Квантовые вычисления с использованием многоуровневых систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Николаева Анастасия Сергеевна

• Николаева Анастасия Сергеевна
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Николаева Анастасия Сергеевна

Оглавление

Стр.

Глава 1. Введение

1.1 Текущее состояние развития квантовых вычислений

1.2 Цифровая модель квантовых вычислений с использованием кубитов

1.3 Развитие квантовых вычислений с использованием многоуровневых систем

1.4 Цели и задачи диссертационного исследования

1.5 Результаты диссертационного исследования, выносимые на защиту

Глава 2. Реализация обобщенного гейта Тоффоли на кудитах

различной размерности

2.1 Модель квантового процессора на кудитах различной размерности

2.2 Соотношение между размерностью кудитов и топологией их связей

2.3 Реализация обобщенного гейта Тоффоли

2.4 Реализация многокубитного унитарного контролируемого гейта

2.5 Выводы

Глава 3. Реализация обобщенного гейта Тоффоли на кутритах

3.1 Модель кутритного процессора и базовые гейты

3.2 Декомпозиция обобщенного гейта Тоффоли на кутритах

3.3 Использование декомпозиции многокубитного гейта на архитектуре существующего процессора на сверхпроводящих кутритах

3.4 Сравнение декомпозиции обобщенного гейта Тоффоли на кутритах с раннее предложенными декомпозициями на кубитах

и кудитах

3.5 Выводы

Стр.

Глава 4. Реализация квантовых алгоритмов на кудитных квантовых

процессорах

4.1 Общий подход к реализации квантовых алгоритмов на многоуровневых системах

4.2 Кудитная транспиляция

4.2.1 Модуль поиска оптимального отображения

4.2.2 Конструктор кудитной цепочки

4.3 Реализация 6-кубитного квантового алгоритма

с использованием кудитов

4.4 Выводы

Глава 5. Декомпозиция обобщенного гейта Тоффоли на куквинтах

и её применение к реализации алгоритма Гровера

5.1 Куквинт как два кубита с дополнительным уровнем

5.2 Реализация обобщенного гейта Тоффоли на куквинтах

5.3 Применение декомпозиции обобщенного гейта Тоффоли на куквинтах к алгоритму Гровера

5.4 Выводы

Заключение

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квантовые вычисления с использованием многоуровневых систем»

Глава 1. Введение

В течение последнего столетия сфера вычислительных технологий переживала огромный скачок в развитии, что оказало значительное влияние не только на научно-технический прогресс, но и жизнь человечества в целом. От устройства, которое в начале 20-го века было практически не способно самостоятельно выполнять математические вычисления, компьютеры превратились в устройства, способные при условии корректного ввода данных и инструкций практически мгновенно решать сложные задачи. Помимо прогресса в производительности, мощности и эффективности компьютеры в то же время стали меньше в размерах и дешевле по сравнению с первыми огромными и дорогостоящими экземплярами. Всё это стало возможным благодаря постоянному совершенствованию архитектуры и элементной базы, развитию внутренних аппаратных компонентов, а также улучшению работающего на них программного обеспечения.

Основным аппаратным элементом, использующимся в классических компьютерах является транзистор - полупроводниковое устройство, позволяющее усиливать и переключать электрические сигналы, тем самым выполняя классические логические операции. Именно прогресс в технологии их производства и их компактном размещении на кремниевых чипах внес наибольший вклад в уменьшение размеров современных компьютеров. В 1965 году один из основателей компании Intel, Мур, заметил, что количество транзисторов, которое можно разместить на одной кремниевой интегральной схеме, с каждым годом увеличивается приблизительно в два раза. Это эмпирическое наблюдение в последствии получило название закон Мура. С одной стороны, закон Мура говорит о том, что компьютеры с течением времени будут становиться всё меньших размеров, в то время как их вычислительная мощность будет только расти. Если в 1965 году на одной микросхеме можно было уместить 30 транзисторов, то сейчас на одной микросхеме удается разместить уже порядка 55 миллионов транзисторов. С другой стороны, в 2003 году в своей работе [1] Мур отметил, что рост миниа-

тюризации не может продолжаться с такой скоростью на протяжении длительного периода времени ввиду наличия различных физических пределов. Если скорость миниатюризации не уменьшится, то в скором времени компоненты компьютеров должны достичь атомарных масштабов, на которых они не смогут выполнять роль переключателей, потому что квантовые эффекты начнут вносить заметный вклад в управление поведением микросхем. Уже сейчас при переходе с используемых транзисторов размером 10 нм на транзисторы размером 5 нм и 7 нм мировые лидеры по производству процессоров встречают определенные технологические трудности. Несмотря на то что данные трудности могут быть преодолены за счет других факторов, не менее важным оставался вопрос об учёте квантовых эффектов в процессе вычислений и поиске способов их эффективного использования.

Понимая, что при миниатюризации классических компьютеров, основанных на транзисторах, рано или поздно придется считаться с квантовыми эффектами, параллельно с разработкой классических компьютеров ученые активно исследовали вопрос о том, какие физика в целом, в том числе квантовая механика, накладывает ограничения на процесс вычислений. В 1961 году Ландауэр в работе [2] показал, что необратимые логические операции, такие как логическое И, обязательно должны сопровождаться диссипацией энергии: при потере 1 бита информации в процессе вычисления выделяется (как минимум) энергия, равная кТ 1п2 Дж. Т.е. при выполнении необратимой логической операции будет увеличиваться энтропия, т.к. из доступной информация будет преобразована в недоступную. В 1973 году пользуясь результатом Ландауэра, полученным в [2], Беннет (а также независимо Фредкин и Тоффоли [3]) показал, что все вычисления в принципе могут быть проведены с использованием только обратимых логических операций [4]. Для демонстрации этого он построил физическую модель обратимых квантовых вычислений, основанную на молекулярных системах, например, таких как ДНК [5]. Преимущество обратимых логических операций над необратимыми логическими операциями заключается в том, что при их выполнении информация не теряется, а значит не происходит диссипация энергии. Из этого следует, что тот факт, что при вычислениях на современных классиче-

ских компьютерах наблюдается значительная диссипация энергии, обусловлен в первую очередь инженерными соображениями (в том числе тем, что одной из основных логических операций, используемых в классических компьютерах, является необратимая логическая операция И), нежели законами физики. Обратимые вычисления могут быть реализованы на классических компьютерах, но поскольку в обратимых вычислениях информация должна сохраняться, будет возникать большое количество дополнительных битов, которые необходимо хранить.

Обнаружив, что вычисления можно организовать таким образом, чтобы диссипации энергии не происходило, вопрос о том, накладывает ли квантовая механика и соотношение неопределенностей какие-либо ограничения на возможности вычислительных устройств, Беннет задал Фейнману. Изучая эту проблему, Фейнман выяснил, что принципиальных ограничений на возможности вычислительных устройств квантовая механика не накладывает, за исключением естественных размерных ограничений, т.е. в предположении, что логические элементы вычислительного устройства не могут быть меньше одного атома [6]. Однако так как законы квантовой механики обратимы во времени, квантово-механические вычислительные устройства также должны подчиняться закону обращения, т.е. использовать только обратимые логические операции [6].

Впервые идея создания «квантовых автоматов», позволяющих моделировать физические процессы в сложных системах, например, репликацию молекулы ДНК, была описана математиком Ю. И. Маниным в 1980 году, работавшим в те годы в Математическом институт им. В. А. Стеклова, во введении к его книге «Вычислимое и невычислимое» [7]. В том же 1980 году модель квантовых вычислений была продемонстрирована и американским физиком Бениоффом. Он показал, что на таких квантово-механических системах как массивы спинов или атомов в принципе могут выполнены обратимые вычисления [8], отобразив работу обратимой машины Тьюринга на квантовую систему. Однако квантовый компьютер, предложенный Бениоффом, по мощности не превосходил классическую машину Тьюринга, так как он не использовал возникающие только в квантовой механике эффекты (запутанность).

Первое нетривиальное применение квантово-механических эффектов для вычислений было предложено Фейнманом в 1982 году [9]. Заметив, что квантовые системы не могут быть смоделированы обычными классическими компьютерами, Фейнман предложил «универсальный квантовый симулятор», который смог бы эффективно справиться с задачей моделирования других квантовых систем. Именно после того как Фейнман обратил внимание на эту проблему, квантовые вычислительные устройства стали приобретать популярность. Предложенное Фейнманом в работе [9] устройство не было квантовой машиной Тьюринга, а представляло собой в некотором смысле аналоговый компьютер, динамику которого можно было бы настраивать в соответствии с динамикой моделируемой системы.

Первой моделью квантовых вычислений, которая, наконец, по-настоящему использовала эффекты, свойственные только квантовым объектам стала предложенная в 1985 году Дойчем в работе [10] квантовая машина Тьюринга. Эта работа положила начало формальной теорий квантовых вычислений. В ней Дойч обратил внимание на то, что квантовая машина Тьюринга может быть сконструирована таким образом, чтобы использовать специфические аспекты квантовой механики для выполнения вычислений таким образом, каким классические машины Тьюринга или компьютеры не могут. В частности, как в квантовой механике допустимо (и во многих случаях обязательно), чтобы электрон находился в двух местах одновременно, так и в квантовом компьютере квантовый бит может принимать значения 0 и 1 одновременно, в то время как в классических компьютерах бит может принимать значение либо 1, либо 0. Предположив, что значение бита может выступать для компьютера командой к выполнению определенного действия, т.е. что пусть значение бита 0 дает компьютеру команду «выполнить первое действие», а 1 - «выполнить второе действие», Дойч показал, что, если квантовый бит, который принимает значения 0 и 1 одновременно, подается в квантовый компьютер, то квантовый компьютер будет «выполнять первое действие» и «выполнять второе действие» одновременно. Этот эффект Дойч назвал «квантовым параллелизмом» [11].

Первоначальные модели квантовых вычислений были описаны как весьма абстрактные. В своей работе [9] Фейнман отмечал, что ни у кого на тот момент не было ни малейшего представления о том, как может быть сконструирован квантовый компьютер. За исключением нескольких простых алгоритмов, использующих описанный Дойчем квантовый параллелизм [12; 13], у мирового сообщества не получалось предложить убедительного практического применения квантовым компьютерам. Поэтому на протяжение почти десятилетия после публикации работ Дойча, Бениоффа и Фейнмана квантовые компьютеры для мирового сообщества оставались диковинкой.

Недолгое затишье в развитии квантовых компьютеров было прервано работой Шора в 1994 году. Шор показал, что квантовые компьютеры могут быть использованы для факторизации больших чисел [14]. Т.е. имея произведение двух больших чисел N квантовый компьютер может найти такие множители р и д, что рд = N. Решение задачи факторизации больших чисел является чрезвычайно важным, потому что позволяет взламывать широко используемые во всем мире криптосистемы с открытым ключом. Это практическое применение квантовых компьютеров и на сегодняшний день остается одним из самых многообещающих и интригующих: появление квантового компьютера ставит под угрозу существующие инструменты для защиты информации и требует внедрения принципиально новых методов.

Тот факт, что создание квантовых компьютеров может поставить под угрозу системы криптографии с открытым ключом, спровоцировал интерес среди взломщиков кодов и в то же время вызвал некоторое замешательство среди организаций, специализирующихся на защите информации [11]. Интерес к квантовым компьютерам ещё подкреплялся тем фактом, что за год до того как Шор представил свой алгоритм факторизации больших чисел, в 1993 году Ллойд показал, как они могут быть сконструированы на основе методов электромагнитного резонанса вместе с использованием многоуровневых квантовых систем, которые могут локально взаимодействовать со своими соседями и могут вынужденно переходить из одного состояния в другое под действием резонансного импульса света [15]. В качестве

таких квантовых систем могут быть выбраны атомы, квантовые точки в полупроводниках и ядерные спины.

В 1994 году Сирак и Цоллер предложили способ построения квантовых компьютеров с использованием ионных ловушек [16]. На основе их разработок уже в 1995 году Монро и Уайнленд продемонстрировали экспериментальную реализацию фундаментальной для квантовых вычислений обратимой логической операции «контролируемое НЕ» на пойманных в ловушку ионах [17]. Ещё годом позднее Гровер обнаружил, что квантовые компьютеры могут выполнять поиск в базах данных значительно быстрее, чем классические компьютеры, что оказалось ещё одним потенциально очень полезным практическим применением квантовых компьютеров [18]. К 1998 году простые квантовые алгоритмы были экспериментально реализованы с использованием квантовой обработки информации на основе ядерного магнитного резонанса [19—21].

Стоит отметить, что в 2012 году Нобелевскую премию по физике получили Уайнленд (David J. Wineland) и Арош (Serge Haroche) - за новаторские экспериментальные методы, которые позволяют измерять и манипулировать индивидуальными квантовыми системами. Спустя 10 лет Нобелевеская премия по физике вновь была присуждена за работы по квантовой механике. В 2022 году ла-уретами Нобелевской премии стали Аспе (Alain Aspect), Клаузер (John F. Clauser) и Цайлингер (Anton Zeilinger) - за эксперименты с запутанными фотонами, исследование нарушений неравенств Белла и работы по квантовой информатике. Это демонстрация того, что квантовые технологии перешли из фазы исключительно научных исследований на новый этап.

1.1 Текущее состояние развития квантовых вычислений

За последние несколько десятилетий квантовые компьютеры достигли значительного прогресса. К настоящему моменту в исследовательских отделах

и лабораториях крупнейших в мире производителей программных и аппаратных компонентов вычислительных устройств, таких как Google, Intel и IBM, разработаны свои прототипы экспериментальных квантовых процессоров. Не меньше внимания исследованию квантовых вычислений уделяется и в научно-исследовательских институтах и университетах. Существующие прототипы квантовых компьютеров глобально можно разделить на две группы: цифровые и аналоговые [22]. К аналоговым относят устройства, работающие на основе квантового отжига, квантовые симуляторы (т.е. устройства, позволяющие моделировать квантовые физические системы), а также адиабатические квантовые компьютеры. Устройства такого типа решают поставленные перед ними задачи путем манипулирования аналоговыми значениями в гамильтоновом представлении. Способ работы цифровых квантовых компьютеров в некотором смысле аналогичен подходу, использующемуся в классических вычислениях, когда решение задачи раскладывается на последовательность логических операций, гейтов: классические вычисления строятся на основе логических преобразований над битами, а квантовые - на основе квантовых аналогов логических операций над кубитами (квантовыми битами). Такой подход в литературе также называется «квантовые вычисления на основе гейтов (вентилей)». Эти гейты обладают корректно определенными цифровыми результатами для некоторых входных состояний. Отметим, что набор фундаментальных операций для реализации квантовых вычислений отличается от аналогичного в классических вычислениях.

Цифровые квантовые компьютеры на данный момент являются наиболее проработанными с теоретической точки зрения и уже существуют как экспериментальные образцы. На цифровых квантовых компьютерах уже были экспериментально реализованы некоторые квантовые алгоритмы. В качестве физических платформ для их реализации выступают сверхпроводящие системы [23; 24], ионы в ловушках [25], ансамбли атомов [26], фотоны [27; 28], полупроводниковые квантовые точки [29; 30]. С идеологической точки зрения все эти реализации объединяет тот факт, что основными элементами для хранения квантовой инфор-

мации в них выступают кубиты, т.е. в каждой квантовой системе для вычислений используется только два энергетических уровня.

1.2 Цифровая модель квантовых вычислений с использованием кубитов

Цифровая модель, также известная как гейтовая (gate-based) или построенная на основе схем (circuit-based), является одной из наиболее интуитивно понятных и популярных из универсальных моделей квантовых вычислений. Математически, цифровые квантовые вычисления с использованием кубитов могут быть представлены как применение унитарного оператора к набору n двухуровневых квантовых объектов q1,... ,qn, кубитов, инициализированных в фиксированном состоянии |0)®n, и измерении результирующего состояния в вычислительном базисе для получения выборки исходов из следующего распределения:

„г. бдп, 2

(1.1)

= (х|Ц* |0f

Здесь мы обозначаем состояния вычислительного базиса кубитов как |0) и |1), х = (х\,... ,хп) Е {0,1}п и |х) = |хх) 0 ... 0 |хп). Обычно одна и та же цепочка выполняется несколько раз, что приводит к последовательности независимых одинаково распределенных случайных п-битовых строк (х(1),... ,х(м)), где N -число исходов, и каждый исход х(к) получается из распределения (1.1).

Оператор изначально представляется в виде последовательности

некоторых стандартных унитарных операторов (гейтов) Ц*ь, составляющих аппаратно-независимую цепочку агсчЬ - последовательность стандартных гейтов, использующихся для описания квантовых алгоритмов, которая может включать в себя гейты, требующие дополнительного разложения для выполнения на конкретном процессоре. Для применения Ц^гс к реальным физическим частицам, необходим дополнительный транспиляционный этап декомпозиции (разложения) Ц^ге на нативные (обычно, одночастичные и двухчастичные) операции [31—33],

где под нативными операциями понимаются элементарные квантовые логические операции, доступные для непосредственного выполнения на данном квантовом процессоре. В качестве таких операций может быть выбран, например, следующий набор гейтов, состоящий из однокубитных гейтов, соответствующих повороту на угол 6 вокруг оси, лежащей на экваторе сферы Блоха под углом ф по отношению к оси x:

r (ф ,6)q¿ = вхр(-г6СТф/2), (1.2)

где аф = <jx cos ф + <jy sin ф, а ax и <jy - матрицы Паули, и двухкубитного гейта «контролируемое фазовое преобразование»

CZqi,qj = 1qi ® - 2 |11>qi,qj (11| , (1.3)

применяющего фазовый множитель —1 к системе из двух кубитов qi, q j, если оба кубита находятся в состоянии 11>.

Наиболее нетривиальной задачей в процессе транспиляции на натив-ные операции является разложение унитарных операторов Uqb, соответствующих выполнению многокубитных гейтов, на одночастичные и двухчастичные операции. Так, например, декомпозиция n-кубитного гейта на n двухуровневых системах требует порядка O(n2) двухчастичных операций [34]. При использовании дополнительных n — 2 кубитов в качестве анцилл для хранения промежуточной информации в процессе вычислений декомпозиция n-кубитного гейта требует 12n — 23 двухкубитные операции при n > 4 [35]. Число двухкубитных операций является важной характеристикой декомпозиции многокубитного гейта, т.к. качество реализации двухкубитной квантовой операции, требующей взаимодействия между носителями квантовой информации, зачастую ограничивает возможности доступных на данный момент квантовых процессоров. Сократить количество двухчастичных операций в декомпозициях многокубитных гейтов можно при помощи использования многоуровневых квантовых систем, кудитов.

1.3 Развитие квантовых вычислений с использованием многоуровневых

систем

Концепция использования именно двух уровней в квантовых вычислениях в некотором смысле унаследована из классических вычислений, в которых используется бинарная логика, а как единицу информации используют бит, принимающий значение либо равное нулю, либо единице. Кубиты, квантовый аналог битов, появились впервые в работе Дойча [10] и с тех пор основательно прижились в парадигме квантовых вычислений. Заметим, что несмотря на то что каждая из перечисленных выше физических платформ, используемая для построения квантовых процессоров, обладает своими преимуществами и недостатками, все из них имеют большее число уровней, чем два. Из этого следует, что эти физические системы на самом деле многоуровневые [36—38], а рассмотрение их в качестве двухуровневых систем, кубитов, является приближением.

В первых работах, посвященных тому, как с практической точки зрения может быть сконструирован квантовый компьютер, ограничений на число используемых уровней в квантовой системе не вводилось. Более того, в работе [15], посвященной этому вопросу, в 1993 году Ллойд пишет, что платформой для квантового компьютера может выступать именно многоуровневая квантовая система (в оригинале «multistate quantum system»). В связи с этим актуальным становится вопрос, насколько оптимальным является активно используемое рассмотрение физических систем лишь в качестве двухуровневых. На протяжении последних двадцати лет ученые активно изучали вопрос о том, можно ли получить какие-либо преимущества или улучшить характеристики квантовых компьютеров, если перестать пренебрегать наличием дополнительных уровней (по отношению к первым двум уровням) в используемых квантовых системах и начать использовать и их. Так в качестве альтернативы кубиту для квантовых вычислений появились кудиты, возникшие в качестве квантовой версии d-арных чисел d > 2 [39]. Их исследования показали, что благодаря своей многоуровневой природе

кудит обеспечивает большее пространство состояний для хранения и обработки информации, а также даёт возможность выполнять несколько контролируемых операций одновременно [36]. Отметим, что первая экспериментальная демонстрация двухкубитного гейта была проведена на одном атоме с использованием его двух степеней свободы для хранения в них квантовых битов [40].

Рост интереса к использованию кудитов для квантовых вычислений обусловлен заметным прогрессом в создании прототипов кудитных квантовых процессоров. К настоящему времени в мире представлено уже несколько прототипов квантовых процессоров, использующих кудиты как носители информации [41—46]. Примечательно, что в качестве кудитов в них выступают различные физические системы: холодные ионы в ловушках [41], сверхпроводящие цепи [44; 47], фотоны [42]. Для большинства из них точность выполнения одночастичных и двухчастичных операций сравнима с точностью операций на кубитных процессорах [41; 47]. Отметим, что в России активно совершенствуется кудитный квантовый процессор на основе ионов в ловушках, разрабатываемый в Физическом институте им. П. Н. Лебедева РАН [48]. Значительный прогресс в разработке прототипов кудитных процессоров делает особенно актуальным исследование вопроса о том, как выполнять на них квантовые алгоритмы, зачастую сформулированные для запуска на двухуровневых системах.

Последние теоретические работы, посвященные использованию кудитов для квантовых вычислений, рассматривают вопрос о том, как кудиты могут быть применены для улучшения декомпозиций многокубитных гейтов. Пространство кудита в таком случае рассматривается либо как пространство нескольких ку-битов [49—53], либо как пространство кубита с дополнительными уровнями, которые могут быть использованы в качестве состояний анцилл [54—58]. Также были предложены декомпозиции, в которых один кудит используется в качестве анциллы при декомпозиции многокубитных гейтов [54; 55; 59]. Несмотря на то, что большинство из предложенных декомпозиций обеспечивают линейное по п число двухчастичных гейтов в разложении п-кубитного гейта, они плохо масштабируются с ростом п и чаще всего не учитывают топологию свя-

зей кудитов в квантовых процессорах, определяющую возможность выполнения двухчастичной операции между заданной парой кудитов. Также стоит отметить, что насколько известно соискателю, раннее не был изучен вопрос о том, как может быть реализована кубитная цепочка целиком и, в частности, как могут быть разложены на одночастичные и двухчастичные операции многокубитные гейты в случае совмещения двух наиболее популярных подходов к использованию пространства кудитов - когда пространство кудита рассматривается в качестве пространства нескольких кубитов с общими дополнительными уровнями.

1.4 Цели и задачи диссертационного исследования

Целью данной диссертационной работы является разработка масштабируемых методов реализации кубитных аппаратно-независимых квантовых цепочек на многоуровневых квантовых системах.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Разработать декомпозицию обобщенного гейта Тоффоли, действующего на п кубитов, размещенных в пространствах п кудитов, требующую не более чем О(п) двухкудитных операций, если пространство каждого кудита рассматривается как пространство кубита с несколькими дополнительными уровнями.

2. Установить соотношение между числом уровней кудитов, задействованных в декомпозиции, и топологией их связей, обеспечивающее построение декомпозиции обобщенного гейта Тоффоли, действующего на п кубитов, размещенных в пространствах п кудитов, с использованием О(п) двухкудитных гейтов.

3. Разработать декомпозицию п-кубитного обобщенного гейта Тоффоли на п кубитах, размещенных в пространстве п кутритов, расположенных в произвольной связной топологии связей.

4. Предложить подход к запуску кубитных цепочек на кудитных квантовых процессорах с фиксированной размерностью кудитов, когда каждый ку-дит может использоваться как для размещения пространств нескольких кубитов, так и для размещения одного или нескольких кубитов вместе с дополнительным уровнями, используемыми для упрощения разложения многокубитных гейтов.

5. В рамках предлагаемого подхода к запуску кубитных цепочек на кудит-ных процессорах разработать алгоритм транспиляции кубитной квантовой цепочки в последовательность однокудитных и двухкудитных операций, выполняемых на кудитном процессоре.

1.5 Результаты диссертационного исследования, выносимые на защиту

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Для реализации обобщенного п-кубитного гейта Тоффоли, действующего на п кубитов, размещенных в пространствах п кудитов, достаточно 2п — 3 двухкудитных гейтов контролируемого фазового преобразования СЪ, если выполняется следующее соотношение между размерностью каждого кудита и числом его связей к в рамках подграфа связей куди-тов в процессоре, задействованных в данном п-кубитном гейте Тоффоли:

^ ^ к + 1. (1.4)

2. Для реализации обобщенного п-кубитного гейта Тоффоли на п кубитах, размещенных в пространствах п кутритов, достаточно 2п — 3 двухкут-ритных гейта (2п — 4 1БУАР гейта и 1 СЪ гейт), реализуемых в рамках произвольного связного графа кутритов в процессоре.

3. Одним из способов реализации кубитных цепочек на кудитных процессорах является размещение пространств отдельных кубитов в пространствах отдельных кудитов, при этом каждый кудит может использоваться как для размещения пространств нескольких кубитов, так и для размещения одного или нескольких кубитов вместе с дополнительным уровнями, используемыми для упрощения разложения многокубитных гейтов.

4. Для выполнения кубитной квантовой цепочки на кудитном процессоре требуется не большее число двухчастичных операций, чем требовалось бы для её выполнения на кубитном процессоре, если число кудитов в кудитном процессоре не меньше, чем число кубитов в кубитном процессоре.

Научная новизна:

1. Впервые была разработана декомпозиция обобщенного п-кубитного гейта Тоффоли на п кубитах, размещенных в пространствах п кудитов, требующая 2п — 3 двухкудитных гейта СЪ, при выполнении определенного соотношения между размерностью задействованных кудитов и топологией их связей.

2. Впервые была представлена декомпозиция п-кубитного гейта Тоффоли на п кубитах, размещенных в пространствах п кутритов, для которой достаточно 2п — 3 двухкутритных гейтов, выполняемых в рамках связного графа кутритов в процессоре.

3. Впервые для транспиляции кубитной квантовой цепочки в кудитную использована концепция «кубит-кудитного отображения», определяющая способ использования пространства кудитов.

4. Впервые представлена схема общего подхода к запуску кубитной цепочки на кудитном процессоре.

5. Впервые разработан алгоритм транспиляции кубитной цепочки в набор однокудитных и двухкудитных операций, выполняемых на процессоре с кудитами фиксированной размерности, расположенными в полносвязной топологии связей.

Практическая значимость. Разработанные декомпозиции многокубитных гейтов на кудитах позволяют значительно сократить число двухчастичных операций при выполнение квантовых алгоритмов, тем самым существенно повышая точность производимых вычислений при неидеально выполняемых однокудит-ных и двухкудитных гейтах. В разработанных декомпозициях для сокращения числа двухчастичных операций не возникает необходимости использовать дополнительные квантовые системы, в качестве анцилл выступают верхние уровни уже используемых квантовых систем, что позволяет их использовать для платформ с небольшим количеством носителей информации. Предложенные декомпозиции многокубитных гейтов и разработанный комплексный подход к запуску кубитных квантовых цепочек на кудитных квантовых процессорах развивают представления о возможных способах применения кудитов. Уточненное количество необходимых для реализации многокубитного гейта числа двухкудитных гейтов способствует более эффективному использованию доступных ресурсов квантовых систем, используемых для реализации квантовых вычислений. Особенно актуальными результаты исследования являются в рамках разработки кудитного квантового процессора на основе холодных ионов в России, разрабатываемого в рамках проектов Лидирующего исследовательского центра (ЛИЦ) «Квантовые вычисления» и Дорожной карты по квантовым вычислениям.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались лично автором на следующих международных и всероссийских конференциях и форумах:

- 6th International School of Quantum Technologies, Миасс, Челябинская область, Россия, 2023 г.

- 26th Conference on Quantum Information Processing (QIP2023), Гент, Бельгия, 2023 г.

- Quantum resources 2022 Workshop, Сингапур, 2022 г.

- 5th International School of Quantum Technologies, Хоста, Сочи, Россия, 2022 г.

- VII Всероссийский молодежный научный форум «Наука будущего - Наука молодых», Новосибирск, Россия, 2022 г

- 20th annual International Laser Physics Workshop (LPHYS'22), Лион, Франция (онлайн), 2022 r.

- Quantum Matter International Conference - QUANTUMatter 2022, Барселона, Испания, 2022 r.

- 9th International School and Conference «Saint Petersburg OPEN 2022», Санкт-Петербург, Россия, 2022 г.

- 64-я Всероссийская научная конференции МФТИ, Москва, Россия, 2021 г.

- IV Международная научная конференция «Наука будущего» и VI Всероссийский молодежный научный форум «Наука будущего - Наука молодых», НИТУ МИСИС, Москва, Россия, 2021 г

- 4th International School of Quantum Technologies, Вороново, Москва, Россия, 2021 г.

- VI International conference on quantum technologies «ICQT2021», Москва, Россия, 2021 г

- 63-я Всероссийская научная конференции МФТИ, Москва, Россия, 2020 г.

- International school on quantum computing, Образовательный центр «Сириус», Сочи, Россия, 2020 г

- International conference «MIPT (PhysTech)—QUANT 2020», Долгопрудный, Россия, 2020 г.

- 62-я Всероссийская научная конференции МФТИ, Москва, Россия, 2019 г.

На VII Всероссийском молодежном научном форуме «Наука будущего - Наука молодых» доклад был отмечен наградой:

- Диплом победителя конкурса научно-исследовательских работ студентов и аспирантов российских вузов, 1 место в секции «Физика и Астрономия», VII всероссийский молодежный форум «Наука будущего - Наука

молодых», г. Новосибирск, Россия, доклад: «Реализация квантовых мно-гокубитных вентилей на основе многоуровневых систем».

Соискатель также является соавтором докладов, в рамках которых результаты данной работы были представлены на следующих научных конференциях, форумах и мероприятиях:

- III Annual outdoor conference on quantum computing, Сочи, Россия, 2022 г.

- Заседание Научного совета при президиуме РАН «Квантовые технологии», Москва, Россия, 2021 г

- Семинар в Физическом институте им. П. Н. Лебедева РАН, Москва, Россия

- Международный форум «Микроэлектроника-2020», г Ялта, Республика Крым, 2020 г.

Личный вклад. Представленные в диссертации результаты исследований были выполнены в 2019-2023гг. Все изложенные в диссертации результаты были получены лично соискателем, либо при его непосредственном участии. Постановка задач была выполнена совместно с научным руководителем и научным консультантом. Автором диссертации внесен ключевой вклад при анализе, описании и подготовке публикаций всех представленных результатов. В работах, выполненных в соавторстве, вклад автора является решающим.

Публикации. В ходе проведения работы над диссертационным исследованием было выпущено 11 печатных работ. Основные результаты по теме диссертации изложены в 3 рецензируемых научных работах, индексируемых базами Web of Science и Scopus, 2 из которых изданы в зарубежном научном издании Physical Review A. Зарегистрированы 1 патент РФ на изобретение и 1 программа для ЭВМ. Также по результатам, представленным в диссертации, подготовлен препринт, находящийся на данный момент на рассмотрении в научном журнале.

Публикации автора по теме диссертации

1. Nikolaeva, A. S. Decomposing the generalized Toffoli gate with qutrits [Текст] / A. S. Nikolaeva, E. O. Kiktenko, A. K. Fedorov // Phys. Rev.

A. — 2022. — Март. — Т. 105, вып. 3. — С. 032621. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.105.032621.

2. Scalable quantum computing with qudits on a graph [Текст] / E. O. Kiktenko, A. S. Nikolaeva [и др.] // Phys. Rev. A. — 2020. — Февр. — Т. 101, вып. 2. — С. 022304. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.101.022304.

3. Nikolaeva, A. S. Generalized Toffoli gate decomposition using ququints: Towards realizing Grover's algorithm with qudits [Текст] / A. S. Nikolaeva, E. O. Kiktenko, A. K. Fedorov//Entropy. —2023. — Т. 25,№2. — URL: https://www.mdpi.com/1099-4300/25/2/387.

4. Патент 2761771 Российская Федерация, МПК G 06 N 10/00 (2019.01), G 06 F 17/00 (2006.01). Способ выполнения квантовых вычислений с использованием кудитов / Е. О. Киктенко, А. С. Николаева, А. К. Федоров ; заявитель и патентообладатель Общество с ограниченной ответственностью «Международный центр квантовой оптики и квантовых вычислений» (ООО «МЦКТ»). -№ 2020143523 ; заявл. 28.12.2020 ; опубл. 13.12.2021, Бюл. № 35.

5. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ 2021614093 Российская Федерация. Эмулятор квантового вычислительного устройства на многоуровневых системах / А. К. Фёдоров, Е. О. Киктенко, А. С. Николаева ; правообладатель А. К. Федоров. — № 2021613184 ; заявл. 12.03.2021 ;опубл 18.03.2021

Работа поддержана грантами РНФ (19-71-10091, 20-42-05002), программой Лидирующего исследовательского центра (ЛИЦ) по квантовым вычислениям (соглашение № 014/20) и проектом K1-2022-027 в рамках программы «Приоритет 2030» в НИТУ МИСИС.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из 5 глав (в том числе введения) и заключения. Полный объём диссертации составляет 112 страниц, включая 27 рисунков и 2 таблицы. Список литературы содержит 98 наименований.

Заключение диссертации по теме «Другие cпециальности», Николаева Анастасия Сергеевна

Основные результаты работы заключаются в следующем.

1. Разработана декомпозиция обобщенного N-кубитного гейта Тоффоли на N кудитах, требующая 2N — 3 двкухкудитных гейта, при выполнении определенного соотношения между размерностью задействованных ку-дитов ^ и числом их соседей к в топологии связей кудитов в процессоре:

¿г ^ к + 1. (5.12)

В данной декомпозиции пространство кудитов рассматривается как пространство кубита с дополнительными уровнями. Ее ключевой особенностью является масштабируемость и использование двухчастичной операции, действующей только в кубитном подпространстве кудитов.

2. Разработана декомпозиция обобщенного N-кубитного гейта Тоффоли на N трехуровневых квантовых системах, кутритах, требующая 2N — 3 двухкутритных гейта для произвольной связной топологии кутритов в процессоре. Помимо этого, в данной декомпозиции в качестве базовых

операций выбраны гейты 1БУАР и СЪ, что делает её напрямую применимой для существующих прототипов кутритных сверхпроводящих процессоров. Применимость данной декомпозиции к реальному прототипу процессора продемонстрирована на примере кутритного сверхпроводящего процессора Aspen-9.

3. Введена концепция кубит-кудитного отображения, позволяющая определить способ использования пространства кудитов в процессе транспиля-ции кубитной квантовой цепочки в последовательность однокудитных и двухкудитных операций. Преимуществом использования данной концепции является возможность разместить в пространстве одного кудита не только один кубит с дополнительными уровнями или нескольких отдельных кубитов, но также несколько кубитов вместе с дополнительными уровнями. Объединение двух основных подходов к использованию пространства кудитов позволяет сократить число физических носителей информации для реализации кубитной цепочки, а также уменьшить количество двухчастичных гейтов в декомпозициях многокубитных гейтов на одночастичные и двухчастичные операции.

4. Разработан алгоритм транспиляции кубитной цепочки в последовательность однокудитных и двухкудитных операций для заданного универсального набора однокудитных и двухкудитных гейтов, учитывающий такие параметры кудитного процессора, как число кудитов и количество доступных в них уровней. Способ использования пространства кудитов в процессе транспиляции задается с помощью кубит-кудитного отображения.

5. Продемонстрировано, что использование предложенных декомпозиций обобщенного гейта Тоффоли на кутритах и на куквинтах позволяет значительно сократить количество требуемых двухчастичных операций в реализации алгоритма Гровера на многоуровневых квантовых системах по сравнению с его прямой реализацией на кубитах.

Дальнейшие исследования могут быть посвящены разработкам кодов коррекции ошибок на основе многоуровневых систем, а также расширению набора поддерживаемых кудитных операций в разработанном алгоритме транс-пиляции. Не менее интересной задачей является разработка алгоритма поиска субоптимального кубит-кудитного отображения для цепочек со значительным количеством задействованных кубитов, позволяющего произвести транспиляцию аппаратно-независимой кубитной цепочки в последовательность выполняемых на кудитном процессоре операций наиболее эффективным образом.

Несмотря на то что манипулирование дополнительными уровнями в ку-дитах вызывает определенные экспериментальные сложности, недавние эксперименты демонстрируют значительный прогресс в их преодолении для сразу нескольких физических платформ. Однокудитные и двухкудитные операции на ионах в ловушках и сверхпроводящих системах достигли сравнимых с кубит-ными фиделити выполнения. Объединение этих экспериментальных достижений с представленным в диссертационной работе подходами для уменьшения количества двухчастичных операций при реализации цепочек квантовых алгоритмов может значительно улучшить результирующее качество их выполнения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Николаева Анастасия Сергеевна, 2023 год

Список литературы

1. Moore, G. E. No exponential is forever: but" Forever" can be delayed![semiconductor industry] [Текст] / G. E. Moore // 2003 IEEE International Solid-State Circuits Conference, 2003. Digest of Technical Papers. ISSCC. — IEEE. 2003. —

С. 20-23. - URL: https://doi.org/10.1109/ISSCC.2003.1234194.

2. Landauer, R. Irreversibility and Heat Generation in the Computing Process [Текст] / R. Landauer // IBM Journal of Research and Development. — 1961. — Т. 5, № 3. — С. 183-191.

3. Fredkin, E. Conservative logic [Текст] / E. Fredkin, T. Toffoli // International Journal of theoretical physics. — 1982. — Т. 21, № 3/4. — С. 219—253.

4. Bennett, C. H. Logical Reversibility of Computation [Текст] / C. H. Bennett // IBM Journal of Research and Development. —1973. — Т. 17, № 6. — С. 525—532.

5. Bennett, C. H. The thermodynamics of computation—a review [Текст] / C. H. Bennett // International Journal of Theoretical Physics. — 1982. — Т. 21, № 12. — С. 905—940. — URL: https://doi.org/10.1007/BF02084158.

6. Feynman, R. P. Quantum mechanical computers [Текст] / R. P. Feynman // Foundations of Physics. — 1986. — Т. 16, № 6. — С. 507—531. — URL: https: //doi.org/10.1007/BF01886518.

7. Manin, Y. I. The computable and the non-computable. (Vychislimoe i nevychislimoe) [Текст] / Y. I. Manin. — 1980. — Kibernetika. Moskva: "Sovetskoe Radio". 128 p. R. 0.45 (1980).

8. Benioff, P. The computer as a physical system: A microscopic quantum mechanical Hamiltonian model of computers as represented by Turing machines [Текст] / P. Benioff// Journal of Statistical Physics. — 1980. — Т. 22, № 5. — С. 563—591. — URL: https://doi.org/10.1007/BF01011339.

9. Feynman, P. Simulating physics with computers [Текст] / R. P. Feynman // International Journal of Theoretical Physics. — 1982. — Т. 21, № 6. — С. 467—488. — URL: https://doi.org/10.1007/BF02650179.

10. Deutsch, D. Quantum theory, the Church-Turing principle and the universal quantum computer [Текст] / D. Deutsch // Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences. — 1985. — Т. 400, № 1818. —

C. 97—117. — URL: https://royalsocietypublishing.org/doi/abs/10.1098/rspa. 1985.0070.

11. Harrow, A. W. Quantum Algorithm for Linear Systems of Equations [Текст] / A. W. Harrow, A. Hassidim, S. Lloyd // Phys. Rev. Lett. — 2009. — Окт. — Т. 103, вып. 15. — С. 150502. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett. 103.150502.

12. Deutsch, D. Rapid solution of problems by quantum computation [Текст] /

D. Deutsch, R. Jozsa // Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical and Physical Sciences. — 1992. — Т. 439, № 1907. — С. 553—558. — URL: https://royalsocietypublishing.org/doi/abs/10.1098/ rspa.1992.0167.

13. Bernstein, E. Quantum Complexity Theory [Текст] / E. Bernstein, U. Vazirani // SIAM Journal on Computing. — 1997. — Т. 26, № 5. — С. 1411—1473. — URL: https://doi.org/10.1137/S0097539796300921.

14. Shor, P. Algorithms for quantum computation: discrete logarithms and factoring [Текст] / P. Shor // Proceedings 35th Annual Symposium on Foundations of Computer Science. — 1994. — С. 124—134.

15. Lloyd, S. A potentially realizable quantum computer [Текст] / S. Lloyd // Science. — 1993. — Т. 261, № 5128. — С. 1569—1571. — URL: https://doi. org/10.1126/science.261.5128.1569.

16. Cirac, J. I. Quantum computations with cold trapped ions [Текст] / J. I. Cirac, P. Zoller // Physical review letters. — 1995. — Т. 74, № 20. — С. 4091. — URL: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.74.4091.

17. Resolved-sideband Raman cooling of a bound atom to the 3D zero-point energy [Текст] / C. Monroe [и др.] // Physical Review Letters. — 1995. — Т. 75, № 22. —

C. 4011-4014.

18. Grover, L. K. A Fast Quantum Mechanical Algorithm for Database Search [Текст] / L. K. Grover // Proceedings of the Twenty-Eighth Annual ACM Symposium on Theory of Computing. — Philadelphia, Pennsylvania, USA : Association for Computing Machinery, 1996. — С. 212—219. — (STOC '96). -URL: https://doi.org/10.1145/237814.237866.

19. Cory, D. G. Ensemble quantum computing by NMR spectroscopy [Текст] /

D. G. Cory, A. F. Fahmy, T. F. Havel // Proceedings of the National Academy of Sciences. - 1997. - Т. 94, № 5. - С. 1634-1639. - URL: https://doi.org/10. 1073/pnas.94.5.1634.

20. Experimental realization of a quantum algorithm [Текст] /1. L. Chuang [и др.] // Nature. — 1998. — Т. 393, № 6681. — С. 143—146. — URL: https://doi.org/10. 1038/30181.

21. Chuang, I. L. Experimental implementation of fast quantum searching [Текст] / I. L. Chuang, N. Gershenfeld, M. Kubinec // Physical review letters. — 1998. — Т. 80, № 15. — С. 3408. — URL: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.80.3408.

22. Marella, S. T. Introduction to quantum computing [Текст] / S. T. Marella, H. S. K. Parisa // Quantum Computing and Communications. — IntechOpen, 2020. — URL: https://doi.org/10.5772/intechopen.94103.

23. Coherent quantum dynamics of a superconducting flux qubit [Текст] /1. Chiorescu [и др.] // Science. — 2003. — Т. 299, № 5614. — С. 1869—1871. — URL: https: //doi.org/10.1126/science.1081045.

24. Clarke, J. Superconducting quantum bits [Текст] / J. Clarke, F. K. Wilhelm // Nature. — 2008. — Т. 453, № 7198. — С. 1031—1042. — URL: https://doi.org/ 10.1038/nature07128.

25. Towards fault-tolerant quantum computing with trapped ions [Текст] / J. Benhelm [и др.] // Nature Physics. — 2008. — Т. 4, № 6. — С. 463—466. — URL: https: //doi.org/10.1038/nphys961.

26. Bloch, I. Many-body physics with ultracold gases [Текст] /1. Bloch, J. Dalibard, W. Zwerger // Rev. Mod. Phys. — 2008. — Июль. — Т. 80, вып. 3. —

C. 885—964. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/RevModPhys.80.885.

27. Milburn, G. Photons as qubits [Текст] / G. Milburn // Physica Scripta. — 2009. — Т. 2009, T137. — С. 014003. -URL: http://dx.doi.org/10.1088/0031-8949/2009/ T137/014003.

28. High-speed linear optics quantum computing using active feed-forward [Текст] / R. Prevedel [и др.] // Nature. — 2007. — Т. 445, № 7123. — С. 65—69. — URL: https://doi.org/10.1038/nature05346.

29. Loss, D. Quantum computation with quantum dots [Текст] / D. Loss,

D. P. DiVincenzo // Phys. Rev. A. — 1998. — Янв. — Т. 57, вып. 1. — С. 120—126. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.57.120.

30. Coherent control of a single electron spin with electric fields [Текст] / K. C. Nowack [и др.] // Science. — 2007. — Т. 318, № 5855. — С. 1430—1433. -URL: https://doi.org/10.1126/science.1148092.

31. Chong, F. T. Programming languages and compiler design for realistic quantum hardware [Текст] / F. T. Chong, D. Franklin, M. Martonosi // Nature. — 2017. — Т. 549, № 7671. — С. 180—187. — URL: https://doi.org/10.1038/nature23459.

32. Fault-tolerant control of an error-corrected qubit [Текст] / L. Egan [и др.] // Nature. — 2021. — Т. 598, № 7880. — С. 281—286. — URL: https://doi.org/ 10.1038/s41586-021-03928-y.

33. Earnest, N. Pulse-efficient circuit transpilation for quantum applications on cross-resonance-based hardware [Текст] / N. Earnest, C. Tornow, D. J. Egger // Phys. Rev. Research. — 2021. — Окт. — Т. 3, вып. 4. — С. 043088. — URL: https: //link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevResearch.3.043088.

34. Elementary gates for quantum computation [Текст] / A. Barenco [и др.] // Phys. Rev. A. — 1995. — Нояб. — Т. 52, вып. 5. — С. 3457—3467. — URL: https: //link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.52.3457.

35. Chuang, I. L. Prescription for experimental determination of the dynamics of a quantum black box [Текст] /1. L. Chuang, M. A. Nielsen // Journal of Modern Optics. — 1997. — Т. 44, № 11/12. — С. 2455—2467. — eprint: https://www. tandfonline.com/doi/pdf/10.1080/09500349708231894. — URL: https://www. tandfonline.com/doi/abs/10.1080/09500349708231894.

36. Quantum phase estimation with time-frequency qudits in a single photon [Текст] / H.-H. Lu [и др.] // Advanced Quantum Technologies. — 2020. — Т. 3, № 2. — С. 1900074.—URL: https://doi.org/10.1002/qute.201900074.

37. Qutrit quantum computer with trapped ions [Текст] / A. B. Klimov [и др.] // Phys. Rev. A. — 2003. — Июнь. — Т. 67, вып. 6. — С. 062313. — URL: https://link. aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.67.062313.

38. Determining the parity of a permutation using an experimental NMR qutrit [Текст] / S. Dogra, K. Dorai [и др.] // Physics Letters A. — 2014. — Т. 378, № 46. — С. 3452—3456. — URL: http://dx.doi.org/10.1016/j.physleta.2014.10. 003.

39. Brylinski, J.-L. Universal quantum gates [Текст] / J.-L. Brylinski, R. Brylinski // Mathematics of quantum computation. -- Chapman, Hall/CRC, 2002. -С. 117-134. -URL: https://doi.org/10.1201/9781420035377.

40. Demonstration of a Fundamental Quantum Logic Gate [Текст] / C. Monroe [и др.] // Phys. Rev. Lett. — 1995. — Дек. — Т. 75, вып. 25. — С. 4714—4717. -URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.75.4714.

41. A universal qudit quantum processor with trapped ions [Текст] / M. Ringbauer [и др.] // Nature Physics. - 2022. - Т. 18, № 9. - С. 1053-1057. - URL: https://doi.org/10.1038/s41567-022-01658-0.

42. A programmable qudit-based quantum processor [Текст] / Y. Chi [и др.] // Nature Communications. — 2022. — Т. 13, № 1. — С. 1166. — URL: https://doi.org/10. 1038/s41467-022-28767-x.

43. Hardware Efficient Quantum Simulation of Non-Abelian Gauge Theories with Qudits on Rydberg Platforms [Текст] / D. González-Cuadra [и др.] // Phys. Rev. Lett. — 2022. — Окт. — Т. 129, вып. 16. — С. 160501. — URL: https://link.aps. org/doi/10.1103/PhysRevLett.129.160501.

44. Quantum Information Scrambling on a Superconducting Qutrit Processor [Текст] / M. S. Blok [и др.] // Phys. Rev. X. — 2021. — Апр. — Т. 11, вып. 2. -С. 021010. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevX.11.021010.

45. Realization of two-qutrit quantum algorithms on a programmable superconducting processor [Текст] / T. Roy [и др.]. — 2022. — URL: https://arxiv.org/abs/2211. 06523.

46. Realizing quantum gates with optically-addressable 171Yb+ ion qudits [Текст] / M. A. Aksenov [и др.]. — 2022. — URL: https://arxiv.org/abs/2210.09121.

47. High-fidelity qutrit entangling gates for superconducting circuits [Текст] / N. Goss [и др.] // Nature Communications. — 2022. — Т. 13, № 1. — С. 1—6. — URL: https://doi.org/10.1038/s41467-022-34851-z.

48. Realizing quantum gates with optically-addressable л{171) Yb {+} ion qudits [Текст] / M. Aksenov [и др.] // arXiv preprint arXiv:2210.09121. — 2022.

49. Kessel', A. R. Multiqubit spin [Текст] / A. R. Kessel', V. L. Ermakov // Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters. — 1999. — Т. 70, № 1. — С. 61—65. — URL: https://doi.org/10.1134/L568130.

50. Kessel', A. R. Physical implementation of three-qubit gates on a separate quantum particle [Текст] / A. R. Kessel', V. L. Ermakov // Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters. — 2000. — Т. 71, № 7. — С. 307—309. — URL: https: //doi.org/10.1134/1.568340.

51. Kessel, A. R. Implementation schemes in NMR of quantum processors and the Deutsch-Jozsa algorithm by using virtual spin representation [Текст] / A. R. Kessel, N. M. Yakovleva // Phys. Rev. A. — 2002. — Дек. — Т. 66, вып. 6. — С. 062322. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.66.062322.

52. Multilevel superconducting circuits as two-qubit systems: Operations, state preparation, and entropic inequalities [Текст] / E. O. Kiktenko [и др.] // Phys. Rev. A. — 2015. — Апр. — Т. 91, вып. 4. — С. 042312. — URL: https://link.aps. org/doi/10.1103/PhysRevA.91.042312.

53. Single qudit realization of the Deutsch algorithm using superconducting many-level quantum circuits [Текст] / E. Kiktenko [и др.] // Physics Letters A. — 2015. — Т. 379, № 22. — С. 1409—1413. — URL: https://www.sciencedirect. com/science/article/pii/S0375960115002753.

54. Ralph, T. C. Efficient Toffoli gates using qudits [Текст] / T. C. Ralph, K. J. Resch,

A. Gilchrist // Phys. Rev. A. — 2007. — Февр. — Т. 75, вып. 2. — С. 022313. -URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.75.022313.

55. Simplifying quantum logic using higher-dimensional Hilbert spaces [Текст] /

B. P. Lanyon [и др.] // Nature Physics. — 2009. — Т. 5, № 2. — С. 134—140. -URL: https://doi.org/10.1038/nphys1150.

56. Asymptotic Improvements to Quantum Circuits via Qutrits [Текст] / P. Gokhale [и др.] // Proceedings of the 46th International Symposium on Computer Architecture. -- Phoenix, Arizona : Association for Computing Machinery, 2019. — С. 554-566. - (ISCA '19). -URL: https://doi.org/10.1145/3307650. 3322253.

57. Scalable quantum computing with qudits on a graph [Текст] / E. O. Kiktenko [и др.] // Phys. Rev. A. — 2020. — Февр. — Т. 101, вып. 2. — С. 022304. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.101.022304.

58. Nikolaeva, A. S. Decomposing the generalized Toffoli gate with qutrits [Текст] / A. S. Nikolaeva, E. O. Kiktenko, A. K. Fedorov // Phys. Rev. A. — 2022. — Март. — Т. 105, вып. 3. — С. 032621. — URL: https://link.aps.org/doi/10. 1103/PhysRevA.105.032621.

59. Ionicioiu, R. Generalized Toffoli gates using qudit catalysis [Текст] / R. Ionicioiu, T. P. Spiller, W. J. Munro // Phys. Rev. A. — 2009. — Июль. — Т. 80, вып. 1. — С. 012312. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.80.012312.

60. Kleinberg, J. Algorithm design [Текст] / J. Kleinberg, E. Tardos. — Pearson Education India, 2006.

61. An artificial neuron implemented on an actual quantum processor [Текст] / F. Tacchino [и др.] // npj Quantum Information. — 2019. — Т. 5, № 1. — С. 1—8. — URL: https://doi.org/10.1038/s41534-019-0140-4.

62. Experimental quantum error correction [Текст] / D. G. Cory [и др.] // Physical Review Letters. — 1998. — Т. 81, № 10. — С. 2152. — URL: https://doi.org/10. 1103/PhysRevLett.81.2152.

63. Realization of three-qubit quantum error correction with superconducting circuits [Текст] / M. D. Reed [и др.] // Nature. - 2012. - Т. 482, № 7385. -С. 382—385. — URL: https://doi.org/10.1038/nature10786.

64. Calderbank, A. R. Good quantum error-correcting codes exist [Текст] / A. R. Calderbank, P. W. Shor // Phys. Rev. A. — 1996. — Авг. — Т. 54, вып. 2. —

C. 1098—1105. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.54.1098.

65. Zhang, J.Experimental implementation of encoded logical qubit operations in a perfect quantum error correcting code [Текст] / J. Zhang, R. Laflamme,

D. Suter // Physical review letters. — 2012. — Т. 109, № 10. — С. 100503. — URL: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.109.100503.

66. Realization of arbitrary doubly-controlled quantum phase gates [Текст] / A. D. Hill [и др.]. —2021. — URL: https://arxiv.org/abs/2108.01652.

67. A quantum engineer's guide to superconducting qubits [Текст] / P. Krantz [и др.] // Applied Physics Reviews. — 2019. — Т. 6, № 2. — С. 021318. — URL: https: //doi.org/10.1063/1.5089550.

68. Di, Y.-M. Elementary gates for ternary quantum logic circuit [Текст] / Y.-M. Di, H.-R. Wei//arXivpreprintarXiv:1105.5485. —2011. —URL: https://doi.org/10. 48550/arXiv.1105.5485.

69. Nikolaeva, A. S. Efficient realization of quantum algorithms with qudits [Текст] / A. S. Nikolaeva, E. O. Kiktenko, A. K. Fedorov. — 2021. — URL: https://arxiv. org/abs/2111.04384.

70. Practical trapped-ion protocols for universal qudit-based quantum computing [Текст] / P. J. Low [и др.] // Phys. Rev. Research. — 2020. — Июль. — Т. 2, вып. 3. — С. 033128. —URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevResearch. 2.033128.

71. Farhi, E. Analog analogue of a digital quantum computation [Текст] / E. Farhi, S. Gutmann // Phys. Rev. A. — 1998. — Апр. — Т. 57, вып. 4. — С. 2403—2406. -URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.57.2403.

72. Muthukrishnan, A. Multivalued logic gates for quantum computation [Текст] / A. Muthukrishnan, C. R. Stroud//Phys. Rev. A. — 2000. — Окт. — Т. 62, вып. 5. — С. 052309. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.62.052309.

73. Universal simulation of Hamiltonian dynamics for quantum systems with finite-dimensional state spaces [Текст] / M. A. Nielsen [и др.] // Phys. Rev. A. — 2002. — Авг. — Т. 66, вып. 2. — С. 022317. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/ PhysRevA.66.022317.

74. Wang, X. Entangling power and operator entanglement in qudit systems [Текст] / X. Wang, B. C. Sanders, D. W. Berry // Phys. Rev. A. — 2003. — Апр. — Т. 67,

вып. 4. — С. 042323. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.67. 042323.

75. Bagan, E. Minimal measurements of the gate fidelity of a qudit map [Текст] / E. Bagan, M. Baig, R. Muñoz-Tapia // Phys. Rev. A. — 2003. — Янв. — Т. 67, вып. 1. — С. 014303. —URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.67. 014303.

76. Vlasov, A. Y. Algebra of quantum computations with higher dimensional systems [Текст] / A. Y. Vlasov // First International Symposium on Quantum Informatics. Т. 5128 / под ред. Y. I. Ozhigov. — International Society for Optics, Photonics. SPIE, 2003. - С. 29-36. - URL: https://doi.org/10.1117/12.517863.

77. Maximizing the Hilbert Space for a Finite Number of Distinguishable Quantum States [Текст] / A. D. Greentree [и др.] // Phys. Rev. Lett. — 2004. — Март. — Т. 92, вып. 9. — С. 097901. — URL: https : / /link. aps . org/doi/10 . 1103 / PhysRevLett.92.097901.

78. O'Leary, D. P. Parallelism for quantum computation with qudits [Текст] / D. P. O'Leary, G. K. Brennen, S. S. Bullock // Phys. Rev. A. — 2006. — Сент. — Т. 74, вып. 3. — С. 032334. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA. 74.032334.

79. Manipulating Biphotonic Qutrits [Текст] / B. P. Lanyon [и др.] // Phys. Rev. Lett. — 2008. — Февр. — Т. 100, вып. 6. — С. 060504. — URL: https://link. aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.100.060504.

80. Ivanov, S. S. Time-efficient implementation of quantum search with qudits [Текст] / S. S. Ivanov, H. S. Tonchev, N. V. Vitanov // Phys. Rev. A. — 2012. — Июнь. — Т. 85, вып. 6. — С. 062321. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/ PhysRevA.85.062321.

81. Li, B. Geometry of Quantum Computation with Qutrits [Текст] / B. Li, Z.-H. Yu, S.-M. Fei // Scientific Reports. - 2013. - Т. 3, № 1. - С. 2594. - URL: https: //doi.org/10.1038/srep02594.

82. Generation of tree-type three-dimensional entangled states via adiabatic passage [Текст] / C. Song [и др.] // Phys. Rev. A. — 2016. — Июнь. — Т. 93, вып. 6. — С. 062321. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.93.062321.

83. Frydryszak, A. Determining quantum correlations in bipartite systems - from qubit to qutrit and beyond [Текст] / A. Frydryszak, L. Jakobczyk, P. Lugiewicz // Journal of Physics: Conference Series. — 2017. — Янв. — Т. 804. — С. 012016. — URL: https://doi.org/10.1088/1742-6596/804/1Z012016.

84. Bocharov, A. Factoring with qutrits: Shor's algorithm on ternary and metaplectic quantum architectures [Текст] / A. Bocharov, M. Roetteler, K. M. Svore // Phys. Rev. A. — 2017. — Июль. — Т. 96, вып. 1. — С. 012306. — URL: https://link. aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.96.012306.

85. Quantum Teleportation in High Dimensions [Текст] / Y.-H. Luo [и др.] // Phys. Rev. Lett. — 2019. — Авг. — Т. 123, вып. 7. — С. 070505. — URL: https://link. aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.123.070505.

86. Dissipative preparation of qutrit entanglement via periodically modulated Rydberg double antiblockade [Текст] / Z. Jin [и др.] // Opt. Express. — 2021. — Март. — Т. 29, № 7. — С. 10117—10133. — URL: http://opg.optica.org/oe/ abstract.cfm?URI=oe-29-7-10117.

87. Emulation of a Quantum Spin with a Superconducting Phase Qudit [Текст] / M. Neeley [и др.] // Science. — 2009. — Т. 325, № 5941. — С. 722—725. — URL: https://www.science.org/doi/abs/10.1126/science.1173440.

88. Implementation of a Toffoli gate with superconducting circuits [Текст] / A. Fedorov [и др.] // Nature. - 2012. - Т. 481, № 7380. - С. 170-172. -URL: https://doi.org/10.1038/nature10713.

89. Mischuck, B. E. Control of inhomogeneous atomic ensembles of hyperfine qudits [Текст] / B. E. Mischuck, S. T. Merkel, I. H. Deutsch // Phys. Rev. A. — 2012. — Февр. — Т. 85, вып. 2. — С. 022302. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/ PhysRevA.85.022302.

90. Coherence and Decay of Higher Energy Levels of a Superconducting Transmon Qubit [Текст] / M. J. Peterer [и др.] // Phys. Rev. Lett. — 2015. — Янв. — Т. 114, вып. 1. — С. 010501. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.114. 010501.

91. Hidden two-qubit dynamics of a four-level Josephson circuit [Текст] / E. Svetitsky [и др.] // Nature Communications. — 2014. — Т. 5, № 1. — С. 5617. — URL: https://doi.org/10.1038/ncomms6617.

92. Multiphoton dressing of an anharmonic superconducting many-level quantum circuit [Текст] / J. Braumuller [и др.] // Phys. Rev. B. — 2015. — Февр. — Т. 91, вып. 5. — С. 054523. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.91. 054523.

93. On-chip generation of high-dimensional entangled quantum states and their coherent control [Текст] / M. Kues [и др.] // Nature. — 2017. — Т. 546, № 7660. — С. 622—626. — URL: https://doi.org/10.1038/nature22986.

94. Operating Quantum States in Single Magnetic Molecules: Implementation of Grover's Quantum Algorithm [Текст] / C. Godfrin [и др.] // Phys. Rev. Lett. — 2017. — Нояб. — Т. 119, вып. 18. — С. 187702. — URL: https://link.aps.org/doi/ 10.1103/PhysRevLett.119.187702.

95. Ultracold polar molecules as qudits [Текст] / R. Sawant [и др.] // New Journal of Physics. — 2020. — Янв. — Т. 22, № 1. — С. 013027. — URL: https://doi.org/10. 1088/1367-2630/ab60f4.

96. Pavlidis, A. Quantum-Fourier-transform-based quantum arithmetic with qudits [Текст] / A. Pavlidis, E. Floratos // Phys. Rev. A. — 2021. — Март. — Т. 103, вып. 3. — С. 032417. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.103. 032417.

97. Rambow, P. Reduction of circuit depth by mapping qubit-based quantum gates to a qudit basis [Текст] / P. Rambow, M. Tian. — 2021. — URL: https://arxiv.org/ abs/2109.09902.

98. Adaptive Compilation of Multi-Level Quantum Operations [Текст] / K. Mato [и др.] // 2022 IEEE International Conference on Quantum Computing and Engineering (QCE). — Los Alamitos, CA, USA : IEEE Computer Society, 09.2022. — С. 484—491. — URL: https://doi.ieeecomputersociety.org/10.1109/ QCE53715.2022.00070.