Подпоследовательности и последовательности нулей для весовых пространств голоморфных функций и их устойчивость тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Хабибуллин, Фархат Булатович

• Хабибуллин, Фархат Булатович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Хабибуллин, Фархат Булатович

Содержание

1 Введение ^

1.1 Основные определения, понятия ¿'соглашения

1.2 Предшествующие результаты

1.3 Иллюстрации основных результатов диссертации

2 Подготовительные теоремы

2.1 Вспомогательные определения и утверждения

2.2 Подготовительные теоремы

для пространств голоморфных функций

3 Теоремы о подпоследовательностях нулей и их устойчивости

3.1 Некоторые свойства диаметра подмножества

в области на плоскости

3.2 Теорема о подпоследовательностях нулей

для пространств Щ (£1)

3.3 Теорема о подпоследовательностях нулей

для пространств Нр+\0% (О)

3.4 Теорема неединственности для классов НР+§(П)

3.5 Теоремы устойчивости

для подпоследовательностей нулей

и последовательностей неединственности

4 Последовательности нулей голомофных функций в весовых пространстве«

в единичном круге

4.1 Нерадиальная теорема о последовательностях

нулей для алгебр А^ и ее следствия

4.2 Нерадиальная теорема о последовательностях нулей для весовых пространств

4.3 Нерадиальная теорема о последовательностях нулей для пространств типа Нр+[0ё и следствие

4.4 Нерадиальная теорема об устойчивости (под)последовательностей нулей

для весовых алгебр

4.5 Нерадиальные теоремы устойчивости (под) последовательностей нулей

для весовых подпространств

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Подпоследовательности и последовательности нулей для весовых пространств голоморфных функций и их устойчивость»

1 Введение

Классический результат Р. Неванлинны о законченном описании множества нулей для алгебры Н°° ограниченных голоморфных функций в единичном круге Ю> = {z G С: \z\ < 1} комплексной плоскости С (см. [1], [2]) и аналогичные результаты для классов Неванлинны-Джрбашяна породили широкий круг подобных исследований для самых различных типов весовых алгебр или пространств голоморфных функций. Не претендуя даже на минимально достаточный охват библиографии по этой очень обширной и богатой результатами тематике, сошлемся здесь лишь на обзоры C.B. Шведенко [3], A.B. Александрова [4], X. Хеденмальма [5], П. Колвела [б], монографии А. Джрбашяна и Ф.А. Шамояна [7], X. Хеденмальма, Б. Коренблюма и К. Жу [8], результаты законченного характера Ф.А. Шамояна [9], [10], существенно развившего исследования M. М. Джрбашяна, и Ч. Горовица [11] (алгебры функций умеренного «степенного» и быстрого роста), а также на работы Б. Коренблюма [12], Е. Беллера и Ч. Горовица [13], [14], К. Сейпа [16]-[17], X. Бруны и X. Массанеды [18], Д. Льюкинга [19], О. Бласко, А. Кукурики и М. Новак [20] (алгебры и пространства функций медленного «логарифмического» роста). Введения и списки литературы в этих работах могут дать представление о состоянии тематики до недавнего времени.

Наше исследование сконцентрировано на выявлении условий, при которых последовательность точек Л := {Хк}шь N — множество натуральных чисел, в области QcC или в D является подпоследовательностью нулей или точной последовательностью нулей для некоторой ненулевой функции в fi или в Ю> из весового пространства H голоморфных функций, выделяемого ограничением на рост этих функций вблизи границы этой области (круга) через поточечные оценки посредством системы субгармонических мажорант. Значительные продвижения для случая, когда Я — алгебра, т. е. содержит в себе произведение любых функций из Н, в исследовании подобных условий для подпоследовательностей нулей принадлежат Л.Ю. Чередниковой [21]—[23]. Изучение точных последовательностей нулей для весовых пространств в единичном круге при условии умеренного роста функций вблизи единичной окружности было проведено Е. Г. Кудашевой в [24]—[26]. Важная отличительная особенность наших исследований в том, что рассматриваются и весовые пространства Н, которые не являются алгебрами, т. е. гораздо более «жесткие», нежели у Л.Ю. Чередниковой, а Ü не обязательно круг или односвязная область.

Всюду положительность числа, функции, меры и т. п. понимаем как ^ 0; аналогичное соглашение ^ 0 предлагается и для отрицательности. Если функция или отображение / на множестве А тождественно равна некоторому значению Ь, то пишем "/ = b на А", а если f(a) ф Ъ при некотором а 6 А, то "/ ф Ь на А".

Векторное пространство над полем С всех голоморфных в области Q сС функций обозначаем Ilol(ft).

Рассматриваем последовательности точек

Л = {AfcbeA-С ii, КС N, (1.0.1)

бесконечные, конечные или пустые, где возможны повторяющиеся точки.

Пусть / £ Hol(ft), / ф 0. Последовательность нулей Zero/ функции / ф 0 определяется как последовательность, в которой каждая точка А б ft повторяется ровно столько раз, какова кратность нуля (корня) функции / в этой точке Л.

Последовательность Л в ft называем подпоследовательностью нулей функции / (в записи /(Л) = 0) и говорим, что / обращается в нуль на Л, если последовательность Zero/ включает в себя последовательность Л с учетом кратности, т.е. число повторений каждой точки А € П в Zero/ не меньше числа повторений той же точки Л в последовательности Л.

Пусть Я С Hol(il), а Л — последовательность в П из (1.0.1). Если существует функция / G Я, для которой Zero/ = Л, то Л — последовательность нулей для Н. Если существует функция / ф 0 из Н, для которой Л — подпоследовательность нулей для /, то Л — подпоследовательность нулей для класса Н. Каждая последовательность нулей Л для Н является подпоследовательностью нулей для Я. Обратное часто оказывется неверным (см., к примеру, работы Ф. А. Шамояна [9], [10]).

Пусть класс Я замкнут относительно вычитание или, в частности, векторное пространство над С или над полем вещественных чисел М. В этом случае подпоследовательность нулей для Я называем также последовательностью неединственности для Я. Если последовательность Л из (1.0.1) не является подпоследовательностью нулей для Я, то Л — последовательность единственности для Я.

Через sbh(O) обозначаем класс всех субгармонических функций в области ft С С, включая в него и функцию и = —оо на ft; sbh+(ft) — подкласс всех положительных функций из sbh(ft); har(ft) — пространство гармонических функций в ft.

По произвольной функции (весовой функции, весу)

М: П [-оо,+оо] (1.0.2)

построим весовое пространство голоморфных функций Но1(П; М)

:={/ е Hol(fi): \f(z)\ < CfeMM, Cf ^ 0 - постоянная, z € П} (1.0.3e) = {/ G Hoi (SI): log |/| < M + cf на tt, cf — постоянная}. (1.0.31)

Такое векторное пространство над полем С будет модельным на протяжении всей работы. Именно в такого вида пространствах и образованных из них всевозможных объединениях и будут исследоваться (под) последовательности нулей и их устойчивость при «малых шевелениях» этих (под) последовательностей. При этом вполне естественно рассматривать субгармонические весовые функции (см. версию (1.0.31)), поскольку для любого локально ограниченного семейства голоморфных функций поточечная точная верхняя грань логарифмов модулей этих функций после полунепрерывной сверху регуляризации становиться субгармонической функцией.

Пусть CP — семейство функций из sbh(!Q), не содержащее функцию = —оо, которое далее называем системой весов на О, а функции из У — весовыми, или весами. Положим

Holu(i7; У) = (J Но1(ЗД. (1.0.4)

рбУ

Во всех известных описаниях (под)последовательностей нулей для различных весовых классов типа (1.0.4) ограниченная область — это, как правило, круг В или односвязная область с «хорошей» границей, а система весов 7 предполагалась состоящей из положительных функций, радиальных, т.е. зависящих только от \z\, z g В, в случае О, = D. Особо подчеркнем, что в наших исследованиях требования положительности и радиальности весов для круга часто снимаются.

Отметим также, что в ряде вопросов теории функции, к примеру в вопросах полноты, интерполяции, экстраполяции, представления рядами, в задачах локального описания идеалов и подмодулей, в проблеме спектрального синтеза и др., как необходимое или достаточное условие часто фигурирует требование того, что заданная последовательность Л с П - (под) последовательность нулей для некоторого весового

класса типа (1.0.4). Все это дополнительно актуализирует исследование (под)последовательностей нулей для весовых классов.

Основные результаты диссертации новы уже для весовых классов типа (1.0.4) в круге Ю, определяемых даже только радиальными весами р £ У достаточно общего вида и хорошо стыкуются с известными описаниями (под)последовательностей нулей для некоторых таких классов с более или менее конкретными весами р.

Структура диссертации следующая.

В дальнейшей части Введения определяются основные понятия и вводятся некоторые соглашения (подраздел 1.1), формулируются полученные ранее результаты других авторов диссертации (подраздел 1.2), формулируются основные выносимые на защиту теоремы (подраздел 1.3), зачастую в упрощенном и ослабленном виде в целях большей наглядности и обозримости.

В разделе 2 доказываются достаточно общие подготовительные теоремы для дальнейшего их применения как к получению теорем о подпоследовательностях нулей, так и об их устойчивости. Эти подготовительные теоремы (подраздел 2.2) охватывают произвольные области, но недостаточно наглядны. В дальнейшем применении их мы ограничиваемся пространствами функций в ограниченных областях О. Их доказательства (подраздел 2.1) потребовали трудоемких вспомогательных усилий в области теории потенциала (выметание, меры и потенциалы Йенсена), в исследовании некоторых геометрических объектов на плоскости (звезды подмножеств, вздутия множеств)

Главные результаты о подпоследовательностях нулей и их устойчивости сосредоточены в разделе 3. Здесь также важную роль сыграли некоторые нетривиальные геометрические факты, сконцентрированные в разделе 3.1.

В разделе 3.2 дается Теорема 3.1 о подпоследовательностях нулей для наиболее «мягкого» случая пространств Щ, если отойти от алгебр функций, в разделе 3.3 — Теорема 3.3 для наиболее «жесткого» случая пространств Яр°6, а раздел 3.4 занят исследованиями в промежуточном типе пространств Нр+§. Для этих пространств в разделе 3.5 получены Теоремы 3.4 и 3.5 устойчивости подпоследовательностей нулей (последовательностей единственности) при малых «шевелениях » этих последовательностей.

В последнем разделе 4 даются условия, при которых заданная последовательность точек являетя точной последовательностью нулей для

некоторой голоморфной в единичном круге функции из определенных весовых классов функций, определяемых, вообще говоря, нерадиальной мажорантой умеренного роста вблизи единичной окружности. Тем не менее результаты новы даже для радиальных мажорант. В подразделе 4.1 исследуются последовательности нулей для алгебр голоморфных функций, даются примеры нерадиальных весовых субгармонических мажорант, приводятся наглядные следствия для конкретных весовых классов (Теорема 4.1, Примеры, Следствия 4.1, 4.2). В подразделах 4.2 и 4.3 рассматриваются уже более тонкие ситуации (Теоремы 4.2, 4.3, Следствие) по исследованию последовательностей нулей для весовых пространств голоморфных функций по существу не являющихся алгебрами, т. е. пространства не замкнуты относительно произведения функций. Наконец, в подразделах 4.4 и 4.5 исследуется следующая задача. Пусть последовательность точек является (под)последовательностью нулей для алгебры или весового пространства голоморфных функций и подвергается определенным сдвигам. Для каких, возможно несколько больших пространств, новая последовательность точек становится уже точной последовательностью нулей? Эти результаты трактуются как теоремы устойчивости (Теоремы 4.4, 4.5, 4.6).

Основная часть результатов диссертации опубликована в 9 работах [60]-[68]. Из двух работ с соавторами [60]-[61] на защиту выдвигаются только те результаты, которые принадлежат лично диссертанту Ф. Б. Ха-бибуллину. Из тезисов совместных докладов на конференциях, объединяющих нескольких авторов (см. [64], [68]), включены в диссертацию также только части, разработанные лично диссертантом. Таким образом, все основные положения диссертации принадлежат Хабибуллину Ф. Б. и доказаны им. Четыре работы [60], [61], [62], [63] опубликованы в журналах, входящих в список, рекомендованный ВАК.

Конец доказательства обозначается символом • («жирная» точка). Но завершение доказательства (например, леммы), входящего как составная часть в доказательство другого утверждения, отмечается символом о (пока еще «дырявая» точка). Ссылка на номер формулы или утверждения над знаком (не-)равенства, включения и т. п. означает, что при переходе к правой части этого выражения применялись, в частности, и отмеченная формула или утверждение.

1.1 Основные определения, понятия и соглашения 1.1.1. Подмножества в С. Для подмножества S С С через S, 8S,

diamá1 := sup{|2i — z2¡: zi, z2 E 5}

и

conv S {z = a.z\ + (1 — a)z2 : z1: z2 € S, 0 < a ^ 1}

обозначаем соотв.1 замыкание, границу, диаметр и выпуклую оболочку множества S в С.

Если S — компакт вйв индуцированной с С топологии, то S пред-компактно в D и обозначаем это как S <Ш D. Для z еСя S,D сС через

dist(z, S) := inf{|tü - z\ : w E S1}

и

dist (S, D) := iufflw - z\: w € S, z E D}

обозначаем евклидово расстояние соотв. от точки z Е Си множества S до множества D.

Открытый круг с центром z Е С радиуса t E M обозначаем через

D(z,t) := {|ш - z\ < t: w Е С}.

При t ^ 0, очевидно, D(z,t) = 0 — пустое множество. Кроме того, при

t > 0 полагаем _

D(z,t)

— замкнутый круг с центром z ЕС радиуса t Е К, но далее будет удобно считать, что по определению

D(z, 0) := {z} — одноточечное множество.

Наконец, используем обозначения

D{t) := D(0, t) = W) при t > 0, D(t) := D(0, t) = Ш при t > 0.

1 Далее для слова «соответственно» используем сокращение «соотв.».

1.1.2. Последовательности точек в области О. Каждой последовательности Л в области Л из (1.0.1) можно сопоставить положительную целочисленную считающую меру пд, построенную по правилу

(1.1.1)

А к&В

— число точек Л^, попавших в В. Для удобства и краткости записи для точки г £ О, полагаем

и, следуя [27], можем называть как саму последовательность Л, так и функцию (1.1.2) дивизором на Г2. При такой трактовке две последовательности Л и Г = {7fc'}fc'6ft-'cN из Г2 равны, или совпадают (пишем Л = Г), если для соответствующих им дивизоров nA(z) = nr(z) при всех z £ П. Другими словами, в обозначении (1.0.1) каждая последовательность точек Л рассматривается изначально как представитель некоторого класса эквивалентности, состоящего из последовательностей в О, с одинаковыми дивизорами, а способ нумерации в (1.0.1) не имеет значения. При этом носитель supp Л для последовательности точек Л — это носитель соответствующего ей дивизора или считающей меры. Запись А е Л (соотв. А ф Л) означает, что Л G supp Л (соотв. Л ^ supp Л). Для подмножества В С С запись Ас В означает, что supp Л С В] А Г) В — сужение последовательности на В с дивизором пА |ß. Последовательность точек Г С fl включена в Л, если nr(z) ^ nA(z) в терминах дивизоров при всех z Е Ü, и при этом пишем Г С Л, а Г — подпоследовательность последовательности Л; объединение Л U Г через дивизоры задается тождеством пдиг(-г) = n\(z) + nr(z), z 6 Г2; для Г С Л и только в этом случае разность последовательностей Л \ Г определяет дивизор ?гл\г(<г) = nA(z) -nr(z), ze il

Чтобы отличать такой подход от стандартного взгляда на последовательность как на функцию натурального или целого аргумента, каждую последовательность точек, для которой важна нумерация ее членов, называем пронумерованной, или проиндексированной, последовательностью (см. [28]), а точки пронумерованных последовательностей Л изображаем в круглых скобках, т. е. в виде

пл(-г) := nA({z}), zEÜ

(1.1.2)

Л = (Лk)k£KcN, Afc G il

(1.1.3)

Для последовательности Л с D(r) полагаем

|А|<*

— считающая (радиальная) функция последовательности Л; для Л С fl

nA(z,t) := nA(D(z,t))

— число точек из последовательности Л С в D(z, t) С il

1.1.3. Последовательности нулей голоморфных функций. Уточним некоторые использованные выше определения. Для ненулевой функции / 6 Hol(O) через Zeroj обозначаем последовательность точек в О, дивизор которой в каждой точке z & VL равен кратности нуля (корня) функции /вг,и называем ее последовательностью нулей функции / 6 Но1(Г2). Часто в нестрогой форме Zero у называют последовательностью нулей (корней) функции /, перенумерованной с учетом кратности.

Для нулевой функции в Q по определению ее дивизор nzero0 ~~ Функция, тождественно равная +оо на П. Для любой последовательности точек Л в il по определению Л С Zero0. Функция / 6 Hol(fi) обращается в нуль на Л (пишем /(Л) = 0), если Л С Zero/.

Пусть Н С Но1(Г2) — подмножество (класс) в Hol(fi). Последовательность Л С П — последовательность нулей для Н, если существует функция /бЯс Zero f = Л; Л — подпоследовательность нулей для Н, если существует функция / ф 0 из Н, для которой Л С Zero j. Когда класс Я замкнут относительно вычитания, последовательность ЛсП называем последовательностью, или множеством, единственности для Н, если из / 6 Н и /(Л) = 0 следует, что / = 0 на Q; подпоследовательность нулей для Н в этом случае — последовательность неединственности.

1.1.4. Субгармонические функции. В диссертации используются два эквивалентных определения субгармоничности для полунепрерывной сверху функции р: О, —» [—оо,+оо), р ф —оо на области Q, а именно:

1) р G sbh(Q) тогда и только тогда, когда для любой точки z е Q при некотором rz > 0

1 /27Г

p(z) < — / p(z + teie) йв при всех t € (0, rz).

/ТГ / _

2) р € sbh(fi) тогда и только тогда, когда р локально интегрируема по мере Лебега на ii и

где А — оператор Лапласа, а все понимается в смысле теории обобщенных функций (теории распределений Л. Шварца) [29, Теорема 3.2.11]. При этом положительная борелевская мера ир называется мерой Рисса субгармонической функции р.

В частности, если / Е Hol(ST) и / ф 0, то считающая мера nZer0/ ее нулей — мера Рисса функции log|/| € sbh(fi) [29, III, п. 3.2, Пример, стр. 148].

Функция р = —ос на О, обозначаемая далее просто как —оо, по определению субгармоническая. Функция

р: (ti,i2) ->М, 0^i!<t2^+oo, (1.1.4)

может быть продолжена на кольцо

R(h,t2) := {z€C: ti < \z\ < t2}

как радиальная по правилу p(z) = р(И), -г G R(t\,t2). Продолженная функция р: R(ti,t2) —> К. субгармоническая в кольце R(h,t2) тогда и только тогда, когда функция (1.1.4) выпукла относительно логарифма [34, Теорема 2.12], т. е. композиция роехр: х и- р(ех) выпукла на интервале (logii,logi2)- Последнее, в частности, влечет за собой непрерывность функции (1.1.4) и существование левых производных р'_ и правых производных р'+ в каждой точке интервала (tiy Ь2) [30, Гл. I, § 4, Предложение 6]. Отсюда (см. [30, Гл. I, § 4, Предложение 6]) выпуклость относительно логарифма на (ii, £2) функции (1-1.4) эквивалентна непрерывности р на {ti,t2) и возрастанию каждой из двух функций

t^tp'_{t) и t^tp'+(t), te(ti,t2). (1.1.5)

Вычисления оператора Лапласа в полярных координатах дают выражение для плотности dvp меры Рисса ир продолженной субгармонической радиальной функции р через исходную функцию (1.1.4):

dvp{z) = d (ipL(i)), 2 = teie, h <t< t2. (1.1.6)

где <g> — произведение мер. Таким образом, радиальная функция р в круге ID) субгармоническая, если ее сужение на [0,1) непрерывная справа в нуле

возрастающая функция, а ее сужение на (0,1) выпукло относительно логарифма, т.е. функции (1.1.5) возрастающие на интервале (0,1). При этом сужение ее меры Рисса на проколотый круг Ю> \ {0} = Я(0,1) задается соотношением (1.1.6) при ¿1 = 0, 12 — 11.1.5. Весовые классы в Но1(£1). Пусть 7 — система весов на Г2, т. е.

Пространства. Если система весов У обладает свойством

(Н^) для любых р1, Р2 € У найдётся функция р 6 У и постоянная с, при которых тах{р1(г),р2(г)} < р(г) + с для всех геП,

то класс Но1и(0; У) = Но1(И;р) из (1.0.4) образует векторное пространство над С. Действительно, если /ь/2 € Но1и(Г2;У), то найдутся весовые функции р\,р2 € 7 и постоянные С\,С2 ^ 0, с которыми

|/i| < С\е]п и |/21 < С2ер\ Тогда по условию (Н^)

H/i + a2f2\ ^ max{|ai|Ci, \a2\C2) • max{ePl, eP2}

^ max{|ai|Ci, \a2\C2} expmax{pi,p2}

< max{|ci!ijCi,\a2\C2}ec ■ expp Vai,a2 € R.

Holy(ft) - Hol(П;р) = < / € Hol(ft): sup(log|/(z)| - p(z)) < +00

Если р 6 зЬЬ+(0), то для системы весов У = {ср: с е К, 0 < с < 1} выполнено условие (Н1") и векторное пространство Но1и(0; У) обозначаем

Я^):={/еНо1(П):3С/ < 1, ЗС} eR, |/| < Cfexp(cfp)}. (1.1.8)

9 с sbh(ft), -00 £ У.

(1.1.7)

В частности, если У = {р} — одна функция, то условие (Н1*) выпол-

нено и

Если при этом p(z) +00 при z —> дй, то

(1.1.9)

В определенном смысле наиболее «жесткий» класс функций, рассматриваемый нами, — это пространство Holu(il; У), построенное при фиксированной функции р е sbh(O), р ф —сю, по системе весов

Такое пространство обозначаем далее как

Нр+ъё(П) = < / £ Но1(П): limsup lo^if(z)l- P(z) < +00 I (1ЛЛ1)

1 + I

Алгебры. Если система весов У обладает свойством

(А^) для любых PhP2 £ У найдутся функция р Е У и постоянная с, при которых pi(z) + p2(z) < p(z) + с для всех z е О,

то класс #u(fi; У) обозначаем как Ау(Q). Класс функций замкнут

относительно операции поточечного умножения. Если вместе с (А^) одновременно выполнено (Н^), то /1^(0) — алгебра, т.е. векторное пространство над С, одновременно являющееся кольцом относительно обычных операций поточечного сложения и умножения [22, Введение]. Если р 6 sbh(fi) и система весов У имеет вид

У := {ср: с еШ, 0 < с < +оо}, (1.1.12)

то условие (А"1") выполнено автоматически и класс Ap(fi) обозначаем как Кроме того, когда У С sbh+(i)) и выполнено условие (А1"), то, очевидно, имеет место и условие (Н^), т. е. и в таком случае Ар (£2) — алгебра. Если р е sbh+(0) и система весов У имеет вид (1.1.12), то условия (Н^) и (А^) выполнены автоматически и — вновь алгебра.

1.2 Предшествующие результаты

В той или иной мере общности приводятся только те известные результаты, которые либо служили основной мотивировкой для наших исследований, либо использованы далее в доказательствах.

Исторически как самый первый результат об описании (подпоследовательностей нулей в весовых классах голоморфных функций может рассматриваться Основная теорема алгебры в следующей трактовке. Для а Е [—оо, +оо] и функции /: S —»• [—оо, +оо] полагаем

а+ = тах{а, 0}, /+: s ^ (/(s))+, s Е S. (1.2.1)

В частности, log+ s — max{logs, 0}, s ^ 0, logO := —oo.

Пусть tt — C, La: 2i-> alog+ \z\, z E C, a G К. В обозначениях (1.0.2)-(1.0.3) класс Hoi (С; La) — в точности векторное пространство многочленов от комплексного переменного, степени которых не выше а, т. е. не больше [а]+, где [а] — целая часть числа а.

Основная теорема алгебры ([31, Гл. 7, п. 1.1]). Последовательность А С С из (1.0.1) является (под)последовательностью нулей для Hol(C; La) тогда и только тогда, когда пд(С) ^ [а]+, т. е. число точек в последовательности Л не больше, чем [а]+.

Для произвольной области fi С С алгебру Hol(O) в обозначениях (1.0.2)—(1.0.3) можно также рассматривать и как весовое пространство типа Но1(П; М) с весовой функцией М = +оо, т. е. Hol(Q) = Hol(f2; +оо).

Самый первый результат по описанию нулевых (под) последовательностей для пространств голоморфных функций в областях Q —

Теорема Вейерштрасса-Миттаг-Леффлера (о (под) последовательностях нулей для Hol(O), [31, Гл. 7, п. 3.4]). Последовательность Ас П из (1.0.1) — (под)последовательность нулей для Hol(i2) тогда и только тогда, когда последовательность А не имеет точек сгущения в

1.2.1. Круг. В этом пункте П = В. Алгебра ограниченных голоморфных функций в В традиционно обозначается через Н°°(В) := Но1(В;0). Отправной точкой исследований (под) последовательностей нулей в весовых классах голоморфных функций в круге может считаться следующая

Теорема Неванлинны (о (под) последовательностях нулей для #°°(В), [1], [2]). Пусть А — последовательность точек (1.0.1). Попарно эквивалентны следующие пять утверждений:

(0) А — последовательность нулей для Я°°(В);

(1) 53(1 — |Лк|) < +оо — это условие Бляшке; к

(1)

(п) />^(^^<+00;

(0) Л = {А*;} — подпоследовательность нулей для Н°°(Ш).

Из этой Теоремы Неванлинны легко следует

Теорема Неванлинны (об устойчивости (под) последовательностей нулей для //°°(Ю))). Пусть Л — пронумерованная последовательность из (1.1.3), Г = (7к)кексп — еще одна пронумерованная последовательность точек из О с тем же множеством индексов К. Если Л — подпоследовательность нулей для Н°°{Щ и выполнено условие

1ш18ирУЧ|Л*| - Ы) < +оо, (1.2.2)

к€К

то Г — последовательность нулей для В частности, если

к

то последовательности Л и Г могут быть (под)последователъностями нулей для //°°(Р) только одновременно.

Действительно, если Л — подпоследовательность нулей для Я°°(Ю), то из импликации (0) (1) и условия (1.2.2) получаем конечность суммы 5^(1 — |7^|) < +оо. Тогда импликация (1) =>- (0) для Г показывает, к

что Г — последовательность нулей для #°°(Ю>). При условии же (1.2.3) выполнено как (1.2.2), так и то же самое после перемены местами А& и 7ь. Таким образом, для заключительного утверждения остается воспользоваться эквивалентностью (0) (0).

Введем обозначение для «полярного прямоугольника» в С:

Щк,Ь;въ92) := {Ы* еС-А^К 12, в, ^ в < 02}, ^ 4

т.е. := Д[«1,42;0,27г) - кольцо, Щ-,в1,в2) = Я[0,Р,във2) ~ сек-

тор, Я(Ь; 0,2тг) = £>(£) - круг, а Д(оо; 02) := Л[0, +оо; вив2) — угол. Используем достаточно общепринятые для мер V обозначения

) - у{В{1)), и(г;вив2) := г,в2)), (1.2.5г)

К*гМ) и[Ь1,Ь',61,в2) ~ »(Щк,Ь;вив2)). (1.2.5а)

Для простоты здесь и далее рассматриваются только семейства полярных прямоугольников £ = в которых

(И) все Яг (еВ, I = 1,2,..., попарно не пересекаются и имеют вид

ЯI = 1; <?ь &1+1), , .

О < и < <1, в1 < в1+1 < 0/ + 2тг. 1 ' ' ;

Специальное семейство полярных прямоугольников (см. [9]) Я1>т = Д[1 - 2~1, 1 - ; 7г2~г/, тг2~г(т + 1)),

/ = 0,1,..., ш = 0,1,..., 2г+1 — 1

(1.2.7)

называем диадическим семейством и обозначаем его через £2 —

Функция ^: / —>■ М, / С К, возрастающая, если для любых хх,х2 £ I неравенство 21 ^ ж2 влечет за собой нестрогое неравенство (р(хг) < (р(х2), а убывающая, если из х\,х2 £ I, х 1 ^ х2 следует ц>(х\) ^ </?(ж2).

Для алгебр функций в круге типа Л£(В) с радиальной системой весов У веса р традиционно чаще всего рассматриваются в виде

где при условии р(0) ф —оо, не умаляя общности, всегда можно считать, что р: [0,1) [0,+оо) (соотв. р*: [1,+оо) ->• [0,+оо), р*(1) ф -оо) — возрастающая положительная функция.

Линден в [32], [33] описал последовательности нулей для

[Р/з] алгебр функций (О) степенного роста в круге, где

Р^) = М*) --=РМ)> * (1.2.9)

при 1 < /5 < +оо. Его результаты обобщает

Теорема Ф. А. Шамояна ([9, Теорема 2.2]). Пусть Л — последовательность точек (1.0.1), а для возрастающей функции р: [0,1) — [0,+оо), непрерывно дифференцируемой на [0,1), в обозначении (1.2.8) выполнено условие

1 < 1ш11п£ < 1пп вир < +оо,

х-Я-оо р(х) х->+00 Р(Х)

где

р*(х) := р - ^ , ХЕ [1, +оо). (1.2.10)

Последовательность точек К — (под)последовательность нулей для алгебры если и только если для диадического семества Е2 из (1.2.7)

В работе [9, Теорема 2.2] дополнительно дано и общее представление (факторизация) всех функций из алгебр Л£°(Ю>).

Основные результаты диссертации об описании (подпоследовательностей нулей сформулированы в духе Теоремы Ф. А. Шамояна. К примеру, пусть семейство борелевских подмножеств Е = {¿^¡еьск, ^ <£ образует покрытие последовательности Л, т. е. Л С Цех- Естественно ожидать, что если для функции р Е У, У — система весов, с мерой Рисса ир при достаточно «мелком» покрытии {5;} для каждого множества 5), Е Е значение пл(5г) мажорируется в каком-то смысле величиной г/р(5|), то Л — (под)последовательность нулей либо для класса Но1и(Г2; У), либо для его некоторого, по возможности минимального, расширения. Для такого мажорирования покрытие {¿"г} должно быть согласовано как со скоростью роста весов р Е СР вблизи границы дП. так и с возможными «зазорами» между функциями из О5. Основные результаты работы представляют собой явную количественную форму этого наблюдения. При этом результаты неминуемо менее полные по сравнению с приведенными выше. Это связано с рядом причин. Во-первых, рассматриваемые нами области во многих случаях не только отличны от круга, но и не обязательно даже односвязные. Во-вторых, весовые классы не являются

алгебрами, т. е. не замкнуты относительно умножения. В-третьих, системы весов У не всегда образованы положительными функциями, которые в случае круга Q = D могут быть и не радиальными по существу.

Следует отметить также серию тонких результатов по исследованию последовательностей нулей

[Lp] для пространств функций К(р, а) := Но1(Ю>; alp) (см. у К. Сейпа [17]) функций логарифмического роста в В, где а,р € [0, +оо), и

lp(t) = log? t € [0,1),

logp£ := (loga;)p, x ^ 1, (1.2.11)

lp{z):=lp(\z\), 2€ID>,

а также для алгебры Коренблюма А~°° := А^ (Ю) (см. [8]).

Для формулировки этих результатов определим одну характеристику конечной последовательности точек F, лежащей на единичной окружности Ж. Пусть {Ij} — система дополнительных к этой последовательности дуг на \Ij\ — длина дуги Ij. Характеристика Берлинга-Малъявена-Сейпа последовательности F задается величиной

Sc(F-,p,a):=aJ2~; log'||| • (1-2.12)

Нормализованное угловое расстояние на ЭР определим в предположении \t — s| ^ 7г как d(elt, eis) := \t — s|/7r . Далее, зададим подмножества

DF {z G В: 1 - \z\ > d(z/\z\,F)} U {0}.

Теорема Б. Коренблюма (о (под)последовательностях нулей для А [12], [8]). Последовательность точек Л из (1.0.1) — (под)последовате-лъность нулей для алгебры если и только если

limsup л\ И (1-М <+оо. (1.2.13)

К. Сейп рассмотрел существенно более жесткую ситуацию пространств К(р, а) из [Lp] с весами (1.2.11). По-видимому, для весовых пространств голоморфных функций в круге это первые достаточно глубокие результаты об описание нулевых (под) последовательностей именно для весовых пространств, не являющихся алгебрами.

Теорема К. Сейпа (о (под)последовательностях нулей для К(р, а) [15]—[17], [8]). Пусть р=1, й>0мд>2. Условие

sup

F С ЭВ — конечное

( X) (1-М) -Z(F;l,a)-aq\ogK(F;l,l) j <+оо

необходимо, а условие

[ Е (1-M-S(F;1)C0)

\\k£DF J

sup I > , (1 - |Afc|J - l,a) ] < +oo

F С — конечное

достаточно, чтобы последовательность точек А из (1.0.1) являлась (под)последователъностью нулей для пространства К(1,а).

Пусть 0 ^ р < 1 и а ^ 0. Последовательность А — (подпоследовательность нулей для К(р,а), если и только если

sup

F С 3D — конечное

I £ (1 - |Afc|) - р, а) ] < +оо. (1.2.14)

Uk eDP )

Пусть р > 1, а ^ 0. Если выполнено условие (1.2.14), то А — (под)последовательность нулей для К(р,а') при любом а' > а. Обратно, если условие (1.2.14) нарушено, то А не является (под)последоват-ельностью нулей для К(р, а') при любом а' < а.

Определенное развитие Теорема Коренблюма получила также в работе X. Вруны и X. Массанеды [18], где рассматриваются веса несколько более общие, чем в (1.2.11) из [Ьр], а также даны ее некоторые многомерные обобщения на весовые пространства голоморфных функций в единичном шаре из С", п > 1.

Задача описания последовательностей для пространств типа [Ьр] в работе Д. Льюкинга была переформулирована в терминах существования гармонических минорант для специальных функций, построенных по весу, определяющему весовое пространство, и последовательности Л.

Теорема Д. Льюкинга ([19, Теореме А(Ь), З(а-Ь)]). Положим

(1 - И2)

2

А с D «з (1.0.1).

2 Як I1--**!

Последовательность Л — (под)последовательность нулей для К(р, а) = Hol(B; alp) (см. [Lp] с (1.2.11) на стр. 19), если и только если найдется функция h G har(ID); удовлетворяющая условию k\(z) + h(z) ^ alp(z) для всех z Е Ш>, т. е. h — гармоническая миноранта для alp — k\.

Подобное же утверждение доказано в Д. Льюкингом и для более общих пространств Hol(D;p), в которых рост субгармонического непрерывного веса р близок к «логарифмическому» и удовлетворяет некоторым условиям регулярности вблизи окружности <9В [19, Теоремы 9, 10]. Некоторые несколько более общие веса были рассмотрены и в [20].

Наиболее близка к нашим исследованиям другая

Теорема Д. Льюкинга (об устойчивости (под) последовательностей нулей для Но1(Ю>; aii) [19, Теорема 6]). Пусть А— пронумерованная последовательность из (1.1.3), Г = (7fc)/c<=ifcN — еще одна пронумерованная последовательность точек из В с тем же множеством индексов К, что и А в (1.1.3). Если выполнено два соотношения

2 | |

sup log --п^зггт < +оо, V |Afc - 7fc| < +°o,

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Хабибуллин, Фархат Булатович

Основные результаты этого раздела касаются уже весовых пространств голоморфных функций, не являющихся алгебрами, т. е. произведение двух функций из пространства может уже и не принадлежать этому пространству.

Сначала рассмотрим более «мягкое» пространство Яр(0).

Теорема 4.5. Пусть для положительной субгармонической функции р еВя выполнены условие умеренного роста (1.3.22) и ограничение (ЬБ^) из начала подраздела 4.2. Если для двух последовательностей точек А = (Аа;)&6М и Г = (7в В выполнено условие их близости (1.3.33) и А — подпоследовательность нулей для пространства то найдутся постоянные с < 1 и Вс ^ 0, с которыми Г — последовательность нулей для пространства Но1(0; М) при

М = ср + ВсЬИ. (4.5.2)

В частности, если р — логарифмический вес вида [Ь] с а > 1, то второе слагаемое в правой части (4.5.2) исчезает и А — последовательность нулей для пространства Нр(Щ.

Доказательство. В Теореме устойчивости 3.4 (см. также и [60, Теорема 0.2(8з)]) доказано, что именно в условиях теоремы 4.5 последовательность точек Г является последовательностью неединственности, или подпоследовательностью нулей, для пространства := и0^с<1 Но1(В, ср) (даже без эквивалентных условий (1.3.22)—(1.3.23)), т.е. при некотором с' < 1 для пространства Но1(©; с'р). Кроме того, для функции с'р и для ее меры Рисса ис'р по-прежнему выполнены эквивалентные условия (1.3.22)-(1.3.23) с заменой р на dp. При этих условиях в [24, теорема 2, п. (U)] утверждается, что каждая подпоследовательность нулей для пространства Hol(B; dp) при любом е € (0,1) будет уже последовательностью нулей для пространства

Но1(В;ауги +с£бир).

Очевидно, bl\ . Кроме того, в силу условия регулярности (LDJ) при достаточно малом значении числа b > 1, для которого выполнено ограничение с = db < 1, имеет место неравенство

Avrjj,(z) < cp{z) + С, гбВ. где С — постоянная. Таким образом, пространство (4.1.10) вложено в весовое пространство Но1(Ю>; М) с весом М из (4.5.2), а Г — последовательность нулей для этого пространства, что и требовалось. В частном случае логарифмического веса (4.2.5) выполнены условия (1.3.22) и (LDq), а из оценки (4.1.24) для логарифмического веса (4.2.5) имеем

Ь®(г) = о(\оёа-1т±щ), Z-+9B.

Отсюда при том же выборе веса р можно найти постоянную d € (с, 1), с которой неравенство cp(z) + Bcbv}(z) ^ dp(z) выполнено при всех z Е В\ D(t) при определенном i < 1. В силу ограниченности голоморфных функций в круге D(t) этого достаточно, чтобы пространство Hol(B; ср + Bcbvj) включалось в Hol (О: dp) С Щ. Теорема доказана. •

Выведем из теоремы 4.5 часть (Si) Теоремы устойчивости 1.4 из Введения. В силу возрастания функции р условия на нее, при которых имеет место (1.3.14), даже сильнее условия регулярности (LDq) теоремы 4.5. Условие (1.3.22) для радиальной функции — это (1.3.24). Согласно п. 1.1.4 продолженная на В функция р субгармонична. Наконец, справедлива оценка (4.1.12) Предложения 4.1. Это и показывает, что часть (Si) Теоремы устойчивости 1.4 — прямое следствие Теоремы 4.5. Завершим рассмотрение устойчивости пространством Нр+iog.

Теорема 4.6. Пусть для субгармонической в В функции р ф —оо выполнены условия умеренного роста (1.3.22) и условие регулярности веса

LDq) из начала подраздела 4.3. Если для двух последовательностей точек Л = ^Г = (7k)k€® в© выполнено условие их близости (1.3.34) и К — подпоследовательность нулей для пространства Hp+\og, то най-дутсятся постоянные С, В ^ 0, с которыми Г — последовательность нулей для пространства Но1(Ш>; М) при

М(г)=р(г)+С\оёт±щ +Bb®(z), z£l. (4.5.3)

В частности, если р — логарифмический вес вида [L] са) 1, то Г — последовательность нулей для пространства Hol(D); М), где

M(z) := p{z) + Са logmax{1'Q!-1> —^, z 6 Ю>, (4.5.4)

1 - \z\ где Ca — постоянная.

Доказательство. В Теореме 3.5 (см. и [60, Теорема 0.2(S4)]) доказано, что именно в условиях теоремы 4.6 последовательность точек Г является последовательностью неединственности, или подпоследовательностью нулей, для пространства Нр+iog (даже без эквивалентных условий

1.3.22)—(1.3.23)), т.е. при некотором С ^ 0 для пространства Hol(B; М), где M(z) := p(z) + Dlog-^щ, z € Ю>, — субгармоническая функция, D постоянная. Кроме того, для функции М и для ее меры Рисса и^ по-прежнему выполнены эквивалентные условия умеренного роста (1.3.22)

1.3.23) с заменой р на М. При этих условиях в [24, теорема 2, п. (U)] установлено, что каждая подпоследовательность нулей для пространства Но1(Ю>; М) при любом е 6 (0,1) будет уже последовательностью нулей для пространства Hol(D; Avr^j Из условия регулярности (LDq) легко следует, что последнее пространство вложено в пространство Но1(Ш>; М) с весом М из (4.5.3), а Г — последовательность нулей для этого пространства, что и требовалось установить.

В частности, для логарифмического веса р функция из (4.5.3) мажорируется согласно (4.1.24) функцией (4.5.4), что доказывает заключительную часть Теоремы 4.6. Теорема доказана. •

Выведем из Теоремы 4.6 часть (Siog) Теоремы устойчивости 1.4 из Введения. В силу возрастания функции р условия на нее, при которых имеет место (4.0.2), даже сильнее условия регулярности (LDq) Теоремы

4.6. Условие (1.3.22) для радиальной функции — это (1.3.24). Субгармоничность продолженной на В функции р отмечалась в п. 1.1.4. Наконец, справедливо неравенство (4.1.12). Это и показывает, что часть (Б^) Теоремы 1.4 — прямое следствие Теоремы устойчивости 4.6.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Хабибуллин, Фархат Булатович, 2011 год

Список литературы

[1] Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции. M.-JL: Го-стехиздат, 1941.

[2] Хейман У. Мероморфные функции. М: Мир, 1966.

[3] Шведенко С. В. Классы Харди и связанные с ними пространства аналитических функций в круге, поликруге и шаре // Итоги науки и техники, серия матем. анализ. 1985. Т. 23. С. 3-124.

[4] Александров А. Б. Теория функций в шаре // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. 1985. Т. 8. С. 115-190.

[5] Hedenmalm Н. Recent Progress in the Function Theory of the Bergman Space // Holomorphic Spaces. MSRI Publ. Cambridge. 1998. V. 33. P. 35-50.

[6] Colwell P. Blaschke Product. Bounded Analytic Functions // Ann Arbor. The University of Michigan Press. 1985.

[7] Djrbashian A., Shamoyan F. A. Topics in the theory of Ava spaces. Leipzig: Teubner-Texte, 1988.

[8] Hedenmalm H., Korenblum В., Zhu K. Theory of Bergman spaces. Graduate Texts in Mathematics. V. 199. N. Y.: Springer-Verlag, 2000.

[9] Шамоян Ф. А. Факторизационная теорема M. M. Джрбашяна и характеристика нулей аналитических в круге функций с мажорантой конечного роста // Изв. АН Арм. ССР. Математика. 1978. Т. XIII. № 5-6. С. 405-422.

[10] Шамоян Ф. А. О нулях аналитических в круге функций, растущих вблизи границы // Изв. АН Арм. ССР. Математика. 1983. Т. XVIII. № 1. С. 15-27.

[11] Horowitz С. Zero sets and radial zero sets in function spaces // J. Analyse Math. 1995. V. 65. P. 145-159.

[12] Korenblum B. An extension of the Nevanlinna theory // Acta Math. 1975. V. 135. P. 187-219.

[13] Beller E. Factorization for non-Nevanlinna classes of analytic functions // Israel J. Math. 1977. V. 27. No. 3-4. P. 320-330.

[14] Beller E., Horowitz C. Zero sets and random zero sets in certain function spaces // J. Analyse Math. 1994. V. 64. P. 203-217.

[15] Seip K. On a theorem of Korenblum // Ark. Math. 1994. V. 32. P. 237243.

[16] Seip K. On Korenblum's density condition for the zero sequences of A~a // J. Analyse Math. 1995. V. 67. P. 307-322.

[17] Seip K. An extension of the Blaschke condition //J. London Math. Soc.

1995. V. 51. P. 545-558.

[18] Bruna J., Massaneda X. Zero sets of holomorphic functions in the unit ball with slow growth //J. Analyse Math. 1995. V. 66. P. 217-252.

[19] Luecking D. Zero sequences for Bergman spaces // Complex Variables.

1996. V. 30. P. 345-362.

[20] Blasco O., Kukuryka A., Nowak M. Luecking's condition for zeros of analytic functions // Annales Universitatis Mariae Curie-Sklodowska, Lublin - Polonia. 2004. V. LVIII, A. P. 1-15.

[21] Чередникова Л. Ю. Последовательности неединственности для весовых алгебр голоморфных функций в единичном круге // Матем. заметки. 2005. Т. 77. Вып. 5. С. 775-787.

[22] Чередникова Л. Ю. Множества неединственности и их устойчивость в весовых алгебрах голоморфных функций. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Уфа. 2005.

[23] Чередникова Л. Ю. Множества неединственности и их устойчивость в весовых алгебрах голоморфных функций. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Уфа. 2005.

[24] Кудашева Е. Г., Хабибуллин В. Н. Распределение нулей голоморфных функций умеренного роста в единичном круге и представление в нем мероморфных функций // Матем. сборник. 2009. Т. 200, №. 9. С. 95-126.

[25] Кудашева Е. Г. Обобщение теорем Неванлинны и изменение асимптотического поведения целой функции при сдвигах ее нулей. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Уфа. 2010.

[26] Кудашева Е. Г. Обобщение теорем Неванлинны и изменение асимптотического поведения целой функции при сдвигах ее нулей. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Уфа. 2010.

[27] Bavin V. P., Joricke В. The uncertainly principle in harmonic analysis. Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag, 1994.

[28] Архангельский А. В., Пономарев В. И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. М.: Наука, 1974.

[29] Hormander L. Notions of Convexity. Progress in mathematics. V.127. Birkhaser (Boston, Mass.), 1994.

[30] Бурбаки H. Функции действительного переменного. M.: Наука, 1965.

[31] Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Т. II. М.: Наука, 1968.

[32] Linden С. N. The minimum modulus of function regular and finite order in the unit circle // Quart. Jour, of Math. (Oxford). 1956. V. 7, No. 27. P. 196-216.

[33] Linden C. N. The representation of regular function // Jour. London Math. Soc. 1964. V. 39, No. 153. P. 19-30.

[34] Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. М.: Мир, 1980.

[35] Ransford Т. J. Potential Theory in the Complex Plane. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1995.

[36] Хабибуллин Б. H. Последовательности нулей голомофных функций, представление мероморфных функций и гармонические миноранты // Матем. сб. 2007. Т. 198, № 2.С. 121-160.

[37] Khabibullin В. N. Generalizations of Nevanlinna's theorems // Ma-tematichni Studii. 2010. V. 34, No. 2. P. 197-206.

[38] Хабибуллин Б. H. Множества единственности в пространствах целых функций одной переменной // Изв. АН СССР. Серия матем. 1991. Т. 55. №5. С. 1101-1123.

[39] Хабибуллин В. Н. Теорема о наименьшей мажоранте и ее применения. I. Целые и мероморфные функции // Изв. РАН. Серия матем. 1993. Т. 57. № 1. С. 129-146.

[40] Хабибуллин Б. Н. Неконструктивные доказательства теоремы Бер-линга-Мальявена о радиусе полноты и теоремы неединственности для целых функций // Изв. РАН. Серия матем. 1994. Т. 58. Я2 4. С. 125-148.

[41] Koosis P. Leçons sur le théorème de Beurling et Malliavin. Montréal: Les Publications CRM, 1996.

[42] Ransford T. J. Jensen measures // In: Approximation, Complex Analysis and Potential Theory. Proc. NATO Adv. Stud. Inst. 2000 (Quebec, Canada, N.U. Arakelyan and P.M. Gauthier, eds.). NATO Science Series II. V. 37. Kluwer Academic Publisher (Dordrecht, Boston). 2001. P. 221-237.

[43] Gamelin T. W. Uniform Algebras and Jensen Measures. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1978.

[44] Cole B. J., Ransford T. J. Subharmonicity without Upper Semicontinu-ity // J. Funct. Anal. 1997. V. 147. P. 420-442.

[45] Cole B. J., Ransford T. J. Jensen measures and harmonic measures // J. reine und angew. Math. 2001. V. 541. P. 29-53.

[46] Хабибуллин Б. H. Критерии (суб-) гармоничности и продолжение (суб-)гармонических функций // Сиб. матем. журн. 2003. Т. 44, № 4 . С. 905-925.

[47] Roy S. Extreme Jensen measures // Arkiv for Matematik. 2008. V. 46, No. 1. P. 153-182.

[48] Брело M. Основы классической теории потенциала. М.: Мир, 1964.

[49] Брело М. О топологиях и границах в теории потенциала. М.: Мир, 1974.

[50] Hormander L. Notions of Convexity. Boston: Birkhaser, 1994.

[51] Гарнетт Дж. Ограниченные функции в круге. М: Мир, 1984.

[52] Наутап W. К. Subharmonic functions. V. И. London: Academic Press, 1989.

[53] Азарин В. С. Об асимптотическом поведении субгармонических функций конечного порядка // Матем. сборник. 1979. Т. 108(150). JV5 2. С. 147-167.

[54] Лейхтвейс К. Выпуклые множества. М: Наука, 1985.

[55] Borichev A., Golinskii L., Kupin S. A Blaschke-type condition and its application to complex Jacobi matrices // Bull, of the London Math. Soc. 2009. V. 41. P. 117-123.

[56] Favorov S., Golinskii L. A Blaschke-type condition for analytic and subharmonic functions and application to contraction operators // Amer. Math. Soc. Transl. 2009. V. 226, Ж 2. P. 37—47.

[57] Favorov S., Golinskii L. On critical points of Blaschke products // Matematychni Studii. 2010. V.34, No. 2. P. 168-173.

[58] Favorov S., Golinskii L. Blaschke-type conditions for analytic functions in the unit disk: inverse problems and local analogs // preprint arXiv:1007.3020 [math.CV], 2010.

[59] Klimek M. Pluripotential Theory. Clarendon Press (Oxford etc.), 1991.

[60] Хабибуллин Б. #., Хабибуллин Ф. Б., Чередникова Л. Ю. Подпоследовательности нулей для классов голоморфных функций, их устойчивость и энтропия линейной связности. I // Алгебра и анализ. 2008. Т. 20, Ж 1. С. 146-189.

[61] Хабибуллин Б. Н., Хабибуллин Ф. Б., Чередникова Л. Ю. Подпоследовательности нулей для классов голоморфных функций, их устойчивость и энтропия линейной связности. II // Алгебра и анализ. 2008. Т. 20, №. 1. С. 190-236.

[62] Хабибуллин Ф. Б. Последовательности нулей голомофных функций в весовых пространствах в единичном круге // Известия вузов. Ма-тем. 2010. Вып. 3. С. 102-105.

[63] Хабибуллин Ф. Б. Устойчивость (под)последовательностей нулей для классов голоморфных функций умеренного роста в единичном круге // Уфимский математический журнал. Т. 3, № 3. С 152-163.

[64] Khabibullin В. N., Khabibullin F. В. Zero subsets of spaces of functions and the entropy of arcwise connectedness. Геометрический анализ и его приложения. Тезисы докладов. Волгоградский государственный университет. Волгоград, 2004. С. 193.

[65] Хабибуллин Ф. Б. Последовательности нулей голоморфных функций в пространствах в круге // Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании», посвященная 100-летию БашГУ. Математика. Том I. Уфа. РИЦ БашГУ. 2009. С. 357377.

[66] Хабибуллин Ф. Б. Последовательности нулей голоморфных функций умеренного роста в круге // Спектральная теория операторов и ее приложения. Материалы международной конференции, посвященной памяти профессора А. Г. Костюченко (Уфа, 13-15 июня 2011 г.). Уфа. РИЦ БашГУ. 2011. С. 85-86.

[67] Хабибуллин Ф. Б. Устойчивость (под)последовательностей нулей в пространствах голоморфных функций умеренного роста в круге // Материалы X международной Казанской летней научной школы-конференции (Казань, 1-7 июля 2011 г.). Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Казанское математическое общество. Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского. 2011. Т. 43. С. 358-360.

[68] Хабибуллин Б. Н., Кудашева Е. Г., Хабибуллин Ф. Б., Череднико-ва Л. Ю. Распределение нулей голоморфных функций с ограничениями на их рост в единичном круге //VI Уфимская международная конференция «Комплексный анализ и дифференциальные уравнения», посвященная 70-летию чл.-корр. РАН В. В. Напалкова. Сборник тезисов. Уфа: ИМВЦ. 2011. С. 151-153.