Алгоритмическое обеспечение и комплекс программ для томографической реконструкции при неполных данных тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Важенцева, Надежда Владимировна

• Важенцева, Надежда Владимировна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Важенцева, Надежда Владимировна

Содержание

Введение

Глава 1. Математические основы метода вычислительной томографии

1.1. Разновидности вычислительной томографии и области их применения

1.1.1. Медицинская томография

1.1.2. Томография в строительстве и дефектоскопии

1.1.3. Системы безопасности

1.2. Математические основы решения задач томографии

1.2.1. Задача интегральной геометрии

1.2.2. Преобразование Радона

1.3. Алгоритмы томографической реконструкции

1.3.1. Томографические алгоритмы

1.3.2. Сравнение алгоритмов

Глава 2. Томографическая реконструкция при ограничениях на угол сканирования на основе пополнения проекционных данных

2.1. Постановка задачи и построение решения

2.2. Алгоритм пополнения проекционных данных

2.2.1. Описание алгоритма

2.2.2. Численная методика получения отсутствующих проекций и описание вычислительного алгоритма

2.3. Численное исследование разрешающей способности алгоритма и его помехоустойчивости

Глава 3. Описание программного комплекса «Палладиум» и его

модельное использование

3.1. Программный комплекс «Палладиум»

3.2. Численное решение специальной задачи дефектоскопии и задачи

межскважинного просвечивания в томографических постановках

3.2.1. Диагностирование дефектов типа тонких, протяженных трещин, отслоений, поверхностей склеивания

3.2.2. Вычислительное пополнение проекционных данных в условиях геотомографии

3.3. Сравнение алгоритмов томографии, использующих условие Кавальери, в задачах с ограниченным углом обзора объекта

3.3.1. Алгоритм Принса-Виллски

3.3.2. Алгоритм пополнения проекционных данных в итерационном процессе

3.3.3. Сравнение разработанного алгоритма с некоторыми из имеющихся алгоритмов, использующих условие Кавальери

Заключение

Список публикаций по теме диссертации

Список цитируемой литературы

Приложение А

Приложение Б

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмическое обеспечение и комплекс программ для томографической реконструкции при неполных данных»

Введение

Вычислительная томография - новое направление в науке, возникшее во второй половине XX столетия, испытывающее интенсивное развитие и в настоящее время. Метод вычислительной (компьютерной) томографии позволяет по характеристикам пропущенного через исследуемый объект (трансмиссионная томография) или его собственного (эмиссионная томография) излучения судить о внутреннем устройстве, физическом состоянии или химическом составе этого объекта. Компьютерная томография в узком смысле - синоним термина рентгеновская компьютерная томография; в широком смысле - синоним термина томография.

Описать исследуемые объекты и процессы достаточно достоверно и полно на сегодняшний день позволяет большое количество методов. Для решения проблемы исследования внутренней структуры различных объектов и процессов применялись методы интроскопии (для диагностики изделий) и спектроскопии (для исследования состава объектов). Результаты носили качественный характер (локализация дефектов) или позволяли определять значение исследуемой величины в небольшом объеме.

Особый интерес представляют исследования пространственно-временных распределений (полей) физических величин внутри объектов. К. Рентген первым предложил метод диагностики, основанный на зондировании объекта лучами и регистрации прошедшего излучения, именно этот метод положил начало современной томографии. Однако основным недостатком этого метода является образование суммарной картины изображений различных слоев объекта. В связи с этим возникла задача получения изображения каждого изолированного слоя объекта — томограммы (от греческого tomos — слой). В 1921 году Е. Бокаж предложил томографию, в настоящее время называемую классической или традиционной, которая лишь частично решила проблему, так как

изображение сечения оставалось затененным другими слоями объекта, но получила наибольшую известность и распространение в медицинской диагностике.

Основы интегральной геометрии, являющиеся математическим фундаментом томографии, были заложены в работах И. Радона в 1917 г., а позже, в начале 60-х годов развиты в трудах И.М. Гельфанда и его школы. Предметом изучения интегральной геометрии является преобразование функций, заданных на геометрических объектах, к функциям, заданным на других геометрических объектах. Такое преобразование во многом напоминает проецирование, и полученная функция называется проекцией. Одним из таких применений впоследствии стала томография, основанная на решении обратной задачи интегральной геометрии - восстановлении многомерных функций по их интегральным характеристикам. Однако методы решения некорректных обратных задач не были еще достаточно развиты. Лишь в 60-х годах они были наиболее полно разработаны

A.Н. Тихоновым, а применительно к обратным задачам интегральной геометрии - М.М. Лаврентьевым и его учениками. Развитие промышленной томографии происходило под руководством академика

B.В. Клюева. Среди зарубежных ученых, занимавшихся исследованиями в области томографии, можно выделить А. Кормака, Ф. Наттерера,

C.М. Хелгасона, Г. Хермена. Таким образом, математическая основа для появления томографических методов была создана в конце 60-х - начале 70-х годов [1].

Получить изображение отдельного изолированного сечения объекта удалось лишь с появлением вычислительной томографии, которая представляет собой двухступенчатый метод исследований.

Первый этап: проникающим излучением объект зондируется с различных направлений, прошедшее излучение регистрируется, таким образом, формируется набор проекций (проекционная матрица). Второй этап: в каком-либо процессоре обрабатывается совокупность полученной

информации. Следовательно, томографические измерения являются косвенными, поскольку измеряемая величина связана с исследуемой величиной некоторым отношением. Обработка данных усложняется тем, что для восстановления томограммы необходимо решение обратной задачи. Что, в свою очередь, выдвигает высокие требования к системе обработки данных.

Особый интерес представляют томографические задачи, возникающие в условиях, когда просвечивание всего объекта невозможно по тем или иным причинам, что приводит к неполноте исходных (проекционных) данных в томографическом эксперименте. Задачи с неполными проекционными данными являются сравнительно мало изученными в отличие от постановок, использующих полные данные. Вычислительная томография на полных данных к настоящему времени прочно вошла в человеческую практику, об этом говорит широкое использование медицинских и промышленных томографов.

Несмотря на то, что решению этих задач посвящено большое количество публикаций, общих методов их решения до сих пор не разработано. Как правило, в существующих алгоритмах, основанных на восстановлении объекта по имеющимся проекционным данным, привлекается априорная информация об исследуемом объекте. Аналог теоремы Пэли-Винера, известный также как условие Кавальери, позволяет по известным проекциям построить однородный полином с коэффициентами, не зависящими от угла. Коэффициенты являются исходной информацией для синтеза (искусственного создания) неизвестных проекций. Такой подход позволяет без существенного ущерба для качества реконструкции снизить количество проекционных данных. В медицине это приводит к снижению дозы облучения пациента, в дефектоскопии (в том числе при эмиссионной диагностики объектов металлургии) - восстанавливать исследуемое изделие с приемлемой

точностью в условиях ограниченного угла обзора, а также при наличии непрозрачных и полупрозрачных дефектов.

Особенный интерес решение задачи с неполными проекционными данными представляет для геотомографии как в условиях разведочной геофизики, так и при инженерных изысканиях (подготовка строительных площадок, строительство и эксплуатация метро), а также в горном деле (доразведка, эксплуатационный мониторинг месторождений угля).

Цель диссертации.

Разработка метода томографической реконструкции по проекционным данным, полученным в ограниченном диапазоне углов сканирования.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Разработать математическую модель пополнения проекционных томографических данных, основанную на аналоге теоремы Пэли-Винера, в условиях ограничения на угол обзора объекта исследования. Эта математическая модель должна содержать описание процесса получения полных данных в случае их неполноты с использованием математических понятий и формул, отражающих основные свойства, особенности этого процесса, и должна быть пригодна для численной реализации на ЭВМ.

2. Разработать вычислительные алгоритмы, реализующие решение томографической задачи при отсутствии проекций на ряде пространственных направлений.

3. Провести вычислительные эксперименты для исследования возможностей разработанного алгоритма и его обоснования.

4. Разработать программное обеспечение для поставленной задачи и создать соответствующий программный комплекс, позволяющий синтезировать недостающие проекционные данные в отсутствующих пространственных направлениях.

Методы исследований.

Для решения поставленных в работе задач используются методы математического моделирования, вычислительной математики, линейной алгебры, интегральной геометрии, функционального анализа, теории некорректно поставленных задач, численные методы и методы проектирования программного обеспечения.

Научная новизна работы.

1. Математическая модель пополнения томографических данных в условиях неполноты проекционной матрицы, основанная на аналоге теоремы Пэли-Винера, отличающаяся общностью, поскольку не требует использования априорных знаний об объекте исследования, позволяющая решать обратную задачу томографии, используя как исходные проекционные данные, так и синтезированные.

2. Численный метод синтеза недостающих проекционных данных в отсутствующих пространственных направлениях, основанный на свойстве преобразования Радона для разложения моментов в однородный полином, отличающийся способом решения возникающей системы линейных уравнений и выбором максимального порядка используемых моментов.

3. Результаты численного исследования: помехоустойчивости, границ применимости разработанного алгоритма, зависимости от параметров системы наблюдений и результаты-рекомендации, необходимые для планирования томографического эксперимента.

4. Программный комплекс «Палладиум» для решения задач вычислительной томографии в условиях неполноты проекционной матрицы, основанный на алгоритмах синтеза отсутствующих проекционных данных.

Практическая значимость работы.

Разработанные в диссертации методы реконструкции при недостатке проекционных данных непосредственно могут быть использованы для

решения многих прикладных задач томографии. На основе данных методов создано программное обеспечение, с помощью которого были проведены эксперименты по реконструкции распределений плотности объекта. Проведённые исследования могут оказаться полезными при создании программного обеспечения рентгеновских компьютерных томографов для медицинской диагностики, промышленной дефектоскопии, экспериментальной физики, при геотомографических исследованиях и при металлургических мониторингах.

Материалы диссертации будут полезны преподавателям высших учебных заведений и их студентам при самостоятельной работе как дополнительный материал при изучении курсов «методы вычислений», «интегральная геометрия», а также при формировании специальных курсов «методы вычислительной томографии», «геотомография».

Реализация результатов работы.

Программный комплекс «Палладиум», предназначенный для решения томографической задачи в условиях ограничения на проекционные данные, внедрен и используется при обработке сейсмотомографической информации в ООО «Сибирская геофизическая служба». Программный комплекс был использован при обработке и интерпретации сейсмотомографической информации, полученной при проектировании полотна железнодорожной магистрали Адлер - Красная поляна, входящей в число сооружений Олимпийского комплекса в г. Сочи.

Предмет защиты.

Научные результаты, выносимые на защиту:

1. Математическая модель пополнения томографических данных в условиях неполноты проекционной матрицы, основанная на аналоге теоремы Пэли-Винера.

2. Численный метод синтетического пополнения недостающих проекционных данных в отсутствующих пространственных направлениях.

3. Программный комплекс «Палладиум» для решения задач вычислительной томографии.

4. Результаты численного исследования вычислительного алгоритма, определяющие границы применимости, устойчивость к дестабилизирующим факторам (особенности системы наблюдений, объекта исследования, случайный шум в каналах приема сигнала).

Личный вклад автора в проведенное исследование заключается в разработке алгоритма восстановления неизвестных проекций в двумерном случае; планировании и проведении вычислительных экспериментов для исследования предлагаемого метода, в том числе разработке моделей различных дефектов (объектов исследования); разработке и создании программного обеспечения для решения задач компьютерной томографии.

Степень достоверности результатов.

Достоверность полученных результатов и выводов подтверждается анализом разработанных численных алгоритмов и проведением численных экспериментов. Все полученные результаты не противоречат известным научным положениям, экспериментальным и теоретическим результатам других работ. Основные научные положения, выводы и заключения, сформулированные в диссертации, обоснованы и достоверны, так как базируются на корректном использовании методов вычислительной математики, линейной алгебры, интегральной геометрии, функционального анализа, теории некорректно поставленных задач, объектно-ориентированного программирования.

Моделирование и вычислительный эксперимент проводились с использованием разработанного программного обеспечения, реализованного на языке программирования С#.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались на ХЬУ1, ХЬУН и ХЬУШ международных научных конференциях «Студент и научно-технический

прогресс» (Новосибирск, 2008, 2009, 2010), молодежной международной научной школе-конференции «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» (Новосибирск, 2009), международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика» (Новосибирск, 2011), XII и XIII всероссийских конференциях молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2011, 2012), V всероссийской научно-технической конференции «Актуальные вопросы строительства» (Новосибирск, 2012), международной конференции «Обратные и некорректные задачи математической физики» (Новосибирск, 2012), международной молодежной конференции «Нелинейные динамические системы: моделирование и оптимизация управления» (Новосибирск, 2012), международной научно-практической конференции «Наукоемкие технологии разработки и использования минеральных ресурсов» (Новокузнецк, 2013), X международной научно-практической конференции «Природные и интеллектуальные ресурсы Сибири» (Новокузнецк, 2013), научных семинарах под руководством д.ф.-м.н. Воскобойникова Ю.Е. в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин)» (Новосибирск, 2010, 2011, 2012), научном семинаре под руководством д.ф.-м.н. Чеверды В.А. в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки «Институт нефтегазовой геологии и геофизики им. A.A. Трофимука СО РАН» (Новосибирск, 2013).

Публикации.

Результаты опубликованы в 19 работах, в число которых входит 2 статьи в переводных журналах, рекомендованных ВАК РФ, 4 статьи в рецензируемых трудах конференций, 4 статьи в рецензируемых журналах и 9 тезисов докладов.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка, приложения и содержит 117 страниц основного текста, включая таблицы и рисунки. Список цитируемой литературы содержит 88 наименований как зарубежных, так и отечественных авторов. В приложении приводятся справка о внедрении и свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ «Программный комплекс «Палладиум»».

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследования, показана научная новизна работы, отмечена её практическая значимость, указаны имеющиеся и перспективные направления использования полученных результатов, сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава «Математические основы метода вычислительной томографии» содержит необходимые сведения по математическим и физическим основам метода вычислительной томографии. В этой главе рассматриваются интегральное преобразование Радона в прямом и обратном вариантах, используемые схемы сканирования (снятия проекционных данных), известные вычислительные алгоритмы реконструкции, т.е. алгоритмы решения томографической задачи, использующие полную проекционную матрицу.

Во второй главе «Томографическая реконструкция при ограничениях на угол сканирования на основе пополнения проекционных данных» сформулирована постановка задачи, приводится описание разработанного метода, а также результаты численных исследований и модельных экспериментов на ЭВМ, а также анализ этих результатов.

Третья глава «Описание программного комплекса «Палладиум» и его модельное использование» посвящена программному комплексу «Палладиум», его модельному использованию для решения задачи томографии, а также сравнению некоторых известных алгоритмов

томографии, использующих условие Кавальери, в задачах с ограниченным углом обзора объекта, с разработанным алгоритмом пополнения проекционных данных. В этой главе дается описание программного комплекса, его возможностей и реализации, основанной на методах объектно-ориентированного программирования (ООП) и паттернах проектирования. Рассматривается пример модельного использования программного обеспечения при реконструкции трудно-диагностируемого дефекта типа трещины, отслоения и поверхности склеивания, приводится обобщение этого результата на случай межскважинного сейсмического просвечивания в условиях геотомографии, в том числе и для объектов горного дела.

Глава 1. Математические основы метода

вычислительной томографии

Под вычислительной (компьютерной) томографией понимается совокупность методов и средств, используемых для изучения характеристик исследуемых объектов по результатам косвенной информации о них. Различают вычислительную томографию, осуществлявшую точное восстановление исследуемой физической характеристики, и классическую томографию, используемую в медицинской практике и дающую всего лишь сфокусированное изображение выделенного слоя в объекте. Важным отличием реконструктивной вычислительной томографии от традиционной является использование сложной математической обработки, представляющей из себя решение обратной задачи. Математическая основа реконструктивной томографии была создана И. Радоном еще в 1917 году, однако, методы двумерной вычислительной томографии начали активно развиваться только в 60-х годах прошлого века. Значительное преимущество методов вычислительной томографии перед многими другими методами диагностики обусловлено тем, что его информативность о каждом элементарном объеме исследуемого объекта во много раз выше, чем в других известных методах. Объемы информации, получаемые в ходе проведения вычислительной диагностики, огромны, и их обработка и интерпретация невозможна без применения современных методов вычислительной математики, развитого программного обеспечения и высокопроизводительных средств вычислительной техники. В настоящее время вычислительная томография представляет собой сформировавшееся научное направление со своим кругом задач и методами их решения. Важнейшей частью томографии является математическое и программное обеспечение, реализующее алгоритмы томографической реконструкции.

1.1. Разновидности вычислительной томографии и области их применения

Можно указать следующие виды вычислительной томографии, уже развитые в большей или меньшей степени: радионуклидная томография; рентгеновская томография; протонно-ионная томография; ЯМР-томография; ультразвуковая томография; томография в радио диапазоне; оптическая томография; ЭПР-томография.

Но при всем разнообразии видов томографии, по свойствам изучаемых объектов их можно разделить на два больших класса: трансмиссионную вычислительную томографию и эмиссионную вычислительную томографию. В трансмиссионной вычислительной томографии внешнее излучение зондирует пассивный (неизлучающий) объект, частично поглощаясь им. В эмиссионной вычислительной томографии активный (излучающий) объект представляет собой пространственное распределение источников излучения, при этом выходящее вдоль какого-либо направления излучение является суперпозицией излучений всех источников, лежащих на линии проецирования.

С точки зрения математического аппарата задача реконструктивной вычислительной томографии представляет собой восстановление функции нескольких (не менее двух) переменных по известным интегралам от неё вдоль некоторых многообразий (как правило, вдоль прямых). И. Радон предложил способ обращения интегрального преобразования, получившего его имя (преобразование Радона), благодаря которому стало возможно восстанавливать изначальную функцию, зная её преобразование. Значительные усилия большого числа исследователей были сосредоточены на разработке достаточно эффективных в вычислительном плане алгоритмов восстановления изображений и на преодолении трудностей, возникающих при исследовании реальных объектов. Из таких трудностей упомянем три, имеющие весьма общий характер.

Первая трудность возникает, например, в трансмиссионной рентгеновской томографии и связана с немонохроматичностью зондирующего рентгеновского излучения. Учёт этого обстоятельства приводит к значительному усложнению задачи томографического восстановления.

Ещё большая трудность возникает в эмиссионной томографии при учёте поглощения (самопоглощения) излучения внутри самосветящегося объекта. Даже самый простой случай постоянного внутри объекта и заранее известного коэффициента поглощения излучения приводит к возникновению нового интегрального преобразования, так называемого экспоненциального преобразования Радона, методы обращения которого были разработаны только в 1979-1981 гг. почти одновременно в Италии и в США: в Чикагском университете и университете Дрекселя, а также в Калифорнийском университете и Лоуренсовской лаборатории в Беркли.

Третья трудность возникает, когда нет возможности наблюдения (зондирования) объекта во всех направлениях, что является необходимым условием в методе обращения преобразования Радона. Возникает фундаментальная проблема реконструкции объекта по неполным проекционным данным. Решению этой проблемы посвящено большое количество работ, но она так и остается не решённой. Например, такая проблема возникает при экологическом мониторинге радиоактивного загрязнения приповерхностного слоя почвы, когда наблюдение объекта исследования со всех пространственных направлений невозможно.

Проблемой томографической реконструкции объектов при неполных проекционных данных занимаются учёные нескольких научных центров мира: в США, в Японии, в Германии, на Тайване, в России [2-4].

Вычислительная (компьютерная) реконструктивная томография представляет собой пример научного направления, проникающего практически во все области науки и техники, в которых применяются или могут быть применены какие-либо виды излучений.

К основным приложениям реконструктивной томографии могут относиться: медицинская диагностика, неразрушающая диагностика промышленных изделий, системы безопасности, реконструкция объектов в электронной микроскопии, задачи геофизики.

1.1.1. Медицинская томография

Томография биологических объектов и тканей является очень важной задачей, имеющей огромное прикладное значение для современной медицины. С её помощью получают необходимую диагностическую информацию о заболеваниях и травматических повреждениях. Одним из важнейших требований, предъявляемых к любому методу медицинской диагностики, является его безопасность для пациента. Рентгеновская томография неизбежно связана с облучением. Необходимо уменьшение дозы облучения, которое может быть достигнуто сокращением количества регистрируемых данных. При использовании стандартных математических алгоритмов, применяемых в современной томографии, это ведёт к понижению качества получаемых изображений. Чтобы сохранить приемлемую точность реконструкции в таких условиях требуется разработка специальных методов [5-8].

1.1.2. Томография в строительстве и дефектоскопии

Методы компьютерной томографии сегодня активно используются для выявления различных дефектов в строительстве, наряду с другими физическими методами (ультразвуковой контроль, капиллярный контроль, магнитно-порошковый контроль, визуально-измерительный контроль) являются надежным и высокоэффективным средством для выявления возможных дефектов. Требует наличия специально подготовленных специалистов, специализированного оборудования и вспомогательных средств контроля.

Наличие таких дефектов, как трещины, включения инородных материалов, шлаки и поры приводит к тому, что рентгеновские лучи ослабляются в той или иной степени. Регистрируя при помощи детекторов их интенсивность, можно определить наличие, а также расположение различных неоднородностей материала.

Проведение дефектоскопии с применением рентгеновского просвечивания материалов является наиболее достоверным способом контроля сварных соединений и основного металла, позволяющим наглядно определять вид и характер выявленных дефектов, достаточно точно определять их месторасположение, а также архивировать результаты контроля.

Основные возможности рентгеновского контроля: возможность обнаружить такие дефекты, которые невозможно выявить любым другим методом - например, непропаев, раковин и других; возможность точной локализации обнаруженных дефектов, что дает возможность быстрого ремонта; возможность оценки величины выпуклости и вогнутости валиков усиления сварного шва [9 - 18].

1.1.3. Системы безопасности

Методы томографии могут быть использованы не только в медицине, но и в таких областях, как системы безопасности и досмотра.

Применение современных установок и систем обнаружения взрывных устройств может существенно повысить безопасность аэропортов, но даже совершенная система такого назначения имеет ограниченные возможности и стоит очень дорого.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Важенцева, Надежда Владимировна, 2014 год

Список цитируемой литературы

1. Левин Г.Г., Вишняков Г.Н.. Оптическая томография. Москва: Радио и связь, 1989. 224 с.

2. Davis, J.R., Morgan, M.J., Wells P., Shadbolt P., Suendermann В., "X-ray computed tomography. II. Implementation and examples," Australian Physicist, Vol. December, 1986. pp. 273-276.

3. Симонов E.H. Рентгеновская компьютерная томография. Снежинск: РФЯЦ - ВНИИТФ, 2003. 364 с.

4. Терещенко С.А. Методы вычислительной томографии. Москва: Физматлит, 2004. 320 с.

5. Габуния Р.И., Колесникова Е.К.. Основы компьютерной томографии. Москва: Медицина, 1985.

6. Хофер М. Компьютерная томография. Базовое руководство. Москва: Медицинская литература, 2006. 208 с.

7. Блинов Н.Н., "Методы компьютерной томографии в медицине," Здравоохранение и медицинская техника, Т. 17, № 3, 2005. С. 10-11.

8. Kalender W.A. Computed Tomography: Fundamentals, System Technology, Image Quality, Applications. 3rd ed. 2011. 372 pp.

9. Вайнберг Э.И., Вайнберг И.А., "Опыт применения и актуальные проблемы промышленной компьютерной томографии," Тез. докладов научно-технической конференции "Томография", 2005.

10. Вайнберг Э.И., Клюев В.В., Курозаев В.П. Промышленная рентгеновская вычислительная томография // Приборы для неразрушающего контроля материалов и изделий: Справочник. Москва: Машиностроение, 1986. 399-472 с.

11. Клюев В.В., Вайнберг Э.И., Казак И.А. и др., "Вычислительная томография - новый радиационный метод неразрушающего контроля," Дефектоскопия, Т. 3, 1980. С. 42-60.

12. Епифанцев Б.Н., Гусев Е.А., Матвеев В.И., Соснин Ф.Р. Контроль излучениями: Практ. пособие. Москва: Высшая школа, 1992. 321 с.

13. Жуков Ю.А., Карлов Ю.К., Косых В.П., Обидин Ю.В., Поташников А.К., Чащин СБ., "Компьютерная томография в задачах контроля сварных соединений ТВЭЛ," Автометрия, Т. 4, 1997. С. 43-50.

14. Вайнберг Э.И., Клюев В.В. Современное состояние и проблемы развития промышленной рентгеновской вычислительной томографии // V Всесоюзный симпозиум по вычислительной томографии: Тез. докладов. Москва. 1991. С. 283.

15. Гущин В.А., Коган М.Р., Шухурт Г.А., "Экспериментальное, определение интегрального эффективного коэффициента поглош;ения рентгеновского излучения при рентгенометрическом контроле градиента плотности," Дефектоскопия, Т. 1, 1988. С. 67-70.

16. Завьялкин Ф.М., Удод В.А., "Оценка разрешающей способности радиометрических систем," Дефектоскопия., Т. 9, 1987. С. 36-39.

17. Голубев И.В., Сысоев Е.В., Чугуй Ю.В., "Измерение поверхностных дефектов на основе низкокогерентной интерферометрии," Датчики и системы, Т. 6, 1999. С. 25-29.

18. Филонин О. В., Явцев В. Ф., "Методы малоракурсной вычислительной томографии в диагностике сварных соединений," Техническая диагностика и неразрушающий контроль, Т. 2, 1989. С. 3442.

19. Техника для спецслужб: Бюро научно-технической информации: [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.bnti.ru/showart.asp?aid=79&lvl=02.

20. Бугер П. Оптический трактат о градации света. Академии Наук СССР, 1950. 484 с.

21. Гордон Р. Восстановление по проекциям в медицине и астрономии // В кн.: Построение изображений в астрономии по функциям когерентности. Москва: Мир, 1982. С. 306-3013.

22. Hounsfield G.N., "Computerized transverse axial scanning (tomography): Part I. description of the system," British Journal of Radiology, Vol. 46, 1973. pp. 1016-1022.

23. Herman G.T. Image Reconstruction from Projections: Implementaton and Applications. Berlin and New York: Springer-Verlag,

1979. 252 pp.

24. Herman G.T. The Fundamentals of Computerized Tomography: Image Reconstruction from Projections. 2nd ed. Springer, 2010. 300 pp.

25. Hiriyannaiah H.P., "X-ray Computed Tomography for Medical Imaging," IEEE Signal Processing Magazine, Vol. 14, No. 1, 1997. pp. 42-59.

26. Cormak A.M., "Representation of a function by its line integrals, with some radiological applications," J. Appl. Phis., Vol. 34, No. 9, 1963. pp. 2722-2727.

27. Lavrentiev M.M., Zerkal S.M., Trofimov O.E. Computer Modelling in Tomography and Ill-Posed Problems. VSP, 2001. 128 pp.

28. Лаврентьев M.M., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. Москва: Наука,

1980. 288 с.

29. Хелгасон С. Преобразование Радона. Москва: Мир, 1983.

30. Троицкий И.Н. Статистическая теория томографии. Москва: Радио и связь, 1989. 240 с.

31. Natterer F. The Mathematics of Computerized Tomography. New York: John Wiley & Sons, 1986.

32. Colsher J.G., "Iterative three-dimensional image reconstruction from tomographic projections study," Computer Graphics and Image Processing, Vol. 6, 1977. pp. 513-537.

33. Gordon R., "A tutorial on ART (Algebraic reconstruction techniques)," IEEE Transactions on Nuclear Sciences, Vol. 21, No. 3, 1974. pp. 78-93.

34. Goitein M., "Three-dimensional density reconstruction from a series of two-dimensional projections," Nuclear Instruments and Methods, Vol. 101, 1972. pp. 509-518.

35. Herman G.T., Lent A., "Iterative reconstruction algorithms," Computers in Biology and Medicine, Vol. 6, 1976. pp. 273-294.

36. "Реконструктивная вычислительная томография: Тематический вып.," ТИИЭР, Т. 71, № з, 1983. С. 192.

37. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. 2004. 400 с.

38. Тихонов А.Н., "Об устойчивости обратных задач," ДАН СССР, Т. 39, № 4, 1943. С. 195-198.

39. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. Москва: Наука, 1978. 351 с.

40. Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г.. Численные методы решения некорректных задач. Москва: Наука, 1990. 232 с.

41. Тихонов A. H., Арсенин В. Я., Тимонов А. А. Математические задачи компьютерной томографии. Москва: Наука, 1987. 160 с.

42. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. Москва: Наука, 1986. 287 с.

43. Г. Старк, редактор. Реконструкция изображений. Пер с англ. Москва: Мир, 1992. 636 с.

44. Павлинский Г.В. Основы физики рентгеновского излучения. Учеб.пособие. Иркутск. 1999. 165 с.

45. Lipschutz, Seymour, and Lipson, Mark, "Schaum's Outlines: Linear Algebra," Tata McGraw-hill edition, 2001. pp. 69-80.

46. Касьянова С. H., Трофимов О. Е. , "Формулы обращения для томографической реконструкции при использовании плоского детектора," Автометрия, № 3, 2000. С. 32-44.

47. Антюфеев B.C., "Регуляризация решения системы линейных алгебраических уравнений методом максимального правдоподобия," Сиб. журн. вычисл. матем., Т. 16, № 3, 2013. С. 217-228.

48. Хозяинова М.Г., "К вопросу о применении методов регуляризации для идентификации технологических систем," Фундаментальные исследования, Т. 8, 2007. С. 45-47.

49. Казарян M.JL, "Применение метода регуляризации Тихонова к задаче сжатия сигналов," Матем. моделирование, Т. 20, № 4, 2008. С. 8-26.

50. Менихес Л.Д., "К теории регуляризации интегральных уравнений," Известия Уральского госуниверситета. (Серия: Математика. Механика. Информатика. Выпуск 11.), Т. 58, 58. С. 138-154.

51. Менихес Л.Д., "Об одном достаточном условии регуляризируемости линейных обратных задач," Математические заметки, Т. 82, № 2, 2007. С. 242-247.

52. Тихонов А.Н., "О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации," ДАН СССР, Т. 151, № 3, 1963. С. 501-504.

53. Тихонов А.Н., "О регуляризации некорректно поставленных задач," ДАН СССР, Т. 153, № 1, 1963. С. 49-52.

54. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. Москва: Наука, 1987. 239 с.

55. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. Москва: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1976. 544 с.

56. Грузман И.С., "Математические задачи компьютерной томографии," Соросовский образовательный журнал, Т. 7, № 5, 2001.

57. АН A.M., Melegy Z., Morsy M., Megahid R. M., Bucherl Т., Lehmann E.H, "Image reconstruction techniques using projection data from transmission method," Annals of Nuclear Energy, Vol. 31, No. 12, 2004. pp. 1415-1428.

58. Ценсор Я., "Методы реконструкции изображений, основанные на разложении в конечные ряды," ТИИЭР, Т. 71, № 3, 1983. С. 148-160.

59. Herman G.T., Rowland S.W., "Three methods for reconstructing objects from X rays: A comparative study," Computer Graphics and Image Processing, Vol. 2, 1973. pp. 151-178.

60. Косых В.П., Обидин Ю.В., Поташников A.K. Сравнительный анализ алгоритмов реконструкции для станции томографического контроля ТВЭЛов. Распознавание образов и анализ изображений // Труды IV Межд. конференции, РОАИ-4-98, Новосибирск, 11-18 октября, 1998 - Ч. II. Новосибирск. 1998. С. 37-41.

61. Курозаев В.П., Власов В.И. О восстановлении изображений в вычислительной томографии по неполному ' набору проекций // I Всесоюзный симпозиум по вычислительной томографии Новосибирск, 19-23 декабря 1983 года. Тез. докладов. Новосибирск. 1983. С. 55.

62. Карпенко В.В., "Применение для неразрушающего контроля методов вычислительной томографии в условиях недостаточности данных," Дефектоскопия, 1985. С. 2428.

63. Bracewell R.N., Wemecke S.J., "Image reconstruction over a finite field of view," J. Opt. Soc. Am., Vol. 65, No. 11, 1975. pp. 1342-1346.

64. Филонин O.B., "Малоракурсная томография в неразрушающем контроле материалов и изделий," Материалы Всероссийской научно-технической конференции по радиоэлектронике, 2003.

65. Филонин О.В., "Малоракурсная оптическая 3D томография для исследования процессов воспламенения и горения," Прикладная физика, Т. 3, 2007. С. 90-102.

66. Гельфанд И.М., Граев М.И., Виленкин Н.Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений. Москва: Физматлит, 1962. 656 с.

67. Маергойз JI.C., Тарханов H.H., "Аналог теоремы Пэли-Винера и его приложения к оптимальному восстановлению целых функций," Уфимский математический журнал, Т. 3, № 1, 2011. С. 16-30.

68. Вельтмандер П.В. Машинная графика. Вводный курс. Книга 1. Новосибирск: НГУ, 1997.

69. Роджерс Д. Алгоритмические основы машинной графики. Москва: Мир, 1978.

70. Шикин Е.В., Боресков A.B., Зайцев A.A. Начала компьютерной графики. Москва: Диалог-МИФИ, 1993.

71. Shepp L.A., Logan B.F., "The Fourier reconstruction of a head section," IEEE Transactions on Nuclear Science, Vol. 21, No. 3, 1974.

72. Троелсен Э. Язык программирования C# 5.0 и платформа.ЫЕТ 4.5. 6-е изд. Вильяме, 2013. 1311 с.

73. Лабор В.В. Visual С# - Создание приложений для Windows. Минкс: Харвест, 2003.

74. Нейгел К., Ивьен Б., Глинн Д., Уотсон К., Скиннер М. С# 2008 и платформаЛ^ 3.5 для профессионалов. Диалектика, 2009. 1392 с.

75. Нолета Т., редактор. Сейсмическая томография. Москва: Мир, 1990.415 с.

76. Зеркаль С.М., "Томографическая диагностика скоростного распределения в сейсмических средах," Автометрия, Т. 44, № 1, 2008. С. 82-91.

77. Зеркаль С.М., Хогоев Е.А., "Итерационная технология сейсмотомографической диагностики на основе кинематики рефрагированных волн," Доклады РАН, Т. 4, № 401, 2005. С. 526-528.

78. Лаврентьев М.М., Бронников A.B., Воскобойников Ю.Е., Зеркаль С.М., Хогоев Е.А. , "Сейсмическая томография сред с квазилинейным изменением скорости, содержащих поглощающие включения," Известия РАН. Серия Физика Земли, Т. 6, 1995. С. 26-31.

79. Зеркаль С.М., "Определение непрозрачных зон в Земле методом компьютерной томографии в кинематической постановке," Док. АН СССР, Т. 317, № 2, 1991. С. 330-333.

80. Гольдин С.В., "К теории лучевой сейсмической томографии. Часть I. Преобразование Радона в полосе и его обращение," Геол. и геофиз., Т. 37, № 5, 1996. С. 3-18.

81. Гольдин С.В., "К теории лучевой сейсмической томографии. Часть II. Обратные задачи для однородных референтных сред," Геол. и геофиз, Т. 37, № 9, 1996. С. 14-25.

82. Em-Gal М. The shadow transformation: an approash to cross-sectional imaging. 1974.

83. Peres A., "Tomographic reconstruction from limited angular data," Computer Assisted Tomography, Vol. 3, No. 6, 1979. pp. 800-803.

84. Louis A.K., "Picture reconstruction from projections in restricted range," Mathematical Methods in the Applied Sciences, Vol. 2, No. 2, 1980. pp. 209-220.

85. Louis A.K., "Incomplete data problems in x-ray computerized tomography," Numerische Mathematik, Vol. 48, No. 3, 1986. pp. 251-262.

86. Saito Т., Kudo H.. Tomographic image reconstruction from discretely. 1987.

87. Prince J. L., Willsky A. S., "Constrained sinogram restoration for limited-angle tomography," Optical Engineering, Vol. 29, No. 5, 1990. pp. 35-544.

88. Лихачёв A.B., "Алгоритм пополнения проекционных данных в задачах томографии с ограниченным диапазоном углов обзора," Автометрия, Т. 45, № 1, 2009. С. 83-91.