Математическое моделирование естественной конвекции во вращающихся сферических слоях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Ряховский, Алексей Васильевич

• Ряховский, Алексей Васильевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Ряховский, Алексей Васильевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ СОВРЕМЕННЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ, ТЕПЛООБМЕНА И МГД-ТЕЧЕНИЙ ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ ЖИДКОСТЯХ

1.1 Экспериментальные исследования

1.2 Вычислительные эксперименты по изучению конвекции и МГД-течений во вращающихся жидкостях

1.3 Численные методы в задачах конвекции и МГД-течений в сферических

слоях

Выводы по 1-й главе

ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИКИ И ТЕПЛООБМЕНА В СФЕРИЧЕСКИХ СЛОЯХ

2.1 Постановка задачи

2.2 Дискретизация расчетной области

2.3 Дискретный аналог для уравнения теплообмена

2.4 Дискретный аналог для уравнения количества движения

2.5 Дискретный аналог для уравнения поправки давления

2.6 Дискретный аналог для уравнения давления

2.7 Алгоритм SIMPLER

2.8 Граничные условия для уравнений давления и поправки давления

2.9 Процедуры и функции MPI

2.10 Одномерная декомпозиция

2.11 Решение СЛАУ

2.12 Программный комплекс

Выводы по 2-й главе

ГЛАВА 3. ТЕСТОВЫЕ РАСЧЕТЫ

3.1 Задача Дирихле для уравнения Лапласа

3.2 Начально-краевая задача теплопроводности в шаре

3.3 Твердотельное вращение жидкости в сферическом слое

3.4 Стационарная задача гидродинамики и теплообмена в сферическом слое

3.5 Нестационарная задача гидродинамики в сферическом слое

3.6 Сферическое течение Тейлора-Куэтта

3.7 Тестовая задача о естественной конвекции во вращающемся сферическом слое в центральном поле тяжести [94]

3.8 Сопоставление с результатами лабораторных экспериментов по изучению естественной конвекции в сферических слоях [132, 133]

3.9 Сопоставление с результатами численного моделирования конвекции в центральном поле диэлектрофоретической силы [134]

3.10 Тесты для оценки производительности

Выводы по 3-й главе

ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЕСТЕСТВЕННОЙ КОНВЕКЦИИ В СФЕРИЧЕСКИХ СЛОЯХ С ВРАЩАЮЩИМИСЯ ГРАНИЦАМИ

4.1 Приближение Буссинеска для задач естественной конвекции во вращающихся сферических слоях

4.2 Постановка задачи и математическая модель для задачи естественной конвекции во вращающемся сферическом слое

4.3 Численное исследование осесимметричных режимов конвекции в равномерно вращающемся сферическом слое

4.4 Численное исследование естественной конвекции в сферическом слое с твердым ядром и равномерно вращающейся внешней границей

4.5 Численное исследование естественной конвекции в сферическом слое, обе границы которого могут вращаться под действием силы трения со стороны жидкости

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование естественной конвекции во вращающихся сферических слоях»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность. Необходимость исследования естественной конвекции жидкости во вращающихся сферических слоях часто возникает при рассмотрении фундаментальных и прикладных проблем науки и техники. В частности, эта задача представляет интерес с точки зрения астрофизики, геодинамики и физики атмосферы, поскольку изучение течений в жидких ядрах планет и звезд, мантийной конвекции и атмосферной циркуляции сводится к решению задачи конвекции в сферических слоях. В технических приложениях конвекция в сферических слоях играет важную роль, например, при моделировании конвекции в условиях микрогравитации в космических аппаратах и их топливных баках.

Одной из наиболее актуальных проблем геодинамики является задача о конвекции во внешнем жидком ядре Земли и непосредственно связанный с ней вопрос о формировании геомагнитного поля. Сложность создания математической модели геодинамо связана, прежде всего, с отсутствием прямых сведений о процессах, протекающих в ядре Земли, его составе и физических свойствах. Решение данных задач осложняется тем, что для большинства изучаемых процессов в настоящее время невозможно провести непосредственные натурные и лабораторные эксперименты. Таким образом, основным инструментом исследования становится численное моделирование.

Большинство из упомянутых выше проблем относятся к так называемым «большим» задачам, требующим для своего численного решения значительных затрат вычислительных ресурсов. Поэтому одним из важнейших моментов является разработка программного обеспечения, использующего современные технологии высокопроизводительных вычислений, в частности, параллельные вычисления на системах с общей и распределенной памятью.

В настоящее время для численного решения системы уравнений конвекции в сферических слоях наиболее часто используются полуспектральные и спектральные методы, в которых решение ищется при помощи разложения неизвестных функций по сферическим гармоникам. Однако по сравнению с методом контрольного объема использование спектральных методов невыгодно с точки зрения быстродействия при параллельном выполнении программ, поскольку метод контрольного объема легче распараллеливается и требует значительно меньше операций обмена данными между процессами. Кроме того, в отличие от спектральных методов при использовании метода контрольного объема не требуется делать дополнительных предположений, таких, например, как выбор числа гармоник, на котором следует останавливать разложение.

Целью диссертационной работы является разработка новых методов численного моделирования и программного обеспечения для решения задач гидродинамики и теплообмена в сферических слоях с использованием высокопроизводительных технологий параллельного программирования, а также численное исследование естественной конвекции во вращающихся сферических слоях в центральном поле тяжести в постановке, учитывающей возможность вращения границ слоя под действием силы трения, и изучение различных режимов конвекции в зависимости от определяющих задачу параметров.

Объектом исследования являются конвективные течения вязкой несжимаемой жидкости в сферическом слое, границы которого могут вращаться

у

под действием сил трения со стороны жидкости.

Предметом исследования является структура и режимы естественно-конвективных течений в сферических слоях и зависимости скоростей вращения границ от управляющих параметров.

Методы исследования включают в себя методы математического моделирования: математическую модель задачи, разработку численного алгоритма решения задачи и его реализацию в виде программного комплекса, проведение вычислительных экспериментов с последующим анализом результатов.

Задачи работы:

1) разработка и обоснование нового метода математического моделирования задачи естественной конвекции в сферическом слое, обе границы которого могут вращаться под действием сил вязкого трения со стороны жидкости;

2) разработка, отладка и тестирование программного комплекса для численного решения двух- и трехмерных задач гидродинамики и теплообмена в сферических слоях методом контрольного объема;

3) распараллеливание программного кода для возможности ведения расчетов на высокопроизводительных вычислительных системах с общей и распределенной памятью с использованием стандарта MPI (Message Passing Interface - Интерфейс передачи сообщений);

4) проведение вычислительных экспериментов по исследованию естественной конвекции во вращающихся сферических слоях в зависимости от числа Рэлея, скорости вращения границ слоя и аспектного отношения, и анализ полученных результатов.

На защиту выносятся следующие результаты, соответствующие пунктам паспорта специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» по физико-математическим наукам:

Пункт 1: Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений.

1) Новый математический метод моделирования граничных условий для задачи естественной конвекции в сферическом слое, учитывающий возможность вращения обеих границ слоя под действием сил вязкого трения со стороны жидкости;

Пункт 3: Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий.

2) Новый численный метод решения задачи естественной конвекции в сферическом слое с вращающимися границами, основанный на законе сохранения момента импульса и методе контрольного объема;

Пункт 4: Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

3) Комплекс параллельных вычислительных программ для решения задач гидродинамики и теплообмена в сферических слоях, созданный на основе предложенных методов и предназначенный для использования на высокопроизводительных вычислительных системах с общей и распределенной памятью;

Пункт 5: Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

4) Новые результаты вычислительных экспериментов по исследованию режимов естественной конвекции во вращающихся сферических слоях в центральном поле тяжести в зависимости от управляющих параметров.

Таким образом, в соответствии с паспортом специальности 05.13.18 в диссертации присутствуют оригинальные результаты одновременно из трех областей: математического моделирования, численных методов и комплексов программ.

Научная новизна выносимых на защиту результатов заключается в следующем:

На основе метода контрольного объема создан и протестирован программный комплекс для проведения вычислительных экспериментов по исследованию двух- и трехмерных задач гидродинамики и теплообмена в сферических слоях с использованием высокопроизводительных вычислительных систем.

Задача о естественной конвекции в сферических слоях рассмотрена в новой математической постановке, учитывающей возможность вращения обеих границ

слоя под действием сил вязкого трения со стороны жидкости. В рассмотренной модели границами слоя жидкости являются твердые слои. На границе жидкость-твердое тело выполняются условия прилипания, а вся механическая система в целом является замкнутой.

Предложен новый математический метод решения задач о движении и конвективном теплообмене в замкнутой механической системе, состоящей из двух твердых сферических слоев, пространство между которыми заполнено жидкостью.

Разработан новый численный метод совместного решения системы уравнений естественной конвекции в сферическом слое и уравнений движения твердых границ слоя, основанный на законе сохранения момента импульса.

Проведены серии вычислительных экспериментов с различными вариантами граничных условий. В результате расчетов найдены новые трехмерные решения задачи о естественной конвекции во вращающихся сферических слоях в центральном поле тяжести. Получены новые данные о влиянии вращения на режимы естественной конвекции в сферических слоях.

Достоверность результатов диссертации обеспечивается использованием математической модели, основанной на фундаментальных законах и уравнениях классической механики и механики сплошных сред; выбором теоретически обоснованных численных методов; проведением большого числа тестовых расчетов. Сравнение численных решений тестовых задач с аналитическими решениями и с результатами вычислительных и лабораторных экспериментов других авторов демонстрирует количественное и качественное совпадение.

Практическая значимость. Результаты диссертационной работы имеют практическое значение для исследований в области астрофизики, физики атмосферы и геодинамики, в частности, непосредственно относятся к задаче моделирования естественной конвекции в жидком ядре Земли. Разработанный программный комплекс может быть использован для эффективного решения инженерно-технических задач, требующих моделирования конвективного теплообмена в областях сферической геометрии на высокопроизводительных

вычислительных системах. Примером таких задач является проблема гомогенизации стратифицированного топлива в сферических баках космических аппаратов в условиях микрогравитации.

Разработанное программное обеспечение используется для проведения вычислительного практикума со студентами старших курсов и аспирантами Политехнического института Сургутского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 11 печатных работах [1-11], из них 3 статьи в изданиях из научных журналов, рекомендованных ВАК; 3 - в сборниках научных статей; 2 - в тезисах окружных конференций; 3 - в тезисах всероссийских и международных конференций.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ №13-01-12051 «офи м» в рамках конкурса ориентированных фундаментальных исследований по актуальным междисциплинарным темам.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

- Всероссийская конференция по математике и механике (Томск, 2008);

- 4-я и 5-я международные конференции «Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания» (Обнинск, 2008, 2011);

- X и XI окружные конференции молодых ученых "Наука и инновации XXI века" (Сургут, 2009, 2010);

- I Всероссийская конференция молодых ученых «Наука и инновации XXI века» (Сургут, 2012);

Результаты работы докладывались на объединенных семинарах кафедры прикладной математики, кафедры «Строительные технологии и конструкции»» и лаборатории «Математического моделирования в строительстве и промышленности» Сургутского государственного университета.

Личный вклад. Результаты, составляющие основное содержание диссертации, получены автором самостоятельно. В совместных исследованиях

автор принимал участие во всех этапах работы: в постановках задач, в выборе и формулировке математической модели, в создании численного метода и его реализации в виде программного комплекса, в проведении вычислительных экспериментов и анализе их результатов. Автор самостоятельно разработал параллельный алгоритм и реализовал его в виде комплекса вычислительных программ, провел отладку и тестирование.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Диссертация изложена на 143 страницах, включая 48 иллюстраций, 7 таблиц. Список цитируемой литературы содержит 139 наименований.

В первой главе приводится обзор современного состояния экспериментальных и численных исследований конвекции и МГД-течений в сферических слоях. Основное внимание при этом обращается на работы, посвященные задаче о естественной конвекции во вращающихся сферических слоях и задаче о геодинамо. Рассмотренные статьи были опубликованы в журналах Nature, Science, Earth and Planetary Science Letters, Journal of Fluid Mechanics, Physical Review Letters, Geophysical and Astrophysical Fluid Dynamics, Physics of Fluids и др. Всего рассмотрено 128 работ, особое внимание уделено современным исследованиям за период 2000-2013 гг. В разделе 1.1 описываются результаты лабораторных экспериментов по изучению конвекции во вращающихся сферических слоях, а также экспериментов по генерации магнитного поля за счет течений проводящей жидкости. В разделе 1.2 приводятся основные результаты численного моделирования естественной конвекции и МГД-течений во вращающихся сферических слоях, в частности, предсказание восточного дрейфа твердого ядра Земли и получение эффекта инверсии геомагнитного поля. Раздел 1.3 посвящен современным численным методам решения задач гидродинамики, магнитной гидродинамики и теплообмена в сферических слоях. По обзору литературы сделаны выводы о перспективных направлениях исследований по математическому моделированию задач конвекции в сферических слоях и, в частности, о необходимости разработки

параллельного программного обеспечения, позволяющего эффективно использовать вычислительные мощности современных высокопроизводительных систем.

Во второй главе рассматривается численное моделирование гидродинамики и теплообмена в сферических слоях. Для дискретизации уравнений конвекции использовался метод контрольного объема в сферических координатах. Система уравнений гидродинамики решалась алгоритмом SIMPLER. Для решения СЛАУ, полученных в результате дискретизации, применялся метод переменных направлений.

Для возможности использования программы на высокопроизводительных вычислительных системах, алгоритм был распараллелен. Распараллеливание было выполнено при помощи метода одномерной декомпозиции. Метод заключается в разбиении расчетной области на подобласти вдоль азимутального угла ç. В каждой из подобластей расчет ведется отдельным процессом. Приграничные расчетные точки одной области являлись граничными точками для соседней области и наоборот, т.е. область перекрытия двух смежных подобластей представляла собой слой толщиной два контрольных объема. При такой декомпозиции каждый процесс должен обмениваться данными только с процессами, отвечающими за соседние подобласти. Обмен данными производился на этапе решения СЛАУ на каждой итерации метода переменных направлений. Пересылаемые данные представляют собой двухмерный массив, содержащий значения искомой функции в приграничных точках области. Коммуникация между процессами была реализована при помощи функций стандарта MPI (Message Passing Interface).

Третья глава посвящена рассмотрению результатов верификации разработанного программного обеспечения. Программный комплекс был протестирован на 9 задачах, включающих задачи с аналитическим решением, а также вычислительные и лабораторные эксперименты, результаты которых приводятся в работах других авторов. Использовались результаты

вычислительных экспериментов по сферическим течениям Тейлора-Куэтга, конвекции во вращающемся сферическом слое, конвекции в сферическом слое в центральном и вертикальном полях сил и результаты лабораторных экспериментов по изучению естественной конвекции воздуха в сферических слоях в вертикальном поле тяжести. На основе тестовых расчетов сделаны выводы об адекватности численного решения и применимости программного обеспечения для моделирования конвекции и гидродинамики.

В четвертой главе представлены результаты вычислительных экспериментов по исследованию естественной конвекции во вращающихся сферических слоях в различных постановках. Каждая из постановок является частным случаем задачи о конвекции в сферическом слое с вращающимися под действием силы трения границами, которая является модельной по отношению к задаче о естественной конвекции в жидком ядре Земли.

В приложении приводятся фрагменты исходного кода разработанного программного комплекса, в частности, главная программа и процедуры, отвечающие за расчет азимутальной компоненты скорости на внешней и внутренней границах сферического слоя.

ГЛАВА 1. ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ СОВРЕМЕННЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ, ТЕПЛООБМЕНА И МГД-ТЕЧЕНИЙ ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ ЖИДКОСТЯХ

В данной главе описываются результаты современных экспериментальных и численных исследований, посвященных изучению гидродинамики, теплообмена и магнитогидродинамических (МГД) течений во вращающихся жидкостях, в особенности - во вращающихся сферических слоях. Основное внимание уделяется работам, которые представляют интерес с точки зрения исследования естественной конвекции в жидком ядре Земли, генерации и поддержания магнитного поля Земли, т.е. процесса геодинамо. Обозреваемые работы были опубликованы в журналах Nature, Science, Earth and Planetary Science Letters, Journal of Fluid Mechanics, Physical Review Letters, Geophysical and Astrophysical Fluid Dynamics, Physics of Fluids и др.

Основные результаты исследований конвекции во вращающихся слоях проведенных до начала 80-х годов приводятся в детальном обзоре литературы Яворской и Беляева (1982) [12]. В настоящем обзоре основное внимание уделяется современным работам, опубликованным за последние годы.

1.1 Экспериментальные исследования

Лабораторные эксперименты по изучению конвекции во вращающихся областях могут быть разделены на два типа: в экспериментах первого типа жидкость заполняет плоский слой в прямоугольном или цилиндрическом сосуде, вращающемся вокруг вертикальной оси, вдоль которой направлен градиент температуры или градиент плотности; в экспериментах второго типа жидкость занимает сферический слой и градиент температуры или плотности направлен в радиальном направлении [13]. В экспериментах, использующих сферическую

геометрию, центробежная сила оказывает совместное влияние с гравитацией, создавая грубое подобие центрального поля тяжести Земли. Чтобы получить качественно корректное направление течений в такого рода экспериментах используется обратный по сравнению с внешним ядром Земли температурный градиент: температура внешней границы выше, чем температура внутренней. Также сходство течений в экспериментальных установках с течениями в жидком ядре Земли усиливается тем, что во вращающейся жидкости аксиальная компонента гравитации в основном компенсируется давлением, в результате чего течение удовлетворяет условию Тейлора-Прудмана [13]. Теорема Тейлора-Прудмана говорит о том, что в быстровращающейся, идеальной, несжимаемой жидкости скорость течения не изменяется вдоль направления оси вращения, т.е. (со • V)u = 0.

Одними из первых экспериментов по конвекции в областях сферической геометрии были эксперименты Буссе и Карригана [14]. Они показали, что начало конвекции в быстро вращающихся сферических слоях включает образование конвективных ячеек в форме колонн, представляющих собой волны Россби, которые являются частным случаем инерциальных волн. Инерциальные волны представляют собой волны, возникающие во вращающейся жидкости в результате восстанавливающего действия силы Кориолиса. В экспериментах Буссе и Карригана волны Россби состояли из чередующихся колонн положительной и отрицательной завихренности, вытянутых вдоль оси вращения и распространяющихся в восточном направлении, т.е. в направлении вращения.

Сумита и Олсон [15] провели эксперименты по изучению конвекции воды в

—6 8 о V

полусферическом слое при и АТ~ 12°С, где Е = —-— число

0)L

Экмана; Ra = ^ _ числ0 рэлея- дт1 - разность температур на границах

va

слоя. Экспериментальная установка состояла из медной полусферы диаметром 30 см и внутренней медной сферы диаметром 10 см. При превышении критического числа Рэлея во внутренней части слоя формировались закрученные

на запад и распространяющиеся на восток волн Россби. При повышении числа Рэлея конвективная зона расширяется к внешней границе слоя, и периодические волны сменяются более хаотическими течениями в средней части слоя. Однако волны Россби все еще сохраняются вблизи внутренней границы. При дальнейшем увеличении числа Рэлея радиальная структура конвекции разделяется на две области: конвекция вблизи внешней границы мелкомасштабная и почти периодическая, а вблизи внутренней границы течение турбулентное. Подобный режим так называемой «двойной конвекции» был также получен во время вычислительных экспериментов [16]. В дальнейших экспериментах, в которых в качестве рабочей жидкости использовалось силиконовое масло, было показано, что при Е ~ Ю-6 и Ra~ Ю10 (число Рэлея примерно в 600 раз больше критического значения) из-за интенсивной конвекции жидкость становится практически изотермической за исключением тонкого слоя у внутренней границы [17].

В большинстве экспериментов для визуализации течений используется краска или мелкие частицы, но подобный подход позволяет получить только качественное представление о характере течений. Для получения количественных данных используют специальные методы, например, измерение скорости с использованием анализа визуализирующих частиц (particle image velocimetry, PIV) и ультразвуковые методики с использованием эффекта Допплера (ultrasonic Doppler velocimetry, UDV). В последнее время в экспериментах по моделированию течений в жидком ядре Земли появился интерес к методу UDV, поскольку он позволяет измерять скорость течения не только для прозрачных жидкостей, но и для непрозрачных жидких металлов [13]. Метод UDV был использован для измерения скорости течений воды в экспериментах Обера с соавторами [18], Жилле с соавторами [19], и для измерения скорости течений жидкого галлия в работах Брито с соавторами [20], Обера с соавторами [18] и Жилле с соавторами [21].

Эксперименты, использующие в качестве рабочей жидкости жидкий галлий или натрий, позволяют исследовать режимы конвекции при низких числах

у

Прандля Рг = — и потому наиболее интересны с точки зрения моделирования а

процессов в жидком ядре Земли. Однако из-за высокой теплоемкости галлия и натрия для начала в них конвекции требуются значительные энергозатраты. Поэтому в таких исследованиях обычно не достигаются режимы с высокими надкритическими значениями параметров. Кроме того, большинство экспериментов с жидкими металлами проводится не в сферической геометрии, а в плоских слоях.

Конвекция во внешнем ядре Земли определяется совместным влиянием вращения и магнитного поля. Обычно вращение и магнитное поле замедляют развитие конвекции, стабилизируя течение жидкости. Однако, возможна ситуация, когда состояние жидкости менее устойчиво в присутствии одновременно вращения и магнитного поля, чем в присутствии только одного из этих факторов. Чандрасекар (1968) [22] теоретически показал, что для случая, когда сила Кориолиса и сила Лоренца достаточно велики, сравнимы по величине

(число Эльзассера А = ~ 1) и противоположны по направлению, существует

рсо

локальный минимум для критического числа Рэлея. Этот локальный минимум устойчивости наблюдался в одном из ранних экспериментов (Нагагава, 1957) [23], в котором емкость с ртутью была размещена между магнитами циклотрона и нагревалась снизу. Согласно предсказаниям теории, вблизи минимума устойчивости наблюдался переход от мелкомасштабной к крупномасштабной конвекции.

Орно и Олсон [24] провели серию экспериментов по изучению конвекции жидкого галлия во вращающемся горизонтальном слое в присутствии постоянного вертикального магнитного поля при Ra ~ 104 и Рг О 2. Жидкость находилась в емкости размерами 15.2 см><15.2 см><3.8 см с поликарбонатными стенками толщиной 1.3 см. Толщина слоя жидкого галлия варьировалась от 7 мм

до 25 мм. Целью исследования было определение зависимости между числами Нуссельта и Рэлея при различных значениях чисел Экмана и Эльзассера, а также поиск минимума устойчивости. Они обнаружили, что раздельное действие силы Кориолиса и силы Лоренца, как и ожидалось, подавляет конвекцию, однако им не удалось наблюдать потерю устойчивости при совместном действии вращения и магнитного поля, поскольку магнитное поле было слишком слабо.

Шью и Латропом [25] были проведены одни из первых экспериментов по изучению МГД-конвекции во вращающемся сферическом слое. Сферический слой состоял из внешней сферы диаметром 60 см и внутренней сферы диаметром 20 см. Авторы исследовали конвекцию жидкого натрия при больших угловых скоростях и слабом магнитном поле (при малых значениях числа Эльзассера Л ~ 0-10"*) в диапазоне параметров Е ~ Ю-8 -10~7, Яа ~ 106 -109 и при перепадах температур ДГ-1-20К. Первое подробное измерение скоростей течения было проведено Жилле с соавторами [21] при использовании метода ТЛ)У. В указанной работе сфера, внутри которой был расположен цилиндр, была заполнена жидким галлием, а вдоль оси вращения был приложен электрический ток, индуцирующий в жидкости тороидальное магнитное поле. Как и в экспериментах Орно и Олсона [24] было показано стабилизирующее действие магнитного поля по сравнению со случаем в отсутствии магнитного поля [19]. Но в этом эксперименте также не удалось продемонстрировать минимум устойчивости из-за малой величины магнитного поля. Кроме того, авторы обнаружили, что под действием тороидального магнитного поля конвективные ячейки становятся более анизотропными в экваториальной плоскости и более вытянутыми в азимутальном направлении.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ряховский, Алексей Васильевич, 2013 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гореликов A.B., Ряховский A.B. Численное моделирование естественной конвекции в сферическом слое // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. - 2008. - № 3. - С. 7784.

2. Гореликов A.B., Ряховский A.B. Влияние вращения внешней границы на режимы естественной конвекции в сферическом слое // Вестник Нижегородского университетского им. Н.И. Лобачевского. №4. Часть 3. - Н. Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского. - 2011. - С. 1085-1087.

3. Гореликов A.B., Ряховский A.B., Фокин A.C. Численное исследование некоторых нестационарных режимов естественной конвекции во вращающемся сферическом слое // Вычислительная механика сплошных сред - 2012. - Т.5, №2 -С. 184-192.

4. Гореликов A.B., Ряховский A.B. Численное исследование свободной конвекции в сферическом слое с вращающимися границами // V международная конференция «Математические идеи П.Л.Чебышева их приложение к современным проблемам естествознания» - Тезисы докладов - Обнинск: ИАТЭ НИЯУ МИФИ. -2011. - С. 139-140.

5. Гореликов A.B., Ряховский A.B. Распараллеливание программного кода для численного моделирования гидродинамики и теплообмена в сферическом слое с использованием стандарта Open MP // Сборник научных трудов. Физико-математические и технические науки / Сургутский государственный университет ХМАО. Сургут: Изд-во СурГУ. - 2008. - Вып. 29. С. 29-34.

6. Гореликов A.B., Ряховский A.B. Численное исследование свободной конвекции во вращающемся шаровом слое // 4-я международная конференция «Математические идеи П.Л.Чебышева их приложение к современным проблемам естествознания» - Тезисы докладов. - Обнинск: ИАТЭ НИЯУ МИФИ. - 2008. -С. 23-24.

7. Ряховский А. В. Тестирование программного комплекса для численного моделирования естественной конвекции в кубе // Сборник научных трудов. Физико-математические и технические науки / Сургутский государственный университет ХМАО - Сургут, 2010. - Вып. 33. - С. 48-53.

8. Ряховский А. В. Тестирование программного комплекса для численного моделирования магнитной гидродинамики в кубе // Сборник научных трудов. Физико-математические и технические науки / Сургутский государственный университет ХМАО - Сургут, 2011. - Вып. 34. - С. 29-33.

9. Гореликов А.В, Ряховский A.B. Численное моделирование теплопроводности с использованием стандарта распределенных вычислений MPI

// Наука и инновации XXI века: мат-лы X Окр. конф. молодых ученых. - Сургут: ИЦ СурГУ. - 2009. - С. 6-8.

10. Ряховский А.В. Численное моделирование конвекции в кубе // Наука и инновации XXI века: мат-лы XI Окр. конф. молодых ученых. - Сургут: ИЦ СурГУ.-2010.-С. 8-9.

11. Ряховский А.В., Гореликов А.В. Математическое моделирование гидродинамики и теплообмена в сферических слоях // Наука и инновации XXI века: Материалы I Всероссийской конференции молодых ученых. Том 1П. Под ред. Е.Ю. Мурунова. - Сургут: Дефис. - 2012. - С. 136-139.

12. Яворская И.М., Беляев Ю.Н. Конвективные течения во вращающихся слоях // Итоги науки и техники, ВИНИТИ. -1982. - т. 17.

13. Olson P. Laboratory Experiments on the dynamics of the core // Physics of the Earth and Planetary Interiors. - 2011. - Volume 187, Issue 1-2. - pp. 1-18.

14. Busse F.H., Carrigan C.R. Laboratory simulation of thermal convection in rotating planets and stars // Science. - 1976. - №191. - pp. 81-83.

15. Sumita I., Olson P. Laboratory experiments on high Rayleigh number thermal convection in a rapidly rotating hemispherical shell // Phys. Earth Planet. Int. -2000.-№117.-pp. 153-170.

16. Miyagoshi Т., Kageyama A., Sato T. Zonal flow formation in the Earth's core // Nature. - 2010. - № 463. - pp. 793-796.

17. Sumita I., Olson P. Experiments on highly supercritical thermal convection in a rapidly rotating hemispherical shell // J. Fluid Mech. - 2003. - №492. - pp. 271— 287.

18. Aubert J., Brito D., Nataf H.-C., Cardin P., Masson J.-P. A systematic experimental study of rapidly rotating spherical convection in water and liquid gallium // Phys. Earth Planet. Inter. - 2001. - №128. - pp. 51-74.

19. Gillet N., Brito D., Jault D., Nataf H.-C. Experimental and numerical study of convection in a rapidly rotating spherical shell // J. Fluid Mech. - 2007. - № 580. -pp. 83-121.

20. Brito D., Nataf H.-C., Cardin P., Aubert J., Masson J.-P. Ultrasonic Doppler velocimetry in liquid gallium // Exp. Fluids. - 2001. - №31. - pp. 653-663.

21. Gillet N., Brito D., Jault D., Nataf H.-C. Experimental and numerical study of magnetoconvection in a rapidly rotating spherical shell // J. Fluid Mech. - 2007. -№580.-pp. 123-143.

22. Chandrasekhar, S. Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability // Clarendon Press, New York, USA. - 1968.

23. Nagagawa, Y. Experiments on the instability of a plane layer of mercury heated from below and subject to the simultaneous action of a magnetic field and rotation // Proc. R. Soc. Lond. A242. - 1957. - pp. 81-88.

24. Aurnou J., Olson P. Experiments on Rayleigh-Benard convection, magnetoconvection and rotating magnetoconvection in liquid gallium // J. Fluid Mech. - 2001. - №430. - pp. 283-307.

25. Shew W., Lathrop D. P. Liquid sodium model of geophysical core convection // Phys. Earth Planet. Inter. - 2005. -№153. - pp. 136-149.

26. King E.M., Stellmach S., Noir J., Hansen U., Aurnou J.M. Boundary layer control of rotating convection systems // Nature. - 2009. - №457. - p. 301-304.

27. King, E.M., Sonderlund, K.M., Christensen, U.R., Wicht, J., Aurnou, J.M. Convective heat transfer in planetary dynamo models // Geochem. Geophys. Geosyst. -2010-11(6).

28. Kerswell, R.R. Elliptical instability // Annu. Rev. Fluid Mech. - 2002. -№34.-p. 83-113.

29. Tilgner A. Rotational Dynamics of the Core // In: Olson P. (Ed.), Treatise on Geophysics, Elsevier B.V. - 2007. - Vol. 8., Chapter 7.

30. Lacaze L., Le Gal P., Le Dizes S. Elliptical instability in a rotating spheroid // J. Fluid Mech. - 2004. - №505. - p. 1-22.

31. Malkus W.V.R. Precession of the earth as the cause of geomagnetism // Science. - 1968. - №160. - p. 259.

32. Malkus W.V.R. An experimental study of global instabilities due to tidal (elliptical) distortion of a rotating elastic cylinder // Geophys. Astrophys. Fluid. Dyn. -1989.-№48.-p. 123.

33. Aldridge K., Seyed-Mahmoud B., Henderson G., van Wijngaarden W. Elliptical in stability of the Earth's fluid core // Phys. Earth Planet. Inter. - 1997. -№103.-p. 365-374.

34. Kerswell R.R., Malkus W.V.R. Tidal instability as the source for Io's magnetic signature // Geophysical Research Letters. - 1998. - V. 25, Issue 5. - p. 603606.

35. Lacaze L., Herreman W., Le Bars M., Le Dizes S., Le Gal P. Magnetic field induced by elliptical instability in a rotating spheroid // Journal of Fluid Mechanics. - 2006. - №563. - p. 189-198.

36. Lavorel G., Le Bars M. Experimental study of the interaction between convective and elliptical instabilities // Phys. Fluids. - 2010. - №22.

37. Gailitis A., Lielausis O., Platacis E., Gerbeth G., Stefani F. The Riga dynamo experiment // Surv. Geophys. - 2003. - №24. - p. 247-267.

38. Stieglitz R., Miiller U. Experimental demonstration of a homogeneous two-scale dynamo // Phys. Fluids. - 2001. -№13. - p. 561-654.

39. Miiller U., Stieglitz R. & Horanyi S. A two-scale hydromagnetic dynamo experiment // J. Fluid Mech. - 2004. - №498. - p. 31-71.

40. Miiller U., Stieglitz R., Horanyi S. Experiments at a two-scale dynamo test facility // J. Fluid Mech. - 2006. - №552. - p. 419^140.

41. Monchaux R., Berhanu M., Bourgoin M., et al. Generation of a magnetic field by dynamo action in a turbulent flow of liquid sodium // Phys. Rev. Lett. - 2007. -№98.

42. Berhanu M., Monchaux R., Fauve S., et al. Magnetic field reversals in an experimental turbulent dynamo // Europhys. Lett. - 2007. - №77.

43. Petrelis F., Fauve S., Dormy E., Valet J.-P. Simple mechanism for reversals of Earth's magnetic field // Phys. Rev. Lett. - 2009. - №102.

44. Беляев Ю.Н., Монахов A.A., Яворская И.М. Устойчивость сферического течения Куэтга в толстых слоях при вращении внутренней сферы // Изв. АН СССР. МЖГ. - 1978. - № 2. - С. 9-15.

45. Беляев Ю.Н.,. Яворская И.М. Проблемы устойчивости и возникновения хаоса в замкнутых гидродинамических течениях // Современные математические проблемы механики и их приложения, К 80-летию со дня рождения академика Леонида Ивановича Седова, Тр. МИАН СССР, 186, М.:Наука. - 1989. - С. 106-116.

46. Герценштейн С.Я., Жиленко Д.Ю., Кривоносова О.Э.. Ламинарно-турбулентный переход в сферическом течении Куэтта при встречном вращении сферических границ // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. - 2001. - №2 - С. 106-116.

47. Nataf Н.-С., Alboussiere Т., Brito D., Cardin Р., Gagniere N., Jault D., Masson J.-P., Schmitt D. Experimental study of super-rotation in a magnetostrophic spherical Couette flow // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. - 2006. - №100. - p. 281.

48. Dormy E., P. Cardin and D. Jault, MHD flow in a slightly differentially rotating spherical shell, with conducting inner core, in a dipolar magnetic field // Earth Planet. Sei. Lett. - 1998. - №160. - p. 15-30.

49. Nataf H.-C., Alboussiere Т., Brito D., Cardin P., Gagniere N., Jault D., Masson J.-P., Schmitt D. Rapidly rotating spherical Couette flow in a dipolarmagnetic field: an experimental study of the mean axisymmetric flow // Phys. Earth Planet. Inter. -2008.-№170.-p. 60-72.

50. Денисов C.A., Носков В.И., Степанов P.A., Фрик П.Г. Измерения турбулентной магнитной вязкости в потоке жидкого галлия // Письма в ЖЭТФ. -2008.-№88.-С. 198-202

51. Sisan D.R., Mujica N., Tillotson W.A., Huang Y., Dorland W., Hassam A.B., Antonsen T.M., Lathrop D.P. Experimental observation and characterization of the magnetorotational instability // Phys. Rev. Lett. - 2004. - №93.

52. Велихов E. П. Устойчивость течения идеально проводящей жидкости между вращающимися цилиндрами в магнитном поле // Журнал экспериментальной и теоретической физики (ЖЭТФ). - 1959. - Том 36. - С. 1399.

53. Велихов Е. П. Магнитная геодинамика // Письма в ЖЭТФ. - 2005. Том 82, вып. 11. - С. 785—790.

54. Ruediger G., Hollerbach R. The Magnetic Universe // Geophysical and Astrophysical Dynamo Theory. Wiley. - 2004. - 338 p.

55. Kelley D., Triana S., Zimmerman D., Tilgner A., Lathrop D. Inertial waves driven by differential rotation in a planetary geometry // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. - 2007. - №101. - p. 469—487.

56. Трубицын В.П., Рыков B.B. Глобальная тектоника плавающих континентов и океанических литосферных плит// ДАН РАН. - 1998. - т. 359. № 1. -С. 109-111.

57. Shariff К. Fluid Mechanics in Disks Around Young Stars // Annu. Rev. Fluid Mech. - 2009 - №41. - pp. 283-315.

58. Вайнпггейн С.И., Зельдович Я.Б., Рузмайкин А.А. Турбулентное динамо в астрофизике // М.: Наука. - 1980. - 352 с.

59. Zhang К.К., Schubert G. Magnetohydrodynamics in rapidly rotating spherical systems // Annu. Rev. Fluid Mech. - 2000. - V. 32. - pp. 409-443.

60. Grote, E., and Busse, F.H. Dynamics of convection and dynamos in rotating spherical fluid shells. Fluid Dynamics Research. - 2001. - №28. - pp. 349-368.

61. Mininni, P.D., Montgomery, D.C., Turner, L. Hydrodynamic and magnetohydrodynamic computations inside a rotating sphere // New Journal of Physics. -2007.-№9.

62. Кирдяшкин А.Г., Добрецов H.JI., Кирдяшкин А.А. Турбулентная конвекция и магнитное поле внешнего ядра Земли // Геология и геофизика. -2000.-Т. 41, №5.-С. 601.

63. Greff-Lefftz М. & Legros Н. Core Rotational Dynamics and Geological Events // Science. - 1999. - 26: Vol. 286, no. 5445. - pp. 1707-1709.

64. Cowling T.G. The magnetic field of sunspots // Monthly Notices Roy. Astr. Soc. - 1934. - V. 94. - P. 39-48

65. Зельдович Я.Б.//ЖЭТФ.- 1956.-№31,-C. 154.

66. Брагинский С.И. // ЖЭТФ. - 1964. - №47. - С. 1084.

67. Busse F.H., Simitev R. Dynamos of giant planets //Procs. Intern. Astron. Union. - 2006. -№2. - pp. 467-474.

68. Alfven, H., 1943. On the existence of electromagnetic-hydrodynamic waves // Ark. Mat. Astron. Fys. - 1943. - 29(2). - pp. 1-7.

69. Roberts P.H. & Scott S. On the analysis of the secular variation, i. A hydromagnetic constraint: theory // J. Geomag. Geoelectr. - 1965. - №17. - pp. 137151.

70. Roberts P.H. & Glatzmaier G.A. A test of the frozen-flux approximation using a new geodynamo model // Phil. Trans. R. Soc. bond. A. - 2000. - 358(1768). -pp. 1109-1121.

71. Gilman P. A. & Miller J. Dynamically consistent nonlinear dynamos driven by convection in a rotating spherical shell // Astrophys. J. Suppl. - 1981. - №46. - pp. 211-238.

72. Glatzmaier G. A. Numerical simulations of stellar convective dynamos. I. The model and the method // J. Comput. Phys. - 1984. - №55. - pp. 461-484.

73. Zhang K., Busse F. H. Finite amplitude convection and magnetic field generation in a rotating spherical shell // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. - 1988. -№41.-pp. 33-53.

74. Glatzmaier G.A., Roberts P.H. A three-dimensional self-consistent computer simulation of a geomagnetic field reversal // Nature. - 1995. - V. 377. - p. 203.

75. Glatzmaier G.A., Сое R.S., Hongre L. and Roberts P.H. The role of the Earth's mantle in controlling the frequency of geomagnetic reversals // Nature. - 1999. -№401.-pp. 885-890.

76. Kageyama A., Ochi M.M. and Sato T. Flip-flop transitions of the magnetic intensity and polarity reversals in the magnetohydrodynamic dynamo // Physical Review Letters. - 1999. - №82. - pp. 5409-5412.

77. Hollerbach R., Jones C.A. Influence of the Earth's inner core on geomagnetic fluctuations and reversals // Nature. - 1993. - №365. - pp. 541-543.

78. Glatzmaier, G.A. & Coe, R.S. Magnetic polarity reversals in the core // Treatise on Geophysics, Volume 8, Core Dynamics, Chp. 9, ed. G. Schubert (Elsevier). - 2007. - pp. 283-297.

79. Kida S., Araki K., and Kitauchi H. Periodic reversals of magnetic field generated by thermal convection in a rotating spherical shell // Journal of the Physical Society of Japan. - 1997. -№66. - pp. 2194-2201.

80. Busse F.H. Convective flows in rapidly rotating spheres and their dynamo action // Physics of Fluids. - 2002. - №14. - pp. 1301-1314.

81. Sarson G.R. and Jones C.A. A convection driven geodynamo reversal model // Physics of the Earth and Planetary Interiors. - 1999. - №111. - pp. 3-20.

82. Wicht, J. & Olson, P. A detailed study of the polarity reversal mechanism in a numerical dynamo model // Geophys. Geochem. Geosystems. - 2004. - 5(3).

83. Reshetnyak M. and Steffen B. A dynamo model in a spherical shell // Numerical Methods and Programming. - 2005. - №9. - pp. 27-34.

84. Kutzner C. and Christensen U. From stable dipolar to reversing numerical dynamos // Physics of the Earth and Planetary Interiors. - 2002. - №121. - pp. 29-45.

85. Takahashi F., Matsushima M., and Honkura Y. Simulations of a QuasiTaylor state geomagnetic field Including polarity reversals on the Earth Simulator // Science. - 2005. - №309. - pp. 459-461.

86. Coe R.S. and Glen J.M.G. The complexity of reversals // Channell JET, Kent DV, Lowrie W, and Meert JG (eds.) Geophysical Monograph Series, Vol. 145: Timescales of the Internal Geomagnetic Field. - 2004. - pp. 221-232.

87. Olson P.L., Glatzmaier G.A. and Coe R.S. Complex polarity reversals in a geodynamo model // Earth Planet. Sei. Lett. - 2011. - №304. - pp. 168-179.

88. Olson, P., Driscoll, P., Amit, H., Dipole collapse and reversal precursors in a numerical dynamo // Phys. Earth. Planet. Inter. - 2009. - №173. - pp. 121-140.

89. Coe R.S. & Glatzmaier G.A. Symmetry and stability of the geomagnetic field Geophys // Res. Lett. - 2006. - №33.

90. Kutzner C. and Christensen U.R. Simulated geomagnetic reversals and preferred virtual geomagnetic pole paths // Geophysical Journal International. - 2004. -№157.-pp. 1105-1118.

91. Olson P.L., Coe R.S., Driscoll P.E., Glatzmaier G.A. and Roberts P.H. Geodynamo Reversal Frequency and Heterogeneous Core-Mantle Boundary Heat Flow // Phys. Earth. Planet. Inter. - 2010. - Vol. 180, Issue 1-2. - pp. 66-79.

92. Glatzmaier G.A., Roberts P.H. A three-dimensional convective dynamo solution with rotating and finitely conducting inner core and mantle // Phys. Earth Planet. Inter. - 1995. - V. 91. - p. 63.

93. Sakuraba A. and Kono M. Effect of the inner core on the numerical solution of the magnetohydrodynamic dynamo // Phys. Earth Planet. Inter. - 1999. -№111.-pp. 105-121.

94. Christensen, U. R., J. Aubert, P. Cardin, E. Dormy, S. Gibbons, et al. A numerical dynamo benchmark // Phys. Earth Planet. Inter. - 2001. - №128. - pp. 25-34.

95. Song X., Richards P.G. Seismological evidence for differential rotation of the Earth's inner core // Nature. - 1996. - V. 382. - p. 221.

96. Su W., Dziewonski A., Jeanloz R. Planet Within a Planet: Rotation of the Inner Core of Earth // Science. - 1996. - V. 274. - p. 1883.

97. Buffett B.A. & Glatzmaier G.A. Gravitational braking of inner-core rotation in geodynamo simulations // Geophys. Res. Lett. - 2000. - №27. - pp. 31253128.

98. Laske G. & Masters, G. The Earth's free oscillations and differential rotation of the inner core // Earth's Core: Dynamics, Structure, Rotation, Vol. 31, eds Dehant, V., Creager, K., Zatman, S. & Karato, S. - 2003.

99. Wen, L.X., 2006. Localized temporal change of the Earth's inner core boundary // Science. - 2006. - №314. - pp. 967-970.

100. Cao A., Masson Y. & Romanowicz B. Short wavelength topography on the inner-core boundary // PNAS. - 2007. - 104(1) - pp. 31-35.

101. Song, X.D. & Poupinet, G. Inner core rotation from event-pair analysis // Earth planet. Sci. Lett. - 2007. - 261 (1-2) - pp. 259-266.

102. Aubert J., Dumberry M. Steady and fluctuating inner core rotation in numerical geodynamo models // Geophys. J. Int. - 2011. - №184. - pp. 162-170.

103. Cattaneo F. & Tobias S.M. Dynamo properties of the turbulent velocity field of a saturated dynamo // J. Fluid Mech. - 2009. - №621. - pp. 205-214.

104. Tilgner A. & Brandenburg A. A growing dynamo from a saturated Roberts flow dynamo//Mon. Not. R. Astron. Soc. - 2008.-№391.-pp. 1477-1481.

105. Schrinner M., Schmitt D., Cameron R., Hoyng P. Saturation And Time Dependence Of Geodynamo Models // Geophysical Journal International. - 2010. -Volume 182, Issue 2. - pp. 675-681.

106. Aubert J., Aurnou J., Wicht J. The magnetic structure of convection-driven numerical dynamos // Geophysical Journal International. - 2008. - Vol. 172, №3. - pp. 945-956.

107. Niu F.L. & Wen L.X. Hemispherical variations in seismic velocity at the top of the Earth's inner core // Nature. - 2001. - №410. - pp. 1081-1084.

108. Tanaka S. & Hamaguchi H. Degree one heterogeneity and hemispherical variation of anisotropy in the inner core from PKP(BC)-PKP(DF) times // J. Geophys. Res. - 1997. -№102. - pp. 2925-2938.

109. Yu W.C. & Wen L.X. Inner core attenuation anisotropy // Earth Planet. Sci. Lett. - 2006. - №245. - pp. 581-594.

110. Cao A. & Romanowicz B. Hemispherical transition of seismic attenuation at the top of the Earth's inner core // Earth Planet. Sci. Lett. - 2004. - №228. - pp. 243253.

111. Sumita I. & Olson P. A laboratory model for convection in Earth's core driven by a thermally heterogeneous mantle // Science. - 1999. - №286. - pp. 15471549.

112. Bergman M.I., Macleod-Silberstein M., Haskel M., Chandler B. & Akpan N. A laboratory model for solidification of Earth's core // Phys. Earth Planet. Inter. -2005 . - №153. - pp. 150-164.

113. Aubert, J., Amit, H., Hulot, G., Olson, P. Thermochemical flows couple the Earth's inner core growth to mantle heterogeneity // Nature. - 2008. - №454. - pp. 758761.

114. Takahashi F., Matsushima M., and Honkura Y. Simulations of a QuasiTaylor state geomagnetic field Including polarity reversals on the Earth Simulator // Science. - 2005. - №309. - pp. 459-^61.

115. Kageyama A., Miyagoshi T. & Sato T. Formation of current coils in geodynamo simulations // Nature. - 2008. - №454. - pp. 1106-1109.

116. Stellmach S. & Hansen U. Cartesian convection driven dynamos at low Ekman number // Phys. Rev. E. - 2004. - №70.

117. Aubert J., Gillet N., Cardin P. Quasigeostrophic models of convection in rotating spherical shells // Geochemistry Geophysics Geosystems. - 2003. - Volume 4, Issue 7.

118. Glatzmaier G.A., and P. Olson, Highly supercritical thermal convection in a rotating spherical shell: Centrifugal versus radial gravitiy // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. - 1993. - №70. - pp. 113-136.

119. Glatzmaier G.A. Numerical simulations of stellar convective dynamos. I. The model and method // J. Comput. Phys. - 1984. - №55. - pp. 461^184.

120. Tilgner A. Spectral methods for the simulation of incompressible flow in spherical shells // Int. J. Num. Meth. Fluids. - 1999. - №30. - pp. 713-724.

121. R. Hollerbach. A spectral solution of the magnet-convection equations in spherical geometry // Int. J. Numer. Meth. Fluids. - 2000. - №32. - pp. 773-797.

122. Решетняк М.Ю. Псевдоспектральный метод в моделях тепловой конвекции во вращающейся сферической оболочке для параллельных компьютеров. Вычислительные методы и программирование // Новые вычислительные технологии. - 2011. - №12. - С. 77-84.

123. Dormy Е., Cardin Р., Jault D. MHD flow in a slightly differentially rotating spherical shell, with conducting inner core, in a dipolar magnetic field // Earth Planet. Sei. Lett. - 1998. -№160. - pp. 15-30.

124. Orszag S.A. Numerical simulation of incompressible flows within simple boundaries: accuracy // J.Fluid Mech. - 1971. - №49. - pp. 75-112.

125. Kageyama A., Sato T. Generation mechanism of a dipole field by a magnetohydrodynamic dynamo // Phys. Rev. E. - 1997. - №55. - pp. 4617-26.

126. Kageyama A. and Sato T. "Yin-Yang grid": An overset grid in spherical geometry // Geochem. Geophys. Geosyst. - 2004. - №5.

127. Yoshida, M. and Kageyama, A. Application of the Yin-Yang grid to a thermal convection of a Boussinesq fluid with infinite Prandtl number in a three-dimensional spherical shell // Geophysical Research Letters. - 2004. - 31(12).

128. Kageyama A., Kameyama M., Fujihara S., Yoshida M., Hyodo M., Tsuda Y. A 15.2 TFlops Simulation of Geodynamo on the Earth Simulator // SC, IEEE Computer Society. - 2004. - p. 35.

129. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости / М.: Энергоатомиздат, 1984. - 152 с.

130. Dumas G. Study of spherical Couette flow via 3-D spectral simulation: large and narrow-gap flows and their transitions. Ph.D. Thesis / California Institute of Technology. - Pasadena, California, 1991. - 217 p.

131. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа: Учеб. для вузов. / 7-е изд., испр. - М.: Дрофа, 2003. - 840 е., 311 ил., 22 табл. - (Классики отечественной науки).

132. Yin S.H., Powe R.E, Scanlan J.A., Bishop E.H. Natural Convection Flow Patterns In Spherical Annuli // Int. J. Heat Mass Transfer. - 1973. - Vol. 16. - pp. 17851795.

133. Bishop E.H., Mack L.R., Scanlan J.A. Heat Transfer By Natural Convection Between Concentric Spheres // Int. J. Heat Mass Transfer. - 1966. - Vol. 9.

- pp. 649-662.

134. Beltrame P., Travnikov V., Gellert M., Egbers C. GEOFLOW: simulation of convection in a spherical shell under central force field // Nonlin. Processes Geophys.

- 2006 - №13. - pp. 413-423.

135. Гершуни Г. 3., Жуховицкий E. M. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости / М.: Наука, 1972. - С.393.

136. Сорохтин О.Г., Ушаков С.А. Развитие Земли: Учебник. / Под ред. академика РАН В.А. Садовничего. - М.: Изд-во МГУ, 2002. - 560 е.: ил.

137. Жаров В.Е. Сферическая астрономия / Фрязино: Век-2, 2006. - 480 с.

138. Решетняк М.Ю. Вращение внутреннего ядра Земли в модели геодинамо // Доклады академии наук. - 2001. - Т. 380. № 5. - С. 685.

139. Reshetnyak М., Steffen В. The subgrid problem of thermal convection in the Earth's liquid core // Numerical Method and Programming. - 2004. - V. 5. - P. 41.