Факторизационные представления и свойства корневых множеств весовых классов аналитических функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Быков, Сергей Валентинович

• Быков, Сергей Валентинович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Быков, Сергей Валентинович

Введение.

Глава 1. Исследование свойств корневых множеств классов целых и голоморфных в полуплоскости функций.

§ 1.1. О нулях целых функций с мажорантой бесконечного порядка.

§1.2. Описание корневых множеств функций из класса Н(А,,+оо) и построение их факторизационного представления.

§ 1.3. О вещественных нулях аналитических в полуплоскости функций с мажорантой бесконечного порядка.

§1.4. Об условии Бляшке в полуплоскости.

§1.5. Об одной теореме Н. В. Говорова.

§1.6. О росте бесконечного произведения типа Вейерштрасса в полуплоскости.

Глава 2. Факторизационное представление и оценки в среднем классов голоморфных в круге функций, допускающих рост вблизи граничной окружности.

§2.1. О факторизации аналитических в круге функций с мажорантой конечного порядка.

§2.2. О нулях аналитических в круге функций с мажорантой первого порядка.

§2.3. Факторизационные представления и Lp- оценки производных аналитических функций.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Факторизационные представления и свойства корневых множеств весовых классов аналитических функций»

Актуальность темы. Хорошо известно, что исследование свойств корневых множеств и построение факторизационных представлений различных классов аналитических функций играют важнейшую роль в общей теории функций комплексного переменного и её приложениях. Исследование этих вопросов привлекало внимание классиков комплексного анализа ещё в начале прошлого столетия. В этой связи отметим классические работы К. Вейерштрасса, Ж. Адамара, Ф. Бореля, Е. Линделёфа, О. Пикара и др. о нулях целых функций, имеющих заданный рост вблизи бесконечно удалённой точки, а также работы Р. Неванлинна и В.Н. Смирнова о внешне-внутренней факторизации классов Харди и классов функций ограниченного вида в единичном круге. Эти вопросы остаются в центре внимания современных авторов, для этого достаточно отметить работы Б.И. Левина ([26]), М.М. Джрбашяна ([20]—[23]), Н.В. Говорова ([14]- [15]), Б.А. Тейлора ([51]), Л.А. Рубеля ([50]- [51]), А.А. Гольдберга ([19]), И.В. Островского([19]), A.M. Седлецкого ([28]), Ф.А. Шамояна ([34]- [35]), Н.А. Широкого ([55]), Б.И. Коренблюма ([46]), К. Сейпа ([52]), Б.Н. Хабибуллина ([30]) и других математиков, посвящённые исследованиям свойств корневых множеств и построению факторизационных представлений ряда важнейших классов голоморфных функций.

Приведём обзор некоторых результатов, тесно связанных с тематикой диссертационной работы, для этого введём необходимые обозначения и определения.

Пусть С— комплексная плоскость, Я (С)— множество всех целых функций, Л— монотонно возрастающая, положительная функция на R+. Введём в рассмотрение классы функций

Н (Л, +оо) = |/ е Я (С): In |/(z)| <Cf-Л (|z|), zeC} (0.1) и H^,+cc) = {fGH(£)-.\n\f(z)\<Af^{Bf-\z\), zeC). (0.2) где Af,Bf,Cf - здесь и в дальнейшем будут обозначать произвольные постоянные, зависящие только от функции /. Пусть Л е (М+) и существует предел Л'(х)-х ал ^^ , тогда назовём его степенным порядком функции Л. Нетрудно заметить, что если ах < +оо 5 то рассматриваемые классы функций Н (Л, +оо) и

Н(Л,+ оо) совпадают, а если = хр, х е М+, то они совпадают с классом целых функций конечного порядка р и нормального типа. Однако при ах = +оо это уже не так, например, в случаях когда

Л(0 = ехрехр. ехр(tp), /eR+, peR+ или Я(0 = ехр(Ы)р, р> 1. и

Если = р е М+, то класс Н(Л,+ со) обозначим через Н(р,+со).

В дальнейшем будем считать, что если / е#(С), то Z/ будет обозначать мноdef жество всех нулей функции /, то есть Zf =

Хорошо известно следующее свойство корней функции из класса

Н(р,+ оо): последовательность можно представить в виде Z = Zf, р <£ N, р > 0 тогда и только тогда, когда n(r) = [card zk : \zk \ < г} < Cf • rp . (0.3)

Но при р е N наряду с условием (0.3) возникает еще условие Е. Линделёфа (см. [19], [26]): существует М> 0, такое что

Z4

7Р zk

М, re

Используя последнее условие, нетрудно построить последовательность {z*}ITi> пРичём Zf={zkYZ1» /еЯ(А-ко), ре N, такую, что для любой функции geH(p,+ со) из условия Zg=Zf , где Zf - , следует, что g(z) = 0, ze С, то есть множество Zf не представимо в виде Zg ни при каких g s H(p,+ oo) , peN, 0 . Примером такой последовательности может быть

I ikx 1 последовательность i к е р Г к=1

Иными словами, для представления последовательности (zkJ'^l=Z = Z важен не только рост функции п(г), но и расположение [zk}+k2{ по аргументам.

Определение. Скажем, что некоторое множество X целых функций удовлетворяет условию Линделёфа, если существует функция / е X, f Ф О,

Zf~{zkXZ\> такая> что из условия geX, Zg-Zf, где Z/={|zjtследует, что g(z) - 0 при всех z е С.

Из вышеизложенного следует, что класс Н(р,+ оо) при peN удовлетворяет условию Линделёфа, а при р £ N не удовлетворяет ему. Естественно, возникает вопрос, а что происходит при остальных Л, например, при Я(0 = ехр(//>), t еК+, или МО = ехрехр.ехр(/р), t <=Ш+, реЖ+ ИЛи п

Л(t) = exp(lnt)p, teR+, р> 1?

Исследованию свойств корневых множеств функций из класса Я(А,+оо) посвящено множество работ. В работах JI.A. Рубеля и Б.А. Тейлора (см. [50]— [51]), применяя методы теории рядов Фурье, получено описание корневых множеств функций класса Н (Л, +оо). Приведём этот результат. с ■\ +00

Пусть Z = javjv=1— последовательность, отличных от нуля комплексных чисел, av-> со при v —» +оо, Л - функция вышеуказанного типа. Для чисел k g N и г > 0 определим функцию если гх > г2, то к

S(r„r2,k,Z) = S(r„k,Z)-S(r2,k,Z). f / t-f \

Положим также n(r,Z) = {card ak : \ak\ < г} и N(r,Z) = J--—dt. о *

Основной результат в вышеуказанных работах JI.A. Рубеля и Б.А. Тейлора формулируется следующим образом: для того чтобы последовательность акУк=\ можно было представить в виде Zf, / а>), / ф О, необходимо и достаточно, чтобы существовали положительные числа А, В и С, такие, что при всех гх и г2 выполнялись оценки ч Л(ВгЛ Л (Вг2)

S(r„r2,k,Z)<A rk +А \k > rx>r2, k = 1,2,. и N{r,Z)<C-X(Br), reR+.

Исследования корневых множеств классов аналитических в круге функций, имеющих конечный порядок роста вблизи единичной окружности было начато в работах В.В. Голубева (см. [16]-[17]). Эти результаты почти через десять лет были переоткрыты немецким математиком Ф. Беурманом (см. [37]).

В работах Н.В. Говорова получена полная характеризация корневых множеств и построено факторизационное представление классов аналитических в полуплоскости функций конечного порядка р . В последние десятилетия довольно интенсивно развивалось исследование свойств корневых множеств и построение факторизационных представлений классов аналитических в круге функций, принадлежащих классам С. Бергмана или имеющих степенной рост при приближении к единичной окружности. Эти результаты подытожены в монографиях [40] и [46].

В работах А.И. Хейфица (см. [33]) и И.О. Хачатряна (см. [31]) было найдено каноническое представление классов аналитических в полуплоскости функций типа Н (Л., +со).

М.М. Джрбашяном (см. [20]—[23]) были построены формулы типа формул Пуассона-Иенсена, на этой основе исследовались корневые свойства и факторизационные представления функций, мероморфных в круге, имеющих заданную Та - характеристику.

В работах Ф.А. Шамояна (см. [34]-[35]) получено полное описание корневых множеств и построено факторизационное представление классов аналитических в круге функций с заданной мажорантой вблизи единичной окружности при условии, что степенной порядок роста мажоранты строго больше единицы.

Классы субгармонических в полуплоскости функций с заданной мажорантой в окрестности бесконечно удалённой точки рассмотрены А. Гришиным и Т. Малютиной (см. [42]). Цель работы.

1) Изучить свойства корневых множеств целых функций с мажорантой бесконечного порядка.

2) Получить полное описание корневых множеств весовых классов целых функций и построить их факторизационное представление при условии, что вес имеет бесконечный степенной порядок.

3) Охарактеризовать корневые множества классов голоморфных в полуплоскости функций с мажорантой конечного порядка.

4) Оценить в среднем производную голоморфной в круге функции посредством средних самой функции.

Общая методика исследования. В диссертационной работе используются общие методы линейного и комплексного анализа, а также более специальные методы геометрической теории функций комплексного переменного. В диссертации важную роль сыграли теоремы типа теоремы JI.B. Альфорса и С.Е. Варшавского об оценках конформно отображающих функций криволинейных полос на стандартные области.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты: 1) Установлено, что корневые множества класса целых функций с мажорантой бесконечного порядка удовлетворяют условию Е. Линделёфа.

2) В терминах лишь одной считающей функции получено полное описание корневых множеств и построено факторизационное представление весовых классов целых функций, когда вес имеет бесконечный степенной порядок.

3) Введена серия новых бесконечных произведений, посредством которых охарактеризованы корневые множества классов аналитических в полуплоскости функций с мажорантой конечного порядка.

4) Построено новое факторизационное представление аналитических в круге функций с мажорантой конечного порядка вблизи граничной окружности.

5) Получены Lp - оценки производной аналитической в круге функций через Lp - средние самой функции.

Практическая и теоретическая значимость результатов диссертации.

Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть применены в последующем к задачам аппроксимации рациональными функциями с фиксированными полюсами, изучения классов целых функций с мажорантой бесконечного порядка, а также при чтении спецкурсов для студентов математических специальностей университетов.

Личный вклад соискателя. Все выносимые на защиту результаты получены автором самостоятельно при содействии научного руководителя.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты данной работы неоднократно докладывались автором на семинарах по комплексному и функциональному анализу при кафедре математического анализа и на апрельских научных конференциях преподавателей физико-математического факультета Брянского государственного университета имени академика И. Г. Петровского в 2005 - 2010 гг., а также на Смоленской международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, 2005 г.), на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории краевых задач» (Воронеж, 2006 г., 2008 г.) и «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2009 г.), на Всероссийской конференции по математике и механике (Томск, 2008 г.), на Саратовской зимней математической школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2010 г.).

Публикации результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [2]-[12]. Работа [9] входит в перечень ведущих рецензируемых научных журналов ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых в общей сложности на 9 параграфов, и списка используемой литературы в алфавитном порядке. Объем диссертации - 130 страниц. Библиография содержит 56 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Быков, Сергей Валентинович, 2010 год

1. Брудний Ю.А., Гопенгауз И.Е. Обобщение одной теоремы Харди - Литтлву-да / Ю.А. Брудний, И.Е. Гопенгауз // Математический сборник. - 1964.-Т. 52 (94), №3.-С. 234-238.

2. Быков С.В. О нулях аналитических в полуплоскости функций, имеющих заданную мажоранту бесконечного порядка / С.В. Быков // Вестник Брянского государственного университета: Естественные и точные науки. Брянск: Изд-во БГУ, 2006. - № 4. - С. 106-110.

3. Быков С.В. О нулях целых функций с мажорантой бесконечного порядка / С.В. Быков, Ф.А. Шамоян // Алгебра и Анализ / Санкт-Петербургское отделение Института математики РАН. СПб: — Наука. -2009.-Т. 21:6.-С. 66-79.

4. Быков С.В. Об условии Бляшке в полуплоскости / С.В. Быков // Вестник Брянского государственного университета: Естественные и точные науки. -Брянск: Изд-во БГУ. 2009. - Вып.4. - С. 17-27.

5. Быков С.В. О корневых множеств весовых классов целых функций / С.В. Быков, Ф.А. Шамоян // Современные проблемы теории функций и их приложения. / Саратовский гос. университет и др.. Саратов: Изд—во Саратовского гос. университета. — 2010. - С. 42-43.

6. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции / Дж. Гарнетт М.: Мир.-1984.-469 с.

7. Говоров Н.В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом / Н.В. Говоров -М.: Наука 1986. - С. 29—41.

8. Говоров Н.В. Об индикаторе функций, аналитических и вполне регулярного роста в полуплоскости / Н.В.Говоров // Тезисы кратких научных сообщений Международного конгресса математиков, секция 4 М.-1966. - С. 45-46.

9. Голубев В.В. Исследование по теории особых точек однозначных функций /B.В. Голубев // Учёные записки государственного Саратовского университета. 1924, Т. 1, вып. 3, т. 2, вып.1.

10. Голубев В.В. Однозначные аналитический функции. Автоморфные функции / В.В. Голубев М.: Физматлит.- 1961 - 455 с.

11. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного / Г.М. Голузин М.: Наука, 1966 - 628 с.

12. Гольдберг А.А. Распределение значений мероморфных функций / А.А. Гольдберг, И.В. Островский М.: Наука.- 1970. - 457 с.

13. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области / М.М. Джрбашян М.: Наука. - 1966. - 671 с.

14. Джрбашян М.М. О представимости некоторых классов мероморфных функций в единичном круге / М.М. Джрбашян // Докл. АН Арм. ССР-1945. Т. 3, №1. С.3-9.

15. Джрбашян М.М. К проблеме представимости аналитических функций / М.М. Джрбашян // Сообщения института математики и механики АН Арм. ССР. 1948. - Вып. 2. - С. 3-55.

16. Джрбашян М.М. Теория факторизации функций, мероморфных в круге / М.М. Джрбашян // Математический сборник. 1969. - 79(121): 4(8).C. 517-615.24.3игмунд А. Тригонометрические ряды / А. Зигмунд- М.: Мир.-1965. Т.1. -616 с.

17. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции / М.А. Евграфов- М.: Физматлит.— 1962. 320 с.

18. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций / Б.Я. Левин М.: Гос-техиздат. —1956. — 632 с.

19. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций / А.И. Маркушевич -М.: Наука. 1968. - Т. 2. - 625 с.

20. Седлецкий A.M. Классы аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации / A.M. Седлецкий М.: Физматлит. - 2005 - 504 с.

21. Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций / И.М. Стейн М.: Мир, 1973.-354 с.

22. Хабибуллин Б.Н. Множества единственности в пространствах целых функций / Б.Н. Хабибуллин // Изв. РАН. Математика. 1991. - Т. 55, №5. -С. 1101-1113.

23. Хачатрян И.О. Представление мероморфных функций бесконечного порядка в полуплоскости / И.О. Хачатрян // Изв. АН Арм ССР. Серия физ.-мат. наук. 1965. - XVIII, 2. - С. 15-25.

24. Хейман У.К. Мероморфные функции / У.К. Хейман М.: Мир. - 1966. -447 с.

25. Хейфиц А.И. Представление аналитических в открытой полуплоскости функций бесконечного порядка / А.И. Хейфиц // Известия АН Арм. ССР. Математика. 1971. - №6. - С. 472-476.

26. Шамоян Ф.А. Параметрическое представление и описание корневых множеств весовых классов голоморфных в круге функций / Ф.А. Шамоян // Сибирский математический журнал. -1999. Т. 40, №6. - С. 20-41.

27. Шамоян Ф.А. Факторизационная теорема М. М. Джрбашяна и характериза-ция нулей аналитических функций с мажорантой конечного роста / Ф.А. Шамоян // Известия АН Арм. ССР. Математика. 1978 - Т. 13, №5. -С.405-422.

28. Bagemihl F. Sur quelques proprietes frontiers des functions holomorphes definies par cartains produits dans le cercle unite / F. Bagemihl, P. Erdos, Seidel // Ann. Sci. Ecole Norm. - 1953.- S. (3) 70. - P. 135-147.

29. Beuermann F. Wachtumsordnung, Koezientenwachstum und Nullstellendichte bei Potenzreihen mit endlichem Konvergenzkreis / F. Beuermann // Math. Zeitschrift. 1931. Band 33. - S. 98-108.

30. De Branges L. Hilbert Spaces of Entire Functions / L. De Branges Prentice-Hall. - 1968. - 336 pp.

31. Clune J.On integral functions having prescribed asimitotic growth / J. Clune, T. Kovari // Canad. Jorn. ofMathem-1968-V. 20, №1. P. 7-20.

32. Djrbashian A.E. Topics in the theory of A§ spaces / A.E. Djrbashian, F.A. Shamoyan // Leipzig: Teubner-Texte zur Math. 1988. - V. 105. - 200 pp.

33. Duren P. Theory of Hp spaces / P. Duren. New York: Academic Press, 1970. — 292 c.

34. Hayman W.K. A critical growth rate for functions Regular in a disk / W. K. Hayman, B. Korenblum // Michigan Math. Journal. 1980. V. 27. -P. 21-29.

35. Hayman W.K. Real inequalities with applications to function theory / W. K. Hayman, F. M. Stewart Proc. Cambridge Phil. Soc. -1954. -P. 250-260.

36. Hedenmalm H. Theory of Bergman spaces / H. Hedenmalm, B. Korenblum and K. Zhu // New York: Springer, 2000. P. 277.

37. Momm S. Lower bounds for the modulus of analytic functions / S. Momm // Bull. London Math. Soc.- 1990. Vol. 22. - P. 239-244.

38. Rubel L.A. / L. A. Rubel // Lect. Notes in Math.-1973.-V. 336.-P. 51-62.

39. Rubel L.A A Fourier series method for meromorphic and entire functions/ L.A. Rubel, B.A. Taylor Bull. Math. France. - 1968. - V. 96. - P. 56-96.

40. Seip K. Interpolation and sampling in spaces of analytic functions / K. Seip // Amer. Math. Soc., Univ. lecture series. 2004. - V.33. - 132 pp.

41. Shapiro H.S. On the zeros of functions with finite Dirichlet integral and some related function spaces / H.S. Shapiro, A. Shields. Math. Z. - V. 80 -1962. -P. 217-229.

42. Shamoyan F.A. Parametrical reprentations of some classes of holomorphic functions in the disk / F. A. Shamoyan, E. N. Shubabko // Operaror Theoiy. Advances and Application. V. 113. - 2000. - P. 331-338.

43. Shirokov N.A. Analytic functions smooth into the boundary / N.A. Shirokov — Lect. Notes in Math. Springe-Verlag. - 1988. -V. 1312. - P. 1-215.

44. Warshawski S.E. On conformal mapping of infinite strips / S.E. Warshawski — Trans. Amer. Math. Soc. -V. 51. 1942. - P. 280-335.