Методы минимаксного оценивания в многомерных линейных моделях наблюдения при наличии геометрических ограничений на моментные характеристики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, доктор физико-математических наук Семенихин, Константин Владимирович

• Семенихин, Константин Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Семенихин, Константин Владимирович

Введение.

Список обозначений и сокращений.

Глава 1. Основы теории минимаксного линейного оценивания

§ 1. Линейная неопределенно-стохастическая модель наблюдения

§ 2. Задача минимаксного оценивания.

§ 3. Принцип двойственной оптимизации

§ 4. Метод регуляризации

§ 5. Численные методы минимаксной оптимизации

§ 6. Частные случаи множеств неопределенности

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы минимаксного оценивания в многомерных линейных моделях наблюдения при наличии геометрических ограничений на моментные характеристики»

Разработка новых эффективных методов восстановления неизвестных параметров и состояний стохастических систем является актуальной проблемой теории и практики обработки измерительной информации и системного анализа.

Теоретический подход к изучению разнообразных задач оценивания основан на описании трех объектов: модели наблюдения, класса допустимых операторов оценивания и критерия оценивания.

Модель наблюдения определяет зависимость между оцениваемыми параметрами или состояниями исследуемой системы с одной стороны и наблюдаемыми величинами или процессами с другой стороны. В рамках статистического подхода задание модели наблюдения предполагает также описание известной априорной информации о значениях детерминированных параметров и вероятностных характеристиках случайных факторов. При использовании аппарата нечетких множеств эта информация формулируется на языке функций принадлежности.

Класс допустимых операторов оценивания представляет собой набор решающих правил, позволяющих по имеющейся реализации наблюдений выдать оценку неизвестного состояния системы. Данный класс должен быть достаточно широк для того, чтобы производить на нем сравнение различных алгоритмов оценивания.

Критерий оценивания формулирует правило, согласно которому один оператор оценивания признается лучшим по сравнению с другим в условиях имеющейся модели наблюдения. Чаще всего критерий оценивания определяется посредством введения некоторого числового функционала, чье значение отражает риск (или убыток) от использования оценки при данных характеристиках системы.

С практической точки зрения указание всех трех перечисленных выше объектов также является чрезвычайно важным. Во-первых, критерий оценивания представляет собой формализацию требований, предъявляемых практиком к качеству оценок. Во-вторых, класс операторов оценивания определяет рамки возможных программных или инструментальных средств извлечения необходимой информации из доступных опытных данных. В-третьих, описание самой модели наблюдения устанавливает границы применимости имеющихся технических решений. И наконец, все это вместе позволяет практику принять обоснованное решение о том, стоит ли ради повышения точности оценивания производить новые измерения, вносить изменения в условия эксперимента или совершенствовать измерительные средства и их программно-алгоритмическое обеспечение.

Таким образом, априорный анализ, основанный на описанной выше формализации проблемы оценивания, позволяет до проведения сложного эксперимента, отсечь заранее непригодные решения, а в ряде случаев указать на возможность существенного повышения качества оценивания.

Понятие модели наблюдения включает в себя как частный случай параметрические статистические модели, традиционно изучаемые в математической статистике. Изучению этих моделей посвящены классические монографии Р. А. Фишера [130], Г. Крамёра [53], Ш. Закса [35]. В них роль оцениваемой величины играет некоторая функция от неизвестного параметра, а априорная информация описывается в терминах распределения элементов выборки (а также распределен i im самого параметра — при байесовском подходе).

В регрессионном анализе модель наблюдения формулируется посредством указания двух уравнений: уравнения между оцениваемыми величинами и неизвестными параметрами, а также уравнения, определяющего зависимость наблюдаемых величин от параметров и ошибок измерений. Здесь априорная информация задается с помощью ограничений на значение вектора детерминированных параметров и вероятностное распределение вектора случайных ошибок. Методы исследования линейных регрессионных моделей изложены в монографиях С. Р. Pao [113]. Ю. В. Линника [68], Дж. Себера [117], Е. 3. Демиденко [33].

Частично наблюдаемые системы, в которых одни процессы являются неизвестными, а другие доступны непосредственному наблюдению. можно считать динамической версией модели наблюдения. Исследованию таких систем посвящены работы Р. JI. Стратонови-ча [127]. Р. Ш. Липцера, А. Н. Ширяева [69], В. С. Пугачёва [105,106] и II. Н. Синицына [107]. Для унифицированного описания динамических моделей наблюдения оцениваемый и наблюдаемый процессы удобно рассматривать как элементы подходящих функциональных пространств. Такой способ описания используется в моделях непараметрической статистики.

Итак, на языке теории вероятностей любую модель наблюдения можно описать в терминах оцениваемого элемента, наблюдаелюго элемента и множества их совместных распределений (множества неопределенности). Это множество вводится либо непосредственно с помощью ограничений на взаимные характеристики оцениваемого и наблюдаемого элементов, либо опосредованно через определение зависимости этих элементов от третьего элемента, распределение которого известно с точностью до принадлежности некоторому фиксированному классу. Если часть параметров и процессов являются детерминированными, то априорные ограничения на их значения также можно описать в вероятностных терминах с использованием вырожденных распределений.

Таким образом, понятие модели наблюдения позволяет охватить различные системы: детерминированные и стохастические, конечномерные и бесконечномерные, статические и динамические. С целью подчеркнуть указанную общность будем использовать термин неопределенно-стохастические модели наблюдена я для систем, которые содержат неслучайные неопределенные параметры и случайные величины с неточно заданным законом распределения. Исследование таких систем было инициировано В. С. Пугачёвым.

В конечномерном случае линейные неопределенно-стохастические системы описываются уравнениями обобщенной линейной регрессии, в которых не делается изначального предположения о невырожденности каких-либо матриц, описывающих структуру корреляционной или регрессионной зависимости. Данные модели наблюдения и соответствующий аппарат псевдообращения изучались в работах А. Беп-Израэля, Т. Гревилля [142], А. Алберта [2], В. И. Мелешко [78], Д. Катлина [146.147]. Класс линейных моделей наблюдения включает в себя как регулярные модели, в которых постулируется, что ковариационная матрица вектора наблюдений — невырожденная, так и сингулярные модели, где это предположение нарушается. Кроме того, в обобщенных регрессионных моделях нет принципиального разделения параметров на ч< полезные» и «мешающие»: важно лишь указать зависимость исследуемых и наблюдаемых переменных от неизвестных параметров и описать априорные предположения, которым они удовлетворяют.

Класс неопределенно-стохастических систем, описываемых моделью обобщенной линейной регрессии с экстремальными ограничениями па моментные характеристики второго порядка, был изучен в работах А. Р. Панкова и его учеников [19,20,83,143,166].

Теперь остановимся на понятии оператора оценивания. В задачах точечного оценивания он представляет собой измеримое отображение пространства наблюдаемого элемента в пространство, в котором принимает значения оцениваемый элемент. Если речь идет о задаче нелинейного (линейного, аффинного, несмещенного) оценивания, то допустимыми считаются все измеримые (соответственно линейные, аффинные, несмещенные) операторы. При этом понятие несмещенного оператора оценивания трактуют двояко: либо постулируют, что математическое ожидание ошибки оценки равно нулю, либо предполагаю г. что ошибка оценивания не зависит от выбора значений неопределенных детерминированных параметров. В линейных моделях эти два определения несмещенности совпадают для линейных оценок.

В динамических моделях наблюдения ограничения на оператор оценивания возникают естественным образом, если цель исследователя состоит в оценке полезного сигнала в режиме реального времени, т. е. текущее значение неизвестного процесса требуется восстановить по имеющейся предыстории наблюдаемого процесса. Соответствующий класс оценок принято называть фильтрами. Они определяются 7iеупреждающим и операторами оценивания. При этом для упрощения алгоритма оценивания очень часто сужают класс операторов, оставляя в нем только те операторы, которые допускают реккурентный способ вычисления. Если функционирование системы и процесс наблюдения предполагаются в течение продолжительного времени, то допустимые фильтры должны подчиняться дополнительным условиям. гарантирующим устойчивость замкнутой системы. Кроме того, априорное сужение класса операторов оценивания возникает в том случае, если имеются физические ограничения на вид искомой оценки, например, ограничения на энергию выходного сигнала или усло,-вия, обеспечивающие стационарное поведение системы.

Отметим, что в задачах доверительного оценивания роль оценки выполняет множество, которое в той или иной степени локализует значение исследуемой величины в зависимости от наблюдений. Поэтому здесь под оператором оценивания следует понима ть многозначное отображение, удовлетворяющее естественным условиям измеримости.

Перечисленные замечания позволяют утверждать, что в зависимости от потребности практики могут использоваться различные классы допустимых операторов оценивания. Поэтому все они заслуживают внимания и подробного изучения.

Теперь перейдем к описанию критериев оценивания. Обычно качество оценок возможно описать с помощью функционала, отражающего некоторую усредненную характеристику ошибки оценивания. В дальнейшем это т функционал будет называться критерием оцениванияпоскольку соответствующая задача оценивания состоит в его минимизации на фиксированном классе оценок. В условиях полной априорной информации эта оптимизационная проблема называется задачей оптимального или наилучшего оценивания. Методам оптимального оценивания посвящена обширная литература. Ключевые результаты о виде и свойствах оптимальных оценок в разнообразных моделях наблюдения были получены А. Н. Колмогоровым [50], Н. Винером [194], С. Р. Pao [113], Г. Крамером [53], Р. Калманом [155], Р. Бьюси [156] и др.

Известно, что в некоторых специальных случаях определены так называемые равномерно оптимальные оценки, которые представляют собой решение соответствующей задачи оптимального оценивания одновременно при всех значениях неизвестных параметров. Однако в общем случае, когда критерий оценивания зависит от неопределенных параметров и характеристик, задача оптимального оценивания перестает быть корректной. Для корректной ее постановки в условиях априорной неопределенности можно предложить два основных подхода: асимптотический и минимаксный.

Асимптотический подход основан на операции предельного перехода, смысл которого состоит в том, чтобы предел критерия оценивания не зависел от неопределенных характеристик модели наблюдения.

Если используется предельный переход по количеству наблюдений, то теоретическую базу соответствующих методов образуют предельные теоремы теории вероятностей, которые обеспечивают инвариантность асимптотики критерия оценивания относительно неизвестного распределения случайных ошибок наблюдения. Зачастую благодаря использованию асимптотической формулировки задача оптимального оценивания упрощается, в то время, как решение исходной оптимизационной постановки может очень сложным образом зависеть от объема выборки и характеристик модели наблюдения. Например, оценка, полученная по методу максимального правдоподобия, при некоторых условиях регулярности является оптимальной по критерию минимума асимптотической дисперсии на классе асимптотически несмещенных оценок. Однако при фиксированном объеме выборки несмещенной оптимальной оценки зачастую не существует. Кроме того, с помощью асимптотических методов становится возможно исследовать сложные нелинейные модели, в которых построение точных оптимальных решений сопряжено с колоссальными вычислительными затратами особенно при большом объеме измерений.

Другая часть асимптотических методов основана па гипотезе о том, что истинные значения неопределенных характеристик находятся в достаточно малой окрестности некоторых расчетных или номинальных значений. Обычно цель исследования в таких задачах сводится к отысканию асимптотических границ критерия оценивания в зависимости от некоторого малого параметра, размеров множества неопределенности или объема выборки.

В основе минимаксного подхода лежит теоретико-игровая формулировка, при которой исследователь и внешняя среда рассматриваются как пара игроков с взаимно противоречивыми интересами. Цель исследователя, как п прежде, состоит в минимизации критерия посредством выбора оператора оценивания из определенного класса. Однако при минимаксном подходе оптимальная оценка ищется из расчета на наихудшее состояние исследуемой системы. Э то означает, что задача оценивания сводится к минимизации точной верхней грани критерия, вычисленной по заданному множеству неопределенности.

Отметим, что изначально применение минимаксного подхода в задачах обработки статистической информации было связано с ограниченностью объема данных, когда каждое новое измерение требус г организации дорогостоящего эксперимента. В этом состоит принципиальное отличие минимаксного подхода от асимптотического. Тем самым минимаксные методы оценивания призваны обеспечить наилучшее качество восстановления неизвестных параметров и процессов по фиксированному набору наблюдений.

Решение игровой постановки задачи оценивания предполагает определение не только минимаксной оценки, но и наименее благоприятных значений неопределенных факторов, которые образуют решение максиминной задачи. Эта задача называется также двойственной, поскольку ее решение доставляет максимум на множестве неопределенности оптимальному значению критерия оценивания. Если при этом имеет место соотношение двойственности, т. е. оптимальные значения функционалов в минимаксной и двойственной задачах совпадают, то пара, состоящая из минимаксной оценки и наименее благоприятного элемента множества неопределенности, образует седловую точку. При этих условиях для определения минимаксной оценки имеет смысл использовать метод двойственной оптимизации, суть которого состоит в нахождении оптимальной оценки, соответствующей наименее благоприятным характеристикам модели наблюдения.

Близким к минимаксному подходу является метод гарантирующего оценивания. Он основан на оценке неоптимальности стандартных алгоритмов оценивания, таких как метод наименьших квадратов или фильтр Калмана, в ситуации более общей, чем та, при которой эти алгоритмы являются оптимальными. В такой постановке искомыми являются гарантированные границы качества оценивания.

Отметим, что рассмотренные подходы допускают различные вариации и сочетания. Например, совместное использование оптимальных и асимптотических методов приводит к адаптивным, приемам в обработке статистической информации. В рамках адаптивного пол ход а предполагают, что недостающая априорная информация о неизвестных значениях неопределенных характеристик системы может быть извлечена из нарастающего объема данных, за счет чего на каждом шаге адаптации происходит уточнение текущего значения оценки. При этом эффективность данного подхода обусловлена наличием у адаптивных алгоритмов рекуррентной структуры, которая позволяет производит адаптацию на основе текущего значения оценки и вновь поступившего измерения. Адаптивным методам обработки информации посвящены работы Я. 3. Цыпкина [134], В. Н. Фомина [132], Б. Т. Поляка [104]. Л. Лыонга [70], А. В. Назина [79], О. Н. Граничи-на [28].

Сочетание асимптотического и минимаксного подходов привело к развитию области асимптотически минимаксного статргстического оценивания. При таком смешанном подходе неопределенность, связанная со значениями детерминированных параметров, учитывается на основе минимаксного критерия, а неизвестный характер распределения случайных ошибок наблюдения нивелируется с помощью асимптотических методов статистики. Эти идеи отражены в работах И. А. Ибрагимова, Р. 3. Хасьминского, А. С. Немировского [38-40], Б. Я. Левита [66], Б. Н. Пшеничного, В. Г. Покотило [110|, А. П. Ко-ростелёва [52], А. Б. Цыбакова [191].

Гарантирующие и минимаксные методы лежат в общем русле робастного подхода, согласно которому требуется указать гарантированные границы точности известных оценок или же синтезировать новые алгоритмы, обеспечивающие минимальное значение верхней границы погрешности оценивания. Основоположником теоретико-нгрового подхода в области робастных методов статистики является А. Вальд [22]. Развитию его идей с привлечением асимптотических результатов посвящена монография П. Хьюбора [133]. Обоснование методов робастного оценивания П. Хыобера с точки зрения минимаксного подхода получено в работе Б. Т. Поляка [104]. Обзор различных идей робастного статистического оценивания представлен в статье А. А. Ершова [34].

В нашей стране первые публикации, посвященные гарантирующим и минимаксными методам обработки статистической информации, связаны с именами В. М. Александрова [3], Н. Н. Красовского [54]. М. Л. Лпдова [67]. А. В. Куржанского [57] и С. А. Смоляка [123]. Дальнейшее развитие идей гарантирующего оценивания для детерминированных и стохастических систем продолжено в работах Б. И. Ананьева. [1,5—7], М. И. Гусева [29-31] и А. И. Матасова [73-76,160.161].

Прикладные аспекты использования робастных методов обработки экспериментальных данных в задачах авиационно-космической техники отражены в книгах И. А. Богуславского [16], Б. Ц. Бахшияна, Р. Р. Назирова, П. Е. Эльясберга [13], И. К. Бажинова, В. Н. Почука-ева [8], В. В. Малышева, М. Н. Красилыцикова, В. И. Карлова [72], Л. Ю. Белоусова [15].

Основы теории минимаксного оценивания при налртчии эллипсоидальных ограничений на неизвестные параметры и состояния изложены в монографиях А. Б. Куржанского [158] и Ф. Л. Черноусько [135], а один из первых результатов в данной области был получен А. Куксом и В. Ольманом [55]. Теория обобщенного линейного программирования и ее применение к задачам гарантирующего оценивания изложена в работах Б. Ц. Бахшияна [11-14]. Синтез алгоритмов минимаксного оценивания в различных моделях наблюдения с неопределенными вторыми моментами на основе методов двойственной оптимизации описан в работах С. Верду, В. Пура [192, 193], В. Б. Меласа |77], И. Ф. Пинелиса [100, 101] и В. Н. Соловьёва [124, 125]. Использование оптимизационной техники линейных матричных неравенств для решения различных задач робастного оценивания и фильтрации продемонстрировано в работах Л. Эль Гауи [151,152].

Распространению методов минимаксного оценивания на бесконечномерные статистические и стохастические модели наблюдения посвящены работы А. М. Федотова [129], А. Г. Наконечного [80], Ю. П. Пы-тьева [111], А. Р. Панкова [19], А. В. Борисова [20], Б. И. Ананьева [1]. Задача минимаксной фильтрации при наличрш неопределенного произвольно коррелированного случайного процесса в модели наблюдения исследовалась в работах Г. А. Голубева [25.26]. Метод условно-минимаксной фильтрации нелинейных стохастических систем разработан А. Р. Пайковым [82,166]. Случай неопределенности в динамики модели наблюдения рассматривался К. Мартином и М. Минтцем [159]. Структура минимаксного фильтра в стационарном случае установлена в работе В. Пура и Д. Луза [181], а общее состояние этой теории изложено в монографии О. М. Куркина, Ю. Б. Коробочкина и С. А. Шаталова [58].

Проблема оптимальности линейных алгоритмов в задачах гарантирующего оценивания была изучена в работах А. И. Матасова [73,74], М. И. Гусева [29], Д. Донохо [149,150].

Отметим, что в последнее время появились попытки совместного использования адаптивных и робастных методов обработки информации в задачах оптимизации и принятия решений [41,42,153,196].

Теперь рассмотрим различные варианты критериев, которые возникают в задачах оценивания и фильтрации. В стохастических постановках можно выделить два основных типа критериев: априорные и апостериорные.

Апостериорные критерии используются для определения качества оценок на текущей реализации наблюдений. Разработка методов апостериорного оценивания в статистически неопределенных системах была инициирована в работах И. Я. Каца [47,48]. Этот подход основан на технике построения информационных множеств для состояний детерминированных систем. Дальнейшие исследования в этой облас ти с привлечением методов доверительного оценивания были продолжены Г. А. Тимофеевой [49,128]. В работах А. В. Борисова [17,18] апостериорный критерий использовался для минимаксной фильтрации в системах со случайной структурой.

Использование априорного критерия качества для оптимизации алгоритмов оценивания возникло в статистических моделях с целью исследования статистических свойств МНК-оценок и оценок метода максимального правдоподобия. Большинство этих исследований основано на изучении поведения среднеквадратичного кри терия, который стал традиционным показателем качества оценивания. Несмотря на это. первые результаты по минимаксному статистическому оцениванию, опубликованные Дж. Ходжесом и Е. Лемапом в статье [154], уже были ориентированы на использование функционалов, более общих чем среднеквадратичный. Понятие асимптотической эффективности относительно вероятностного критерия было введено Р. Бахадуром [140]. Один из первых примеров использования вероятностного и квантильного критериев для пос троения минимаксных оценок содержится в книге Б. Ц. Бахшияна, Р. Р. Назирова, П. Е. Эльяс-берга [13]. В связи с минимаксной постановкой задачи интервального оценивания свойства вероятностного критерия были изучены в работах М. Минтца и М. Зейтиноглу [197,198]. Методика построения доверительных оценок на основе обобщенного минимаксного подхода предложена в работе А. И. Кибзуна [37].

Отметим, что в большинстве из перечисленных выше работ в качестве показателя риска использовалась евклидова норма ошибки. Однако в последнее время широкое распространение получили критерии неевклидовой структуры: обобщенный квадратичный критерий, критерий в виде отношения «сигнаг/шум», со-критерий, а также информационные критерии. В связи с задачами управления и фильтрации в неопределенных и стохастических системах соответствующие постановки изучались в работах С. Верду [192], В. Пура [141], Т. Ба-шара [139], Й. Питерсена [180], В. А. Угриновского [195], А. В. Сав-кина [179], А. П. Курдюкова [56].

Приведенный обзор методов обработки статистической информации в присутствии априорной неопределенности позволяет выделить несколько актуальных направлений исследований в области робаст-ного оценивания:

1) анализ обобщенных линейных моделей регрессии в присутствии априорной информации, выраженной в терминах геометрических ограничений на моментные характеристики первого и второго порядков;

2) разработка методов двойственной оптимизации для построения минимаксных оценок векторных параметров в регулярных и сингулярных неопределенно-стохастических моделях линейной регрессии;

3) создание апгоритмической базы методов .минимаксного оценивания и анализ соответствующих численных процедур;

4) расширение набора типовых неопределенно-стохастических моделей наблюдения, допускающих аналитический синтез минимаксных оценок;

5) минимаксная оптимизация операторов оценивания с привлечением нестандартных критериев качества, таких как, вероятностный и квантильный;

6) обоснование оптимальности линейных оценок в различных постановках задачи минимаксного оценивания;

7) минимаксное оценивание в бесконечномерных стохастических системах при наличии геометрических ограничении на ковариационные операторы оцениваемого и наблюдаемого элементов;

8) разработка численных методов, предназначенных для вычисления минимаксных оценок в бесконечномерных моделях наблюдения.

Все перечисленные направления соответствуют проблематике минимаксного оценивания в многомерных линейных неопределенно-стохастических моделях наблюдения. Указанные модели составляют объект исследования диссертационной работы.

Целью диссертации является разработка и анализ методов оптимального оценивания параметров и состояний линейных стохастических систем с неопределенными моментными характеристиками, стесненными геометрическими ограничениями.

Для достижения поставленной цели необходимо:

1) описать класс конечномерных линейных пеопределенно-етоха-стических моделей наблюдения, в которых априорная информация о распределениях сформулирована в терминах ограничений па математические ожидания и ковариационные матрицы;

2) определить условия существования седловой точки в задаче оценивания по среднеквадратичному критерию;

3) установить границы применимости метода двойственной оптимизации для построения минимаксной оценки;

4) разработать алгоритмы оценивания в сингулярных моделях наблюдения с использованием теории двойственности и процедур регуляризации;

5) разработать численные процедуры оптимизации, обеспечивающие одновременное решение минимаксной и двойственной задач;

6) описать класс критериев оценивания, отвечающих естественным требованиям и допускающих явное построение минимаксных оценок в линейных неопределенно-стохастических моделях наблюдения;

7) определить структуру распределения, реализующего наименее благоприятную ситуацию при использовании обобщенного вероятностного критерия оценивания;

8) распространить результаты об оптимальности линейных алгоритмов оценивания на более широкий класс неопределенно-стохастических моделей наблюдения;

9) разработать основы теории минимаксного оценивания в бесконечномерных с юхаетических системах с фиксированными математическими ожиданиями и неопределенными ковариационными операторами;

10) разработать алгоритмы построения оптимальных и минимаксных оценок случайных элементов со значениями в гильбертовых пространствах.

В диссертационной работе использовались следующие методы исследования:

1) методы выпуклого анализа (понятие рецессивного направления, теоремы о минимаксе, теория субдифференциала);

2) методы теории оптимизации (процедура регуляризации по Тихонову, метод условного градиента, теоремы о сходимости численных методов);

3) методы линейной алгебры (операция псевдообращения, свойства неотрицательно определенных матриц);

4) методы теории вероятностей, элементы математической статистики и регрессионного анализа, основы теории фильтрации;

5) методы функционального анализа (понятие оснащенного гильбертова пространства, свойства неотрицательно определенных, ядерных и гильберто-шмидтовых операторов).

Научная новизна диссертационной работы состоит в том, что в ней впервые были получены следующие теоретически значимые результаты:

1) инвариантное определение класса обобщенных линейных регрессионных моделей с неопределенными моментными характеристиками второго порядка;

2) обоснование метода двойственной оптимизации для решения задачи минимаксного оценивания в многомерных линейных пеопределенно-стохастических моделях наблюдения;

3) разработка процедур регуляризации для построения минимаксных оценок в конечномерных сингулярных моделях наблюдения;

4) аналитический синтез минимаксных оценок параметров и состояний неопределенно-стохастических систем частного вида;

5) разработка основ теории оценивания относительно обобщенных вероятностных критериев;

6) описание наименее благоприятного распределения, соответствующего обобщенному вероятностному критерию оценивания:

7) доказательство оптимальности линейных оценок относительно среднеквадратичного и обобщенного вероятностного критериев для широкого класса неопределенно-стохастических моделей наблюдения;

8) разработка и анализ численных процедур минимаксной оптимизации в задаче оценивания параметров и состояний многомерных линейных неопределенно-стохастических моделей наблюдения.

О практической ценности работы свидетельствует то, что ее теоретические результаты были успешно применены для решения ряда прикладных задач обработки измерительной информации, среди которых:

1) робастная идентификация кинематической модели движения летательного аппарата;

2) определение параметров движения при наличии ограничений;

3) оптимизация надежности оценивания координат летательного аппарата;

4) выделение тренда в мультиколлинеарной эконометричеекой модели.

Диссертационная работа содержит введение, шесть глав, приложение, заключение, список литературы, а также список обозначений и сокращении.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Семенихин, Константин Владимирович

Основные результаты этой главы опубликованы в [42,89.90,126].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе разработаны методы и алгоритмы оптимального оценивания параметров и состояний многомерных линейных стохастических систем в условиях априорной неопределенности, описываемой с помощью геометрических ограничений на моментные характеристики второго порядка.

Ниже перечислены основные результаты диссертации, выносимые на защиту:

1) разработан метод минимаксного оценивания в многомерных линейных неопределенно-стохастических моделях наблюдения [95,96];

2) получены аналитические выражения для минимаксных линейных операторов оценивания в моделях частного вида [62,91];

3) доказана оптимальность линейных оценок при использовании среднеквадратичного и обобщенного вероятностного критериев [119,121];

4) найдено наименее благоприятное распределение при оценивании по обобщенному вероятностному критерию [98,121];

5) разработан метод двойственной оптимизации в задаче минимаксного оценивания состояний бесконечномерных стохастических систем с неопределенной ковариационной структурой [60,118];

6) разработано алгоритмическое обеспечение решения задач минимаксной оптимизации [41,42,86];

7) решено несколько прикладных задач обработки измерительной информации (робастная идентификация кинематической модели движения ЛА; оценивание дальности и радиальной скорости ЛА при наличии ограничений; оптимизация надежности оценивания координат ЛА; выделение тренда в мультиколлинеарной эконометрической модели) [42,89].

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Семенихин, Константин Владимирович, 2010 год

1. Адыйуллина Е. С., Ананьев Б. И. Линейное оценивание статистически неопределенных систем // Труды института математики и механики УрО РАН. — 2005. — Т. 11, № 1. — С. 3-16.

2. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. — М.: Наука, 1977.

3. Александров В. М. Минимаксный подход к решению задачи обработки информации // Изв. АН СССР. Сер. Техн. киберн. — 1966. — № 5. — С. 124-136.

4. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление.— М.: Наука, 1979.

5. Ананьев Б. И. Минимаксные среднеквадратические оценки в статистически неопределенных системах // Дифференц. уравнения. — 1984. — Т. 20, № 8. — С. 1291-1297.

6. Ананьев Б. И. Гарантированное оценивание статистически неопределенных систем и задачи коррекции движения: Дис. .докт. физ.-матем. наук / УрО АН СССР, Институт математики и механики. — Свердловск, 1990.

7. Ананьев Б. И. Многошаговые стохастические включения специального вида и их мультиоценки // Автоматика и телемеханика.— 2007.— № 11.- С. 3-11.

8. Баж.инов И. К., Почукаев В. Н. Оптимальное планирование навигационных измерений в космическом полете. — М.: Машиностроение, 1976.

9. Балакришнаи А. В. Прикладной функциональный анализ,— М.: Наука, 1980.

10. Балакришнан А. В. Теория фильтрации Калмана. — М.: Мир, 1988.

11. Бахшиян Б. Ц. Симплексный алгоритм решения оптимальной задачи гарантирующего оценивания с немоделируемыми возмущениями / / Космич. исслед.— 1988. — Т. 26, № 1.

12. Бахшиян Б. Ц. Критерии оптимальности и алгоритмы решения вырожденной и обобщенной задач линейного программирования // Экономика и матем. методы. — 1989. — Т. 28, № 2.

13. Бахшиян Б. Ц., Назиров Р. Р., Эльясберг П. Е. Определение и коррекция движения.— М.: Наука, 1980.

14. Бахшиян Б. Ц., Федяев К. С. О решении почти вырожденных и плохо обусловленных задач линейного программирования, возникающих при управлении системой // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2005. — № 6, — С. 77-88.

15. Белоусов Л. Ю. Оценивание параметров движения космическихаппаратов. — М.: Физматлит, 2002.

16. Богуславский И. А. Методы навигации и управления по неполной статистической информации. — М.: Машиностроение, 1970.

17. Борисов А. В. Минимаксное апостериорное оценивание в скрытых марковских моделях // Автоматика и телемеханика.— 2007.— № 11.— С. 31-45.

18. Борисов А. В. Минимаксное апостериорное оценивание марковских процессов с конечным числом состояний // Автоматика и телемеха,пика. — 2008. — Я" 2. — С. 64-79.

19. Борисов А. В., Панков А. Р. Проблемы минимаксного оценивания случайных элементов со значениями в гильбертовых пространствах // Автоматика и телемеханика. — 1996. — № 6. — С. 61—75.

20. Борисов А. В., Панков А. Р. Минимаксное линейное оценивание в обобщенных неопределенно-стохастических системах. I. Оценивание случайных элементов со значениями в гильбертовых пространствах // Авто-лштика и телемеханика. — 1998. — № 5. — С. 102—111.

21. Боровков А. А. Математическая статистика (дополнительные главы).— М.: Наука, 1984.

22. Валъд А. Статистические решающие функции // Позиционные игры,— М.: Наука, 1967.

23. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. — М.: Наука, 1988.

24. Вахания Н. Н., Тариеладзе В. И., Чобанян С. А. Вероятностные распределения в банаховых пространствах. — М.: Наука, 1985.

25. Голубев Г. А. Минимаксная линейная фильтрация динамических процессов с дискретным временем // Автоматика и телемеханика.— 1984. — № 2. — С. 72-81.

26. Голубев Г. А., Муравлев О. В., Писарев В. Ф. Линейная рекуррентная фильтрация динамических процессов с дискретным временем при частичной информации о возмущающих процессах // Автолштика и телемеханика. — 1989. — № 12. — С. 49-59.

27. Го Х.-С. Гауссовские меры в банаховых пространствах.— М.: Мир, 1979.

28. Граничин О. Н., Поляк Б. Т. Рандомизированные алгоритмы оценивания и оптимизации при почти произвольных помехах.— М.: Наука, 2003.

29. Гусев М. И. Оптимальность линейных алгоритмов в задачах гарантированного оценивания // Известия РАН. Техническая кибернетика. — 1994. — № 3. — С. 87-95.

30. Гусев М. И. Оптимальность и устойчивость алгоритмов гарантированного оценивания: Дис. . докт. физ.-матем. наук / УрО РАН, Институт математики и механики. — Екатеринбург, 2003.

31. Гусев М. И. Планирование эксперимента в задачах гарантированной идентификации //' Автоматика и телемеханика. — 2007. — № 11. — С. 6175.

32. Далецкий Ю. Л., Фомин С. В. Меры и дифференциальные уравненим и бесконечномерных пространствах. — М.: Наука, 1983.

33. Демидвнко Е. 3. Линейная и нелинейная регрессии. — М.: Финансы и статистика, 1981.

34. Ершов А. А. Стабильные методы оценки параметров (обзор) // Автоматика и телемеханика. — 1978. — № 8. — С. 66—100.

35. Закс Ш. Теория статистических выводов. — М.: Мир, 1975.

36. Зангвилл У. Нелинейное программирование. Единый подход.— М.: Сон. радио. 1973.

37. Зверев А. И., Кибзун А. И., Малышев В. В. Обобщенный минимаксный подход в задаче оценивания // Изв. АН СССР. Сер. Техн. кибер}1. — 1986. — Л'° 4. — С. 98-104.

38. Ибрагимов И. А., Немировский А. С., Хасълшнский Р. 3. Некоторые проблемы непараметрического оценивания в гауссовском белом шуме // Теория вероятп. и ее примен. — 1986. — Т. 31. — С. 391-406.

39. Ибрагимов И. А., Хасъминский Р. 3. Асимптотическая теория оценивания.— М.: Наука, 1977.

40. Ибрагимов И. А., Хасъминский Р. 3. О непараметрическом оценивании значения линейного функционала в гауссовском белом шуме // Теория вероятн. а ее примен. — 1984.— Т. 29, Я0 1. — С. 19-32.

41. Игнагценко Е. Ю., Панков А. Р., Семенихин К. В. Минимаксно-статистический подход к оптимизации линейных моделей в условиях априорной неопределенности // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2010. — № 5. — (В печати).

42. Игнои1,енко Е. Ю., Панков А. Р., Семенихин К. В. Минимаксно-статистический подход к повышению надежности обработки измерительной информации // Автоматика и телелгеханика.— 2010.— № 2.- С. 76-91.

43. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. — М.: Наука, 1974.

44. Канторович II. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.— М.: Наука, 1984.

45. Карлин С., Стадден В. Д. Чебышевские системы и их применение в анализе и статистике. — М.: Наука, 1976.

46. Карманов В. Г. Математическое программирование.— М.: Наука, 1986.

47. Кац II. Я. Минимаксно-стохастические задачи оценивания в многошаговых системах // Оценивание в условиях неопределенности. — Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982. — С. 43-59.

48. Кац И. Я., Курснсапский А. Б. Минимаксное оценивание в многошаговых системах // ДАН СССР. — 1975. — Т. 221, № 3. — С. 535-538.

49. Кац И. Я., Тимофеева Г. А. Динамические оценки доверительных и информационных множеств в статистически неопределенных системах / / Известия РАН. Техническая кибернетика. — 1994. — № 6. — С. 42-46.

50. Колмогоров А. II. К обоснованию метода наименьших квадратов // Успехи матем. наук. — 1946. — Т. 1, № 1. — С. 57-70.

51. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1986.

52. Коростелев А. П. Минимаксная фильтрация траектории динамической системы, зависящей от непараметрического сигнала // Автоматика и телемеханика. — 1989. — № 9. — С. 89-96.

53. Крамер Г. Математические методы статистики. — М.: Мир. 1975.

54. Красовский Н. Н. К теории з'правляемости и наблюдаемости линейных динамических систем // Прикладная математика и механика.— 1964. — Т. 28, № 1. — С. 3-14.

55. Куке А., Олъман В. Минимаксная линейная оценка коэффициентов регрессии // Изв. АН Эст. ССР. Сер. физ.-мат. — 1972,— Т. 21, № 1.— С. 66-72.

56. Курдюков А. П., Тимин В. Н. Синтез робастного Доо-регулятора для управления энергетической котельной установкой // Управление большими системами. — 2009. — JVS 25. — С. 179—214.

57. Куржанский А. Б. Управление и оценивание в условиях неопределенности. — М.: Наука, 1977.

58. Курки?t О. М., Коробочкин Ю. Б., Шаталов С. А. Минимаксная обработка информации. — М.: Энергоатомиздат, 1990.

59. Лебедев AI. В., Семенихин К. В. Минимаксное оценивание в линейных неопределенно-стохастических динамических системах с непрерывным временем //В кн. Проектирование, конструирование и производство авиационной техники. — М.: МАИ, 2005.— С. 103-108.

60. Лебедев М. В., Семенихин К. В. Минимаксная фильтрация в стохастической дифференциальной системе с нестационарными возмущениями неизвестной интенсивности // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2007. — № 2. — С. 45-56.

61. Лебедев М. В. Семенихин К. В. Восстановление параметров и состояний стохастических систем в присутствии произвольно коррелированных возмущений // Тезисы докладов конф. «Научная сессия МПФИ-2008». — М.: МИФИ: 2008.-21-27 января. — С. 88-89.

62. Лебедев М. В., Семенихин К. В. Минимаксная оценка случайного вектора при наличии произвольно коррелированных помех // Вестник МАИ. 2008. — Т. 15, № 2. — С. 90-104.

63. Левит Б. Я. Об асимптотической минимаксности второго порядка // Теория вероятн. и ее примен.— 1980.— Т. 25, № 3.— С. 561-576.

64. Лидов М. Л. К априорным оценкам точности определения параметров по методу наименьших квадратов // Космич. исслед.— 1961.— Т. 2, № 5. — С. 713-718.

65. Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений. — М.: Наука, 1974.

66. Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Статистика случайных процессов.— М.: Наука, 1974.

67. Лъюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользова телей. — М.: Наука, 1991.

68. Магнус Я. Р., Нейдеккер X. Матричное дифференциальное исчисление с приложениями к статистике и эконометрике.— М.: Физматлит, 2002.

69. Малышев В. В., Красильщиков М. Н., Карлов В. И. Оптимизация наблюдения и управления летательных аппаратов. — М.: Машиностроение, 1989.

70. Матасов А. И. Об оптимальности линейных алгоритмов гарантирующего оценивания // Космич. исслед. — 1988. — Т. 26, № 5, 6. — С. 643-653, 807-812.

71. Матасов А. И. Оптимальность линейных алгоритмов в задаче о «наихудшей корреляции» // Вестник МГУ. — 1989. — № 1. — С. 61-63.

72. Матасов А. И. Об априорной точности метода наименьших квадратов в задачах гарантирующего оценивания // Космич. исслед. — 1990. — Т. 28, № 1, 2.-С. 11-16, 170-185.

73. Матасов Л. И. Метод гарантирующего оценивания.— М.: Изд-во МГУ, 2009.

74. Мелас В. Б. О выборе плана эксперимента и метода оценивания при наличии априорных сведений о параметрах // Математические методы планирования эксперимента. — Новосибирск: Наука, 1981.— С. 155-173.

75. Мелегико В. И. Рекуррентное статистическое оценивание на основе псевдообратных операторов // Автоматика и телемеханика.— 1976.— № 8. — С. 101-110.

76. Назин А. В. Информационный подход к задачам оптимизации и адаптивного управления дискретными стохастическими системами: Дис. докт. физ.-матем. наук / ИПУ РАН. — М., 1995.

77. Наконечный А. Г. Минимаксное оценивание функционалов от решений вариационных уравнений в гильбертовых пространствах.— К.: Изд-во КГУ, 1989.

78. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ.— М.: Мир, 1988.

79. Панков А. Р. Рекуррентная условно-минимаксная фильтрация процессов в разностных нелинейных стохастических системах // Известия РАН. Техническая кибернетика. — 1992. — № 3. — С. 71-77.

80. Панков А. Р. Минимаксные методы оценивания и оптимизации процессов в неопределенно-стохастических системах: Дис. .докт. физ.-матем. наук / МАИ. М., 1998.

81. Панков А. Р., Платонов Е. Н., Семенихин К. В. Минимаксная квад-ратическая оптимизация и ее приложения к планированию инвестиций // Автоматика и телемеханика. — 2001. — № 12. — С. 55-73.

82. Панков А. Р., Платонов Е. Н., Семенихгт К. В. Минимаксная квантильная оптимизация // Тезисы докладов 8-й Междунар. конф. «Системный анализ и управление космическими комплексами». — Крым, Евпатория: 2003. —29 июня 6 июля, — С. 125-126.

83. Панков А. Р., Платонов Е. П., Семенихгт К. В. Минимаксная оптимизация инвестиционного портфеля по квантильному критерию // Автолштика и телемеханика. — 2003. — Л'2 7. — С. 117-133.

84. Панков А. Р., Платонов Е. П., Семенихин К. В. Гарантирующее вероятностное оценивание в линейных статистически неопределенных моделях // Вестник компьютерных и информационных технологий. — 2006. — № 9. — С. 8-13.

85. Панков А. Р., Семенихин К. В. Минимаксная идентификация неопределенно-стохастической линейной модели // Автоматика и телемеханика. — 1998. — № 11. — С. 158-171.

86. Панков А. Р., Семенихин К. В. Методы параметрической идентификации многомерных линейных моделей в условиях априорной неопределенности // Автоматика и телелгеханика. — 2000. — № 5. — С. 76-92.

87. Панков А. Р., Семенихин К. В. О минимаксном оценивании в сингулярных неопределенно-стохастических моделях // Автоматика и телемеханика. — 2002. — № 9. — С. 40-57.

88. Панков А. Р., Семенихин К. В. О минимаксном оценивании по вероятностному критерию // Автоматика и телемеханика. — 2007. — № 3. — С. 66-82.

89. Панков А. Р., Се-иснихин К. В. О применении метода регуляризации к сингулярной задаче минимаксного оценивания // Инф. бюлл. Ассоциации математического программирования № 11,— Екатеринбург: УрО РАН, 2007. — С. 138-139.

90. Пименте И. Ф. О минимаксном оценивании регрессии // Теория вероятн. и ее примен.— 1990. — Т. 35, № 3.— С. 494—505.

91. Пинелис II. Ф. О минимаксном риске // Теория вероятн. и ее примен. — 1990. — Т. 35, № 1. — С. 92-97.

92. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход.— М.: Мир, 1974.

93. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию. — М.: Наука, 1980.

94. Поляк Б. Т., Цыпкин Я. 3. Адаптивные алгоритмы оценивания (сходимость, оптимальность, устойчивость) // Автоматика и телельеха-ника. — 1979. — № 3. — С. 71-84.

95. Пугачев В. С. Рекуррентное оценивание переменных и параметров в стохастических системах, описываемых разностными уравнениями // ДАН СССР. — 1978. — Т. 243, № 5. — С. 1131-1133.

96. Пугачев В. С., Синицын И. Н. Стохастические дифференциальные системы.— М.: Наука, 1990.

97. Пугачев В. С., Синицын П. Н. Теория стохастических систем.— М.: Логос, 2004.

98. Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. — М.: Наука, 1980.

99. Пшеничный Б. Н. Необходимые условия экстремума. — М.: Наука,1982.

100. Пшеничный Б. Н., Покотило В. Г. Минимаксный подход к оценке параметров линейной регрессии" // Изв. АН СССР. Сер. Техн. киберн. —1983. — № 2.

101. Пытъев Ю. П. Методы редукции измерений в гильбертовых пространствах // Матем. сб. — 1985. — Т. 126, № 4. — С. 543-565.

102. Пытъев Ю. П. Математические методы интерпретации эксперимента.— М.: Высшая школа, 1989.

103. Pao С. Р. Линейные стагистические методы и их применения.— М.: Наука, 1968.

104. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. — М.: Мир, 1973.

105. Рудин У. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975.

106. Сайон М. Некоторые общие теоремы о минимаксах // Бесконечные антагонистические игры. — М.: Физматгиз, 1963.

107. Себер Дэю. Линейный регрессионный анализ. — М.: Мир, 1980.

108. Семенихин К. В. Минимаксное оценивание случайных элементов по среднеквадратическому критерию // Известия РАН. Теория и систелгы управления. — 2003. — № 5. — С. 12-25.

109. Семенихин К. В. Оптимальность линейных алгоритмов оценивания в задаче минимаксной идентификации // Автоматика и телемеханика. — 2004. — № 3. — С. 148-158.

110. Семенихин К. В. Минимаксность линейных оценок неопределенно-стохастического вектора по обобщенным вероятностным критериям // Автоматика и телемеханика. — 2007. — № 11. — С. 88-104.

111. Скороход А. В. Интегрирование в гильбертовом пространстве.— М.: Наука, 1975.

112. Смоляк С. А., Тгтаренко Б. П. Устойчивые методы оценивания. — М.: Статистика, 1980.

113. Соловьев В. Н. Двойственные экстремальные задачи и их применение к задачам минимаксного оценивания // Успехи матем. наук. — 1997. — Т. 52, Л'" 4. — С. 49-86.

114. Соловьев В. Н. К теории минимаксно-байесовского оценивания // Теория вероятн. и ее примен. — 1999. — Т. 44, Ns 4. — С. 738—756.

115. Стратонович Р. Л. Избранные вопросы теории флюктуации в радиотехнике.— М.: Сов. радио, 1961.

116. Тимофеева Г. А. Оптимальные доверительные множества для статистически неопределенных систем // Автоматика и телемеханика. — 2003. — № 11. — С. 84-95.

117. Федотов А. М. Линейные некорректные задачи со случайными ошибками в данных. — Новосибирск: Наука, 1982.

118. Фишер Р. А. Статистические методы для исследователей.— М.: Госстатиздат, 1958.

119. Флеминг У., Puuicji Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами. — М.: Мир, 1978.

120. Фомин В. Н. Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация. — М.: Наука, 1984.

121. Хьюбер П. Робастность в статистике. — М.: Мир, 1984.

122. Цыпкин Я. 3. Адаптация и обучение в автоматических системах. —1. М.: Наука, 1968.

123. Черноусъко Ф. Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов.— М.: Наука, 1988.

124. Ширяев Л. Я. Вероятность. — М.: Наука, 1980.

125. Штойян Д. Качественные свойства и оценки стохастических моделей. — М.: Мир, 1979.

126. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. — М.: Мир, 1979.

127. Ва§аг Т., Bernhard P. iico-optimal control and related minimax design problem. A game theoretic approach. — Boston: Birkhauser, 1991.

128. Bahadur R. On the asymptotic efficiency of tests and estimators // Sankhya. — 1960. Vol. 22. — Pp. 229-252.

129. Barton R. J., Poor H. V. On generalized signal-to-noise ratios in quadratic detection // Mathematics of Control, Signals and Systems. — 1992. — Vol. 5, no. 1. —Pp. 81-91.

130. Ben-Israel A., Greville T. N. E. Generalized inverses: Theory and applications. — N.Y.: J. Wiley & Sons, 1974.

131. Borisov A. V., Pankov Д. R. A solution of the filtering and smoothing problems for uncertain-stochastic dynamic systems // Interriat. J. Control.— 1994. — Vol. 60, no. 3. — Pp. 413-423.

132. Boyd S., Vandenberghe L. Convex optimisation. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2004.

133. Casella G., Strawderman W. E. Estimating a bounded normal mean // Ann. Statist. — 1981, —Vol. 9, no. 1. — Pp. 870-878.

134. Catlin D. E. Estimation, control and the discrete Kalman filter. — N.Y.: Springer-Verlag, 1988.

135. Catlin D. E. Estimation of random states in general linear models //' IEEE Trans. Automat. Control — 1991. —Vol. AC-36, no. 2. — Pp. 248-252.

136. Curtain R. F., Pritchard A. J. Infinite dimensional linear systems theory. — N.Y.: Springer-Verlag, 1978.

137. Donoho D. L. Statistical estimation and optimal recover}' // Ann. Statist. — 1994. — Vol. 22, no. 1. — Pp. 238-270.

138. Donoho D. L., Liu R. C., MacGibbon B. Minimax risk over hypcrrectangles, and implications // Ann. Statist. — 1990. — Vol. 18, no. 3. — Pp. 1416-1437.

139. El Ghaoui L., Calafiore G. Robust filtering for discrete-time systems with structured uncertainty // IEEE Trans. Automat. Control.— 2001.— Vol. AC-46, no. 7. — Pp. 1084-1089.

140. El Ghaoui L., Lebret II. Robust solutions to least-squares problems with uncertain data // SIAM J. Matrix Anal. Appl. — 1997. — Vol. 18, no. 4. — Pp. 1035-1064.

141. Goldfarb D., Iyengar G. Robust portfolio selection problems // Mathematics of Operations Research. — 2003. — Vol. 28, no. 1. — Pp. 1-38.

142. Hodges J., Lehmann E. Some problems in minimax point estimation // Ann. Math. Stat. — 1950. — Vol. 21, no. 2. — Pp. 182-197.

143. Kalman R. E. A new approach to linear filtering and predictiontheory // ASME Transactions, Part D (J. of Basic Engng). — 1960. — Vol. 82. — Pp. 33-45.

144. Kalrnan R. E., Bucy R. S. New results in linear filtering and prediction theory // ASME Transactions, Part D (J. of Basic Engng). — 1961. — Vol. 83. — Pp. 95-108.

145. Kibzun A. I. Kan Yu. S. Stochastic programming problems with probability and qnantile functions. — London: J. Wiley & Sons, 1996.

146. Kurzhanski A. B., Valyi I. Ellipsoidal calculus for estimation and control. — Laxenburg: IIASA, 1989.

147. Martin C., Mintz M. Robust filtering and prediction for linear systems with uncertain dynamics: A game-theoretic approach // IEEE Trans. Automat. Control. — 1983. — Vol. AC-28, no. 9. — Pp. 888-896.

148. Matasov A. I. The Kalman—Bucy filter accuracy in the guaranteed parametric estimation problem with unkown statistics // IEEE Trans. Automat. Control. — 1994. Vol. AC-39, no. 3. — Pp. 635-640.

149. Matasov A. I. Estimators for uncertain dynamic systems. — Dordrecht: Kluwer Acad. Publ. 1998.

150. Miller B. M., Miller G. B., Siemcnikhin K. V. Control of Markov chains with constraints // Proc. VIII Intern. Conf. "System Identification and Control Problems" (SICPRO'09). — Moscow: 2009. — January, 26-30,— Pp. 737-760.

151. Miller B., Miller G., Siemenikhin K. Optimal control of Markov chains with constraints // Proc. 48th IEEE Conf. Decision and Control (CDC'2009). — China, Shanghai: 2009.—December, 16-18. — Pp. 512-518.

152. Miller B., Miller G., Siemcnikhin K. Towards the optimal control of Markov chains with constraints // Automatica.— 2010.— Vol. 46, no. 9.— Pp. 1495-1502.

153. Miller G. B., Pankov A. R. Siemenikhin K. V. Minimax filter for statistically uncertain stochastic discrete-continuous linear system // Proc. 9th European Control Conf. (ECC'2007).— Isl. Kos, Greece: 2007.— July, 2-5.— Pp. 3929-3933.

154. Pankov A. R., Bosov A. V. Conditionally minimax algorithm for nonlinear system state estimation // IEEE Trans. Automat. Control. — 1994. — Vol. AC-39. —Pp. 1617-1620.

155. Pankov A. R., Platonov E. N., Siemenikhin K. V. On minimax identification: Method of dual optimization // Proc. 39th IEEE Conf. Decision and Control (CDC'2000). — Sydney, Australia: 2000. — December, 12-15.— Pp. 4759-4764.

156. Pankov A. R., Platonov E. N., Siemenikhin K. V. Recursive nonlinear filtering by minimax criterion // Proc. TFAC Nonlinear Control Systems Symp. (NOLCOS'2001). — St.-Petersburg, Russia: 2001, —July, 4-6, —Pp. 697-702.

157. Pankov A. R., Siemenikhin K. V. Minimax estimation in generalized linear uncertain-stochastic model // Proc. 37th IEEE Conf. Decision and Control (CDC'98). — Tampa, Florida, USA: 1998.— December, 16-18,— Pp. 2902-2903.

158. Pankov A. R., Siemenikhin K. V. Regularized estimation procedures for statistically indeterminate singular linear models // Proc. 41st IEEE Conf. Decision and Control (CDC'2002).— Las Vegas, Nevada, USA: 2002,— December, 10-13. — Pp. 2625-2626.

159. Pankov A. R., Siemenikhin K. V. Minimax parameter estimation for singular linear multivariate models with mixed uncertainty // Proc. 16th IFAC World Congress (IFAC'2005). — Prague, Czech Republic: 2005. —July, 4-8.

160. Pankov A. R., Siemenikhin K. V. Minimax estimation for singular linear multivariate models with mixed uncertainty // J. Multivariate Analysis. — 2007. — Vol. 98, no. 1. — Pp. 145-176.

161. Petersen I. R., Savkin A. V. Robust Kalman filtering for signals and systems with large uncertainties. — Boston: Birkhauser, 1999.

162. Petersen I. R., Ugrinovskii V. A., Savkm A. V. Robust control design using iToo-methods. — London: Springer-Verlag, 2000.

163. Poor H. V., Looze D. P. Minimax state estimation for linear stochastic systems with noise uncertainty // IEEE Trans. Automat. Control.— 1981 — Vol. AC-26. Pp. 902-906.

164. Siemenikhin K. V. On linearity of minimax estimates in general linear regression models // Proc. Joint Conf. Prague Stoehastics'2006. — Prague, Czech Republic: MATFYZPRESS, 2006.— August, 21-25. —Pp. 611-621.

165. Siemenikhin K. V. On minimax estimating Hilbert random elements // Abstract collection of the 3rd IEEE Conf. Physics and Control. — Potsdam, Germany: Universitatsverlag Potsdam, 2007. — September, 3-7. — P. 274.

166. Siemenikhin K. V. On optimal estimation by minimax criterion withgeneralized probabilistic risk functions // Abstracts of the Xl-th Intern. Conf. Stochastic Programming. — Vienna, Austria: 2007.— August, 27-31. — P. 53.

167. Siemenikhin K. V., Lebedev M. V. Minimax estimation of random elements: Theory and applications // Proc. 43rd IEEE Conf. Decision and Control (CDC'2004). — Bahamas, Nassau: 2004.—December. 14-17.— Pp. 3581-3586.

168. Siemenikhin K. V. Pankov A. R. Linear stochastic optimization by quantile and probability criteria: A minimax approach / / Proc. 22nd IFIP TC 7 Conf. Svstem Modelling and Optimization (Abstracts). — Turin, Italy: 2005.— July, 18-22. — P. 80.

169. Siemenikhin K. Pankov A. Sample-based minimax approach and its application to linear quadratic optimization under uncertainty // Abstract collection of the IEEE Conf. Physics and Control (PliysCon'2009). — Catania, Italy: 2009. — September.

170. Siemenikhin K., Pankov A., Ignastchenko Ye. Sample-based minimax linear-quadratic optimization // Proc. European Control Conf. (ECC'2009).— Budapest, Hungary: 2009.— August, 23-26. — Pp. 3221-3226.

171. Sturm J. F. Using SeDuMi 1.02. a MATLAB toolbox for optimization over symmetric cones // Optimization Methods and Software. — 1999. — Vol. 11, no. 12. — Pp. 625-653.

172. Tsybakov A. B. Introduction to nonparametric statistics.— N.Y.: Springer-Verlag, 2009.

173. Verdú S., Poor II. V. Minimax linear observers and regulators for stochastic systems with uncertain second order stat istics // IEEE Trans. Automat. Control. — 1984. — Vol. AC-29, no. 6. — Pp. 499-511.

174. Verdú S., Poor H. V. On minimax robustness: A general approach and applications // IEEE Trans. Inform. Theory. — 1984.— Vol. IT-30, no. 2.— Pp. 328-340.

175. Wiener N. Extrapolation, interpolation, and smoothing of stationary time series. — N.Y.: MIT Press, 1949.

176. Yoon AI.-G., Ugrinovskii V. A., Petersen I. R. Robust finite horizon minimax filtering for discrete-time stochastic uncertain systems // Syst. Contr. Letters. — 2004. — Vol. 52. — Pp. 99-112.

177. Young M. R. A minimax portfolio selection rule with linear programming solution // Management Science.— 1998.— Vol. 44, no. 5.— Pp. 673-683.

178. Zeytinoglu M., Mintz M. Optimal fixed-size confidence procedures for a restricted parameter space // Ann. Statist.— 1984,— Vol. 12, no. 3.— Pp. 945-957.

179. Zeytinoglu M., Mintz M. Robust fixed-size confidence procedures for a restricted parameter space // Ann. Statist.— 1988.— Vol. 16, no. 3.— Pp. 1241-1253.

180. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

181. МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)1. На правах рукописи05201150563 УДК г,19.21

182. Семенихин Константин Владимирович

183. МЕТОДЫ МИНИМАКСНОГО ОЦЕНИВАНИЯ В МНОГОМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЯХ НАБЛЮДЕНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОГРАНИЧЕНИЙ НА МОМЕНТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

184. Специальность 05.13.01 «Системный анализ, управление и обработка информации (авиационная и ракетно-космическая техника)»

185. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук1. Москва, 2010 г.1. СОДЕРЖАНИЕ1. Введение.4

186. Список обозначений и сокращений.18