Распределение нулей голоморфных функций с ограничениями их роста в конечносвязных областях на плоскости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Меньшикова Энже Булатовна

• Меньшикова Энже Булатовна
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Меньшикова Энже Булатовна

3. Научная новизна

4. Теоретическая и практическая значимость

5. Методы исследования

6. Положения, выносимые на защиту

7. Степень достоверности и апробация результатов

8. Публикации

9. Личный вклад автора

10. Структура и объем диссертации

11. О содержании работы

Глава 1. Распределение нулей голоморфных функций

1.1. Основные результаты

1.2. Основные определения, понятия и соглашения

1.3. Склейки функций

1.4. Доказательства теорем о необходимых условиях

1.5. О существовании гармонической миноранты

1.6. Доказательства критериев и следствий

Глава 2. Интегральные формулы для мероморфных функций и

разностей субгармонических

2.1. Интегральная формула для области, симметричной относительно окружности

2.2. Интегральная формула для концентрического кольца

2.3. Интегральная формула для сектора кольца

2.4. Инверсная форма интегральной формулы Карлемана

2.5. Интегральная формула для сегмента круга

2.6. Инверсная форма интегральной формулы Б. Я. Левина

Глава 3. Применения интегральных формул

3.1. Одна формула с коэффициентами Фурье

3.2. Оценки для мер Рисса субгармонических функций

и теорема Рубела Тейлора

3.3. Неравенства для мер Рисса и распределений нулей,

а также одна теорема едиственности

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Распределение нулей голоморфных функций с ограничениями их роста в конечносвязных областях на плоскости»

Введение

1. Актуальность и история темы исследования

Основная рассматриваемая в диссертации задача — это описание распределения 7его/ всех нулей голоморфной функции / на области И комплексной плоскости С с ограничениями на рост сверху через функцию М вида |/(х)| ^ емв каждой точке ^ € или, в эквивалентной форме, после логарифмирования, 1п и| ^ М на И. Исходя из последней формы неравенства и субгармоничности функции 1п |/1, вообще говоря, в большинстве ситуаций можно ограничиться рассмотрением субгармонических функций-мажорант М. При таком подходе естественно искать такое описание в терминах некоторого мажорирования распределения нулей 7его/ мерой Рисса Лм = ^ △М субгармонической функции-мажоранты М ф —то, где А — оператор Лапласа, действующий в обобщённом смысле. Исторически первым вариантом такого результата для случая И = С может, по-видимому, считаться теорема Безу XVIII века, по которой многочлен степени не выше п имеет не более п корней. Здесь этот результат даётся в форме, адаптированной к более общей приведённой выше трактовке, а исторически такая формулировка возможна с XIX века в рамках развития теоремы Лиувилля о постоянстве ограниченной целой функции.

Теорема Безу - Лиувилля (ХУШ-Х1Х вв.). Пусть Z = (х^ ^=1,2,... С С — бесконечное или конечное распределение точек, п ^ 0 — число. Для существования целой функции, / ф 0 с распределение пулей Т.его/ = Z и ограничением и(х)| ^ (1 + |)п при всех х € С необходимо и достаточно, чтобы число точек в ^ ^^ ^^тышало п.

В теореме Безу-Лиувилля рассматривается как раз случай специальной

субгармонической на И = С функции М(х) ф п 1п(1 + |) с оператором

п

Лапласа, равным АМ(х) ф ----—г-т при ^ = 0, а число п оказывается

^|(1 + ^|)2

полной мерой Рисса Лм(C). Таким образом, завершающая часть теоремы Бе-зу^ Лиувилля означает, что число точек в Z не превышает полной меры Рисса субгармонической функции-мажоранты М.

Самый первый результат по описанию распределений нулей для голоморфных функций в произвольных областях D С C, но без каких-либо ограничений на рост функций, это классическая

Теорема Вейерштрасса — Миттаг^ Леффлера (XIX в., см., например, [11, гл. 7, п. 3.4]). Для существования голоморфной на D функции f ф 0 с распределением, нулей Zero/ = Z = (zj)j=1,2,... С D необходимо и достаточно, чтобы распределение точек Z = (zj)j=1,2,... не имело предельных точек в D.

В свете теоремы Вейерштрасса Миттаг-Лефлёра всюду в дальнейшем для распределений точек Z в области D, которые могу играть роль распределений нулей голоморфных функций в области D, целесообразно рассматривать только Z, не имеющие предельных точек в D, что всегда предполагается в дальнейшем. Конечно же, с изменением и произволом в выборе как мажоранты М, так и области D сложность вопроса значительно возрастает. Так, в случае, когда D = D := {z G C | |z| < 1} _ единичный круг, вехой в развитии исследования распределений нулей голоморфных функций является классический результат Р. Неванлинны начала XX в. о законченном описании множества нулей для функций из класса Нж ограниченных голоморфных функций в D.

Теорема Неванлинны (см. [12], [30]). Для существования голоморфной ограниченной на D функции f с распределением нулей Zero/ = Z = (zj)j=1,2,... С D необходимо и достаточно, чтобы была конечна сумма^2( 1 — |Zj|)7 или, в эк-

вивалентной форме, существовали числа С G R+ и r0 G (0,1)7 для, которых

Теорема Невалинны породила широкий круг подобных описаний распределений нулей Zero/ для голоморфных ф ункций f на единичном к руге D с ограничениями через более или менее специальные радиальные мажоранты M с M(z) = M(\z|) при г G D и более слабого вида, чем ln \f | ^ M, а именно:

ln \ fi z)\

limsup ,, < с, (2

i>N-p M(\z\) , W

где чаще всего рассматривался, вообще говоря, в некотором смысле более простой случай с = поскольку при таком с = произведение двух голоморфных функций, удовлетворяющих (2), тоже удовлетворяет (2). При этом рассматривались как поточечные оценки на \ /\, так и интегральные, например, в классах Невандинны Джрбашяна, пространствах Бергмана и иных весовых пространствах. Не претендуя даже на минимально достаточный охват библиографии по этой очень обширной и богатой результатами тематике, сошлемся здесь лишь на обзоры C.B. Шведенко [36], А. Б. Александрова [1], X. Хеден-мальма [54], П. Колвела [46], монографии А. Джрбашяна и Ф.А. Шамояна [47], X. Хеденмадьма, Б. Коренблюма и К. Жу [55]. Отдельно следует отметить результаты законченного характера Ф.А. Шамояна [34], [35] и многих его учеников, существенно развивших исследования М.М. Джрбашяна для случая с = к которым, в частности, примыкает и работа Ч. Горовица [ ] (алгебры функций умеренного «степенного» и быстрого роста). Определённые качественные шаги произошли в работах Б. Коренблюма [64], Е. Беллера и Ч. Горовица [41], [42], К. Сейпа [72] [73], X. Бруны и X. Массанеды [45], Д. Лыокинга [67], О. Бласко, А. Кукурики и М. Новак [43], Л.Ю. Чередниковой [33], Е. Г. Куда-шевой [7], в которых, начиная с К. Сейпа, рассматривались классы функций (алгебры и пространства функций медленного «логарифмического» роста) с

ем с = случае принципиально возникает уже потребность в бесконечном

M

ные с мерой Рисса Лм или неявно порождаемыми мерой Рисса Лм- Введения и списки литературы в перечисленных выше работах могут дать представление о состоянии тематики по исследованию распределений нулей голоморфных на D функций с радиальным ограничением на рост до недавнего времени. По существу нерадиальный случай для довольно общих областей D, на которых функция-мажоранта М, определяющая класс голоморфных функций, зависит исключительно от расстояния до некоторого фиксированного собственного подмножества Е границы dD7 рассматривался в связи с лишь необходимыми условиям,и на распределение нулей в работах С. Ю.Фаворова, Л. Голинского, Л. Д. Радченко, А. Боричева, С. Купина [44], [48], [49], [51], [53], [50], но эти необходимые условия очень далеки от достаточных даже в крайнем случае Е1 := dD. Для радиальной функции М(z) = М(\z|) на C, возрастающей на ради-

zGC

альных лучах, и класса целых функций f с ограничениями вида

ln \f (z)\ ^ CfM{cf\z\) при всех z G C, (3)

где с/ ^ 0 и Cf ^ 0 ^ какие-либо числа, свои для каждой функции /, окончательные результаты по описанию распределений нулей были получены совместно Л. А. Рубелом и Б. А. Тейлором методом рядов Фурье [70],[69], восходящим к исследованиям А.Н. Ахиезера [4, § 7] и получившим дальнейшее развитие в работах А. А. Кондратюка [6], К. Г. Малютина [10] и многих др.

Теорема Рубела - Тейлора ([ ], [ , § 7, теорема 2]). Пусть М — положительная возрастающая непрерывная функция, на положительной полуосиМ+ вещественной оси R. Для существования целой функции f с распределением, нулей Zero/ = Z = (zj)j=1,2,... С C, не содержащим нуля, и ограничением (3) необходимо и достаточно, чтобы существовало число С G R+, для, которого при всех 0 < г < R < и каждом k = 1, 2,... выполнены неравенства

£ ln R < СМ (CR) А £

0<\zj\ 3 \

1 ^ 1

к ха

r<\Zj

< С^ + сЩ^. (4)

В частном случае степенной функции М(г) = гр теорема Рубела-Тейлора

г€М+

сразу даёт классическую теорему Линдедёфа начала XX в. [9], [66], в которой

ственном к := р [ ], [ ], [ , § 7]. Дополнительные результаты по целым функциям с радиальной мажорантой можно найти в обзоре А. А. Гольдберга, Б. Я. Левина, И. В. Островского [4] и статье А. А. Кондратюка и Я. В. Васидь-кива [62]. Довольно тонким вопросам, связанным с ограничениями по типу целой функции при заданном распределении нулей, посвящены работы Б. Н. Ха-бибуддина [22], Г. Г. Брайчева и В. Б. Шерстюкова [2] с подробным обзором и библиографией, а также [3]. Для случая конкретной нерадиальной функции М(г) = 11т для класса целых функций, удовлетворяющих ограничению

г€С

1п |/()| ^ Cf 11т с какой-нибудь постоянной С/ ^ 0, отметим законченный

геС

критерий С. Ю. Фаворова по описанию распределений нулей в [14, теорема 2].

В статьях Б. Н. Хабибуллина [16], и его совместной с Ф. Б. Хабибуддиным и Л. Ю. Чередниковой работе [28] [29] упор сделан на рассмотрении лишь достаточных условий, при которых существует ненулевая голоморфная функция f в произвольных областях D с ограничениями ln |/| ^ М на D, обращающаяся в нуль на Z, т.е. исследовался случай, когда Z — это какая-нибудь часть распределения, всех нулей Zero/ функции f с учётом кратности. Из недавних

Z

— это часть Zerof, но, вообще говоря, Z = Zero/7 а область D с C достаточно произвольная, можно указать работы Б. Н. и Ф. Б. Хабибуддиных [25], [61]. При этом следует отметить, что случай Z = Zero/, который и рассматривается в данной диссертации, часто принципиально отличается от рассматривавшихся в этих работах требований лишь включения Z с Zero/.

2. Цели и задачи диссертационной работы

• Для широкого класса областей И в комплексной плоскости установить необходимые и/пли достаточные условия, вплоть до критерия в случае конечносвязных на распределение корней голоморфных функций / с самыми жёсткими ограничениями сверху вида1п |/1 ^ Мв области.

• Для произвольного распределения точек Z на комплексной плоскости и для широкого класса субгармонических функций М на С получить критерий существования ненулевой целой функции / с распределением корней в точности ^удовлетворяющей неравенству |/1 ^ ем на С.

• Получить новые интегральные формулы для голоморфных и мероморф-ных, в также субгармонических функций и их разностей в специальных областях, связывающие соответственно распределения нулей и полюсов, а также меры и заряды Рисса с интегралами от этих функций, не содержащими каких-либо производных от этих функций .

• Проиллюстрировать полученные интегральные формулы новыми формулами для коэффициентов Фурье ^-субгармонических и мероморфных функций, оценками и неравенствами для мер Рисса субгармонических функций при ограничениях сверху на эти функции с выходом на теоремы единственности для целых функций с субгармонической мажорантой конечного типа при заданном порядке роста.

3. Научная новизна

Все основные научные результаты, сформулированные в диссертации как нумерованные теоремы, новые и либо существенно развивают и обобщают предшествующие достижения иных авторов, либо не имеют явно выраженных аналогов. Последнее прежде всего касается критериев распределения всех нулей

голоморфных в области функций с заданной произвольной субгармонической непрерывной мажорантой в этой области.

4. Теоретическая и практическая значимость

Работа носит теоретический характер, а результаты работы могут быть использованы в теориях аппроксимации, представления рядами экспонент, аналитического продолжения, в спектральной теории и при решении задач спектрального анализа-синтеза, при исследовании алгебраических структур, идеалов и подмодулей, в классах голоморфных функций, и проч.

5. Методы исследования

Для решения проблем описания распределения корней голоморфных и целых функций используется метод огибающей, или аффинного выметания, развитие которого начато в 2018-19 гг. В основе метода огибающей — теорема Хана - Банаха в некоторых её алгебраически-порядковых и топологических формах. Адаптированный в диссертации метод огибающей на огибающие относительно подпространства гармонических функций, позволяет использовать двойственности между выметанием мер и выметанием субгармонических функций для описания распределений масс субгармонических функций с заданными ограничениями на рост этих функций. После этого результаты о субгармонических функциях переносятся на голоморфные функции. Реализация описанной схемы требует привлечения значительного арсенала средств функционального анализа и теории потенциала.

6. Положения, выносимые на защиту

1. Критерий распределения всех нулей голоморфных функций с заданной субгармонической мажорантой для их логарифма модуля в случае про-

и

извольной односвязной, а также любой конечносвязной области с внешней точкой в терминах специальных тестовых субгармонических функций, стремящихся к нулю при приближении к границе области.

2. Критерий распределения всех нулей целых функций с заданной субгармонической мажорантой для их логарифма модуля в терминах специальных тестовых субгармонических знакопеременных функций, полученных как инверсии логарифмических потенциалов, обращающихся в нуль в начале координат.

3. Новые интегральные формулы типа Т. Карлемана и Б. Я. Левина для мероморфных функций и разностей субгармонических функций, связывающие между собой некоторые интегралы от функций с распределениями соответственно нулей и полюсов и зарядов Рисса. Отличительная особенность этих новых формул - это то, что в отношении функций в них участвуют только интегралы от функций без каких-либо производных по нормали или иных производных, значений функций в точках и проч.

4. Возможности интегральных формул в случае концентрического кольца проиллюстрированы новыми формулами для коэффициентов Фурье £-субгарм< и мероморфных функций, оценками для мер Рисса субгармонических функций и новым доказательством необходимости в классической теореме Ру-бела Тейлора, а также новыми общими неравенствами для мер Рисса и соответствующей им новой теоремой единственности для целых функций

с субгармонической мажорантой конечного типа при порядке р па С.

7. Степень достоверности и апробация результатов

Исходные версии основных результатов работы докладывались автором и обсуждались на заседаниях постоянно действующего кафедрального семинара «Примеры и контрпримеры в алгебре, анализе и геометрии» кафедры высшей

алгебры и геометрии факультета математики и информационных технологий Башкирского государственного университета под руководством профессора, заведующего этой кафедрой в то время Б. Н. Хабибуллина. Результаты диссертации были представлены в ходе выступлений на следующих конференциях, библиографические ссылки на тезисы докладов на которых приведены в пунктах [III]—[1115] списка литературы в конце диссертации:

• Международная научная конференция «Комплексный анализ, математическая физика и нелинейные уравнения» (Башкортостан, оз. Банное-Якты-Куль, март 2022)

• Всероссийская молодежная школ а-конференция «Современные физика, математика, цифровые и нанотехнологии в науке и образовании (ФМЦН-22)» (Уфа, Б ГПУ, апрель 2022)

• Международная научная конференция «Уфимская осенняя математическая школа-2021» (Уфа, октябрь 2021)

• Международная научная конференция «Комплексный анализ, математическая физика и нелинейные уравнения» (Башкортостан, оз. Банное-Якты-Куль, март 2021)

• Международный молодежный научный форум «ЛОМОНОСОВ-2021» (Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, апрель 2021)

• Международной конференции по алгебре, анализу и геометрии (Казань, август 2021)

• Международная научная конференция «Уфимская осенняя математическая школа-2020» (Уфа, ноябрь 2020)

• Международный молодежный научный форум «ЛОМОНОСОВ-2020» (Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, ноябрь 2020)

• Международная научная конференция «Комплексный анализ, математическая физика и нелинейные уравнения» (Башкортостан, оз. Банное-Якты-Куль, март 2019)

• Международная научная конференция «Уфимская осенняя математическая школа» (Уфа, октябрь 2019)

• Международная конференция по геометрическому анализу в честь 90-летия академика Ю.Г. Решетняка (Новосибирск, сентябрь 2019)

• XIV Казанская международная школа-конференция (сентябрь 2019)

8. Публикации

Все основные результаты диссертации вместе с развёрнутыми доказательствами содержатся в 5 статьях [1.1]-[1.5] из рецензируемых журналов, входящих в список ВАК РФ или приравненных к ним изданиям, индексируемым в базах данных Web of Science и Scopus. Кроме того, значительная часть результатов анонсировалась или излагалась в тезисах [II. 1], [II.2], [II.4], [II.5], [II.7]-[II.ll] или материалах [II.3], [II.6], [11.12], [11.13] международных и всероссийских конференций и школ.

9. Личный вклад автора

Основные научные результаты, вошедшие в диссертацию, включая и те, которые опубликованы в соавторстве, получены автором лично и самостоятельно. Часть результатов опубликована в совместных с научным руководителем Б.Н. Хабибуллиным статьях, из которых в диссертацию включены лишь те, которые принадлежат автору настоящей диссертации, хотя собственно постановки основных проблем, решаемых в этих статьях, как правило, принадлежат научному руководителю.

10. Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации составляет 100 страниц. Библиография включает 91 наименование, из которых 18 по публикациям с участием диссертанта и по теме диссертации, а 73 по работам иных авторов.

11. О содержании работы

Во введении дан сжатый обзор история тематики, обоснована актуальность диссертационной темы, поставлены основные цели и задачи диссертации, обоснованы научная новизна и значимость работы, описана методология и сформулированы выносимые на защиту положения, описана структура диссертации.

В первой главе диссертации излагаются и доказываются основные результаты о распределении нулей голоморфных и целых функций с заданными ограничениями на рост посредством субгармонической функции-мажоранты. Полные формулировки основных результатов этой главы сконцентрированы в начальном разделе 1.1.2 главы 1 в виде теорем 1.1.1 (необходимые условия для произвольных областей И С С), (критерий для конечносвязных областей

И = С) и (критерий для И = С), а также следствий (распространение теоремы Неванлинны на конечносвязные области И = С) и (случай мажоранты, определённой лишь вблизи границы дИ). Доказательства их вместе со вспомогательными сведениями даются в последующих разделах этой главы через более общие варианты этих теорем для произвольных субгармонических функций и ^ М на И — теоремы и

Во второй главе сначала во введении к ней конкретизируются предшествующие результаты по интегральным формулам типа Т. Кардемана и Б. Я. Левина для голоморфных и субгармонических функций. Новые наши интегральные формулы, которые все выводятся из основной общей формулы, сформули-

рованной в разделе 2.1 как теорема 2.1.1, рассредоточены по нескольким разделам главы 2. Эти разнообразные интегральные формулы связывают интегралы от мероморфных функций или, более общо, разностей субгармонических функций с одной стороны с соответственно распределением их нулей и полюсов или распределением зарядов Рисса с другой. При этом все они новые даже для простейших областей И С Сив случае целых функций.

Так, в разделе 2.2 в теореме 2.2.1 приводится новая интегральная формула для концентрических колец. Новая общая интегральная формула для сектора кольца приведена в разделе 2.3 как теорема 2.3.1. Из нее в разделе 2.4 выводится теорема 2.4.1 новая инверсная форма интегральной формулы Карлемана без производных от 1п |/1 в субгармоническом обрамлении. В подразделе предпоследнего раздела 2.5 второй главы доказывается теорема 2.5.1, дающая новую общую интегральную формулу для сегмента круга. Из неё в разделе 2.6 выводится новая инверсная форма интегральной формулы Б. Я. Левина также без производных от 1п |/1.

В третьей главе в разделе 3.1 на основе интегральной формулы для концентрического кольца в теореме 3.1.1 представлена новая формула для коэффициентов Фурье на окружностях для субгармонических функций. Это позволяет в разделе 3.2 в теореме 3.2.1 установить новые интегральные оценки на меру Рисса субгармонической функции через нулевые коэффициенты Фурье на окружностях. Версия этой теоремы для целых функций даёт возможность там же легко и быстро доказать теорему Рубела Тейлора в наиболее сложной части необходимости (4). Наконец, теорема 3.3.1 раздела 3.3 даёт общие неравенства для зарядов Рисса отрицательных ^-субгармонических функций в симметричных относительно окружности областях через единственный интеграл по по дуге окружности. Посредством следствия 3.3.2 теоремы 3.3.1 для целых функций это позволило в конце раздела 3.3 получить новую теорему единственности

в терминах считающей функции распределения нулей целой функции / конечного типа при порядке р с заданной мажорантой М ^ 1п |/1 на С.

16

Глава 1

Распределение нулей голоморфных функций

1.1. Основные результаты

1.1.1. Необходимые условия для голоморфных функций

Всюду И — непустая область в С. Говорим, что некоторое свойство функции выполнено вблизи, границы дБ области И, если существует такой компакт К С И, что эта функция определена и обладает таким свойством па И \ К.

Теорема 1.1.1 (необходимые условия). Пусть М ф —то — субгармоническая функция на непустой области И С С с мерой Рисса Ам, а голоморфная на И функция / ф 0 с конечным или, бесконечным распределением, пулей

г = (zj),=1д.., ^ ед (1.1)

перенумерованным с учётом кратности, удовлетворяет неравенствам

|/( г)\ < е м(г) для всех г € И. (1.2)

Тогда, для каждых области И0 с замыканием, содержащимся в И, и непустого связного компакта К С И0 для любого равномерно ограниченного сверху на И \ К и равномерно ограниченного снизу наО0 \ К класса V субгармонических на И \ К функций, положительных вблизи, дИ и стремящихся к нулю при, приближении к границе дИ, найдётся число С € К, для которого

^ у(^) ^ У уй Ам + С (1.3)

при любых функциях V € V\ где через ^ Э V со стрелкой вверх обозначен класс всех функций, V: И \ К ^ получаемых как поточечные пределы возрастающих последовательностей функций, из V.

1.1.2. Критерии

В обратном направлении при некоторых условиях на И и М имеет место

Теорема 1.1.2 (критерий). Пусть М — субгармоническая непрерывная функция на непустой области И С С, Z — распределение точек из ( ) без предельных точек в О. Если область И = С конечносвязная с внешней точкой или же односвязная, то следующие три утверждения эквивалентны,:

[21] Существует голоморфная на И функция / с распределением, нулей Z, удовлетворяющая неравенству ( ) на Б, т.е. 1п |/1 ^ М на И.

[22] Для каждых области О0 С Б с замыканием, содержащимся в И, и непустого связного компакта К С Б0 для любого класса функций V, определённого в теореме , найдётся число С € К7 для, которого неравенство ( ) выполнено для всех функций V € .

[23] Существуют область В0, замыкание которой содержится в И, связный компакт К С О0 с непустой внутренностью, а также строго отрицательное число Ь- < 0 и число С € К7 для, которых неравенство ( ) вы,полнено для, всех субгармонических бесконечно дифференцируемых па И \ К функций V, тождественно равных нулю вблизи границы дБ, и при этом не больших, чем 1, на И \ К и не меньших, чем Ь-} на О0 \ К.

Для областей И = С рассматриваемого в теореме-критерии вида в разделе 1.6 как пример применения этой теоремы-критерия доказывается

Следствие 1.1.3 (обобщение теоремы Неванлинны). Пусть И С С — конечно-

С

а % _ распределение точек из ( ) без предельных точек в И. Существование голоморфной ограниченной на И функции, / с распределением, нулей Z эквивалентно существованию связного компакта К с непустой внутренностью и

с замыканием, содержащимся в D, для, которого конечна сумма

Е G(Ъ) < (L4)

Zj gD\K

где G — точная верхняя грань всех субгармонических на, D \ К функций, не больших 1 на D \ К и обращающихся в нуль вблизи dD. Эта эквивалент-

G

исполъзоватъ расширенную функцию Грина g^ из ( ) для D с полюсом в точке о G int К из внутренности int К компакта К.

В случае единичного круга D = D и выборе нулевой точки о := 0 внутри замкнутого круга К :={ zG D | |z| ^ rö} С D радиус а rö G (0,1) имеем

g?W V ln+ ^:=max{ln^,о),

а неравенство ( ) с G := g° — это в точности неравенство ( ). Таким образом, следствие даёт классическую теорему Неванлинны в случае круга D.

Если число точек в Z конечно, то, очевидно, сумма из ( ) также конечна. Следовательно, по теоремам 1.1.3 и 1.1.2 удаление или добавление конечного числа точек к произволвному распределению точек Z не влияет на утверждения теорем 1.1.3 и 1.1.2. Наряду с этим часто при исследовании распределений нулей голоморфнвк функций f функция М и ограничение М ^ ln |/| предпо-

D

функция М ^ ln |/| задана лишв на D \ К0, где К0 cD некоторый компакт. Вообще говоря, такая субгармоническая функция М на D \ К0 может и не продолжатвся в К0 как субгармоническая функция на всём D, а теорема-критерий 1.1.3 становиться уже неприменимой в такой ситуации. Примером такой непродолжимой в К0 функции может служитв любая субгармоническая функция, обращающаяся в нулв вблизи границв1 dD, если хотя бы в одной точке из D \ К0 её значение в этой точке строго болвше нуля, посколвку по принципу максимума для субгармонических функций такая продолженная в К0 субгармоническая на D функция обязана быть ^ 0 всюду на D. Тем не менее, во

многих очень общих случаях удаётся распространить теорему 1.1.3 и на такие субгармонические и непрерывные функции М на D \ К0.

Следствие 1.1.4. Пусть К0 С D — компакт с внутренностъю int К, а функция М, непрерывная на D \ int К0 и субгармоническая на D \ К0, принимает постоянное значение т Е Ж на границе дК0, а также для, некоторого открытого подмножества О С D, содержащего К0 С О, вы,полнен,о неравенство

т < МнаО \ К0, т.е. inf М = т = М(z). (1.5)

0\К0 zedKo

Тогда эквивалентность утверждений [ZI] [Z3] теоремы 1.1.2 сохраняется, если в утверждении [Z ] от неравенства ln If | ^ М требовать выполнения только на, D \ К0, а в утверждениях [Z ]-[Z ] рассматривать такие же компакты К С D, но только включающие в себя К0 С К.

Случай субгармонических функций М и распределений точек Z в областях, отличных от рассматриваемых в теореме-критерии 1.1.2, пока не удаётся довести до формы критерия. В то же время для случая субгармонической функции М на D = С и распределения точек Z на С, т.е. целых функций f с ограничением ( ) и распределением нулей Z на С, будет доказана

Теорема 1.1.5 (критерий для D = С). Пусть М ф —ж — субгармоническая непрерывная функция, на С с мерой Рисса Am, a Z = (zj)j=i,2,... _ распределе-С

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Меньшикова Энже Булатовна, 2024 год

Список литературы

1. Александров, А. Б. Теория функций в шаре / А. Б. Александров // Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». - Т. 8. - 1985. - С. 115-190.

2. Брайчев, Г. Г. Точные оценки асимптотических характеристик роста целых функций с нулями на заданных множествах / Г. Г. Брайчев, В. Б. Шерп ю-ков // Фундаментальная и прикладная математика. - 2018. - Т. 22, № 1. -С. 51-97.

3. Брайчев, Г. Г. О наименьшем типе целой функции с заданной подпоследовательностью нулей / Г. Г. Брайчев, В. Б. Шерстюков // Уфимский математический журнал. - 2022. - Т. 14, № 3. - С. 17-22.

4. Гольдберг, А. А. Целые и мероморфные функции / А. А. Гольдберг, Б. Я. Левин, И. В. Островский // Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». - Т. 85. - М.: ВИНИТИ, 1991. - С. 5-186.

5. Гольдберг А. А. Распределение значений мероморфных функций / А. А. Гольдберг, И. В. Островский. М.: Наука, 1970.

6. Кондратюк, А. А. Метод рядов Фурье для целых и мероморфных функций вполне регулярного роста / А. А. Кондратюк // Матем. сб. - 1978. - Т. 106(148), № 3(7).- 386-408.

7. Кудашева, Е. Г. Распределение нулей голоморфных функций умеренного роста в единичном круге и представление в нем мероморфных функций / Е. Г. Кудашева, Б. Н. Хабибуллин // Матем. сб. - 2009. - Т. 200, № 9. -95-126.

8. Ландкоф, И. С. Основы современной теории потенциала / Н. С. Ландкоф. - М.: Наука, 1966.

9. Левин, Б. Я. Распределение корней целых функций / Б. Я. Левин М.: ГИТТЛ, 1956.

Л" 6. - С. 51-70.

11. Маркушевич, А. И. Теория аналитических функций Т. II / А. И. Марку-шевич. М.: Наука, 1968.

12. Неванлинна, Р. Однозначные аналитические функции / Р. Неванлинна. М. Л.: Гостехиздат, 1941.

13. Привалов, И. И. Субгармонические функции / И. И. Привалов. - М.-Л.: ОНТИ, 1937.

14. Фаворов, С. Ю. Множества нулей целых функций экспоненциального типа с дополнительными условиями на вещественной прямой / С. Ю. Фаворов // Алгебра и анализ - 2008. - Т. 20, № 1. - С. 138-145.

15. Хабибуллин, Б. Н. О малости роста на мнимой оси целых функций экспоненциального типа с заданными нулями / Б. Н. Хабибуллин // Матем. заметки. - 1988. Т. 43, № 5. - С. 644-650.

16. Хабибуллин, Б. Н. Множества единственности в пространствах целых функций одной переменной / Б. Н. Хабибуллин // Изв. АН СССР. Серия матем. - 1991. - Т. 55, № 5. - С. 1101-1123.

17. Хабибуллин, Б. Н. Теорема единственности для субгармонических функций конечного порядка / Б. Н. Хабибуллин // Матем. сб. - 1991. - 182, № 6. - С. 811-827.

18. Хабибуллин, Б. Н. Полнота систем целых функций в пространствах голоморфных функций / Б. Н. Хабибуллин // Матем. заметки. - 1999. - Т. 66, № 4. - С. 603-616.

19. Хабибуллин, Б. Н. Критерии (суб-)гармоничности и продолжение (суб-)гармонических функций / Б. Н. Хабибуллин // Сиб. матем. журн. - 2003. - Т. 44, № 4. - С. 905-925.

20. Хабибуллин, Б. Н. Нулевые подмножества, представление мероморфных функций и характеристики Неванлинны в круге / Б. Н. Хабибуллин //

Матем. сб. - 2006. - Т. 197, № 2. С. 117-136.

21. Хабибуллин, Б. И. Последовательности нулей голоморфных функций, представление мероморфных функций и гармонические миноранты / Б. Н. Хабибуллин // Матем. сб. - 2007. - Т. 198, № 2. - 121-160.

22. Хабибуллин, Б. И. Последовательности нулей голоморфных функций, представление мероморфных функций. II. Целые функции / Б. Н. Хабибуллин // Матем. сб. - 2009. - Т. 200, № 2. - С. 129-158.

23. Хабибуллин, Б. И. Полнота систем экспонент и множества единственности / Б. Н. Хабибуллин. - Уфа: РИЦ БашГУ, 2012.

24. Хабибуллин, Б. И. Огибающие в теории функций - Уфа: РИЦ БашГУ, 2021.

25. Хабибуллин, Б. И. К распределению нулевых множеств голоморфных функций. III. Теоремы обращения / Б. И. Хабибуллин, Ф. Б. Хабибуллин.

- 2019. Т. 53, № 2. - С. 42-58.

26. Хабибуллин, Б. И. К распределению нулевых множеств голоморфных функций / Б. Н. Хабибуллин, А. П. Розит // Функц. анализ и его прил. -2018. - Т. 52, № 1. С. 26-42.

27. Хабибуллин, Б. И. Порядковые версии теоремы Хини Бинихи и огибающие. II. Применения в теории функций / Б. Н. Хабибуллин, А. П. Розит, Э. Б. Хабибуллина // Комплексный анализ. Математическая физика. Итоги науки и техники. Серия «Современная математика и её приложения. Тематические обзоры». М. ВИНИТИ, 2019. - Т. 162. С. 93-135.

28. Хабибуллин, Б. И. Подпоследовательности нулей для классов голоморфных функций, их устойчивость и энтропия линейной связности. I / Б. И. Хабибуллин, Ф. Б. Хабибуллин, Л. Ю. Чередникова // Алгебра и анализ.

- 2008. - Т. 20, № 1. - С. 146-189.

29. Хабибуллин, Б. И. Подпоследовательности нулей для классов голоморфных функций, их устойчивость и энтропия линейной связности. II / Б. И. Хабибуллин, Ф. Б. Хабибуллин, Л. Ю. Чередникова // Алгебра и анализ.

- 2008. - Т. 20, № 1. - С. 190-236.

30. Хеймап, У. Мероморфные функции / У. Хейман. - М.: Мир, 1966.

31. Хейман, У. Субгармонические функции / У. Хейман, П. Кеннеди М.: Мир, 1980.

32. Хёрмандер, Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т. 1. Теория распределений и анализ Фурье / Л. Хёрмандер. М.: Мир, 1996.

33. Чередникова, Л. Ю. Последовательности неединственности для весовых алгебр голоморфных функций в единичном круге / Л. Ю. Чередникова // Матем. заметки. - 2005. - Т. 77, № 5. - С. 775-787.

34. Шамоян, Ф. А. Факторизационная теорема М. М. Джрбашяна и характеристика нулей аналитических в круге функций с мажорантой конечного роста / Ф. А. Шамоян // Изв. АН Арм. ССР. Математика. - 1978. -Т. XIII, № 5-6. - С. 405-422.

35. Шамоян, Ф. А. О нулях аналитических в круге функций, растущих вблизи границы / Ф. А. Шамоян // Изв. АН Арм. ССР. Математика. - 1983. -Т. XVIII. № 1. С. 15-27.

36. Шведенко, С. В. Классы Харди и связанные с ними пространства аналитических функций в круге, поликруге и шаре / С. В. Шведенко // Итоги науки и техники. Серия «Математический анализ». М.: ВИНИТИ. -1985. - Т. 23. С. 3-124.

37. Эванс, Л. К. Теория меры и тонкие свойства функции / Л. К. Эванс, К. Ф. Гариепи. - Новосибирск: Научная книга (ИДМИ), 2002.

38. Arsove, М. С. Functions representable as differences of subharmonic functions / M. G. Arsove // Trans. Amer. Math. Soc. 1953. - Vol. 75. - Pp. 327-365.

39. Arsove, M. G. Functions of potential type / M. G. Arsove // Trans. Amer. Math. Soc. - 1953. - Vol. 75. - Pp. 526-551.

40. Azarin, V. Growth Theory of Subharmonic Functions / V. Azarin. Basel-Boston-Berlin: Birkhauser, 2009.

41. Better, E. Factorization for non-Nevanlinna classes of analytic functions / E. Beller // Israel J. Math. - 1977. - Vol. 27, no. 3-4. - Pp. 320-330.

42. Better, E. Zero sets and random zero sets in certain function spaces / E. Beller, C. Horowitz // J. Analyse Math. - 1994. - Vol. 64. - Pp. 203-217.

43. Blasco, 0. Luecking's condition for zeros of analytic functions / O. Blasco, A. Kukuryka, M. Nowak // Annales Universitatis Mariae Curie-Sklodowska. Lublin - Polonia. - 2004. - Vol. LVIII. - Pp. 1-15.

44. Borichev, A. A Blaschke-type condition and its application to complex Jacobi matrices / A. Borichev, L. Golinskii, S. Kupin // Bull. London Math. Soc. -2009.-Vol. 41.-Pp. 117-123.

45. Bruna, J. Zero sets of holomorphic functions in the unit ball with slow growth / J. Bruna, X. Massaneda //J. Analyse Math. - 1995. - Vol. 66. - Pp. 217-252

46. Colwell, P. Blaschke Product. Bounded Analytic Functions / P. Colwell. - Ann Arbor: The University of Michigan Press, 1985.

47. Djrbashian, A. Topics in the theory of Apa spaces / A. Djrbashian, F. A. Shamoyan. - Leipzig: Teubner-Texte, 1988.

48. Favorov, S. A Blaschke-type condition for analytic and subharmonic functions and application to contraction operators / S. Favorov, L. Golinskii // Amer. Math. Soc. Transl. - 2009. - Vol. 226, no. 2. - Pp. 37-47.

49. Favorov, S. Blaschke-Type Conditions for Analytic and Subharmonic Functions in the Unit Disk. Local Analogs and Inverse Problems / S. Yu. Favorov, L. B. Golinskii // CMFT - Computational Methods and Function Theory. - 2012. -Vol. 12, no. 1. - Pp. 151-166.

50. Favorov, S. Blaschke-type conditions in unbounded domains, generalized convexity and applications in perturbation theory / S. Favorov, L. Golinskii // Rev. Matem. Iberoamericana. - 2015. - Vol. 31, no. 1. Pp. 1-32.

51. Favorov, S. Ju. On Analytic and Subharmonic Functions in Unit Disc Growing Near a Part of the Boundary / S. Ju. Favorov, L. D. Radchenko // Zh. Mat. Fix. Anal. Geom. - 2013. Vol. 9, no. 3. - Pp. 304-315.

52. Gamelin, T. W. Uniform Algebras and Jensen Measures / T. W. Gamelin. -Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1978.

53. Golinskii, S. A Blaschke-type condition for analytic functions on finitely connected domains. Applications to complex perturbations of a finite-band selfadjoint operator / S. Golinskii, S. Kupin // J. Math. Anal. Appl. - 2012. -Vol. 389, no. 2. - Pp. 705-712.

54. Hedenmalm, H. Recent Progress in the Function Theory of the Bergman Space / H. Hedenmalm // Holomorphic Spaces. Cambridge: Cambridge Acad. Press. _ 1998. _ Vol. 33. - Pp. 35-50.

55. Hedenmalm, H. Theory of Bergman Spaces / H. Hedenmalm, B. Korenblum, K. Zhu. - New York: Springer-Verlag, 2000.

56. Helms, L. L. Introduction to potential theory / L. L. Helms. - New York-London-Sydney-Toronto: Wiley Interscience, 1969.

57. Horowitz C. Zero sets and radial zero sets in function spaces / C. Horowitz // J. Analyse Math. - 1995. - Vol. 65. - Pp. 145-159.

58. Khabibullin, B. N. Poisson - Jensen formulas and balayage of measures / B. N. Khabibullin // Eurasian Math. J. - 2021. - Vol. 12, no. 4. - Pp. 53-73.

59. Khabibullin, B. N. Zeros of holomorphic functions in the unit disk and p-trigonometrically convex functions /B.N. Khabibullin, F. B. Khabibullin // Analysis and Math. Physics. - 2019. - Vol. 9, no. 3. - Pp. 1087-1098.

60. Khabibullin, B. N. Zeros of Holomorphic Functions in the Unit Ball and Subspherical Functions / Khabibullin B.N., Khabibullin F.B. // Lobachevskii Journal of Math. - 2019. - Vol. 40, no. 5. - Pp. 648-659.

61. Khabibullin, B. N. Necessary and sufficient conditions for zero subsets of holomorphic functions with upper constraints in planar domains // B. N. Khabibullin, F. B. Khabibullin // Lobachevskii J. Math. - 2021. - Vol. 42, no. 4. Pp. 800-810.

62. Kondratyuk, A. A. Growth majorants and quotient representations of meromorphic functions / A. A. Kondratyuk, Ya. V. Vasyl'kiv // CMFT -

Computational Methods and Function Theory. Vol. 1, no. 2. - Pp. 595-606.

63. Kondratyuk, A. A. Meromorphic functions in multiply connected domains / A. A. Kondratyuk, I. Laine. - Rep. Ser. - Vol. 10. - Joensuu-L'viv: Univ Joensuu Dept. Math, 2006.

64. Korenblum, B. An extension of the Nevanlinna theory / B. Korenblum // Acta Math. - 1975. - Vol. 135. - Pp. 187-219.

65. Kshanovskyy, I. P. An analog of Poisson - Jensen formula for annuli / I. P. Kshanovskyy // MameMamuuni Cmydiï (Matematychni Studii). - 2005. - Vol. 24, no. 2. - Pp. 147-158.

66. Levin, B. Ya. Lectures on entire functions / B. Ya. Levin. Transi. Math. Monographs, Vol. 150. - Providence RI: Amer. Math. Soc, 1996.

67. Luecking, D. Zero sequences for Bergman spaces / D. Luecking // Complex Variables. - 1996. - Vol. 30. - Pp. 345-362.

68. Ransford, Th. Potential Theory in the Complex Plane / Th. Ransford. Cambridge: Cambridge University Press, 1995.

69. Rubel, L. A. Entire and Meromorphic Functions / L. A. Rubel (with J. E. Colliander). — NY-Berlin-Heidelberg: Verlag, 1996.

70. Rubel, L. A. A Fourier series method for meromorfic and entire functions / L. A. Rubel, B. A. Taylor // Bull. Soc. Math. France. - 1968. - Vol. 96. - Pp. 53-96.

71. Seip, K. On a theorem of Korenblum / K. Seip // Ark. Math. - 1994. - Vol. 32. - Pp. 237-243.

72. Seip, K. On Korenblum's density condition for the zero sequences of A-a / K. Seip // J. Analyse Math. - 1995. - Vol. 67. - Pp. 307-322.

73. Seip, K. An extension of the Blaschke condition / K. Seip // J. London Math. Soc. - 1995. -Vol. 51. Pp. 545-558.

I. Публикации диссертанта в изданиях из перечня ВАК 1.1. Меньшикова, Э. Б. Интегральные формулы типа Карлемана и Б. Я. Ле-

вина для мероморфных и субгармонических функций / Э. Б. Меньшикова // Известия вузов. Математика. - 2022. - № 6. - С. 37-53.

1.2. Khabibullin, В. N. Preorders ои Subharmonic Functions and Measures with Applications to the Distribution of Zeros of Holomorphic Functions / B. N. Khabibullin, Menshikova E. B. // Lobachevskii Journal of Mathematics. -2022. - T. 43, № 3. - C. 587-611

1.3. Khabibullin, B. N. Balayage of Measures with respect to Polynomials and Logarithmic Kernels on the Complex Plane / B. N. Khabibullin, E. B. Menshikova // Lobachevskii Journal of Ma,them,a,tics. - 2021. - Vol. 42, no. 12.

- Pp. 2823-2833.

1.4. Меньшикова, Э. Б. Критерий последовательности корней голоморфной функции с ограничениями на ее рост / Э. Б. Меньшикова, Б. Н. Хабибул-лин // Известия вузов. Математика. - 2020. - № 5. - С. 55-61.

1.5. Меньшикова Э. Б. К распределению нулевых множеств голоморфных функций. II / Э. Б. Меньшикова, Б. Н. Хабибуллин // Функциональный анализ и его приложения. - 2019. - Т. 53, № 1. - С. 84-87.

II. Публикации диссертанта в иных изданиях

II. 1. Меньшикова, Э. Б. Одна интегральная формула для коэффициентов Фурье разности субгармонических функций на кольце / Э. Б. Меньшикова // «Комплексный анализ, математическая физика и нелинейные уравнения». Сборник материалов Международной научной конференции / Под ред. Р. Н. Гарифуллина. - Уфа: Научно-издательский центр «Аэтерна», 2022 - С. 50.

11.2. Меньшикова, Э. Б. Критерий «гашения» роста субгармонической функции / Э. Б. Меньшикова, Б. Н. Хабибуллин // Всероссийская молодежная школа-конференция «Современные физика, математика, цифровые и нано-технологии в науке и образовании (ФМЦН-22)» / Под ред. Л. И. Васильева

- Уфа: Изд-во БГПУ им. М. Акмуллы, 2022 - С. 18-19.

11.3. Меньшикова, Э. Б. Развитие интегральных формул Карлемана и Б.Я. Ле-

вина на основе инверсии / Э. Б. Меньшикова // Уфимская осенняя математическая школа - 2021. Материалы международной научной конференции / Под редакцией 3. Ю. Фазуллина. - Т. 1. - Уфа: Научно-издательский центр «Аэтерна», 2021. - С. 144-146.

11.4. Меньшикова Э. Б. Выметание мер относительно логарифмического и степенных ядер на комплексной плоскости / Э. Б. Меньшикова // «Комплексный анализ, математическая физика и нелинейные уравнения». Сборник тезисов Международной научной конференции / Под ред. Р. Н. Гарифул-лин. - Уфа: Научно-издательский центр «Аэтерна», 2021. - С. 54-55.

11.5. Меньшикова, Э. Б. Выметание мер относительно логарифмических ядер и полярные множества / Э. Б. Меньшикова // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2021». Секция «Математика и механика», подсекция «Вещественный, комплексный и функциональный анализ» / Под ред. И. А. Алешковского. - Т. 2. - Москва: МАКС Пресс, МГУ имени М.В. Ломоносова, 2021. - С. 1-2.

11.6. Меньшикова, Э. Б. Распределение корней целых функций с ограничениями на рост / Э. Б. Меньшикова // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Материалы Международной конференции по алгебре, анализу и геометрии - 2021 / Под ред. А.Н. Абызова. - Т. 60. - Казань: Изд-во Академии наук РТ, 2021. - С. 250-252.

11.7. Меньшикова, Э. Б. Ограничения на распределение меры Рисса субгармонической функции в области / Э. Б. Меньшикова // Международная научная конференция «Уфимская осенняя математическая школа-2020». Сборник тезисов / Под ред. З.Ю. Фазуллина. Т. 1. Уфа: Научно-издательский центр «Аэтерна», 2020. - С. 132-133.

11.8. Меньшикова, Э. Б. Нулевые множества голоморфных функций с ограничениями на их рост и их мера Хаусдорфа / Э. Б. Меньшикова // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНО-СОВ-2020». Секция «Математика и механика», подсекция «Вещественный,

комплексный и функциональный анализ» / Под ред. И.А. Алешковского. Т. 1. Москва: МАКС Пресс, МГУ имени М.В. Ломоносова, 2020. - С. 1.

11.9. Хабибуллин, Б. Н. О распределение нулей голоморфных функций / Б. Н. Хабибуллин, Э. Б. Меньшикова, Ф. Б. Хабибуллин // Международная научная конференция «Комплексный анализ, математическая физика и нелинейные уравнения». Сборник тезисов / Под ред. Р. Н. Гарифуллина. - Уфа: УФИЦ РАН, БашГУ, БГПУ, АН РБ, 2019. - - С. 79-80.

11.10. Меньшикова, Э. Б. Об ограничении роста субгармонических функций в области / Э. Б. Меньшикова, Б. Н. Хабибуллин // Международная научная конференция «Уфимская осенняя математическая школа». Сборник тезисов / Под ред. З.Ю. Фазуллина. — Уфа: РИЦ БашГУ, 2019. -С. 246-247.

11.11. Khabibullin, В. N. Envelopes in function spaces with respect to convex cones or sets / B. N. Khabibullin, E. B. Menshikova // International Conference on Geometric Analysis in honor of the 90th anniversary of academician Yu. G. Reshetnyak. Abstracts // Ed. S.G. Basalaev. - Novosibirsk: Publishing and printing center of NSU, 2019. - Pp. 75-77.

11.12. Khabibullin, B. N. Affine balayage of measures with applications to holomorphic functions / B. N. Khabibullin, E. B. Menshikova // Теория функций, её приложения и смежные вопросы. Материалы XIV международной Казанской научной школы-конференции / Под ред. С. Р. Насырова. - Т. 57. Казань: Изд-во Казанского математического общества, 2019. - С. 349-353.

11.13. Меньшикова, Э. Б. Критерий последовательностей нулей голоморфных функций с ограничением на рост / Э. Б. Меньшикова, Б. Н. Хабибуллин // Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук. Материалы Национальной очно-заочной научно-практической конференции / Под ред. В. П. Захарова. - Т. 1. - С. 65-67.