Задачи фильтрации и управления в дискретно-непрерывных системах с неопределенностью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Миллер, Григорий Борисович

• Миллер, Григорий Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Миллер, Григорий Борисович

Введение

1. Фильтрация в системах с неопределенностью

1.1. Фильтрация процесса заданного ЛСРУ по дискретным наблюдениям

1.1.1. Описание модели.

1.1.2. Задача оптимальной фильтрации.

1.1.3. Задача оптимальной фильтрации в условиях неопределенности

1.2. Фильтрация процесса заданного ЛСДУ по непрерывным наблюдениям

1.2.1. Описание модели.

1.2.2. Задача оптимальной фильтрации.

1.2.3. Задача оптимальной фильтрации в условиях неопределенности

1.3. Фильтрация процесса заданного ЛСДУ по дискретным наблюдениям

1.3.1. Описание модели.2б

1.3.2. Задача оптимальной фильтрации.

1.3.3. Задача оптимальной фильтрации в условиях неопределенности

1.4. Фильтрация процесса заданного ЛСДУ по дискретно-непрерывным наблюдениям

1.4.1. Описание модели.

1.4.2. Задача оптимальной фильтрации.

1.4.3. Задача оптимальной фильтрации в условиях неопределенности

1.5. Фильтрация процесса в системе со скрытой марковской моделью

1.5.1. Описание модели.

1.5.2. Задача оптимальной фильтрации.

2. Оптимизация систем с неопределенностью

2.1. Управление в линейных непрерывных неопределенно-стохастических системах.

2.1.1. Описание модели управления

2.1.2. Задача оптимального управления.

2.1.3. Задача оптимального управления в условиях неопределенности

2.2. Управление в неопределенных системах со скрытой марковской моделью

2.2.1. Описание модели.

2.2.2. Задача оптимального управления.

2.2.3. Необходимые условия оптимальности.

3. Численные методы 62 3.1. ЧМ решения двойственной задачи фильтрации и управления.

4. Примеры

4.1. Модельные примеры.

4.2. Спуск JIA в турбулентной атмосфере.

4.3. Задача слежения за состоянием канала передачи данных.

4.4. Задача управления потоком данных.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи фильтрации и управления в дискретно-непрерывных системах с неопределенностью»

Данная диссертационная работа посвящена решению задач фильтрации и управления дискретпо-пепрерывпыми стохастическими процессами в различных динамических системах с априорной неопределенностью. Рассматриваются системы двух видов: с параметрической неопределенностью и с неопределенностью в виде скрытой марковской модели (СММ).

В первом случае предполагается, что некоторые параметры системы не известны, но заданы о точностью до принадлежности некоторым множествам, называемым далее множествами неопределенности. Методы решения задач оценивания и управления в таких системах можно разделить на два класса: адаптивные и минимаксные.

Адаптивные методы заключаются в совместной фильтрации/управлении в системе и оперативной идентификации (уточнении по нарастающему объему наблюдений) неизвестных параметров системы [47,49,57,70,72,74,87,91,104,105,114,128]. Минимаксный подход заключается в определении такой оценки, качество которой при наихудшем на множестве неопределенности сочетании неизвестных параметров будет наилучшим по сравнению с другими оценками [14,48]. Таким образом, имеет место игровая постановка, в которой критерий качества оценивания или управления минимизируется по одному параметру (алгоритм фильтрации или управления) и максимизируется по другому (неопределенные параметры модели).

Большое количество результатов по минимаксной фильтрации и управлению получено для детерминированных динамических систем. Для случая дискретной динамики наиболее общая модель рассматривалась в работе Д. Бертсекаса и И. Рудза [68], где предполагалось, что состояние системы в любой момент времени есть некоторая в общем случае нелинейная функция состояния па предыдущем шаге, управляющих воздействий и возмущений. Наблюдения также предполагались нелинейно зависящими от состояния и возмущений. При этом вектор, составленный из начальных условий и всех возмущений из уравнений состояния и наблюдения предполагался неизвестным, но принадлежащим некоторому известному множеству. Для такой системы предлагалась минимаксная постановка задачи оптимального управления: требовалось найти последовательность управляющих воздействий, минимизирующую критерий, представляющий собой супремум некоторой нелинейной функции состояния и управления по всем неизвестным параметрам. В качестве решения предложен алгоритм, основанный на решении задачи динамического программирования. Похожие системы изучались также Витсенхаузеном, Швеппе, Гловером в [65-67,86,131,141]. Непрерывные нелинейные модели изучались и В. Шмитендорфом в (130], где приведены достаточные условия минимаксности управления для динамической системы заданной дифференциальным уравнением с неизвестным начальным условием и для системы с неизвестным ограниченным параметром в уравнении состояния. Кроме названных работ по фильтрации детерминированных системах следует отмстить работы Дж. Морриса [113], А. Матасова [102], Г. Голубева, О. Муравлева и В. Писарева [18], И. Каца и Г. Тимофеевой [27], Верду и Пура [137], Витсенхаузена [142], Р. Габасова, Ф. Кирилловой и Т. Песецкой [15], де ла Пены, Аламо, Рамиреса и Камачо [77], а также монографию А. Куржанского [28] посвященную минимаксной нестохастической фильтрации Калмана, где возмущения предполагаются детерминированными неопределенными ограниченными последовательностями.

Наиболее общих результатов для стохастических моделей, в которых неопределенными чаще всего являются статистические параметры возмущающих процессов, удается достичь для стационарных систем, оптимизируемых в установившемся режиме. В этом случае используются в основном спектральные методы. Основные результаты в этой области принадлежат О. Куркину, Ю. Коробочкину, С. Шаталову, В. Пуру, Лузу, Вастоле, Даррагу, И. Петерсепу, В. Угриновскому, А. Савкину, Мо-хеимани [29,96,112,122,129,135]. Минимаксные варианты алгоритма калмановской фильтрации, обладающие свойством робастности к отклонению истинных момент-ных характеристик от расчетных, разрабатывались Дж. Моррисом, С. Мартином, М. Минцем, В. Пуром, С. Кассамом, Б. Бахшияном, Р. Назировым, П. Эльясбергом, JI. Эль Хаои, Дж. Галафьоре в [5,25,81,100,113]. Следует отметить книгу И. Каца [26], посвященную апостериорному минимаксному оцениванию в стохастических системах. Для моделей частного вида теория минимаксной априорной фильтрации изучалась в работах А. Матасова, А. Борисова, А. Панкова, М. Минца, Г. Голубева, О. Муравлева, В. Писарева, Д. Йохансена [18,89,102,111,117], статистически неопределенные модели, описываемые стохастическими дифференциальными уравнениями, рассматривались Б. Ананьевым, Ю. Орловым, М. Басиным, О. Куркиным, Ю. Коробочкиным, С. Шаталовым, А. Матасовым, Г. Бобриком, А. Голованом, А. Борисовым, А. Панковым в [3,7,12,29,102,115]. Кроме задач фильтрации в стохастических системах со статистической неопределенностью следует упомянуть и тесно связанные с ними задачи управления: нестационарные линейные дискретные стохастические системы исследовались Филлисом в [120], линейные дифференциальные системы — Б. Ананьевым в [2], Е. Рубиновичем в [126] рассматривались системы, заданные стохастическими дифференциальными уравнениями с мерой.

В ряде работ помимо неопределенности в возмущающих воздействиях (детерминированных или случайных), присутствует и структурная неопределенность: например, в линейной модели, рассмотренной в [100] коэффициенты уравнений не известны точно, но ограничены принадлежностью некоторым множествам. В [121] и [83] коэффициенты линейной системы выбираются из фиксированного набора в зависимости от состояния некоторой марковской цепи, матрица переходных вероятностей которой не задана. Кроме названных, необходимо отметить [132], где рассмотрена линейная динамическая нестохастическая дифференциальная система с коэффициентами, зависящими от ограниченных неизвестных функций, [76,144], где изучаются непрерывные детерминированные системы с неопределенностью в коэффициентах уравнений состояния и наблюдения, [41], где исследуется стохастические дифференциальные системы с неопределенностью в коэффициентах уравнения.

В большинстве из указанных выше работ моменты наблюдения фиксированы и неслучайны. В тоже время существует широкий класс динамических систем, в которых измерения производятся в случайные, независящие от наблюдаемого процесса моменты времени и часто только среднее время появления этих наблюдений песет информацию о некоторых характеристиках состояния. Одной из первых работ, где рассматривались задачи фильтрации для такого типа процессов была работа Воне-ма [143], полученные им уравнения известны как фильтр Вопема. Задачи управления и наблюдения стохастическими системами с дискретным изменением состояний и наблюдениями в случайные моменты времени рассматривались в работах А. Яшина (53—55], Воэлн и Варайи [G9], Вана и Дэвиса [140], П. Бремо [73], М. Маритона [9{J], и дали начало новому направлению в теории оптимального стохастического управления, известному как управление процессами со скрытыми марковскими моделями (СММ) или Hidden Markov Models (НММ) по западной терминологии [75,79]. Данная теория имеет многочисленные приложения, включая управление запасами и финансами, общими динамическими системами, управление в системах передачи данных, обработку сигналов [23,35,51,63,64,75,79,80,84,123,127,146], . Наиболее общие результаты получены, однако лишь для линейных систем, в которых использование скрытых марковских моделей позволяет моделировать спонтанные изменения как динамических так, и шумовых характеристик системы, при этом могут наблюдаться как зашумленные параметры системы, так и некоторые события, свидетельствующие о происхождении изменения, по не дающие никакой определенной информации о характере изменения. Уравнения фильтрации, которые возникают в этом случае, являются комбинацией уравнений для апостериорных вероятностей состояний и уравнений для оценки параметров модели [79,109,139]. В случае линейных систем для задач с квадратичным критерием качества можно решить и задачи оптимального управления, в которых оптимальный закон управления остается линейным, однако уравнения Риккати для цены и точности оценок модифицируются добавлением дополнительных членов [83,99].

Диссертационная работа состоит из четырех глав и приложения.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Миллер, Григорий Борисович

Заключение

В диссертационной работе решены задачи фильтрации и управления в некоторых системах с априорной неопределенностью. Для задач с параметрической неопределенностью применен минимаксный подход. Для решения задачи минимаксной оптимизации использован метод, основанный па переходе к двойственной задаче: минимаксный оператор оценивания или управления строится как оптимальный, рассчитанный на наименее благоприятное сочетание параметров модели. Данный метод позволил получить аналитическое выражение минимаксных операторов через решение двойственной задачи. Для решения последней разработан численный алгоритм.

Для задачи оптимальной фильтрации дискретного процесса, порожденного марковской цепью с конечным числом состояний по косвенным наблюдениям, на основе классического подхода к исследованию скрытых марковских моделей, а именно с помощью мартингального представления ненаблюдаемого процесса и процесса наблюдений, получены явные рекуррентные соотношения для оценок.

Для задачи оптимального управления дискретно-непрерывной стохастической системой со скрытой марковской моделью по неполным данным, путем преобразования к эквивалентной форме задачи управления для системы с кусочно-детерминированными траекториями, получены оптимальные стратегии, выраженные через уравнение динамического программирования. На основе методологии вывода условий оптимальности, предложенной в работах Кабанова и Эллиотта с учетом единственности решения стохастического уравнения в обратном времени для сопряженной переменной, выяснена структура оптимального управления. Более того, в одном практически важном случае, когда состояние марковской цепи не зависит от управления, получен явный вид управления, удовлетворяющего принципу максимума.

В диссертации решены следующие задачи:

1) Поставлены и решены задачи минимаксной фильтрации и статистически неопределенных системах, описываемых линейными дифференциальными и разностными стохастическими уравнениями.

2) Сформулирована и решена задача минимаксного управления в статистически неопределенной линейной дифференциальной системе.

3) Получены условия разрешимости исходных минимаксных задач через решение двойственной задачи, для решения которой предложена сходящаяся итерационная процедура.

4) Поставлена и решена задача оптимальной фильтрации дискретного процесса, порожденного марковской цепыо с конечным числом состояний по косвенным зашумленным и незашумленным наблюдениям.

5) Поставлена задача оптимального управления дискретно-непрерывной стохастической системой со скрытой марковской моделью, для которой получено решение в виде решения уравнения динамического программирования. В случае, когда состояние порождающей марковской цепи не зависит от управления, получен явный вид управления, удовлетворяющего принципу максимума.

Обозначения

•)* оператор транспонирования; (•)-1 — оператор обращения;

•)+ оператор псевдообращения но Муру-Пенроузу [1|; tr[i4] — след матрицы А; кег[Л] - ядро операто])а А;

Аз — матрица такая, что Аз Аз — А; co1(j4i,., Ап) — колонка из векторов (матриц) А\,., Ап-, diag(^i,., Ап) — блочно-диагональная матрица с А\,., Ап на главной диагонали; diag(u) = diagu — диагональная матрица с элементами вектора v на главной диагонали;

А ® В — кронскерово произведение матриц А и 5; А У В — матрица А — В неотрицательно определена; Ау В — матрица А — В положительно определена;

А^ В (А ^ В) — матрица А поэлементно больше либо равна (меньше либо равна) матрицы В\

А> В (А < В) — матрица А поэлементно больше (меньше) матрицы Б; х|| — евклидова норма вектора х € М"; а, 6) — скалярное произведение векторов а и 6; ~ 7Г — случайная величина (вектор) £ распределена по закону 7г;

Б [х] — математическое ожидание случайного вектора х;

D [х] — дисперсия случайной величины х; cov(x, у) = Е [(.х - Е [х])(у — Е [?/])*] — ковариация случайных векторов х и у, со[К] — выпуклая замкнутая оболочка множества точек V; argmin/(х) — множество точек глобального минимума /(х) на множестве X; хех argmax f(x) — множество точек глобального максимума /(х) на множестве Х\ хех

0 — пустое множество; А П В — пересечение множеств А и В; A U В — объединение множеств А и В\ р{х,Х) = inf ||х - у\\ — расстояние от точки х € Шп до множества X С Мп; уех

А/, N)t — взаимная квадратическая характеристика мартингалов Mt,Nt\

M)t = (M,M)t — квадратическая характеристика мартингала Л/; R — множество вещественных чисел; R+ — множество положительных вещественных чисел; N — множество натуральных чисел;

С" — пространство п раз непрерывно дифференцируемых функций; В(А) — борелевская сг-алгебра подмножеств множества А; сг(Л) — наименьшая ст-алгсбра, содержащая систему подмножеств Л (ст-алгебра порожденная Л); сг(^) — наименьшая сг-алгебра, относительно которой измерим случайный элемент £ (ст-алгебра порожденная £);

Q = Qx V Q2 — наименьшая а-алгебра такая, что Q1 С Q и Q2 С Q.

ЛСРУ ЛСДУ мц смм чм

ЛА

СКО

AIMD

ECN RTO RTT TCP/IP

Сокращения линейные стохастические разностные уравнения линейные стохастические дифференциальные уравнения марковская цепь скрытая марковская модель численные методы летательный аппарат среднеквадратическое отклонение additive increase multiple decrease, схема управления скоростью передачи данных протокола TCP, заключающаяся в ее линейном увеличении между сигналами о перегрузке и мультипликативном уменьшении при поступлении такого сигнала explicit congestion notification, явное определение состояния перегрузки retransmission timeout, время, в течение которого отправитель ожидает подтверждения на посланный пакет round-trip time, время между отправкой пакета и получением подтверждения о его получении

Transmission Control Protocol / Internet Protocol, семейство протоколов управления потоками данных

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Миллер, Григорий Борисович, 2006 год

1. Альберт А. Регрессия, нсевдоинверсия и рекуррентное оценивание. Москва: Наука, 1977.

2. Ананьев Б. И. Минимаксные регуляторы для статистически неопределенных управляемых систем // Изв. ЛИ СССР. Техн. кибернетика. — 1989.— № 4.— С. 105-115.

3. Ананьев Б. И. Минимаксная линейная фильтрация многошаговых процессов с неопределенными распределениями возмущений // Автоматика и телемеха-пика. 1993. - № 10. - С. 131-139.

4. Балакришиан А. В. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве. — Москва: Мир, 1974.

5. Бахшиян Б. Ц., Назиров Р. Р., Эльяеберг П. Е. Определение и коррекция движения. — Москва: Наука, 1980.

6. Бахшиян Б. Ц., Соловьев В. Н. Применение теоремы двойственности к задаче оптимального гарантирующего оценивания // Космические исследования. — 1990.-Т. 90, № 2.

7. Бобрик Г. И., Голован А. А., Матасов А. И. Фильтр Калмана при гарантирующем подходе к решению задачи топографической привязки // Автоматика и телемеханика. — 1997. — № 10. — С. 34-47.

8. Борисов А. В., Миллер Г. В. Анализ и фильтрация специальных марковских процессов в дискретном времени I: Мартингальное представление // Автоматика и телемеханика. — 2005. — № б. — С. 114-125.

9. Борисов А. В., Миллер Г. Б. Анализ и фильтрация специальных марковских процессов в дискретном времени II: Оптимальная фильтрация // Автоматика и телемеханика. — 2005. — № 7. — С. 112-125.

10. Борисов А. В., Миллер Г. Б. Скрытая марковская модель передачи данных по протоколу TCP // Тезисы докладов 2-й Научной сессии Института проблем информатики РАН. М.: 2005. - С. 74-76.

11. Борисов А. В., Миллер Г. Б. Фильтрация состояний специальных марковских процессов // Тезисы докладов Х-й Междунар. конф. «Системный анализ и управление». — Евпатория: 2005. — С. 150.

12. Борисов А. В., Панков А. Р. Минимаксная фильтрация в динамических системах, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями с мерой // Автоматика и телемеханика. — 1998.— № 6.— С. 139-152.

13. Боровков А. А. Математическая статистика. Дополнительные главы. — Москва: Наука, 1984.

14. Валъд А. Статистические решающие функции. Позиционные игры. — Москва: Наука, 1967.

15. Габасов Р., Кириллова Ф. М., Песецкая Т. И. Реализация в реальном времени оптимальных обратных связей по выходу для линейных систем в условиях неопределенности // Изв. РАН. Теория и Системы Управления. — 2005. — № 4. С. 44-56.

16. Галъчук Л. И. Обобщение теоремы Гирсанова о замене меры на случай полумартингалов со скачками // Теория вероятностей и ее применения. — 1977. — Т. 22, № 2. С. 279-294.

17. Гихман И. И., Скороход А. В. Управляемые случайные процессы. — Киев: На-укова думка, 1977.

18. Голубев Г. А., М.)равлев О. В., Писарев В. Ф. Линейная рекуррентная фильтрация динамических процессов с дискретным временем при частичной информации о возмущающих процессах // Автоматика и телемеханика. — 1989.— № 12. С. 49-59.

19. Григорьев Ф. П., Кузнецов Н. А., Серебровский А. П. Управление наблюдениями в автоматических системах. — Москва: Наука, 1986.

20. Девис М. X. А. Линейное оценивание и стохастическое управление. — Москва: Наука, 1984.

21. Доброленский Ю. Динамика полета в неспокойной атмосфере. — Москва: Машиностроение, 1969.

22. Жакод Ж., Ширяев А. Н. Предельные теоремы для случайных процессов,— Москва: Физматлит, 1994.

23. Завьялова Т. В., Кац И. Я., Тимофеева Г. А. Об устойчивости движения стохастической системы со случайным условием скачка фазовой траектории // Автоматика и телемеханика. — 2002.— № 7.— С. 33-46.

24. Зангвилл У. Нелинейное программирование. Единый подход. — Москва: Сов. радио, 1973.

25. Кац И. Я., Тимофеева Г. А. Модифицированный метод невязки в статистически неопределенной задаче оценивания // Автоматика и телемеханика, — 1994.— № 2. С. 100-109.

26. Куржаиский А. Б. Управление и оценивание в условиях неопределенности.— Москва: Наука, 1977.

27. Куркин О. М., Коробочкин Ю. В., Шаталов С. А. Минимаксная обработка информации. — Москва: Эпсргоатомиздат, 1990.

28. Ланкастер П. Теория матриц. — Москва: Наука, 1973.

29. Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Статистика случайных процессов. — Москва: Наука, 1974.

30. Миллер Г. Б., Панков А. Р. Фильтрация случайного процесса в статистически неопределенной линейной стохастической дифференциальной системе // Автоматика и телемеханика. — 2005. — № 1. — С. 59-71.

31. Миллер Г. Б., Панков А. Р. Минимаксная фильтрация в линейных неопределенно-стохастических дискретно-непрерывных системах // Автоматика и телемеханика. — 2006. — № 3. — С. 77-93.

32. Миллер Г. Б., Панков А. Р. Оптимизация управления в линейных стохастических дифференциальных системах с неопределенными параметрами возмущений // Информационные процессы. — 2006.— Т. б, № 2,— С. 131-143.

33. Пайков А. Р., Миллер Г. Б. Минимаксная линейная рекуррентная фильтрация неопределенно-стохастических последовательностей по интегральному критерию // Информационные процессы. — 2001. — Т. 1, № 2. — С. 150-16G.

34. Панков А. Р., Миллер Г. Б. Минимаксная фильтрация в статистически неопределённых линейных дифференциальных системах // Тезисы докладов 1Х-й Междунар. конф. «Системный анализ и управление».— Евпатория: 2004.— С. 120-121.

35. Панков А. Р., Семенихип К. В. Минимаксная идентификация неопределенно-стохастической линейной модели // Автоматика и телемеханика,— 1998.— № 11.- С. 158-171.

36. Панков А. Р., Семенихип К. В. Методы параметрической идентификации многомерных линейных моделей в условиях априорной неопределенности // Автоматика и телемеханика. — 2000. — А'2 5. — С. 7G-92.

37. Пелевин А. Робастная стабилизация линейного объекта при неопределенных параметрах модели // Изв. РАН. Теория и Системы Управления. — 2003. — № 1. С. 40-46.

38. Пугачев В. С., Синицын И. Н. Стохастические дифференциальные системы. — Москва: Наука, 1990.

39. Пшеничный Б. Н. Необходимые условия экстремума. — Москва: Наука, 1982.

40. Ройтенберг Я. Н. Автоматическое управление. — Москва: Наука, 1978.

41. Рокафеллар Р. Т. Выпуклый анализ. — Москва: Мир, 1973.

42. Флеминг У, Ришел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами. — Москва: Мир, 1978.

43. Фомин В. Н. Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация. — Москва: Наука, 1984.

44. Хьюбер П. Робастность в статистике. — Москва: Мир, 1984.

45. Цыпкин Я. 3. Основы информационной теории идентификации. — Москва: Наука, 1984.

46. Ширяев А. Н. Вероятность. — Москва: Наука, 1989.

47. Эллиотт Р. Д. Стохастический анализ и его приложения. — Москва: Мир, 1986.

48. Юшкевич А. А. Управляемые марковские модели со счетным множеством состояний и непрерывным временем // Теория вероятностей и ее применения. — 1977. Т. 22, .\« 2. - С. 222-241.

49. Яшин А. И. Фильтрация скачкообразных процессов // Автоматика и телема-хаиика. 1970. - № 5. - С. 52-58.

50. Яшин А. И. Конструктивные алгориты оптимальной нелинейной фильтрации.1.// Автоматика и телемаханика. — 1975.— № 11.— С. 33-39.

51. Яшин А. И. Конструктивные алгориты оптимальной нелинейной фильтрации.1. // Автоматика и телемаханика. — 1975.— № 12.— С. 108-113.5G. Allman М., Paxson V., Stevens W. TCP congestion control I j RFC. 1999. no. 2581.

52. Alspach D. A parallel filtering algorithm for linear systems with unknown timevary-ing noise statistics // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1974. — Vol. AC-19, no. 5.-Pp. 552-556.

53. Altman E., Avrachenkov K., Barakat C. A stochastic model of TCP/IP with stationary random losses // Computer Communications Review. — 2000. — Vol. 30, no. 4. — Pp. 231-242.

54. Altman E., Avrachenkov K., Barakat C. TCP in presence of bursty losses // Performance Evaluation. 2000. - Vol. 42, no. 2-3. - Pp. 129-147.

55. Altman E., Avrachenkov K., Barakat C., Dube P. TCP over a multi-state Markovian path // Goto K., Takahashi Y., Takagi H. Performance and QoS of next generation networking. New York, NY: Springer-Verlag, 2000. - Pp. 103-122.

56. Athuraliya S., Low S. Optimization flow control with Newton-like algorithm // Telecommunication Systems. — 2000. — Vol. 15, no. 3-4. — Pp. 345-358.

57. Barakat C. TCP/IP modeling and validation // IEEE Network. 2001. - Vol. 15, no. 3. - Pp. 38-47.

58. Bar-Shalorn Y, Campo L., Li X. R. Control of Discrete-time Hybrid Stochastic Systems. — San Diego: Academic Press, 1996.

59. Bar-Shalom Y., Li X. R. Multiple-model estimation with variable structure // IEEE Trans. Autom. Contr. 1996. - Vol. 41, no. 4. - Pp. 478-493.

60. Bertsekas D. P. Control of uncertain systems with a set membership description of the uncertainty: Phd dissertation / Dep. Elec. Eng., Mass. Inst. Technol. — Cambridge, 1971.

61. Bertsekas D. P., Rhodes I. B. On the minimax feedback control of uncertain dynamic system // in Proc. of IEEE Conference on Decision and Control (CDC'1971).— Miami, USA: 1971.- Pp. 451-455.

62. G7. Bertsekas D. P., Rhodes I. B. Recursive state estimation for a set-membership description of uncertainty // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1971. — Vol. AC-16. — Pp. 117-128.

63. Bertsekas D. P., Rhodes I. B. Sufficiently informative functions and the minimax feedback control of uncertain dynamic systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1973.-Vol. AC-18, no. 2,- Pp. 117-124.

64. Boel R., Varaiya P. Optimal control of jump processes // SI AM Journal on Control and Optimization. — 1977. — Vol. 15.- Pp. 92-119.

65. Bohlin T. Four cases of identification of changing systems // System Identification: Advances and Case Studies / Ed. by R. K. Mehra, D. Lainiotis. — Academic Press, 1976.

66. Borisov A. V., Miller G. B. Hidden markov model approach to TCP link state tracking // Proc. 43-rd IEEE Conf. Decision and Control (CDC'2004).- Nassau: 2004.-Pp. 3126-3137.

67. Brelanger P. Estimation of noise covariance matrices for a linear time-varying stochastic process // Automatica.— 1974. — Vol. 10.— Pp. 267-275.

68. Brimaud P. M. Point processes and queues. — Berlin: Springer-Verlag, 1981.

69. Carew В., Brelanger P. Identification of optimum filter steady-state gain for systems with unknown noise covariances // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1973.- Vol. AC-18, no. 6. Pp. 582-587.

70. Dumas V., Guillemin F., Robert P. A Markovian analysis of AIMD algorithms // Appl. Probability. 2002. - Vol. 34, no. 1. - Pp. 85 111.

71. Elliott R. J., Aggoun L., Moore J. B. Hidden Markov Models: Estimation and Control. — Berlin: Springer-Verlag, 1995.

72. Elliott R. J., Malcolm W. P., Tsoi A. HMM volatility estimation // Proceedings of the 41th IEEE Conference on Decision and Control. — Las Vegas: Omnipress, 2002. Pp. 398-404.

73. El Ghaoui L., Galafiore G. Robust filtering for discrete-time systems with structured uncertainty // IEEE Transactions on Automatic Control— 2001.— Vol. AC-4G, no. 7.

74. El Karoui N., Huang S. J. A General Result of Existence and Uniqueness of Backward Stochastic Differential Equations //El Karoui N., Mazliak L. Backward stochastic differential equations. — Longman, 1997. — Pp. 27-36.

75. Fragoso M. D., Baczynski J. Optimal control for continuous-time linear quadratic problems with infinite Markov jump parameters / / SI AM Journal on Control and Optimization. 2001. - Vol. 40, no. 1. - Pp. 270-297.

76. Genon-Catalot V., Jeantheau Т., Laredo C. Stochastic volatility models as hidden Markov models and statistical applications // Bernoulli. — 2000. — Vol. 6, no. 6. --Pp.1051-1079.

77. Gilbert E. N. Capacity of a burst-noise channel // Bell System Techn. J. — 1960. — Vol. 39. Pp. 1253-1265.

78. Glover J. D., Schweppe F. C. Control of linear dynamic systems with set constrained disturbances // IEEE Transactions on Automatic Control — 1971. —Vol. AC-16.— Pp. 411-423.

79. Hilborn C., Lainiotis D. Optimal estimation in the presence of unknown parameters // IEEE Transactions on Systems, Science, and Cybernetics. — 1969. — Vol. 5, no. l.-Pp. 38-43.

80. Jacobson V. Congestion avoidance and control // Computer Communication Review.- 1988.- Vol. 18, no. 4,- Pp. 314-329.

81. Johansen D. E. Solution of a linear mean square estimation problem when process statistics are undefined // IEEE Transactions on Automatic Control — 1966. Vol. AC-11, no. l.-Pp. 20-30.

82. Kashyap R. Maximum likelihood identification of stochastic linear systems // IEEE Transactions on Automatic Control — 1970. —Vol. AC-15, no. 1.— Pp. 25-34.

83. Kelly F. P. Mathematical modelling of the Internet // Engquist В., Schmid W. Mathematics Unlimited 2001 and Beyond.— Berlin: Springer Verlag, 2001. — Pp. 685-702.

84. Kelly F. P., Maulloo A., Tan D. Rate control in communication networks: Shadow prices, proportional fairness and stability // J. Oper. Research Society. — 1998. — Vol. 49, no. 3. Pp. 237-252.

85. Kunniyur S., Srikant R. End-to-end congestion control: Utility functions, random losses and ECN marks //in Proc. of IEEE INFOCOM'OO. Tel Aviv, Israel: 2000.

86. Liptser R. S., Shiryaev A. N. Statistics of Random Processes. — New York: Springcr-Verlag, 1978.

87. Looze D. P., Poor V., Vastola K. S., Darragh J. C. Minimax control of linear stochastic systems with noise uncertainty // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1983. Vol. AC-28, no. 9. - Pp. 882-888.

88. Low S. H., Lapsley D. E. Optimization flow control, I: Basic algorithm and convergence // IEEE/ACM Trans. Networking.- 1999.- Vol. 7, no. 6.- Pp. 861-874.

89. Low S. H., Paganini F., Doyle J. C. Internet congestion control // IEEE Control Systems Magazine. 2002. - Vol. 22, no. 1. - Pp. 28-43.

90. Mariton M. Jump Linear Systems in Automatic Control.— New York: Marcel Dekker, 1990.

91. Martin C. J., Mintz M. Robust filtering and prediction for linear systems with uncertain dynamics: a game-theoretic approach // IEEE Transactions on Automatic Control. 1983. - Vol. AC-28. - Pp. 888-896.

92. Massoulie L., Roberts J. Bandwidth sharing: Objectives and algorithms // IEEE/ACM Trans. Networking.- 2002.- Vol. 10, no. 3.- Pp. 320-328.

93. Matasov A. I. Estimators for uncertain dynamic systems. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1998.

94. Mathis M., Semke J., Mahdavi J., Ott T. The macroscopic behavior of the TCP congestion avoidance algorithm // Computer Communication Review. — 1997. -Vol. 27, no. 3.-Pp. 67-82.

95. Mehra R. К. On the identification of variances and adaptive Kalman filtering // IEEE Transactions on Automatic Control — 1970. — Vol. AC-15, no. 2. — Pp. 175184.

96. Mehra R. K. Approaches to adaptive filtering // IEEE Transactions on Automatic Control. 1972. - Vol. AC-17. - Pp. 903-908.

97. Miller В. M., Avrachenkov К. E., Stepanyan К. V., Miller G. B. Flow control as stochastic optimal control problem with incomplete information / INRIA Research Report № 5239. — Sophia Antipolis, 2004.

98. Miller В. M., Avrachenkov К. E., Stepanyan К. V., Miller G. B. Flow control as stochastic optimal control problem with incomplete information // Proc. IEEE Conf. Computer Communications (INFOCOM'2005). Miami: 2005.

99. Miller В. M., Avrachenkov К. E., Stepanyan К. V., Miller G. B. Hidden markov model based flow control in TCP/IP networks jI Тр. IV Междунар. конф. «Идентификация и задачи управления» (SICPRO'2005). М.: 2005.- С. 742-756.

100. Miller В. М., Runggaldier W. J. Kalman filtering for linear systems with coefficients driven by a hidden markov jump process // Systems & Control Letters. — 1997. — Vol. 31, no. 2.-Pp. 93-102.

101. Miller G. В., Pankov A. R. Minimax control in statistically uncertain stochastic differential system // Тезисы докладов III-й Международной конференции по проблемам управления (МКПУ'2006). — Т. 1.- М.: 2006.- С. 73.

102. Mintz М. A note on minimax estimation and Kalman filtering // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1969. — Vol. Correspondence. — Pp. 588-590.

103. Moheimani S. 0. R., Savkin A. V., Petersen I. R. Minimax optimal control of discrete-time uncertain systems with structured uncertainty // Dynamics and Control. 1997. - Vol. 7, no. 1. - Pp. 5-24.

104. Morris J. M. The Kalman filter: a robast estimator for some classes of linear quadratic problems // IEEE Transactions on Information Theory. — 1976. — Vol. IT-22. — Pp. 526-534.

105. Myers K., Tapley B. Adaptive sequential estimation with unknown noise statistics // IEEE Transactions on Automatic Control. 1976. Vol. AC-21.- Pp. 520-523.

106. Orlov Y., Basin M. On minimax filtering over discrete-continuous observations // IEEE Transactions on Automatic Control — 1995. — Vol. 40.— Pp. 1623-1626.

107. Padhye J., Firoiu V., Towsley D., Kurose J. Modeling TCP Reno performance: a simple model and its empirical validation // IEEE/ACM Transactions on Networking. 2000. - Vol. 8, no. 2.

108. Pankov A. R., Borisov A. V. Optimal filtering in stochastic discrete-time systems with unknown inputs // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1994. — Vol. AC-39.- Pp. 2461-2464.

109. Pankov A. R., Miller G. B. Minimax filter for statistically indeterminate stochastic differential system // Proc. 16-th IFAC World Congress. — Prague: 2005.

110. Pankov A. R., Siemenikhin К. V. Minimax estimation of random elements with application to infinite-dimensional statistical linearization // Тр. II Междунар. конф. «Идентификация и задачи управления» (SICPRO'2003). — Москва: 2003. С. 1277-1290.

111. Phillis У. A. Optimal estimation and control of discrete multiplicative systems with unknown second-order statistics // J. Optim. Theory and AppL— 1990.— Vol. 64, no. l.-Pp. 153-168.

112. Pierce B. D., Sworder D. D. Bayes and minimax controllers for a linear system with stochastic jump parameters // IEEE Transactions on Automatic Control — 1971. — Vol. AC-16, no. 4. Pp. 300-307.

113. Poor V., Looze D. P. Minimax state estimation for linear stochastic systems with noise uncertainty // IEEE Transactions on Automatic Control — 1981. — Vol. AC-26, no. 4. Pp. 902-906.

114. Rabiner L. R. A tutorial on hidden markov models and selected applications in speech recognition // Proceedings of the IEEE. — 1989. — Vol. 77, no. 2. — Pp. 257286.

115. Ramakrishnan K., Floyd S., Black D. The addition of explicit congestion notification (ECN) to IP // RFC.- 2001. no. 3168.

116. Ramakrishnan K., Jain R. A binary feedback scheme for congestion avoidance in computer networks with connectionless network layer // ACM Trans. Computer Systems. 1990. - Vol. 8, no. 2. - Pp. 158-181.

117. Rubinovich E. Y. Minimax generalized linear-quadratic stochastic control problem with incomplete information // Singular solutions and perturbations in control systems. Russia, Pereslavl-Zalesskiy: IFAC Proc. Ser., 1997,- Pp. 185-189.

118. Runggaldier W. J. Jump Diffusions Models // Handbook of Heavy Tailed Distributions in Finance / Ed. by S. T. Rachev. — North-Holland: Elesevier, 2003.— Pp. 169—209.

119. Sangsuk-Iam S., Bullock Т. E. The discrete-time Kalinan filter under uncertainty in noise covariances // Stochastic digital control system techniques / Ed. by С. T. Leon-des. — San Diego: Academic Press, 1996.— Pp. 363-415.

120. Savkin A. V., Petersen I. R. Minimax optimal control of uncertain systems with structured uncertainty // Internal J. Robust Nonlinear Control — 1995. — no. 5. -Pp. 119-137.

121. Schmitendorf W. E. Minmax control of systems with uncertainty in the initial state and in the state equations // IEEE Transactions on Automatic Control — 1977. — Vol. Short papers. Pp. 439-443.

122. Schweppe F. C. Recursive state estimation: Unknown but bounded errors and system inputs // IEEE Transactions on Automatic Control — 1968.— Vol. AC-13.— Pp. 22-28.

123. Speyer J. L., Shaked U. Minimax design for a class of linear quadratic problems with parameter uncertainty // IEEE Transactions on Automatic Control — 1974. — Vol. Technical Notes and Correspondence. — Pp. 158-159.

124. Tang S., Li X. Necessary conditions for optimal control of stochastic systems with random jumps // SI AM J. Control Optim. 1994. - Vol. 32, no. 5. - Pp. 14471476.

125. Tanimoto S. A duality theorem for max-min control problems // IEEE Transactions on Automatic Control 1982,- Vol. AC-27, no. 5. - Pp. 1129-1131.

126. Ugrinovskii V. A., Petersen I. R. Minimax LQG control of stochastic partially observed uncertain systems // SIAM J. Control and Optim. — 2001. — Vol. 40, no. 4. — Pp. 1189-1226.

127. Vandelinde V. D. Robust properties of solutions to linear-quadratic estimation and control problems // IEEE Transactions on Automatic Control — 1977. — Vol. AC-22, no. 1.

128. Verdu S., Poor H. V. Minimax linear observers and regulators for stochastic systems with uncertain second-order statistics // IEEE Transactions on Automatic Control 1984. - Vol. 29, no. 6. - Pp. 499-511.

129. Verdu S., Poor H. V. On minimax robustness: A general approach and applications // IEEE Transactions on Information Theory. — 1984. — Vol. IT-30, no. 2.

130. Wang E., Hajek B. Stochastic Processes in Engineering Systems.— New-York: Springer-Verlag, 1985.

131. Wan С. В., Davis M. H. A. Existence of optimal controls for stochastic jump processes // SIAM Journal on Control and Optimization. — 1979. — Vol. 17. — Pp. 511-524.

132. Witsenhausen H. S. Minimax control of uncertain systems / Mass. Inst. Technol., Report № ESL-R-269. Cambridge, I960.

133. Witsenhausen H. S. A minimax control problem for sampled linear systems // IEEE Transactions on Automatic Control — 1968.— Vol. AC-13. — Pp. 5-21.

134. Wonham W. M. Some application of stochastic diffcrntial equations to optimal nonlinear filtering // SIAM Journal on Control. 1965. - Vol. 2. - Pp. 347-369.

135. Xu J.-M., Yu L. An LMI approach to guaranteed cost PI control of linear uncertain systems // in Proc. of 43-rd Conference on Decision and Control (CDC'2004).— Bahamas, Nassau: 2004. Pp. 2165-2170.

136. Yazwinsky A. N. Stochastic processes and filtering theory. — New York and London: Academic Press, 1970.

137. Zhou X. Y, Yin G. Markowitz's mean-variance portfolio selection with regime switching: a continuous-time model // SIAM Journal on Control and Optimization. 2003. - Vol. 42, no. 4. - Pp. 398-404.