Коррелированные двухчастичные системы: измерение, контроль и возможное применение тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.21, кандидат физико-математических наук Морева, Екатерина Васильевна

• Морева, Екатерина Васильевна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Морева, Екатерина Васильевна

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. Перепутывание атомов в резонансном классическом электромагнитном поле.

Введение.

§1.1 Основные модели коллективной релаксации.

1.1.1 Одномерная и трехмерная модели.

1Л .2 Однонаправленная модель.

1.1.3 Стационарное перепутывание.

1.1.4 Нестационарное перепутывание.

§1.2 Влияние параметров модели на степень перепутывания.

1.2.1 Учет фазового набега между атомами.

1.2.2 Зависимость от числа фотонов в термостате.

1.2.3 Сжатый термостат.

Выводы к главе 1.

Глава II. Пространственная анизотропия волнового пакета бифотона.

§2.1 Обзор литературы.

§2.2 Влияние анизотропии кристалла на спектр бифотонного поля.

§2.3 Одночастичные и двухчастичные угловые распределения в двух ортогональных плоскостях наблюдения.

§2.4 Экспериментальная установка и результаты измерений.

Выводы к главе II.

Глава III. Поляризационные четырехуровневые оптические системы кукварты) на основе бифотонного поля.

§3.1 Поляризационные свойства бифотонного поля.

3.1.1 Квантовые оптические состояния с размерностью D>2. Методы приготовления (по литературе).

3.1.2 Бифотон как четырехуровневая система. Критерий перепутанности для двух кубитов.

3.1.3 Момент второго порядка по полю. Параметры Стокса. Степень поляризации кукварта.

3.1.4 Момент четвертого порядка по полю. Матрица когерентности.

3.1.5 Приготовление кукварта в заданном поляризационном состоянии. Эксперимент.

§3.2 Статистическое восстановление состояний бифотонов-куквартов.

3.2.1 Протокол 1.

3.2.2 Протокол 2.

3.2.3 Экспериментальная установка и обсуждение результатов.

§3.3 Квантовое распределение ключа на бифотонах-куквартах.

3.3.1 Квантовая криптография на кубитах (по литературе).

3.3.2 Обобщение протокола квантовой криптографии с использованием систем высокой (D>2) размерности.

3.3.3 Приготовление и преобразование состояний бифотонов-куквартов.

3.3.4 Измерение состояний бифотонов-куквартов.

Выводы к главе III.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Коррелированные двухчастичные системы: измерение, контроль и возможное применение»

Диссертационная работа посвящена теоретическому и экспериментальному изучению особого свойства квантовых систем -перепутывания. Исследованы методы создания перепутанных состояний, контроля и измерения степени перепутанности. Обсуждается применение перепутанных состояний фотонов в прикладных задачах квантовой оптики.

На самой заре становления квантовой теории, в 1935г., Эйнштейн, Подольский и Розен опубликовали статью, озаглавленную "Можно ли считать квантомеханическое описание физической реальности полным?" [1]. Именно в ней авторы сформулировали свой знаменитый парадокс, который вызывал оживленные дискуссии, продолжающиеся вплоть до сего времени. Они рассмотрели систему двух квантово-коррелированных частиц, т.е. таких частиц, свойства которых связаны, не будучи точно заданными. Например, это могут быть две частицы, рожденные в результате распада третьей. Представим теперь, что частицы разнесены на сколь угодно большое расстояние. В начальный момент времени ни у одной из частиц не заданы координата или импульс, но в силу закона сохранения, сумма их импульсов, как и сумма координат, остается равной нулю. Если теперь производить измерения над первой частицей, например, измерить ее координату, то координата другой частицы после такого измерения тоже станет известной точно. Вследствие условия локальности, измерение над одной частицей не должно сказываться на другой. Следовательно, у второй частицы импульс может быть измерен сколь угодно точно. Такие рассуждения приводят к нарушению принципа неопределенности Гейзенберга. Если же меняется только волновая функция второй частицы, а сама частица останется точно такой же, значит, волновая функция - плохая характеристика для описания квантовой частицы.

В действительности, рассуждение, предложенное Эйнштейном, Подольским и Розеном, нисколько не опровергает квантовую механику и даже концепцию волновой функции. Дело в том, что квантово-коррелированные частицы характеризуются лишь одной общей волновой функцией; каждой же из двух частиц определенную волновую функцию приписать нельзя. Состояния таких квантово-коррелированных систем принято называть «перепутанными'»(или «запутанными»).

Перепутанные состояния могут возникать в системе, состоящей из двух или более подсистем. В простейшем случае чистого состояния составной системы перепутанность состоит в невозможности факторизации волновой функции системы, т.е. в невозможности представить ее в виде произведения волновых функций ее подсистем

W=k.)®k>®kc>.

Однако, даже если начальное состояние факторизовано, то после взаимодействия подсистем друг с другом или через окружение, их состояние может стать перепутанным. В таком состоянии подсистемы описываются только матрицей плотности, в то время как система в целом характеризуется либо волновой функцией, либо нефакторизуемой матрицей плотности.

Существует достаточно много способов создания перепутанных состояний. Во-первых, это может быть физический процесс, в результате которого возникают перепутанные состояния, другими словами, источник перепутанных состояний. Здесь следует упомянуть о процессе спонтанного параметрического рассеяния (СПР) света, имеющего место в нелинейных средах без центра инверсии [2]. Бифотонное поле, возникающее в таком процессе, состоит из пар коррелированных по времени, поляризации, частотам и месту рождения фотонов. На основе такого двухфотонного поля можно приготовить состояния, перепутанные не только по

1 От английского «entangled» - запутанный непрерывным переменным, импульсу или координате, но и по дискретным, например по поляризации.

Другой способ заключается в приготовлении перепутанных состояний из первоначально независимых, например состояний атомов, ионов или мезоскопических объектов [3]. Оказывается, что управление над процессом перепутывания возможно осуществить при помощи оптического излучения. Такая идея лежит в основе создания квантового повторителя (quantum repeater) - устройства, позволяющего передавать перепутанные состояния на большие расстояния [4-6].

В настоящей работе исследуется механизм возникновения перепутывания между двумя двухуровневыми атомами, находящимися в поле общего термостата. Когерентный контроль над степенью перепутывания реализовывается классическим электромагнитным полем. Интерес к исследованию такой модели взаимодействия обусловлен возможностью применения кинетических уравнений, описывающих динамику процесса перепутывания, в реальных квазиодномерных системах, таких как фотонные кристаллы или световые волокна.

Квантово-коррелированные частицы представляют основной ресурс для различных схем квантовой телепортации и криптографии, используются в корреляционной спектроскопии и квантовой метрологии. Исчезновение квантовых корреляций в случае декогерентности является одним из основных принципиальных моментов на пути создания квантового компьютера.

Перепутанные состояния фотонов могут с успехом использоваться в прикладных задачах квантовой оптики и квантовой информации. Фотоны слабо взаимодействуют с окружением, сводя к минимуму эффекты декогерентизации, и легко преобразуются с помощью линейных оптических элементов. Именно на основе фотонов были реализованы протоколы квантового распределения ключа [7-10], квантовой телепортации [11-13] и плотной кодировки [14,15]. В этих работах б перепутывание рассматривалось по дискретному набору переменных, по поляризации. Такое описание не раскрывает полностью природу перепутывания, поэтому в последнее время возрос интерес к квантовым системам, перепутанным по непрерывным переменным, например импульсу и координате [16-24]. Основные задачи, возникающие при описании такого перепутывания, можно объединить в три группы:

1) как измерить степень перепутывания?

2) можно ли управлять степенью перепутывания?

3) насколько сильно можно перепутать состояния?

В диссертационной работе, на основе предложенного М.В.Федоровым подхода [25], демонстрируется возможность измерения двухчастичной степени перепутывания непосредственно из прямых экспериментальных измерений. В качестве меры перепутывания выступает отношение ширин одночастичных и двухчастичных угловых распределений излучения, рождающегося в результате СПР света. Неожиданным открытием стало обнаружение сильной анизотропии угловых распределений бифотонного поля. Это дает возможность получения высокой степени перепутывания при широком угловом спектре накачки, что до сих пор считалось невозможным. Кроме того, изменение геометрии наблюдения позволяет легко варьировать степень наблюдаемого перепутывания.

В качестве отдельной области можно выделить задачи, связанные с поляризационными свойствами бифотонов. Направления этих исследований во многом определяется задачами квантовой криптографии и вычислений. С точки зрения этих приложений, бифотон - квантовая система, чистое поляризационное состояние которой можно представить в виде трех - или четырехуровневой квантовой системы2. Особый интерес представляет случай, когда оба фотона, составляющие пару,

2 Определение D-уровневой системы, относящееся к энергетическим состояниям, здесь не вполне уместно, поскольку никаких реальных "уровней" в этих системах нет, под "уровнями" подразумеваются базисные состояния. Однако, в настоящее время эта терминология общепринята, и мы будем ее придерживаться. распространяются в одной пространственной моде (однопучковый бифотон). В ряде случаев, использование квантовых многоуровневых систем как носителей информации имеет некоторые преимущества по сравнению с кубитами, двухуровневыми системами. Так, увеличение размерности гильбертова пространства увеличивает стойкость криптографического протокола перед некоторыми классами атаками подслушивания [97-101].

Использование квантовых состояний высокой размерности в прикладных задачах подразумевает под собой процедуры контроля над тремя основными этапами - генерацией, преобразованием и измерением состояний. Корреляция фотонов в парах может быть измерена при помощи схемы совпадений фотоотсчетов при использовании счетных фотодетекторов. Схемы, основанные на регистрации четвертого момента по полю или числа совпадений фотоотсчетов, позволяют восстановить неизвестное поляризационное состояние бифотона.

В настоящей работе предложено два протокола статистического восстановления неизвестного поляризационного состояния четырехуровневой системы - кукварта. Один из них основан на измерении проекций исследуемого состояния в различных поляризационных базисах путем проведения линейных поляризационных преобразований в плечах интерферометра Брауна-Твисса после пространственного разделения бифотона. Во втором методе поляризационные преобразования осуществляются над бифотоном, как над цельным объектом.

Частотная невырожденность фотонов, формирующих кукварт, нашла применение в удобном способе приготовления и регистрации определенного класса состояний, необходимых для реализации протокола квантового распределения ключа. Конечно, существуют и другие протоколы, основанные на использовании систем повышенной размерности, но интерферометрическая техника, используемая в данных протоколах, сильно усложняет практическую реализацию.

Таким образом, подводя итог вышесказанному, можно сформулировать задачи диссертационной работы:

1. Исследование механизма возникновения перепутывания между состояниями двух независимых двухуровневых атомов, находящихся в поле общего термостата и взаимодействующих с классическим электромагнитным полем: определение принципиальных условий, при которых перепутывание может иметь место, и изучение методов когерентного контроля над квантовыми состояниями.

2. Анализ количественных мер перепутывания двухчастичных состояний бифотонного поля. Выявление оптимальных условий для наблюдения максимального перепутывания, а также реализация соответствующих экспериментов.

3. Реализация алгоритмов статистического восстановления всех поляризационных параметров, характеризующих произвольное состояние бифотона-кукварта.

4. Исследование экспериментальных возможностей приготовления набора базисных состояний бифотона-кукварта методами обычной поляризационной оптики.

5. Исследование вопроса о применимости поляризационных куквартов в практической реализации протокола квантового распределения ключа.

Новизна диссертационной работы заключается в следующих положениях:

1. Теоретически продемонстрирована возможность когерентного контроля над степенью перепутывания квантовых состояний.

2. Обнаружен и количественно проверен эффект сильной анизотропии перепутывания пар фотонов при СПР.

3. Разработаны и реализованы протоколы статистического восстановления произвольного поляризационного состояния бифотона -кукварта.

4. Разработана схема для практической реализации протокола квантового распределения ключа на поляризационных куквартах.

Актуальность работы обусловлена фундаментальным интересом к природе возникновения перепутывания между квантовыми состояниями, а также к методам измерения и управления степенью перепутывания. Изложенный материал представляет также достаточно полное описание поляризационных свойств оптических многоуровневых систем, которые могут быть полезны для практического применения в квантовых информационных протоколах.

Практическая ценность диссертации состоит в возможном использовании полученных результатов в квантовой оптике и квантовой информации:

• при моделировании динамики перепутывания в реальных квазиодномерных структурах

• для коммуникаций с использованием бифотонных состояний, распространяющихся в открытом пространстве

• при реализации протоколов квантового распределения ключа на многоуровневых системах

Результаты работы прошли апробацию на следующих международных и российских конференциях:

II Меяедународная Конференция по Оптике Лазеров для молодых ученых, Санкт-Петербург, Россия, 2003г. Всероссийская Молодежная

Научная Школа, «Когерентная Оптика и Оптическая Спектроскопия», Казань, Россия, 2003г. VIII Международный симпозиум «Фотонное Эхо и Когерентная Спектроскопия» (PECS'2005), Солнечногорск, Россия, 2005г. Международный симпозиум «Квантовая информатика» (QI'05), Звенигород, Россия, 2005г. XI International Conference on Quantum Optics (ICQO'06), Минск, Белоруссия, 2006г. Coherent Control of the Fundamental Processes in Optics and X-ray-Optics (CCFP'2006), Н.Новгород - Казань, Россия, 2006г. Международная конференция «1СО Topical Meeting on Optoinformatics/ Information Photonics», Санкт-Петербург, Россия, 2006г., Seminar of the Quantum Optics Division, University of Rochester, Rochester, NY, USA, 2006г., Общеинститутский семинар ИОФ РАН, 2007г., 3,4 Семинар памяти Д.Н. Клышко, Москва, Россия, 2003,2005гг.

Диссертационная работа состоит из трех глав, введения и заключения:

Первая глава посвящена вопросу о перепутывании атомов, находящихся в поле общего термостата и взаимодействующих с внешним классическим электромагнитным полем. Рассматриваются различные модели термостата - однонаправленная, одномерная и трехмерная, а также сжатый термостат. Показано, что дополнительное резонансное взаимодействие с классическим электромагнитным полем позволяет существенно расширить область параметров атомной системы, при которых происходит перепутывание, причем степенью перепутывания можно эффективно управлять, меняя характеристики резонансного воздействия. Во второй главе рассмотрено влияние анизотропии кристалла на структуру бифотонного пакета. Было показано, что профиль одночастичных и двухчастичных угловых распределений, наблюдаемых в двух различных геометриях эксперимента, имеет ярко выраженное анизотропное распределение. Это приводит к проявлению сильной зависимости наблюдаемой степени перепутывания между фотонами от ориентации кристалла и способа детектирования. Экспериментально реализован операциональный метод определения степени перепутанности бифотонов. В третьей главе рассматриваются поляризационные свойства четырехуровневых оптических систем (куквартов) на основе частотно невырожденного бифотонного поля. Обсуждаются методы приготовления и преобразования бифотонов-куквартов. Показано, что степень поляризации не является инвариантом относительно SU(2) преобразований. Представлено два протокола статистического восстановления неизвестного состояния кукварта и обсуждаются особенности их экспериментальной реализации. Рассматриваются физические принципы работы протокола квантового распределения ключа на четырехуровневых оптических системах.

В заключении сформулированы основные выводы и результаты диссертационной работы, представляющие собой суть выносимых на защиту положений.

1. Определено влияние классического электромагнитного поля на возникновение перепутывания между состояниями двух независимых двухуровневых атомов, находящихся в поле общего термостата. Степенью перепутывания можно эффективно управлять при помощи внешнего электромагнитного поля.

2. Определено условие, при котором возможно наблюдение высокой степени перепутывания пар фотонов при СПР. В этом случае волновой пакет бифотона определяется только параметрами нелинейного кристалла, а не угловым спектром накачки.

3. С помощью реализованных протоколов статистического восстановления можно полностью восстановить информацию о поляризационном состоянии бифотона-кукварта.

4. Развитая концепция поляризационных преобразований многомодового оптического поля позволяет эффективно применять бифотоны-кукварты в протоколах квантового распределения ключа.

Основные материалы диссертации опубликованы в следующих работах:

К1] А.М.Башаров, Е.В. Морева, Э.А.Маныкин «Перепутывание атомов резонансным классическим электромагнитным полем», Оптика и Спектроскопия, т.9 6, №5, с. 724-731 (2004) [К2] Ю.И. Богданов, Р.Ф. Галеев, С.П. Кулик, Г.А. Масленников, Е.В. Морева «Реконструкция четырехуровневых состояний бифотонного поля», Письма в ЖЭТФ, т.82, вып.З, с. 180-184 (2005) [КЗ] С.П. Кулик, Г.А. Масленников, Е.В. Морева «К вопросу о практической квантовой криптографии на многоуровневых системах», ЖЭТФ, т.129, в.5, с. 814 (2006) [К4] E.V. Moreva, G.A. Maslenikov, S.S. Straupe and S.P. Kulik, «Four-level states based on biphoton», Phys. Rev. Lett. 97, p. 023602 (2006) [K5] Yu.I. Bogdanov, E.V. Moreva, G.A. Maslepnikov, R.F. Galeev, S.S. Straupe and S.P. Kulik, «Polarization states of four-level systems», Phys. Rev. A 73, p. 063810 (2006) [Кб] С.П. Кулик, Е.В. Морева, C.C Страупе, «Поляризационные преобразования бифотонов», Ученые записки казанского государственного университета, т. 148, к.1, с.152, (2006) [К7] Ю.И. Богданов, Р.Ф. Галеев, С.П. Кулик, Е.В. Морева, «Математическое моделирование характеристик точности в задачах прецизионной квантовой томографии двухфотонных состояний», Оптика и Спектроскопия, т.ЮЗ, №1, с.112-121, (2007)

Заключение диссертации по теме «Лазерная физика», Морева, Екатерина Васильевна

Выводы к главе III

В данной главе рассматриваются поляризационные свойства четырехуровневых оптических систем на основе частотно невырожденного бифотонного поля. Обсуждаются методы приготовления и преобразования бифотонов-куквартов. Показано, что степень поляризации не является инвариантом относительно SU(2) преобразований.

Представлено два протокола статистического восстановления неизвестного состояния кукварта и обсуждаются особенности их экспериментальной реализации. Проведены измерения набора моментов четвертого порядка, определяющих матрицу когерентности для различных состояний входного бифотонного поля. По результатам измерений восстановлены компоненты матрицы когерентности четвертого порядка и все значения комплексных амплитуд входных состояний. Высокая мера соответствия исходному состоянию подтверждает применимость предложенных процедур.

Также было рассмотрен вопрос о физических принципах построения протокола квантового распределения ключа на бифотонах-куквартах. Основываясь на развитой концепции поляризационных преобразований многомодового оптического поля, было показано, что необходимый для КРК набор состояний может быть получен при помощи одного нелинейного кристалла и дальнейших унитарных преобразований, совершаемых оптическими элементами. Это позволяет избежать использования интерферометрических схем, обладающими серьезными недостатками, такими как нестабильность во времени, необходимость прецизионного контроля относительной фазы состояний и высокие требования к совмещению в пространстве-времени разных компонент состояний. Также была разработана схема регистрации, позволяющая детерминистическим образом измерять необходимый набор состояний.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении сформулируем основные результаты, полученные в работе:

1. Определены принципиальные условия возникновения перепутывания между двумя независимыми двухуровневыми атомами, находящимися в поле общего термостата. Показано, что классическое электромагнитное поле существенно расширяет область параметров, при которых происходит перепутывание и позволяет осуществлять когерентный контроль над квантовыми состояниями и степенью перепутывания атомов.

2. Реализован операциональный метод определения степени перепутанности бифотонов. Показано, что профиль одночастичных и двухчастичных угловых распределений, наблюдаемых в двух различных геометриях эксперимента, имеет выраженное анизотропное распределение. Это приводит к проявлению сильной зависимости степени перепутывания между фотонами от ориентации кристалла.

3. Реализованы протоколы статистического восстановления поляризационного состояния частотно-невырожденных бифотонов (куквартов). Проведены измерения набора моментов четвертого порядка, определяющих матрицу когерентности для различных состояний входного бифотонного поля. Высокая мера соответствия исходному состоянию (более 95%) подтверждает применимость предложенных процедур.

4. Разработана схема для практической реализации протокола квантового распределения ключа на бифотонах-куквартах. Развитая концепция поляризационных преобразований многомодового оптического поля показала возможность приготовления необходимого для КРК набора базисных состояний при помощи одного нелинейного кристалла и линейных оптических элементов. Предложенная схема регистрации позволяет измерять необходимый набор базисных состояний и обладает низким уровнем потерь.

В заключение, пользуясь предоставленной возможностью, я хочу от всей души поблагодарить моего научного руководителя профессора Кулика Сергея Павловича за неоценимую помощь в создании диссертации. Мне повезло, я попала в коллектив замечательных людей. Дружественная атмосфера и готовность всегда помочь оказали неоценимое влияние на мой творческий настрой. Я очень благодарна профессору Александру Николаевичу Пенину, Марии Владимировне Чеховой, Виталию Ивановичу Соустину, Галии Хасановне Китаевой, Глебу Масленикову, Тимуру Исхакову, Стасу Страупе, а так же остальным сотрудникам, аспирантам и студентам лабораторий СПР и КИКО. Мне было приятно работать с кандидатом физ.-мат. наук Башаровым Асхатом Масхудовичем. Если бы не выдающийся теоретик профессор Федоров Михаил Владимирович, не было бы целой главы диссертации. Я благодарю доктора физ.-мат. наук Юрия Ивановича Богданова за плодотворное и интересное сотрудничество.

Отдельное спасибо моей сестре за моральную поддержку и содействие в налаживании первых дипломатических отношений. Особенно благодарю своего мужа за плодотворные дискуссии на тему квантовой физики и полезные советы при написании диссертации. Спасибо родителям, друзьям, знакомым за поддержку и ободрение.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Морева, Екатерина Васильевна, 2007 год

1. A. Einstein, В. Podolsky, and N. Rosen, Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?, Phys.Rev., 47, p.777, (1935).

2. Д.Н. Клышко, Фотоны и нелинейная оптика. М. Наука, (1980).

3. И.В.Баргатин, Б.А.Гришанин, В.Н.Задков, Запутанные квантовые состояния атомных систем, УФН 171, стр. 625-647 (2001).

4. P. van Loock, Т. D. Ladd, К. Sanaka, F. Yamaguchi, Кае Nemoto, W. J. Munro, and Y. Yamamoto, Hybrid Quantum Repeater Using Bright Coherent Light, Phys. Rev. Lett. 96, p.240501, (2006).

5. C.A. Sackett, D. Kielpinski, B.E. King, C. Langer, V. Meyer, С J. Myatt, M. Rowe, Q.A. Turchette, W.M. Itano, D.J. Wineland, I.C. Monroe, Experimental entanglement of four particles, Nature, 404, p.256-259, (2000).

6. J. Hald, J. L. Snrensen,, C. Schori, and E. S. Polzik, Spin squeezed atoms: a macroscopic entangled ensemble created by light., Phys. Rev. Lett, 83, p. 1319-1322,(1999).

7. C.H. Bennett and G. Brassard, Quantum Cryptography. Public Key Distribution and Coin Tossing, in Proceedings of the IEEE international conference on Computers, Systems and Signal Processing, Bangalore, India (IEEE, New York, 1984), p.175

8. C.H. Bennett, F. Bessette, G. Brassard, L. Salvail and J. Smolin,

9. Experimental Quantum Cryptography. Journal of Cryptology, 5,1992).

10. A. Ekert, Quantum Cryptography based on Bell's Theorem. Phys. Rev. Lett., 67, p.661, (1992).

11. A. Ekert, J. Rarity, P. Tapster and G.M. Palma, Practical quantum cryptography based on two-photon interferometry. Phys. Rev. Lett., 69, p. 1293, (1992).

12. И. С. H. Bennett, G. Brassard, C. Crepeau, R. Jozsa, A. Peres, and W. K. Wootters, Teleporting an unknown quantum state via dual classical and Einstein-Podolsky-Rosen channels. Phys. Rev. Lett., 70, p. 1895,1993).

13. D. Bowmeester, J.-W. Pan, K. Mattle, M. Eible, H. Weinfurter and A. Zeilinger, Experimental Quantum Teleportation. Nature, 390, p. 575, (1997).

14. Y.H. Kim, S.P. Kulik, Y.H. Shih, Quantum Teleportation of a Polarization State with a Complete Bell State Measurement. Phys. Rev. Lett., 86, p. 1370,(2001).

15. С. H. Bennett and S. J. Wiesner, Communication via One- and Two-Particle Operators on Einstein-Podolsky-Rosen states. Phys. Rev. Lett., 69, p. 2881, (1992).

16. K. Mattle, H. Weinfiirter, P. G. Kwiat, and A. Zeilinger, Dense Coding in Experimental Quantum Communication. Phys. Rev. Lett., 76, p. 4656, (1996).

17. M.H. Rubin, Transverse correlation in optical spontaneous parametric down-conversion, Phys. Rev. A, 54, p. 5349, (1996).

18. A.V. Burlakov, M.V. Chekhova, D.N. Klyshko, S.P. Kulik, A.N. Penin, Y.H. Shih, and D.V. Strekalov, Interference effects in spontaneous two-photon parametric scattering from two macroscopic regions, Phys. Rev. A, 56, p. 3214,(1997).

19. C.H. Monken, P.H. Souto Ribeiro, and S. Padua, Transfer of angular spectrum and image formation in spontaneous parametric down-conversion, Phys. Rev. A, 57, p. 3123, (1998).

20. S.P. Walborn, A.N. de Oliveira, and C.H. Monken, Multimode Hong-Ou-Mandel Interference, Phys. Rev. Lett., 90, p. 143601, (2003).

21. M.D'Angelo, Y.-H.Kim, S.Kulik, and Y.Shih, Identifying Entanglement Using Quantum Ghost Interference and Imaging, Phys. Rev. Lett. 92, p. 233601, (2004).

22. C.K. Law and J.H. Eberly, Analysis and Interpretation of High Transverse Entanglement in Optical Parametric Down Conversion, Phys. Rev. Lett., 92, p. 127903, (2004).

23. J.C. Howell, R.S. Bennink, S.J. Bentley, and R.W. Boyd, Realization of the Einstein-Podolsky-Rosen Paradox Using Momentum- and Position-Entangled Photons from Spontaneous Parametric Down Conversion, Phys. Rev. Lett., 92, p. 210403, (2004).

24. M.V. Fedorov, M.A. Efremov, P.A. Volkov, and J.H. Eberly, Shortpulse or strong-field breakup processes: a route to study entangled wave packets, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys., 39, S467, (2006).

25. K.W. Chan, C.K. Law and J.H. Eberly, Quantum entanglement in photon-atom scattering, Phys Rev. A, 68, p.022110, (2003).

26. E.Joos, H.D.Zeh, C.Kiefer, D.Giulini, J.Kupsch, I.-O.Stamatescu, Decoherence and the Appearance of a Classical World in Quantum Theory, Springer, (1996).

27. М.Б.Менский, Квантовые измерения и декогеренция. Модели и феноменология, М.: ФИЗМАТЛИТ, (2001).

28. G.K. Brennen, С.М. Caves, P.S. Jessen, and I.H. Deutsch, Quantum Logic Gates in Optical Lattices, Phys. Rev. Lett. 82, p. 1060, (1999).

29. A.Beige, S.F.Huelga; P.L.Knight, M.B.Plenio, R.C.Thompson, Coherent Manipulation of Two Dipole-Dipole Interacting Ions, Journal of Modern Optics, 47, p.401, (2000).

30. I.V.Bargatin, B.A.Grishanin, V.N.Zadkov, Generation of Entanglement in a System of Two Dipole-Interacting Atoms by Means of Laser Pulses, Fortschritte der Physik, 48, p. 637, (2000).

31. А.М.Башаров, Перепутывание Атомных Состояний при Коллективном Радиационном Распаде, Письма в ЖЭТФ, 75, р. 151, (2002).

32. A.M.Basharov, Decoherence and Entanglement in Radiative Decay of a Diatomic System, JETP, 94, 1070, (2002).

33. H.T.Dung, S.Scheel, D.-G.Welsch, L.Knoll, Atomic entanglement near a realistic microsphere, J.Opt.B 4, SI69, (2002).

34. L.Jakobczyk, Entangling two qubits by dissipation, J. Phys. A, 30, 6383, (2002).

35. S.Schneider, G.J.Milburn, Entanglement in the steady state of a collective angular-momentum (Dicke) model, Phys.Rev. A, 65, 042107, (2002).

36. J.P.Clemens and H.J.Carmichael, Stochastic initiation of superradiance in a cavity: An approximation scheme within quantum trajectory theory, Phys.Rev. A, 65,023815, (2002).

37. B. A. Grishanin and V. N. Zadkov, Simple Quantum Systems as a Source of Coherent Information, JETP, 91, 905, (2000).

38. Д.А.Гришанин, Д.В.Сыч, Совместимая квантовая информация в задаче Дике, Вестник МГУ, сер.З (физ.астр.), вып.4, р. 37, (2002).

39. A.N.Korotkov, Continuous measurement of entangled qubits, Phys. Rev. A, 65, p. 052304, (2002).

40. I.E.Protsenko, G.Reymond, N.Schlosser, P.Grangier, Conditional quantum logic using two atomic qubits, Phys. Rev. A, 66, p. 062306, (2002).

41. M. O. Scully, K. Driihl, Quantum eraser: A proposed photon correlation experiment concerning observation and "delayed choice" in quantum mechanics, Phys. Rev. A 25, p. 2208-2213, (1982).

42. W.K. Wootters, Entanglement of Formation of an Arbitrary State of Two Qubits, Phys. Rev. Lett, 80, p. 2245, (1998).

43. G.Lindblad, On the generators of quantum dynamical semigroups, Comm.Math.Phys., 48, p. 119-130, (1976).

44. A.Peres, Separability Criterion for Density Matrices, Phys. Rev. Lett, 77, p.1413, (1996).

45. M.Horodecki, P.Horodecki, R.Horodecki. Separability of mixed states: necessary and sufficient conditions arXiv:quant-ph/9605038, (1996).

46. А.М.Башаров, А.А.Башкеев, Возникновение Квантовых Корреляций в Системе Двух Двухуровневых Атомов, Оптика и Спектроскопия, т. 96, № 5, (2004).

47. C.W.Gardiner, Quantum noise. Berlin: Springer, (1991).

48. Л.Мандель, Э.Вольф, Оптическая когерентность и квантовая оптика. М.: ФИЗМАТЛИТ, (2000).

49. Д.Н.Клышко. Когерентный распад фотонов в нелинейной среде.

50. Письма в ЖЭТФ, 6, стр. 490-492, (1967).

51. S.E. Harris, М.К. Oshman and R.L. Beyer, Observation of tunable parametric fluorescence, Phys. Rev. Lett., 18, pp.732-735, (1967).

52. C.A. Ахманов, B.B. Фадеев, P.B. Хохлов, O.H. Чунаев, Квантовые шумы в параметрических усилителях света, Письма в ЖЭТФ, 6, сс. 575-578, (1967).

53. С. Kurtsiefer, М. Oberparleiter and Н. Weinfurter, High-efficiency entangled photon pair collection in type-II parametric fluorescence, Phys. Rev. A, 64, p. 023802, (2001).

54. R.S. Bennink, Y.Liu, D.D. Earl, and W.P. Grice, Spatial distinguishability of photons produced by spontaneous parametric down-conversion with a focused pump, Phys. Rev. A, 74, p. 023802, (2006).

55. M.N.Soskin, V.N.Gorshkov, M.V.Vasnetsov, J.T.Malos, N.R.Heckenberg, Topological charge and angular momentum of light beams carrying optical vortices, Phys.Rev.A, 56, p.4064, (1997).

56. A.Vaziri, J-W.Pan, TJennewein, G.Weihs, A.Zeilinger, Concentration of Higher Dimensional Entanglement: Qutrits of Photon Orbital Angular Momentum, Phys.Rev.Lett., 91, p. 227902, (2003).

57. A.Vaziri, G.Weihs, A.Zeilinger, Experimental Two-Photon, Three-Dimensional Entanglement for Quantum Communication, Phys.Rev.Lett., 89, p. 240401, (2002).

58. D.Collins, N.Gisin, N.Linden, S.Massar, S.Popesku, Bell Inequalities for Arbitrarily High-Dimensional Systems, Phys.Rev.Lett., 88, p. 040404, (2002).

59. N.Langford, R.B.Dalton, M.D.Harvey, J.L.O'Brien., Measuring Entangled Qutrits and Their Use for Quantum Bit Commitment, Phys. Rev Lett, 93, p. 053601, (2004).

60. M.N.O'Sullivan-Hale, I.A.Khan, R.W.Boyd, J.C.Howell, Pixel Entanglement: Experimental Realization of Optically Entangled d=3 and <t= 6 Qudits, Phys.Rev.Lett., 94, p. 220501, (2005).

61. L.Neves, G.Lima, J.G.Aguirre Gomez, C.H.Monken, C.Saavedra, S.Padua, Generation of Entangled States of Qudits using Twin Photons, Phys.Rev.Lett, 94, p. 100501, (2005).

62. G.M.D'Ariano, P.Mataloni, M.F.Sacchi, Generating qudits with d= 3,4 encoded on two-photon states, Phys.Rev.A, 71, p. 062337, (2005).

63. R.T. Thew, A. Acin, H. Zbinden and N. Gisin, Entangled Qutrits and Bell's Inequality Violation. J. of Quantum Information and Computation, 4,2, p. 93, (2004).

64. R.T.Thew, A.Acin, H.Zbinden, N,Gisin, Bell-Type Test of Energy-Time Entangled Qutrits, Phys.Rev.Lett, 93, p. 010503, (2004).

65. J.D.Franson, Bell inequality for position and time, Phys.Rev.Lett. 62, p. 2205, (1989).

66. A.Lamas-Linares, J.C.Howell, D.Boumeester, Stimulated emission ofpolarization-entangled photons, Nature 412, p. 887, (2001).i

67. J.C.Howell, A.Lamas-Linares, D.Boumeester, Experimental Violation of a Spin-1 Bell Inequality Using Maximally Entangled Four-Photon States, Phys.Rev.Lett. 88, p. 030401, (2002).

68. D.Kaszlikovski, P.Gnasinski, M.Zukowski, W.Miklaszewski, A.Zeilinger, Violations of Local Realism by Two Entangled N-Dimensional Systems Are Stronger than for Two Qubits, Phys.Rev.Lett., 85, p. 4418, (2000).

69. D.Kaszlikovski, L.C.Kwek, J-L.Chen, M.Zukowski, C.H.Oh, Clauser-Horne inequality for three-state systems, Phys.Rev.A, 65, p. 032118, (2002).

70. H.Riedmatten, I.Marcikic, V.Scarani, W.Tittel, H.Zbinden, N.Gisin, Tailoring photonic entanglement in high-dimensional Hilbert spaces, Phys.Rev.A 69, p.050304, (2004).

71. JI.A. Кривицкий, С.П. Кулик, A.H. Пении, M.B. Чехова, Бифотоны как трехуровневые системы. Преобразование и измерение. ЖЭТФ, 124, 4(10), с. 1-13, (2003).

72. Ю.И. Богданов, JI.A. Кривицкий, С. П. Кулик, Статистическое восстановление квантовых состояний оптических трехуровневых систем. Письма в ЖЭТФ, 78,6, с. 51, (2003).

73. Yu.I. Bogdanov, M.V. Chekhova, L.A. Krivitsky, S.P. Kulik, C.H. Oh, M.K. Tey and A.A. Zhukov, Statistical Reconstruction of Qutrits. Phys. Rev. A, 70, p. 063850, (2004).

74. R.B.A. Adamson, L.K. Shalm, M.W. Mitchell, A. M. Steinberg, State Tomography: Hidden Differences, quant-ph/0601134, (2006).

75. D.F.V. James, P. Kwiat, W. Munro and A. White, Measurement of Qubits. Phys. Rev. A, 64, p. 052312, (2001).

76. M.V. Chekhova, L.A. Krivitsky, S.P. Kulik, G.A. Maslennikov, Orthogonality of biphoton polarization states, Phys. Rev. A, 70, p. 052801, (2004).

77. A.B. Бурлаков, M.B. Чехова, Поляризационная оптика бифотонов, Письма в ЖЭТФ, 75, с.505, (2002).

78. М. Борн, Э. Вольф, «Основы оптики», Наука, Москва, (1970).

79. V. P. Karassiov, Polarization States of Light and Their Quantum Tomography, J. Phys A, 26, p. 4345, (2005).

80. A.Sehat, J. Soderholm, G. Bjork, P. Espinoza, A.B. Klimov, and L.L. Sanchez-Soto, Quantum polarization properties of two-mode energy eigenstates, Phys. Rev. A.,71, p. 033818, (2005).

81. В.П. Карасев, A.B. Масалов, «Состояния неполяризованного света в квантовой оптике», Опт. и Спектр, том 74, №5, стр. 928-936, (1993).

82. D.I.Guzun, A.N.Penin, "Hidden" Polarization of Two Mode Coherent Light", Proc. SPIE, 2799, p. 249-252, (1996).

83. Д.Н.Клышко, "Поляризация света: эффекты четвертого порядка и поляризационно-сжатые состояния", ЖЭТФ, 111, вып.6, с. 1955-1983,(1997).

84. Бурлаков А.В., Кулик С.П., Рытиков Г.О., Чехова М.В., Генерация бифотонного света в поляризационно-частотных белловских состояниях, ЖЭТФ, т. 122, с.738, (2002)

85. Twiss R.Q, Little A.G., Brown R.H., Correlation between photons in coherent beams of light, detected by a coincidence counting technique. Nature, 180, pp. 324-326, (1957).

86. Ю.И. Богданов, Основные понятия классической и квантовой статистики, корневой подход. Оптика и Спектроскопия, 96, 5, с. 735, (2004).

87. Ю.И. Богданов, Основная задача статистического анализа данных: корневой подход. М., МИЭТ, (2002).

88. С.Е. Shannon, Communication Theory in Secrecy Systems. Bell System Technical Journal. 28, p. 656, (1949).

89. G. Vernam, Cipher printing telegraph systems for secret wire and radio telegraphic communications, J. Am. Institute of Electrical Engineers Vol. XLV, p. 109-115., (1926).

90. Diffie, W. and Hellman M.E., New directions in cryptography, IEEE Trans, on Information Theory, 22, pp. 644-654, (1976).

91. T.ElGamal. A Public-Key Cryptosystem and a Signature Scheme Basedon Discrete Logarithms. IEEE Trans. Inform. Theory, IT-31, pp.469472., (1985).

92. Rivest, R.L, Shamir A. and Adleman L.M., A Method of Obtaining Digital Signatures and Public-Key Cryptosystems, Communications of he ACM, 21, p. 120-126, (1978).

93. C. Kurtsiefer, P. Zarda, M. Haider, H. Weinfurter, P. M. Gorman, P. R. Tapster, J. G. Rarity, Quantum cryptography: A step towards global key distribution. Nature, 419, p. 450, (2002).

94. Rarity J. G, Tapster P. R, Gorman P. M, Knight P, "Ground to satellite secure key exchange using quantum cryptography", New J. Phys., 4, p. 82, (2002).

95. Hughes R. J, Nordholt J. E, Derkas D, Peterson C. G, "Practical free-space quantum key distribution over 10 km in daylight and at night", New J. Phys., 4, p. 43,(2002).

96. Bennett, Ch.H, Quantum cryptography using any two nonorthogonal states. Phys. Rev. Lett, 68, p. 3121-3124, (1992).

97. J.F.Clauser, M.A. Home, A. Shimony, and R.A. Holt, Proposed experiment to test local hidden variable theories, Phys. Rev. Lett, 23, p. 880-884, (1969).

98. H. Bechmann-Pasquinucci, W. Tittel, Quantum Cryptography using Larger Alphabets. Phys. Rev. A 61, p. 062308, (2000)

99. H. Bechmann-Pasquinucci, A. Peres, Quantum Cryptography with 3

100. State Systems. Phys. Rev. Lett., 85, p. 3313, (2000).

101. N.J. Cerf, M. Bourennane, A. Karlsson and N. Gisin, Security of Quantum Key Distribution Using d-Level Systems. Phys. Rev. Lett., 88, 127902,(2002).

102. D.Bruss, Optimal Eavesdropping in Quantum Cryptography with Six States Phys.Rev.Lett. 81, 3018, (1998).

103. H.Bechmann-Pasquinucci, and N.Gisin, Incoherent and coherent eavesdropping in the six-state protocol of quantum cryptography Phys.Rev.A. 59,4238, (1999).

104. Л.А.Кривицкий, С.П.Кулик, Г.А.Масленников, М.В.Чехова, Приготовление бифотонов в произвольном поляризационном состоянии, ЖЭТФ 127,1, (2005).

105. N.Lutkenhaus, J.Calsamiglia, and K.-A.Suominen, Bell measurements for teleportation Phys.Rev.A, 59, №5, p. 3295-3300, (1999).

106. G.A.MasIennikov, A.A.Zhukov, M.V.Chekhova, S.P.Kulik, Practical realization of a quantum cryptography protocol exploiting polarization encoding in qutrits, Journal of Optics В 5, p. 530, (2003).

107. N. Gisin, G. Ribordy, W. Tittel and H. Zbinden, Quantum cryptography Rev. Mod. Phys. 74, 145, (2002).