Модели и метод параметрической оптимизации измерительных преобразователей стохастических сигналов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат технических наук Кузнецов, Борис Федорович

• Кузнецов, Борис Федорович
• кандидат технических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат технических наук Кузнецов, Борис Федорович

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1 Анализ состояния проблемы оценки погрешности измерительных преобразователей

1.1 Анализ взаимосвязи случайной и динамической

погрешностей измерительных преобразователей

1.1.1 Радиоизотопный интенсиметр

1.1.2 Абсорбционные анализаторы

1.1.3 Сорбционные измерительные преобразователи

1.2 Выбор математической модели входного воздействия

1.3 Методы оценки динамической погрешности

измерительных преобразователей

1.3.1 Вычисление динамической погрешности линейных измерительных преобразователей

1.3.2 Оценка динамической погрешности нелинейных измерительных преобразователей

1.4 Выбор и анализ методов оптимизации параметров измерительных преобразователей^.*,.-...-.;:

1.5 Основные цели и задачи исслЛ: ..•:

2 Построение математической моделисходного воздействия измерительного преобразователя

2.1 Анализ стационарности параметров

технологических процессов

2.2 Классификация ряда математических моделей

случайного процесса

2.3 Построение иерархического ряда математических моделей случайного процесса

2.4 Выводы

3 Связь случайной погрешности измерительного преобразователя с параметрами его динамической функции

3.1 Случайная погрешность радиоизотопного интенсиметра

3.2 Случайная погрешность абсорбционного измерительного преобразователя

3.3 Случайная погрешность сорбционного датчика влажности

3.4 Выводы

4 Определение динамической погрешности измерительных преобразователей

4.1 Определение динамической погрешности

линеаризованных измерительных преобразователей

4.1.1 Вычисление динамической погрешности

при прямых измерениях

4.1.2 Анализ динамической погрешности

при косвенных измерениях

4.1.3 Динамическая погрешность некоторых элементарных измерительных преобразователей

4.1.4 Исследование динамической погрешности измерительных преобразователей с распределенными параметрами

4.2 Оценка динамической погрешности нелинейных измерительных преобразователей

4.2.1 Алгоритм оценки динамической погрешности нелинейного измерительного преобразователя

4.2.2 Построение регрессионной модели динамической погрешности нелинейного измерительного преобразователя

4.2.3 Оценка степени нелинейного преобразования

случайного процесса

4.3 Выводы

5 Параметрическая оптимизация

измерительных преобразователей

5.1 Оптимизация параметров линеаризованных преобразователей

5.1.1 Понижение размерности целевой функции

5.1.2 Вычисление допусков на аргументы функции

суммарной погрешности

5.1.3 Оптимизация параметров с использованием

затратной функции

5.2 Оптимизация параметров нелинейного измерительного преобразователя

5.3 Выводы

6 Экспериментальное исследование

6.1 Описание аппаратной части установки

6.2 Обработка результатов эксперимента

6.3 Выводы

Основные результаты работы

Литература

Приложение

Динамическая погрешность сложных

измерительных преобразователей

Приложение

Программа оценки динамической погрешности нелинейного

динамического измерительного преобразователя

Приложение

Программа проведения активного факторного эксперимента

Приложение

оу-шиональная схема измерителя частоты

Приложение

Справки об использовании результатов диссертационной работы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели и метод параметрической оптимизации измерительных преобразователей стохастических сигналов»

Введение

Повышение эффективности промышленных объектов идет по пути совершенствования как самих технологических процессов, так и процессов управления ими. Широкое внедрение цифровой вычислительной техники и автоматизированных систем управления объектами открывает практически неограниченные возможности обработки информации об управляемом объекте с целью построения оптимальных систем управления. Однако практически реализация этих возможностей существенно ограничивается номенклатурой и техническими параметрами источников первичной информации о состоянии объекта. Такими источниками первичной информации являются различного рода измерительные системы, приборы и устройства.

Проектировщики автоматизированных систем управления часто сталкиваются с невозможностью измерения того или иного важного параметра объекта или с недостаточной точностью, либо недостаточным быстродействием. Одним из основных элементов любой измерительной системы, определяющий погрешность на этапе измерения, является измерительный преобразователь (ИП). В большинстве случаев метрологические параметры ИП определяют характеристики измерительной системы б целом.

Здесь термин «измерительный преобразователь» трактуется, как техническое средство, служащее для преобразования измеряемой величины в другую величину или измерительный сигнал, удобный для обработки, хранения, дальнейших преобразований, индикации или передачи, а также имеющее нормированные метрологические характеристики [1].

Проведенный автором анализ известных принципов функционирования РЕП непрерывного действия показывает, что для некоторых этих устройств случайная составляющая статической погрешности и динамиче-

екая погрешность, являются взаимосвязанными величинами. Кроме того, выявленная взаимосвязь обладает следующим свойством уменьшение случайной составляющей статической погрешности, тем или иным способом влечет за собой, увеличение динамической погрешности и наоборот. На основании этого выдвинуто предположение, что существует некоторое значение случайной составляющей статической погрешности и связанное с ним значение динамической погрешности, при котором их суммарная величина будет иметь минимальное значение.

Следует уточнить, что автором рассматривается случайная составляющей статической погрешности ИП, обусловленная его внутренними шумами. Динамическая погрешность трактуется (согласно МИ 2247-93) как погрешность результатов измерений, свойственной условиям динамических измерений, т.е. измерений изменяющейся (в процессе измерения) физической величины, и рассматривается составляющая, обусловленная инерционностью ИП. Все остальные виды погрешностей измерений не учитываются.

Очевидным фактом является то, что динамическая погрешность определяется не только параметрами ИП, но и скоростью изменения измеряемой величины - параметра технологического процесса. В реальных случаях значение измеряемого параметра технологического процесса подвержено влиянию множества недетерминированных факторов, т.е. входное воздействие ИП необходимо рассматривать как случайный процесс.

На основании этого более точно сформулируем выдвинутое выше предположение о наличии оптимальных параметров для ИП следующих! образом: при известных статистических параметрах входного случайного процесса существуют такие значения параметров ИП, при которых суммарное значение случайной составляющей статической и динамической погрешностей будет иметь минимальное значение.

Применяемые на практике методы проектирования и расчета ИП, как правило, не л~читывают параметры входного воздействия как случайного процесса и не учитывают взаимосвязи случайной составляющей статической и динамической погрешностей. Таким образом, в настоящее время разработчик измерительных приборов не имеет в своем арсенале научно обоснованных методов, позволяющих проектировать ИП с учетом статистических характеристик измеряемого технологического параметра, что, как правило, приводит к значительному ухудшению метрологических параметров проектируемого прибора. Поэтому создание методов, позволяющих оптимизировать параметры ИП по критерию минимума погрешности преобразования для данного технологического процесса, представляет актуальную научно техническую задачу.

На основании всего вышеизложенного, основной целью настоящей работы является разработка метода параметрической оптимизации измерительных преобразователей при известных статистических параметрах входного стационарного случайного процесса по критерию минимума суммарной погрешности преобразования измеряемой величины. Для достижения указанной цели^необходимо решить следующие задачи:

1. Произвести статистический анализ случайных реализаций параметров типовых технологических процессов. По результатам анализа осуществить выбор и обоснование математической модели входных воздействий измерительных преобразователей.

2. Исследовать зависимость случайной составляющей статической погрешности преобразования от динамических параметров ИП.

3. Разработать методы вычисления динамической погрешности линейного и нелинейного ИП при воздействии на их входах стационарных случайных процессов с известными статистическими характеристиками.

4. Исследовать зависимость суммарной погрешности преобразования измеряемой величины от динамических параметров ИП и статистических параметров входного случайного процесса.

5. Разработать методы параметрической оптимизации ИП по критерию минимума суммарной погрешности преобразования.

6. Разработать и изготовить установку для подтверждения адекватности используемых в работе математических моделей ИП.

При решении поставленных задач в работе использованы современные методы математического моделирования, метрологии, математической статистики и планирования эксперимента.

Научная ценность данной работы формулируется следующими пунктами.

1. Разработан метод для оценки динамической погрешности нелинейного инерционного измерительного преобразователя.

2. Разработана методика, позволяющая производить оценку суммарной погрешности ИП в зависимости от параметров входного стационарного случайного процесса и определять необходимую точность вычисления параметров модели СП, исходя из допусков на суммарную погрешность.

3. Выявлено увеличение динамической погрешности, проявляющееся в нелинейных инерционных измерительных преобразователях.

Практическая значимость диссертационной работы состоит в следующем.

1. Разработан метод параметрической оптимизации измерительных преобразователей, обладающих взаимосвязанными случайной составляющей статической погрешности и динамической погрешности для случаев, когда на их входе действует стационарный случайный процесс с известными статистическими характеристиками. Представленный в работе метод позволяет проводить оптимизацию как для линейных, так и для нелинейных ИП.

2. Разработанная методика принята для использования в ОАО "Ангарское опытно-конструкторское бюро автоматики" при проектировании пьезо-сорбционных датчиков влажности.

3. Результаты исследований используются в учебном процессе Ангарского государственного технологического института в курсах "Основы метрологии" и "Электрические измерения неэлектрических величин".

4. Разработана и изготовлена установка для измерения динамических параметров пьезосорбционных датчиков влажности.

Данная работа выполнена на кафедре "Промышленной электроники и вычислительной техники" Ангарского государственного технологического института. Результаты работы докладывались и обсуждались на пленарном заседании научно-технической конференции "Современные технологии и научно-технический прогресс" АГТИ (Ангарск 1997 г.), на заседании научного семинара "Автоматизированные системы контроля параметров веществ и окружающей среды", МГАХМ (Москва 1998 г.) и заседаниях научного семинара факультета технической кибернетики АГТИ 1992-1998 гг.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и шести глав, изложенных на 110 страницах, иллюстрируется 33 рисунками, содержит 20 таблиц, список литературы, включающий 89 наименований, 5 приложений.

В соответствии с этими задачами, первая глава диссертации посвящена литературному обзору состояния вопроса учета взаимосвязи случайной составляющей статической погрешности и динамической погрешности измерительных преобразователей. В качестве примеров измерительных преобразователей, обладающих взаимосвязанными случайной составляющей статической погрешности и динамической погрешностью, рассмотрены следующие приборы: радиоизотопный интенсиметр, прибо-

ры^ использующие абсорбционный метод измерения (на примере фотоколориметра), приборы,использующие сорбционный метод измерения (на примере пьезосорбционного датчика влажности.). Здесь же проводится выбор и обоснование вида математической модели входного воздействия измерительных преобразователей, методов вычисления и оценки динамической погрешности и методов оптимизации параметров измерительных преобразователей.

Во второй главе рассматриваются вопросы построения математических моделей входных воздействий измерительных преобразователей. В качестве формы представления математической модели случайного процесса выбрана функция спектральной плотности, позволяющая в наиболее простой форме вычислять динамическую погрешность измерительного преобразователя. Рассмотрены типовые модели случайных процессов, дано обоснование для их использования при моделировании параметров технологических процессов химических производств. Для ряда параметров технологических процессов проведен анализ стационарности и применимость типовых моделей для отображения их свойств. Построенные во второй главе математические модели случайных процессов используются в дальнейших исследованиях как типовые.

В третьей главе проведен анализ зависимости случайной составляющей статической погрешности ИП от параметров динамической характеристики. Результаты проведенных исследований для ряда ИП показывают, что случайная составляющая статической погрешности определяется как функция от обобщенного параметра прибора и постоянной времени его динамической характеристики.

В четвертой главе рассматриваются методы вычисления динамической погрешности линейных и нелинейных измерительных преобразователей при воздействии на их входах стационарных случайных процессов.

В пятой главе рассматриваются методы параметрической оптимизации ИП, находящихся под воздействием стационарных случайных процессов. Для ряда измерительных преобразователей показано существование параметров, при которых функция суммарной погрешности будет иметь минимальное значение.

Шестая глава содержит описание разработанной установки для измерения динамических параметров сорбционного датчика влажности, порядок проведения и результаты эксперимента. На основании анализа полученных экспериментальных данных при исследовании сорбционного датчика влажности подтверждена адекватность, полученной автором динамической модели пьезосорбпионного датчика влажности.

В заключении приведены основные результаты работы.

1 Анализ состояния проблемы оценки погрешности измерительных преобразователей

Одной из важнейших задач управления объектом является поддержание оптимальных параметров процесса при изменяющихся параметрах окружающей среды, нагрузки и других факторов. Для этого необходимо иметь достоверную информацию о значении физических величин, направлении и скорости их изменении. Источником такой информации являются различные средства измерения, такие как измерительные приборы, преобразователи, а также измерительные системы, представляющие собой совокупность измерительных приборов, преобразователей и вспомогательных устройств, соединенных между собой каналами связи. Ценность информации, полученной с помощью измерения, определяется величиной погрешности, вносимой на различных этапах преобразования измеряемой величины.

Погрешности, возникающие на этапе измерения, делятся на два класса [1]: случайную (8СЛ) и динамическую погрешность преобразования (5оин). При статистической независимости случайной и динамической погрешностей квадрат суммарной погрешности преобразования измеряемой величины определяется известным выражением [2]:

(1-1)

Проведенные автором данной работы исследование выражения (1.1) для некоторых ИП показывает, что между §сл и 5дин существует определенная взаимосвязь, а именно, случайная и динамическая погрешности преобразования являются функциями одного и того же аргумента. Для этих ИП попытка уменьшения одной из составляющих 5Ъ приводит к увеличению другой.

Проведенный автором литературный обзор указывает, что наличие взаимосвязи случайной и динамической погрешности неоднократно обсуждалось различными авторами, но. как правило, рассматривались част-

ные случаи. Так, например, в работе [3] указывается, что не тот прибор дает большую точность окончательного результата измерений, у которого меньшая погрешность единичного измерения, а тот, у которого с достаточно малой погрешностью сочетается большее быстродействие. Здесь же [3], говорится о наличии оптимального значения интервала усреднения, при котором будет иметь минимальное значение.

Отражение дальнейших исследований этой проблемы можно найти в [4], где анализируется погрешность ИП при входном воздействии, представляющем собой более общий случай - стационарный случайный процесс на входе. Основным результатом этого исследования следует считать вывод о том, что достижение повышенной точности измерения невозможно без использования статистического подхода к исследуемому процессу, т.е. выбор интервала усреднения из условия минимальной суммарной погрешности (1.1) возможен только при известных статистических характеристиках входного воздействия.

В работах, где анализируется вышеуказанная проблема, как правило, либо постулируется необходимость изучения статистических характеристик входного воздействия [4], либо рассматриваются ее частные аспекты. Так в [3] производится расчет оптимального интервала усреднения при детерминированном входном воздействии, а в [5] приводится выражение для "достигаемого увеличения информации" при усреднении. Общих методов решения этой задачи в настоящее время пока не создано, хотя и существуют все предпосылки для их создания.

1.1 Анализ взаимосвязи случайной и динамической погрешности измерительных преобразователей

1.1.1 Радиоизотопный интенсиметр

Как известно, в радиоизотопных интенсиметрах, широко используемых для контроля уровня, плотности и давления сред, всегда имеет

место погрешность, связанная с флуктуационным характером излучения [8, 9]. Включенная на выходе регистрирующего устройства интегрирующая цепь (рис. 1.1), предназначена для преобразования количества зарегистрированных частиц в напряжение.

_источник ионизирующего

излучения

Я

С ~

ивых *

Рис. 1.1 Радиоизотопный интенсиметр Очевидно, что для данного измерительного преобразователя уменьшение случайной погрешности при заданной мощности источника ионизирующего излучения может быть достигнуто за счет увеличения постоянной времени т интегрирующей цепи, определяемое соотношением т = ЯС, где Я- номинал резистора [Ом]. С- номинал конденсатора [Ф]. Если сделать т достаточно большой, то случайная погрешность, обусловленная флуктуациями излучения, будет бесконечно мала (за счет усредняющего действия интегрирующей цепи). Однако,за счет увеличения инерционности, динамическая погрешность может быть сколь угодно большой. С другой стороны, при г, стремящейся к нулю, динамическая погрешность также стремится к нулю, но при этом случайная составляющая статической погрешности 5СЛ стремится к бесконечности. На основании проведенного анализа закономерно предположить, что сущест-

вует такое значение г, при котором суммарная погрешность (1.1) будет иметь минимальное значение.

1.1.2 Абсорбционные анализаторы

Другим примером представителя исследуемого класса являются ИП, использующие абсорбционный метод, основанный на избирательном поглощении определяемым компонентом электромагнитного излучения. В различных разновидностях абсорбционных ИП используется весь спектр электромагнитных волн (от гамма-лучей до радиоволн), с их помощью осуществляется до 30% количественных анализов жидких смесей [10].

Динамические свойства этих ИП определяются их конструктивными элементами (рис.1.2.). Во-первых, если исследуемое вещество в интересующей области спектра не абсорбирует ити абсорбирует мало, то при помощи вспомогательных реакций могут быть образованы абсорбирующие соединения и, таким образом, обеспечена возможность анализа требуемых компонентов [11].

измерительный источник измерительная прибор

излучения ^ КЮВетз

проба

реактор

^ \

__сброс

г

I

приемник излучения

реагент

Рис. 1.2. Поточный фотоколориметр непрерывного действия

Динамические характеристики используемых для этих целей реакторов, в первом приближении, могут быть представлены либо типовой моделью вытеснения, либо моделью идеального смешения [12]. В первом случае динамические характеристики ИП будут представлены временем запаздывания, во втором - временем усреднения. И в том, и в другом случае,

т.е. время запаздывания и время усреднения, являются функциями объемной скорости потока (при заданном типе реакции и объеме реактора).

Вторым элементом ИП, определяющим динамические свойства, является измерительная кювета, передаточная функция которой достаточно точно описывается передаточной функцией апериодического звена [13]. Как и в предыдущем случае, постоянная времени прибора при заданном объеме кюветы определяется объемной скоростью прокачивания пробы.

В зависимости от конструкции прибора и характера реакции, время отбора, подготовки и измерения длится от 3 до 30 минут [14]. Очевидно, что для многих контролируемых технологических параметров такие значения времени усреднения или запаздывания нельзя считать незначительными, и учет инерционности ИП является обязательным.

Улучшить динамические характеристики фотометра можно за счет увеличения объемной скорости потока (или уменьшения объема реактора), но в этом случае может оказаться, что время пребывания в реакторе меньше, чем время завершения реакции (в случае использования реактора вытеснения). В свою очередь, это приводит к тому, что проба, попавшая в измерительную кювету, будет иметь меньшую оптическую плотность. С другой стороны, случайная составляющая погрешности есть функция оптической плотности [11] и снижение оптической плотности приводит к увеличению случайной составляющей погрешности.

Попытка уменьшения случайной составляющей погрешности за счет увеличения толщины слоя (длины измерительной кюветы) приводит к увеличению динамической погрешности преобразования за счет увеличения постоянной времени передаточной функции, описывающей динамические свойства кюветы. Таким образом, фотоколориметр имеет взаимосвязанные случайную и динамическую погрешности.

1.1.3 Сорбционные измерительные преобразователи

Сорбционные ИП получили достаточно широкое применение в контрольно-измерительных приборах. Наибольшее распространение они нашли в гигрометрии, и в настоящее время существует большое количество методов построения датчиков влажности, основанных на сорбции [15]. Одним из наиболее широко распространенных методов влагометрии является сорбционно-частотный, он нашел достаточно широкое распространение не только в гигрометрии. Используемый в методе принцип «кварцевого микровзвешивания» позволяет создать датчики сорбционно-частотного типа для аналитического контроля состава вещества [16-24].

Известное уравнение статической характеристики датчика [25], связывающее чувствительность датчика и его физические параметры, указывает на то, что точность преобразования измеряемой величины есть функция толщины пленки сорбента, нанесенной на кварцевой пластине (рис. 1.3). При увеличении толщины пленки сорбента чувствительность датчика увеличивается, но вместе с ней увеличивается и инерционность датчика, обусловленная временем диффузии влаги в сорбенте и наоборот [27].

поток газа

->

->

->

->

/

-> /

кварц- /

сорбент---7

Рис. 1.3. Сорбционный датчик влажности

Эта зависимость впервые была описана в [28] следующим образом: наименьшей инерционностью будут обладать датчики, влагочувстви-тельность которых ? обеспечивает максимальную допустимую погрешность измерения относительной влажности воздуха. Однако выражение,

полученное в этой работе, связывая влагочувствительность и инерционность ИП, не дает представления о величинах случайной и динамической погрешностей, определяемых этими параметрами.

Выпускаемые в настоящее время сорбционные датчики, в зависимости от конструкции, имеют достаточно большое время установления, так, например [29, 30]:

- сорбционно-частотные датчики относительной влажности имеют время установления от 2 до 8 минут;

- сорбционно-частотные датчики неорганических газов и фосфорорга-нических газов имеют время установления соответственно от 1 до 30 минут и от 0.5 до 6 минут.

Если задача определения случайной составляющей статической погрешности сорбционно-частотного ИП в настоящее время решена [26, 31], то определение его динамической погрешности до сих пор проблематично. Это обусловлено отсутствием достаточно точной математической модели, учитывающей динамические характеристики ИП этого класса, пригодной для практического применения.

Таким образом, результаты проведенного анализа ИП показывают, что случайная составляющая погрешности и динамическая погрешность преобразования являются взаимосвязанными величинами и очевидно предположить, что существует оптимальное значение постоянной времени прибора, при котором его суммарная погрешность будет иметь минимальное значение.

1.2 Выбор математической модели входного воздействия

Как уже указывалось автором работы, определение динамической погрешности ИП возможно только при наличии математического описания входного воздействия, поэтому следующим этапом анализа является изучение и построение математической модели входного воздействия.

На практике измеряемая величина подвержена влиянию множества недетерминированных факторов, поэтому закономерно предположить, что входное воздействие ИП представляет собой нормальный случайный процесс [32, 33]. В этом случае,его математическая модель обычно представляется в виде автокорреляционной функции (АКФ), либо в виде соответствующей ей функции спектральной плотности [34-37]. Выбор формы представления математической модели случайного процесса обусловлен тем, что для анализа динамической погрешности ИП в этом случае используются методы теории автоматического управления, позволяющие решать задачу анализа в достаточно простом виде и имеющие глубокую теоретическую проработку [38-41]. Кроме указанных характеристик при анализе нелинейных преобразователей?необходимо знать такие статистические параметры входного случайного процесса, как оцени! математического ожидания и дисперсии [42-44].

С практической точки зрения, наиболее удобным является вычисление оценок АКФ [35, 37, 45], т.к. при этом требуется меньший объем вычислений, чем при оценке значений функции спектральной плотности. Как правило, определение параметров статистической математической модели (СММ) случайного процесса производится путем аппроксимации вычисленных оценок АКФ выбранной функцией [35]. Но при этом предварительно необходимо решить следующие вопросы:

- определить достаточную точность вычислений оценок АКФ случайного процесса (если она не задана);

- определить длину реализации случайного процесса, которая в общем случае определяется из условия обеспечения заданной точности вычисления оценок АКФ [37];

- выбор самой аппроксимирующей функции (как правило, эта процедура осуществляется эмпирическим путем).

Приведенный перечень решаемых на этапе построения СММ вопросов может быть расширен в зависимости от условий конкретной задачи.

Задача определения точности вычисления оценок АКФ, а соответственно и определение длины реализации, может быть решена на основе требований к допускам на параметры ИП. Поэтому, разрабатываемый метод оптимизации должен предусматривать формирование обоснованных требований к точности оценок АКФ на основе допусков к параметрам измерительных преобразователей.

1.3 Методы оценки динамической погрешности измерительных преобразователей

1.3.1 Вычисление динамической погрешности линейных измерительных преобразователей

Для вычисления динамической погрешности измерительного преобразователя, находящегося под воздействием случайного процесса используется соотношение [38]:

где ~№'(]со) - динамическая передаточная характеристика измерительного преобразователя; ^(¿у)- спектральная плотность случайного процесса на входе измерительного преобразователя.

Однако, выражение (1.2) позволяет оценить динамическую погрешность линейного ИП только при прямых измерениях. Существующий метод для вычисления динамической погрешности при косвенных измерениях [46] использовать на практике достаточно проблематично, тем более, что он позволяет производить вычисление только для случая некороели-рованных входных случайных процессов. Вопрос оценки динамической погрешности при косвенных измерениях остается открытым и требует дополнительных исследований.

(1.2)

1.3.2 Оценка динамической погрешности нелинейного измерительного преобразователя

В большинстве случаев нелинейный измерительный преобразователь представляется структурной схемой, приведенной на рис. 1.4. В её состав входят: собственно нелинейность преобразователя ли-

нейное звено с передаточной функцией К^со), отображающей инерционность ИП, нелинейность отображающая линеаризатор.

Выходной сигнал связан с входным случайным процессом нелинейным дифференциальным уравнением, вид которого определяется принципом работы конкретного измерительного преобразователя.

Рис. 1.4 Структурная схема нелинейного измерительного преобразователя

В общем случае, математические модели, используемые для анализа нелинейных систем, делятся на два класса: системы, представляющие собой различные комбинации нелинейных безинерционных устройств и линейных инерционных звеньев (рис. 1.4), и системы, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями.

Анализ разомкнутых нелинейных систем первого вида по существу сводится к раздельному пересчету вероятностных характеристик случайного процесса, проходящего через нелинейные безинерционные и линейные инерционные звенья [39]. При этом выбор метода анализа нелинейного измерительного преобразователя зависит от двух факторов:

- динамический диапазон случайного воздействиях^;

- отношение интервала корреляции гк к постоянной времени измерительной системы тс.

В зависимости от указанных двух факторов выделим следующие частные случаи и соответствующие им методы анализа.

Случай воздействия с малым динамическим диапазоном. В данном случае, независимо от соотношения тк и тс, применимы методы линеаризации. е задача определения динамической погрешности нелинейного измерительного преобразователя сводится к задаче анализа погрешности линейного измерительного преобразователя.

Случай воздействия с большим динамическим диапазоном. Здесь нет единого и универсального метода анализа, и выбор метода зависит от соотношения тс и тк. Рассмотрим соответствующие этому случаю различные варианты.

a. Если г. » гк и входное воздействие представляет собой нормальный случайный процесс, можно воспользоваться явлением нормализации случайного процесса на выходе инерционной системы. При этом предполагается, что плотность вероятности выходного процесса подчиняется нормальному' закойу распределения, далее, тем или иным способом вычисляются определяющие её параметры. В частном случае, если дисперсия входного процесса достаточно мала, то её можно определить из линеаризованного уравнениям а математическое ожидание из нелинейного уравнения. Кроме того, в этом случае используется, так называемый, квазилинейный метод [47] (метод статистической линеаризации). Однако следует отметить, что для структурной схемы ИП (рис. 1.4) Р2(П(х))=х, т.к. (х). Следовательно. относительно математического ожидания преобразователь линеен и задача также сводится к задаче линейного анализа.

Существуют также методы, позволяющие вычислять статистические характеристики на выходе нелинейной системы, такие, как функции корреляции и спектральной плотности [40, 42].

b. При г. « тк обычно ограничиваются решением задачи в квазистатическом приближении, т.е. предполагается отсутствие динамической ошиб-

ки преобразования измеряемой величины, поэтому в данной работе этот случай не представляет интереса.

с. Случай промежуточных времен корреляции, т.е. тс «тк, является наиболее сложным при анализе. Ряд нелинейных систем при таком условии можно анализировать, используя функциональное представление Вольтера нелинейных дифференциальных уравнений [48].

Задача определения динамической погрешности нелинейного измерительного преобразователя осложняется и тем, что структура алгоритма вычисления значения погрешности при этом замкнута (рис. 1.5). Для такой системы, даже если известны статистические характеристики выходного сигнала, например 5 (со), и входного ^(¿у), то спектральная плотность динамической ошибки будет определяться выражением [40]:

(®) = ) - 5у О») - (®) - 5 ух » (1 • 3)

в которое входят две неизвестные функции - кросспектральные плотности (со) и 5 входного и выходного случайных процессов.

Таким образом, вычисление статистических характеристик случайного процесса на выходе нелинейного измерительного преобразователя не позволяет определить динамическую погрешность преобразования.

Рис. 1.5 Определение динамической погрешности нелинейного измерительного преобразователя

Очевидно, что необходимо использовать метод, не имеющий ограничений на вид нелинейности ИП, соотношения параметров тк и тс, например, метод факторного эксперимента для построения регрессионной модели [4951], удовлетворяющий предъявленным требованиям и позволяющий построить регрессионную модель динамической погрешности ИП.

Выбор плана проведения факторного эксперимента, как правило, основываться на априорных знаниях о влиянии выбранных факторов на отклик модели. В данном случае, когда априорные знания отсутствуют, наиболее правильным необходимо считать выбор ротатабельного центрального композиционного плана второго порядка [52, 53], позволяющего получить одинаковую точность предсказания отклика во всех направлениях на одинаковом расстоянии от центра планирования.

1.4 Выбор и анализ методов оптимизации параметров измерительных преобразователей

Завершающим этапом исследования суммарной погрешности ИП является оптимизация его параметров по критерию минимума суммарной погрешности. В общем виде задачу оптимизации параметров ИП можно сформулировать следующим образом [54]: пусть Х - некоторое множество допустимых параметров измерительного преобразователя (множество оптимизации), / заданная на X функция суммарной погрешности (целевая функция). Требуется найти приближение к:

/*=т//(х), (1.4)

.хеХ

и точку х (значение параметра ИП) из множества X, в которой это приближение реализуется, где х* - точка, в которой достигается минимальное значение (1.4), т.е. /* = /(х*).

Выбор метода оптимизации определяется множеством факторов, основным из которых является возможность (или невозможность) линеаризации передаточной характеристики измерительного преобразователя без ущерба для точности определения местонахождения точки экстремума функции суммарной погрешности преобразования. Как было показано в предыдущем разделе, при малой величине динамической погрешности, либо при малом динамическом диапазоне входного случайного процесса (и естественно, при соблюдении двух условий одновременно), нелинейность передаточной функции можно линеаризовать без особого ущерба

для точности решения задачи (1.4). Используемый при этом математический аппарат для линейных систем в ряде случаев позволяет получить аналитическую зависимость динамической погрешности от параметров измерительного преобразователя и произвести параметрическую оптимизацию, если не в аналитическом виде, то без привлечения численных методов математического программирования.

Более сложная ситуация складывается, когда нелинейностью преобразования измеряемой величины невозможно пренебречь без существенной потери точности определения местоположения точки х в (1.4). В отличие от случая линеаризованного преобразователя здесь существует возможность только численного (или комбинированного) решения задачи (1.4).

При учете нелинейности передаточной функции измерительного преобразователя можно выделить два подхода к решению поставленной задачи.

Первый подход заключается в предварительном построении регрессионной модели динамической погрешности нелинейного измерительного преобразователя на основании его математической модели. Далее следует этап определения точки х в (1.4), используя тот или иной метод оптимизации.

Второй подхоо исключает этап построения регрессионной модели динамической погрешности и строится на планировании экстремального поискового эксперимента [55]. Следует отметить, что без принятия специальных дополнительных мер данный подход к решению задачи (1.4) для нелинейного измерительного преобразователя вряд ли можно считать целесообразным, т.к. общее количество точек факторного пространства при поисковом эксперименте может значительно превышать количество точек, необходимых для вычисления параметров регрессионной модели [56]. Снижение вычислительных затрат, при данном подходе, может быть достигнуто за счет учета влияния нелинейности измерительного преобразователя на поведение функции динамической погрешности методами

теории чувствительности [57], анализируя знак влияния параметров на координаты точки экстремума.

На основании изложенных соображений, выделим основные свойства, которыми должен обладать метод оптимизации, используемый при втором подходе. Основное внимание следует уделять помехоустойчивости метода, позволяющей при достаточно высоком уровне шумов, порождаемых регрессионной моделью динамической погрешности измерительного преобразователя, найти точное решение задачи (1.4).

1.5 Основные цели и задачи исследования.

На основании вышеизложенного, была сформулирована основная цель данной работы - разработка методов параметрической оптимизации измерительных преобразователей при известных статистических параметрах входного воздействия по критерию минимума суммарной погрешности преобразования измеряемой величины. Для достижения указанной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Произвести статистический анализ реализаций параметров типовых технологических процессов, по результатам анализа выполнить выбор и обоснование математической модели входного воздействия измерительных преобразователей.

2. Исследовать зависимость случайной составляющей погрешности измерения от динамических параметров ИП.

3. Разработать методы вычисления динамической погрешности линейного и нелинейного ИП при воздействии на их входе стационарных случайных процессов с известными статистическими характеристиками.

4. Исследовать зависимость суммарной погрешности преобразования измеряемой величины от динамических параметров ИП и статистических параметров входного случайного процесса.

5. Разработать методы параметрической оптимизации ИП по критерию : минимума суммарной погрешности.

6. Разработать и изготовить лабораторный стенд для проведения апробации предлагаемых методов оптимизации.

2 Построение математической модели входного воздействия измерительного преобразователя

Первым этапом параметрической оптимизации измерительного преобразователя является построение математической модели входного случайного воздействия. В предыдущей главе автором уже указывалось, что одной из наиболее приемлемых форм представления модели случайного процесса являются автокорреляционная функция (АКФ) и функция спектральной плотности. В настоящее время существует обширный ряд функций спектральной плотности и АКФ, отображающих свойства различных типов случайных процессов [35-37, 58]. Поэтому одной из важнейших задач является выбор функции, позволяющей с заданной точностью отображать свойства анализируемого случайного процесса [59].

Следует отметить, что в некоторых случаях необходимо иметь не одну СММ, а ряд моделей. Использование иерархического ряда [60] математических моделей позволяет значительно ускорить отдельные этапы оптимизации ИП, а использование простейших моделей позволяет получить аналитическое выражение для динамической погрешности некоторых ИП как функции его параметров и параметров входного случайного процесса.

2.1 Анализ стационарности параметров технологических процессов

Одной из важнейших характеристик случайного процесса является свойство стационарности. Случайный процесс называют стационарным в узком смысле, если зсг конечномерные функции распределения вероятности любого порядка инвариантны относительно сдвига времени, т.е. при любых п и справедливо равенство:

...х2;Л -г....../,г - ¿0) = (х1, • • • х2' > • • • > О • (2Л)

Если предположить, что распределение параметра технологического процесса соответствует нормальному закону, то полное описание этого параметра дается двумерной плотностью вероятности p2(xl,x2;tl,t2) = р2(х1,х2;г), где t = \tx-t2\, и однозначно определяется

мат. ожиданием и корреляционной функцией [61]. Поэтому, для проверки равенства (2.1) необходимо рассмотреть следующие две гипотезы:

= const, R;{tx лг) = Rs(¡fi - i2|) = Rf (r),

где R^{t) мат. ожидание и корреляционная функция случайного процесса соответственно.

В силу того, что вычислялись нормированные оценки корреляционной функции необходимо дополнить анализ стационарности проверкой третьей гипотезы:

а'- - const,

где сг| дисперсия случайного процесса c;{t).

Анализ стационарности был проведен для следующих параметров технологических процессов:

- содержание водорода на выходе установки глубокого охлаждения пиро-газа (в дальнейшем - 1 параметр):

- влажность пирогаза на выходе процесса осушки (в дальнейшем - 2 параметр);

- содержание ацетилена в этилене на выходе процесса гидрирования (в дальнейшем - 3 параметр);

- содержание этана в этилене на выходе ректификационной колоны (в дальнейшем - 4 параметр);

- содержание ацетилена в этан - этаноловой фракции (в дальнейшем - 5 параметр).

Каждый случайный процесс разбит на 8 реализаций по т=2048 отсчетов в каждом.

1 4—)г

Гипотеза Н :Р ==—==е л * ; о нормальном законе распределяя-

ления анализируемой реализации объема т проверяется с помощью критерия согласия х2 на основе статистики:

1 = ±(>*к-прк)\ (22)

ш пРк

Здесь кк - частота £-го класса выборки, разделенной на / классов //, ... , //, где 1к =[ак,ак+х), к = \,...,1, рк = (ак+1)-{ак) -вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее к-му классу, если верна гипотеза Н.

На уровне значимости а гипотеза Н принимается, если t < х1-\-а' гДе

V =1-г-1 число степеней свободы, г - количество оцениваемых параметров.

Вычисленное значение статистики (2.2) для анализируемых технологических параметров приведены в таблице 2.1. При а =0.05 и у= 24-2-1=21 по [63] находим ^21,095 =41,40.

Таблица 2.1

Вычисленное значение статистики (2.2) для критерия согласия

№ Параметр

1 2 3 4 5

1 реализация 22.395 22.584 22.355 22.126 22.173

2 реализация 23.231 21.492 23.528 22.952 21.939

3 реализация 23.763 23.173 23.163 22.485 23.846

4 реализация 22.149 22.576 21.904 21.946 22.834

5 реализация 21.209 22.306 21.462 21.264 22.863

6 реализация 22.165 23.512 22.535 23.762 22.365

7 реализация 23.277 21.849 23.487 22.848 23.222

8 реализация 22.06 22.295 23.741 23.195 21.958

Для всех реализаций параметров г < х]Х;М5, т.е. нет оснований возражать против гипотезы Н для всех пассмотренных случаев.

Для проверки гипотезы Н : а] = сг; = ... = <у\ о равенстве дисперсий по реализациям для каждого параметра использован критерий Кокрена, основанный на статистике [62]:

С = тах —(2.3)

7=1

где А = 8 - количество реализаций.

Гипотеза о равенстве оценок дисперсий отвергается на уровне значимости а, если С > СуХу2а, где Ск1м1а - критическое значение при

И = к, у2 = т-1.

Вычисленные оценки дисперсий и статистики (2.3) для анализируемых технологических параметров приведены в таблице 2.2. При у\ = 8, у2 = 2048-1 (принимается 1/2 = ос). <2=0.01 по таблице [63] находится критическое значение С8 ю 0 01 =0.1250.

Таблица 2.2

Вычисленные оценки дисперсий для параметров технологических процессов

№ Параметр

1 2 3 4 5

1 реализация 2.05 14.58 2.126 37.54 103.8

2 реализация 2.09 14.95 2.063 37.98 105.6

3 реализация 2.104 14.97 2.071 37.55 105.4

4 реализация 2.128 15.12 2.054 37.04 106.6

5 реализация 2.054 14.54 2.042 39.14 105.7

6 реализация 2.01 14.72 2.021 38.93 106.6

7 реализация 2.055 14.38 2.072 37.79 108.4

8 реализация 2.106 15.06 2.116 36.74 107.7

Вычисленное

значение ста- 0.123 0.121 0.1201 0.1137 1.03

тистики (2.3)

Так как С<С8оо001, то для всех пяти параметров, нет оснований отвергать гипотезу Н о равенстве дисперсий по реализациям.

Гипотеза Н -.¡л] = ц\ =... = о равенстве средних значений по реализациям объема т для каждого параметра проверяется с помощью статистики [64]:

к /=1

к т

4-1 (2.4)

11^-й)1

/=1 у=1

тк - к

где ¡йш - общее выборочное среднее для всех к реализаций.

Гипотеза Н о равенстве средних значений отвергается на уровне значимости а, если Р > Ру1у21_а, где - критическое значение при

у\ = к -1, у2 = кт - к.

Вычисленные оценки средних и статистики (2.4) для анализируемых технологических параметров приведены в таблице 2.3. При 1/1 = 7, у2 = 8-2048-1 (принимается у2 = со), а =0.01 по таблице [63] находится значение ^7оэ099=2.64.

Таблица 2.3

Вычисленные оценки мат. ожидания для параметров технологических процессов

№ Параметр

1 2 3 4 5

1 реализация 15.05 49.92 100 300.7 496.6

2 реализация 15.05 50.33 100.1 300.4 496.1

3 реализация 15.15 49.88 100 300.2 499.1

4 реализация 14.95 49.32 100 297.8 497.7

5 реализация 15.02 49.49 99.93 299.7 496.6

6 реализация 14.94 50.08 100 300 500.3

7 реализация 15.04 50.72 99.98 300.2 501.6

8 реализация 15.08 49.45 100 298.9 503.4

Вычисленное

значение ста- 2.149 1.276 1.033 1.127 1.29

тистики (2.4)

Так как во всех случаях Т7 < Р1х 0 99 то для всех пяти параметров нет оснований отвергать гипотезу Я о равенстве мат. ожидания по реализациям.

Таблица 2.4

Вычисленные значения статистики (2.5)

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Кузнецов, Борис Федорович

Основные результаты работы

Разработан метод параметрической оптимизации измерительных преобразователей при известных статистических параметрах входного стационарного случайного процесса по критерию минимума суммарной погрешности преобразования измеряемой величины. В ходе проведения теоретических е экспериментальных исследований по тематике работы получены следующие основные научные результаты.

1. Исследованы реализации параметров ряда технологических процессов, доказана их стационарность и возможность описания с помощью типовых АКФ.

2. Произведен анализ случайной составляющей погрешности для некоторых измерительных преобразователей непрерывного действия и показана её зависимость от параметров динамических характеристик ИП.

3. Разработана методика вычисления динамической погрешности линеаризованных I ЕЛ. а также методика оценки динамической погрешности для нелинейных измерительных преобразователей при прямых измерениях.

4. Исследованы функции суммарной погрешности ИП, показано наличие точек, соответствующих их минимуму. Предложен метод оптимизации параметров линейного и нелинейного измерительных преобразователей, находящихся под воздействием входного стационарного случайного процесса с известными статистическими характеристиками, минимизирующей суммарную погрешность. Предложен метод снижения размерности" задачи оптимизации параметров ИП.

5. Разработана и изготовлена установка для оценки значения погрешности преобразования сорбционного датчика влажности при воздействии на его вход случайного процесса. Проведенные эксперименты подтвердили адекватность полученной в данной работе математической модели сорбционного датчика влажности. 6. Разработанные методы приняты для внедрения в ОАО "Ангарское опытно-конструкторское бюро автоматики" при проектировании датчиков влажности. В Ангарском государственном технологическом институте результаты исследований внедрены в учебный процесс (курсы "Метрология" и '"Электрические измерения неэлектрических величин").

Проведенные автором работы исследования показывают, что анализ статистических параметров измеряемой величины при их учете позволяет повышать метрологические характеристики ИП без увеличения стоимости последних. Однако, при этом необходимо отойти от сложившейся практики характеризовать динамические свойства ИП частными параметрами (время установления, время успокоения, время запаздывания и т.д.), а использовать для этих целей полные динамические характеристики измерительного преобразователя.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Кузнецов, Борис Федорович, 1999 год

Литература

1. Рабинович С.Г. Погрешности измерений. Л.: Энергия, 1978.

2. Бурдун Г.Д., Марков Б.Н. Основы метрологии. М.: Изд-во стандартов, 1972.

3. Новицкий П.В. Основы информационной теории измерительных устройств. Л.: Энергия, 1968.

4. Погрешность контрольно - измерительных устройств. Салов Г.В., Тихомиров Ю.Ф., Яковлев Л.Л. Яковлев Л.Г. Киев: Техшка, 1975.

5. Кавалеров Г.И., Мандельштам С.М. Введение в информационную теорию измерительных устройств. М.: Энергия, 1974.

6. Использование статистических методов при проектировании и оптимизации эксплуатационных режимов аналитических приборов. Ко-раблев И.В. Тем. Обзор. Сер. Автоматизация и КИП в нефтеперерабатывающей и нефтехимической промышленности. М.: НИИТЭ-ХИМ, 1983.

7. Тойберт, Паул. Оценка точности результатов измерения. М. 1988.

8. Таточенко Л.К. Радиоактивные изотопы в приборостроении. М.: Атомиздат, 1960.

9. Кулаков М.В. Технологические измерения и приборы для химических производств. М., Машиностроение, 1983.

10. Измерения в промышленности: Справ, изд. В 3-х кн. Кн.1. Теоретические основы. Пер. с нем. Под ред. Профоса П. -2-е изд., перераб. и доп. - М.: Металлургия, 1990.

11. Бабенко А.К., Пилипенко А. Т. Фотометрический анализ. М.: Химия, 1960.

12. Кафаров В.В. Методы кибернетики в химии и химической технологии: 4-е изд., перераб., доп. -М.: Химия, 1985.

13. Измерения в промышленности: Справ, изд. В 3-х кн. Кн.З. Способы измерения и аппаратура. Пер. с нем. /Под ред. Профоса П. -2-е изд., перераб. и доп. - М.: Металлургия, 1990.

14. Аналитический контроль в основной химической промышленности./ Н.Ф. Клещева, Т.Д. Костыркина, Г.С. Бескова, Е.Т. Моргунова.- М.: Химия, 1992.

15. Сорбционные преобразователи и приборы для измерения влажности газов. Обзор, инф. Сер.: Аналитические приборы и приборы для научных исследований. М.: ИнформПрибор, 1988.

16. Пьезосррбционные гигрометры / В.Е. Иващенко, JI.3. Савкун, А.Н. Дрянов, И.А. Рудных // Измерительная техника. 1982. № 10.

17. Индикаторы влажности газов ИВА-1 и ИВА-2/ А.И. Бутурлин, Ю.И. Гладков, С.Г. Орлов, Ю.Д. Чистяков // Электронная промышленность. 1982. Вып. 8 (114).

18. Индикатор микровлажности и концентрации кислорода в водороде ОКА-1 / Электронная промышленность. 1982. Вып. 8(114).

19. King W.H., Jr. Using quartz crystals as sorption detectors // Res. Develop. 1969. Vol. 20, N2.

20. King W.H. The State-of-the-Art in Piezoelectric Sensor // Proc. AFCS 25, 1971.

21. Ballato A., Lukaszek T. Mass loading of thickness-excited crystal resonators having arbitrary piezo-coupling h IEEE trans. 1974. Vol. SU-21, № 4.

22. Hlavay J., Guilbault G.C. Applications piezoelectric crystals detector in analysis chemistry // Analit. Chem. 1977. Vol. 49.

23. Hlavay J., Guilbault G.C. Detection ammonia in ambient air with coated piezoelectric crystals detector // .Analit. Chem. 1978. Vol. 50.

24. Разработка и исследование пьезокварцевых датчиков для определения концентрации паров спирта и ароматических углеродов в газах. / В.М. Баженов, Т.С. Воронова, И.А. Рудных и др. // Автоматизации химических производств. М.: НИИТЭХИМ, 1983.

25. Грибов Л.К., Савченко JI.E. Кварцевые датчики влажности с полимерным покрытием. - В кн. Применение кварцевых резонаторов для измерения неэлектрических величин. - М.: ВНИИСПВ, 1976.

26. Иващенко В.Е. Сорбционно-частотные датчики приборов контроля микро- и макроконцентраций влаги в газах. - Диссертация. АОКБА, 1984.

27. Кульков О.В., Козадаев А.П. Электрические сорбционные гигрометры. - Измерительная техника, 1982.

28. Левчук Э.А. Автореф. канд. дис. Л.: ДАНИИ, 1971.

29. Расчет и конструирование аналитических приборов на основе точностных критериев. Кораблев И.В. Обзор, инф. Сер.: Системы и средства автоматизации химических производств. М.: НИИТЭХИМ, 1982.

30. Сорбционно-частотные датчики для контроля состава газов. Рудых И.А., Кораблев И.В., Иващенко В.Г. Обзор, инф. Сер.: Системы и средства автоматизации химических производств. М.: НИИТЭХИМ, 1989.

31. Орлов Ю.Г. Малов В.В. Нелинейная теория пьезокварцевого микровзвешивания // Автоматизация управления технологическими процессами. М., Атомиздат, 1979, Вып. 3.

32. Венцель Е.С., Овчаров A.A. Теория случайных процессов и ее инженерное приложение. М.: Наука. 1991.

33. Г. Крамер, М. Лидбеттер Стационарные случайные процессы. Свойства выборочных фу нкций и их приложения / Пер. с англ. Ю.К. Беляев, М.П. Ершова. - М.: Мир 1969

34. Дженкинс Г., Вате Д. Спектральный анализ и его применение. М., Мир, 1972. Вып. 1,2.

35. Романенко А.Ф. Сергеев Г.А. Вопросы прикладного анализа случайных процессов. М.: Сов. радио 1968.

36. Бендант Д. Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов: пер. с англ. - М.: Мир 1989

37. Бендант Д. Пирсол А. Применение корреляционного и спектрального анализа. М.: Мир 1983.

38. Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирования / Под ред. В.В. Солодникова. М.: Машиностроение. - Кн.2., 1967.

39. Пугачев B.C. Теория случайных функций и ее применения к задачам

I

автоматического управления. М.:Физматгиз, 1962.

40. Пугачев B.C., Казаков И.Е., Евланов Л.Г. Основы статистической теории автоматических систем. М.: Машиностроение, 1974.

41. Ленинг Дж., Беттин Р. Случайные процессы в задачах автоматического управления. - М.: Издательство иностранной литературы, 1958.

42. Деч Р. Нелинейные преобразования случайных процессов. М.: Сов. радио 1965.

43. Теория автоматического управления: Нелинейные системы управления при случайных воздействиях / A.B. Нетушил, A.B. Балтрушевич, В.В. Бурляев и др.; Под ред. A.B. Нетушила. - М. Наука, 1983.

44. Теория автоматического управления. Ч. II. Теория нелинейных и специальных систем автоматического управления. Под ред. A.A. Воронова. М., Высш. школа, 1977.

45. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир 1975.

46. Преображенский В.П. Теплотехнические измерения и приборы: Учебник для вузов по специальности «Автоматизация теплоэнергетических процессов». - 3-е изд., перераб. - М.: Энергия, 1978.

47. Синицын И.Н. Методы статистической линеаризации / Автоматика и телемеханика. - 1974. - Т.35,№ 5

48. Шетсен М. Моделирование нелинейных систем на основе теории Винера / ТИИЭР. - 1981. - Т.69, №12.

49. Статистические методы в инженерных исследованиях / Бородюк В.П., Вощинин А.П., Иванов А.З. и др.; Под ред. Г.К. Круга. - М.: Высш. Школа, 1983.

50. Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1971.

51. Иванов А.З., Круг Т.К., Филаретов Г.Ф. Статистические методы в инженерных исследованиях. Регрессионный анализ. М., МЭИ, 1977.

52. Бродский В.З. Введение в факторное планирование. М.: Наука, 1975.

53. Хартман К., Лецкий Э.. Шеоер В. и др. Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов. М.: Мир, 1977.

54. Жиглявский A.A., Жилинскгс А.Г. Методы поиска глобального экстремума. М.: Наука. Гл. ред. сшз.-мат. лит., 1991.

55. Адлер Ю.П., Марков Е.В.. Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. М.: Наука, 1976.

56. Налимов В.В., Чернов H.A. Статистические методы планирования экстремальных экспериментов. М.: Наука, 1984.

57. Розенвассер E.H., Юсупоз P.M. Чувствительность систем управления. М.: Наука, 1981.

58. Бриллиджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. М.: Мир, 1980.

59. Кузнецов Б.Ф., Шепотько 11 О. Эмпирическая аппроксимация и современные вычислительные системы / Современные технологии и

научно-технический прогресс: Тезисы докладов научно-технической конференции. - Ангарск: АГТИ 1997.

60. Кузнецов Б.Ф. Иерархический ряд моделей случайного процесса. / Современные технологии и научно-технический прогресс: Тезисы докладов научно-технической конференции. - Ангарск: АГТИ 1997.

61. Розанов Ю.А. Стационарные случайные процессы. 2-е изд., доп. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.

62. Леман Э. Проверка статистических гипотез. М.: Наука 1979

63. Таблицы по математической статистики / П. Мюллер, П. Нойман, Р. Шторм; Пер. с нем. и предисл. В.М. Ивановой. - М.: Финансы и статистика, 1982.

64. Закс Л. Статистическое оценивание. М.: Статистика, 1976.

65. Химмельюлау Д. Анализ процессов статистическими методами. М.: Мир, 1973.

66. Измерения в промышленности: Справ, изд. В 3-х кн. Кн.2. Способы измерения и аппаратура. Пер. с нем. /Под ред. Профоса П. -2-е изд., перераб. и доп. - М.: Металлургия. 1990.

67. Альтшуллер Г.Б., Елфимов H.H.. Шакулин В.Г. Кварцевые генераторы: Справочное пособие. М.: Радио и связь, 1984.

68. Смирнов В.Н., Малов В.В.. Якунин Ю.П. Вопросы оптимизации рабочих характеристик кварцевых микровесов. // Электронная техника. Сер. Радиодетали и радиокомпоненты. 1976. Вып. 1.

69. Орлов Ю.Г. Эквивалентные параметры пьезорезонатора, нагруженного пленкой. // Автоматизация управления технологическими процессами. М.: Атомиздат, 1978. Вып. 7.

70. Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления. М.: Наука. 1973.

71. Пинхусович Р.Л., Кузнецов Б.Ф., Щербаков О.Б. Анализ динамической ошибки линейного многомерного измерительного преобразователя. / Современные технологии и научно-технический прогресс: Тезисы докладов научно-технической конференции. - Ангарск: АГТИ 1996.

72. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц - М.: Наука, 1966.

73. Малов В.В. Пьезорезонансные датчики. - 2-е изд., перераб. и доп. М.: Энергоатомиздат, 1989.

74. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1966.

75. Пинхусович Р. Л., Кузнецов Б.Ф. Аппроксимационный метод вычисления статистических характеристик случайного процесса на выходе нелинейного преобразователя. / Современные технологии и научно-технический прогресс: Тезисы докладов научно-технической конференции. - Ангарск: АГТИ 1996.

76. Кузнецов Б.Ф. Анализ динамической погрешности нелинейного измерительного преобразователя. / Современные технологии и научно-технический прогресс: Тезисы докладов научно-технической конференции. - Ангарск: АГТИ 1998.

77. Прикладная статистика: Исследование зависимостей: справ, изд. / С.А. Айвазан, И.С. Енюков, Л.Д. Мептзлкин; Под ред. С.А. Айвазан. М.: Финансы и статистика, 1985.

78. Картер Г.К. Оценка когерентности и временной задержки // ТИИЭР. - 1987 Т.75, №2

79. Стернберг Г.С. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: Мир, 1970.

80. Пинхусович P.JI. Кузнецов Б.Ф. Оптимизация параметров измерительных преобразователей. / Современные технологии и научно-технический прогресс. Сборник № 3. Ангарск 1994.

81. Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Пер. с нем. и англ. З.Г. Либина, Ю.Л. Рабинович. Изд. 4-е перераб. И доп. М.: Наука, 1967.

82. Реклейтис Г., Рейвиндран А., Регедл К. Оптимизация в технике: в 2-х книгах. Кн.1. Пер. с англ.- М.: Мир, 1986.

83. Пинхусович Р.Л., Кузнецов Б.Ф. Минимизация погрешности сорбци-онного гигрометра. / Современные технологии и научно-технический прогресс: Тезисы докладов научно-технической конференции. - Ангарск: АГТИ 1997.

84. Пинхусович Р.Л., Кузнецов Б.Ф. К постановке задачи оптимизации параметров измерительных преобразователей. / Современные технологии и научно-технический прогресс: Тезисы докладов научно-технической конференции. - Ангарск: АГТИ 1996.

85. Мардин В.В., Кривоносов А.И. Справочник по электронным измерительным приборам. М.: Связь, 1978.

86. Семиглазов A.M. Кварцевые генераторы. М.: Радио и связь, 1982.

87. Тейлор Д.Р. Заказная ИС для ручного а льтиметра, обеспечивающая измерение частоты. - Электроника, 1982. 9.

88. Аппаратура для частотных и временных измерений. / Под ред. А.П. Горшкова. М.: Сов. Радио, 1971.

89. Мирский Г.Я. Микропроцессоры в измерительных приборах. - М.: Радио и связь, 1984.