Алгоритмы оптимального оценивания в стохастических системах в условиях априорной неопределенности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Лебедев, Максим Витальевич

• Лебедев, Максим Витальевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лебедев, Максим Витальевич

Введение

1 Аналитический синтез минимаксной оценки в регулярной регрес- -сионной модели наблюдения

1.1. Основные обозначения

1.2. Постановка задачи.

1.3. Построение минимаксной оценки

1.4. Аналитическое выражение для минимаксной оценки.

1.5. Примеры.

1.6. Выводы по главе.

2 Итерационный алгоритм оценивания в сингулярных моделях наблюдения

2.1. Основные обозначения

2.2. Постановка задачи.

2.3. Вид минимаксной оценки.

2.4. Алгоритм решения двойственной задачи.

2.5. Примеры.

2.6. Выводы по главе.

3 Процедура фильтрации состояния неопределенно-стохастической дифференциальной системы

3.1. Основные обозначения

3.2. Описание модели наблюдения.

3.3. Постановка задачи.

3.4. Минимаксный фильтр.

3.5. Двойственная задача.

3.6. Основные следствия и примеры.

3.7. Выводы по главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы оптимального оценивания в стохастических системах в условиях априорной неопределенности»

В диссертационной работе изучается проблема оптимального оценивания по среднеквадратичному критерию в линейных неопределенно-стохастических системах.

К настоящему моменту для решения проблемы оценивания в линейных стохастических системах в условиях априорной неопределенности сформировались два основных подхода: адаптивный и робастный.

При адаптивном подходе используемая оценка уточняется по мере извлечения недостающей априорной информации из поступающего потока измерений. Исследованию адаптивного подхода в задачах оценивания посвящены работы [61,73,75].

При робастном подходе требуется (по ограниченному набору наблюдений) указать фиксированную оценку, чье наихудшее качество на заданном классе неопределенности будет наилучшим по сравнению с другими допустимыми оценками. Тем самым, задачу робастного оценивания можно сформулировать и виде игровой постановки, в которой критерий (погрешность оценивания) зависит от пары элементов, выбираемых из пары заданных множеств, содержащих соответственно допустимые операторы оценивания и возможные характеристики модели наблюдения. Развитие теории робастного оценивания за последние сорок лет можно проследить по публикациям [10-12,20,25,34,43,55,56,66,67,74,79,85,86].

Первые упоминания о применении теоретико-игровых соображений в статистике можно найти в работах Вальда [96]. Развитие Хьюбером идей Вальда привело к формированию целого раздела статистики, изучающего робастные процедуры оценивания [74]. В пашей стране первые постановки задач гарантирующей обработки измерений были связаны с именами Н.Н. Красовского [31], M.JI. Лидова [44] и В.М.Александрова [2]. Асимптотическая минимаксность в задачах статистического оценивания была исследована в монографии И. А. Ибрагимова,

Р.З. Хасьминского [23]. Различные свойства асимптотически минимаксных оценок (в том числе для динамических систем) были изучены Б.Т. Поляком и Я.З. Цыпкином [60,75]. Апостериорные варианты минимаксных проблем фильтрации и оценивания исследовались А.Б. Куржанским [26,33] и И.Я. Кацсм [28]. Дальнейшее развитие этого направления теории минимаксного оценивания связано с работами Б.И.Ананьева [5], Г.А.Тимофеевой [27], В.И.Ширяева [77]. Различные аспекты минимаксной техники, возникающие в задачах стохастического программирования, отражены в работах В.В. Малышева, М.Н. Красилыцикова,

A.И.Кнбзуна, Ю.С.Кана [22,46,81].

Одно из первых упоминаний о применении минимаксной техники к исследованию стохастических моделей, неопределенность которых описывается в терминах первых двух моментов, содержится в заметке [93]. Задача минимаксной фильтрации в дискретной модели Калмана для указанного типа неопределенности была решена С. Верду и Г.В. Пуром [94]. Задача минимаксной фильтрации при наличии неопределенного произвольно коррелированного случайного процесса в модели наблюдения исследовалась в работах Г. А. Голубева [13-16]. Случай неопределенности в динамики модели рассматривался К. Мартином, М. Минтцем [83], а также Б.И.Ананьевым [4]. Теория минимаксной фильтрации стационарных процессов, неопределенность которых задается в терминах спектральных плотностей, изложена в монографии О.М.Куркина, Ю.Б.Коробочкина, С.А.Шаталова [35]. В модели регрессии с эллипсоидальными ограничениями на неслучайные параметры вид минимаксных оценок был получен А. Куксом и В. Ольманом [32]. На случай ограничений, заданных выпуклым симметричным компактом, этот результат был обобщен В.Б. Меласом [51]. Случай эллипсоидальных ограничений подробно изучен в работах Ф.Л. Черноусько [76] и А.Б. Куржанского [33,82]. Модели с неслучайной ограниченной помехой рассматривались в работах [86,91]. Линейные регрессионные модели при достаточно общих предположениях относительно ковариационной структуры случайных помех наблюдений были изучены

B.Н.Соловьевым [67,92]. Задача минимаксной фильтрации в динамических моделях, содержащих как неопределенные, так и случайные шумы, рассматривалась в работах М.Л.Лидова, П.Е. Эльясберга, А.И. Матасова, Б.Ц. Бахшияна [6,43, 49, 78]. Оптимальность линейных оценок в различных задачах гарантирующего оценивания была доказана А.И. Матасовым [47,48]. Для детерминированных динамических систем аналог фильтра Калмана в задаче минимаксной фильтрации был найден А.Б. Куржанским [33]. Для стохастических задач минимаксной фильтрации А.Р. Панковым в [58,87] был разработан метод условно-минимаксной фильтрации, основанный на поиске фильтров частного вида. Проблемы минимаксного оценивания в гильбертовом пространстве изучались в работах Ю.П. Пытьева [64], А.Г. Наконечного [52], А.В.Борисова, А.Р. Панкова [9, 10]. В монографии А.М.Федотова [72] рассматривались некорректно поставленные задачи, приводящиеся к задачам минимаксного оценивания в модели бесконечномерной регрессии. Регуляризация алгоритмов минимаксного оценивания в сингулярных неопределенно-стохастических моделях наблюдения изучались в работах А.Р. Панкова и К.В. Семенихина [56,90]

Необходимо отметить, что большинство из указанных работ, посвящено исследованию линейных моделей наблюдения, в которых априорная неопределенность задается посредством ограничений на моментные характеристики случайных параметров и возмущений. Для решения задачи минимаксного оценивания в таких системах используется несколько методов. Одни из них основаны на непосредственной минимизации наихудшего значения критерия средствами выпуклого анализа, другие позволяют свести исходную минимаксную проблему к задаче линейного программирования [6] или же к задаче, к которой применимы численные алгоритмы полу определенной оптимизации (semidefmite programming) [80].

В настоящей работе для оптимизации алгоритмов оценивания параметров и процессов неопределенно-стохастических систем используется минимаксный подход. Идея построения минимаксных оценок состоит в использовании максимин-ной(двойственной) задачи [7,93,95]. Суть этого метода заключается в следующем:

1) если характеристики модели наблюдения считать известными, то оптимальная оценка и ее среднеквадратическая ошибка описываются известными выражениями;

2) неопределенные параметры модели требуется выбрать наихудшим образом, т.е., чтобы погрешность оптимальной оценки достигала наибольшего значения;

3) для получения минимаксного решения остается подставить найденные наихудшие значения параметров в уравнения для оптимальной оценки.

Если модель является сингулярной, т.е. указанный выше -метод не приводит к решению исходной минимаксной задачи, необходимо предварительно провести ее регуляризацию [56].

На сегодняшний день с развитием информационных технологий все большее значение приобретают математические методы, связанные с обработкой и анализом эмпирической информации. Несомненно, среди этих методов алгоритмы оценивания являются ключевыми.

Зачастую в реальных практических задачах не удается построить полностью определенную адекватную математическую модель, в которой можно было бы воспользоваться известными методами для оценивания параметров и сигналов. Иногда вообще отсутствует информация о природе тех или иных процессов, а известны лишь некоторые достаточно широкие ограничения на их поведение. Таким образом, возникает задача оптимального оценивания в стохастических системах в условиях существенной априорной неопределенности.

Все неопределенно-стохастические системы, рассматриваемые в данной работе можно разделить на два вида: статические и динамические.

Статические системы представлены двумя многомерными линейными регрессионными моделями наблюдения, в которых требуется оценить случайный вектор в присутствии ошибки наблюдения. При этом отличительная особенность этих моделей заключается в различной структуре и существенной неопределенности этой ошибки.

В первой из этих моделей ошибка наблюдения состоит из суммы белошумнои и произвольно коррелированной погрешностей. Кроме того, априорная неопределенность описывается ограничением на сумму дисперсий произвольно коррелированной погрешности. Предположения о какой-либо ковариационной структуре данной ошибки отсутствуют. Более того, на соответствующем множестве ковариационных матриц нельзя выделить элемент, описывающий равномерно наихудший случай.

Во второй модели особенность заключается в том, что ошибка наблюдения содержит в себе два типа неопределенностей, а именно структурную и алгебраическую. Структурная неопределенность описывается поэлементными ограничениями на ковариационную матрицу ошибки, а алгебраическая заключается в том, что ранг этой ковариационной матрицы является неизвестным. Другими словами неизвестно является ли модель регулярной или сингулярной.

К динамическому виду систем, рассматриваемых в диссертационной работе, относится модель наблюдения описываемая стохастическими линейными нестационарными дифференциальными уравнениями. В этой системе, в качестве неточно заданных вероятностных характеристик, выступают функции интенснвностей возмущений, про которые известно только то, что их значения лежат в некоторых заданных выпуклых и компактных множествах. В силу того, что в данной модели присутствует неопределенность, как уже отмечалось выше, для поиска оптимальной оценки применяется минимаксный подход, причем задача оптимального оценивания сводится к минимаксной фильтрации.

Отметим ключевые особенности рассматриваемой модели. Во-первых, оцениваемый и наблюдаемый процессы образуют нестационарную модель наблюдения и методы стационарной минимаксной фильтрации [35] к ней не применимы. Во-вторых, мы допускаем наличие корреляции между возмущениями процесса состояния и наблюдаемого сигнала. Это позволяет рассматривать модели с произвольно коррелированными шумами [85]. II наконец, неопределенность модели наблюдения — непараметрическая, так как неизвестными считаются функции интенсивности возмущающих процессов [3,94]. Последнее означает, что двойственная задача (проблема поиска наихудшей интенсивности) оказывается бесконечномерной, а наихудшие возмущения могут быть нестационарными. В этой связи необходимо отметить работу [53], в которой задача минимаксной фильтрации решена для стохастической дифференциальной системы со стационарными возмущениями.

Таким образом, в первой модели неопределенность описывается обширным множеством ковариационных матриц, во второй модели неопределенность носи г алгебраический характер (заранее неизвестно регулярна ли модель наблюдения или пет), и наконец в третьей модели неопределенность непараметрическая, т.е. неизвестными являются функции. Общим для указанных моделей наблюдения является то, что непосредственное применение к ним существующих алгоритмов минимаксного оценивания оказывается чрезвычайно трудоемким. С целью подчеркнуть эту особенность рассматриваемых моделей в работе использован термин «существенная априорная неопределенность».

Основные результаты работы для перечисленных систем содержат три пункта, в порядке их приведенного выше описания.

1. Сформулирована задача минимаксного оценивания вектора состояния конечномерной стохастической системы по среднеквадратичному критерию при наличии интегрального ограничения на дисперсию произвольно коррелирован!юй ошибки. Для указанной ошибки найдена наименее благоприятная ковариация, на основе которой построена искомая минимаксная оценка вектора состояния. Проведено сравнение качества минимаксной оценки на примере нескольких видов ограничений на ковариацшо случайной ошибки.

2. Решена задача минимаксного оценивания вектора состояния конечномерной стохастической системы при наличии поэлементных ограничений на ковариационную матрицу вектора ошибки наблюдения. Для данной модели наблюдения сформулирован алгоритм совместного решения минимаксной и двойственной задачи.

3. Определены уравнения минимаксного фильтра в стохастической дифференциальной системе с нестационарными возмущениями неизвестной интенсивности. Получен явный вид минимаксного фильтра скалярного состояния в модели наблюдения с белошумными возмущениями произвольной интенсивности.

Результаты диссертационной работы обсуждались на научных конференциях и симпозиумах: 44th IEEE Conference on Decision and Control and European Control Conference (CDC-ECC) (2005, Spain, Seville); «Научная сессия МИФИ 2008» (2008, Россия, Москва); «Информационные технологии в авиационной и космической технике-2008» (2008, Россия, Москва); 13-ая Международная конференция «Системный анализ и управление космическими комплексами» (2008, Украина, Евпатория); 7-ая Международная конференция «Авиация и космонавтика - 2008» (2008, Россия, Москва), а также на научных семинарах: под руководством проф. А.И. Кибзуна (МАИ) и проф. Б.Т. Поляка (ИПУ РАН).

Основные результаты диссертации опубликованы в пяти статьях [36-38,88,89] ([36,37] —в журналах из перечня ВАК, [42,88,89] — в сборниках научных трудов), а также в тезисах: научных конференций [39-42].

Диссертация содержит 3 главы.

В первой главе рассмотрена задача минимаксного оценивания в модели линейной регрессии при наличии случайных ошибок наблюдений двух видов: белошумной с известной дисперсией и произвольно коррелированной с ограниченной дисперсией. Для последней найдена наименее благоприятная ковариационная матрица, на основе которой для вектора состояния системы построена искомая минимаксная оценка. Проведено сравнение качества минимаксного оценивания на примере нескольких множеств ковариационных матриц. Представлены также результаты численного моделирования.

Во второй главе сформулирована задача минимаксного оценивания в многомерной стохастической системе, содержащей ошибку наблюдения, у которой ковариационная матрица имеет поэлементные ограничения.

В силу того, что в модели отсутствует условие на невырожденность ковариации ошибки, проведена регуляризация данной модели. Для регуляризованной модели сформулирован и обоснован алгоритм решения двойственной задачи, т.е. для нахождения наименее благоприятной ковариационной матрицы. Также приведен явный вид минимаксного оператора оценивания, который зависит от наименее благоприятной ковариационной матрицы. Представлены результаты статистического моделирования и сравнительного численного анализа разработанного алгоритма.

В третьей главе рассмотрена задача минимаксной фильтрации в стохастической дифференциальной системе с нестационарными возмущениями неизвестной интенсивности. Для построения минимаксного фильтра использован метод, основанных! на решении двойственной задачи. Доказано, что минимаксным фильтром будет фильтр Калмана с коэффициентами, определяемыми наихудшей функцией интенсивности.

Получен явный вид минимаксного фильтра скалярного состояния для модели наблюдения с произвольно коррелированными возмущениями. Кроме того, проведено численное моделирование, на основе которого представлен сравнительный анализ различных способов фильтрации.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Лебедев, Максим Витальевич

3.7. Выводы по главе

В данной главе была рассмотрена задача минимаксной фильтрации в стохастической дифференциальной системе с нестационарными возмущениями неизвестной интенсивности.

Получены следующие результаты: доказано, что минимаксным фильтром будет фильтр Калмана с коэффициентами, определяемыми наихудшей функцией интенсивности; проведено доказательство утверждения о том, что функция интенсивности является наихудшей тогда и только тогда, когда она удовлетворяет системе уравнений, полученных с помощью принципа максимума; получен явный вид минимаксного фильтра скалярного состояния для модели наблюдения с произвольно коррелированными возмущениями; представлены результаты численного моделирования, на основе которых проведен сравнительный анализ различных способов фильтрации.

Заключение

Перечислим результаты, полученные в диссертационной работе: сформулирована и решена задача минимаксного оценивания по среднеквадратичному критерию в линейной неопределенно-стохастической системе, содержащей погрешности наблюдений двух видов: белошумнуго с известной дисперсией и произвольно коррелированную с ограниченной дисперсией. Проведено сравнение качества минимаксного оценивания на примере нескольких множеств ковариационных матриц. Представлены результаты численного моделирования; сформулирован и обоснован алгоритм оптимального оценивания в стохастической многомерной линейной модели наблюдения при наличии алгебраической неопределенности. Представлены результаты статистического моделирования и сравнительного численного анализа разработанного алгоритма; рассмотрена задача минимаксной фильтрации в стохастической дифференциальной системе с нестационарными возмущениями неизвестной интенсивности. Доказано, что минимаксным фильтром будет фильтр Калмана с коэффициентами, определяемыми наихудшей функцией интенсивности. Получен явный вид минимаксного фильтра скалярного состояния для модели наблюдения с произвольно коррелированными возмущениями. Также представлены результаты численного моделирования, на основе которых проведен сравнительный анализ различных способов фильтрации.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Аналитический синтез минимаксной оценки случайного вектора при наличии произвольно коррелированных ошибок наблюдения с интегрально ограниченной дисперсией (теоремы 1.1, 1.2).

2. Разработка и реализация алгоритма оптимального оценивания в стохастической многомерной модели регрессии при поэлементных ограничениях на ковариационную матрицу вектора ошибок (алгоритм 2.1, теорема 2.2).

3. Обоснование алгоритма минимаксной фильтрации в стохастической дифференциальной системе с нестационарными возмущениями неизвестной интенсивности (теоремы 3.1, 3.2).

4. Решение задачи минимаксной фильтрации скалярного состояния в линейной стохастической дифференциальной системе (следствие 3.2, пример 3.1).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лебедев, Максим Витальевич, 2008 год

1. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. М.: Наука, 1977.

2. Александров В.М. Минимаксный подход к решению задачи обработки информации. Изв. АН СССР. Техн. киберн., №5, с.124-136, 1966.

3. Ананьев Б.И. Минимаксные регуляторы для статистически неопределенных управляемых систем. Изв. АН СССР. Техн. киберн., JV-4, 1989.

4. Ананьев Б.И. Минимаксная линейная фильтрация многошаговых процессов с неопределенными распределениями возмущений. Автоматика и телемеханика, №10, с. 131-139, 1993.

5. Ананьев Б.И. Информационные множества для многошаговых статистически неопределенных систем. Тр. Машем, ин-та им. Стеклова, (Доп. вып.2: Тр. ИММ УрО РАН), с.1-15, 2000.

6. Бахшиян Б.Ц., Назиров P.P., Эльясберг П.Е. Определение it коррекция движения. М.: Наука, 1980.

7. Бахшиян Б.Д., Соловьев В.Н. Применение теоремы двойственности к задаче оптимального гарантирующего оценивания. Космич. исслед., т.90, №2, 1990.

8. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969.

9. Борисов А.В., Панков А.Р. Проблемы минимаксного оценивания случайных элементов со значениями в гильбертовых пространствах. Автоматика и телемеханика, №6, с.61-75, 1996.

10. Борисов А.В., Панков А.Р. Минимаксное линейное оценивание в обобщенньгх неопределенно-стохастических системах. I. Оценивание случайных элементов со значениями в гильбертовых пространствах. Автоматика и телемеханика, Ш5, с.102-111, 1998.

11. Вальд А. Статистические решающие функции. Позиционные игры. М.: Наука, 1967.

12. Голубев Г.А., Муравлев О.В., Писарев В.Ф. Линейная рекуррентная фильтрация динамических процессов с дискретным временем при частичной информации о возмущающих процессах. Автоматика и телелсеханика, №12, с.49-59, 1989.

13. Голубев Г.А., Муравлев О.В., Писарев В.Ф. Синтез минимаксных линейных фильтров минимальной размерности для динамических процессов с дискретным временем. Автоматика и телемеханика, №4, 1991.

14. Голубев Г.А. Минимаксная линейная фильтрация динамических процессов с дискретным временем. Автоматика и телемеханика, №2, 72-81, 1984.

15. Голубев Г.А. Синтез минимаксных линейных фильтров по локальному и интегральному критериям. Автоматика и телелгеханика, №4, с.53-62, 1988.

16. Дэвис М.Х.А. Линейное оценивание и стохастическое управление. М.: Наука, 1984.

17. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессии. М.: Финансы и статистика, 1981.

18. Делхьянов В. Ф., Васильев Л. В. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука, 1981.

19. Ершов А.А. Стабильные методы оценки параметров (обзор) Автоматика и телемеханика., №8, 1978.

20. Жданюк Б.Ф. Основы статистической обработки траекторных измерений. М.: Сов.радио, 1978.

21. Зверев А.И., Кибзун А.И., Малышев В.В. Обобщенный минимаксный подход в задаче оценивания. Изв. АН СССР. Техн. киберн., Л'-°4, 1986.

22. Ибрагимов И.А., Хасьминскнй Р.З. Асимптотическая теория оценивания. М.: Наука, 1977.

23. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

24. Кассам С.А., Пур Г.В. Робастные методы обработки сигналов. ТИИЭР., т.73, №3, 1985.

25. Кац И.Я., Куржанский А.Б. Минимаксная многошаговая фильтрация в статистически неопределенных ситуациях. Автоматика и телемеханика, №11, с. 79-87, 1978.

26. Кац И.Я., Тимофеева Г.А. Модифицированный метод невязки в статистически неопределенной задаче оценивания. Автоматика и телел1еханика, №2, с. 100109, 1994.

27. Кац И.Я. Минимаксно-стохастические задачи оценивания в многошаговых системах. В кн. Оценивание в условиях неопределенности, с.43-59. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982.

28. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988.

29. Колмановский В.В., Матасов А.И. Об одном приближенном методе решения минимаксных задач фильтрации в системах с последействием. Автолютика и телемеханика, №6, с. 125-147, 1996.

30. Красовскпй Н.Н. К теории управляемости и наблюдаемости линейных динамических систем. Прикладная математика и механика, т.28, №1, с.З-14, 1964.

31. Куке А., Ольман В. Минимаксная линейная оценка коэффициентов регрессии. Изв. АН Эст. ССР. Сер. физ.-мат., т.21, №1, с.66-72, 1972.

32. Куржанский А.Б. Управление и оценивание в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

33. Куржанский А.Б. Задача идентификации: теория гарантирующих оценок (обзор). Автоматика и телемеханика, JV"4, с.3-26, 1991.

34. Куркин О.М., Коробочкин Ю.Б., Шаталов С.А. Минимаксная обработка информации. М.: Энергоатомиздат, 1990.

35. Лебедев М.В., Семенихин К.В. Минимаксная оценка случайного вектора при наличии произвольно коррелированных помех. Вестник МАИ, т.15, № 2, с.90-104, 2008.

36. Лебедев М.В., Семенихин К.В. Минимаксная фильтрация в стохастической дифференциальной системе с нестационарными возмущениями неизвестной интенсивности. Изв. РАН. ТиСУ., №2, с.45-55, 2007.

37. Лебедев М.В., Семенихин К.В. Минимаксное оценивание в линейных неопределенно-стохастических динамических системах с непрерывным временем. Проектирование, конструировать и производство авиационной техники. МАИ., с. 103-108, 2005.

38. Лебедев М.В., Семенихин К.В. Востановление параметров и состояний стохастических систем в присутствии произвольно коррелированных возмущений. Тезисы докладов конференции "Научная сессия МИФИ 2008", МИФИ, Москва, с.88-89, 21-27 января 2008.

39. Лебедев М.В., Семенихин К.В. Минимаксная фильтрация в стохастической модели с неизвестными функциями интенсивности возмущений. Тезисы докладов конференции ''Систелтый анализ, управление и навигация", Крым, Евпатория, с.255, 29 июня-б июля 2008.

40. Лебедев М.В. Минимаксное оценивание в сингулярных регрессионных моделях наблюдения. Тезисы докладов конференгщи "Авиация и космонавтика -2008", МАИ, Москва, с.92-93, 20-23 октября 2008.

41. Лидов М.Л., Бахшиян Б.Ц., Матасов А.И. Об одном направлении в проблеме гарантирующего оценивания (обзор). Космич. исслед., т.29, №5, с.659-684, 1991.

42. Лидов М.Л. К априорным оценкам точности определения параметров по методу наименьших квадратов. Космич. исслед., т.2, №5, с.713-718, 1964.

43. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974.

44. Малышев В.В., Красильщиков М.Н., Карлов В.И. Оптимизация наблюдений и управления летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1989.

45. Матасов А.И. Об оптимальности линейных алгоритмов оценивания гарантирующего оценивания. Часть I. Космич. исслед., т.26, №5, с.643-653, 1988.

46. Матасов А.И. Об оптимальности линейных алгоритмов оценивания гарантирующего оценивания. Часть II. Космич. исслед., т.26, №2, 807-812, 1990.

47. Матасов А.И. Введение в теорию гарантирующего оценивания. М.: МАИ, 1999.

48. Мейер П.-А. Вероятность и потенциалы. М.: Мир, 1973.

49. Мелас В.Б. О выборе плана эксперимента и метода оценивания при наличии априорных сведений о параметрах. Математические методы планирования эксперимента, Новосибирск: Наука, с.155-173, 1981.

50. Наконечный А.Г. Минимаксное оценивание функционалов от решений вариационных уравнений в гильбертовых пространствах. Киев: Изд-во КГУ, 1989.

51. Миллер Г.Б., Панков А.Р. Фильтрация случайного процесса в статистически неопределенной линейной стохастической дифференциальной системе. Автоматика и телемеханика., №1, с.59-71, 2005

52. Панков А.Р., Семенихин К.В. Минимаксная идентификация неопределенно-стохастической линейной модели. Автоматика и телемеханика, №11, с.158-171, 1998.

53. Панков А.Р., Семенихин К.В. Методы параметрической идентификации многомерных линейных моделей в условиях априорной неопределенности. Автоматика и телемеханика, №5, с.76-92, 2000.

54. Панков А.Р., Семенихин К.В. О минимаксном оценивании в сингулярных неопределенно-стохастических моделях. Автоматика и телемеханика, №9, с.40-57, 2002.

55. Пайков А.Р., Семенихин К.В. О минимаксном оценивании по вероятностному критерию. Автоматика и телемеханика, №3, с.66-82, 2007.

56. Панков А.Р. Рекуррентная условно-минимаксная фильтрация процессов в разностных нелинейных стохастических системах. Известия РАН. Техническая кибернетика, №3, 71-77, 1992.

57. Пинелис И. Ф. О минимаксном риске . Теория вероятн. и ее примен., т.35, №1, с.92-97, 1990.

58. Поляк Б.Т., Цыпкин А.З. Адаптивные алгоритмы оценивания (сходимость, оптимальность, устойчивость). Автоматика и те.аемеханика, №3, с.71-84, 1979.

59. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.

60. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Стохастические дифферегщиальные системы. М.: Наука, 1990.

61. Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. М.: Наука, 1982.

62. Пытьев Ю.П. Математические методы интерпретации эксперимента. М: Высшая школа, 1989.

63. Пытьев Ю.П. Методы анализа и интерпретации данных. Изд-во: МГУ, 1990.

64. Семенихин К.В. Минимаксное оценивание случайных элементов по средне-квадратическому критерию // Изв. РАН. ТиСУ. №5, с.12-25, 2003.

65. Соловьев В.Н. Двойственные экстремальные задачи и их применение к задачам минимаксного оценивания. Успехи мате.м. наук, т.52, №4, с.49-86, 1997.

66. Соловьев В.Н. К вопросу о минимаксно-байесовском оценивании. Успехи матем. наук, т.53, №5, с.247-248, 1998.

67. Соловьев В.Н. К теории минимаксно-байесовского оценивания. Теория вероятн. и ее примен., 44 №4:738-756, 1999.

68. Флеминг У., Ришел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами. М.: Мир, 1978.

69. Федотов A.M. Линейные некорректные задачи со случайными ошибками в данных. Новосибирск: Наука, 1982.

70. Федотов A.M. Некорректные задачи со случайными ошибками в данных. Новосибирск: Наука, 1990.

71. Фомин В.Н .Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация. М.: Наука, 1984.

72. Хыобер П. Робастность в статистике. М.: Мир, 1984.

73. Цыпкин Я.З. Основы информационно и теории идентификации. М.: Наука, 1984.

74. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: Наука, 1988.

75. Ширяев В.И. Синтез управления линейными системами при неполной информации. Известия РАН. Техническая кибернетика, №3, с.229-237, 1994.

76. Эльясберг П.Е. Измерительная информация: сколько ее нуснсно? как ее обрабатывать? М: Наука, 1983.

77. Anan'ev B.I. Minimax estimation of statistically uncertain systems under the choice of a feedback parameter //J. Math. Syst., Estimation, and Control. V:5, No 2, 1995.

78. El Ghaoui L., Calafiore G. Robust filtering for discrete-time systems with structured uncertainty // IEEE Trans. Automat. Control., vol.AC-46. No 7, 2001

79. Kibzun A.I., Kan Yu.S. Stochastic Programming Problems (with Probability and Quantile Functions). Chichester, N.Y., J. Wiley & Sons, 1996.

80. Kurzhanski A.B., Valyi I. Ellipsoidal Calculus for Estimation and Control. Laxenburg: IIASA, 1989.

81. Martin C., Mintz M. Robust filtering and prediction for linear systems with uncertain dynamics: a game-theoretic approach. IEEE Trans. Automat. Control, vol.AC-28, No 9, pp.888-896, 1983.

82. Matasov A.I. The Kalman—Bucy filter accuracy in the guaranteed parametric estimation problem with unkown statistics. IEEE Trans. Automat. Control, vol.AC-39, No 3, pp.635-639, 1994.

83. Matasov A.I. Estimators for Uncertain Dynamic Systems. Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 1998.

84. Milanese M., Vicino A. Optimal estimation theory for dynamic systems with set membership uncertainty: an overview. Automatica, vol.27, No 6, pp.997-1009, 1991.

85. Pankov A.R., Bosov A.V. Conditionally minimax algorithm for nonlinear system state estimation. IEEE Trans. Automat. Control, vol.AC-39, pp.1617-1620,, 1994.

86. Siemenikhin K.V., Lebedev M.V. Minimax estimation of random elements: theory and applications In Proceedings of the 43th IEEE Conference on Decision and Control (CDC'2004)., Nassau (Bahamas), pp.3581 3586, 2004

87. Siemenikhin K.V., Lebedev M.V., Platonov E.N. Kalman filtering by minimax criterion with uncertain noise intensity functions In Proceedings of the 44th IEEE Conference on Decision and Control (CDC-ECC'2005)., Seville (Spain), pp.1929 -1934, 2005.

88. Pankov A.R., Siemenikhin K.V. Minimax estimation for singular linear multivariate models with mixed uncertainty Journal of Multivariate Analysis. — 2007. no. 1, vol. 98. - Pp. 145-176

89. Schweppe F.C. Uncertain Dynamics Systems. Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1973.

90. Soloviov V.N. Minimax estimation and the least squares method. Stochastics Stochastics Rep., No 42, pp.209-223, 1993.

91. Vandelinde V.D. Robust properties of solutions to linear-quadratic estimation and control problems. IEEE Trans. Automat. Control, vol.AC-22, Nol, pp.138-139, 1977.

92. Verdu S., Poor H.V. Minimax linear observers and regulators for stochastic systems with uncertain second order statistics. IEEE Trans. Automat. Control, vol.AC-29, No 6, pp.499-511, 1984.

93. Verdu S., Poor H.V. On minimax robustness: A general approach and applications. IEEE Trans. Inform. Theory, vol.IT-30, No 2, pp.328-340, 1984.

94. Wald A. Statistical Decision Functions. New York, Wiley, 1950.