Модели и алгоритмы исследования устойчивости и закритического поведения пологих оболочек, подкрепленных ребрами переменной высоты тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Москаленко, Людмила Павловна

• Москаленко, Людмила Павловна
• кандидат технических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат технических наук Москаленко, Людмила Павловна

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК, ПОДКРЕПЛЕННЫХ РЕБРАМИ ПЕРЕМЕННОЙ ВЫСОТЫ.

1.1 Пологие оболочки прямоугольного плана.

1.2 Математическая модель пологих оболочек постоянной толщины.

1.2.1 Геометрические соотношения.

1.2.2 Физические соотношения.

1.2.3 Функционал полной энергии деформации и краевые условия.

1.3 Пологие оболочки ступенчато-переменной толщины.

1.3.1 Задание расположения ребер.

1.3.2 Метод конструктивной анизотропии для оболочек, подкрепленных ребрами переменной высоты.

1.3.3 Функционал полной энергии деформации оболочек пологих оболочек, подкрепленных ребрами переменной высоты.

1.4 ВЫВОДЫ.

ГЛАВА 2. АЛГОРИТМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК, ПОДКРЕПЛЕННЫХ РЕБРАМИ ПЕРЕМЕННОЙ ВЫСОТЫ, НА ОСНОВЕ МЕТОДА ПРОДОЛЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ.

2.1 Метод Ритца для сведения вариационной задачи к системе нелинейных алгебраических уравнений.

2.2 Метод непрерывного продолжения решения по параметру для решения систем нелинейных алгебраических уравнений.

2.3 Методики реализации метода продолжения решения по параметру.

2.3.1 Методика, основанная на смене параметра продолжения.

2.3.2 Метод ортогонализации.

2.3.3 Методика, основанная на наилучшем параметре продолжения.

2.3.4 Особые точки траектории нагружения.

2.4 Система нелинейных алгебраических уравнений и система линейных алгебраических уравнений.

2.5 Программная реализация.

2.6 Выводы.

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ДОКРИТИЧЕСКОГО И ЗАКРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК.

3.1 Варианты пологих оболочек.

3.2 докритическое и закритическое поведение оболочек.

3.2.1 Гладкие оболочки, квадратные в плане.

3.2.2 Гладкие оболочки, прямоугольные в плане.

3.3 Достоверность полученных результатов.

3.3.1 Сравнение с натурным экспериментом.

3.3.2 Сравнение с другими программными комплексами.

3.4 Точность вычислений.

3.5 Выводы.

ГЛАВА 4. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК, ПОДКРЕПЛЕННЫХ РЕБРАМИ ПЕРЕМЕННОЙ ВЫСОТЫ.

4.1 Варианты подкрепленных пологих оболочек.

4.2 Устойчивость подкрепленных пологих оболочек.

4.3 Поля прогибов и напряжений.

4.4 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели и алгоритмы исследования устойчивости и закритического поведения пологих оболочек, подкрепленных ребрами переменной высоты»

Актуальность темы исследования.

Тонкостенные оболочечные конструкции — это наиболее современный и оптимальный тип конструкций, так как он позволяет спроектировать конструкцию максимальной жесткости, но наименьшего веса. При этом они обладают разнообразием форм и находят применение в самых различных областях: в строительстве (для перекрытий промышленных сооружений), в самолетостроении (крыло и фюзеляж самолета), в кораблестроении (корпус надводного и подводного корабля), в ракетостроении (ракеты).

Недостатком тонкостенных конструкций является возможность потери ими устойчивости. Изначально для исследования устойчивости оболочек применялся метод, сводящий проблему к исследованию собственных значений и собственных векторов (метод Эйлера). С появлением нелинейной теории оболочек появилась возможность исследовать устойчивость таких конструкций с учетом нелинейных факторов.

Среди методов решения нелинейных задач для пластин и оболочек наибольшее применение получил метод последовательных нагружений, разработанный В.В. Петровым, позволяющий свести решение нелинейной задачи к последовательности решения линейных задач. Этот метод является частным случаем метода продолжения решения по параметру, когда за параметр принята нагрузка. Для нахождения критической нагрузки строится кривая «нагрузка - прогиб» в какой-либо характерной точке. Нагрузка, соответствующая максимуму этой кривой, принимается за критическую.

Исследованию устойчивости оболочек посвящено большое число публикаций. Это монографии Григолюка Э.И. и Кабанова В.В., Товстика П.Е., Якушева В.Л., Петрова В.В., Амиро И.Я. и Заруцкого В.А., Андреева Л.В., Ободан Н.И., Лебедева А.Г., Власова В.З., Карпова В.В. и др.

Решение нелинейной задачи неоднозначно. Может существовать несколько форм равновесных состояний при одной и той же нагрузке. Поэтому и кривых «нагрузка - прогиб» может быть несколько. Точки пересечения таких кривых называются точками бифуркации. В этих точках может быть переход с одной формы равновесного состояния на другую. Бифуркационная проблема исследована недостаточно, поэтому актуальным является исследование этой проблемы для конкретных видов оболочек.

Для повышения жесткости оболочки подкрепляются ребрами. Достаточно хорошо исследована устойчивость пологих оболочек, подкрепленных ребрами постоянной толщины. Проведенные ранее исследования показали, что при деформировании оболочек характер напряжений имеет сложный вид, и наибольшие напряжения зачастую наблюдаются вблизи контура оболочки и углов. Поэтому целесообразно оболочки подкреплять ребрами переменной высоты, а исследование устойчивости пологих ребристых оболочек при учете переменной жесткости ребер является актуальной задачей.

В строительстве при проектировании покрытий или перекрытий большепролетных сооружений чаще всего используются пологие оболочки прямоугольного плана. Подкрепление пологих оболочек ребрами жесткости переменной высоты позволяет снизить концентрацию напряжений, что также является весьма актуально.

В машиностроении, самолетостроении, ракетостроении необходимо исследовать как верхние, так и нижние критические нагрузки, местные и общие формы потери устойчивости, закритическое поведение конструкции, исследовать бифуркационные проблемы.

Поэтому актуальным является исследования эффективности подкрепления оболочек ребрами переменной высоты, а также докритического и закритического поведения оболочек на основе программной реализации на основе разработанной математической модели и алгоритма, основанного на методе продолжения решения по наилучшему параметру.

История развития тематики работы.

Теория оболочек является одним из достаточно для инженерной практики изученным разделом механики. История ее развития насчитывает почти 200 лет. Однако, несмотря на кажущуюся проработанность, в теории оболочек в настоящее время еще остаются некоторые нерешенные проблемы.

В развитии нелинейной теории пологих оболочек И.И. Ворович в 1989 г. [16]отмечает несколько этапов. Основы этой теории восходят к трудам И. Г. Бубнова[6] и Т. фон Кармана [97]. И.Г. Бубновым впервые была поставлена задача о хлопке искривленной пластины и введен сам термин «хлопок». Т. Карманом были впервые составлены уравнения «среднего изгиба» для пластины. Работы этих двух ученых составляют исходный этап в развитии нелинейной теории пологих оболочек.

В 30-х г.г. двадцатого века Л.Г. Доннелл [95] впервые сформулировал идею пологости, выраженную в предположении о возможности пренебречь в уравнениях тангенциального напряженного состояния оболочки перерезывающими усилиями. В работах Х.М. Муштари [68] эта идея получила широкое развитие, и с ее использованием были решены многие задачи устойчивости оболочек. В работах Л.Г. Доннелла и Х.М. Муштари идея пологости использовалась лишь в линейных задачах теории оболочек.

Следующий этап развития нелинейной теории оболочек связан с именами К. Маргерра, В.З. Власова, Чен Вей-Цанга, В.И. Феодосьева и др. авторов. В основном труде К. Маргерра 1938 г. распространена идея Т. Кармана на случай собственно пологой оболочки, а сами уравнения К. Маргерра записаны в декартовых координатах на плоскости. В исследованиях В. 3. Власова [12, 13] и Чен Вей-Цанга [93, 94] краевые задачи теории пологих оболочек были записаны в произвольных криволинейных координатах на плоскости. В 1946 г. В. И. Феодосьевым был предложен вариант нелинейной теории пологих оболочек вращения, который получил широкое распространение при решении практических задач. В работах К. Маргерра, В.З. Власова, Чен Вей-Цанга, В.И.

Феодосьева использовались предположения «среднего изгиба», то есть деформацией со средними углами поворота, и пологости.

Важное значение для развития нелинейной теории непологих оболочек имеет монография В. В. Новожилова [72], в которой содержится последовательный вывод уравнений Т. Кармана с анализом их погрешностей и пределов применимости.

Новый этап в развитии теории связан с работами Э. Рейсснера [104-108] и H.A. Алумяэ [2], в которых основные краевые задачи выводились без предположения «среднего изгиба», а углы поворотов считались конечными. В середине 60-х г.г. XX века в этом же направлении появились труды В.Т. Койтера, И. Сандерса, И. Саймондса, Д. Даниельсона, где разрабатывалась нелинейная теория оболочек, свободная от предположения «среднего изгиба».

Большой вклад внес В.З.Власов в создание теории расчета тонкостенных оболочек, в его трудах [12, 13] заложены фундаментальные основы построения математических моделей механики деформирования тонкостенных элементов, приводятся различного уровня совершенства математические модели теории пластин и оболочек классических форм, предлагаются различные методы решения дифференциальных уравнений и основы алгоритмов решения краевых задач, решаются прикладные задачи строительной механики. Среди учеников и последователей В.З. Власова были И.Е. Милейковский [63, 64], В.В. Петров [75, 76], H.H. Леонтьев, Д.Н. Соболев и другие ученые, успешно развивавшие его идеи в своих трудах.

Идея продолжения решения известна и используется в математике и механике давно. Именно она лежит в основе известного метода возмущений (метода малого параметра), первые применения которого встречаются в работах У. Леверье (1886 г.) и А. Пуанкаре (1892 г.). Эта идея также неоднократно использовалась для доказательства существования решений нелинейных уравнений.

Первое использование идеи продолжения решения по параметру в вычислительных целях принадлежит М. Лаэю[103] (1934 г.). Он дал пример построения шагового процесса по параметру, в котором реализуется главный для метода продолжения решения принцип: использовать на каждом шаге информацию о решении, полученную на предыдущем шаге. Для итерационного уточнения решения он применял метод Ньютона-Рафсона, но возможна реализация шаговых процессов по параметру с применением и других итерационных процессов, например модифицированного метода Эйлера.

Другую форму метода продолжения решения по параметру предложил Д.Ф. Давиденко [31, 32] (1953 г.). Он был первым, кто осознал процесс продолжения решения как процесс движения и применил к нему адекватный математический аппарат дифференциальных уравнений. Продифференцировав исходную систему нелинейных уравнений по параметру и учитывая исходное решение, он сформулировал задачу отыскания множества решений системы как задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Такой подход открыл возможность использования для построения решения различных и хорошо исследованных схем интегрирования начальных задач. Например, метод Эйлера, модифицированный метод Эйлера, методы Рунге-Кутта, Адамса-Штермера и др. Эти схемы в рамках метода продолжения решения по параметру исследовались и использовались в статьях [33, 101, 102] и в целом ряде других работ.

Многие методы решения прикладных нелинейных задач можно понимать как частные случаи метода продолжения решения по параметру. Так, в механике твердого деформируемого тела известен метод последовательных нагружений, сформулированный В.З. Власовым и В.В. Петровым в 1959 г. в статьях [75, 76] на примере нелинейных уравнений Феппля-Кармана для прогиба пластин. Алгоритм этого метода является алгоритмом интегрирования уравнений продолжения методом Эйлера.

Рассмотренные формы метода продолжения решения по параметру предполагают, что в рассматриваемом интервале значений параметра определитель матрицы Якоби системы уравнений отличен от нуля. Использование метода в окрестности особых точек, где определитель обращается в нуль, и для обхода этих точек необходимо использовать прием смены параметра продолжения. В задачах механики такие смены параметров продолжения обычно приходится делать несколько раз. Таким образом, встает вопрос о выборе наилучшего параметра продолжения, при этом он должен обеспечивать системе уравнений наилучшую обусловленность. В [30, 89, 90] доказано, что наилучшим параметром продолжения является длина дуги кривой множества решений системы уравнений.

Целью настоящей работы является наиболее полное исследование прочности и устойчивости пологих ребристых оболочек, подкрепленных ребрами переменной жесткости.

В связи с этим ставятся следующие задачи исследования:

1 Разработка математического и программного обеспечения для исследования устойчивости ребристых пологих оболочек при переменной жесткости ребер.

2 Разработка алгоритмов исследования закритического поведения пологих ребристых оболочек.

3 Разработка программного обеспечения расчетов устойчивости пологих ребристых оболочек.

4 Проведение исследований напряжено-деформированного состояния и устойчивости пологих ребристых оболочек при переменной жесткости ребер и обоснование эффективности такого подкрепления.

5 Проведение исследований закритического поведения пологих ребристых оболочек.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1 Разработана математическая модель деформирования пологих ребристых оболочек при учете переменной жесткости ребер. Модифицирован метод конструктивной анизотропии, учитывающий сдвиговую и крутильную жесткости ребер. В модели учитывается геометрическая нелинейность и поперечные сдвиги.

2 Проанализировав несколько вариантов метода продолжения решения по параметру, был выбран наилучший параметр продолжения - длина дуги кривой множества решений. Разработан алгоритм исследования модели, основанный на методе продолжения решения по наилучшему параметру, с использованием адаптивного выбора сетки. Алгоритм позволяет эффективно обходить особые точки, находить верхние и нижние критические нагрузки, местные и общие формы потери устойчивости, точки бифуркации.

3 Проведено исследование докритического и закритического поведения пологих оболочек, особых точек кривой «нагрузка - прогиб» и их классификация и бифуркационных проблем. По данному алгоритму разработана и реализована программа «DefShell: strength and stability of thin shells», позволяющая исследовать устойчивость пологих ребристых оболочек (свидетельство о регистрации в Реестре программ для ЭВМ № 2012612774 от 19.03.2012 г.).

4 Проведенные исследования устойчивости пологих ребристых оболочек показали, что для оболочек, подкрепленных ребрами постоянной высоты, наибольшие концентрации напряжений наблюдаются вблизи угловых точек и контуре ребер оболочки, а для оболочек, подкрепленных ребрами переменной высоты, по сравнению с равновеликими по объему ребрами постоянной высоты, существенно снижается уровень максимальных напряжений и характер напряжений выравнивается.

Практическое значение работы состоит в том, что разработанная компьютерная программа для исследования прочности и устойчивости пологих ребристых оболочек может быть использована в проектных организациях, научных исследованиях и учебном процессе. Результаты работы внедрены в отчет по проекту №2.1.2/6146 «Аналитическая ведомственная целевая программа» Министерства образования и науки РФ «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 г.г.)», в отчет по проекту №2.1.2/10824 «Аналитическая ведомственная целевая программа» Министерства образования и науки РФ «Развитие научного потенциала высшей школы (2011 г.г.)» и в учебном процессе. Полученные результаты по деформированию оболочки при подкреплении ее ребрами переменной высоты использованы при расчете и проектировании покрытий и перекрытий большепролетных сооружений в проектно-конструкторском бюро «Ремарк».

Основные научные положения, выносимые на защиту:

1 Математическая модель деформирования пологих оболочек, подкрепленных ребрами переменной высоты, сводящая оболочку дискретно-переменной толщины к оболочке непрерывно-переменной толщины, с учетом геометрической нелинейности, поперечных сдвигов, сдвиговой и крутильной жесткости ребер.

2 Алгоритм исследования модели, основанный на методе продолжения решения по наилучшему параметру, позволяющий исследовать прочность и устойчивость подкрепленных оболочек, их закритическое поведение, бифуркационные проблемы, находить верхние и нижние критические нагрузки.

3 Результаты исследования закритического поведения пологих ребристых оболочек, анализ их особых точек.

4 Результаты исследования напряженно-деформированного состояния и устойчивости пологих оболочек, подкрепленных ребрами постоянной и переменной высоты.

Достоверность научных положений обеспечивается сравнением результатов тестовых задач с результатами, полученными другими авторами по другим алгоритмам, а также качественным согласованием с результатами эксперимента.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на 67 и 68 научных конференциях профессоров, преподавателей, научных работников, инженеров и аспирантов университета, СПбГАСУ (3-5 февраля 2010 г., 2-4 февраля 2011 г.), на седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (3-6 июня 2010 г., Самара), на десятой международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности» (9-11 декабря 2010 г., Санкт-Петербург), на XVII Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (14-18 февраля 2011 г., Москва).

Полностью диссертация докладывалась на научном семинаре кафедры прикладной математики и информатики под руководством д.т.н. Кирьянова Б.Ф. в Новгородском государственном университете, на межкафедральном научном семинаре факультета Городского строительства и жилищно-коммунального хозяйства СПбГАСУ, на 98 заседании объединенного семинара СПбГУ и ПГУПС «Компьютерные методы в механике сплошной среды» (Computer Methods in Continuum Mechanics).

Публикации. По результатам исследования опубликовано 6 статей, публикаций по перечню ВАК - 3.

Структура и объем работы. Текст диссертации изложен на 122 страницах, состоит из введения, списка основных обозначений и сокращений, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и приложения.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Москаленко, Людмила Павловна

4.5 Выводы

Проведенные исследования устойчивости пологих ребристых оболочек показали, что для оболочек, подкрепленных ребрами переменной высоты, по сравнению с равновеликими по объему ребрами постоянной высоты, существенно снижается уровень максимальных напряжений (до 25%) и характер напряжений выравнивается. При этом величина критической нагрузки несущественно уменьшается.

Концентрация напряжений вблизи угловых точек и точек контура оболочки, характерная для неподкрепленных оболочек или подкрепленных ребрами постоянной высоты, при подкреплении оболочки ребрами переменной высоты существенно понижается, что будет увеличивать нагрузку, при которой оболочка теряет устойчивость.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработана математическая модель деформирования пологих ребристых оболочек при учете переменной жесткости ребер. Использован метод конструктивной анизотропии, учитывающий сдвиговую и крутильную жесткость ребер. Учитывается геометрическая нелинейность и поперечные сдвиги.

Разработан алгоритм исследования модели, основанный на методе продолжения решения по параметру с учетом наилучшей параметризации. Алгоритм позволяет находить верхние и нижние критические нагрузки и точки бифуркации. Разработана программа для ЭВМ «DefShell: strength and stability of thin shells», реализующая этот алгоритм, свидетельство о регистрации в Реестре программ для ЭВМ № 2012612774 от 19.03.2012 г.

Разработана методика исследования особых точек, которая позволяет определять точки, соответствующие критическим нагрузкам, при которых оболочка теряет устойчивость, и точки бифуркации, в которых возможен переход на другую ветвь равновесных состояний.

Были произведены исследования пологих оболочек с различными параметрами, исследовано докритическое и закритическое поведение гладких пологих оболочек. Показано, что для тонких оболочек большой кривизны характер распределения прогибов и особенно напряжений по полю оболочке имеет сложный характер.

Проведенные исследования устойчивости пологих ребристых оболочек показали, что для оболочек, подкрепленных ребрами переменной высоты, по сравнению с равновеликими по объему ребрами постоянной высоты, существенно снижается уровень максимальных напряжений (до 25%) и характер напряжений выравнивается.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Москаленко, Людмила Павловна, 2012 год

1. Абровский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек / Под ред. Н.П. Абовского. М.: Наука, 1978.-228 с.

2. Алумяэ Н.А. Дифференциальные уравнения состояния равновесия тонкостенных упругих оболочек в послекритическо стадии // ПММ. 1949. - Т. 13, №1.-С. 95-107.

3. Амиро И.Я., Заруцкий В.А. Методы расчета оболочек. Т. 2. Теория ребристых оболочек. Киев: Наукова думка, 1980. - 368 с.

4. Андреев Л.В., Ободан Н.И., Лебедев А.Г. Устойчивость оболочек при неосесимметричной деформации. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. -208 с.

5. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. -М.: Высшая школа, 1968. 512 с.

6. Бубнов И.Г. Строительная механика корабля. С.Петербург: Издание морского министерства. Ч. 1, 1912. - С. 1-330; Ч. 2, 1914. - С. 331-640.

7. Бубнов И.Г. Труды по теории пластин. М.: Гостехиздат, 1953. - С. 101-308.

8. Вайнберг М.М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 527 с.

9. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М.: Машиностроение, 1976. -278 с.

10. Васидзе К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности.: Пер. с англ. М.: Мир., 1987. - 542 с.

11. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения теории оболочек. -М.: Наука, 1982.-286 с.

12. Власов В.З. Основные дифференциальные уравнения общей теории упругих оболочек // ПММ. 1944. - Т. 8, вып. 2. - С. 109-140.

13. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. М. -Л.: Гостехиздат, 1949. - С. 475-478.

14. Вольмир A.C. Гибкие пластины и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956.

15. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972.-432 с.

16. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 376 с.

17. Ворович И.И. О существовании решений в нелинейной теории оболочек // Изв. АН СССР. Сер. Математика. Т. 19. 1955. № 4. С. 203-206.

18. Ворович И.И. Некоторые математические вопросы теории пластин и оболочек // Тр. II Всес. съезда по теоретической и прикладной механике. (Москва, 1964). Обзорные доклады, вып. 3. Механика твердого тела. М.: Наука, 1966.-С. 116-136.

19. Ворович И.И., Зипалова В.Ф. К решению нелинейных краевых задач теории упругости методом перехода к задаче Коши // ПММ. 1965. Т. 29. Вып. 5., С. 894-901.

20. Галишникова В.В. Унифицированный и общий подход к геометрически нелинейному расчету строительных конструкций // Вестник Волгогр. гос. архит.-строит. ун-та. сер.: Техн. науки. 2006. вып. 6(20). С. 42— 66.

21. Галишникова В.В. Продолжение решения по длине дуги в геометрически нелинейном расчете конструкций по МКЭ // Математические методы в технике и технологиях : сборник тр. XXI междунар. науч. конференции / СГТУ. Саратов, 2008. Т. 4. с. 191—195.

22. Гольденблатт И.И. Некоторые вопросы механики деформируемых сред. М. : Гостехиздат, 1955.

23. Гольденблатт И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. М.: Наука, 1969.

24. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Гостехиздат, 1953.

25. Гребень Е.С. Основные соотношения технической теории ребристых оболочек // Изв. АН СССР. Механика. 1965. № 3. С. 81-92.

26. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978.-359 с.

27. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Конечные прогибы, устойчивость и закритическое поведение тонких пологих оболочек. М.: МГТУ «МАМИ», 2004. -162 с.

28. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. О методе непрерывного продолжения решения по параметру // Доклады РАН. 1994. Т. 335. №5. С. 582585.

29. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Уточнение решения нелинейных уравнений в окрестности точки бифуркации // Пространства жизни. К 85-летию Б.В. Раушенбаха. М.: Наука, 1999. С. 192-199.

30. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. М.: Наука, 1988. - 232 с.

31. Давиденко Д.Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений // ДАН СССР. 1953. Т. 88. №4. С. 601-602

32. Давиденко Д.Ф. О приближенном решении систем нелинейных уравнений // Укр. Мат. Журн. 1953. Т. 5. №2. С. 196-206.

33. Давиденко Д.Ф.О применении метода вариации параметра к построению итерационных формул повышенной точности для определения численных решений нелинейных интегральных уравнений // ДАН СССР. 1965. Т. 162. №3. С. 499-502.

34. Енджиевский Л.В. Нелинейные деформации ребристых оболочек. -Красноярск: Изд.-во Красноярск, ун-та, 1982. 295 с.

35. Жилин П.А. Общая теория ребристых оболочек // Прочность гидротурбин: Труды ЦКТИ. Л., 1971. Вып. 88. - С. 46-70.

36. Жуковский Э.З., Шабля В.Ф. Оболочки двоякой кривизны в гражданском строительстве Москвы. -М.: Стройиздат, 1980. 113 с.

37. Игнатьев О.В., Карпов В.В., Филатов В.Н. Вариационно-параметрический метод в нелинейной теории оболочек ступенчато-переменной толщины. Волгоград: ВолгГАСА. 2001. -210 с.

38. Ильин В.П. Численные методы решения задач строительной механики: Учебное пособие / В.П. Ильин, В.В. Карпов, A.M. Масленников. -М.: Изд-во АСВ; СПб.: СПбГАСУ, 2005. 425 с.

39. Ильин В.П., Карпов В.В. Устойчивость ребристых оболочек при больших перемещениях. JI.: Стройиздат. Ленигр. отд-ние, 1986. - 168 с.

40. Ильин В.П., Карпов В.В., Масленников A.M. Численные методы решения задач строительной механики: Учебное пособие. М.: Изд-во АСВ; СПб.: СПбГАСУ, 2005. - 425 с.

41. Калинин B.C., Постнов В.А. Основы теории оболочек. Л.: ЛКИ, 1974.-200 с.

42. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Л.: Физматгиз. 1962. - 708 с.

43. Карпов В.В. Способ улучшения решения, полученного методом последовательных нагружений // Волжский матем. сборник. Куйбышев, 1973. Вып. 15. С. 106-111.

44. Карпов В.В. О погрешности линеаризации при расчете гибких оболочек // Механика деформируемых сред: Сб. статей. Вып. 4. Саратов, 1976. С. 102 -108.

45. Карпов В.В. Геометрически нелинейные задачи для пластин и оболочек и методы их решения. Изд-во АСВ; СПбГАСУ. М.; СПб., 1999. -154 с.

46. Карпов В.В. Математическое моделирование, алгоритмы исследования модели, вычислительный эксперимент в теории оболочек. -СПб.: СПбГАСУ, 2006.-330 с.

47. Карпов В.В., Баранова Д.А., Беркалиев Р.Т. Программный комплекс исследования устойчивости оболочек. СПб.: СПбГАСУ, 2009. - 102 с.

48. Карпов В.В., Игнатьев О.В., Сальников А.Ю. Нелинейные математические модели деформирования оболочек переменной толщины и алгоритмы их исследования. М.: Изд-во АСВ; СПб.:СПбГАСУ, 2002. - 420 с.

49. Карпов В.В., Петров В.В. Уточнение решений при использовании шаговых методов в теории гибких пластинок и оболочек // Изв. АН СССР, сер. МТТ. 1975. №5.-С. 189-191.

50. Карпов В.В., Рябикова Т.В. Комплексный расчет элементов строительных конструкций в среде МАТЪАВ: учеб. пособие / СПбГАСУ. -СПб., 2009.- 136 с.

51. Карпов В.В., Сальников А.Ю. Вариационные методы и вариационные принципы механики при расчете строительных конструкций: учеб. пособие / СПбГАСУ. СПб., 2009. - 75 с.

52. Карпов В.В., Филатов В.Н. Закритические деформации гибких пластин в температурном поле с учетом изменения свойств материала от нагревания // Труды VII Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. М.: Наука, 1970. - С. 276-279.

53. Касти Дж. Большие системы. Связность, сложность и катастрофы: Пер. с англ. М.: Мирб 1982, - 216 е., ил.

54. Каюк Я.Ф. Концентрация напряжений в тонких оболочках при больших прогибах // Концентрация напряжений. Т. 2. Киев: Наукова думка, 1968.

55. Климанов В.И., Тимашев С.А. Нелинейные задачи подкрепленных оболочек. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985.-291 с.

56. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука, 1974. - 831 с.

57. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и оболочек и методы их решения. М.: Наука, 1964. - 192 с.

58. Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решения и наилучшая параметризация. М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2010.- 160 с.

59. Лурье А.И. Общая теория упругих тонких оболочек // ПММ. Т. 4. 1940. Вып. 2.

60. Лурье А.И. Общие уравнения оболочки, подкрепленной ребрами жесткости. Л., 1948. - 28 с.

61. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на ФОРТРАНе. М.: МИР. 1969. - 582 с.

62. Маневич А.И. Устойчивость и оптимальное проектирование подкрепленных оболочек. Киев; Донецк: Вища школа, 1979. - 152 с.

63. Милейковский И.Е., Гречанинов И.П. Устойчивость прямоугольных в плане пологих оболочек // Расчет пространственных конструкций: Сб. статей. -М.: Стройиздат, 1969.Вып. 12.-С. 168-176.

64. Милейковский И.Е., Трушин С.И. Расчет тонкостенных конструкций. М.: Стройиздат. 1989. - 200 с.

65. Михайлов Б.К. Пластины и оболочки с разрывными параметрами. -Л.: Изд. ЛГУ, 1980. 196 с.

66. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука, 1966.

67. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.-512 с.

68. Муштари Х.М. Некоторые обощения теории тонких оболочек // Изв. физ.-мат. о-ва при Казанском ун-те. 1938. - Т. 11, серия 8. - С. 71-150.

69. Муштари Х.М. Некоторые обобщения теории тонких оболочек с применениями к решению задач устойчивости упругого равновесия // ПММ.-1939. Т. 2, вып. 4. - С. 439-456.

70. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. -Казань: Таткнигоиздат, 1957. -431 с.

71. Муштари Х.М. К вопросу обоснования теории тонких пологих оболочек // Прикладная механика. 1969. - Т. 5, вып. 1. -С. 109-113.

72. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.; Л.: Гостехиздат, 1948., 59 с.

73. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромиздат, 1962. -431 с.

74. Образцов И.Ф. Вариационные методы расчета тонкостенных авиационных пространственных конструкций. -М.: Машиностроение. 1966.

75. Петров В.В. К расчету пологих оболочек при конечных прогибах // Научн. докл. высшей школы. Строительство. 1959. №1. С. 27-35.

76. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975. -119 с.

77. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука., 1988.-712 с.

78. Теребушко О.И. Устойчивость и закритическая деформация оболочек, подкрепленных редко расставленными ребрами // Расчет пространственных конструкций: Сб. статей. -М.: Стройиздат, 1964. Вып. 9. С. 131-160.

79. Тимашев С.А. Устойчивость подкрепленных оболочек. М.: Стройиздат, 1974. - 256 с.

80. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М.: Наука, Физматгиз, 1971. 807 с.

81. Товстик П.Е. Устойчивость тонких оболочек. М: Наука. Физматлит, 1995. - 320 с.

82. Томпсон Дж. M. Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике: Пер. с англ. M.: Мир., 1985. - 254 е., ил.

83. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. Издание 3-е, стереотипное. Спб.: Издательство «Лань», 2002. - 736 с.

84. Феодосьев В.И. Геометрически нелинейные задачи теории пластин и оболочек. // Труды VI всесоюзн. конф. По теории оболочек и пластин. М. : Наука, 1966.

85. Филин А.П. Элементы теории оболочек. Л.: Стройиздат, 1987. -384 с.

86. Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла: Пер. с англ. М.: Мир, 1985. - 280 е., ил.

87. Черных К.Ф., Кабриц С.А., Михайловский Е.И., Товстик П.Е., Шамина В.А. Общая нелинейная теория упругих оболочек. СПб.: Изд-во СПбГУ., 2002.-388 с.

88. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Наилучший параметр продолжения решения // Доклады РАН. 1994. Т. 334. №5. С. 566-568.

89. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация (в прикладной математике и механике). М.: Эдиториал УРСС, 1999. - 224 с.

90. Якушев В.Л. Нелинейные деформации и устойчивость тонких оболочек. М.: Наука, 2004. - 276 с.

91. Abbott, J. P. An Efficient Algorithm for the Determination of certain Bifurcation Points // J. Comp. Appl. Math. 1978, № 4. Pp. 19-27.

92. Chien Wei-Zang. The intrinsic theory of thin shells and plates // Quart. Appl. Math. 1943. -V. 1, № 1. - P. 297-927.

93. ChienWei-Zang. The intrinsic theory of thin shells and plates // Quart. Appl. Math. 1944. - V. 2, № 1-2. - P. 120-135.

94. Donnell L. Stability of thin-walled tubes under torsion // Nat. Adv. Corn. forAeron. Per. 1934. - P. 479.

95. Galishnikova V.V., Pahl P.J. A general method for the geometrically nonlinear analysis of structures // Asian Journal of Civil Engineering (Building and Housing). 2006. Vol. 7, No. 4. Pp. 411—428.

96. Joss, G. Joseph D. Element Stability and Bifurcation Theory. Springer. Berlin, Heidelberg, New-York. 1980.

97. Keller, H.B., Antman, S.A. Bifurcation Theory and Nonlinear Eigenvalue Problems. W. A. Benjamin, New York, 1969.

98. Kisner W. A numerical method for finding solutions of nonlinear equations // SIAM J. Appl. Math. 1964. V. 12. P. 424-428.

99. Kleinmichel H. StetigeAnaloge und Iterationsverfaher fuer nichtlinear Gleichungen in Banachraeumen // Math. Nach. 1968. V. 37. P. 313-314.

100. Lahaye M.E. Unemetode de resolution d'unecategorie d'equations transcendentes // Compter Rendushebdomataires des séances de L'Academie des sciences. 1934. V. 198. № 21. P. 1840-1842.

101. Reissner E. On the theory of thin elastic shells // H. Reissner. Anniversary Volume: Contributions to Applied Mechanics / I.W. Edwards, Ann. Arbor. -Michigan, 1949. P. 231-247.

102. Reissner E. On axisymmetrical deformations of thin shells of revolution // Proceedings of Symposia in Applied Mathematics, 1950. P. 27-52.

103. Reissner E. On the equations for finite symmetrical deflections of thin shells revolution // Progress in Applied mechanics the Prager Anniversary Volume, 1963.-P. 171-178.

104. Reissner E. On the equations of non-linear shallow shell theory // Studies Appl. Math., 1969.-V. 48.-P. 171-175.

105. Reissner E. A note on generating generalized two-dimensional plate and shell theories // J. of Appl. Math, and Phys. (ZAMP). 1977. - V. 28. - P. 633-642.