Множества неединственности и их устойчивость в весовых алгебрах голоморфных функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Чередникова, Любовь Юрьевна

• Чередникова, Любовь Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чередникова, Любовь Юрьевна

1 Введение

1.1 Вспомогательные понятия, соглашения и обсуждения.

1.2 Формулировки основных результатов для круга.

1.3 Иллюстрации основных результатов для ограниченной области Г2.

2 Доказательство теоремы неединственности 1.1 для круга

2.1 Применение мер и функций Йенсена.

2.2 Лемма сравнения

2.3 Доказательство теоремы неединственности 1.

3 Меры и функции Йенсена и "гашение" роста субгармонической функции

4 Вспомогательные понятия и результаты

4.1 Энтропия линейной связности.

4.2 Элементарные оценки с расстоянием Харнака.

4.3 Гармоническая мера, функция Грина, выметание и оценки интегралов.

4.4 Звезды подмножеств и выметание.

4.5 Вспомогательные оценки интегралов через расщепление мер.

5 Подготовительная теорема для алгебр

6 Снова об энтропии линейной связности

6.1 Энтропия линейной связности и семейства подмножеств.

6.2 Энтропия линейной связности, вздутия и звезды подмножеств.

6.3 Энтропия линейной связности, диаметр и сегментальная оболочка подмножества

6.4 Энтропия линейной связности и системы положительных весов

7 Теоремы неединственности и устойчивости для ограниченных областей

7.1 Теорема неединственности для алгебр, задаваемых положительными весами.

7.2 Теоремы устойчивости для последовательностей неединственности

7.3 Теоремы неединственности и устойчивости для классов функций в круге с радиальной системой весов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Множества неединственности и их устойчивость в весовых алгебрах голоморфных функций»

Классический результат Р. Неванлинны о законченном описании множества нулей для алгебры Н°° ограниченных голоморфных функций в единичном круге Ю) = € С: < 1} комплексной плоскости С и аналогичные результаты для классов Неванлинны и Неванлинны-Джрбашяна породили широкий круг подобных исследований для самых различных типов весовых алгебр или пространств голоморфных в О функций. Не претендуя даже на минимально достаточный охват библиографии по этой очень обширной и богатой результатами тематике, сошлемся здесь лишь на обзоры С. В. Шведенко [1], А. Б. Александрова [2], X. Хеден-мальма [3], П. Колвела [4] и на наиболее близкие нам по типу рассматриваемых алгебр и пространств монографию А. Джрбашяна и Ф. А. Ша-мояна [5] и результаты законченного характера Ф. А. Шамояна [6], [7], существенно развившего исследования М. М. Джрбашяна, и Ч. Горови-ца [8] (алгебры функций умеренного "степенного" и быстрого роста), а также на работы Б. Коренблюма [9], Е. Беллера и Ч. Горовица [10], [11], К. Сейпа [13], [12], X. Бруны и X. Массанеды [14], Д. Льюкинга [15] (алгебры и пространства функций медленного "логарифмического" роста). Введения и списки литературы в этих работах могут дать представление о состоянии тематики до недавнего времени.

Наше исследование сконцентрировано на выявлении условий, при которых последовательность точек в единичном круге О или в ограниченной области О, С С является подмножеством (подпоследовательностью) нулей для заданной алгебры голоморфных функций в Р или в Ц выделяемой ограничением на рост вблизи границы этой области через поточечные оценки посредством системы субгармонических мажорант.

Всюду положительность числа, функции, меры и т. п. понимаем как ^ 0; аналогичное соглашение ^ 0 предлагается и для отрицательности. Если функция или отображение / на множестве А тождественно равна некоторому значению Ъ, то пишем "/ = Ь на А"; в противном случае — "/ ф Ь на А".

Последовательности точек А = {Ап} на П всегда предполагаются не имеющими предельных точек в если не оговорено противное. Кроме того, к последовательностям точек А нам будет удобно добавлять также условную "последовательность", состоящую из всех точек области О, повторяющихся счетное число раз. Последнее обстоятельство связано с тем, что такую условную "последовательность" удобно и естественно рассматривать как в точности нулевое множество голоморфной функции, тождественно равной нулю на ft. Для такой условной "последовательности" пишем Л = +оо.

Пусть / — голоморфная в области ft функция.

Последовательность нулей Zero/ функции f ф О определяется как последовательность, в которой каждая точка Л 6 ft повторяется рев-но столько раз, какова кратность нуля функции / в этой точке Л; если / = 0, то Zero/ — это та самая условная "последовательность" = +ос на ft. По одной из классических теорем Вейерштрасса для каждого последовательности Л в ft существует голоморфная в ft функция /д с последовательностью нулей Zero/A = Л.

Последовательность ЛвП называем подпоследовательностью нулей функции / (в записи /(А) = 0), если последовательность Zero/ включает в себя последовательность А с учетом кратности, т. е. число повторений каждой точки А 6 ft в Zero/ не меньше числа повторений той же точки Л в последовательности Л.

Пусть Я — некоторый класс голоморфных функций в Q, а Л - последовательность в ft. Если существует функция / 6 Я, для которой Zero/ = Л, то Л — последовательность нулей для Я. Если существует функция / ф 0 из Я, для которой А — подпоследовательность нулей для /, то Л — подпоследовательность нулей для Я.

Каждая последовательность нулей Л ф +оо для Н является подпоследовательностью нулей для Н. Обратное весьма часто оказывется неверным (см., к примеру работы Ф. А. Шамояна [6], [7]).

Последовательность Л = +оо не является подпоследовательностью нулей ни для какого класса голоморфных функций.

Если класс Я — линейное пространство над С или над полем вещественных чисел R, то подпоследовательность нулей для Я называем также последовательностью неединственности для Я, а в противном случае Л — последовательность единственности для Н.

Через Я(Г2) обозначаем линейное пространство над полем С всех голоморфных в области ft С С функций /.

Через SH(£l) обозначаем класс всех субгармонических функций в области Q С С, включая в него и функцию и = —оо на il; SH+(Q) — подкласс всех положительных функций из SH(Q).

Пусть CP — семейство функций из SH(Q), не содержащее функцию = —оо, которое далее называем системой весов на П, а функции из У — весовыми, или весами.

Рассматривается следующий тип весовых алгебр. Если система весов У на Q обладает свойством

А) для любых pi £ У и р2 6 CP и для любых постоянных с\,с2 > О найдутся функция рз € У и постоянные С\,Со > 0 такие, что max{cipi(z),c2p2{z)} ^ Cxp3(z) + C2, z € fl, (1.1) то класс голоморфных в функций /, удовлетворяющих оценке log 1/(3)1^^/(3) + ^, :efi, (1.2) где А/ n Bf — строго положительные постоянные, а Р/ — некоторая функция из З5, образует алгебру, которую обозначаем далее через Лу(Г2).

Действительно, если /, g G Ад>(Г2), т.е. вместе с (1.2) справедлива оценка bg|<?(2)K AgPg(z) + Bg, где постоянные Ag,Bg > 0, то по условию (А), примененному к функциям pi = pf и р2 = рд и постоянным Ci = Af и с-2 = Ад, получаем оценки log |/ + д\ < log(|/| + Iff I) ^ max {log |/|, log \д\} + log 2 < тах{А/р/ + Bf, Адрд + Вд) + log2 ^ таx{Afpf, Адрд} + max{Bf, Вд} + log 2 ^ Cip + С2 для некоторого веса р € О5 и постоянных Ci,C2 > 0, т.е. класс Ау(Г2) замкнут относительно сложения.

Очевидно, а/ G для любого а € С, т. е. класс Л?(Г2) замкнут относительно умножения на комплексные числа. Наконец, при условии (А) log|/p| ^ 2max{log|/|,log|ff|} ^ 2 max{Afpf + Bf,Agpg + Вд} 2 таx{AfPf,Agpg} + 2 таx{Bf,Bg} ^ Cip + С2 для некоторой функции р € У и постоянных Ci,C2 > О, т.е. класс Ау замкнут и относительно умножения.

Отметим, что если все функции из класса О5 положительны, то выполнение условия (А) достаточно проверить при ci = с2 = 1.

Если р € БН+(П) и система весов СР имеет специальный вид ср: с е К, 0 < с < +оо}, (1.3) > то условие (А) выполнено автоматически и алгебру обозначаем как

В настоящей диссертации даются достаточные условия, при которых последовательность А из является подпоследовательностью нулей именно для классов (алгебр) вида Лу(Г2) или, менее общо, в случаях, когда О. = Ю> — единичный круг или О — ограниченная область. Для последнего случая результаты несколько менее общие, поскольку приходится учитывать уже геометрию самой области В частности, в отличие от случая круга, рассматриваются только положительные системы весов СР.

Во всех известных нам описаниях (под-)последовательностей нулей для различных весовых классов типа Ау(В) система весов СР предполагалась состоящей из положительных радиальных функций, т. е. зависящих только от \г\, г € О. Особо подчеркнем, что в наших исследованиях требования положительности и радиальности весов для круга снимаются.

Отметим также, что в ряде вопросов теории функции, к примеру в вопросах полноты, интерполяции, в задачах локального описания идеалов и подмодулей, в проблеме спектрального синтеза и др., как необходимое или достаточное условие часто фигурирует требование того, что заданная последовательность А — последовательность (не-)единственности для некоторого весового пространства. Нередко подпоследовательность нулей для класса функций не является последовательностью нулей для этого класса. Особенно велика вероятность этого, если весовой класс определяется нерадиальными по существу весами. Все это актуализирует, наряду с изучением последовательностей нулей, исследование и собственно подпоследовательностей нулей для весовых классов.

Основные результаты статьи новы уже для алгебр А£°(Ю>) даже только с радиальными весами достаточно общего вида и хорошо стыкуются с известными описаниями последовательностей нулей для таких алгебр с более или менее конкретным весом р. Сравнительный анализ последнего дан в заключительном подразделе 7.3.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чередникова, Любовь Юрьевна, 2005 год

1. Шведенко С. В. Классы Харди и связанные с ними пространства аналитических функций в круге, поликруге и шаре // Итоги науки и техники, серия матем. анализ. 1985. Т. 23. С. 3-124.

2. Александров А. Б. Теория функций в шаре // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. 1985. Т. 8. С. 115-190.

3. Hedenmalm Н. Recent Progress in the Function Theory of the Bergman Space // Holomorphic Spaces. MSRI Publ. Cambridge. 1998. V. 33. P. 35-50.

4. Colwell P. Blaschke Product. Bounded Analytic Functions // Ann Arbor. The University of Michigan Press. 1985.

5. Djrbashian A., Shamoyan F. A. Topics in the theory of APa spaces. Leipzig: Teubner-Texte, 1988.

6. Шамоян Ф. А. Факторизационная теорема M. M. Джрбашяна и характеристика нулей аналитических в круге функций с мажорантой конечного роста // Изв. АН Арм. ССР. Математика. 1978. Т. XIII. № 5-6. С. 405-422.

7. Шамоян Ф. А. О нулях аналитических в круге функций, растущих вблизи границы // Изв. АН Арм. ССР. Математика. 1983. Т. XVIII. № 1. С. 15-27.

8. Horowitz С. Zero sets and radial zero sets in function spaces // J. Analyse Math. 1995. V. 65. P. 145-159.

9. Korenblum B. An extension of the Nevanlinna theory // Acta Math. 1975. V. 135. P. 187-219.

10. Beller E. Factorization for non-Nevanlinna classes of analytic functions // Israel J. Math. 1977. V. 27. No. 3-4. P. 320-330.

11. Beller E., Horowitz C. Zero sets and random zero sets in certain function spaces // J. Analyse Math. 1994. V. 64. P. 203-217.

12. Seip К. On a theorem of Korenblum // Ark. Math. 1994. V. 32. P. 237243.

13. Seip K. On Koreriblum's density condition for the zero sequences of A~a //J. Analyse Math. 1995. V. 67. P. 307-322.

14. Bruna J., Massaneda X. Zero sets of holomorphic functions in the unit ball with slow growth //J. Analyse Math. 1995. V. 66. P. 217-252.

15. Luecking D. Zero sequences for Bergman spaces // Complex Variables. 1996. V. 30. P. 345-362.

16. Хабибуллип Б. H. Множества единственности в пространствах целых функций одной переменной // Изв. АН СССР. Серия матем. 1991. Т. 55. j\«5. С. 1101-1123.

17. Хабибуллин Б. Н. Теорема о наименьшей мажоранте и ее применения. I. Целые и мероморфные функции // Изв. РАН. Серия матем. 1993. Т. 57. № 1. С. 129-146.

18. Хабибуллин Б. Н. Неконструктивные доказательства теоремы Бер-линга-Мальявена о радиусе полноты и теоремы неединственности для целых функций // Изв. РАН. Серия матем. 1994. Т. 58. № 4. С. 125-148.

19. Koosis P. Leçons sur le théorème de Beurling et Malliavin. Montréal: Les Publications CRM, 1996.

20. Khabibullin B. N. Dual approach to certain questions for the weighted spaces of holomorphic functions // Israel Math. Conference Proceedings ("Entire Functions in Modern Analysis", Tel-Aviv, 1997). 2001. V. 15. P. 207-219.

21. Хабибуллин Б. H. Двойственное представление суперлинейных функционалов и его применения в теории функций. II // Изв. РАН. Серия матем. 2001. Т. 65, № 5. С. 167-190.

22. Хабибуллин Б. Н. Полнота систем целых функций в пространствах голоморфных функций // Матем. заметки. 1999. Т. 66. № 4. С. 603616.

23. Хабибулгин Б. Н. Оценки объема нулевых множеств голоморфных функций // Изв. вузов. Математика. 1992. .\«3(358). С. 58-63.

24. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. М.: Мир, 1980.

25. Gamelin Т. W. Uniform Algebras and Jensen Measures. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1978.

26. Cole B. J., Ransford T. J. Subharmonicity without Upper Semicontinu-ity //J. Funct. Anal. 1997. V. 147. P. 420-442.

27. Cole B. J., Ransford T. J. Jensen measures and harmonic measures // J. reine und angew. Math. 2001. V. 541. P. 29-53.

28. Хабибуллин Б. H. Критерии (суб-)гармоничности и продолжение (суб-)гармонических функций // Сиб. матем. журн. 2003. Т. 44, № 4 . С. 905-925.

29. Епифанов О. В. О разрешимости неоднородного уравнения Коши-Римана в классах функций, ограниченных с весом и системой весов // Матем. заметки. 1992. Т. 51. № 1. С. 83-92.

30. Hormander L. Notions of Convexity. Boston: Birkhaser, 1994.

31. Ransford T. J. Potential Theory in the Complex Plane. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1995.

32. Гарнетт Дж. Ограниченные функции в круге. М: Мир, 1984.

33. Брело М. Основы классической теории потенциала. М.: Мир, 1964.

34. Брело М. О топологиях и границах в теории потенциала. М.: Мир, 1974.

35. Архангельский А. В., Пономарев В. И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. М.: Наука, 1974.

36. Наутап W. К. Subharmonic functions. V. II. London: Academic Press, 1989.

37. Азарин В. С. Об асимптотическом поведении субгармонических функций конечного порядка // Матем. сборник. 1979. Т. 108(150). JV® 2. С. 147-167.

38. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. М: Наука, 1985.

39. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. М.: Мир, 1986.

40. Хабибуллин Б. Н. Рост целых функций с заданными нулями и представление мероморфных функций // Матем. заметки. 2003. Т. 73. -№ 1. С. 120-134.

41. Blasco О., Кикигука А., Nowak М. Luecking's condition for zeros of analytic functions // 2003. Preprint, (available in INTERNET, http: //www.uv.es/~oblasco/Investigacion/CA/Nowak.pdf )

42. Чередникова Л. Ю. "Гашение" роста голоморфной функции // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Тезисы докладов. Часть I. Математика. 2001. С. 11.

43. Чередникова Л. Ю. О "гашении" роста субгармонических функций // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Сборник трудов. Т. I. Математика. 2001. С. 239-245.

44. Чередникова Л. Ю. Элементарные оценки с расстоянием Харнака // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Материалы конференции. Т. И. Математика. 2002. С. 87-90.

45. Чередникова Л. Ю. Относительный диаметр подмножества в области // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Труды конференции. Т. I. Математика. 2003. С. 152-162.

46. Чередникова Л. Ю. Последовательности неединственности для весовых алгебр голоморфных функций в единичном круге // Матем. заметки. 2005. Т. 77. Вып. 5. С. 775-787.