Модели массивных спиновых частиц в пространстве-времени произвольной размерности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Шехтер, Кирилл Михайлович

• Шехтер, Кирилл Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шехтер, Кирилл Михайлович

Введение

1 Элементарные динамические системы и их квантование.

1.1 Представления группы Пуанкаре в пространстве-времени произвольной размене« :.

1.2 Гамияьтонова динамика

1.3 Процедура геометрического квантования.

2 Массивная спиновая частица в шестимерном пространстве Минковского.

2.1 Классическая модель.

2.2 Квантование.

2.3 Проблема включения взаимодействия.

3 Модель массивной частицы целого спина в произвольной размерности.

3.1 Фазовое пространство и гамильтонова динамика.

3.2 Лагранжев формализм.

3.3 Геометрическое квантование. ТО

3.4 Построение минимального взаимодействия.

4 Обобщение на случай частицы полуцелого спина.

4.1 Параметризация фазового пространства спинорными переменными.

4.2 Классическая теория.

4.3 Ковариантное квантование.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели массивных спиновых частиц в пространстве-времени произвольной размерности»

Изучение различных моделей релятивистских спиновых частиц является одним из традиционно исследуемых разделов современной теоретической физики. История вопроса насчитывает более семидесяти лет, восходя к пионерской работе Френкеля [1] 1926 года. С течением времени мотивы изучения таких систем значительно менялись, трансформируясь от попыток классического описания динамики спина в первых работах [1, 2, 3, 4], до рассмотрения частицы как специфического, но нетривиального примера релятивистских протяженных объектов - р-бран, которые, как предполагается, должны служить основными динамическими ингредиентами еще неизвестной непертурбативной теории, объединяющей известные теории суперструн - т.н. М-теории [64, 65].

Впервые понятие спина электрона было введено в физику Улен-беком и Гаудсмитом [92] в поисках объяснения существующих атомных спектров. Спин трактовался как внутренне присущий электрону момент количества движения, причем из эксперимента следовало, что его возможные значения исчерпывались (в атомных единицах Н = с = 1). В квантовую механику на математически строгой основе спин был введен Дираком при объединении принципа релятивистской инвариантности квантовой теории и уравнения Шрединге-ра. Оказалось, что для описания спина ±| волновая функция частицы должна быть четырехкомпонентным объектом, преобразующимся по спинорному представлению группы Лоренца [93]. Ее компоненты связывались с определенной ориентацией спина частицы и соответствующей ей античастицы. Уравнение Дирака позволяло последовательно описывать массивные частицы спина | (электрон и позитрон). В последующей работе [94] Дираком были построены волновые уравнения, которым должна удовлетворять частица произвольного (полу)целого спина в пространстве Минковского. При изучении массивных частиц целого спина Фирцем и Паули [95] были впервые отмечены проблемы, возникающие при попытке рассмотрения взаимодействия с фоновым электромагнитным полем, связанные с нарушением унитарности свободной теории. Существенным продвижением в дальнейшем понимании вопроса явилась работа Ви-гнера [96], проклассифицировавшего все унитарные неприводимые представления группы Пуанкаре в четырех измерениях. Как выяснилось, полученные ранее волновые уравнения, описывающие спиновые частицы, совпадали с условиями, выделяющими неприводимое представление группы Пуанкаре. Этот результат привел к принятому и сегодня квантовомеханическому определению элементарной частицы как унитарного неприводимого представления группы Пуанкаре с фиксированными квантовыми числами.

Приведенное определение элементарной частицы является существенно квантовым. Механическую систему, возникающую в результате какого-либо перехода к классическому пределу, естественно назвать моделью элементарной частицы. В силу неоднозначности данной процедуры для произвольной квантовой системы, в дальнейшем мы будем пользоваться другим широко используемым определением модели элементарной частицы, аппелирующим к ее квантованию. А именно, модель элементарной частицы определяется как классическая система, квантование которой приводит к унитарному неприводимому представлению Группы Пуанкаре, реализованному в пространстве физических состояний.

Попытки объяснения спина на классическом уровне начались практически сразу после признания гипотезы Уленбека и Гаудсмита. Существующая библиография по различным моделям спиновых частиц насчитывает сотни наименований. В качестве примера можно привести работы [1] -[57]. Стандартный метод описания спина состоит во введении, помимо координат пространства-времени, дополнительных переменных, описывающих спиновые степени свободы. Следуя классификации моделей, предложенной в [97], мы разделим все модели по таким свойствам, как масса соответствующего неприводимого представления (массивные или безмассовые модели) и алгебраическая характеристика переменных, описывающих динамику спиновых степеней свободы (модели с коммутирующими [1] -[27] либо антикоммутирующими [28] - [57] переменными). Дальнейшая, более детальная классификация может быть связана с геометрическим характером переменных, параметризующих спиновый сектор (векторный либо спинорный закон преобразования), поведением моделей при включении взаимодействия с фоновыми полями и другими более специфическими чертами. В числе моделей, формулируемых с использованием грассманновых переменных, следует отметить модели суперчастиц [40] - [57], понимаемые как суперсимметричные обобщения стандартной спиновой частицы (массивной или безмассовой) в а-мерном пространстве-времени. Ввиду их тесной взаимосвязи с теорией суперструн модели суперчастиц обычно формулируются в 6, = 10. В отдельный класс выделяются модели спиновых частиц с жесткостью [61] - [63]. Лагранжианы таких теорий включают высшие производные координат пространства-времени по параметру эволюции. В качестве примера можно указать модель безмассовой частицы в а = 4, лагранжиан которой пропорционален первой внешней кривизне мировой линии. дения дополнительных коммутирующих переменных в конфигурационном пространстве явилась уже упомянутая работа Френкеля [1], в которой спиновые степени свободы описывались антисимметричным тензором второго ранга подчиненным условию 8'"'хр — 0. Целью работы было нерелятйвистское описание прецессии спина электрона во внешнем электромагнитном поле. В последующих работах, использующих коммутирующие переменные для параметризации спинового сектора, были представлены другие возможные варианты. Так, например, в статьях [4, 6] в качестве конфигурационного пространства рассматривалось расслоение реперов на пространстве Минковского, а в работе [7] конфигурационное пространство совпадало с группой Пуанкаре.

Недавно в работе [21] была предложена модель спиновой частицы в четырехмерном пространстве-времени, конфигурационным пространством которой являлось прямое произведение пространства Минковского И3'1 на двумерную сферу 52. Модель обладает многими привлекательными свойствами, такими как, например, возможность описания любого спина (фиксируемого выбором параметров) в рамках одной теории, ясность принципов, лежащих в основе конструкции, возможность дальнейших обобщений на случай суперпространства или пространства постоянной кривизны. Выбор конфигурационного пространства оказался удачным и в том смысле, что наиболее общий вид функции Лагранжа на К3'1 х 52, удовлетворяющей требованиям Пуанкаре и репараметризационной инвариантности может быТь выписан явно [23]. Дальнейшее исследование этого лагранжиана, предпринятое в [23], позволило предъявить модель частицы с алгеброй связей, устойчивой по отношению к введению взаимодействия с произвольным фоновым полем. Модель допускает обобщение до случая суперчастицы [22]. Принципы, заложенные в конструкции, могут быть использованы и для случая трехмерного пространства Минковского, приводит к различным моделям анионов [25] и суперанионов [26, 27].

Окончательную математическую завершенность понятие элементарной частицы получило с развитием метода орбит, первоначально предложенного Кирилловым [66] для построения неприводимых представлений нильпотентных групп Ли. Его дальнейшее развитие в работах Костанта [67], Сурьо [68, 69] и ряда других авторов [70] - [74] привело к расширению метода орбит на более широкий класс групп, а также возникновению и развитию процедуры геометрического квантования, позволяющей по известной классической теории построить квантовую.

Основным объектом в методе орбит является орбита Ох ко-приеоедйненного представления р группы Ли О в дуальном пространстве 0* к ее алгебре Ли, получаемая действием элементов дифференциала отображения <Ард на произвольный элемент х € 0*. Как было показано, на орбите существует замкнутая невырожденная 2-форма ш. Множество 0Х1 таким образом, может рассматриваться как фазовое пространство некоторой классической механической системы. На Ох естественным образом определено транзитивное действие группы С?, сохраняющее форму ш. Квантование такой системы приводит к унитарному неприводимому представлению группы <3, реализованному в гильбертовом пространстве ее состояний. В работах [67, 70, 71] было показано, что для широкого класса групп Ли (включающего в себя группу Пуанкаре) все однородные симплек-тические многообразия исчерпываются описанными выше орбитами коприсоединенного представления. Таким образом построение моделей элементарных частиц в плоском пространстве-времени сводится к классификации коприсоединенных орбит группы Пуанкаре. В четырехмерном пространстве Минковского такое исследование было проделано Сурьо [70].

Метод орбит показывает эквивалентность всех возможных моделей спиновых частиц в пространстве Минковского на уровне физического фазового пространства. В то же время обычно модели спиновых частиц формулируются как системы со связями на некотором расширенном фазовом пространстве, а физическое фазовое пространство возникает после гамильтоновской редукции по связям теории. На исходное же фазовое пространство никаких ограничений не следует, что, в частности, объясняет значительное количество предложенных к нынешнему моменту моделей. Связи в формулировке моделей спиновых частиц появляются, в основном, для обеспечения вложения фазового пространства в какое-либо векторное пространство, что обеспечивает явную ковариантность вычислений. Другой источник появления связей связан с тем, что на классические аналоги квантовых операторов, фиксирующих массу и спин частицы, накладываются условия их равенства константам. Очевидно, такое требование также ведет к возникновению связей.

К числу недостатков метода орбит следует отнести то, что он является существенно гамильтоновским и не обеспечивает явного пути перехода к формализму второго порядка. С точки зрения сим-плектической геометрии это связано с тем, что на многообразии, в которое в рамках той или иной модели вкладывается коприсоединен-ная орбита группы G a priori не существует глобального лагранжева сечения. (Додробнее подход Сурьо рассматривается в главе 1 диссертации).

Будучи хорошо приспособленными к описанию свободной спиновой частицы некоторые модели [21,113,114] не допускают рассмотрения взаимодействия частиц с произвольными фоновыми электромагнитным и гравитационным полями, что выражается в появлении дополнительных нефизических степеней свободы. С точки зрения механики систем со связями указанная трудность объясняется тем, что различный выбор расширенного фазового пространства во всевозможных моделях спиновых частиц приводит к различным наборам связей, выделяющих физическое фазовое пространство. Вследствие этого процедура включения взаимодействия (например, посредством минимальной ковариантизации пространственного импульса) может привести к изменению алгебры связей и размерности физического фазового пространства по сравнению со свободным случаем. В связи с вышесказанным модели спиновых частиц, устойчивые по отношению к включению взаимодействия, выглядят более предпочтительными. Требование допустимости взаимодействия может быть переформулировано как условие на возможный вид алгебры связей модели. В дальнейшем мы более подробно исследуем этот вопрос, приводя необходимое требование к алгебре связей, допускающей введение взаимодействия.

Открытие суперсимметрии [107] - [112] и введение в аппарат физических теорий антикоммутирующих переменных инициировало появление моделей спиновых частиц, где спиновые степени свободы описывались переменными некоторой грассманновой алгебры, преобразующимися по векторному [29, 32, 33], либо по спинорному [28, 36] закону. При квантовании антикомму тирующие переменные векторного типа цереходят в образующие алгебры Клиффорда, и отождествляются с Г-матрицами Дирака. Модели, использующие спинорные переменные, обычно используются для формулировки моделей суперчастиц. Будучи хорошо приспособленными к квантованию, модели с грассманновыми переменными приводят к серьезным трудностям на классическом уровне (за исключением суперслучая), связанным с проблемой придания им физического смысла.

После появления основополагающих работ Невё, Йонеи, Шер-ка и Шварца [75] - [81], а позднее Грина, Шварца, Виттена, Гросса, Харви, Мартеника и Рома [82] - [88], теория суперструн утвердилась в качестве основного кандидата на роль перенормируемой теории гравитации1. Однако квантование существующих на сегодняшний день суперструнных теорий приводит к значительным трудностям, которые, в основном, связаны с отсутствием явно ковариантной техники расчетов во всех порядках теории возмущений. Как было показано, схожие проблемы возникают и при рассмотрении более простого конечномерного случая модели суперчастицы [40, 41]. Наибольший интерес представляют модели безмассовых суперчастиц [40] - [57] вследствие присутствия для них добавочной калибровочной симметрии (т.н. ¿-симметрии Зигеля [46, 51]), позволяющей откалибровать часть степеней свободы, связанных с антикомму тирующими переменными. Однако ¿-симметрия существует и для некоторых моделей массивных суперчастиц [42]. Трудности при квантовании моделей связаны с невозможностью явного разделения по родам связей теории. Существует множество подходов, направленных на решение этой проблемы, в основном опирающихся на подходящее расширение конфигурационного пространства теории и использование последующего произвола для разрешения трудностей первоначальной формулировки. Следует также упомянуть развиваемый в работах [58]

1Подробно теория суперструн изложена в обзорах [89] - [91].

60] подход, позволяющий единым образом квантовать связи первого и второго рода.

Одним из замечательных свойств теорий суперструн и супермембран является возможность их непротиворечивой формулировки только в пространстве-времени размерности, существенно большей, чем 4 (10 или 11). Стандартное объяснение появления наблюдаемого четырехмерного пространства-времени в рамках таких теорий состоит в предположении о компактификации Калуца-Кляй-новского типа добавочных переменных в приближении низких энергий. В различных моделях компактификация может захватывать как пространственно-временные степени свободы протяженного объекта, так и внутренние. Классическим примером здесь является двумерная редукция <1 — 11 супермембраны до суперструны типа II А в й — 10 [65]. Ввиду вышесказанного представляет интерес попытка трактовки спиновых степеней свободы частицы в в, — 4 как переменных, возникающих в результате процедуры компактификации какого-либо протяженного объекта в высшей размерности.

В этой связи также следует отметить, что в спектре свободной суперструны присутствуют массивные частицы всех возможных спинов. Представляется естественным, что, путем наложения подходящих связей, в фазовом пространстве струны может быть выделено подпространство, описывающее динамику частицы фиксированной массы и спина; однако такая программа на данный момент не реализована. Первым шагом на пути осуществления этой процедуры, равно как и на пути поиска подходящего объекта, чья компактификация привела бы к появлению спиновой частицы в е? = 4 могло бы стать построение модели массивной частицы любого заданного спина в пространстве-времени произвольной размерности, которой, в основном и посвящена данная диссертация.

При построении мы опирались на принципы, заложенные в формулировке моделей [21, 23], желая сохранить их привлекательные черты и при обобщении на случай произвольной размерности, и на метод Сурьо описания элементарных динамических систем, обеспечивающий элегантный геометрический подход к решению данной проблемы.

Построение модели произвольного (полу)целого спина в любой размерности пространства-времени проводилось в несколько этапов, соответствующих главам диссертации.

Основными задачами, решаемыми в диссертации являются следующие

- построение модели массивной частицы произвольного спина в шестимерном пространстве-времени; изучение ее классической динамики и ковариантное квантование.

- нахождение переформулировки полученной выше модели, допускающей введение взаимодействия с фоновым электромагнитным и гравитационным полями. построение, с опорой на полученные результаты, моделей частиц любого (целого или полуцелого) спина в пространстве-времени произвольной размерности; рассмотрение взаимодействия с фоновыми полями путем минимальной ковариантизации; изучение полученной динамики.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Шехтер, Кирилл Михайлович

Основные результаты, представленные в диссертации, опубликованы в работах [113, 114, 115, 116] и докладывались на И Международной Сахаровской конференции (Москва, июнь 1996) [117]

Пользуясь случаем, автор хотел бы выразить глубокую благо дарность профессору кафедры теоретической физики С. Л. Ляховичу и доценту А. А. Шарапову за неоценимую помощь при решении всех вопросов, возникавших при подготовке диссертации, многие часы плодотворных обсуждений, а также за всестороннюю человеческую поддержку на всех этапах работы, далеко превосходящую обычно принятые рамки научного руководства. Автор также хотел бы выразить глубокую благодарность заведующему кафедрой квантовой теории поля ТГУ профессору В. Г. Багрову и всем сотрудникам кафедр квантовой теории поля и теоретической физики Томского государственного университета за создание благоприятных условий для научной работы, полезные обсуждения и поддержку в работе.

Заключение

Перечислим основные результаты, представленные в диссертации

1. Построена модель массивной частицы произвольного спина в <2 =

6 пространстве Минковского. Изучена классическая динамика свободной частицы; проведено ее ковариантное квантование. Показано что в пространстве волновых функций системы реализуется неприводимое представление группы Пуанкаре произвольного (полу)целого спина.

2. Представлено обобщение модели, допускающее введение взаимодействия с произвольными фоновыми электромагнитным и гравитационным полями. Изучены принципы, лежащие в основе такого обобщения. Представлен возможный вид алгебры связей, устойчивой по отношению к введению взаимодействия»

3. В рамках метода Кириллова - Костанта - Сурьо построена модель массивной частицы произвольного заданного целого спина в пространстве Минковского произвольной размерности; показано, что траектория свободной частицы в пространстве Минковского является времениподобной геодезической, в то время как динамика спиновых степеней свободы отсутствует.

4. Проведена процедура геометрического квантования теории. Показано, что модель допускает согласованное минимальное взаимодействие с произвольными фоновыми полями. Уравнения движения частицы в фоновых полях, являющиеся ¿-мерными обобщениями уравнений Папопетру, получены явно.

5. Найдена явно ковариантная реализация многообразия спиновых степеней свободы с использованием твисторных переменных. Полученный результат приводит к твисторной параметризации массивного гиперболоида в ¿-мерном пространстве Минковского, обобщающей конструкцию Пенроуза на случай произвольной размерности и ненулевой массы. Ковариантное квантование полученной модели ведет к реализации представлений группы Пуанкаре произвольного (полу)целого спина в пространстве физических состояний частицы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шехтер, Кирилл Михайлович, 1999 год

1. Frenkel J.1. Die Electrodynamik des rotierenden Elektrons // Zs. Phys. - 1926. - V. 37. - P. 243 - 262.

2. Гинзбург B.JI., Тамм Й.Е. К теории спина // ЖЭТФ. 1947. -Т.17. - С. 227 - 239.

3. Papopetru A. Spinning Test Particle in General Relativity // Proc. Roy. Soc. A. 1951. - V. 209. - P. 248 - 258.

4. Barut A.O. Electrodynamics and Classical Theory of Fields and Particles. New York: MacMillan, 1964.

5. Dixon W.G. On a Classical Theory of Charged Particles with Spin and the Classical Limit of the Dirac Equation // Nuov. Cim. 1965.- V. 38. N. 4. - P. 1616 - 1632.

6. Kiinzle H.P. Canonical Dynamics of Spinning Particles in Gravitational and Electromagnetic Fields //J. Math. Phys. 1972.- V. 13. P. 739 - 744.

7. Balachandran A.P., Marmo G., Stern A., Skagerstam B.-S. Spinning Particles in General Relativity // Phys. Lett. B. 1980. - V. 89. -P. 199 - 207.

8. Balachandran A.P., Marmo G., Stern A., Skagestam B.-S. Gauge Symmetries and Fiber Bundles: Application to Particle Dynamics // Lecture Notes in Physics. 1983. - V. 188.

9. Cognola G., Soldati R., Vanzo L., Zerbini S. On the Lagrangian Formulation of a Charged Spinning Particle in an External Electromagnetic Field // Phys. Lett. B. 1981. - V. 104. - P. 67 -69.

10. Duval Ch., Horvathy P. Particles with Internal Structure: the Geometry of Classical Motions and Conservation Laws // Ann. Phys. (NY) 1982. - V. 142. - P. 10 - 39.

11. Barut A.O., Zangi N. Classical model of the Dirac electron // Phys. Rev. Lett. 1984. - V. 52. - P. 2009 - 2015.

12. Plyushchay M.S. Relativistic Zitterbewegung: the model of spinning particles without Grassmann variables // Phys. Lett. B. 1990. -V. 236. - P. 291 - 297.

13. Plyushchay M.S. Relativistic Massive Particle with Higher Curvatures as a Model for Description of Bosons and Fermions // Phys. Lett. B. 1990. - V. 235. - P. 47 - 51.

14. Plyushchay M.S. Massless Particle with Rigidity as a Model for Description of Bosons and fermions // Phys. Lett. B. 1990. - V. 243. - P. 383 - 388.

15. Plyushchay M.S. Relativistic Particle with Arbitrary Spin in Nongrassmannian Approach // Phys. Lett. B. 1990. - V. 248. -P. 299 - 304.

16. Belyea C., McKellar B., Warner R. A new non Grassmannian pseudoclassical action for spin - 1/2 particles //J. Phys. A: Math. Gen. - 1990. - V. 23. - P. 509 - 524.

17. Marnelius R., Martensson U. Derivation of manifestly covariant quantum models for spinning relativistic particles // Nucl. Phys. B. 1991. - V. 335. - P. 395 - 425.

18. Marnelius R., Martensson U. New manifestly covariant models for relativistic particles of arbitrary spin // Int. J. Mod. Phys. A. -1991.-V. 6.-N. 5. P. 807 - 844.

19. Hasiewicz Z., Siemion P., Defever F. A Bosonic Model for Particles with Arbitrary Spin // Int. J. Mod. Phys. A. 1992. - V. 7. - P. 3979 - 3996.

20. Зима В.Г., Федорук С.А. Спиновая (супер)частица с коммутирующим индексным спинором // Письма в ЖЭТФ. 1995. - Т. 61. - С. 251 - 256.

21. Kuzenko S.M., Lyakhovich S.L., Segal A.Yu. Geometric model of the arbitrary spin massive particle // Int. J. Mod. Phys. A. 1995. - V. 10. - P. 1529 - 1552.

22. Kuzenko S. M., Lyakhovich S. L., Segal A. Yu. Arbitrary Superspin Massive Superparticle // Phys. Lett. B. 1995. - V. 348. - P. 421 -427.

23. Lyakhovich S.L., Segal A.Yu., Sharapov A.A. A universal model of D = 4 spinning particle // Phys. Rev.D. 1996. - V. 54. - P. 5223 -5238.

24. Сегал А.Ю. Универсальные модели спиновых частиц и суперчастиц // Диссертация на соискание уч. степени кандидата физ.-мат. наук. Томск, 1997.

25. Gorbunov I. V., Kuzenko S. M., Lyakhovich S. L. On the Minimal Model of Anyon // Int. J. Mod. Phys. A. 1997. - V. 12. - P. 4199- 4215.

26. Gorbunov I. V., Kuzenko S. M., Lyakhovich S. L. N = 1, D — 3 Superanyons, OSP(2|2) and the Deformed Heisenberg Algebra // Phys. Rev. D. 1997. - V. 56. - P. 3744 - 3755.

27. Gorbunov I. V., Lyakhovcih S. L. Geometric Quantization of N = 2 D = 3 Superanyon // Phys. Lett. B. 1998. - V. 423. - P. 293 - 300.

28. Casalbuoni R. On the quantization of system with anticommuting variables // Nuovo. Cim. A. 1976. - V. 33. - P.115 - 131.

29. Barducci A., Casalbuoni R., Lusanna L. Supersymmetries and the pseudoclassical relativistic electron // Nuovo Cim. A. 1976. - V. 35. - P. 377 - 404.

30. Brink L., Deser S., Zumino B., Di Vecchia P., Howe P.S. Local supersymmetry for spinning particles // Phys. Lett. B. 1976. -V. 64. - P. 435 - 442.

31. Brink L., Di Vecchia P., Howe P.S. A Lagrangian formulation of the classical and quantum dynamics of spinning particles // Nucl. Phys. B. 1977. - V. 118. - P. 76 - 110.

32. Berezin F.A., Marinov M.S. Particle spin dynamics as the Grassmann variant of classical mechanics // Ann. Phys. 1977.- V. 104. P. 336 - 387.

33. Gershun V.D., Tkach V.l. Classical and quantum dynamics of particles with arbitrary spin // JETP Lett. 1979. - V. 29. - P. 288 - 293.1.S

34. Galvao C.A.P., Teitelboim C. Classical Supersymmetric Particles // J. Math. Phys. 1980. - V. 21. - P. 1863 - 1935.

35. Barducci A., Giachetti R., Gomis J., Sorace E. Supergauge Invariant Lagrangians from Noether Identities //J. Phys. A. 1984. - V. 17.- P. 3277 3282.

36. Howe P., Penati S., Pernici M., Townsend P. Wave equations for arbitrary spin from quantization of the extended supersymmetric spinning particle // Phys. Lett. B. 1988. - V. 215. - P. 555 - 562.

37. Howe P., Penati S., Pernici M., Townsend P. A particle mechanics description of antisymmetric tensor fields // Class. Quantum Grav.- 1989. V. 6. - P. 1125 - 1148.

38. Gates S.J. Jr., Rana L. A Theory of Spinning Particles for Large N-extended Supersymmmetry // Phys. Lett. B. 1995. - V. 352. -P. 50 - 58.

39. Gates S.J. Jr., Rana L. A Theory of Spinning Particles for Large N-extended Supersymmmetry (II) // Phys. Lett. B. 1996. - V. 369.- P. 262 268.

40. Casalbuoni R. Relativity and Supersymmetries // Phys. Lett. B. -1976. V. 62. - P. 49 - 54.

41. Frydryszak A. N-extended Free Supeerfields from quantization of supersymmetric particle model // Phys. Rev. D. 1984. - V. 30. -P. 2172 - 2210.

42. Frydryszak A., Lukierski J. N=2 Massive Matter Multiplet from Quantization of Extended Classical Mechanics // Phys. Lett. B. -1982. V. 117. - P. 51 - 62.

43. Siegel W. Hidden Local Supersymmetry in the Supersymmetric Partcle Action // Phys. Lett. B. 1983. - V. 128. - P. 397 - 405.

44. Siegel W. Space-time Supersymmetric Quantum Mechanics // Class. Quant. Grav. 1985. - V. 2. - P. L95 - L100.

45. Siegel W. The Superparticle Revisited // Phys. Lett. B. 1988. - V. 203. P. 79-91.

46. Lusanna L., Milewski B. N=2 SuperYang Mills and Supergravity Constraints from Coupling to a Supersymmetric Particle // Nucl. Phys. B. - 1984. - V. 247. - P. 396 - 430.

47. Sokatchev E. Harmonic Superparticle // Class. Quantum. Grav. -1987. V. 4. - P. 237 - 246.

48. Siegel W. Introduction to string field theory. Singapore: World Scientific, 1988.

49. Barut A.O., Pavsic M. Equivalence of the spinning superparticle descriptions with Grassmann variables or with c number spinors // Phys. Lett. B. - 1989. - V. 216. - P. 297 - 312.

50. Sorokin D.P., Tkach V.I., Volkov D.V. Superrparticles, Twistors and Siegel Symmetry // Mod. Phys. Lett. A. 1989. - V. 4. - P. 901 -908.

51. Sorokin D.P., Tkach V.I., Volkov D.V., Zheltukhin A.A. From the Superparticle Siegel Symmetry to the Spinning Particle Proper Time Supersymmetry // Phys. Lett. B. 1989. - V. 216. - P. 302 -306.

52. Evans J.M. Massive Superparticles with Siegel Symmetry and Their Covariant Canonical Quantization // Nucl. Phys. B. -1990. V. 331.- P. 711 752.

53. Galperin A.S., Howe P.S., Stelle K.S. The Superparticle and the Lorentz Group // Nucl. Phys. B. 1992. - V. 368. - P. 248 - 280.

54. Bandos I.A., Nurmagambetov A., Sorokin D.P., Volkov D.V. Twistor Like superparticle Revisited // Class. Quantum. Grav.- 1995. V. 12. - P. 1881 - 1892.

55. Batalin I.A., Tyutin I.V. An infinite algebra of quantum Dirac brackets // Nucl. Phys. B. 1992. - Vol. 381, No 3. - P. 619-640.

56. Batalin I.A., Tyutin I.V. Unified constrained dynamics // Phys. Lett. B. 1993. - Vol. 317, No 3. - P. 354 - 358.

57. Batalin I.A., Tyutin I.V. On the equivalence between the unified and standard versions of constraint dynamics // Mod. Phys. Lett. A. 1993. - Vol. 8, No 39. - P. 3757 - 3765.

58. Plyushchay M.S. Massive relativistic point particle with rigidity // Int. J. Mod. Phys. A. 1989 - Vol. 4 - P. 3851 - 3863.

59. Kuznetsov Yu.A., Plyushchay M.S. The model of the relativistic particle with curvature and torsion. // Nucl. Phys. B. 1993. - Vol. 389 - P. 181 - 208.

60. Plyushchay M.S. Supersymmetric massless particle with rigidity. // Mod. Phys. Lett. A. 1989. - Vol. 4 P. 2747 - 2755.

61. Townsend P.K. Four lectures on M-theory // Proceedings of the ЮТР summer school on High Energy Physics and Cosmology, Trieste, June 1996, preprint HEP-TH 9612121.

62. Duff M.J. Supermembranes// preprint, CTP-TAMU-61/96, HEP-TH 9611203.

63. Кириллов A.A. Унитарные представления нильпотентных групп Ли // УМН. 1962. - Т. 17. - N. 4. - С. 57 - 101.

64. Kostant В. Quantization and unitary representations // Lecture Notes in Mathematics. 1970. V. 170. - P.l - 48.

65. Souriau J.M. Quantification géométrique // Commun. Math. Phys.- 1966. V. 1. - P. 374 - 398.

66. Souriau J.M. Modèle de Particule à Spin dans le Champ Electromagnetique et Gravitationnel // Ann. Inst. Henri Poincaré.- 1974. V. 20. - N. 4. - P. 315 - 364.

67. Souriau J.M. Structure des systèmes dynamiques. Paris: Dunod, 1970.

68. Кириллов A.A. Элементы теории представлений. M.: Наука, 1978.

69. Woodhouse N. M. J. Geometric Quantization New York: Clarendon, 1992.

70. Simms D. J., Woodhouse N. M. J. Lectures on Geometric Quantization. Lecture Notes in Physics V. 53. Berlin, 1977.

71. Sniatycki J. Geometric Quantization and Quantum Mechanics New York, 1980.

72. Neveu A., Scherk J. Connection between Yang-Mills fields and dual models // Ibid. 1972. - Vol. 36, No 1. - P. 155 - 169.

73. Scherk J., Schwarz J.H. Dual models and geometry of space-time // Phys. Lett. B. 1974. - Vol. 52, No 3. - P. 347 - 350.

74. Scherk J., Schwarz J.H. Dual models for non-hadrons // Nucl. Phys. B. 1974. - Vol. 81, No 1. - P. 118 - 144.

75. Yoneya T. Connection of dual models to electrodynamics and gravidynamics // Progr. Theor. Phys. 1974. - Vol. 51, No 11. -P. 1907 - 1920.

76. Scherk J., Schwarz J.H. Dual model approach to a renormalizable theory of gravitation. Pasadena, California, 1975. - 5 p. - (Preprint / CALT-58-488).

77. Scherk J., Schwarz J.H. Dual field theory of quarks and gluons // Phys. Lett. B. 1975. - Vol. 57, No 4-6. - P. 463 - 466.

78. Schwarz J.H. Spinning string theory from a modern perspective // New Frontiers in High Energy Physics: Proc. Orbis Sci., 1978. N. Y. e.a.: Plenum Press, 1978. - P. 431 - 446.

79. Green M.B., Schwarz J.H. Anomaly cancellations in super symmetric d = 10 gauge theory and superstring theory // Phys. Lett. B. 1984. - Vol. 149, No 2. - P. 117 - 127.

80. Green M.B., Schwarz J.H. Infinity cancellations in ¿>0(32) superstring theory // Ibid. 1985. - Vol. 151, No 1. - P. 21 - 25.

81. Green M.B., Schwarz J.H. The hexagon gauge anomaly in type I superstring theory // Nucl. Phys. B. 1985. - Vol. 255, No 1. - P. 93 - 114.

82. Witten E. Some properties of 0(32) superstrings // Phys. Lett. B. 1984. - Vol. 149, No 4-5. - P. 351 - 356.

83. Gross D.J., Harvey J.A., Martinec E., Rohm R. Heterotic string // Phys. Rev. Lett. 1985. - Vol. 54, No 6. - P. 502 - 505.

84. Gross D.J., Harvey J.A., Martinec E., Rohm R. Heterotic string theory (I). The free heterotic string // Nucl. Phys. B. 1985. - Vol. 256, No 2. - P. 253 - 284.

85. Gross D.J., Harvey J.A., Martinec E., Rohm R. Heterotic string theory (II). The interacting heterotic string // Ibid. 1986. - Vol. 267, No 1. - P. 75 - 124.

86. Грин M., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн: В 2-х т. -М.: Мир, 1990. Т. 1: 518 е.; Т. 2: 656 с.

87. Бринк Л., Энно М. Принципы теории струн. М.: Мир, 1991. -296 с.

88. Кетов С.В. Введение в квантовую теорию струн и суперструн. -Новосибирск: Наука, 1990. 342 с.

89. Uhlenbeck G., Goutsmit S. Zuschriften und vorläufige Mitteilungen // Naturwiss. 1925. - V. 13. - P. 953 - 968.

90. Dirac P.A.M. The quantum theory of the electron // Proc. Roy. Soc. A. 1928. - V. 117. - P. 610 - 624.

91. Dirac P.A.M. Eelativistic wave equations // Proc. Roy. Soc. A. -1936. V. 155. - P.447 - 462.

92. Fierz M., Pauli W. On relativistic wave equations for particles of arbitrary spin in an electromagnetic field // Proc. Roy. Soc. A. -1939. V. 173. - P. 211 - 231.

93. Wigner E.P. On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group // Ann. Math. 1939. - V. 40. - P.149 - 167.

94. Frydryszak A. Lagrangian models of particles with spin: the first seventy years // preprint, HEP-TH 960120.

95. Dirac P. A. M. Lectures on Quantum Mechanics Yeshiva University, 1964.

96. Барут А., Рончка P. Теория представлений групп и еЯ приложения T.I, Т.2. М.: Мир, 1980.

97. Penrose R., Rindler W. Spinors and space-time // Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1986.

98. Bengtsson A.K.H., Bengtsson I., Cederwall M., Linden N. Particles, Superparticles and Twistors // Phys. Rev. D. 1987. -V. 36. - P. 1766 - 1772.

99. Ferber A. Supertwistors and Conformal Supersymmetry // Nucl. Phys. B. 1977. - V. 132. - P. 55 - 71.

100. Shirafuji T. Lagrangian Mechanics of Massless Particles with Spin // Prog. Theor. Phys. 1983. - V. 70. - P. 18 - 47.

101. Chung K.W., Sudbery A. Octonions and the lorentz and conformal groups of ten-dimensional space-time. // Phys. Lett. B. -1987. Vol. 198 - P 161 - 167

102. Kugo Т. Townserid P. Supersymmetry and the Division Algebras // Nucl. Phys. B. 1983. - V. 221. - P. 357 - 385.

103. B.A. Желнорович Тензорное представление спиноров и спи-норных уравнений // Издательство Московского университета, 1979.

104. Гольфанд Ю.А., Лихтман Б.П. Расширенные алгебры генераторов группы Пуанкаре и нарушение Р-инвариантности // Письма в Журн. эксперим. и теор. физики. 1971. - Т. 13, No 8.- С. 452 455.

105. Волков Д.В., Акулов В.П. О возможном универсальном взаимодействии нейтрино // Там же. 1972. - Т. 16, No 11. - С. 621 -624.

106. Wess J., Zumino В. A lagrangian model invariant under supergauge transformations // Phys. Lett. B. 1974. - Vol. 49, No. 1. - P. 52 -54.

107. Wess J., Zumino B. Supergauge transformations in four dimensions // Nucl. Phys. B. 1974. - Vol. 70, No. 1. - P. 39 - 50.

108. Wess J., Zumino B. Supergauge invariant extension of quantum electrodynamics // Ibid. 1974. - Vol. 78, No. 1. - P. 1 - 13.

109. Wess J., Zumino B. Supergauge invariant Yang-Mills theories // Ibid. 1974. - Vol. 79, No. 3. - P. 413 - 421.

110. Lyakhovich S.L., Sharapov A.A., Shekhter K.M. D 6 Masiive Spinning Particle // Mod. Phys. Lett. A. - 1996. - V.ll. - P. 3011- 3020;

111. Lyakhovich S.L., Sharapov A.A., Shekhter K.M. Spinning Particle Dynamics on Six-Dimensional Minkowski Space //J. Math. Phys.- 1997. V. 38. - P. 4086 - 4103.

112. Lyakhovich S.L., Sharapov A.A., Shekhter K.M. Massive Spinning Particle in Any Dimension. 1. Integer Spins // Nucl. Phys. B. 1999.- V. 537. P. 640 - 652.

113. Lyakhovich S.L., Sharapov A.A., Shekhter K.M. Massive Spinning Particle in any Dimension 2. (Half)Integer Spins // preprint, HEP-TH 9811003, Послано в Nucl. Phys. B.

114. Lyakhovich S.L., Sharapov A.A., Shekhter K.M. D=6 massive spinning particle //в сборнике Second international sakharov conference on physics. Proceedings. Edited by I.M. Dremin and A.M. Semikhatov. World Scientific, 1997. 761p.-ilk