Мезоскопические эффекты в низкоразмерных сильнокоррелированных бозонных и спиновых системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Карцев, Пётр Фёдорович

• Карцев, Пётр Фёдорович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Карцев, Пётр Фёдорович

Введение

Мезоскопические эффекты в физике наноструктур

Структура и объём диссертации.

1 Квазиодномерный. бозе-газ с притяжением во вращающемся кольце. Часть I.

1.1 Введение.

1.1.1 Конденсация Бозе-Эйнштейна в разреженных атомарных газах

1.1.2 Притяжение в случаях различной размерности

1.1.3 Формулировка проблемы

1.2 Анализ модели в пределе N —> оо.

1.2.1 Подход среднего поля.

1.2.2 Случай бесконечной оси.

1.2.3 Результат исследования: численное решение уравнения Гросса-Питаевского в кольце.

1.2.4 Результаты исследования: точная фазовая картина эффекта.

2 Алгоритм квантового Монте-Карло в . импульсном представлении

2.1 Общие сведения

2.2 Диаграммный метод.

4 2.3 Описание алгоритма.

2.4 Тестирование.

3 Квазиодномерный бозе-газ с притяжением во вращающемся кольце. Часть И: Мезоскопика.

3.1 Модификация алгоритма.

3.1.1 Особенности процессов.

3.1.2 Аналитика для выбора импульса

3.2 Зависимость физических величин от числа частиц.

3.3 Макроскопическое квантование момента вращения системы для малого числа частиц.

4 Запутанность квантовых состояний в спиновых системах 73 « 4.1 Введение.

4.1.1 Квантовые вычисления.

4.1.2 Запутанность (entanglement)

4.2 Модель

4.3 Результаты исследования.

5 Повышение чувствительности спиновых вычислительных элементов

5.1 Классические вычисления на спиновых системах в основном состоянии.

5.2 Схемы элементов и результаты исследования.

5.2.1 Инвертор.

5.2.2 Входной элемент.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Мезоскопические эффекты в низкоразмерных сильнокоррелированных бозонных и спиновых системах»

Мезоскопические эффекты в физике наноструктур

Физика наноструктур - раздел физики конденсированного состояния, имеющий дело с объектами нанометровых размеров. Наряду с эффектами размерного квантования, здесь не менее важными являются мезоскопические эффекты, связанные с небольшим количеством задействованных частиц [1]. На основе этих эффектов создаются новые нанотехно-логические устройства с необычными свойствами. К примеру, в так называемом одноэлектронном транзисторе [2] используется явление куло-новской блокады, позволяющее "заметить" появление на базе всего лишь одного электрона.

Квантовые законы природы используются в новой быстро развивающейся области квантовых вычислений и квантовой криптографии. Место классического бита информации здесь занимает т.н. "кубит" (англ. qubit, квантовый бит). Это двухуровневая система, которая может находиться не только в состояниях |0) и |1), но также и в произвольной их суперпозиции а |0) + (311). Линейность квантовых уравнений эволюции позволяет выполнять вычисления одновременно над многими наборами исходных данных, что кардинально ускоряет многие операции.

Прогресс последних лет в исследованиях квантовых вычислений объясняется появлением практически применимых алгоритмов. Так, алгоритм Гровера [3] существенно ускоряет поиск в неупорядоченной базе данных, а алгоритм Шора факторизации больших составных чисел [4] делает возможной компрометацию некоторых криптографических схем (прежде всего RSA), считающихся неподдающимися для классических компьютеров.

Уже производятся коммерческие защищённые линии связи, надёжность которых обеспечивается методами квантовой криптографии. Так, линии связи фирм MagiQ Technologies и id Quantique способны передавать секретные криптографические ключи на расстояние до 70 км по стандартному оптическому волокну. В отличие от классических схем защиты информации, которые являются лишь практически невскрывае-мыми, то есть невскрываемыми современными суперкомпьютерами за разумное время, квантовая криптография опирается на законы квантовой механики и потому может обеспечить абсолютную надёжность.

Вместе с тем квантовый компьютер как вычислительное устройство делает только первые шаги. Требуется добиться выполнения вычислений в течение существенного времени (хотя бы 105 операций), решить проблему накопления ошибок и потери когерентности. Такой же важной задачей является увеличение количества кубитов по крайней мере до 103. Наибольшее количество кубитов КК, достигнутое к настоящему времени в эксперименте, составляет 7 и было продемонстрировано в схеме жидкостного ЯМР компьютера [5]. Однако в этой схеме увеличение количества кубитов свыше 30 считается практически невозможным.

В основе одной из наиболее перспективных схем квантового компьютера лежат взаимодействующие спины электронов в твердотельных квантовых точках [б]. Отработанность полупроводниковых технологий позволяет создавать точки с практически любыми параметрами. По той же причине здесь нет ограничений на увеличение количества кубитов.

В последние 2-3 года началось активное исследование перепутывания квантовых состояний в спиновых системах, количество работ отражает значительный интерес специалистов к этому явлению. Создание существенно запутанного состояния оказалось сложной задачей. Вместе с тем, данных по реалистичным системам явно недостаточно. В данной диссертации демонстрируется влияние анизотропии взаимодействия в спиновых системах на запутанность квантовых состояний.

Второй путь построения нанотехнологических вычислительных устройств предполагает реализацию на основе отдельных атомов или электронов классической булевой логики. Биту информации сопоставляется нахождение элемента в одном из двух выбранных состояний. В литературе предложены спиновые логические элементы, опирающиеся на взаимодействие магнитных моментов электронов в квантовых точках. Однако, оценки магнитного поля, которое потребуется накладывать на отдельные квантовые точки, дают величину порядка 10 Тл. В данной диссертации предложена схема организации магнитных элементов, позволяющая уменьшить требуемое магнитное поле до 10~2 Тл и тем самым дающая возможность практической реализации подобных вычислительных устройств.

Не меньший интерес с момента открытия в 1995 году и до настоящего времени вызывает бозе-конденсация атомарных газов щелочных металлов при сверхнизкой температуре порядка 10~8 кельвин. Возможность регулировать параметры конденсата, такие как внешний потенциал, плотность газа и взаимодействие между атомами позволяет экспериментально исследовать свойства различных моделей конденсированного состояния вещества. В течение этих 8 лет Нобелевский комитет уже дважды присудил премии по физике за работы, посвящённые бозе-кон-денсации, отражая важность этих исследований как для теории, так и для практических применений. Однако об особенностях таких систем при сравнительно малом числе частиц известно мало. В данной диссертации представлены результаты исследования мезоскопической одномерной бозе-системы с притяжением, демонстрирующей необычное поведение даже в макроскопическом случае. Получено аналитическое описание данного эффекта.

Между тем, мезоскопические эффекты оказываются наиболее трудными для изучения. В то время как для исследования и описания макроскопических систем достаточно развиты и успешно применяются методы статистической механики, а для одиночных частиц ту же роль выполняют методы квантовой механики, промежуточный случай одинаково сложен для обоих подходов и чаще всего поддаётся исследованию лишь численными методами. Моделирование такой системы расчётом "из первых принципов" оказывается основным методом предсказания её экспериментальных свойств. Прогресс современных вычислительных комплексов позволяет исследовать квантовые модели из 100 и более частиц. Одним из наиболее перспективных и универсальных подходов является квантовый метод Монте-Карло. Однако существуют проблемы, принципиально ограничивающие его возможности даже при существенном увеличении вычислительных затрат. В данной диссертации представлен новый эффективный алгоритм, свободный от этой проблемы.

Цель работы:

1. Разработка новых эффективых численных алгоритмов для моделирования квантовых систем;

2. численное исследование мезоскопических бозонных и спиновых систем, выявление новых фазовых состояний, анализ особенностей поведения с уменьшением числа слагающих систему частиц;

3. расчёт реальных элементов вычислительных устройств.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из Введения, пяти Глав и Заключения. Общий объём - 111 страниц, включая 34 иллюстрации и список литературы из 90 наименований.

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Карцев, Пётр Фёдорович

Основные результаты, представленные в диссертации:

1. Подтверждено существование эффекта макроскопического квантования вращательного момента (эффекта Хесса-Фербенка) для квазиодномерного бозе-газа с притяжением во вращающемся тороидальном сосуде. Аналитически найдена область существования эффекта.

2. Подтверждено существование эффекта Хесса-Фербенка в квазиодномерной бозе-системе с притяжением при числе частиц порядка 10. Область параметров, соответствующих эффекту, практически совпадает с макроскопическим описанием.

3. Предложен, разработан и реализован новый эффективный алгоритм квантового Монте-Карло, позволяющий исследовать новые статистические системы, которые ранее не поддавались моделированию точными кластерными методами. При расчётах данным алгоритмом существенно ослаблена проблема знака, что позволяет моделировать системы бблыпих размеров и при более низкой температуре.

4. Показано, что анизотропия взаимодействия расширяет область существования ненулевой согласованности состояний спиновой XXZ-цепочки. Построена соответствующая фазовая диаграмма.

5. Показано, что для повышения чувствительности классических вычислительных элементов на основе спиновых состояний в квантовых точках необходимо использовать вырождение основного состояния. Предложены эффективные схемы инвертора. Показано, что требующееся для работы магнитное поле может быть уменьшено до 0.01 тесла.

Все результаты, представленные в диссертации, получены точно, т.е. аналитические выражения верны в пределе бесконечного числа частиц, а соответствующие квантовые задачи для конечных'систем решены с контролируемой точностью и без использования каких-либо упрощений и проближений.

Благодарности

Автор выражает благодарность Владимиру Анатольевичу Кашурни-кову за научное руководство и поддержку и Борису Владимировичу Свистунову за инициирование исследования бозе-газа с притяжением и критические обсуждения. Беседы с Николаем Викторовичем Прокофьевым помогли в разработке представленного алгоритма квантового Монте-Карло. Работы [7, 8] написаны в соавторстве с Кареном Гурге-новичем Балабаняном и при существенном общении с Леонидом Артуровичем Опёновым. Александр Александрович Кокин и Алексей Александрович Ларионов оказали существенную поддержку в исследовании запутанности квантовых состояний.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Карцев, Пётр Фёдорович, 2004 год

1. Й. Имри. Введение в мезоскопическую физику - М.: Физматлит, 2002.-304 с.

2. Т.А. Fulton, G.J. Dolan. Observation of single-electron charging effects in small tunnel junctions // Phys. Rev. Lett. 1987. - Vol. 59. -P. 109-112.

3. L. Vandersypen. Experimental realization of Shor's quantum factoring algorithm using nuclear magnetic resonance // Nature — 2001. Vol. 414. - P. 883-887.

4. S. Bandyopadhyay, B. Das, A.E. Miller. Supercomputing with spin-polarized single electrons in a quantum coupled architecture // Nanotechnology 1994. - Vol. 5, N. 2. - P. 113-133.

5. K.G. Balabanyan, P.F. Kartsev. Degeneracy of the ground state of the system of interacting magnetic moments and its implementation in nanoelectronics // Phys. Low-Dim. Struct. 1999. - Vol. 9/10. - P. 121-130.

6. К.Г. Балабанян, П.Ф. Карцев. Явления, связанные с вырождением основного состояния взаимодействующих магнитных моментов, возможности использования в наноэлектронике // Научная сессия МИФИ-1999: Сб. науч. тр. М., 1999. - Т. 3. - С.32-33.

7. В.А. Кашурников, П.Ф. Карцев, Ю.Г. Харченко, Точный квантовый метод Монте-Карло для кластерных задач: расчёт элементарных возбуждений, учёт дальнодействующего потенциала // Инж. Физика 2000. - Т. 1. - С. 16-21.

8. П.Ф. Карцев, В.А. Кашурников. Новый метод квантового Монте-Карло в импульсном пространстве. // Научная сессия МИФИ-2000: Сб. науч. тр. М., 2000 - Т. 4. - С.138-139.

9. П.Ф. Карцев, Эффект Хесса-Фербенка: численный анализ // Научная сессия МИФИ-2001: Сб. науч. тр. М., 2001 - Т. 4. - С.150-151.

10. П.Ф. Карцев. Корреляционные свойства мезоскопических бозон-ных систем // Научная сессия МИФИ-2002: Сб. науч. тр. М., 2002 -Т. 4. - С. 141.

11. П.Ф. Карцев. Новый квантовый алгоритм Монте-Карло в импульсном представлении: проблема знака и эффект Хесса-Фербенка // ЖЭТФ 2003. - Т. 124, N. 4. - С. 932-942. / JETP - 2003. - Vol. 97, N. 4. - Р. 836-845.

12. P.F. Kartsev. Rotating Bose-Einstein condensate with attractive interaction in one dimension: single-L states and mesoscopics // Phys. Rev. A. 2003. - Vol. 68. - P. 063613. - 4 p.

13. Д.С. Морев, П.Ф. Карцев. Численный расчёт энергетического спектра носителей заряда в обобщённой модели Хаббарда // Научная сессия МИФИ-2004: Сб. науч. тр. М., 2004 - Т. 5. - С.167.

14. P.F. Kartsev. Effect of anisotropy in XXZ Heisenberg chain on entanglement properties // Конф. 2nd Euro-Asian Symposium "Trends in Magnetism" (EASTMAG-2004): Тез. докл.

15. E.R. I. Abraham, W.I. McAlexander, C.A. Sackett, R.G. Hulet. Spectroscopic determination of the s-Wave scattering length of lithium // Phys. Rev. Lett. 1995. - Vol. 74. - P. 1315-1318.

16. J.L. Roberts et al. Controlled collapse of a Bose-Einstein condensate // Phys. Rev. Lett. 2001. - Vol. 86. - P. 4211-4214.

17. I. Bloch, T.W. Haensch, T. Esslinger. Atom laser with a cw output coupler // Phys. Rev. Lett. 1999. - Vol. 82. - P. 3008-3011.

18. M.-O. Mewes et al. Output coupler for Bose-Einstein condensed atoms // Phys.Rev.Lett. 1997. - Vol. 78. - P. 582-585.

19. M.R. Andrews et al. Observation of interference between two Bose condensates // Science 1997. - Vol. 275. - P. 637-641.

20. I. Bloch et al. Optics with an atom laser beam // Phys. Rev. Lett. -2001. Vol. 87. - P.030401.

21. R.A. Duine, H.T.C. Stoof. Explosion of a collapsing Bose-Einstein condensate // Phys. Rev. Lett. 2001. - Vol. 86. - P. 2204-2007.

22. D.G. Fried et al. Bose-Einstein condensation of atomic hydrogen // Phys. Rev. Lett. 1998. - Vol. 81. - P. 3811-3814.

23. F. Pereira dos Santos et al. Bose-Einstein condensation of metastable helium // Phys. Rev. Lett. 2001. - Vol. 86. - N. 16 -P. 3459-3463. '

24. Yosuke Takasu et al. Spin-singlet Bose-Einstein condensation of two-electron atoms // Phys.Rev.Lett. 2003. - Vol. 91. - P. 040404.

25. A. Leanhgardt. Cooling Bose-Einstein condensates below 500 picokelvin // Science 2003. - Vol. 301. - P. 1513 - 1515.

26. V.A. Kashurnikov, N.V. Prokof'ev, B.V. Svistunov. Critical temperature shift in weakly interacting Bose gas // Phys. Rev. Lett.- 2001. Vol. 87. - P. 120402. - 4 p.

27. Masahito Ueda, A.J. Leggett. Ground-state properties of a rotating Bose-Einstein condensate with attractive interaction // Phys. Rev. Lett.- 1999. Vol. 83. - N. 8. - P. 1489-1493.

28. S.L. Cornish et al. Stable 85Rb Bose-Einstein condensates with widely tunable interactions // Phys.Rev.Lett. 2000. - Vol. 85. - P. 1795-1798

29. E.V. Shuryak. Metastable Bose condensate made of atoms with • attractive interaction // Phys. Rev. A 1996. - Vol. 54. - P. 3151-3154

30. E.P. Gross. Structure of quantized vortex // Nuovo Cimento 1961.- Vol. 20. P. 454. / Л.П. Питаевский // ЖЭТФ - 1961. - Т. 40.- С. 646.

31. C.C. Bradley, C.A. Sackett, R.G.HuIet. Bose-Einstein condensation of lithium: observation of limited condensate number // Phys. Rev. Lett. 1997. - Vol. 78. - P. 985-989.

32. P.A. Crowell, F.M. van Keuls, J.D. Reppy. Superfluid-insulator transition in 4He films adsorbed in Vycor glass // Phys. Rev. Lett. -1995. Vol. 75. - P. 1106-1109.

33. A. Safonov et al. Observation of quasicondensate in two-dimensional . atomic hydrogen // Phys. Rev. Lett. 1998. - Vol. 81. - P. 4545-4548.

34. N. Byers, C.N. Yang. Theoretical considerations concerning quantized magnetic flux in superconducting cylinders // Phys. Rev. Lett- 1961. Vol. 7. - P. 46-49.

35. G.P. Berman, A. Smerzi, A.R. Bishop. Quantum instability of a Bose-Einstein Condensate with attractive interaction // Phys. Rev. Lett. 2002. - Vol. 88, No. 12 - P. 120402. - 4 p.

36. E.M. Wright, J. Arlt, K. Dholakia. Toroidal optical dipole traps for atomic Bose-Einstein condensates using Laguerre-Gaussian beams // Phys. Rev. A 2000. - Vol. 63. - P. 013608. - 6 p.

37. A.S. Arnold, E. Riis. Bose-Einstein condensates in 'giant' toroidal magnetic traps // LANL E-print 2001. - cond-mat/0110295v2. - 5 p.

38. J.B. McGuire // Jour, of Math. Phys. 1964. - Vol. 5 - P. 622.

39. Hidenori Hasimoto. A soliton in a vortex filament //J. Fluid Mech.- 1972. Vol. 51, part 3 - P. 477-485.

40. Y. Castin, Ch. Herzog. Bose-Einstein condensates in symmetry breaking states // Comptes Rendus de l'Academie des Sciences de Paris- 2001. Vol. 2, Ser. IV. - P. 419-443. LANL E-print - 2000. - cond-mat/0012040. - 24 p.

41. D.L. Kovrizhin, L.A. Maksimov. "Cherenkov radiation" of a sound in a Bose condensed gas.// Phys. Lett. A 2001. - Vol. 282, N. 6. - P. 421-427.

42. W.Bao, D. Jaksch, P.A. Markowich. Numerical solution of the Gross-Pitaevskii equation for Bose-Einstein condensation //J. Comput. Phys. 2003. - Vol. 187, N. 1 - P. 318-342. LANL E-print - 2003. -cond-mat/0303239. - 33 p.]

43. Л.Д. Ландау, E.M. Лифшиц. Теоретическая физика: В 10 т. Т. 9: Статистическая физика, ч. 2 / Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский.- М.: Физматлит, 2001. С. 130.

44. Handbook of elliptic integrals for enginneers and scientists. Springer-Verlag, 1971.

45. Rina Kanamoto, Hiroki Saito, Masahito Ueda. Quantum phase transition in one-dimensional Bose-Einstein condensates with attractive interactions // Phys. Rev. A 2003. - Vol. 67. - P. 013608. - 7 p. LANL E-print - 2002. - cond-mat/0210229. - 7 p.]

46. N.V. Prokof'ev, B.V. Svistunov. Worm algorithms for classical statistical models // Phys. Rev. Lett. 2001. - Vol. 87. - P. 160601. -4p.

47. E.A. Burovski, A.S. Mishchenko, N.V. Prokof'ev, B.V. Svistunov. Diagrammatic quantum Monte Carlo for two-bodyproblems: applied to excitons // Phys. Rev. Lett. 2001. - Vol. 87.- P. 186402. 4 p.

48. P.C.E. Stamp, I.S. Tupitsyn. Coherence window in the dynamics of quantum nanomagnets // Phys. Rev. В 2004. - Vol. 69. - P. 014401.- 5 p. LANL E-print 2003. - cond-mat/0302015. - 5 p.

49. Yu. M. Kagan et al. Quasicondensation in a two-dimensional interacting Bose gas // Phys. Rev. A 2000. - Vol. 61. - P. 043608. -4 p.

50. Nobuo Furukawa, Masatoshi Imada. Minus sign problem in the Monte Carlo simulation of lattice fermion systems //J. Phys. Soc. Jpn. -1991.-Vol. 60, N. 3.-P. 810.

51. E.H. Lieb, F.Y. Wu. Absence of mott transition in an exact solution of the short-range, one-band model in one dimension // Phys. Rev. Lett.- 1968. Vol. 20, N. 25. - P. 1445-1448.

52. J.E. Hirsch, D.J. Scalapino, R.L. Sugar, R. Blankenbecler.

53. Efficient Monte Carlo, procedure for systems with fermions // Phys. Rev. Lett. 1981. - Vol. 47. - P. 1628-1631.

54. P.F. Kartsev. Diagrammatic quantum Monte Carlo algorithm in momentum representation: Hess-Fairbank effect and mesoscopics in ID ВЕС with attractive interaction // LANL E-print 2002. - cond-mat/0211356. - 11 p.

55. H.B. Прокофьев, Б.В. Свистунов, И.С. Тупицын. Exact, complete and universal continuous-time wordline Monte Carlo approach to the statistics of discrete quantum systems // ЖЭТФ 1998. - T. 114. - C. 570-573.

56. N.V. Prokof'ev, B.V. Svistunov, I.S. Tupitsyn. "Worm" algorithm in quantum Monte Carlo simulations // Phys. Lett. A -1998. Vol. 238. - P. 253-257.

57. А.А. Абрикосов, JI.П. Горьков, И.Е. Дзялошинский. Методы теории поля в статистической физике М. Физматлит, 1962. - 444с.

58. N.A. Metropolis et al. Equation of state calculation by fast computing machines // J. Chem. Phys. 1953. - Vol. 21 - P. 1087-1090.

59. I. Carusotto, Y. Castin. Condensate statistics in one-dimensional interacting Bose gases: exact results // Phys. Rev. Lett. 2003. - Vol. 90, N. 3. - P. 030401. - 4 p.

60. N. Kawashima, J.E. Gubernatis. Loop algorithms for quantum simulations of fermion models on lattices // Phys. Rev. В 1994. -Vol. 50, N. 1. - P. 136-149.

61. Z. Neda and Z. Dezco. Limits of the Quantum Monte Carlo method •// LANL E-print 1999. - cond-mat/9912383. - 17 p.

62. Ю.И. Манин. Вычислимое и невычислимое. М.: Сов. Радио, 1980, с. 128.

63. А.К. Ekert. Quantum cryptography based on Bell's theorem // Phys. Rev. Lett. 1991. - Vol. 67. - P. 661-663.

64. A. Einstein, В. Podolsky, N. Rosen. Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete? // Phys. Rev. 1935. - Vol. 47. - P. 777-780. Успехи физ. наук - 1936. - Т. 16. -С. 440-442.

65. W.K. Wootters. Entanglement of Formation of an Arbitrary State of Two Qubits // Phys. Rev. Lett. 1998. - Vol. 80. - P. 2245-2248.

66. K.A. Валиев, А.А. Кокин. Квантовые компьютеры: надежды и реальность Ижевск: НИЦ "Регуляр. и хаотич. динам.", 2001. - с. 42.

67. D. Greenberger, М. Home, A. Shimony, A. Zeilnger. Bell's theorem without inequalities // Am. J. Phys. 1990. - Vol. 58. - P. 1131.

68. X. Wang. Threshold temperature for pairwise and many-particle thermal entanglement in the isotropic Heisenberg model // Phys. Rev. A 2002. - Vol. 66. - P. 044305. LANL E-print - 2002. - quant-ph/0205049v3 - 4 p.]

69. X. Wang, P. Zanardi. Quantum entanglement and Bell inequalities in Heisenberg spin chains Phys. Lett. A 2002. - Vol. 301, N. 1-2. - P. 1-4. LANL E-print - 2002. - quant-ph/0202108vl. - 4 p.]

70. V. Subrahmanyam. Quantum entanglement in Heisenberg antiferromagnets // Phys. Rev. A 2004. - Vol. 69. - P. 022311. LANL E-print - 2003. - quant-ph/0309004v2. - 7 p.]

71. M.C. Arnesen, S. Bose, and V. Vedral. Natural thermal and magnetic entanglement in the ID Heisenberg model // Phys. Rev. Lett. -2001. Vol. 87. - P. 017901. - 4 p.

72. G. Rigolin. Thermal entanglement in the two-qubit Heisenberg XYZ model // LANL E-print 2003. - quant-ph/0311185vl - 6p.

73. D. Gunlycke, S. Bose, V. M. Kendon, V. Vedral. Thermal concurrence mixing in a ID Ising model // Phys. Rev. A 2001. - Vol. 64. - P. 042302. - 8 p. LANL E-print - 2001. - quant-ph/0102137v2. -7 p.]

74. A. Osterloh, L. Amico, G. Falci, R. Fazio. Scaling of entanglement close to a quantum phase transitions // Nature 2002. - Vol. 416. - P. 608. LANL E-print - 2002. - quant-ph/0202029v2. - 4 p.]

75. Xiaoguang Wang, H. Fu, A.I. Solomon. Thermal entanglement in three-qubit Heisenberg models // J. Phys. A: Math. Gen. 2001. - Vol. 34. - P. 11307-11315.

76. Shi-Jan Gu, Hai-Qing Lin, You-Quan Li. Entanglement, quantum phase transition and scaling in XXZ chain // Phys. Rev. A 2003. - Vol. 68. - P. 042330 - 4 p. LANL E-print - 2003. - quant-ph/0307131v2. -4 p.]

77. O. Osenda, Zhen Huang, S. Kais. Tuning the entanglement for a one-dimensional magnetic system with anisotropic coupling and impurities // Phys. Rev. A 2003. - Vol. 67. - P. 062321. - 4 p.

78. Aplesnin S.S. The study of magnetic properties of the quasi-one-dimensional antiferromagnet with S = 1/2 by Monte-Carlo method // Phys. Low Dim. Struct. - 2000. - N. 9/10. - P. 32.

79. C. Lancsoz. An iteration method for the solution of the eigenvalue problems of linear differential and integral operators // J. Res. Nat. Bur Stand. 1950. - Vol. 45. - P. 255-282.

80. E. Dagotto. Correlated electrons in high-temperature superconductors // Rev. Mod. Phys. 1994. - Vol. 66, N. 3. - P. 763-840.

81. J.E. Hirsch. Electronic dynamic Hubbard model: exact diagonalization study // Phys. Rev. В 2003. - Vol. 67. - P. 035103. - 15 p.

82. S. Bandyopadhyay, V.P. Rowchowdhury, X. Wang. Computing with quantum dots: novel architectures for nanoelectronics // Phys. Low-Dim. Struct. 1995. - N. 8/9. - P. 29-82.

83. A.V. Krasheninnikov, R.A. Koltsov. Temperature effect on the operation of elementary quantum-dot spin gates by the example of the NOT-AND gate // Phys. Low-Dim. Struct. 1998. - N. 9/10. - P. 179-192.

84. A.M. Бычков, JI.A. Опенов, И.А. Семенихин. Single-electron computing without dissipation // Письма в ЖЭТФ 1997. - Т. 66. -С. 275-179 JETP Lett. - 1997. - Vol. 66. - P. 298-303].

85. S.N. Molotkov, S.S. Nazin. Single-electron spin logical gates // Письма в ЖЭТФ 1995. - Vol. 62, N. 3. - P. 256-263.

86. A.M. Bychkov, L.A. Openov. Non-dissipative logic device NOT based on two coupled quantum dot // Phys. Low-Dim. Struct. 1998. - N. 9/10 - P. 153-178.

87. D. A. Allwood et al. Submicrometer ferromagnetic NOT gate and shift register // Science 2002. - Vol. 296. - P. 2003-2006.

88. S.N. Molotkov, S.S. Nazin. Single-electron spin quantum dot logical gates with ferromagnetic chains // Phys. Low-Dim. Struct. 1997. - N. 10. - P. 85-94.