе НП. Несмотря на явное приближение, используемое в подходе на основе диффузионного уравнения с нестационарными коэффициентами, теория очень успешно описывает все основные закономерности дисперсионного и квазидисперсионного транспорта. Приближение уровня, разделяющего локализованные состояния на «мелкие» и «глубокие» роднит подход с методом ренорм-группы, который подразумевает, что с течением времени все более «глубокие» степени свободы начинают принимать участие в процессе. С другой стороны, получаемые в рамках этой теории диффузионные уравнения с переменными коэффициентом диффузии и подвижностью указывают на возможную связь с дробным броуновским движением.

Важно отметить, что дисперсионный параметр а, извлекаемый из время-пролётного эксперимента для некоторых материалов (часто для пористых полупроводников) слабо зависит от температуры (см., например, [25, 177]). этот факт многие авторы связывают со структурным беспорядком. Диффузионное уравнение Архипова-Руденко для механизма многократного захвата, которое было адаптировано для термоактивируемых прыжков в работах Никитенко. не применимо в случае слабой зависимости а от Т и сильного структурного беспорядка. Уравнения не учитывают перколяцион-ный характер траекторий прыжковой проводимости и их резкое отличие от броуновских. Связь дробно-дифференциальных субдиффузионных уравнений с моделями теории протекания позволяет надеяться на прогресс в этом направлении.

Перечислим основные мотивы для создания теории аномальной'кинетики в неупорядоченных полупроводниках и диэлектриках на основе уравнений переноса с производными дробного порядка:

1. связь дробно-дифференциальных кинетических уравнений с известными моделями случайных процессов и предельными теоремами теории вероятностей;

2. возможность развития единого формализма описания нормальной и аномальной кинетики:

3. возможность совместного учёта энергетического и структурного беспорядка:

4. необходимость разработки эффективного метода анализа частотных свойств структур на основе неупорядоченных полупроводников и диэлектриков.

В первой главе диссертации будет показано, что универсальность кривых переходного тока связана с автомодельностыо переноса, в частности, с самоподобием пакета неравновесных носителей. Дисперсионный перенос характеризуется эредитарностью и немарковостью. Это означает, что он должен описываться интегро-дифференциальным уравнением. Самоподобие важное свойство, которое, как мы покажем, выделяет из множества интегро-дифференциальных уравнений уравнения с дробно-дифференциальным оператором. Дробные производные - это, по сути, интегро-дифференциальные операторы с ядрами специального типа, но они обладают свойствами, которые роднят их с производными целого порядка и это позволяет надеяться на возможность унифицированного описания дисперсионного и нормального переноса.

Впервые дробные производные в теории полупроводников использованы (в явном виде) в книге Бабенко |287] для нахождения временной зависимости концентрации на границе р-п-перехода при нормальном переносе по заданной плотности тока путём факторизации оператора нормальной диффузии:

В теории дисперсионного переноса дробные производные типа Римана-Лиувилля [358] впервые появляются в статье Архипова, Поповой и Руденко [282] в 1982 году: через интеграл дробного порядка была выражена связь концентраций свободных и локализованных носителей. В их последующих работах (см. например [2. 306]) чаще встречается другое приближённое соотношение между концентрациями локализованных и свободных носителей, которое сами авторы иногда называют «основным уравнением дисперсионного транспорта». Мы будем называть это уравнение, следуя [380, 342]. т-приближением. Это соотношение считается справедливым для любой плотности локализованных состояний, а в случае экспоненциальной плотности позволяет выразить результаты через элементарные функции, т-приближение приводит к диффузионному уравнению с переменными коэффициентом диффузии и подвижностью [283].

В терминах интегрального преобразования Лапласа из кинетических уравнений захвата-эмиссии, записанных Нуланди [154], Тиджи [222] вывел уравнение переноса в пренебрежении диффузией для концентрации свободных носителей. Обратное преобразование Лапласа этого уравнения представляет собой дробно-дифференциальное уравнение [362].

Баркаи [11] применил дробно-дифференциальное уравнение Фоккера-Планка, предложенное в статье [123] Метцлера. Баркаи и Клафтера, для объяснения релаксации переходного фототока в аморфных полупроводниках. В [11] показана согласованность некоторых результатов, полученных на

0 < а < 1 основе дробно-дифференциального подхода, и предсказаний модели Шера и Монтролла [193]. Для оправдания введения дробно-дифференциального уравнения автор [11] приводит следующие слова: «Перенос в упорядоченных средах часто моделируется с помощью диффузионного уравнения. Этот подход наиболее прост и является самым распространённым. Дисперсионный транспорт типа Шера и Монтролла, экспериментально наблюдаемый в различных неупорядоченных полупроводниках, может быть феноменологически описан с помощью дробного уравнения Фоккера-Планка. Это единственный пример из всех физических явлений, в котором другой тип исчисления (в данном случае интегральное и дифференциальное исчисление дробного порядка) играет центральную роль». Авторы [123] не выводили уравнение строго из каких-то начальных посылок, а обосновали его адекватность аномальному переносу выполнением следующих требований:

1. в отсутствие внешней силы, выполняется субдиффузионное соотношение для временной зависимости ширины пакета частиц;

2. при наличии внешней не зависящей от времени нелинейной силы стационарное решение уравнения является больцмаповским распределением:

3. выполняется обобщённое соотношение Эйнштейна;

4. при устремлении дробного показателя к единице уравнение переходит в стандартное уравнение Фоккера-Планка.

Другое дробно-дифференциальное диффузионное уравнение, полученное в [76] простой заменой производной по времени в стандартном уравнении диффузии производной дробного порядка рассматривает Бискерт [23] в отношении к переносу путём многократного захвата. Функция в этом уравнении с несохраняющейся нормировкой интерпретируется как концентрация делокализованных носителей. В [23, 24] не приводятся решения интерпретируемого уравнения и нет результатов применения уравнения к описанию время-пролётных экспериментов. Автор [24] использует это уравнение для объяснения степенного затухания фотопроводимости и степенной релаксации люминесценции в полупроводниках с экспоненциальной плотностью локализованных состояний.

Степенное затухание фотолюминесценции в аморфных полупроводниках описывается в [198, 197] на основе обобщённой модели случайных блужданий с рекомбинацией путём туннельных излучательных переходов. Рекомбинация ограничивается дисперсионной диффузией носителей. Авторы [197] в рамках предложенной модели составили дробно-дифференциальное уравнение для плотности распределения времени первого достижения. Для нахождения темпа рекомбинации [197] используется интегральное преобразование Лапласа предложенного уравнения.

В наших работах [381, 245] было показано, что главные асимптотические члены решений уравнений случайных блужданий модели Шера. и Монтрол-ла являются решениями дробно-дифференциальных уравнений. Функциями Грина последних являются дробно-устойчивые плотности. Нами [392] найдено решение уравнения, предложенного в работе Бискерта [23], в терминах устойчивых плотностей.

В параграфе 1.4 будет продемонстрирована связь дробно-дифференциального подхода с моделью Шера и Монтролла и моделью многократного захвата. Кроме этого, покажем, что дробно-дифференциальное уравнение Фоккера-Планка. которое применяет Баркаи [11]. и уравнение для концентрации делокализованных носителей, используемое в [23] и обощённое в [362] на случай диффузии со сносом, связаны соотношением, полученным Архиповым, Поповой и Руденко [282]. В дробно-дифференциальных уравнениях произведём учёт мономолекулярной рекомбинации и рекомбинации за счёт туннельных излучательных переходов. Будет рассмотрен случай распределённого дисперсионного параметра для моделирования неоднородных неупорядоченных сред. Составим дробно-дифференциальные уравнения ам-биполярного дисперсионного транспорта. В рамках ДДТ исследуем переходные процессы в условиях время-пролётного эксперимента и нестационарной радиационной электропроводности, частотные свойства структур и др. Для проверки адекватности выводимых уравнений и их решений аналитические результаты будем сравнивать с данными время-пролётного эксперимента. В некоторых случаях будем использовать метод моделирования Монте-Карло в рамках схемы блужданий с непрерывным временем.

Интерес к различным подходам описания негауссова переноса недавно возобновился в связи с наблюдением процессов аномальной диффузии в на-норазмерных системах: нанопористом кремнии, в легированных квантовыми точками стёклах, квази-Ш системах и массивах коллоидных квантовых точек. Последние не только перспективны с точки зрения приложений в спин-тронике и квантовых вычислениях, на основе этих искусственных материалов с контролируемыми свойствами могут быть изучены фундаментальные концепции физики неупорядоченных твёрдых тел: локализация, нелинейные эффекты, связанные с дальнодействующими кулоновскими корреляциями, заполпяемостыо ловушек и кулоновской блокадой. В связи со способом получения коллоидных нанокристаллов, энергетический беспорядок всегда присутствует в этих системах, что подтверждается опытами по мерцающей флуоресценции одиночных квантовых точек (СсШе. Сс18, Сс18е/%13, Сс1Те, 1пР и др). И как показано в недавних работах [156. 363] статистика Леви играет важнейшую роль при интерпретации экспериментов по кинетике переноса заряда в массивах.

Во многих образцах массивов коллоидных КТ (в латеральной геометрии), наблюдается степенное затухание тока после приложения постоянного напряжения. Показатель а меньше 1 и его значение зависит от размера нано-кристаллов и температуры. Д. Новиков и соавт. [156] утверждают, что наблюдаемый ток - это ток проводимости, а не ток смещения, поскольку интеграл тока (заряд) расходится. Неэкспоненциальная релаксация тока может быть объяснена, временной зависимостью состояния системы. Авторы [66] предложили, что поток заряда уменьшается вследствие подавления инжекции из контакта. Это подавление вызвано эффектом кулоновской блокады электронами, захваченными в нанокристаллах. В работе [131] степенное затухание I(t) объясняется представлением совокупности неравновесных электронов, распределенных по массиву КТ, в виде кулоновского стекла. Новиков [155] предложили модель параллельных каналов, характеризующихся статистикой Леви времён ожидания между последовательными импульсами тока. Модель, в принципе, успешно объясняет степенное затухание тока и степенной спектр шума, но она не раскрывает физической сущности процесса, она постулирует степенное распределение. Кроме этого, возникает следующее противоречие. В основе модели, как утверждают авторы [156], лежит стационарный процесс и это противоречит временной зависимости свойств системы, в частности представлению о блокировании инжекции из контакта, которая в принципе должна следовать из соотношения баланса заряда. Возникает много дополнительных вопросов, ответы на которые в работах [155, 156] не даются. Какова природа проводящих каналов, почему распределение времён ожидания между последовательными импульсами имеет степенную асимптотику, почему импульсы тока дискретны и одинаковы по величине. Если память процесса объяснять в рамках концепции скрытых переменных [386]. то состояние системы, характеризующееся этими скрытыми переменными, изменяется со временем и этот факт находится в противоречии с предположением о стационарности процесса, о которой утверждают авторы.

Как известно, коллоидные квантовые точки (КТ) имеют широкий спектр поглощения, узкий спектр излучения, высокий квантовый выход люминесценции, являются устойчивыми к световой деградации. Благодаря этим свойствам, КТ перспективны в качестве активной среды для лазеров, однофотонных источников и люминесцентных меток в химии и биологии. Однако, мерцающий характер флуоресценции КТ ограничивает их применение (оп-состояния, в которых испускается множество фотонов, чередуются off-состояниями, в которых наночастица не излучает). В многочисленных экспериментальных исследованиях мерцающей флуоресценции КТ отмечается, что длительности он- и ой-интервалов распределены по степенным законам, причём степенные показатели практически не изменяются при варьировании условий измерений: температуры, интенсивности излучения лазера, размеров квантовых точек. В связи с этим определение механизма мерцающей флуоресценции оказалось сложной задачей. В качестве возможных механизмов, приводящих к степенному распределению интервалов, предлагаются термически активируемая ионизация (Куно и соавт., 2001), модель туннели-рования через флуктуирующие барьеры (Куно и соавт., 2001), резонансное туннелировапие между ядром и заряженными ЛС (Шимизу и соавт. 2001) и др. Нами найдены распределения числа счёта фотонов мерцающей флуоресценции одиночных коллоидных квантовых точек, свидетельствующие о су-перпуассоновской статистике излучения, больших флуктуациях числа флуоресцентных фотонов и неэргодичности процесса. Сформулированы асимптотические условия подавления мерцания. Результаты указывают на один из механизмов мерцания одиночных коллоидных квантовых точек - ионизацию ядра путём резонансного туннелирования, управляемого аномальной диффузией энергетического уровня приповерхностной ловушки.

Беспорядок играет важнейшую роль в мезоскопических системах: случайно распределённые неоднородности и квантовые интерференционные эффекты приводят к флуктуациям кондактанса д в ансамбле мезоскопических образцов. Распределение кондактанса обычно изучается в трёх различных режимах: металлическом (£ Ь), диэлектрическом (( « Ь) и промежуточном (£ ~ Ь). Здесь £ - длина локализации и Ь - характерный размер системы. Наиболее подробные теоретические результаты были получены для одномерных и квази-Ш систем в рамках двух подходов к описанию когерентной проводимости и локализации в неупорядоченных проволоках: теории поля и теории передаточных матриц. Авторы [60. 32] показали эквивалентность этих двух теорий в случае большого числа поперечных мод А^ 1 для всех классов симметрии. В теории передаточных матриц, электронный транспорт рассматривается как проблема рассеяния. Кондактанс при нулевой температуре связан с квантово-механической матрицей передачи ^ с помощью формулы Ландауэра. Дорохов. Мелло, Перейра и Кумар [47. 122] вывели уравнение, известное как ДМПК-уравнение для функции распределения собственных чисел матрицы t в режиме слабой локализации. Мутталиб и Клаудер [135] предложили обобщенное ДМПК-уравнение для описания электронного транспорта, в сильно неупорядоченных системах. Эти уравнения типа Фоккера-Планка в обоих случаях (слабой и сильной локализации) были получены в предположении о регулярном распределении неоднородностей. Однако, экспериментальные работы[97, 96, 73] и численное моделирование [110] показали, что беспорядок в мезоскопических системах может быть фрактальным (самоподобным). Очевидно, что стандартное ДМПК-уравнение и его многомерные обобщения не применимы в этом случае.

В недавних теоретических работах [55, 17] изучается проводимость одномерной квантовой системы с беспорядком фрактального типа, характеризующимся асимптотически степенным распределением расстояния между рассеивающими барьерами. Нами получены распределения кондактанса С длинной квантовой проволоки с фрактальным беспорядком в режимах слабого рассеяния и последовательного некогерентного тупнелирования. Асимптотическое (Ь —> сю) поведение моментов (Ск(Ь)}, средней мощности дробового шума (8(Ь)) и фактора Фано находятся в согласии с результатами работы [17], сами распределения хорошо описывают результаты численного моделирования методом Монте-Карло. Получено уравнение для распределений сопротивления и кондактанса, которое согласуется с полученным нами дробно-дифференциальным обобщением уравнения ДМПК-уравнения для квазиодномерных многоканальных неупорядоченных проводников с фрактальным распределением рассеивателей.

Рассматриваемая квази-Ш система с самоподобным пространственным распределением рассеивателей является простейшим примером мезоскопической системы с фрактальным беспорядком. Результаты согласуются с дробным аналогом ДМПК-уравнения, которое как и стандартное уравнение применимо только в случае слабого рассеяния. Мутталиб, Клаудер и Гопар (1999, 2002) получили обобщение ДМПК-подхода для сильной локализации в предположении, что малые изменения масштабных параметров системы (например, длины) приводят к малым изменениям параметров передачи т*. Однако, это предположение не всегда выполняется для сильной локализации. Известно [9], например, что для квантового туннелирования небольшие флуктуации параметров потенциальных барьеров могут приводить к гигантским флук-туациям темпов туннелирования. Эффект проявляется на макроскопических масштабах, например, в явлении дисперсионного переноса в НП. Если предположить, что флуктуации параметров передачи являются самоподобными, то можно избежать разложения по малому параметру и обобщить ДМПК-подход для случая сильной локализации и более высоких размерностей в рамках дробно-дифференциального подхода.

Цель диссертационной работы - разработка и апробация теории переноса и релаксации носителей заряда в неупорядоченных полупроводниковых и диэлектрических системах на основе кинетических уравнений с производными дробного порядка с учётом различных типов рекомбинации, биполярной диффузии, заполняемое™ локализованных состояний, дальнодействующих корреляций, кулоновской блокады.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Разработать теорию аномальной кинетики носителей заряда в условиях экспериментов по измерению времени пролета и нестационарной радиационной электропроводности НП. Необходимо связать кинетические уравнения с известными моделями случайных процессов, коэффициенты и порядки уравнений выразить через физические параметры системы: плотность ЛС, темпы захвата и эмиссии, подвижность квазисвободных носителей, температуру и др.

2. Сравнить теоретические результаты с экспериментальными данными по переносу и релаксации носителей заряда в НП и диэлектриках, а также с результатами теории Архипова-Руденко-Никитенко, стохастической модели Шера-Монтролла, модели гауссова беспорядка Басслера и др. В рамках дробно-дифференциального подхода рассмотреть кинетику поляризации и рекомбинации близнецовых пар, процессы люминесценции, управляемые дисперсионной диффузией.

3. Рассчитать характеристики переходных процессов в диодах на основе НП при различных режимах переключения. Вычислить частотные зависимости комплексной проводимости на переменном токе для НП и диода на их основе при условиях дисперсионного переноса.

4. На основе полученных уравнений рассмотреть диэлектрические свойства НП. В рамках нового подхода описать радиационно-диэлектрический эффект.

5. Создать теоретические предпосылки для разработки метода решения обратной задачи, позволяющего по наблюдаемым в эксперименте результатам восстанавливать характеристики процессов, происходящих на мезоскопическом уровне, определять пространственно-временные параметры локализации носителей заряда, и вычислять коэффициенты и порядки дробных кинетических уравнений.

6. Описать с помощью ДДТ процессы аномальной кинетики в наносисте-мах: мерцающую флуоресценцию одиночных панокристаллов, туннели-рование электронов в массивах коллоидных квантовых точек, электропроводность квантовых квазиодномерных систем с фрактальным беспорядком (синтезированных проволок, полимерных нанофибрил).

Научная новизна полученных автором результатов:

1. Разработана теория переноса носителей заряда в неупорядоченных твёрдых телах, основанная на уравнениях переноса с дробными производными. Она позволяет в рамках унифицированного подхода описать перенос в режиме многократного захвата на ЛС и в режиме нестационарной прыжковой проводимости. Теория успешно описывает поведение переходного фототока в НП и нестационарной электропроводности полимеров при импульсном воздействии проникающего ионизирующего излучения. Подход эффективен при анализе частотных свойств структур на основе НП. Удалось учесть влияние структурного беспорядка и отличие диффузионных траекторий носителей от броуновских на распределение неравновесных носителей и переходный ток во время-пролётном эксперименте.

2. С помощью обобщенной предельной теоремы уточнены условия дисперсионного переноса для основных физических механизмов транспорта, для различных спектров ЛС и пространственных распределений ловушек.

3. В рамках нового подхода дано объяснение наблюдаемому в экспериментах переходу от дисперсионного типа переноса к квазигауссову при увеличении размеров образца и/или ослаблении электрического поля во время-пролётных экспериментах. В мезоскопических масштабах теория описывает негауссов перенос, в макроскопических - согласуется со стандартной моделью переноса, тем самым выполняется принцип соответствия.

4. В рамках ДДТ описана близнецовая рекомбинация, управляемая дисперсионным транспортом носителей заряда. Произведен учёт рекомбинации в дробно-дифференциальных уравнениях дисперсионного переноса, что позволило описать фотолюминесценцию, контролируемую негауссовым монополярным транспортом носителей или биполярным транспортом близнецовых пар. Обобщена формула Мозумдера для функции выживания пары.

5. Разработано два новых механизма недебаевской релаксации: механизм смещения при дисперсионном переносе и формирование перколяцион-ных каналов с нерегулярной динамикой процессов делокализации. Эти механизмы приводят к дробно-дифференциальным соотношениям между током и напряжением и объясняют наследственные эффекты поляризации в органических диэлектриках. Исследованы зависимости токов поляризации от температуры и количества влаги для бумажно-масляного конденсатора.

6. Впервые предложена нелинейная модель переноса электронов в массиве коллоидных квантовых точек, учитывающая кулоновскую блокаду и влияние энергетического беспорядка межточечного пространства. Модель согласуется с гипотезой Новикова о статистике Леви в проводящих каналах, идеей Жинжера и Гринхема о блокировании инжекции. Удалось описать степенное затухание тока при ступенчатом переключении внешнего напряжения, эредитарный эффект и фликкер-шум в массивах нанокристаллов.

7. Найдены распределения числа счёта фотонов мерцающей флуоресценции одиночных коллоидных квантовых точек, свидетельствующие о су-перпуассоновской статистике излучения, больших флуктуациях числа флуоресцентных фотонов и неэргодичности процесса. Сформулированы асимптотические условия подавления мерцания. Результаты указывают на один из механизмов мерцания одиночных коллоидных квантовых точек - ионизацию ядра путём резонансного туннелирования, управляемого аномальной диффузией энергетического уровня приповерхностной ловушки.

8. Впервые исследована проводимость квазиодномерной системы в случае фрактального беспорядка. Исследование выполнено в рамках дробного обобщения эволюционного уравнения для плотности распределения собственных чисел матрицы переноса. Получен новый класс универсальных распределений кондактанса квазиодномерных систем с самоподобным распределением рассеивателей. В рамках подхода произведен учёт влияния нерегулярных модуляций диаметра в синтезированных квантовых проволоках и полимерных нанофибриллах.

Практическая значимость.

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Сибатов, Ренат Тимергалиевич

Выводы к главе 5

1. Разработана нелинейная модель переноса электронов в массиве коллоидных нанокристаллов, учитывающая эффект кулоновской блокады. Модель успешно интерпретирует степенное затухание тока при ступенчатом переключении напряжения, эффекты памяти и фликкер-шум в массивах коллоидных квантовых точек СёБе, Сс1Те, Сс^е/^пБ. Модель согласуется с гипотезой Новикова о статистике Леви в проводящих каналах, идеей Жинжера и Гринхема о блокировании инжекции.

2. Введение дробного обобщения экспоненты позволило получить единое описание процесса мерцания как для экспоненциальных, так и для степенных распределений он- и ой-интервалов. На основе этой модели выведено уравнение для р(Ь0п|£). Для случая степенного мерцания оно содержит производные дробных порядков а и /3, совпадающих с показателями степенных оп-, и оА-распределений. При стремлении а и (3 к единице распределения переходят в экспоненциальные, а дробно-дифференциальное уравнение переходит в уравнение с производными целых порядков. Рассчитаны плотности распределения р(£0пЮ эффективного времени свечения в аналитическом виде и выражены через дробно-устойчивые распределения. Плотность р(£0п|£) связана пуассо-новским преобразованием с распределением числа испущенных фотонов и определяет статистику счета.

В отличие от работы [86], в которой рассматривается случай а = (3, в нашей работе получены результаты для более общего случая а ф ¡3. Вычислен параметр Манделя и распределение суммарного времени свечения. Параметр Манделя указывает на то, что статистика излучения мерцающих квантовых точек является суперпуассоновской. При анализе относительных флуктуаций времени свечения было выяснено, что они убывают только в случаях а = (3 = 1иа</3. При всех остальных соотношениях а и (3 относительные флуктуации в асимптотике выходят на степенной режим возрастания, либо стремятся к постоянной величине.

3. Электронный транспорт в квази-Ш системах и влияние неупорядоченных модуляций диаметра квантовой проволоки на проводимость изучались на основе дробно-дифференциального обобщения ДМПК-уравнения для плотности распределения собственных чисел матрицы передачи. Решения этого уравнения приводят к новому классу универсальных распределений кондактанса квазиодномерных систем с самоподобным распределением рассеивающего потенциала. В рамках модели произведен учёт нерегулярных модуляций диаметра синтезированных квантовых квази-Ш систем (самоорганизованых нанопроволок, полимерных нанофибрилл и др.). Выявлено сосуществование диэлектрического и металлического режимов проводимости и получены критические значения концентраций рассеивателей для подавления металлического состояния.

4. Получены распределения кондактанса С длинной квантовой проволоки с фрактальным беспорядком в режиме последовательного некогерентного туннелирования. Асимптотическое (Ь —У оо) поведение моментов (Ск(Ь)), средней мощности дробового шума и фактора Фано находятся в согласии с результатами работы [17], сами распределения хорошо описывают результаты численного моделирования методом Монте-Карло. Получено уравнения для распределений сопротивления и кондактанса, которые согласуется с ДД-обобщением ДМПК-уравнения.

Заключение

В диссертационной работе были впервые проведены систематические исследования аномальной кинетики носителей заряда в неупорядоченных полупроводниках. Исследования объединены единым подходом, основанном на теории дробно-устойчивой статистики, кинетических уравнений дробного порядка и нового класса случайных процессов -дробно-подчиненных безгранично делимых процессов.

Сформулируем основные результаты и выводы:

1. Показано, что дробно-дифференциальная кинетика дисперсионного переноса в НП является следствием его автомодельности. Об автомодельности свидетельствует универсальное поведение переходного фототока во время-пролётных экспериментах. Продемонстрирована связь дробно-дифференциального подхода с моделями Шера и Монтролла, многократного захвата, прыжковой проводимости и теорией протекания. Дробно-дифференциальная теория дисперсионного переноса в НП с учётом структурного беспорядка и отличия диффузионных траекторий носителей от броуновских даёт более точное описание время-пролётных экспериментов, чем существующие диффузионные модели.

2. Полученная система дробно-дифференциальных уравнений может служить основой для описания дисперсионного переноса в НП. Система включает в себя уравнения монополярного переноса локализованных и делокализованных носителей с учётом рекомбинации; уравнения амбиполярного дисперсионного переноса; диффузионно-дрейфовые уравнения с распределённым дисперсионным параметром, для описания переноса в неоднородно неупорядоченных средах; уравнение для случая усечённых степенных распределений времён локализации.

3. ДДП позволяет в рамках единого формализма описывать нормальный и дисперсионный перенос. В отличие от т-приближения Архипова-Руденко, ДДП удовлетворяет принципу соответствия. Уравнения с дробными производными точнее описывают кривые переходного тока в неупорядоченных полупроводниках при значениях дисперсионного параметра, близких к единице, чем т-приближение Архипова-Руденко.

4. С помощью обобщённой предельной теоремы уточнены условия дисперсионного переноса. Дисперсионный транспорт наблюдается

• при многократном захвате, если средний квадрат флуктуаций энергии ЛС превышает среднюю глубину их залегания, умноженную на больцмановскую температуру кТ;

• в случае контролируемых фононами прыжков, если дисперсия энергии ловушек е относительно уровня Ферми ер превышает среднюю разность (е — ер), умноженную на кТ\

• в случае прыжковой проводимости Могта. если квадрат флуктуаций расстояния между ловушками превышает среднюю длину прыжка, умноженную на половину радиуса локализации волновой функции.

5. ДДТ удовлетворяет принципу соответствия. В мезоскопических масштабах она описывает дисперсионный перенос, в макроскопических - согласуется со стандартной моделью переноса, характеризуемой нормальным распределением, короткими пространственными корреляциями, марковским характером эволюции. В промежуточной асимптотике наблюдается квазидисиерсионный перенос. Масштабный эффект перехода от дисперсионного типа переноса к квазигауссову во время-пролётных экспериментах при увеличении толщины образца и/или уменьшении внешнего электрического поля является следствием усечённых распределений Леви времён локализации носителей. Усечение связано с видом плотности ЛС, вторичным механизмом переноса, рекомбинацией, конечностью ширины щели подвижности.

6. Впервые произведен учёт рекомбинации в дробно-дифференциальных уравнениях дисперсионного переноса, что позволило описать люминесценцию, контролируемую дисперсионным монополярным транспортом носителей заряда или биполярным транспортом геминальных пар. В первой модели (модели удалённых пар) подразумевается, что электроны и дырки пространственно независимы, блуждают и локализуются хаотически и рекомбинируют с ближайшим доступным партнером, в другой модели - возбуждённые электроны и дырки не разделяются в процессе диффузии, рекомбинируют локализованные близнецовые пары. Обобщена формула Мозумдера для функции выживания близнецовой пары в режиме геминальной рекомбинации. Модель рекомбинации локализованных близнецовых пар, управляемой дисперсионной диффузией, приводит к экспериментально наблюдаемой асимптотике затухания интенсивности фотолюминесценции в аморфных полупроводниках /(¿) ос где с* - дисперсионный параметр.

7. Сформулированы два новых механизма недебаевской релаксации: механизм смещения при дисперсионном переносе и формирование перколяционных каналов с нерегулярной динамикой процессов делокализации. Эти механизмы приводят к дробно-дифференциальным обобщениям закона Ома, объясняющим наследственные эффекты поляризации в органических диэлектриках. Продемонстрировано, что дробно-дифференциальная модель релаксации может служить теоретической основой методики токов поляризации и деполяризации (ТПД) для тестирования состояния изоляции электронных устройств. Метод диагностики не является разрушающим. В работе исследованы зависимости ТПД от температуры и количества влаги для бумажно-масляного конденсатора и изучено влияние предыстории (времени поляризации) на ток деполяризации.

8. Разработана нелинейная модель переноса электронов в массиве коллоидных нано-кристаллов, учитывающая эффект кулоновской блокады. Модель успешно интерпретирует степенное затухание тока при ступенчатом переключении напряжения, эффекты памяти и фликкер-тиум в массивах коллоидных КТ Сс1Бе, Сс1Те, Сёве/ЕнЭ. Модель согласуется с гипотезой Новикова о статистике Леви в проводящих каналах, идеей Жинжера и Гринхема о блокировании инжекции.

9. Найдены распределения числа счёта фотонов мерцающей флуоресценции одиночных коллоидных квантовых точек, свидетельствующие о суперпуассоновской статистике излучения, больших флуктуациях числа флуоресцентных фотонов и неэргодичности процесса. Сформулированы асимптотические условия подавления мерцания. Результаты указывают на один из механизмов мерцания одиночных коллоидных квантовых точек - ионизацию ядра путём резонансного туннелирования, управляемого аномальной диффузией энергетического уровня приповерхностной ловушки.

10. Электронный транспорт в квази-Ш системах и влияние неупорядоченных модуляций диаметра квантовой проволоки на проводимость изучались на основе дробно-дифференциального обобщения ДМПК-уравнения для плотности распределения собственных чисел матрицы передачи. Решения этого уравнения приводят к новому классу универсальных распределений кондактанса квазиодномерных систем с самоподобным распределением рассеивающего потенциала. В рамках модели произведен учёт нерегулярных модуляций диаметра синтезированных квантовых квази-Ш систем (самоорганизованых нанопроволок, полимерных нанофибрилл и др.). Выявлено сосуществование диэлектрического и металлического режимов проводимости и получены критические значения концентраций рассоивателей для подавления металлического состояния.

11. Получены распределения кондактанса С длинной квантовой проволоки с фрактальным беспорядком в режиме последовательного пскогерелшюго туннелирова-ния. Асимптотическое (Ь —» со) поведение моментов (йк(Ь)). средней мощности дробового шума (5(Ь)) и фактора Фано находятся в согласии с результатами работы [17], сами распределения хорошо описывают результаты численного моделирования методом Монте-Карло. Получено уравнения для распределений сопротивления и кондактанса, которые согласуется с ДД-обобщением ДМПК-уравнения.

V > О, —ОС' < X < оо.

Интегралы дробного порядка

1.1.1. Интеграл Лиувилля порядка и

-оо 1хПХ) - ] ос

1.1.2. Левосторонний интеграл Римана порядка у X

1.1.3. Правосторонний интеграл Римана порядка и

ОН = г7й / (/-1)1» ■ ">0' г» У (^-х) г

1.1.4. Левосторонний интеграл Вейля порядка и

1 г /т ооИ^/(х) = / ' , ^ > 0, -оо < х < оо.

ВДУ (х'-О1 оо

1.1.5. Правосторонний интеграл Вейля порядка и

1 7 /(04е гну (е-*)1-" X

1.1.6. Левосторонний интеграл Римана-Лиувилля порядка

I/ > 0, —оо < х < оо. а1^т{х) = —-—г / --—— . г/ > и. —

1 ^ У Г(1/) У (х оо < а < х < оо.

1.1.7. Правосторонний интеграл Римана-Лиувилля порядка I/ ь ъ/ и = ги/(е-х)1"- ' -°°<х<Ь<ж. X

1.1.8. Потенциа/т Рисса функции / порядка I/ оо

Д*7(д) =ОГ/ ^ 1 ,—I I „ ■ 0<«/<1. -оо<х<оо.

1.1.9. Сопряженный потенциал Рисса функции / порядка и п Г( ^ 1 7 -£)№<% п ^ ^ , ^ ^

Я /(а1) = , . . ,-т^ / -:-ттт—-, 0 < и < 1, -оо < л < оо. оо

1.1.10. Потенциал Феллера функции / порядка г/ сю

Г?» п \ /' ц + I' + (ц - у)ящп(х - О 2 2 ри,у1(х)= ] --0 < I/ < 1. и +;; ^0. ос

Производные дробного порядка

1.2.1. Левосторонняя дробная производная Римана-Лиувилля функции / порядка и г&гт) Ш" / (ггри- ">0' » = м + ^ "<••>■ оо

1.2.2. Правосторонняя дробная производная Римана-Лиувилля функции / порядка ^ оо ,т

1.2.3. Дробная производная Капуто

-оо

1.2.4. Определение Адамара дробной производной

1.2.5. Обобщение интегральной формулы Коши г> + 1) г /(СЖ с:i(z) =

2тгг J (С - z)^1' С(г0,г+)

Здесь кривая интегрирования С(го,г+) в комплексной ("-плоскости представляет собой замкнутый контур начинающийся в £ = го, однократно огибающий ( = г в положительном смысле и возвращающийся в точку £ = zq.

1.2.6. Левосторонняя дробная производная Грюнвальда-Летникова

Gv+f(x) = lim

J v ' л.—>о hv где A^f(x) разность порядка гл

1.2.7. Правосторонняя дробная производная Грюнвальда-Летникова

Gü/(x) = lim ; /i—»o /г"

1.2.8. Дробная производная Маршо порядка и < 1 л г- fM и 7 /н-л^-о^ " /: /н - /(о ,с

J y ' r(i - v) J e}+u

1.2.9. Дробная производная Маршо произвольного порядка 0 < ъ> < п £ Лг(**)

1 °rAlff('i) М£/(х) = / -f^d

J Ч О где множители С^п могут быть представлены в виде интегралов

С1 S

Сип - J с1 + „ dfо

1.2.10. Производная Рисса положительного порядка 0 < v < 2. определенная через конечную часть Адамара потенциала Рисса отрицательного порядка —и оо О где

А' = I 2r("i/)cos(^7r/2) ^ Ф \ —7Г ¿> = 1

1.2.11. Производная Рисса произвольного порядка v

ОО °23 „ , ч

1 г At fix

R-vnT) = —j 0<u<2j. J€N{**) где оо , О и ^ дГ /и = -т центральная разность /(х) четного порядка 2?

1.2.12. Производная Феллера, определенная через конечную часть Адамара потенциала Феллера отрицательного порядка —г/ т?-»*! \ У 7 и+У + {и- - О 2А*ьГ(1-и) 1 --[Л } " Пт оо оо и

2А^Г(1 - и) где J[(u + v)f(x) - uf(x - О - vf(x +1о < I/ < 1.

Avu v = {{и + и) cos(i/tt/2)]2 + [(u - v) sin(^/2)]5

Интегральные преобразования дробных дифферинтегралов

Интегральные преобразования играют важную роль в исследовании дробных дифферинтегралов и при решении дробных дифферинегральных уравнений. Мы начинаем рассмотрение методов с преобразования Лапласа, которое является очень подходящим в случае работы на полуоси: оо f(x) и. /(А) = L{/(x)}(A) = J e~Xrf(x)dx. о

Интеграл подразумевается абсолютно сходящимся в комплексной полуплоскости 3?Л > 0. Если, в дополнение, f(x) имеет ограниченную вариацию в окрестности х > 0, то справедлива формула обращения

7+JOC

A)^/(x) = L"1{/(A)}(x) = ^ f eXxf(\)d\, х > 0 а—г оо для любого фиксированного <т > 0. Здесь, интеграл рассматривается в смысле главного значения и /(.г) = [f(x + 0) + /(х — 0)] в случае, если х является точкой разрыва функции f(x).

Важное свойство любого интегрального преобразования связано с соотношением свертки и соответствующей теоремой. Для преобразования Лапласа выполняется X f(x)*g(x) = Jf(x-09(OdS о и *.9(.т)}(А) = L{/(x)}(A) • Цд(х)}(\) = /(А)р(А). соответственно.

Напомним что для производных целого порядка

Н(А) = L{/M}(A) = А"/(А) - £1Afc/(',-fc"1)(0+), п = 1.2. к=0 и для многократных интегралов т(А) = A~m/(A), 771=0.1.2.

Обе формулы могут быть объединены и переписаны для произвольного (положительного и отрицательного) целого порядка o/in)(A) = An/(А) - ]Г 0/('l-fc-1)(0+). n = 0. ±1, ±2,. к=0 сумма исчезает, когда п < 0.

Другое интегральное преобразование, действующее в той же области (0, ос) - это преобразование Меллина: ос f{x)^J(s) = М{/(x)}(.s) = j x6~lf{x)dx. о

Его обращение имеет видо+оо

7(.S) ^ f{x) = W\-l{]{s)}{x) = -i-: i x~4(*)ds, a = Xs.

7Г1 J a—ioo

Операция свертки Меллина и теорема о свертке: оо

Пх)од(х)= J ПхШ№/£ О

M{f(x)og(x)}(s) = M{f(x)}(s) ■ M{g(x)}(s) = f(s)g(s).

При рассмотрении поведения дифферинтегралов на всей вещественной оси —ос < .г < ос, используют преобразование Фурье оо

•(.'■) ^ Rk) = F{/(,•}}(/,•) ее J eik*f(x)dx оо с формулой обращения ос f(k)^f(x) = F^{f(k)}(x) = ^ J e~ikxf(k)dk со и теоремой о свертке оо

F{ J fix - амтт = F {fix) * g(x)}(k) = F{f(x)}(k) ■ F {g(x)}ik) = /(fc)flW