Кубические вершины взаимодействия массивных полей высших спинов с электромагнитным и гравитационным полями в пространствах размерности D ≥ 3 тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Снегирев, Тимофей Владимирович

• Снегирев, Тимофей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Снегирев, Тимофей Владимирович

Оглавление

Введение

1 Динамика свободных полей высших спинов в пространстве ¿> 4

1.1 Метрический формализм

1.1.1 Безмассовые поля

1.1.2 Массивное поле спина 2

1.1.3 Массивное поле произвольного спина

1.2 Реперный формализм

1.2.1 Безмассовые поля

1.2.2 Массивные поля

2 Кубическое электромагнитное взаимодействия полей высших спинов

в пространстве й > 4

2.1 Взаимодействие с внешним электромагнитным

полем

2.2 Безмассовый случай

2.2.1 Поле спина 2

2.2.2 Поле спина 3

2.2.3 Поле произвольного спина

2.3 Массивный случай

2.3.1 Поле спина 2

2.3.2 Поле спина 3

2.3.3 Поле произвольного спина

2.3.4 Выводы

3 Динамика свободных полей высших спинов пространстве ¿ = 3

3.1 Кинематика безмассовых полей

3.2 Кинематика массивных полей

3.2.1 Поле спина 3

3.2.2 Поле произвольного спина

4 Кубическое гравитационное взаимодействия полей высших спинов в пространстве й = 3

4.1 Безмассовый случай

4.1.1 Гравитация и самодействие

4.1.2 Поле спина 3

4.1.3 Поле произвольного спииа

4.2 Массивный случай

4.2.1 Поле спина 3

4.2.2 Поле произвольного спина

Заключение

Приложение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Кубические вершины взаимодействия массивных полей высших спинов с электромагнитным и гравитационным полями в пространствах размерности D ≥ 3»

Введение

Одним из важнейших достижений теоретической физики второй половины XX века стало построение объединенной теории электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий, получившей название стандартной модели (см. напр. [1, 2, 3, 4]. В основе стандартной модели лежит теория поля Янга-Миллса (см. напр. [3, 5]) со специально определенной калибровочной группой симметрии. Неотъемлемой часть этой модели является механизм Хиггса (см. напр. [3, 5]), обеспечивающий генерацию масс частиц - переносчиков слабого взаимодействия. Это осуществляется за счет спонтанного нарушения калибровочной группы, отвечающей электрослабому сектору теории, до подгруппы и( 1) электромагнитного взаимодействия. Замечательным является тот факт, что, как следствие механизма Хиггса, обязательным элементом стандартной модели должно быть наличие новой элементарной частицы, бозона Хиггса, поиски которой велись достаточно долго, но в 2012 году были представлены экспериментальные данные, свидетельствующие в пользу того, что частица со свойствами присущими бозону Хиггса действительно обнаружена. Следует также отметить, что стандартная модель сформулирована в рамках локальной, лоренц-инвариантной пертурбативной квантовой теории поля (см. напр. [6, 7, 8], [3], [9, 10]) и свидетельствует об эффективности методов квантовой теории поля в физике фундаментальных взаимодействий.

Четвертое фундаментальное взаимодействие - гравитационное - не вкладывается полностью в систему идей стандартной модели и его объединение с тремя другими фундаментальными взаимодействиями требует принципиального другого рассмотрения. Классическая гравитация описывается эйнштейновской общей теорией относительности (ОТО). Попытка объединения гравитации с остальными тремя фундаментальны-

ми взаимодействиями по аналогии со стандартной моделью сталкивается с проблемой неперенормируемости [11, 12, 13, 14, 15]. Была определенная надежда, что устранение расходимостей может иметь место при расширении ОТО до суперсимметричной теории гравитации - супергравитации (см. напр. [16, 17, 18]), однако, было установлено (см. напр. [19]), что в целом на этом пути проблему неперенормируемости гравитации не удается преодолеть. По-видимому, объединение гравитации с другими фундаментальными взаимодействиями на квантовом уровне не может быть осуществлено в рамках идей стандартной модели, и решение проблемы построения объединенной теории всех четырех фундаментальных взаимодействий требует принципиально другого подхода.

Одним из таких подходов был предложен в рамках теории струн (см. напр. [20, 21, 22]), которая является главным претендентом на самосогласованную теорию, объединяющей все фундаментальные взаимодействия и лишенная каких-либо внутренних противоречий. Основными объектами теории струн являются не точечные частицы, а протяженные объекты - струны в пространстве-времени с числом измерений больше четырех. Элементарные частицы, регистрируемые в обычном 4-мерном пространстве, трактуются как специфические возбужденные состояния струны и характеризуются стандартными параметрами такими как масса и спин. Проблема дополнительных измерений решается компактификацией лишних измерений до планковских велечин, либо представляется, что низкоэнергетическая физика локализована на 4-мерной мировой поверхности (3-бране) в многомерном пространстве, и " энергетическая "прижатость (локализация) не позволяет при низких энергиях выйти в дополнительные измерения. При этом естественным масштабом в теории струн является планковский. Важно отметить, что спектр частиц, возникающий в теории струн естественным образом содержит безмассовые состояния со спином 1 и спином 2, то есть электромагнетизм и гравитация заложены в теорию струн с самого начала. Помимо упомянутых безмассовых частиц, в теории струи также с необходимостью возникает бесконечный набор массивных состояний с произвольным значением спина. При этом внутренне согласованная теория струн требует привлечения суперсимметрии, что в свою очередь приводит к существованию возбужденных состояний с полуцелыми спинами. Поэтому теорию струн, в принци-

пе, можно трактовать как теорию бесконечного числа взаимодействующих бозонных и фермионных полей высших спинов. Это, в свою очередь, может служить мотивацией для исследования полей высших спинов со стороны теории поля. Однако, не смотря на внутреннюю красоту и согласованность, теория струн еще далека от полного понимания и вывод низкоэнергетических следствий из нее остается трудной задачей. Одна из таких задач, известная под названием "проблема ландшафта заключается в большом количестве вариантов компактификации дополнительных измерений при попытке описать процедуру редукции струнных теорий из высших измерений в низкоэнергетическую физику размерности четыре. В целом, проблема вывода низкоэнергетической физики из теории струн с однозначной фиксацией всех параметров (масс элементарных частиц, констант связи) еще далека от завершения.

Современное развитие теории струн в значительной степени обусловлено открытием соответствия между теорией (супер) струн в пространстве АйБь х 55 и конформной квантовой теорией поля в четырехмерном пространстве Минковского (Асй/СЕТ соответствие) [23, 24, 25]. Примером такой конформной теории поля служит Л/* = 4 суперсимметричная теория поля Янга-Миллса. Ас18/СРТ соответствие означает, в частности, что корреляционные функции калибровочно инвариантных операторов в конформной квантовой теории поля можно вычислять в режиме сильной связи на основе классической супергравитации в пяти-мерном пространстве анти де Ситтера При этом изучение в рамках АсЮ/СРТ соответствия корреляционных функций операторов токов, имеющих лоренцевские индексы, требует рассмотрения полей высших спинов в пространстве Айвц. Таким образом, теория струн указывает на необходимость развития теории полей высших спинов в рамках теории поля (для обзора некоторых направлений теории полей высших спинов см. напр.[26, 27, 28, 29, 30]).

Фундаментальный результат в теории безмассовых (калибровочных) полей высших спинов состоит в том, что включение взаимодействия для поля со спином 3 немедленно влечет за собой включение бесконечного набора взаимодействующих полей всех спинов [31, 32, 33]. Это хорошо согласуется с теорией струн, где как уже отмечалось спектр состояний содержит также бесконечный набор полей произвольного спина. Однако в

теории струн состояния с высшими спинами являются массивными, а в отмеченной выше калибровочной теории полей высших спинов [31, 32, 33] участвуют только безмассовые поля. Естественно предположить, что в такой теории массы будут генерироваться с помощью спонтанного нарушения симметрии, наподобие того, как это работает в стандартной модели. Таким образом, если подтвердится, что А(18/СРТ соответствие имеет место, то может оказаться, что теория струн является спонтанно нарушенной фазой некоторой нелинейной калибровочной теории высших спинов, а сама калибровочная теория полей высших спинов будет претендовать на роль теории, объединяющей все фундаментальные взаимодействия. Однако, многочисленные предположения требуют детального изучения и проверки и не факт, что они будут разрешимы. Поэтому кажется естественным, чтобы рассмотрение теории массивных полей высших спинов заслуживало отдельного внимания. Изучению некоторых аспектов такой теории и посвящается данная работа.

Важнейшую роль в физике высоких энергий играют симметрии. Одной из основных симметрий, накладывающих существенные ограничения не структуру физической теории является пространственно-временная симметрия, связанная с неоднородными преобразованиями Лоренца 4-мерного пространства Минковского и формулируемая в терминах группы Пуанкаре. Физические поля рассматриваются как неприводимые представления группы Пуанкаре. При этом известные релятивистские волновые уравнения такие как уравнение Клейна-Гордона для скалярного поля <р, уравнение Дирака для спинорного поля ф, уравнения Максвелла для безмассового векторного поля А,п уравнение Рарита-Швингера для векторного спинора -ф^ уравнение Паули - Фирца для симметричного тензорного поля второго ранга и уравнения для более сложных тензорных спиноров представляют собой условия, определяющие неприводимые представления группы Пуанкаре (см. напр. [18]). Неприводимые представления группы Пуанкаре естественным образом ассоциируются с элементарными частицами, которые можно классифицировать по этим представлениям. Известно, физически приемлемые неприводимые представления группы Пуанкаре характеризуются либо массой т и спином в (массивные представления или массивные элементарные частицы) либо имеют нулевую

массу и характеризуются спиральностыо (безмассовые представления или безмассовые частицы). При этом спин в принимает любые целые либо полуцелые значения, а спи-ральность всегда принимает только два значения, которые с точностью до знака, могут быть либо целые либо полуцелые1 [34]. Таким образом, классификация элементарных частиц по неприводимым представлениям группы Пуанкаре допускает существование частиц с высшими спинами, описание которых в рамках теории поля заслуживает специального изучения.

Наиболее простым образом неприводимые представления группы Пуанкаре для полей высших спинов реализуются в линейном пространстве полностью симметричных тензорных фции спин-тензорных ...ц3,а полей, удовлетворяющих спе-

циальным дополнительным условиям (см. напр. [18]). Лагранжева формулировка, воспроизводящая эти условия как следствия уравнений движения, берет начало с работ [35, 36, 37], рассматривающие частные случаи для спинов в < 4 с дальнейшим обобщением для произвольного спина в работах работах Синга и Хагена [38, 39] для массивных полей и в работах Фронсдала и Фанга для безмассовых полей [40, 41] (см. также [42]). Отличительная черта лагранжевой формулировки полей высших спинов состоит в необходимости использования вспомогательных полей, которые обеспечивают выполнение отмеченных выше дополнительных условий, но обращаются в ноль как следствия уравнений движения.

С развитием теории струн, а также из общих соображений о том, что размерность пространства-времени 6 следует понимать как физическую величину, значение в, = 4 которой нуждается в обосновании, возникла необходимость в формулировке теории полей высших спинов в различных пространствах с большим количеством измерений ё > 4. Очевидно, такие пространства будут обладать иными симметриями, нежели 4-мерное пространство Минковского, и поэтому неприводимые представления соответствующих групп симметрии должны обладать различными специфическими свойствами, не имеющих аналогов в четырехмерном пространстве Минковского. Так, например,

1 Термины спин и спиральность имеют разный смысл, однако в силу устоявшейся терминологии мы будем для безмассовых частиц также использовать термин спин.

в пространстве (анти) де Ситтера, классификация полей, помимо массивных и безмассовых, содержит также частично-безмассовые поля [43, 44, 45, 46], а в пространствах с количеством измерений в, > 4 неприводимые представления не ограничены только полностью симметричными тензорными полями, следует также рассматривать тензоры со смешанным типом симметрии [47, 48).

Известные в настоящее время элементарные частицы ограничены спинами 1/2 (леп-тоны и кварки) и 1 (фотон, глюоны, \¥+, ]У~, Z0 -бозоны). Модели, описывающие данные частицы принято называть теориями полей низших спинов. К полям низших спинов можно также отнести безмассовую гипотетическую частицу гравитон со спином 2 - переносчик гравитационного взаимодействия и его суперпартнер - гравитино со спином 3/22. Причина по которой выделяют данные поля в отдельную группу заключается в том, что для них выработаны вполне четкие механизмы, позволяющие строить различные взаимодействующие модели, связывающие их друг с другом. Так например, хорошо известные нелинейные теории для полей спина 1 и спина 2, описываются теориями Янга-Миллса и гравитацией соответственно. В рамках супергравитации построена нелинейная теория взаимодействия полей спина 2 и 3/2. Процедура включения взаимодействия с калибровочным (в том числе с электромагнитным) или гравитационным полем сводится к замене в лагранжиане, рассматриваемой модели, обычной производной на ковариантную. Для полей высших спинов в > 2 данные механизмы построения взаимодействующих моделей не работают. Наивные попытки их адаптации сталкиваются с принципиальными проблемами, когда лагранжевы уравнения движения оказываются противоречивыми или нарушающими базовые принципы локальной лоренц-ковариантной теории поля [49, 50]. В результате мы приходим к основной фундаментальной проблеме теории полей высших спинов, которая в общем виде может быть сформулирована как проблема построения лагранжевой формулировки полей высших спинов, взаимодействующих между собой, с полями низших спинов и с внешними полями.

2 Такое разделение полей не является общепринятым. Обычно поля со спинами 2 и 3/2 относят к полям высших спинов

Построение вершин взаимодействия полей высших спинов в значительной степени инициировано работами Фрадкина и Васильева по гравитационному взаимодействию безмассовых полей произвольных спинов [32, 33]. Было показано, что в этом случае более адекватным пространственно-временным фоном является не пространство Минков-ского, а пространство анти де Ситтера с отрицательной космологической постоянной Л, которое как и пространство Минковского является максимально симметричным вакуумом для уравнений Эйнштейна. Наличие космологической постоянной вносит в теорию естественный размерный параметр, используя который можно, в принципе, строить бесконечное число вершин взаимодействия. Однако при этом параметр Л должен стоять в знаменателе, и поэтому в рассматриваемой теории плоский предел не существует, что естественно согласуется с теоремой Коулмана-Мандулы [51] о запрете взаимодействующих теорий полей высших спинов в плоском пространстве3. Тем не менее, в некоторых случаях рассмотрение предела, когда константа гравитационного взаимодействия и космологическая постоянная одновременно стремятся к нулю так, что их отношение фиксировано, оставляет место для построения непротиворечивых вершин взаимодействия в плоском пространстве. В этом направлении был проведен значительный объем исследований, но изучение в основном заканчивалось на построение кубических взаимодействий [53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 72, 73, 65]. Особенность кубического взаимодействия заключается в том, что теории в этом приближении не ощущают на себе наличие или отсутствие полей, которые возможно следовало бы вводить, рассматривая высшие порядки взаимодействия. Тем самым если для той или иной теории не удается построить кубическое взаимодействие, то оно не может быть построено вообще.

Выход за рамки кубического взаимодействия [31, 66] вскрыл еще один важный аспект в теории полей высших спинов. Построение взаимодействия для поля спина выше 2, немедленно требует введения бесконечного набора полей всех спинов. Возникает естественная проблема нахождения алгебры калибровочных полей высших спинов в теории с бесконечным набором полей. Эта задача была решена и реализована в рамках так называемого развернутого формализма на уравнениях движения [67, 68, 28]. Построенная 3 Обобщение теоремы Коулмена-Мандулы обсуждается в недавней работе [52]

10

11

(1 < ||'

алгебра высших спинов определена в линейном пространстве функций от специального вида осцилляторов и смешивает калибровочные поля высших спинов друг с другом, наподобие того как суперсимметрия смешивает фермионные и бозонные поля. На сегодняшний день это единственная согласованная теория полей высших спинов, помимо, конечно, теории струн. Однако не ясно, являются ли указанные выше уравнения движения лагранжевыми, хотя в последние годы и здесь намечается прогресс [70, 71]. В целом, вопрос лагранжевого описания теории взаимодействующих полей высших спинов остается открытым.

Стоит отметить, что основное развитие теории полей высших спинов связано с изучением безмассовых полей, тогда как массивным полям не уделялось большое внимание. Это вполне понятно, так как описание безмассовых полей выглядит намного проще чем массивных. Действительно, как известно для безмассовых полей 2 степени свободы (поляризации) контролируются калибровочной инвариантностью, обеспечивающей возможность работать в явно лоренц ковариантном виде. Тем самым при построении взаимодействия основополагающим является принцип калибровочной инвариантности. Для массивных полей высших спинов с их 2в + 1 степенями свободы нет основополагающего принципа для изучения взаимодействия, такие теории уже не являются калибровочными. Кроме того, описание массивным полей требует введения большого числа вспомогательных полей, работа с которыми значительно усложняет задачу в отличие безмассового случая. Однако, механизм генерации массы в безмассовых теориях высших спинов за счет спонтанного нарушения симметрии, к которому часто апеллируют, когда встает вопрос об описании массивных полей, не разработан и не имеет четкой формулировки и в литературе стараются избегать детального обсуждения этого аспекта. По этой причине независимое изучение массивных полей высших спинов представляет самостоятельный интерес.

Мы отметили, что универсальным принципом при изучении безмассовых полей является калибровочная инвариантность, которая определяет как основные свойства свободной теории так и сильно ограничивает форму возможных взаимодействий. Так например, в теории полей низших спинов данное требование полностью воспроизводит

1 .

'I

11

У)

такие физически важные модели как теория поля Янга-Миллса и (супер) гравитация. Общая схема построения взаимодействия в теории формулируется в рамках подхода, называемого конструктивным, который реализуется следующим образом. Лагранжиан и калибровочные преобразования представляются в виде ряда по степеням полей

С = Со + С\ + £,2--, 5 = 50 ++62.--

где Со - свободный лагранжиан, квадратичный по полям, С\ - лагранжиан взаимодействия в линейном приближении, кубический по полям и т.д. Аналогично для калибровочных преобразований, 5о - исходные калибровочные преобразования свободной теории, ¿1 - линейная поправка по полям и т.д. Условие калибровочной инвариантности 5С = 0 требует обращения вариаций в каждом порядке по отдельности

боСо = О боСг + б^о = О

60С2 + 5\С\ + 62С0 = о

и так далее. На базе такого рассмотрения и его небольших модификаций проведен значительный объем исследований по классификации всевозможных кубических вершин взаимодействия для безмассовых полей высших спинов [72, 73, 74, 75] и исследованы взаимодействия с полями материи, входящие в лагранжиан через источник [76, 77, 78, 79, 80].

Имея ввиду универсальность и удобство конструктивного подхода, можно задаться вопросом, нельзя ли принцип калибровочной инвариантности (пусть и несколько искусственной) распространить на теории массивных полей? Другими словами, можно поставить задачу о развитии калибровочно-инвариантного описания массивных полей. Приведем самый простой и хорошо известный пример, где эта задача успешно решается. Это теория массивного векторного поля. Такое поле должно удовлетворять двум условиям

(,д2 + т2)В„ = 0, д^В^ = 0

где д2 = дц = Не представляет труда записать лагранжиан, воспроизводящий эти условия как следствия уравнений движения

где = дцВи — дуВц. Очевидно, что массовое слагаемое не инвариантено относительно калибровочных преобразований ЗВ^ = д^, однако если ввести вспомогательное скалярное поле <р следующим образом Вй —>■ (В^ — то лагранжиан, который

теперь имеет вид

С = + дР<рд»Ч> - тВ"дй<р +

станет калибровочно-инвариантным относительно одновременных преобразований полей и (р

бВ^ = = тп£.

Вспомогательное поле <р называется штюкелберговским. Приведенный пример показал как калибровочно-инвариантным образом описываются массивные поля. В результате мы видим каким образом конструктивный подход, в принципе, может работать для массивных теорий в общем случае.

Как и для безмассовых полей, в массивном случае также приведена классификация всех допустимых кубических вершин [74, 75, 81], но она говорит нам только о возможном типе вершины, не позволяя выписать ее в конкретной форме. В явном виде кубические вершины в массивных теориях высших спинов получены только в небольшом числе частных случаев [81, 116, 83, 84, 85, 86, 87, 88]. Таким образом, здесь еще остается круг неисследованных проблем к которым, например, относится задача взаимодействия массивных полей высших спинов с внешними полями.

Имеются два формализма калибровочно-инвариантного описания массивных полей, активно развиваемые в настоящее время. Один из подходов основывается на БРСТ конструкции [89, 91, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97], другой использует конструктивный подход [46, 98, 99, 100, 101]. В каждом из подходов калибровочная симметрия в конечном итоге

обусловлена набором дополнительных штюкелберговских полей. В предлагаемой диссертации при выводе вершин взаимодействия мы будем применять конструктивный подход и вводить необходимые штюкельберговские поля.

Принимая во внимание всю сложность проблем в теории полей высших спинов и технические трудности, возникающие при работе в пространствах размерности d > 4, представляется, что рассмотрение теории в трех измерениях, должно быть намного проще и может служить хорошим полигоном для приобретения полезного опыта для работы в высших измерениях. В частности, оказывается, что в отличие от ситуации d > 4 в трех измерениях нет необходимости рассматривать бесконечное количество безмассовых полей высших спинов, чтобы построить непротиворечивую взаимодействующую теорию, достаточно ограничится конечным числом полей [102, 103]. Важно, что многие такие теории могут рассматриваться на основе моделей Черн-Саймонса с некоторой калибровочной алгеброй.

Основной массив работ по трех-мерным теориям полей высших спинов посвящен построению взаимодействию безмассовых полей [103, 104, 105, 106, 107, 108, 109] и топологически массивным теориям [110, 111, 112]. Но безмассовые поля высших спинов в d = 3, являются чистыми калибровками и не имеют физических степеней свободы, в то время как топологически массивные поля, хотя и содержат физические степени свободы, но из-за их -специфических свойств обобщение на более высокие размерности представляется затруднительным. Поэтому исследование взаимодействующих теорий массивных полей высших спинов представляется важным и полезным. С одной стороны, такие теории, определенно, представляют физический интерес сами по себе, например, для изучения различных аспектов дуальности, а с другой стороны можно ожидать, что они допускают обобщения на высшие измерения d > 3. Естественным начать рассмотрение с построения взаимодействия массивных полей высших спинов с гравитацией. Ясно, что гравитационное взаимодействие играет фундаментальную роль в любой теории, в том числе и в теории полей высших спинов.

Однако, прежде чем переходить к исследованию возможных взаимодействий, необходимо иметь формулировку свободных массивных полей в d = 3. Впервые лагранжево

описание таких полей было дано в работе [113], соответствующее неприводимому представлению группы Пуанкаре в трех-мерпом пространстве. По причинам которые приводились ранее мы заинтересованы в калибровочно-инвариантном описании, которое до сих пор не было рассмотрено. Поэтому одной из задач данной диссертации ставиться развитие калибровочно-инвариантной формулировки массивных полей высших спинов в трех-мерном пространстве-времени.

Другая проблема, рассматриваемая в диссертации, посвящена изучению электромагнитного и гравитационного взаимодействий массивных бозонных полей высших спинов. Различные аспекты таких взаимодействий для частных случаев рассматривались в [83, 88, 114, 115, 116] для гравитационного взаимодействия и [98, 84, 85, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125] для электромагнитного взаимодействия. При этом еще в [49, 126, 127] было показано, что стандартное включение минимального взаимодействия приводит к ряду проблем, основными из которых являются появление нефизических распространяющихся мод и нарушение причинности. Эти лишние степени свободы можно в принципе контролировать, если использовать для массивных полей калибровочно-инвариантное описание. На основе такого описания нами построены непротиворечивые модели массивных полей с произвольным спином, взаимодействующие в внешним полем.

Целями настоящей диссертации являются:

• Используя калибровочно-инвариантное описание полей высших спинов, в рамках коснтруктивного подхода, построить непротиворечивые кубические вершины взаимодействия безмассовых и массивных полей высших спинов с внешним постоянном электромагнитном полем в плоском пространстве Минковского размерности d > 4. Проанализировать построенные модели на согласованность с основными физическими требованиям, такие как калибровочная инвариантность, отсутствие нефизических степеней свободы и духов, причинность.

• Расширить калибровочно-инвариантное описание массивных полей высших спинов на случай трех-мерного пространства-времени. В частности, в рамках репер-

ного формализма построить калибровочно-инвариаитный лагранжиан свободного массивного поля произвольного целого спина в 3-мерном пространстве (А)дС с произвольной космологической постоянной Л, включая трех-мерное пространстве Минковского Л = 0. Используя особенности реперного формализма и трех-мерных пространств изучить специфические свойства построенной теории, не характерные для высших измерений.

• На основе развитого нами калибровочно-инвариантного описания массивных полей высших спинов в трех-мерных пространствах, исследовать возможные взаимодействия таких моделей, в частности, гравитационного, как одного из самых фундаментальных. Построить лагранжиан взаимодействия в линейном приближении, отвечающий минимальному включению гравитации для массивного поля произвольного спина. Выяснить особенности такой моделей, характерные именно для трехмерных пространств и сравнить их с теми, что возникают в высших измерениях.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, одного приложения и списка литературы. Первая глава носит обзорный характер и содержит основную информацию о динамике свободных безмассовых и массивных полей высших спинов в плоском пространстве Минковского размерности > 4. В этой главе рассматриваются две наиболее популярные и хорошо изученные реализации неприводимых представлений группы Пуанкаре, описываемых в линейном пространстве полностью симметричных тензорных полей и в пространстве тензорных полей специального вида. Первая реализация относится к метрической формулировке полей высших спинов, по аналогии с гравитацией, описываемой метрическим полем двторая реализация называется реперной формулировкой и содержит помимо основного физического поля, также вспомогательное поле, по аналогии с формулировкой гравитации в терминах тетрады кца и лоренцевской связности си^аЬ. Как для безмассовых так и для массивных полей используется калибровочно-инвариантное ларганжиево описание. Для безмассовых полей такое описание является естественным и единственной возможностью работать в

л

(

лоренц ковариантном виде. Для массивных полей калибровочно-инвариантное описание не является единственной возможностью обеспечит лоренц ковариантность, более того, оно скорее является экзотическим, так как требует дополнительного набора вспомогательных полей. Однако, именно в такой формулировке имеет место калибровочная инвариантность, которая служит мощным инструментом при исследовании возможных взаимодействий.

Во второй главе, используя метрическую формулировку полей высших спинов, в рамках конструктивного подхода исследуется электромагнитное взаимодействие полей высших спинов. Более точно, изучается поведение безмассовых и массивных полей высших спинов на фоне постоянного электромагнитного поля. Известно, что минимальное электромагнитное взаимодействие безмассовых полей высших спинов невозможно включить в пространстве Минковского по причине конфликта калибровочной симметрии электромагнитного поля со свободными калибровочными симметриями самих полей высших спинов. Однако, это удается сделать в пространстве с ненулевой космологической постоянной, которая будет возникать в вершинах взаимодействия всегда в знаменательно, следовательно, не допускать плоского предела. Тем не менее можно рассмотреть ситуацию, когда константа электромагнитного взаимодействия и космологическая постоянная одновременно стремятся к нулю, так что только неминимальные вершины выживают. В рамках такого рассмотрения в этой главе изучаются кубические вершины для безмассовых полей в пространстве Минковского. Для массивных полей высших спинов используется минимальное и неминимальное включение электромагнитного взаимодействия, при этом, чтобы теория была непротиворечивой, все необходимые неминимальные вершины могут быть построены используя в качестве размерного параметра массу. Также в этой главе показано, что построенная вершина взаимодействия согласована с причинностью.

В третьей главе мы обращаемся к трехмерным пространствам (анти) де Ситтера (А)й5з с произвольной космологической постоянной А (А)с18, в том числе, включая плоское трех-мерное пространство-время, где Л = 0. Развивается реперный подход, в рамках которого строится калибровочно-инвариантная формулировка высших спинов.

Для массивных полей такое описание ранее в литературе не рассматривалось. Особое внимание в этой главе направлено на поиски формулировки, в которой лагранжиан для массивных полей записывается в терминах калибровочно-инвариантных объектов, как в безмассовой теории, и может быть представлен в виде лагранжиана Черн-Саймонса. Показано, что при некотором условии эта задача может быть решена.

В четвертой главе, на основе сформулированного нами калибровочно-инвариантного описания массивных полей высших спинов в трех-мерных пространствах изуча-

ются аспекты гравитационного взаимодействия. Для сравнения, в безмассовом случае в рамках конструктивного подхода воспроизводится ранее известный результат для спина 3 о возможности построить замкнутую теорию гравитационного взаимодействия такого поля без вовлечения других полей. Далее мы исследуем аналогичную задачу для массивного поля спина 3 и показываем, что точную замкнутую теорию построить не возможно. Тем не менее в линейном приближении кубическая вершина может быть построена, которая представлена в диссертации и обобщена на случай произвольного целого спина. Обсуждаются специфические свойства построенных моделей, связанные с особенностями трех-мерных пространств и дается сравнение с аналогичными результатами в высших измерениях.

В заключение сформулированы основные результаты диссертации. В приложении приведены подробные формулы вычисления вариаций различных модельных действий, относящиеся ко второй главе. Полный объем диссертации составляет 118 страниц и содержит 137 литературных источников.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Снегирев, Тимофей Владимирович

Заключение

Сформулируем кратко основные результаты диссертации

1. В метрическом подходе полностью построены согласованные кубические вершины в модели безмассового поля произвольного целого спина, распространяющегося во внешнем постоянном электромагнитном фоне в пространстве Минковского произвольной размерности в, > 4. Эти вершины имеют структуру 5 — 5 — 1, т.е. линейны по электромагнитному полю, и содержат три производных.

2. В метрическом подходе с помощью калибровочно-инвариантного описания полностью построено кубическое взаимодействие массивных полей высших спинов с внешним постоянным электромагнитным полем. Показано, что построенная теория не содержит таких физических аномалий как нефизические распространяющие моды и отсутствие причинности, характерные для минимального электромагнитного взаимодействия массивных полей со спинами й > 1. Кроме того рассмотренная модель допускает правильный безмассовый предел, воспроизводя кубические вершины, полученные для безмассового случая. Помимо электрического заряда построенная теория содержит еще один произвольный безразмерный параметр.

3. Известная реперная формулировка массивных полей высших спинов в пространствах размерности в, > 4 расширена на трехмерные пространства с произвольной космологической постоянной, включал трех-мерное пространство Минковского. Построенная формулировка является калибровочно-инвариантной, следовательно, немедленно может быть использована для изучения различных взаимодействующих моделей в таких пространствах. Показано, что лагранжиан свободных массивных полей в трехмерных пространствах может быть переписан в терминах калибровочно-инвариантных объектов при частично фиксации калибровки с дальнейшей записью в форме действия Черн-Саймонса, характерное для безмассовых полей.

4. Построен общий вид кубической вершины гравитационного взаимодействия массивных полей высших в трех измерениях на основе выработанного нами калибровочно-инвариантно описания. В линейном приближении по гравитационному полю такая вершина соответствует минимальному взаимодействию. Основным различием здесь от высших измерений является возможность включить минимальное гравитационное взаимодействие, по крайней мере в линейном приближении, таким образом, что допускается гравитационное взаимодействие даже в пространстве Минковского й = 3, что для высших измерениях было в свое время одной из значительных проблем. Однако, выход за рамки линейного приближения делает теорию не замкнутой, что говорит нам о недостаточности включенных в полную теорию полей либо взаимодействий. Этот факт кардинально проявляется на примере спина 3, для которого в безмассовом случае построена замкнутая теория гравитационного взаимодействия без привлечения каких-либо дополнительных полей.

Основые результаты диссертации опубликованы в работах [133, 134, 135, 136, 137]

В заключении считаю своим приятным долгом выразить благодарность научному руководителю доктору физ.-мат. наук, профессору И. Л. Бухбиндеру за руководство работой, многочисленные обсуждения, всесторонню помощь и сотрудничество. Я также признателен доктору физ.-мат. наук Ю.М. Зиновьеву за обсуждения, способствующие формированию направлений исследованию, плодотворное сотрудничество и помощь в работе. Кроме того, я благодарен кандидату физ.-мат. наук В.А. Крыхтину за обсуждения и разъяснения различных вопросов теории полей высших спинов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Снегирев, Тимофей Владимирович, 2013 год

Литература

[1] Окунь A.B. Физика элементарных частиц/А.В. Окунь. - Москва: Наука, 1984. - 224 с.

[2] Кейн Г. Современная физика элементарных частиц/Г. Кейн. - Москва: Мир, 1990. - 358 с.

[3] Пескин М. Введение в квантовую теорию поля/М. Пескин, Д. Шредер. - Москва-Ижевск: РХД, 2001. - 783 с.

[4] Burgess С. The Standard Model: A Primer/C. Burgess, G. Moore. - Cambridge University Press, 2007. - 542 p.

[5] Рубаков B.A. Классические калибровочные поля/В.А. Рубаков. - Москва: Эдито-риал УРСС, 1999. - 355 с.

[6] Славнов A.A. Введение в квантовую теорию калибровочных полей/А.А. Славнов, Л.Д. Фаддееев. - Москва: Наука, 1978. - 238 с.

[7] Ициксон К. Квантовая теория поля: в 2 т./К. Ициксон, Ж.-Б. Зюбер. - Т.1. -Москва: Мир, 1984. - 448 с.

[8] Ициксон К. Квантовая теория поля: в 2 т./К. Ициксон, Ж.-Б. Зюбер. - Т.2. -Москва: Мир, 1984. - 440 с.

[9] Вайнберг С. Квантовая теория поля: в 2 т./С. Вайнберг. - Т.1. - Москва: Физмат-лит, 2003. - 648 с.

[10] Вайнберг С. Квантовая теория поля: в 2 т./С. Вайнберг. - Т.2. - Москва: Физмат-лит, 2003. - 527 с.

[11] De Witt B.S. Quantum Theory of Gravity. 2. Manifestly Covariant Theory/B.S. De Witt//Phys. Rev. - 1967. - V.162. - p. 1234 - 1256.

[12] 't Hooft G. One-loop divergences in the theory of gravity/G. 't Hooft, M.J.G. Veltman//Ann. Poincare Phys. Theor. A. - 1974. - V.20. - p. 69 - 94.

[13] Deser S. Nonrenormalizability of Einstein - Maxwell System/S. Deser, P. van Niuewenhuizen//Phys. Rev. Lett. - 1974. - V.32. - p. 245 - 247.

[14] Deser S. Nonrenormalizability of Quantized Dirac - Einstein System/S. Deser, P. van Niuewenhuizen//Phys. Rev. D. - 1974. - V.10. - p. 411 - 420.

[15] Deser S. One-Loop Divergences of Einstein Yang-Mills System/S. Deser, H.-S. Tsao, P. van Niuewenhuizen//Phys. Rev. D. - 1974. - V.10. - p. 3337 - 3342.

[16] van Nieuwenhuizen P. Supergravity/P. van Nieuwenhuizen//Phys. Repts. - 1981. -V.68. - p. 189 - 398.

[17] Gates S.J. Superspace or One Thousand and One Lessons in Supersymmetry/S.J. Gates, M.T. Grisaru, M. Rocek, W. Siegel. - MA: Benjamin Commings, Reading, 1983. - 548 p.

[18] Buchbinder I.L. Ideas and Methods of Supersymmetry and Supergravity/I.L. Buchbinder, S.M. Kuzenko. - Bristol and Philadelphia: IOP Publishing, 1998. - 656 p.

[19] Duff M. Ultraviolet divergences in extended supergravities/M. Duff//Supergravity'81, Cambridge University Press. - 1982. - p. 197 - 266.

[20] Грин M. Теория суперструн: в 2 т./М. Грин. - Т.1. - Москва: Мир, 1990. - 518 с.

[21] Грин М. Теория суперструн: в 2 т./М. Грин. - Т.2. - Москва: Мир, 1990. - 656 с.

[22] Zwiebach B.A. A first course in string theory/B.A. Zwiebach. - Cambridge University Press, 2004. - 558 p.

[23] Maldacena J.M. The large N limit of superconformal field theories and supergravity/J.M. Maldacena//Adv. Theor. Math. Phys. - 1998. - V.2. - p. 231-252.

[24] Gubser S.S. Gauge theory correlators from noncritical string theory/S.S. Gubser, I.R. Klebanov, A.M. Polyakov//Phys. Lett. B. - 1998. - V.428. - p. 105 - 114.

[25] Witten E. Anti de Sitter space and holography/E. Witten//Adv. Theor. Math. Phys.

- 1998. - V.2. - p. 253-291.

[26] Sorokin D. Introduction to classical theory of higher spins/D. Sorokin//AIP Conf. Proc. - 2005. - V.767. - p. 172-202.

[27] Bouatta N. An introduction to free higher-spin fields/N. Bouatta, G. Compere, A. Sagnotti//Preprint, ArXiv: 0409068. - 24 p.

[28] Bekaert X. Nonlinear higher spin theories in various dimensions/X. Bekaert, S. Cnockaert, C. Iazeolla, M.A. Vasiliev//Preprint, ArXiv: 0503128. - 85 p.

[29] Fotopoulos A. Gauge invariant Lagrangians for free and interacting Higher spin fields. A review of the BRST formulation/A. Fotopoulos, M. Tsulaia//Int. J. Mod. Phys. A.

- 2009. - V.24. - p. 1-60.

[30] Sagnotti A. String lessons for higher-spin interactions/A. Sagnotti, M. Taronna//Nucl. Phys. B. - 2011. - V.842. - p. 299-361.

[31] Berends F.A. On the theoretical problems in constructing interactions involving higherspin massless particles/F.A. Berends, G. J.H. Burgers//Nucl. Physics B. - 1985. - V.260.

- p. 295-322.

[32] Fradkin E.S. On the gravitational interaction of massless higher-spin fields/E.S. Fradkin, M.A. Vasiliev//Phys. Lett. B. - 1987. - V.189. - p. 89-95.

[33] Fradkin E.S. Cubic interaction in extended theories of massless higher-spin fields/E.S. Fradkin, M.A. Vasiliev//Nucl. Phys. B. - 1987. - V.291. - p. 141-171.

[34] Wigner E.P. On unitary representations of the inhomogeneous lorentz group/E.P. Wigner //Ann. Math. - 1939. - V.40. - p. 149-204; Nucl. Phys. В Proc, Suppl. - 1989.

- V.6. - p. 9-64.

[35] Fierz M. On relativist wave equations for particles of arbitrary spin in electromagnetic field/M. Fierz, W. Pauli//Proc. Roy. Soc. A. - 1939. - V.173. - p. 211-232.

[36] Rarita W. On a theory of particles with half integral spin/W. Rarita, J. Schwinger//Phys. Rev. - 1941. - V.60. - p. 61-61.

[37] Chang S.J. Lagrange formulation for systems with higher spin/S.J. Chang//Phys. Rev.

- 1967. - V.161. - p. 1308-1315.

[38] Singh L.P.S. Lagrangian formulation for arbitrary spin. 1. The boson case/L.P.S. Singh, C.R. Hagen//Phys. Rev. D. - 1974. - V.9. - p. 898-909.

[39] Singh L.P.S. Lagrangian formulation for arbitrary spin. 1. The fermion case/L.P.S. Singh, C.R. Hagen//Phys. Rev. D. - 1974. - V.9. - p. 910-920.

[40] Fronsdal C. Massless fields with integer spin/C. Fronsdal//Phys. Rev. D. - 1978, -V.18. - p. 3624-3629.

[41] Fang J. Massless fields with half integer spin/J. Fang, C. Fronsdal//Phys. Rev. D. -1978. - V.18. - p. 3630-3633.

[42] Швингер Ю. Частицы, источники, поля: в 2 т./Швингер Ю. - Т.1. - Москва: Мир, 1976. - 502 с.

[43] Deser S. Gauge invariance versus masslessness in de Sitter spaces/S. Deser, R.I. Nepomechie//Ann. Phys. - 1984. - V.154. - p. 396-420.

[44] Deser S. Partial masslessness of higher spins in (A)dS/S. Deser, A. Waldron//Nucl. Phys. B. - 2001. - V.607. - p. 577-604.

[45] Deser S. Null propagation of partially massless higher spins in (A)dS and cosmological constant speculations/S. Deser, A. Waldron//Phys. Lett. B. - 2001. - V.513. - p. 137141.

[46] Zinoviev Yu.M. On massive higher spin particles in AdS/Yvl.M. Zinoviev//Preprint, ArXiv: 0108192 - 8 p.

[47] Labastida J.M.F. Massless mixed-symmetry bosonic free fields/J.M.F. Labastida, T.R. Morris//Phys. Lett. B. - 1986. - V.180. - p. 101-106.

[48] Bekaert X. Mixed symmetry fields in a flat background/X. Bekaert, N. Boulanger//Preprint, ArXiv: 0310209 - 7 p.

[49] Velo G. Noncausality and other defects of interaction Lagrangian for particles with spin one and higher/G. Velo, D. Zwanziger//Phys. Rev. - 1969. - V.188. - p. 2218-2222.

[50] Aragone C. Consistency problems of spin-2 gravity coupling/C. Aragone, S. Deser//Nuovo Cim. B. - 1980. - V.57. - p. 33-49.

[51] Coleman S. All possible symmetries of the S Matrix/S. Coleman, J. Mandula//Phys. Rev. - 1967. - V.159. - p. 1251-1256.

[52] Maldacena J. Constrainig conformal field theories with higher spin symmetry/J. Maldacena, A. Zhiboedov//Preprint, ArXiv:1112.1016 - 61 p.

[53] Bengtsson A.K.H. Cubic interaction terms for arbitrary spin/A.K.H. Bengtsson, I. Bengtsson, L. Brink//Nucl. Physics B. - 1983. - V.227. - p. 31-40.

[54] Bengtsson A.K.H. Cubic interaction terms for arbitrarily extended supermultiplets/A.K.H. Bengtsson, I. Bengtsson, L. Brink//Nucl. Physics B. -1983. - V.227. - p. 41-49.

[55] Bekaert X. On killing tensors and cubic vertices in higher-spin gauge theories/X. Bekaert, N. Boulanger, S. Cnockaert, s. Leclercq//Fortsch. Phys. - 2006. - V.54. -p. 282-290.

[56] Boulanger N. Consistent couplings between spin-2 and spin-3 massless fields/N. Boulanger, S. Leclercq//JHEP. - 2006. - V.0611. - p. 034.

[57] Boulanger N. On the uniqueness of minimal coupling in higher-spin gauge theory/N. Boulanger, S. Leclercq, P. Sundell//JHEP. - 2008. - V.0808. - p. 056.

[58] Boulanger N. Gravitational cubic interactions for a simple mixed-symmetry gauge field in AdS and flat backgrounds/N. Boulanger, E.D. Skvortsov, Yu.M. Zinoviev//J. Phys. A. - 2011. - V.44. - p. 415403.

[59] Boulanger N. Higher-spin algebras and cubic interactions for simple mixed-symmetry fields in AdS spacetime/N. Boulanger, E.D. Skvortsov//JHEP. - 2011. - V.1109. - p. 063.

[60] Buchbinder I.L. Constructing the cubic interaction vertex of higher spin gauge field/I.L. Buchbinder, A. Fotopoulos, A.C. Petkou, M. Tsulaia//Phys. Rev. D. - 2006. - V.74. -p. 105018.

[61] Joung E. Cubic interactions of massless higher spins in (A)dS: metric-like approach/E. Joung, M. Taronna//Nucl. Phys. B. - 2012. - V.861. - p. 145-174.

[62] Manvelyan R. Off-shell construction of some trilinear higher spin gauge field interations/R. Manvelyan, K. Mkrtchyan, W. Ruehl//Nucl. Phys. B. - 2010. - V.826. - p. 1-17.

[63] Manvelyan R. Direct construction of a cubic selfinteraction for higher spin gauge fields/R. Manvelyan, K. Mkrtchyan, W. Ruehl//Nucl. Phys. B. - 2011. - V.844. - p. 348-364.

[64] Manvelyan R. General trilinear interaction for arbitrary even higher spin gauge fields/R. Manvelyan, K. Mkrtchyan, W. Ruehl//Nucl. Phys. B. - 2010. - V.836. - p. 204-221.

[65] Taronna M. Higher-spin interactions: four-point functions and beyond/M. Taronna//JHEP. - 2012. - V.1204. - p. 029.

[66] Metsaev R.R. Poincare invariant dynamics of massless higher spins: fourth order analysis on mass shell/R.R. Metsaev//Mod. Phys. Lett. A. - 1991. - V.6. - p. 359367.

[67] Vasiliev M.A. Consisten equations for interacting massless fields of all spins in first order in curvatures/M.A. Vasiliev//Ann. of Physics. - 1989. - V.190. - p. 59-106.

[68] Vasiliev M.A. Consisten equations for interacting gauge fields of all spins in 3+1 dimensions/M.A. Vasiliev//Phys. Lett. B. - 1990. - V.243. - p. 378-382.

[69] Vasiliev M.A. Nonlinear equations for symmetric massless higher spin fields in {A)dSd/M.A. Vasiliev//Phys. Lett. B. - 2003. - V.567. - p. 139-151.

[70] Boulanger N. An action principle for Vasiliev's four-dimensional higher spin gravity/N. Boulanger, P. Sundell//J. Phys. A. - 2011. - V.44. - p. 495402.

[71] Doroud N. An action for higher spin gauge theory in four dimensions/N. Doroud, L. Smolin//Preprint, ArXiv:1102.3297 - 28 p.

[72] Manvelyan R. Direct construction of a cubic selfinteraction for higher spin gauge fields/R. Manvelyan, K. Mkrtchyan, W. Ruehl//Nucl. Phys. B. - 2011. - V.844. - p. 348-364.

[73] Manvelyan R. General trilinear interaction for arbitrary even higher spin gauge fields/R. Manvelyan, K. Mkrtchyan, W. Ruehl//Nucl. Phys. B. - 2010. - V.836. - p. 204-221.

[74] Metsaev R.R. Cubic interaction vertices for massive and massless higher spin fields/R.R. Metsaev //Nucl. Phys. B. - 2006. - V.759. - p. 147-201.

[75] Metsaev R.R. Cubic interaction vertices for fermionic and bosonic arbitrary spin fields/R.R. Metsaev//Nucl. Phys. B. - 2012. - V.859. - p. 13-69.

[76] Bekaert X. Higher spin interactions with scalar matter on constant curvature spacetimes: conserved current and cubic coupling generating functions/X. Bekaert, E. Meunier//JHEP, - 2010. - V.ll. - p. 116.

[77] Fotopoulos A. Higher-spin gauge fields interacting with scalars: the Lagrangian cubic vertex/A. Fotopoulos, N. Irges, A.C. Petkou, M. Tsulaia//JHEP. - 2007. - V.0710. -021.

[78] Francia D. (A)dS exchanges and partially-massless higher spins/D. Francia, J. Mourad, A. Sagnotti//Nucl. Phys. B. - 2008. - V.804. - p. 383-420.

[79] Manvelyan R. Conformal coupling of higher spin gauge fields to a scalar field in AdS\ and generalized Weyl invariance/R. Manvelyan, W. Ruehl//Phys. Lett. B. - 2004. -V.593. - p. 253-261.

[80] Manvelyan R. Conformal invariant interaction of a scalar field with the higher spin field in AdSD/R. Manvelyan, K. Mkrtchyan//Mod. Phys. Lett. A. - 2010. - V.25. - p. 1333.

[81] Joung E. On the cubic interactions of massive and partially-massless higher spins in (A)dS/E. Joung, L. Lopez, M. Taronna//JHEP. - 2012. - V.1207. - 041.

[82] Metsaev R.R. Gravitational and higher-derivative interactions of massive spin 5/2 field in space/R.R. Metsaev//Phys. Rev. D. - 2008. - V.77. - p. 025032.

[83] Zinoviev Yu.M. On spin 3 interacting with gravity/Yu.M. Zinoviev//Class. Quant. Grav. - 2009. - V.26. - p. 035022.

[84] Zinoviev Yu.M. On spin 2 electromagnetic interactions/Yu.M. Zinoviev//Mod. Phys. Lett. A. - 2009. - V.24. - p. 17-23

[85] Zinoviev Yu.M. On massive spin 2 electromagnetic interactions/Yu.M. Zinoviev//Nucl. Phys. B. - 2009. - V.821. - p. 431-451.

[86] Zinoviev Yu.M. Spin 3 cubic vertices in frame-like formalism/Yu.M. Zinoviev//JHEP.

- 2010. - V.08. - 084.

[87] Zinoviev Yu.M. On electromagnetic interactions for massive mixed-symmetry field/Yu.M. Zinoviev //JHEP. - 2011. - V.1103. - 082.

[88] Zinoviev Yu.M. Gravitational cubic interactions for a massive mixed-symmetry gauge field/Yu.M. Zinoviev//Class. Quantum Grav. - 2012. - V.29. - p. 015013.

[89] Buchbinder I.L. Lagrangian formulation of the massless higher integer spin fields in AdS background/I.L. Buchbinder, A. Pashnev, M. Tsulaia//Phys.Lett. B. - 2001. -V.523. - p. 338

[90] Buchbinder I.L. BRST approach to Lagrangian construction for fermionic massless higher spin fields/I.L. Buchbinder, V.A Krykhtin, A.Pashnev//Nucl.Phys. B. - 2005. -V.711. - p. 367

[91] Buchbinder I.L. Gauge invariant Lagrangian construction for massive bosonic higher spin fields in D dimensions/I.L. Buchbinder, V.A. Krykhtin//Nucl.Phys. B. - 2005. -V.727. - p. 537.

[92] Buchbinder I.L. Gauge invariant Lagrangian construction for massive higher spin fermionic fields/I.L. Buchbinder, V.A. Krykhtin, L.L. Ryskina, H. Takata//Phys.Lett. B. - 2006. - V.641. - p. 386.

[93] Buchbinder I.L. Gauge invariant Lagrangian formulation of higher spin massive bosonic field theory in (A)dS space/I.L. Buchbinder, V.A. Krykhtin, P.M. Lavrov//Nucl.Phys. B. - 2007. - V.762. - p. 344.

[94] Buchbinder I.L. Quartet unconstrained formulation for massless higher spin fields/I.L. Buchbinder, A.V Galajinsky, V.A. Krykhtin//Nucl.Phys. B. - 2007. - V.779.

- p. 155.

[95] Buchbinder I.L. BRST approach to Lagrangian construction for fermionic higher spin fields in (A)dS space/I.L. Buchbinder, V.A. Krykhtin, A.A. Reshetnyak//Nucl.Phys. B. - 2007. - V.727. - p. 211.

[96] Buchbinder I.L. Gauge invariant Lagrangian construction for massive bosonic mixed symmetry higher spin fields/I.L. Buchbinder, V.A. Krykhtin, H. Takata//Phys.Lett. B. - 2007. - V.656. - p. 253.

[97] Buchbinder I.L. Quartet unconstrained formulation for massive higher spin fields/I.L. Buchbinder, A.V. Galajinsky//JHEP. - 2008. - V.0811. - 081.

[98] Klishevich S.M. On electromagnetic interaction of massive spin-2 particle/S.M. Klishevich, Yu.M. Zinoviev//Phys. Atom. Nucl. - 1998. - V.61. - p. 1527-1537.

[99] Metsaev R.R. Gauge invariant formulation of massive totally symmetric fermionic fields in (A)dS space/R.R. Metsaev//Phys. Lett. B. 2006. - V.643. - p. 205-212.

[100] Ponomarev D.S. Frame-like action and unfolded formulation for massive higher-spin fields/D.S. Ponomarev, M.A. Vasiliev//Nucl. Phys. B. - 2010. - V.839. - p. 466-498.

[101] Zinoviev Yu.M. Frame-like gauge invariant formulation for massive high spin particles/Yu.M. Zinoviev//Nucl. Phys. B. - 2009. - V.808. - p. 185-204.

[102] Blencowe M.P. A consistent interacting massless higher-spin field theory in D=2+1/M.P. Blencowe//Class. Quant. Grav. - 1989. - V.6. - p. 443.

[103] Campoleoni A. Asymptotic symmetries of three-dimensional gravity coupled to higherspin fields/A. Campoleoni, S. Fredenhagen, S. Pfenninger, S. Theisen//JHEP. - 2010. - V.1011. - 007.

[104] Achucarro A. A Chern-Simons action for three-dimensional anti-de Sitter supergravity theories/A. Achucarro, P.K. Townsend//Phys. Lett. B. - 1986. - V.180. - p. 89-92.

[105] Aragone C. Hypersymmetry in D=3 of coupled gravity-massless spin-5/2 system/C. Aragone, S. Deser//Class. Quant. Grav. - 1984. - V.l. - L9;

[106] Barabanschikov A.V. Free equations for massive matter fields in 2+1 dimensional anti-de Sitter space from deformed oscillator algebra/A.V. Barabanschikov, S.F. Prokushkin, M.A. Vasiliev//Theor. Math. Phys. - 1997. - V.110. - p. 295-304.

[107] Prokushkin S. Higher-spin gauge interactions for massive matter fields in 3D AdS space-time/S. Prokushkin, M. Vasiliev//Nucl. Phys. B. - 1999. - V.545. - p. 385-433.

[108] Prokushkin S. Coordinate-free action for AdS3 higher-spin-matter systems/S. Prokushkin, A. Segal, M. Vasiliev//Phys. Lett. B. - 2000. - V.478. - p. 333-342.

[109] Witten E. 2+1 dimensional gravity as an exactly soluble system/E. Witten//Nuclear Physics B. - 1988. - V.311. - p. 46-78.

[110] Bagchi A. Topological massive higher spin gravity/A. Bagchi, S. Lai, A. Saha, B. Sahoo//JHEP. - 2011. - V.1110. - 150.

[111] Chen B. Spin-3 topological massive gravity/B. Chen, J. Long, J. Wu//Phys. Lett. B. - 2011. - V.705. - p. 513-520.

[112] Chen B. Higher spin topologically massive gravity/B. Chen, J. Long//JHEP. - 2011. -V.1112.- 114.

[113] Tyutin I. Lagrangian formulation of irreducible massive fields of arbitrary spin in 2+1 dimensions/I. Tyutin, M. Vasiliev//Theor. Math. Phys. - 1997. - V.113. - p. 1244-1254.

[114] Buchbinder I.L. Equations of motion for massive spin 2 field coupled to gravity/I.L. Buchbinder, D.M. Gitman, V.A. Krykhtin, V.D. Pershin//Nucl. Phys. B. - 2000. -V.584. - p. 615-640.

[115] Buchbinder I.L. Causality of massive spin 2 field in external gravity/I.L. Buchbinder, D.M. Gitman, V.D. Pershin//Phys. Lett. B. - 2000. - V.492. - p. 161-170.

[116] Metsaev R.R. Gravitational and higher-derivative interactions of massive spin 5/2 field in (A)dS space/R.R. Metsaev//Phys. Rev. D. - 2008. - V.77. - p. 025032.

[117] Argyres P.C. Massive spin-2 bosonic string states in an electromagnetic background/P.C. Argyres, C.R. Nappi//Phys. Lett. B. - 1989. - V.224. - p. 89.

[118] Klishevich S.M. Electromagnetic interaction of massive spin-3 state from string theory/S.M. Klishevich//Int. J. Mod. Phys. A. - 2000. - V.15. - p. 395-411.

[119] Klishevich S.M. Massive fields of arbitrary integer spin in homogeneous electromagnetic field/S.M. Klishevich //Int. J. Mod. Phys. A. - 2000. - V.15. - p. 535.

[120] Klishevich S.M. Massive fields of arbitrary half-integer spin in constant electromagnetic field/S.M. Klishevich//Int. J. Mod. Phys. A. - 2000. - V.15. - p. 609-624

[121] Porrati M. Intrinsic cutoff and acausality for massive spin 2 fields coupled to electromagnetism/M. Porrati, R. Rahman//Nucl. Phys. B. - 2008. - V.801. - p. 174-186.

[122] Porrati M. Causal propagation of a charged spin 3/2 field in an external electromagnetic background/M. Porrati, R. Rahman//Phys. Rev. D. - 2009. - V.80. - p. 025009.

[123] Porrati M. String theory and the Velo-Zwanziger problem/M. Porrati, R. Rahman, A. Sagnotti//Nucl. Phys. B. - 2011. - V.846. - p. 250-282.

[124] Porrati M. Notes on a cure for higher-spin acausality/M. Porrati, R. Rahman//Phys. Rev. D. - 2011. - V.84. - p. 045013.

[125] Rahman R. Helicity-1/2 mode ad a probe of interactions of massive Rarita-Schwinger field/R. Rahman//Preprint, ArXiv: 1111.3366. - 16 p.

[126] Velo G. Propagation and quantization of Rarita-Schwinger waves in an external Electromagnetic potential/G. Velo, D. Zwanziger//Phys. Rev. - 1969. - V.186. - p. 1337-1341.

[127] Velo G. Anomalous behaviour of a massive spin two charged particle in an external electromagnetic field/G. Velo//Nuclear Physics B. - 1972. - V.43. - p. 389-401.

[128] Francia D. Free geometric equations for higher spins/D. Francia, A. Sagnotti//Phys. Lett. B. - 2002. - V.543. - p. 303-310.

[129] Francia D. On the geometry of higher-spin gauge fields/D. Francia, A. Sagnotti//Class. Quant. Grav. - 2003. - V.20. - p. 473-486.

[130] Campoleoni A. Unconstrained higher spins of mixed symmetry. I. Bose fields/A. Campoleoni, D. Francia, J. Mourad, A. Sagnotti//Nucl. Phys. B. - 2009. - V.815.

- p. 289-367.

[131] Васильев M.A. "Калибровочная"форма описания бсзмассовых полей произвольного спина/М.А. Васильев//Ядерная физика. - 1980. - т.32. с. 855-861.

[132] Zinoviev Yu.M. On massive gravity and bigravity in three dimensions/Yu.M. Zinoviev//Preprint, ArXiv: 1205.6892. - 15 p.

[133] Buchbinder I.L. Cubic interaction vertex of higher-spin fields with external electromagnetic field/I.L. Buchbinder, T.V. Snegirev, Yu.M. Zinoviev//Nucl. Phys. B. - 2012. - V.864. - p. 694-721.

[134] Buchbinder I.L. Gauge invariant Lagrangian formulation of massive higher spin fields in (A)dS3 space/I.L. Buchbinder, T.V. Snegirev, Yu.M. Zinoviev//Phys. Lett. B. -2012. - V.716. - p. 243-248.

[135] Buchbinder I.L. On the gravitational interations for massive higher spins in AdS3/l.L. Buchbinder, T.V. Snegirev, Yu.M. Zinoviev//J. Phys. A: Math. Theor. - 2013. - V.46.

- 214015.

[136] Snegirev T.V. Cubic interaction vertex of massless higher-spin fields with an external electromagnetic field/T.V. Snegirev//Grav. Cosmol. - 2012. - V.18. - p. 113-116.

[137] Снегирев T.B. Лагранжево описание безмассового заряженного поля произвольного целого спина во внешнем электромагнитном поле/Т.В. Снегирев//Сборник трудов XV Всероссийской с международным участием конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука и Образование". - 2011. - Т.1. - с. 36-41. Изд-во ТГПУ.