Математические модели пологих оболочек ступенчато-переменной толщины с учетом поперечных сдвигов при конечных прогибах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Филиппов, Денис Сергеевич

• Филиппов, Денис Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Филиппов, Денис Сергеевич

1. Основные соотношения и дифференциальные зависимости для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины с учетом поперечных сдвигов при конечных прогибах.

1.1 Основные соотношения для пологих оболочек с учетом поперечных сдвигов при конечных прогибах.

1.2 Ребристые оболочки.

1.3 Оболочки, ослабленные вырезами.

1.4 Усилия и моменты для оболочки ступенчато-переменной толщины

1.5 Полная энергия деформации оболочек ступенчато-переменной толщины. Уравнения равновесия в усилиях и моментах.

1.6 Уравнения равновесия в перемещениях для оболочек ступенчато-переменной толщины, в которых учтены краевые условия на боковой поверхности ребер и краю вырезов.

1.7 Выводы.

2. Методика решения уравнений равновесия для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины с учетом поперечных сдвигов при конечных прогибах.

2.1 Метод последовательных нагружений для линеаризации уравнений равновесия.

2.2 Метод Бубнова-Галеркина для решения линеаризованных уравнений

2.3 Метод последовательного наращивания ребер.

2.4 Программная реализация рассмотренной методики.

2.5 Выводы.

3. Напряженно-деформированное состояние и устойчивость пологих оболочек ступенчато-переменной толщины с учетом поперечных сдвигов при конечных прогибах.

3.1 Влияние учета поперечных сдвигов на напряженно-деформированное состояние и устойчивость ребристых оболочек.

3.2 Влияние учета поперечных сдвигов на расчет НДС и устойчивости ребристых оболочек при различной жесткости ребер.

3.3 Напряженно деформированное состояние и устойчивость ребристых оболочек при различной ширине ребер.

3.4 Устойчивость ребристых оболочек различной кривизны.

3.5 Характер напряжений в ребристых оболочках.

3.6 Характер распределения усилий и моментов в ребрах и обшивке.

3.7 Некоторые ограничения для пологих оболочек.

3.8 О характерной особенности общей и местной потери устойчивости оболочек.

3.9 Методика обхода критических точек графика «нагрузка-прогиб» при исследовании устойчивости оболочек.

3.10 О сходимости и точности методики, основанной на методах последовательных нагружений и Бубнова-Галеркина.

3.11 Устойчивость пологих оболочек различных кривизн, подкрепленных различным числом ребер.

3.12 Выводы.

4. Выбор рационального подкрепления оболочек ребрами жесткости.

4.1. Схема метода покоординатного спуска на основе методов последовательных нагружений и последовательного наращивания ребер.

4.2. Выбор рационального подкрепления оболочек ребрами из условий жесткости.

4.3. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели пологих оболочек ступенчато-переменной толщины с учетом поперечных сдвигов при конечных прогибах»

Тонкостенные оболочечные конструкции, имеющие нерегулярности по толщине находят большое применение в судостроении, самолетостроении, машиностроении и строительстве.

При проектировании облегченных, но высокопрочных конструкций большое внимание уделяется точности расчета напряженно-деформированного состояния (НДС) и устойчивости таких конструкций. Расчеты зачастую необходимо вести с учетом нелинейных факторов, применяя модели оболочек второго приближения (модель Тимошенко-Рейснера), т.е. учитывая поперечные сдвиги.

Если в одной конструкции присутствуют и ребра жесткости, и вырезы, то оболочку нужно рассматривать как оболочку ступенчато-переменной толщины, что приводит к решению краевой задачи для многосвязной области. Чтобы избежать больших математических сложностей, упрощают модель рассматриваемой конструкции, что снижает точность получаемых результатов и приводит к повышению материалоемкости конструкции.

Разработка математической модели тонкостенных оболочек, имеющих нерегулярности по толщине, наиболее полно учитывающей работу конструкции и машинно-ориентированной методики расчета НДС и устойчивости таких конструкций (местной и общей), является актуальной задачей.

Современное состояние теории ребристых оболочек характеризуется работами Абовского Н.П., Алфутова H.A., АмироП.Я., Андреева JI.B., Вайн-бергаД.В., Власова В.3., Грачева O.A., Гребня Е.С., Гречанинова И.П., Гри-голюка Э.И., Гузя А.Н., Енджиевского JI.B., Жилина П.А., Заруцкого В.А., Кабанова В.В., Кантора Б.Я., Карпова В.В., Климанова В.И., Корнеева B.C., Кохманюка С.С., Лесничей В.А., Лурье А.И., Малинина A.A., Малютина И.С., Маневича А.И., Масленникова A.M., Милейковского И.Е., Михайлова Б.К., Моссаковского В.И., Назарова H.A., Немировского Ю.В., Ободан Н.И., Постнова В.А., Преображенского И.Н., Пшеничного Г.И., Рассудо-ваВ.М., Семенюка Н.П., Теребушко О.И., Тимашева С.А., Чернышева В.Н., Бискова и Хагисона, Ву Р. и Уатмера Е., Зингера Д., Фишера С. и Берта С. и др.

Исследованию оболочек, ослабленных вырезами, посвящены работы Борзых Е.П., Григолюка Э.И, Гузя А.Н., Каюка Я.Ф., Кривошеева Н.П. и Корнишина М.С., Космодамианского A.C., Малинина A.A., Пирогова И.М., Преображенского И.Н., Савина Г.Н., Филыптинского JI.A., Черныха К.Ф., Чернышенко И.С., Чехова В.Н., Шнеренко К.Н., Броутена Ф. и ОлмросаБ. и ДР

Основные идеи ребристых оболочек высказаны в конце 40-х годов В.З. Власовым [14] и А.И. Лурье [56]. В их работах заложены два основных подхода к исследованию ребристых оболочек. В.З. Власов рассматривал ребристую оболочку как контактную систему, состоящую из гладкой оболочки и работающих совместно с ней тонких стержней. А.И. Лурье рассматривал ребра и обшивку как одно целое. Используя вариационный принцип, получал уравнения равновесия и естественные граничные условия. Оба считали, что ребра взаимодействуют с обшивкой по линии и что ребристую оболочку можно рассматривать как конструкцию, состоящую из оболочки (обшивки) и подкрепляющих ее одномерных упругих элементов, либо тонкостенных стержней (В.З. Власов), либо стержней Кирхгофа-Клебша (А.И. Лурье). Третий подход к ребристой оболочке основан на сведении ее к конструктивно-ортотропной схеме [71].

В конце 60-х годов П.А. Жилин [25,26] заметил, что при втором подходе (подход А.И. Лурье) привлекаются две различные технические теории (теория оболочек и теория стержней), гипотезы которых не вполне совместимы. В связи с этим он предложил ребристую оболочку рассматривать как оболочку ступенчато-переменной толщины. При этом учитывается, что контакт между оболочкой и ребрами происходит по поверхности полосы, а не по линии. Аналогичный подход к ребристой оболочке применяется в работах В.В. Карпова [38,45-46,5]. Им разработана геометрически нелинейная теория оболочек ступенчато-переменной толщины, учитывающая перекрестную работу ребер и наличие в одной конструкции ребер, вырезов и накладок, из которой можно получить все известные ранее подходы и уравнения равновесия.

За последние 50 лет появилось большое число работ, относящихся к исследованию ребристых оболочек и оболочек, ослабленных вырезами. Однако, подавляющее число публикаций относится к исследованию оболочек в линейной постановке. Чаще всего рассматриваются замкнутые цилиндрические оболочки, решение для которых находится в виде рядов. В работах Амиро И.Я. и Заруцкого В.А. [7,8] даны обзоры состояния исследования ребристых оболочек как при статической постановке, так и в динамической. Следует отметить еще обзор работ в области статики ребристых оболочек, составленный Кантором Б.Я. и др. [35]. К приведенным выше обзорам, на наш взгляд, следует добавить еще работы ученых Красноярского края: Абов-скогоН.П., Еджиевского Л.В. и др. [1-3,24,84,85], а также работы Карпо-ваВ.В. [38,44,46,51], кроме того работы Тимашева С.А. [73,81] и Климано-ваВ.И. [52].

Исследования в области устойчивости ребристых оболочек, как правило, выполняются с использованием для описания НДС обшивки теории упругих тонких оболочек, основанной на гипотезах Кирхгофа-Лява, а для описания НДС ребер - теории тонких стержней Кирхгофа-Клебша. Почти во всех работах принимается, что ребра присоединены к обшивке вдоль линий главных кривизн и передают на обшивку реакции, распределенные вдоль этих линий. В линейной постановке используется статистический критерий устойчивости, и задача сводится к решению систем дифференциальных или интегральных уравнений нейтрального равновесия.

С целью упрощения задачи в конкретных исследованиях пренебрегается некоторыми факторами. Зачастую пренебрегается влиянием сдвиговой и крутильной жесткости ребер на НДС конструкции. Сводя задачу устойчивости ребристой оболочки к рассмотрению устойчивости системы панелей, опертых на упругие ребра, Гавриленко Г.Д. [17] решает задачу в более строгой постановке.

В работе Коротенко H.A. [53] в линейной постановке проводится расчет оболочек с учетом влияния ребер на кручение. Показано, это влияние существенно.

В геометрически нелинейной постановке при определении критических нагрузок разыскивается предельная точка кривых нагрузка-прогиб оболочки [16,17,34,39,47,52,60,79,81,84]. В работах Грачева O.A. [19,20] рассматриваются сферические оболочки в линейной постановке с учетом сдвиговых деО формаций (модель типа Тимошенко). Исследовано влияние сдвиговых деформаций на критические нагрузки в зависимости от эксцентриситета ребер. В работе Климанова В.И. и ТимашеваС.А. [52] дан вывод нелинейных уравнений и условий сопряжения для гибких пологих ортотропных оболочек на прямоугольном плане с учетом упругих и неупругих деформаций, линейной и нелинейной ползучести материала, несовершенств формы поверхности. В детерминированной и стохастической постановках решены новые задачи нелинейного изгиба, устойчивости, закритического поведения и динамики пологих оболочек, скрепленных с опорными ребрами и оболочек, подкрепленных ортогональной сеткой ребер. Эта работа является естественным продолжением работы Тимашева С.А. [81].

При рассмотрении задачи устойчивости для оболочек с отверстиями различается два класса задач: когда размеры отверстий одного порядка с минимальными внешними размерами оболочки и когда размеры отверстий значительно меньше минимальных внешних размеров оболочки. Если отверстия малы, то концентрация напряжений у контура отверстия не влияет на общую потерю устойчивости оболочки.

Для оболочек, ослабленных большими отверстиями, приходится решать краевую задачу для многосвязной области, что вызывает существенные сложности. Для некоторых простых случаев возможно, применяя аппарат конформных отображений, свести задачу к задаче для односвязной области. Для нелинейных задач появляются дополнительные трудности.

Решение задач для оболочек, ослабленных отверстиями, в геометрически нелинейной постановке приводится в работе Кривошеева Н.И. и Корни-шина М.С. [54]. Для решения используется МКР, поперечные сдвиги не учитываются.

Единичные функции для задания дискретности толщины пластин и оболочек применяются в работах [2,24,25,26,84]. Причем, в работах Абовско-го Н.П., Еджиевского JI.B. и др. ученых Красноярского края [2,24,84,85] задание дискретной переменности толщины используются как для задач в физически нелинейной постановке, так и геометрически нелинейной. Это работы Чернышева В.Н. [84,85] и др. При этом могут рассчитываться как оболочки, подкрепленные ребрами, так и ослабленные вырезами. Уравнения пространственной задачи теории упругости для ребристой оболочки в линейной постановке получены в работе [96].

Рассмотрение задачи расчета ребристой оболочки, как контактной задачи в геометрически нелинейной постановке, посвящены работы Теребуш-ко О.И. [79,80]. Рассматривается часть оболочки между i-m и i+1-m продольным и j-m и j+1-m поперечным ребрами. На выделенный участок оболочки действует поперечная поверхностная нагрузка q , а по краям действуют силы взаимодействия соседних участков оболочки и подкрепляющих ребер. Используя условие совместности деформаций оболочки и ребра в точках контакта записываются граничные условия для края оболочки, опирающейся на i-e продольное ребро.

В работах Карпова В.В. [38,39,45-47,51] устойчивость ребристых оболочек рассматривается с позиции геометрической нелинейности. Для сведения нелинейных уравнений к последовательности решения линейных уравнений применяется метод последовательных нагружений [63,64]. При этом определяется и местная, и общая потеря устойчивости во взаимосвязи.

Методам расчета пластин и оболочек посвящено большое число публикаций [6,11,25,26,33,37,48,63,67]. Умение применять современные методы, особенно машинно-ориентированные методы, для расчета конструкций настолько стало важным моментом исследования, что все учебники по строительной механике содержат главы, посвященные методам расчета, например [32].

Для решения линейных задач используются как точные и приближенные аналитические методы [6], так и численные: метод конечных разностей [17], метод конечных элементов [65] и метод Бубнова-Галеркина [15,16]. При использовании аналитических методов решения разыскиваются в форме двойных рядов [6] и др. При решении нелинейных задач к выбранным членам рядов добавляются слагаемые, отражающие развитие прогибов потерявшей устойчивость оболочки, преимущественно к центру кривизны [6]. Для приближенного решения систем уравнений в этих случаях широко используется метод Бубнова-Галеркина [15] и метод конечных элементов (МКЭ) [65,66].

На основе численных методов решены задачи устойчивости замкнутых цилиндрических оболочек, как с учетом моментности докритического состояния, так и без учета. Основной вывод проведенных исследований сводится к тому, что с увеличением числа ребер влияние моментности докритического состояния оболочек снижается [66].

В работе Постнова В.А., Корнеева В.С. [66] за отдельный элемент принят усеченный конус, что позволяет с успехом решать задачи устойчивости для оболочек вращения.

В работах Карпова В.В. для решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных - уравнений равновесия ребристых оболочек используется метод последовательных нагружений (МЛН) в сочетании с методом Бубнова-Галеркина. Карповым В.В. предложен метод последовательного наращивания ребер, являющийся разновидностью метода продолжения решения по параметру, где за параметр взята высота ребер [50]. Таким образом, зная НДС оболочки при некотором значении параметра нагрузки, можно находить поправки к НДС в зависимости от изменения высоты ребер, т.е. в зависимости от изменения жесткостных характеристик оболочки. Причем, этот метод может быть применим и для расчета оболочек с вырезами.

В нелинейной теории пластин и оболочек широкое распространение получил метод продолжения решения по параметру. Основные положения метода продолжения решения по параметру применительно к задачам механики были изложены Э.И. Григолюком и В.И. Шалашилиным в их совместной монографии [22]. Так, в конце 50-х годов, взяв за параметр нагрузку, В.В.Петров получил МЛН, имеющий широкое применение[63]. Его учениками получены другие методы. Так, В.В. Кузнецовым за параметр взяты геометрические размеры оболочки и получен метод пристрелки [55]. В.В. Карповым за параметр взята высота ребер и получен МПНР [50].

Значительное число исследований посвящено разработке методик и определению оптимальных параметров подкрепленных оболочек. При решении этой задачи в качестве функции цели, как правило, выбирается объем материала оболочки, а в качестве ограничений - условия, при которых обеспечивается заданный уровень напряжений в оболочке и ее устойчивость. С одной стороны, многовариантный расчет, к которому приводятся все алгоритмы оптимизации, может быть выполнен до конца на современных ЭВМ, если ограничение описывается достаточно простыми соотношениями, а с другой стороны, простые соотношения могут давать достоверные результаты только в узком диапазоне изменения параметров обшивки и ребер, а решение задачи оптимизации требует поиска решений при широком изменении параметров.

В работе И.Я. Амиро и В.А. Заруцкого [6] отмечается, что в целом обоснование достоверности результатов, получаемых при решении задач оптимизации, требует дальнейших исследований. Видимо, отмечают И.Я. Амиро и В.А. Заруцкий, наиболее достоверные задачи оптимизации ребристых оболочек можно получить тогда, когда речь идет о выборе лучшего проекта из числа однотипных.

Как показал анализ работ, большинство задач для ребристых оболочек и оболочек ослабленных вырезами, рассматривается в линейной постановке, а те, что решены в геометрически нелинейной постановке, не учитывают поперечные сдвиги. Так как при проектировании облегченных, но высокопрочных конструкций, необходимо наиболее точно исследовать НДС и устойчивость облегченных конструкций, содержащих ребра и вырезы, то разработка математической модели для оболочек ступенчато-переменной толщины с учетом поперечных сдвигов и проведение исследования на основе этой модели НДС и устойчивости таких конструкций является актуальной задачей.

Целью работы является получение математической модели пологих оболочек ступенчато-переменной толщины (имеющих ребра, накладки и вырезы) с учетом поперечных сдвигов при конечных прогибах в виде краевой задачи для односвязной области, разработки машинно-ориентированной методики решения полученных краевых задач и проведении на ее основе исследования НДС и устойчивости (местной и общей) конкретных видов оболо-чечных конструкций.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- разработана математическая модель пологой оболочки ступенчато-переменной толщины с учетом поперечных сдвигов при конечных прогибах в виде краевой задачи для односвязной области;

- выведены уравнения равновесия оболочек ступенчато-переменной толщины с учетом поперечных сдвигов в перемещениях, в которые входят краевые условия на боковой поверхности ребер и краю вырезов (свободный край);

- разработана методика решения полученных краевых задач, реализованная в виде программы для ЭВМ;

- проведено исследование НДС и устойчивости конкретных оболочечных конструкций;

- получены уравнения метода последовательного наращивания ребер (МПНР), который в сочетании с методом последовательных нагружений использован для выбора рационального подкрепления оболочки ребрами жесткости, и составлена программа для ЭВМ расчетов по МПНР. Достоверность полученных результатов подтверждается применением научно-обоснованного аппарата при выводе уравнений равновесия для оболочек ступенчато-переменной толщины с учетом поперечных сдвигов, а также использованием для их решения детально изученных методов. Сравнение результатов, полученных для одних и тех же задач на основе разных методик, также говорит о достоверности получаемых результатов. Практическая ценность и внедрение результатов:

Разработанное математическое и программное обеспечение расчетов оболочек ступенчато-переменной толщины (ребристых и с вырезами) с учетом поперечных сдвигов при конечных прогибах и методика выбора рационального подкрепления оболочек ребрами жесткости может найти применение в научно-исследовательских, проектных и конструкторских организациях при расчетах устойчивости и оптимизации деталей машин, аппаратов и сооружений. Работа получила внедрение в АО «Саратовский авиационный завод».

Все полученные в диссертации результаты численного эксперимента приведены в безразмерном виде, удобном для их использования в практике проектирования конструкций. Апробация работы:

Основные результаты диссертационной работы докладывались

- на 53-й и 54-й международных конференциях молодых ученых и студентов. СПбГАСУ (май 1999, май 2000);

- на IV международной конференции «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте» (СПГУПС, июнь 1999 г.).

Полностью работа докладывалась на научном семинаре Кафедры строительной механики Волгоградской государственной архитектурно-строительной академии под руководством академика д.т.н., профессора В.А. Игнатьева (сентябрь 1999 г.), на научном семинаре кафедры прикладной математики и информатики Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета под руководством д.ф.-м.н., профессора Вагера Б.Г. (май 2000 г.).

Публикации: основное содержание диссертации, опубликовано в пяти научных статьях.

Структура и объем диссертации: диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 96 наименований и приложения. Работа изложена на 105 страницах машинописного текста, иллюстрирована 14 рисунками. В приложении вынесены коэффициенты уравнений, полученных в работе и программы расчета на ЭВМ.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Филиппов, Денис Сергеевич

4.3 Выводы

Последовательное применение МПН и МПНР при решении уравнений равновесия позволяет находить рациональное подкрепление оболочек ребрами жесткости при заданном уровне нагрузки и ограничениях на НДС оболочки.

Заключение

По работе можно сделать следующие выводы:

1. Разработана математическая модель для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины с учетом поперечных сдвигов при конечных прогибах и получены уравнения равновесия относительно функций перемещений и углов поворота нормали.

2. Показано, что учет поперечных сдвигов существенно влияет на исследования НДС и устойчивости ребристых оболочек. Критические нагрузки уменьшаются, выявляются моменты местной потери устойчивости, которые упускаются при не учете поперечных сдвигов.

3. Углы поворота нормали при приближении к ребру становятся близкими к нулю.

4. Полученная модель ребристой оболочки позволяет исследовать местную и общую потерю устойчивости и их взаимосвязь. Для некоторых видов оболочек найдена зависимость -найдена зависимость критической нагрузки от числа подкрепляющих оболочку ребер.

5. Получены уравнения метода последовательного наращивания ребер с учетом поперечных сдвигов.

6. Для выбора рационального подкрепления оболочек ребрами жесткости использован метод последовательного наращивания ребер в сочетании с методом последовательных нагружений, что представляет собой схему метода покоординатного спуска.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Филиппов, Денис Сергеевич, 2000 год

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек // Под ред. Абовского Н.П.: Наука, 1978.-228 с.

2. Абовский Н.П., Чернышов В.Н. Павлов A.C. Гибкие ребристые пологие оболочки: Учеб. пособие для вузов. Красноярск, 1975.-128 с.

3. Абовский Н.П. Смешанные вариационные уравнения для пологой ребристой оболочки // Строительная механика и расчет сооружений. -1969. -№ 4/ -с. 20-22.

4. Алфутов H.A. Устойчивость цилиндрической оболочки подкрепленной поперечным силовым набором и нагруженной внешним равномерным давлением // Инженерный сборник, 1956. т. 23. - с. 36- 46.

5. Амиро И.Я., Заруцкий В.А., Поляков П.С. Ребристые цилиндрические оболочки. // Киев: Наукова думка, 1973. 248 с.

6. Амиро И.Я., Заруцкий В.А., Методы расчета оболочек. Т.2. Теория ребристых оболочек. // Киев: Наукова думка, 1980. 368 с.

7. Амиро И.Я., Заруцкий В.А. Исследования в области устойчивости ребристых оболочек // Прикл. механика. 1983. - 19, № 11, - с. 3-20.

8. Амиро И.Я., Заруцкий В.А. Исследования в области динамики ребристых оболочек // Прикладная механика. 1981. т. 17. № 11. с. 3-20.

9. Борзых Е.П. Алгоритмы численного расчета пологой ортотропной оболочки на прямоугольном плане с прямоугольным отверстием // Тр. ЦНИИСК. 1970. вып. 9. с. 104-109.

10. Броутен Ф., Олмрос Б. Потеря устойчивости цилиндрических оболочек с отверстиями // Ракетная техника и космонавтика. 1970. т. 8., № 2, с. 56 -62.

11. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. // М.: Машиностроение, 1976.-278 с.

12. Валишвили Н.В., Силкин В.Б. Применение метода прямых для решения нелинейных задач динамики пологих оболочек. // МТТ 1970.-N3-C.140-143.

13. Власов В.3. Общая теория оболочек и ее приложение в технике // М. -JL: Гостехиздат, 1949. 784 с.

14. Власов В.3. контактные задачи по теории оболочек и тонкостенных стержней. // Изв. АН СССР. ОТН. 1949,- №6 - С.819-939.

15. Вольмир A.C. Устойчивость деформированных систем. // М.: Наука, 1967.-984 с.

16. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. // М.: Наука, 1972.-432 с.

17. Гавриленко Г.Д. Устойчивость несовершенных ребристых цилиндрических оболочек при линейном и нелинейном докритическом состоянии. //

18. Устойчивость пластин и оболочек. -Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 1981. -С.20-22.

19. ГолдаЮ.Л., Преображенский И.Н., ШтукаревВ.С. Экспериментальное исследование устойчивости оболочек с отверстиями. // Прикладная механика. 1973. №1. с. 27-32.

20. Грачев O.A., ИгнатюкВ.И. Об устойчивости трансверсально изотропных ребристых оболочек вращения // Строительная механика и расчет сооружений. 1986, - №3 М.: Стройиздат. с. 61-64.

21. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Метод продолжения по параметру в задачах нелинейного деформирования стержней, пластин и оболочек. // Успехи механики, 1981. - Т.4, вып. 2. - С.89-122.

22. Гузь А.Н. Концентрация напряжений около отверстий в тонких оболочках (обзор). // Прикладная математика 1969. - т. 5. вып. 3.-е. 1-17.

23. Енджиевский JI.B. Нелинейные деформации ребристых оболочек. // Красноярск: Изд. Красноярск, ун-та, 1982. 295 с.

24. Жилин П.А. Линейная теория ребристых оболочек. // Изв. АН СССР. "Механика твердого тела", 1970. С. 15—162.

25. Жилин П.А. Общая теория ребристых оболочек. // Прочность гидротурбин: Труды ЦКТИ.-Л., 1971 вып.88.-С.46-70.

26. Игнатьев В.А. Расчет регулярных статистически неопределимых стержневых систем. // Саратов.: Изд-во Сарат. ун-та, 1979. С.296.

27. Григолюк Э.И., Филыитинский Л.А. Перфорированные пластины и оболочки. //М. Наука. 1970. 556 с.

28. Игнатьев О.В., Карпов В.В., Филиппов Д.С. Местная и общая потеря устойчивости ребристых пологих оболочек. // Труды молодых ученых. СПбГАСУ. СПб. 2000. с. 3 8.

29. Ильин В.П., Карпов В.В., Масленников A.M. Численные методы решения задач строительной механики. // Минск: Вышейшая школа. 1990. 349с.

30. Ильин В.П., Карпов В.В. Устойчивость ребристых оболочек при больших перемещениях. // Л.: Стройиздат. Ленигр. отделение, 1986.-168с.

31. Ильин В.П., Карпов В.В. Связанность форм потери устойчивости ребристых оболочек. // Труды XIV Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. -Кутаиси. 1987.

32. Кантор Б.Я., Катарянов С.И., Офий P.P. Обзор теории оболочек, подкрепленных ребрами с 1972-80г. // Институт проблем машиностроения АН УССР, 1982. -№ 167.-78с.

33. Кантор Б.Я. Нелинейные задачи теории неоднородных пологих оболочек. //Киев.: Наукова думка, 1971. 136 с.

34. Карпов В.В. Петров В.В. Уточнение решений при использовании шаговых методов в теории гибких пластинок и оболочек // Изв. АН СССР, сер. МТТ. 1975. -N .-С. 189-191.

35. Карпов В.В. Основные соотношения и дифференциальные зависимости для гибких пологих оболочек, подкрепленных ортогональной сеткой ребер, с учетом деформации поперечного сдвига. // Деп. в ВИНИТИ 05.08.82, № 4335 82.-43С.

36. Карпов В.В., Михайлов Б.К. Исследование влияния жесткости ребер на устойчивость пологих оболочек с учетом нелинейности деформаций // Численные методы в задачах математической физики.: Межвуз. темат. сб. тр.-Л., 1983.-С. 135-142.

37. Карпов В.В., Филиппов Д.С. Уравнения равновесия в перемещениях для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины с учетом поперечных сдвигов при конечных прогибах и методика их решения. // Труды молодых ученых, ч. 1. СПбГАСУ. СПб. 1999. с. 3-6.

38. Карпов В.В. Некоторые варианты уравнений гибких пологих оболочек дискретно-переменной толщины, полученные вариационным методом. // Аналитические и численные решения прикладных задач математической физики: Межвуз. темат. сб. тр. -Л., 1986.-С.26-34.

39. Карпов В.В., Шацков В.В. Некоторые варианты расчета гибких пологих ребристых оболочек. // Аналитические и численные решения прикладных задач математической физики: Межвуз. темат. сб. тр. -Л. 1986. С-34-38 с.

40. Карпов В.В. Применение процедуры Рунге-Кутта к функциональным уравнениям нелинейной теории пластин и оболочек. // Расчет пространственных систем в строительной механике. Саратов.: Изд-во Сарат. унта, 1972. -С.3-7.

41. Карпов В.В. Метод последовательного наращивания ребер и его применения к расчету оболочек ступенчато-переменной толщины. // Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте. М. Транспорт. 1990. с. 162 167.

42. Карпов В.В. Различные схемы конструктивно-ортотропных оболочек и их применение к расчету оболочек дискретно-переменной толщины. // Исследования по механике строительных конструкций и материалов. Межвуз. темат. сб. трудов JI. ЛИСИ, 1988.

43. Климанов В.И., Тимашев С.А. Нелинейные задачи подкрепленных оболочек. // Свердловск.: УНЦ АН СССР, 1985. -291 С 279-288.

44. Коротенко H.A. Закритические деформации пологой цилиндрической панели, подкрепленной тонкостенными ребрами. // Исследования по теоретическим основам расчета строительных конструкций. Л. 1983, -с. 62-69.

45. Кривошеев Н.П., Корнишин М.С. К выводу сеточных уравнений изгиба пластин с отверстиями и пластин ступенчато-переменной толщины. // Изв. ВУЗов, Строительство и архитектура. Новосибирск. 1970, №8, -с. 50-54.

46. Кузнецов В.В. Об использовании метода продолжения решения по длине отрезка интегрирования при расчете круглых гофрированных пластин // Изд. АН СССР Механика твердого тела № 2 -1993 . с 189-191.

47. Лурье А.И. Общие уравнения оболочки, подкрепленной ребрами жесткости. -ПЛ., 1948.-28 с.

48. Маневич А.И. Устойчивость и оптимальное проектирование подкрепленных оболочек. // Киев: Донецк: Вища школа, 1979. 152 с.

49. Каюк Я.Ф. Концентрация напряжений в тонких оболочках при больших прогибах. // В кн. Концентрация напряжений, т. 2. Киев. Наукова Думка. 1968.

50. Маневич А.И. К теории связанной потери устойчивости подкрепленных тонкостенных конструкций. // Прикл. математиика и механика, 1982. -42, N2-С. 337-345.

51. Милейковский И.Е., Гречанинов И.П. Устойчивость прямоугольных в плане пологих оболочек. // Расчет пространственных конструкций: сб. статей. М.: Стройиздат, 1969. Вып. 12 С. 168-176.

52. Михайлов Б.К. Пластины и оболочки с разрывными параметрами. // Л,: Наука 1966. -432 с.

53. Неверов В.В. Метод вариационных суперитераций в теории оболочек. Изд-во Сарат. ун-та, 1984. -128с.

54. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек. // Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975. -119 с.

55. Петров В.В. К расчету пологих оболочек при конечных прогибах / На-учн. доклад высшей школы. // Строительство 1959 № 1 с 27-35.

56. Постнов В.А., Корнеев B.C. Использование метода конечных элементов в расчете устойчивости подкрепленных оболочек. // Прикл. механика, 1976 г. 12 № 1 с 27 -35.

57. Постнов В.А., Корнеев B.C. Изгиб и устойчивость оболочек вращения. // Труды X Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин.-Тбилиси. Из-во "Мецниереба", 1975,-с.:№%-644.

58. Постнов В.В. Численные методы расчету судовых конструкций. // Л.: Судостроение, 1977.-270 с.

59. Пирогов И.М. Концентрация напряжений в области отверстия в цилиндрическом резервуаре, испытывающем гидростатическое давление. // Изд. Вузов. Машиностроение. 1963. №7 с. 56-61.

60. Приближенное решение операторных уравнений. // М. А. Красносельский, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко и др. М. Наука. 1969.456 с.

61. Преображенский И.Н. Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями. // М.: Машиностроение, 1981. 191 с.

62. Прокопов В.К. Скелетный метод расчета оребренной цилиндрической оболочки // Научно-техн. информ. бюллетень Д.: Изд-во ЛПИ, 1957. -№12. -С. 13-15.

63. Рассудов В.М. Деформации пологих оболочек, подкрепленных ребрами жесткости. // Учен. зап. сарат. ун-та, Саратов, 1956. Т.52.-С.51-91.

64. Рекомендации по расчету подкрепленных оболочек положительной кривизны на устойчивость. // Госстрой СССР и др.6 Свердловск, 1974.-С.76. Библиогр. С 70-75.

65. Рикардос Р.Б., Голдманис М.В. Оптимизация ребристых оболочек из композиторов, работающих на устойчивость при внешнем давлении. // Механика композитных материалов., 1980, -№3.-С. 468-475.

66. Самарский A.A. Введение в численные методы. // учебн. пособие для вузов. М. Наука 1987. -288 с.

67. Соломенко Н.С., Абрамян К.Г., Сорокин В.В. Прочность и устойчивость пластин и оболочек судового корпуса. // JL судостроение 1967. 488 с.

68. Статистика и динамика тонкостенных оболочек конструкций. // Карми-шинА.В., Лясковец В.А., Мяченков В.И., Фролов А.Н. М.: Машиностроение, 1975. - 376 с.

69. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. // Киев. Науко-ва Думка, 1968. 887 с.

70. Теребушко О.И. Устойчивость и закритическая деформация оболочек, подкрепленных редко расставленными ребрами. // Расчет пространственных конструкций. Сб. статей. М.: Стройиздат., 1964. - Вып. -С. 131160.

71. Теребушко О.И. Устойчивость и оптимальное проектирование пластин, подкрепленных ребрами. // Прикладная механика., 1982., 18., №6.-С. 6974.

72. Тимашев С.А. Устойчивость подкрепленных оболочек. // М.: Стройиз-дат., 1974. -256 с.

73. Филиппов Д.С. Влияние учета поперечных сдвигов на устойчивость ребристых оболочек. // Доклады 57-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных сотрудников инженеров и аспирантов университета, ч. 1. СПбГАСУ. СПб. 2000. с. 44 - 46.

74. Чернышенко И.С. К расчету оссимметричных оболочек вращения переменной толщины с учетом физической и геометрической нелинейности. //В кн.: Теория пластин и оболочек. М. :Наука. 1971.-С.279-284.

75. Чернышов В.Н. Расчет гибких ребристых пологих оболочек. // Автореферат диссерт. на соиск. уч. ст. к.т.н. -Новосибирск., 1980. 19 с.

76. Чернышов В.Н. Расчет гибких ребристых оболочек с отверстиями. // Пространственные конструкции в Красноярском крае. Красноярск.-1981.-С.169-175.

77. Шалашилин В.И. Метод продолжения по параметру и его применение к задаче больших прогибов непологой круговой арки. // Изв. АН СССР, МТТ, 1979, №4, с 178-184.

78. Шалашилин В.И. Алгоритмы метода продолжения по параметру для больших осесимметричных прогибов оболочек вращения. Численные и экспериментальные методы исследования прочности, устойчивости и колебаний конструкций. //М., МАИ, 1983, с. 68-71.

79. Цилиндрические оболочки, ослабленные отверстиями. / Гузь А.Н., Чер-нышенко И.С., Чехов В.Н., Шнеренко К.Н. Киев. Наукрва думка. 1974. - 272 с.

80. Шереметьев М.П. Пелех Б.Л. К построению уточненной теории пластин. // Инж. журнал М., 1964.-Т.4, вып.З.-С. 504-509.

81. Byskov Е., Hanses J.C. Postbuckling and imperfection sensitivity analysis of axially stiffened cylindrical shells with mode interaction. // J. Struct. Mech., 1980, 8, № 2, p 205-224.

82. Chrobot B. Mathematical methods of ribbed Shells. // Studia Geotechnica et Nechanica, vol IV, 1982, № 3 4 p 55 - 68.

83. Fisher C.A., Bert C.W. Dynamic buck ling of an axially compressed cylindrical shells with discrete rings and stringers. // Trans ACME. Ser., E, 1973, 40, № 3, p 736-740.

84. Kicher T.R., Chao Tung Lai. - Minimum weight design of stiffened fiber composite cylinders. // J. Aircraft, 1971, t.8. № 7, p 562-569.

85. Koiter W.T. General theory of mode interaction in stiffened plate and shell structures. // WTHD Report № 590. August 1976.

86. Singer J. Buckling of integrally stiffened cylindrical shells a review of experiment and theory. // Contr. Theory Aircraft struct / Delft, 1972. p. 325 -357.

87. Tennyson R.C. The effects of unreinforced circular cutouts on the buckling of circular cylindrical shells under axial compression. J. of Engineering for industry. // Trans ASME, 1968, 90, ser. B, 4.