Квантовомеханическая запутанность систем взаимодействующих ядерных спинов во внешнем магнитном поле тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.17, кандидат физико-математических наук Пырков, Алексей Николаевич

• Пырков, Алексей Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пырков, Алексей Николаевич

Введение

1 Квантовая запутанность в спиновых системах и ее использование (литературный обзор).

1.1 Сепарабельные и запутанные состояния в квантовомеха-нических системах.

1.2 Меры запутанности

1.3 Свидетель запутанности.

1.4 Запутанность как ресурс в квантовых вычислениях и квантовой теории информации.

1.5 Запутанность в одномерных спиновых системах.

1.5.1 Модели

1.5.2 Запутанность спиновых систем в основном состоянии при температуре Т = 0.

1.5.3 Запутанность спиновых систем в термодинамическом равновесии (Т > 0).

1.6 Экспериментальные и теоретические результаты, основанные на использовании свидетеля запутанности.

2 Запутанность спиновых пар в альтернированной открытой цепочке ядерных спинов 5 = 1/2 с ХУ-гамильтонианом в условиях термодинамического равновесия

2.1 Альтернированная открытая цепочка ядерных спинов 5 =

1/2 с ХУ-гамильтонианом.

2.2 Редуцированная матрица плотности спиновой пары в альтернированной открытой цепочке ядерных спинов в =

1/2 с ХУ-гамильтонианом.

2.3 Запутанные состояния спиновых пар.

3 Возникновение запутанных состояний в системе дипольно связанных спинов при адиабатическом размагничивании

3.1 Матрица плотности спиновой системы в условиях адиабатического размагничивания во вращающейся системе координат.

3.2 Численный анализ запутанности в девятиспиновой цепочке в процессе адиабатического размагничивания во вращающейся системе координат.

3.3 Запутанность в плоском кластере из девяти спинов

4 Эволюция спиновой запутанности и свидетель запутанности в многоквантовых экспериментах ЯМР

4.1 Многоквантовая динамика ЯМР дипольно связанных спиновых пар при низких температурах.

4.2 Согласованность и свидетель запутанности в многоквантовых экспериментах ЯМР.

Выводы

Благодарности

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квантовомеханическая запутанность систем взаимодействующих ядерных спинов во внешнем магнитном поле»

Одним из наиболее удивительных явлений, существование которого предсказывает квантовая механика, является запутанность. Это понятие было введено Шредингером [1] для необычных квантовых корреляций, проявляющихся в мысленном эксперименте Эйнштейна, Подольского и Розена (ЭПР-эксперимент) [2]. В этом мысленном эксперименте авторы показали (на основе формализма квантовой механики) существование нелокальных квантовых объектов, состоящих из 2-х и более частей, что привело к скепсису относительно состоятельности самой квантовой механики. Путь к решению возникшего парадокса (ЭПР— парадокса) указал Белл [3]. Он предложил свои знаменитые статистические неравенства, которые выполняются для любой локальной теории и не выполняются для нелокальной теории. Таким образом, Белл перевел решение вопроса о справедливости квантовомеханического описания в область эксперимента [3]. Эксперименты поставленные для проверки неравенств Белла и выполненные до сих пор [4, 5, 6], находятся в согласии с предсказаниями квантовой механики. Таким образом, 11 запутанность11 стала физической реальностью, которая не может быть смоделирована любой "классической11 системой.

Новый всплеск интереса к проблеме запутанности возник с развитием квантовой теории информации [7, 8]. Запутанные состояния стали основным ингредиентом в таких явлениях как квантовая телепорта-ция [9], квантовая криптография [10], и т. д. Также согласно современным представлениям запутанность является основным источником ускорения в квантовых вычислениях и передаче данных [11]. Таким образом, стало ясно, что запутанность не только предмет философских дебатов относительно начал квантовой теории, но и новый квантовый ресурс для решения задач, которые не могут быть решены с помощью любого классического устройства [12]. Роль запутанности как ресурса стала импульсом к новым крупномасштабным как экспериментальным, так и теоретическим исследованиям этого явления [12,13]. В настоящее время из-за того, что теория запутанных состояний базируется на наиболее фундаментальных идеях квантовой механики, исследование запутанных состояний охватывает почти все области современной физики: атомную физику, квантовую оптику, химическую физику, спектроскопию ядерного и электронного магнитного резонанса, физику сверхпроводников и другие.

Методы ЯМР [14] оказались наиболее эффективными для экспериментальной реализации квантовых вычислений [8, 15, 16] из-за хорошо развитых методов управления и контроля с помощью резонансных импульсов ВЧ поля, а также благодаря хорошей изоляции спиновых степеней свободы от других, что приводит к большим временам деко-геренизации [14]. Именно на основе ЯМР в жидкости был построен первый семикубитный квантовый компьютер, реализовавший на практике основные квантовые алгоритмы [17, 18]. Однако, квантовые вычисления на основе ЯМР в жидкости оперируют с псевдочистыми состояниями [19], которые в условиях, в которых проводились жидкофазные эксперименты ЯМР (при комнатной температуре) являются незапутанными [20, 21]. Отсутствие запутанности в таких экспериментах вызывает сомнение в возможностях этого метода для реализации преимуществ квантовых компьютеров по сравнению с классическими. К тому же оказалось, что в жидкофазном ЯМР едва ли можно организовать квантовый компьютер, в котором число кубитов значительно больше 10 [22].

Новые перспективы в развитии теории квантовой информации на основе методов ЯМР открывают твердотельные системы при низких температурах. Важные результаты получены в однородных одномерных моделях [13, 23, 24, 25] (цепочки, кольца), когда гамильтониан многочастичной системы можно точно диагонализовать. В то же время однородные системы не позволяют решить вопрос адресации куби-тов. Запутанность в них возникает лишь между соседними спинами и передача квантовых состояний возможна лишь в коротких цепочках, содержащих не более трех спинов [26]. Ситуация существенно меняется при использовании неоднородных спиновых систем. В одномерном случае такие системы представляют собой те же цепочки и кольца, в которых, однако, расстояния между ближайшими спинами различны. Важное значение имеет также неоднородное магнитное поле, которое позволяет организовать адресацию кубитов [27]. Одной из простейших неоднородных систем является альтернированная цепочка спинов 1/2, ХУ-гамильтониан которой удалось диагонализовать [28, 29]. Знание спектра ХУ-гамильтониана альтернированной цепочки позволило установить, что в таких цепочках удается точная или с высокой вероятностью передача квантовых состояний между различными кубита-ми [29, 30]. Таким образом, исследование запутанности в альтернированной цепочке является важной и актуальной задачей.

Целью настоящей работы является исследование запутанных состояний и их свойств в неоднородных системах ядерных спинов 1/2, а также развитие методов ЯМР, с помощью которых можно проследить за возникновением и эволюцией запутанных состояний в эксперименте.

Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав и выводов.

Заключение диссертации по теме «Химическая физика, в том числе физика горения и взрыва», Пырков, Алексей Николаевич

Выводы

1. Разработаны аналитические и численные методы получения редуцированной матрицы плотности произвольной подсистемы многоспиновой системы взаимодействующих спинов. Соответствующие алгоритмы реализованы с помощью специальных компьютерных программ.

2. Получены зависимости запутанности спиновых пар в альтернированной цепочке от длины цепочки, температуры, отношения констант спин-спинового взаимодействия и положения пары внутри цепочки. Установлен осциллирующий характер запутанности в парах, находящихся вблизи концов альтернированной цепочки.

3. Показано, что в одномерных и двухмерных спиновых кластерах в процессе адиабатического размагничивания во вращающейся системе координат возникают запутанные состояния между различными подсистемами в кластерах. Температура, при которой возникает запутанность, зависит от размерности кластера, но примерно одинакова для его любых подсистем.

4. Предложен метод для экспериментального наблюдения возникновения запутанности в многоквантовом эксперименте ЯМР. Введен свидетель запутанности на основе экспериментально наблюдаемой интенсивности многоквантовой когерентности второго порядка. Показано, что запутанное состояние отделено от сепарабельных состояний барьером, зависящим от температуры и внешнего магнитного поля.

Благодарности

Автор выражает искреннюю признательность своему научному руководителю, за его профессиональное и мудрое руководство, терпение и возможность творческого самовыражения, сотрудникам лаборатории, за их советы и помощь и всем тем, кто помогал в процессе подготовки диссертации и сделал жизнь и работу интересной и полной.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пырков, Алексей Николаевич, 2008 год

1. Шредингер Б. Современное состояние квантовой механики // Успехи химии.-1936.-Т.5-3, С. 390-442.

2. Можно ли считать, что квантово-механическое описание физической реальности является полным? / Эйнштейн А., Подольский Б., Фок В.А. и др. // УФН.-1936.-Т. 16-4, С. 436-457.

3. Bell J. S. On the Einstein Podolsky Rosen paradox // Physics.-1964-Vol. 1, No. 3- P. 195-200.

4. Aspect A., Grangier P., and Roger G. Experimental Tests of Realistic Local Theories via Bell's Theorem // Phys. Rev. Lett.-1981.-Vol.47,-P.460-463.

5. Aspect A., Grangier P., and Roger G. Experimental Test of Bell's Inequalities Using Time—Varying Analyzers // Phys. Rev. Lett.-1982.-Vol.49.-P.1804-1807.

6. New High-Intensity Source of Polarization-Entangled Photon Pairs / Kwiat P., Mattle K., Weinfurter H. et. al. // Phys. Rev. Lett.-1995.-Vol. 75.-P. 4337-4341.

7. Нильсен M., Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация. -М.: Мир, 2006.-824с.

8. Валиев К. А. Квантовые компьютеры и квантовые вычисления // УФН.-2005.-Т. 175.-С. 3-39.

9. Teleporting an unknown quantum state via dual classical and Einstein-Podolsky-Rosen channels / Bennett С. H., Brassard G., Crepeau C. et. al. // Phys. Rev. Lett.-1993.-Vol.70.-P. 1895-1899.

10. Бауместер Д. и др. Физика квантовой информации / Бауместер Д., Экерт А., Цайлингер А,- М.: Постмаркет, 2002. -376с.

11. Chung Н. The Study of Entangled States in Quantum Computation and Quantum Information Science: PhD thesis // arxiv: quant-ph/08.08.1546.

12. Quantum entanglement / Horodecki R., Horodecki P., Horodecki M. et.al. // arxiv:quant-ph/0702225.

13. Entanglement in many-body systems / Amico L., Fazio R., Osterloh A. et.al. // Rev. Mod. Phys.-2008-Vol.80.-P. 517-576.

14. Эрнст P. P. и др. ЯМР в одном и двух измерениях / Эрнст Р. Р., Боденхаузен Дж., Вокаун А.- М.: Мир, 1990.-709 с.

15. Кокин А. А. Твердотельные квантовые компьютеры на ядерных спинах.-Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.-204 с.

16. Валиев К.А., Кокин А.А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность.- Москва-Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2004.-320 с.

17. Jones J. NMR Quantum Computation // arxiv:quant-ph/0009002.

18. Vandersypen L. M. K. and Chuang I. L. NMR techniques for quantum control and computation // Rev. Mod. Phys.-2004.-Vol. 76.-P. 10371069.

19. Cory D. G., Fahmy A. F., Havel T. F. Ensemble quantum computing by NMR spectroscopy // Proceedings of the National Academy of Sciences.-1997.-Vol.94.-P. 1624-1629.

20. Separability of Very Noisy Mixed States and Implications for NMR Quantum Computing / Braunstein S. L., Caves С. M., Jozsa R. et. al. // Phys. Rev. Lett.-1999.-Vol. 83, P. 1054-1057.

21. NMR Quantum Information Processing and Entanglement / Laflamme R., Cory D.G., Negrevergne C. et. al. // arxiv: quant-ph/0110029.

22. Warren W., Gershenfeld N., Chuang I. The Usefulness of NMR Quantum Computing // Science.-1997.-Vol. 277.-P. 1688-1690.

23. Osborne T. J., Nielsen M. A. Entanglement in a simple quantum phase transition // Phys. Rev. A.-2002.-Vol. 66.-032110.

24. Scaling of entanglement close to a quantum phase transition / Osterloh A., Amico L., Falci G. et. al. // Nature (London).-2002.-Vol.416.-P. 608-610.

25. Wang X. Thermal and ground-state entanglement in Heisenberg XX qubit rings // Phys. Rev. A.-2002.-Vol.66.- 034302.

26. Perfect State Transfer in Quantum Spin Networks / Christandl M., Datta N., Ekert A. et. al. // Phys. Rev. Lett.-2004.-Vol. 92.- 187902.

27. Доронин С.И., Пырков А.Н., Фельдман Э.Б. Запутанность в альтернированных открытых цепочках ядерных спинов s=l/2 с XY-гамильтонианом // Письма в ЖЭТФ.-2007.-Т. 85.-С. 627-631.

28. Fel'dman Е. В., Rudavets М. G. Exact results on spin dynamics and multiple quantum NMR dynamics in alternating spin-1/2 chains with XY-Hamiltonian at high temperatures // Письма в ЖЭТФ.-2005.-Т. 81.-C. 54.

29. Кузнецова Е.И., Фельдман Э.Б. Точные решения в динамике альтернированных открытых цепочек спинов s = 1/2 с XY-гамильтонианоми и их применение к задачам многоквантовой динамики и квантовой теории информации // ЖЭТФ. -2006.-Т. 129.-С. 1006-1017.

30. Kuznetsova Е. I. and Zenchnk A. I. High-probability quantum state transfer in an alternating open spin chain with an XY Hamiltonian // Phys. Lett. A.-2008.-Vol. 372.-P. 6134.

31. Доронин С. И., Пырков А. Н., Фельдман Э. Б. Запутанность спиновых пар в альтернированной открытой цепочке ядерных спинов s=l/2 с XY-гамильтонианом // ЖЭТФ.-2007.-Т. 132.-С. 10911099.

32. Long-distance entanglement and quantum teleportation in XX spin chains / Campos Venuti L. et. al. // Phys. Rev. A.-2007.-Vol.76.-052328.

33. Entanglement of systems of dipolar coupled nuclear spins at the adiabatic demagnetization / Doronin S.I., Fel'dman E. В., Kucherov M. M., Pyrkov A. N. // Journal of Physics: Condenced Matter.-2009.-Vol.21.-025601.

34. Fel'dman E.B., Pyrkov A.N. Evolution of spin entanglement and an entanglement witness in multiple-quantum NMR experiments // Письма в ЖЭТФ.-2008.-Т. 88.-C. 454.

35. Годен M., Волновая функция Бёте. -М.: Мир, 1987.-352 с.

36. Preskill J. Course Information for Physics 219/Computer Science 219 Quantum Computation (Formerly Physics 229), (2000).

37. Дирак П. Принципы квантовой механики. -М: Наука, 1979.-481 с.

38. Бом Д. Квантовая теория. -М.: Гос.изд-во физ.-мат.литературы. -1961.-732 с.

39. Werner R. F. Quantum states with Einstein-Podolsky-Rosen correlations admitting a hidden-variable model // Phys. Rev. A.-1989.-Vol.40.-P. 4277.

40. Mixed-state entanglement and quantum error correction / С. H. Bennett et. al. // Phys. Rev. A.-1996.-Vol. 54.-P. 3824.

41. Vedral V. and Plenio M. B. Entanglement measures and purification procedures // Phys. Rev. A.-1998.-Vol. 57.-P. 1619.

42. Wootters W. K. Entanglement of formation and concurrence // Quant. Inf. Comp.-2001.-Vol. l.-P. 27-44.

43. Vedral V. The role of relative entropy in quantum information theory // Rev. Mod. Phys.-2002.-Vol. 74.-P. 197.

44. Concentrating partial entanglement by local operations / С. H. Bennett et. al. // Phys. Rev. A.-1996.-Vol.53.-P. 2046.

45. Wootters W. K. Entanglement of Formation of an Arbitrary State of Two Qubits // Phys. Rev. Lett.-1998.-Vol. 80.-P. 2245-2248.

46. Хорн P., Джонсон Ч. Матричный анализ.-М.: Мир, 1989.-656 с.

47. Rains Е. М. Rigorous treatment of distillable entanglement // Phys. Rev. A.-1999.-Vol.£50.-P. 173; Bound on distillable entanglement // Phys. Rev. A.-1999.-Vol. 60.-P. 179.

48. Horodecki M., Horodecki P., and Horodecki R. Mixed-State Entanglement and Distillation: Is there a Bound Entanglement in Nature? // Phys. Rev. Lett.-1998.-Vol.80.-P. 5239.

49. Evidence for bound entangled states with negative partial transpose / DiVincenzo D. P., Shor P. W., Smolin J. A. et. al. // Phys. Rev. A.-2000.-Vol.61.- 062312.

50. Quantifying Entanglement •/ Vedral V. et. al. // Phys. Rev. Lett.-1997.-Vol. 78.-P. 2275.

51. Horodecki M., Horodecki P., Horodecki R. Separability of mixed states: necessary and sufficient conditions // Phys. Lett. A.-1996.-Vol.223.-P.l-8.

52. Peres A. Separability Criterion for Density Matrices // Phys. Rev. Lett.-1996.-Vol.77.-P. 1413-1416.

53. Vidal G. and Werner R. F. Computable measure of entanglement // Phys. Rev. A.-2002.-Vol. 65.-032314.

54. Plenio M.B. Logarithmic Negativity: A Full Entanglement Monotone That is not Convex // Phys. Rev. Lett.-2005.-Vol. 95.- 090503.

55. Plenio M. and Virmani S. An introduction to entanglement measures // Quant. Inf. Comp.-2007.-Vol. 7.-P.1-51.

56. Optimization of entanglement witnesses / Lewenstein M., Kraus В., Cirac J. I. et.al. // Phys. Rev. A.-2000.-Vol. 62.- 052310.

57. Giihne O. Characterizing Entanglement via Uncertainty Relations // Phys. Rev. Lett.-2004.-Vol.92.- 117903.

58. Weisniak M., Vedral V., Brukner C. Magnetic susceptibility as atmacroscopic entanglement witness // New. J. Phys.-2005.-Vol.7.-258.

59. Алдошин С. M., Фельдман Э. Б. и Юрищев М. А. Квантовая за-путаность в нитрозильных комплексах железа // ЖЭТФ.-2008.-Т.134.-С.940.

60. Terhal В. М. Bell' inequalities and the separability criterion // Phys. Lett. A.-2000.-Vol.271.-P.319-326.

61. Eisert J., Brandao F. G. S. L. and Audenaert К. M. R. Quantitative entanglement witnesses // New J. Phys.-2007.-Vol.9.- 46.

62. Giihne 0. and Ltitkenhaus N. Nonlinear entanglement witnesses, covariance matrices and the geometry of separable states // arxiv: quant-ph/0612108

63. Манин Ю. И. Вычислимое и невычислимое.- М.: Кибернетика, 1980.-128 е.

64. Shor P. Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer // arxiv: quant-ph/9508027.

65. Grover L. K. Quantum Mechanics Helps in Searching for a Needle in a Haystack // Phys. Rev. Lett.-1997.-Vol.79.-P.325 328.

66. Jozsa R. and Linden N. On the role of entanglement in quantum computational speed-up // Proc. Roy. Soc. Lond. A.-2003.-V61.459.-P. 2011.

67. Aharonov D. and Ben-Or M. Polynomial simulations of decohered quantum computers. In IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, 46-55 (1996).

68. Preskill J. Reliable quantum computers // Proc. Roy. Soc. Lond. A.-1998.-Vol. 454.-P. 385.

69. Bennett C. H. and Wiesner S. J. Communication via one- and two-particle operators on Einstein-Podolsky-Rosen states // Phys. Rev. Lett.-1992.-Vol.69.-P. 2881.

70. Barenco A. and Ekert A. Dense Coding Based on Quantum Entanglement // J. Mod. Opt.-1995.-Vol.42.-P. 1253-1259.

71. Bose S., Plenio M. B., Vedral V. Mixed state dense coding and its relation to entanglement measures //J. Mod. Opt.-2000.-Vol. 47.-P. 291-310.

72. Dense coding with multipartite quantum states / Bruss D. et. al. // arxiv: quant-ph/0507146.

73. Ekert A. K. Quantum cryptography based on Bellas theorem // Phys. Rev. Lett.-1991.-Vol. 67.-P.661.

74. Experimental quantum teleportation / Bouwmeester D., Pan J-W, Mattle K. et. al. // Nature.-1997.-Vol.390.-P. 575-579.

75. Experimental Realization of Teleporting an Unknown Pure Quantum State via Dual Classical and Einstein-Podolsky-Rosen Channels / Boschi D. et. al. // Phys. Rev. Lett.-1998.-Vol. 80.-P. 1121.

76. Nielsen M. A., Knill E., Laflamme R. Complete quantum teleportation using nuclear magnetic resonance // Nature.-1998.-Vol.396.- P. 52-55.

77. Ландау JI. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика.-М.: Физ. Мат. Лит., 2002.-Ч. 1-2.

78. Fel'dman Е. В., Bruschweiler R., Ernst R. R. From regular to erratic quantum dynamics in long spin 1 /2 chains with an XY Hamiltonian // Chem. Phys. Lett.-1998.-Vol. 294.-P. 297-304.

79. Multiple-quantum dynamics in solid state NMR / J. Baum, M. Munowitz, A.N. Garroway et. al. // J. Chem. Phys.-1985.-Vol. 83.-P. 2015.

80. Доронин С. И., Максимов И. И., Фельдман Э. Б. Многоквантовая динамика одномерных систем ядерных спинов в твердых телах // ЖЭТФ.-2000.-Т.118.-С. 687.

81. Thermal concurrence mixing in a one-dimensional Ising model / D. Gunlycke, S. Bose, V. Kendon et. al. // Phys. Rev. A.-2001.-Vol.64.-042302.

82. Supercomputer analysis of one-dimensional multiple-quantum dynamics of nuclear spins in solids / Doronin S. I., Fel'dman E. В., Guinzbourg I. Ya. et. al. // Chem. Phys. Lett.-2001.-Vol.341.-P. 144.

83. Гинзбург И. Я., Доронин С. И., Максимов И. И. Моделирование многоквантовой динамики системы ядерных спинов в твердых телах на суперкомпьютере // Мат. Моделирование.-2002.-Т. 14.-С. 3-16.

84. Arnesen M., Bose S., and Vedral V. Natural Thermal and Magnetic Entanglement in the ID Heisenberg Model / / Phys. Rev. Lett-2001.-Vol. 87.- 017901.

85. O'Connors K. and Wootters W. K. Entangled rings // Phys. Rev.1. A.-2OOI.-V0I. 63.-052302.

86. Tribedi A., Bose I. Entanglement and fidelity signatures of quantum phase transitions in spin liquid models // Phys. Rev. A.-2008.-Vol. 77.-032307.

87. Multipartite Entanglement Signature of Quantum Phase Transitions / Thiago R. de Oliveira et. al. // Phys. Rev. Lett.-2006.-Vol.97.-170401.

88. Lian-Ao Wu, Marcelo S. Sarandy, Daniel A. Lidar Quantum Phase Transitions and Bipartite Entanglement // Phys. Rev. Lett.-2004.-Vol. 93.-250404.

89. Quantum Phase Transitions in Matrix Product Systems / Wolf M.M., Ortiz G., Verstraete F., et. al. // Phys. Rev. Lett.-2006.-Vol.97.-110403.

90. Dynamics of entanglement in one-dimensional spin systems / Amico L., Osterloh A., Plastina F. et. al. // Phys. Rev. A.-2004.-Vol.69.-022304.

91. Sachdev S. Quantum phase transitions.-Cambridge: Cambridge University Press, 1999.-373 p.

92. Nielsen M. A. Quantum information theory, Ph.D. thesis (University of New Mexico, 1998). // arxiv: quant-ph/0011036.

93. Wang X. Boundary and impurity effects on the entanglement of Heisenberg chains // Phys. Rev. E.-2004.-Vol.69.- 066118.

94. Distributed entanglement / Coffman V. et al. // Phys. Rev. A.-2000.-V0I.6L- 052306.

95. Witnessing macroscopic entanglement in a staggered magnetic field / Hide J., Son W., Lawrie I. et. al. // Phys. Rev. A.-2007.-Vol. 76.022319.

96. Entangled quantum state of magnetic dipoles / Ghosh S., Rosenbaum T. F., Aeppli G. et. al. // Nature.-2003.-Vol.425.-P. 48-51.

97. Brukner C., Vedral V., Zeilinger A. Crucial role of quantum entanglement in bulk properties of solids // Phys. Rev. A.-2006.-Vol.73.-012110.

98. Berger L., Friedberg S. A., Schriempf J. T. Magnetic Susceptibility of Cu(N03)22.5H20 at Low Temperature // Phys. Rev.-1963.-Vol. 132.-P. 1057-1061.

99. Triplet Waves in a-Quantum Spin Liquid / Xu G., Broholm C., Reich D. et. al. // Phys. Rev. Lett.-2000.-Vol.84.-P. 4465-4468.

100. Vertesi Т., Bene E. Thermal entanglement in the nanotubular system Na2V307 // Phys. Rev. B:-2006.-Vol.73.- 134404.

101. Experimental determination of thermal entanglement in spin clusters using magnetic susceptibility measurements / A.M. Souza et. al. // Phys. Rev. B.-2008.-Vol.77.- 104402.

102. Experimental observation of quantum entanglement in low-dimensional spin systems / Rappoport T. G., Ghivelder L., Fernandes J. C. et. al. // Phys. Rev. B.-2007.-Vol.75.- 054422.

103. Bi-nuclear nitrosyl iron complex with 2-mercapto-imidazolyl: Synthesis, structure and magnetic properties / N. A. Sanina, S. M. Aldoshin, T. N. Rudneva et. al. // J. Mol. Struct.-2005.-Vol. 752.-P. 110.

104. Синтез, строение и NO- донорная активность парамагнитного комплекса Fe2(SC3H5N2)2(NO)4] как модели нитрозильных [2Fe28.-белков / Н. А. Санина, Т. Н. Руднева, С. М. Алдошин и др. // Известия АН. Серия xhm.-2007.-N. 1.-С. 28.

105. Bleaney В. and Bowers К. D. Anomalous Paramagnetism of Copper Acetate // Proc. Roy. Soc. (London) A.-1952.-Vol. 214.-P. 451-465.

106. Карлин P. Магнетохимия: Перевод с англ./ Под ред. В. В. Зелен-цова, М.: Мир, 1989.-399 с.

107. Lieb Е., Schultz Т., and Mattis D. Two Soluble Models of an Antiferromagnetic Chain // Ann. Phys. (N. Y.)-1961.-Vol. 16.-P. 407466.

108. Cruz H. B. and Gonsalves L. L. Time-dependent correlations of the one-dimensional isotropic XY model. // J. Phys. C: Solid State Phys-1981.-Vol. 14.-P. 2785.

109. Сликтер Ч. Основы теории магнитного резонанса.-М.: Мир, 1981.448 с.

110. Абрагам А., Гольдман М. Ядерный магнетизм: порядок и беспорядок,- М.: Мир, 1984.-Т. 1-2.

111. Feldman К. Е. Exact diagonalization of the XY-Hamiltonian of open linear chains with periodic coupling constants and its application // J. Phys. A: Math. Gen.-2006.-Vol. 39.-P. 1039.

112. Гольдман M. Спиновая температура и ЯМР в твердых телах. М.: Мир, 1972,- С. 342.

113. Е. В. Fel'dman, S. Lacelle Multiple quantum nuclear magnetic resonance in one-dimensional quantum spin chains //J. Chem. Phys-1997.-Vol.107.-P.7067.

114. W. K. Rhim, A. Pines, and J. S. Waugh, Time-Reversal Experiments in Dipolar-Coupled Spin Systems // Phys. Rev. B.-1971.-Vol.3.-P. 684-696.

115. Fel'dman E. B., Maximov I.I. Multiple Quantum Dynamics in Linear Chains and Rings of Nuclear Spins in Solids at Low Temperatures // J. Magn. Rfison.-2002.-Vol.157.-P. 106.

116. Cho G. and Yesinowski J. P. H and 19F Multiple-Quantum NMR Dynamics in Quasi-One-Dimensional Spin Clusters in Apatites //J. Phys. Chem.-1996.-Vol. 100.- 15716.

117. Doronin S. I. Multiple quantum spin dynamics of entanglement // Phys. Rev. A.-2003.-Vol. 68.- 052306.