Разработка устойчивых методов реконструкции изображений с применением вейвлет-преобразования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.17, кандидат физико-математических наук Лавров, Семен Александрович

• Лавров, Семен Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лавров, Семен Александрович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР РЕКОНСТРУКЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ В РЕНТГЕНОВСКОЙ КОМПЬЮТЕРНОЙ ТОМОГРАФИИ.

1.1 Принципы получения информации о структуре исследуемого объекта.

1.2 Вейвлеты как основа разработки фильтров проекционных данных и изображений.

1.3 Обзор методов решения задачи рентгеновской компьютерной томографии.

Выводы по главе 1.

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЕКЦИОННЫХ ДАННЫХ И РЕКОНСТРУКЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ В РЕНТГЕНОВСКОЙ КОМПЬЮТЕРНОЙ ТОМОГРАФИИ.

2.1 Моделирование проекционных данных.

2.2 Реконструкция томографического изображения для параллельной геометрии сканирования.

2.3 Реконструкция томографического изображения для веерной геометрии сканирования.

Выводы по главе 2.

ГЛАВА 3. АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ПРОЦЕССА УСКОРЕНИЯ РЕКОНСТРУКЦИИ В РЕНТГЕНОВСКОЙ КОМПЬЮТЕРНОЙ ТОМОГРАФИИ.

3.1 Перегруппировка проекционных данных из веерной в параллельную геометрию сканирования.

3.2 Уровень ошибки реконструкции.

3.3 Анализ уровня ошибки при перегруппировке.

Выводы по главе 3.

ГЛАВА 4. УЛУЧШЕНИЕ КАЧЕСТВА РЕКОНСТРУКЦИИ В РЕНТГЕНОВСКОЙ КОМПЬЮТЕРНОЙ ТОМОГРАФИИ С ПРИМЕНЕНИЕМ ВЕЙВ ЛЕТ-ФИЛЬТРАЦИИ.

4.1 Аддитивный белый гауссовский шум и проекционные данные.

4.2 Применение кратномасштабного анализа в теории вейвлетов для фильтрации проекционных данных и изображений.

4.3 Количественная оценка вейвлет-фильтрации.

4.4 Погрешность реконструкции при использовании методов вейвлет-фильтрации

4.5 Апробация результатов диссертации и практическая ценность.

Выводы по главе 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка устойчивых методов реконструкции изображений с применением вейвлет-преобразования»

Актуальность темы

Рентгеновская компьютерная томография как научное направление сформировалась в конце 20-го столетия. За короткий период она стала одним из мощных методов в исследовании внутреннего состояния неоднородных объектов через их визуализацию.

Практическое применение рентгеновская компьютерная томография, в силу своих уникальных свойств по измерению и визуализации плотности в любой точке объема исследуемого объекта, нашла в различных областях науки и техники: в медицинских исследованиях (лучевая диагностика), в определении параметров внутреннего состояния физических и биологических объектов (диагностика плазмы, объемная конфигурация макромолекул и т.д.), в интроскопии технических устройств и систем (диагностика и контроль тепловыделяющих элементов атомных реакторов, лопаток турбин авиационных двигателей и т.д.) [25, 29, 31, 33, 65].

Одной из главных задач в современной рентгеновской компьютерной томографии является повышение качества томографических изображений.

Томографический процесс от начала исследования объекта до получения изображения заключается в следующем. Сквозь объект пропускают пучок рентгеновских лучей. В результате некоторое количество квантов поглощается веществом, которое находится внутри объекта, детекторы регистрируют число квантов, вышедших из объекта, полученная разница и является интегральной характеристикой плотности по лучу, расположенному от излучателя до детектора. Этот процесс повторяется, но уже для других ракурсов излучателя и детекторов, столько, сколько необходимо исследователю. Затем по полученным данным с помощью компьютера и соответствующего программного обеспечения проводится процесс восстановления внутренней структуры объекта и вывод его в виде томограммы (реконструкции изображения плотности исследуемой области объекта).

На качество томограмм влияют факторы процесса их реконструкции. Одними из важных факторов являются качество проекционных данных (погрешность, шум), по которым проводится реконструкция изображения, и алгоритм реконструкции, который должен быть устойчивым к погрешностям и шумам проекционных данных.

В диссертации рассматриваются методы, позволяющие усовершенствовать алгоритмы реконструкции томографического изображения с целью улучшения качества проекционных данных и изображений и повышающие устойчивость алгоритмов реконструкции. В основе этих исследований лежит вейвлет-анализ одномерных и двумерных сигналов [3, 12]. Цель и задачи исследования

Цель данной работы состояла в разработке методов, позволяющих повысить качество томографических изображений для алгоритма реконструкции, основанного на интегральном методе, - методе свертки, обратном проецировании и вейвлет-фильтрации проекционных данных.

Для исследования алгоритма реконструкции с вейвлет-фильтрацией проекционных данных необходимо разработать на основании математической модели, описывающей физические процессы, происходящие при распространении рентгеновского излучения в исследуемом объекте, алгоритмы моделирования проекционных данных, а также исследовать методы ускорения процесса реконструкции.

Таким образом, для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Разработать алгоритм реконструкции томографического изображения с вейвлет-фильтрацией проекционных данных, повышающий устойчивость реконструкции и качество реконструируемого изображения.

2. Разработать алгоритмы, позволяющие проводить математическое моделирование проекционных данных при различных условиях сканирования объектов (веерного, параллельного).

3. Разработать методы ускорения процесса реконструкции томографического изображения на основе перегруппировки («перепаковки») веерных проекционных данных в параллельные.

4. Разработать программное обеспечение процесса реконструкции томографического изображения и моделирования проекционных данных с «дружественным» интерфейсом (создать эмулятор рентгеновского компьютерного томографа).

Научная новизна

1. Разработан новый устойчивый интегральный алгоритм реконструкции томографического изображения с применением вейвлет-фильтрации проекционных данных, повышающий устойчивость реконструкции и качество реконструируемого изображения.

2. Предложен новый алгоритм моделирования проекционных данных для исследования устойчивости алгоритмов реконструкции томографического изображения.

3. Разработан алгоритм, позволяющий ускорить процесс реконструкции томографического изображения в два раза без потери устойчивости (качества изображения), основанный на перегруппировке проекционных данных из веерной геометрии в параллельную.

4. На основе разработанного метода повышения устойчивости реконструкции томографического изображения с применением вейвлет-фильтрации создано новое программное обеспечение (реконструктор томографического изображения), с помощью которого можно проводить моделирование проекционных данных, исследование устойчивости алгоритмов реконструкции и эксперименты в области рентгеновской компьютерной томографии. Реконструктор может быть интегрирован в существующие программные системы, применяемые для решения практических задач в реальных рентгеновских компьютерных томографических комплексах.

Теоретическая ценность работы

Исследования в данной работе показали улучшение качества томографических изображений путем применения алгоритма реконструкции, основанного на методе свертки, обратном проецировании и вейвлет-фильтрации шумов проекционных данных и изображений.

Научные результаты работы нашли применение в производственной деятельности научно-производственного объединения ЗАО «Тестрон».

Применение разработанного реконструктора томографического изображения позволило существенно повысить быстродействие процесса реконструкции методом перегруппировки веерных проекционных данных в параллельные и повысить точность реконструкции за счет вейвлет-фильтрации исходных данных.

Использование разработанного программного обеспечения, реализующего описанные методы, позволило провести ряд модельных экспериментов, обеспечило повышение скорости и точности восстановления структуры объектов.

При проведении исследований в томографической системе для проверки трубопроводов и сварных соединений разработанное программное обеспечение позволило провести сравнение характеристик различных алгоритмов реконструкции и обеспечить наглядную визуализацию результатов.

Разработан эмулятор рентгеновского компьютерного томографа. Эмулятор представляет собой программный комплекс, позволяющий моделировать проекционные данные, а также проводить реконструкцию томографических изображений по модельным и реальным проекционным данным. Апробация работы

Основные положения диссертационной работы, разработанные методы, алгоритмы и результаты вычислительных экспериментов докладывались автором на следующих конференциях: международной научно-практической конференции «Снежинск и Наука - 2009. Современные проблемы атомной науки и техники», всероссийской научной конференции «Научная сессия НИЯУ МИФИ-2011».

По теме диссертации опубликовано десять печатных работ, четыре из которых размещены в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных в действующем перечне высшей аттестационной комиссии, одна в зарубежном научном журнале:

- Лавров С.А., Симонов E.H. Влияние "перепаковки" проекций пучка излучения из веерной геометрии в параллельную на качество томографических изображений // ВАНТ: Математическое моделирование физических процессов. 2009. Вып.4. С.78-84.

- Лавров С.А., Симонов E.H. Алгоритм преобразования проекционных данных веерной геометрии в параллельную при реконструкции томографических изображений // Медицинская техника. 2010. №3. С.41-47.

- Лавров С.А., Симонов E.H. Реконструкция и анализ томографических изображений для веерной геометрии и преобразования в геометрию параллельного пучка // Медицинская физика. 2009. №1. С. 66-73.

- Lavrov S.A., Simonov E.N. Effect of regrouping of projecting data from fan to parallel geometry in reconstruction of tomographic images // Biomedical Engineering. 2010. Vol. 44, №3. P. 114-120.

- Лавров C.A., Симонов E.H. Влияние параметров "перепаковки" проекционных данных веерной геометрии в параллельную при реконструкции томографических изображений: Сборник научных трудов. Международная науч.-практ. конф. "Снежинск и Наука - 2009. Современные проблемы атомной науки и техники". 2009. С. 56-66.

- Лавров С.А., Симонов E.H. Реконструкция томографических изображений с использованием вейвлет-фильтрации и обратного проецирования // Всероссийская научная конференция «Научная сессия НИЯУ МИФИ -2011»: Аннотации докладов, 2011. С. 50.

- Лавров С.А., Симонов E.H. Реконструкция томографических изображений методом обратного проецирования с использованием вейвлетфильтрации проекционных данных // Медицинская физика. 2011. №1. С. 59-68.

- Лавров С.А., Симонов E.H. Свидетельство о государственной регистрации программы реконструции томографических изображений для ЭВМ «Реконструктор» № 2011612631 от 31.03.2011.

- Лавров С.А. Повышение устойчивости алгоритмов реконструкции томографических изображений: Материалы международной заочной науч.-практ. конф. "Инновации в науке". 2012. Часть 1. С. 10-21.

- Лавров С.А. Дискретный подход моделирования проекционных данных для параллельной геометрии сканирования в рентгеновской томографии: Материалы региональной науч.-практ. конф. «Молодежь и наука». 2012. Т. 1. С. 24-31.

Заключение диссертации по теме «Теоретические основы информатики», Лавров, Семен Александрович

Основные результаты диссертационной работы

На защиту выносятся следующие новые научные результаты:

1. Интегральный алгоритм реконструкции томографического изображения с применением вейвлет-фильтрации проекционных данных, повышающий устойчивость реконструкции и качество реконструируемого изображения.

2. Алгоритмы моделирования проекционных данных в параллельной и веерной геометрии пучков рентгеновского излучения для исследования устойчивости алгоритмов реконструкции томографического изображения.

3. Алгоритм, позволяющий ускорить процесс реконструкции томографического изображения в два раза без потери устойчивости (качества изображения), основанный на перегруппировке проекционных данных из веерной геометрии в параллельную.

4. Программное обеспечение реконструктора томографического изображения для параллельного и веерного пучков рентгеновского излучения, однослойного, многослойного и спирального сканирования с применением вейвлет-фильтрации, позволяющего проводить моделирование проекционных данных, исследование устойчивости алгоритмов реконструкции и эксперименты в области рентгеновской компьютерной томографии.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие результаты:

1) Разработан устойчивый интегральный алгоритм реконструкции томографического изображения с применением вейвлет-фильтрации проекционных данных.

2) Разработан новый алгоритм вычисления преобразования Радона, позволяющий получать проекционные данные для различных геометрий сканирования (параллельной, веерной).

3) Разработано программное обеспечение для реконструкции томографического изображения, основанное на методе свертки, обратном проецировании со стандартными ядрами свертки и вейвлет-фильтрации проекционных данных.

4) Ускорен в два раза процесс реконструкции томографического изображения путем применения перегруппировки веерных проекционных данных в параллельные.

5) Произведен анализ влияния параметров перегруппировки на устойчивость реконструкции (значение погрешности) в реконструируемых изображениях.

6) Получено оптимальное число детекторов и ракурсов при перегруппировке.

7) Разработан новый метод фильтрации проекционных данных, основанный на синтезе пороговой обработки и равномерного квантования вейв-лет-коэффициентов.

8) Исследовано влияние вейвлет-фильтрации проекционных данных на качество получаемых изображений. Приведены сравнительные оценки устойчивости (уровней ошибки реконструируемых изображений) для разработанного алгоритма с вейвлет-фильтрацией и для существующих методов повышения устойчивости реконструкции, основанных на усечении высоких пространственных частот объекта исследования и методе регуляризации Тихонова. Результаты исследований разработанного алгоритма реконструкции с применением вейвлет-фильтрации проекционных данных показывают значительное уменьшение уровня ошибки в реконструированных изображениях (на 2-4 %).

На основе полученных результатов разработано программное обеспечение реконструктора томографического изображения (эмулятор рентгеновского компьютерного томографа), с помощью которого можно проводить моделирование проекционных данных, исследование устойчивости алгоритмов реконструкции и эксперименты в области рентгеновской компьютерной томографии. Программное обеспечение разработано с помощью объектно-ориентированного языка программирования С#.

Научные результаты работы нашли применение в производственной деятельности научно-производственного объединения ЗАО "Тестрон".

Применение разработанного реконструктора томографического изображения позволило существенно повысить быстродействие процесса реконструкции методом перегруппировки веерных проекционных данных в параллельные (в два раза) и повысить точность реконструкции за счет вейвлет-фильтрации исходных данных (на 2-4 %).

Использование разработанного программного обеспечения, реализующего описанные методы, позволило провести ряд модельных экспериментов, обеспечило повышение скорости и точности восстановления структуры объектов.

При проведении исследований в томографической системе для проверки трубопроводов и сварных соединений разработанное программное обеспечение позволило провести сравнение характеристик различных алгоритмов реконструкции и обеспечить наглядную визуализацию результатов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лавров, Семен Александрович, 2012 год

1. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения//УФН. 1996. Т. 166. 11. С. 1145-1170.

2. Бейтс Р., Мак-Доннелл М. Восстановление и реконструкция изображений. М.: Мир, 1989. 336 с.

3. Борисенко H.A., Фертман А.Д. Автоматизированный анализ экспериментальных данных с применением вейвлет-преобразования // Приборы и техника эксперимента. 2003. №2. С. 28-34.

4. Борн М., Вольф Э. Основы оптики: Пер. с англ. М.: Наука, 1973. 720 с.

5. Бугер П. Оптический трактат о градации света. Пер. с франц. Изд. Академии Наук СССР, 1950. 478 с.

6. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Киев: Наук. Думка, 1986. 544 с.

7. Гуров И.П., Сизиков B.C., Щекотин Д.С. Методы восстановления изображений в рентгеновской томографии. Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. 2003. №11. С. 97-104.

8. Давенпорт В.Б., Рут B.JI. Введение в теорию случайных сигналов и шумов. Пер. с англ. М.: Изд-во иностранной литературы, 1960. 468 с.

9. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 464 с.

10. Добрушин P.JI. Избранные работы по математической физике. МЦНМО, 2007. 720 с.

11. Дремин И.М., Иванов О.В., Нечитайло В.А. Вейвлеты и их использование // Успехи физических наук. 2001. Т.171, №5. С. 465-501.

12. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике. Изд.2-е, перераб. и доп. М.: СОЛОН-Пресс, 2004. 400 с.

13. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 206 с.

14. Иванов И.В., Попов В.Ю. Конформные отображения и их применения. М.: Едиториал УРСС, 2002. 324 с.

15. Календер В. Компьютерная томография. Основы, техника, качество изображений и области клинического использования. Пер. с англ. М.: Техносфера, 2006. 344 с.

16. Лавров С.А., Симонов E.H. Алгоритм преобразования проекционных данных веерной геометрии в параллельную при реконструкции томографических изображений // Медицинская техника. 2010. №3. С. 41-47.

17. Лавров С.А., Симонов E.H. Влияние "перепаковки" проекций пучка излучения из веерной геометрии в параллельную на качество томографических изображений // ВАНТ: Математическое моделирование физических процессов. 2009. Вып. 4. С. 78-84.

18. Лавров С.А. Дискретный подход моделирования проекционных данных для параллельной геометрии сканирования в рентгеновской томографии: Материалы региональной науч.-практ. конф. «Молодежь и наука». 2012. Т. 1.С. 24-31.

19. Лавров С.А. Повышение устойчивости алгоритмов реконструкции томографических изображений: Материалы международной заочной науч.-практ. конф. "Инновации в науке". 2012. Часть 1. С. 10-21.

20. Лавров С.А., Симонов E.H. Реконструкция и анализ томографических изображений для веерной геометрии и преобразования в геометрию параллельного пучка // Медицинская физика. 2009. №1. С. 66-73.

21. Лавров С.А., Симонов E.H. Реконструкция томографических изображений методом обратного проецирования с использованием вейвлетфильтрации проекционных данных // Медицинская физика. 2011. №1. С. 59-68.

22. Лавров С.А., Симонов E.H. Свидетельство о государственной регистрации программы реконструции томографических изображений для ЭВМ «Реконструктор» № 2011612631 от 31.03.2011.

23. Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов. Пер. с англ. М.: Мир, 2005. 672 с.

24. Марусина М.Я., Казначеева А.О. Современные виды томографии. СПб: СПбГУ ИТМО, 2006. 132 с.

25. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. Пер. с англ. М.: Мир, 1990. 288 с.

26. Патрикеев И.А., Фрик П.Г. Вейвлет-томография в условиях шума // Мат. моделир. сист. и процессов: Сб. научн. тр. / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 1997. №5. С. 86-92.

27. Петров Ю.П., Сизиков B.C. Корректные, некорректные и промежуточные задачи с приложениями: Учебное пособие для вузов. СПб: Политехника, 2003. 261 с.

28. Пикалов В.В., Мельникова Т.С. Томография плазмы. Новосибирск: Наука, 1995. 229с.

29. Пикалов В.В., Непомнящий A.B. Итерационный алгоритм с вэйвлет-фильтрацией в задаче двумерной томографии // Вычислительные методы и программирование. 2003. Т.4. С. 244-253.

30. Привалова Е.С. Возможности компьютерной томографии в нейрохирургической практике // Украинский медицинский вестник. 2000. №4(18). С. 81-89.

31. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. Пер. с англ. М.: Мир, 1978. 835 с.

32. Семенов В.Ю. Компьютерная томография в практике муниципального здравоохранения российской федерации. М.: Медкнига, 2007. 192 с.

33. Смоленцев H.K. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в Matlab. М.: LVR Пресс, 2005. 304 с.

34. Соболь И.М. Метод Монте-Карло. М., «Наука», 1968. 64 с.

35. Терещенко С.А. Вычислительная томография. М.: МГИЭТ (ТУ), 1995. 76 с.

36. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. 3-е изд. М.: Наука, 1986. 288с.

37. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Тимонов A.A. Математические задачи компьютерной томографии. М.: Наука, 1987. 160 с.

38. Тихонов А.Н., Гончарский A.B., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990. 232 с.

39. Троицкий И.Н. Статистическая теория томографии. М.: Радио и связь, 1989. 240 с.

40. Хелгасон С. Преобразование Радона. Пер. с англ. М.: Мир, 1983. 152 с.

41. Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям: Основы реконструктивной томографии. Пер. с англ. М.: Мир, 1983. 352 с.

42. Штарк Г.-Г. Применение вейвлетов для ЦОС. Пер. с англ. М.: Техносфера, 2007. 192 с.

43. Щекотин Д.С. Сравнение и развитие различных методов реконструкции изображений в рентгеновской томографии // Современные направления приборостроения, информационных и гуманитарных наук. Сборник научных трудов. СПб: СПбГУ ИТМО. 2004. Т.2. С. 247-254.

44. Aldroubi A., Unser М. Wavelets in medicine and biology. Boca Raton: CRC Press, 1996.

45. Berenstein C., and Walnut D. Local Inversion of the Radon Transform in Even Dimensions Using Wavelets. Center For The Applications Of Mathematics, George Mason University, Reference: CAM-21/93, 1993.

46. Bhatia M., Karl W.C., Willsky A.S. A Wavelet-based Method for Multiscale Tomographic Reconstruction // IEEE Trans.Med. Imag. 1996. 15. № 1. P. 92101.

47. Birge L., Massart P. From model selection to adaptive estimation, in D. Pollard, Festchrift for L. Le Cam, Springer, 1997. P. 55-88.

48. Birge L., Massart P. Gaussian model selection. J. Eur. Math. Soc. 3, 2001. P. 203-268.

49. Bracewell R.N. Fourier analysis and imaging. Springer, 2004. 704p.

50. Candès E. J., Wakin M. B., Boyd S. P., Enhancing Sparsity by Reweighted 11 Minimization // J Fourier Anal Appl. 2008. 14. P. 877-905.

51. Chang S.G., Yu B., Vetterli M. Spatially adaptive wavelet thresholding with context modeling for image denoising. IEEE Transactions on Image Processing, 2000. Vol. 9, №9. P. 1522-1531.

52. Coifman R., Donoho D. Translation-invariant De-noising, in Wavelets and Statistics, Antoniadis, A. and Oppenheim, G., Eds. Springer-Verlag, 1995.

53. Daubechies I. Orthonormal bases of compactly supported wavelets. Communications in Pure and Applied Mathematics 41, 1988. P. 909- 996.

54. Daubechies I. The wavelet transform, time-frequency localization and signal analysis // IEEE Trans. Inform. Theory. 1990. Vol. 36. P. 961-1005.

55. DeStefano J., and Olson T. Wavelet Localization of the Radon Transform in Even Dimensions. Proceedings of the IEEE-SP International Symposium on Time-Frequency and Time-Scale Analysis, October 1992. P. 137-140.

56. Donoho D. De-noising by soft-thresholding // IEEE Trans. Inform. Theory. 1995. 41, №3. P. 613-627.

57. Donoho D. Nonlinear solution of linear inverse problems by wavelet-vaguelette decompositions // Journal of Applied and Computational Harmonic Analysis, 1995. Vol. 2, №2. P. 101-126.

58. Donoho D., Johnstone I. Adapting to Unknown Smoothness via Wavelet Shrinkage // Journal of American Statistics Association, 1995. Vol. 90, №432. P. 1200-1224.

59. Donoho D., Johnstone I. Ideal spatial adaptation via wavelet shrinkage. -Biometrika, 1994. Vol. 81. P. 425-455.

60. Gao H. Wavelet shrinkage denoising using the non-negative garrote // J. Comp. Graph. Statist. 1998. Vol. 7. P. 469-488.

61. Jae S. Lim. Two-dimensional signal and image processing. Prentice Hall signal processing series, 1990. 694 p.

62. Jin Yinpeng, Angelini E., Laine A. Wavelets in medical image processing: de-noising, segmentation, and registration. 2004. 66 p.

63. Kronland Martinet R., Morlet J., Grossmann A. Analysis of sound patterns through wavelet transforms, Internat // J. Pattern Recognition and Artificial Intelligence. 1987. 1. P. 677-680.

64. Laine A., Schuler S., Fan J., Huda W. Mammographic feature enhancement by multiscale analysis, IEEE Trans. Medical Imaging, 1994. Vol. 13. № 4. P. 725-740.

65. Lavrov S.A., Simonov E.N. Effect of regrouping of projecting data from fan to parallel geometry in reconstruction of tomographic images // Biomedical Engineering. 2010. Vol. 44, №3. P. 114-120.

66. Lin F., Chen Y. et al. A wavelet-based approximation of surface coil sensitivity profiles. // Human brain mapping. 2003. Vol. 19. P. 96-111.

67. Louis A.K., Maass D., Rieder A. Wavelets: theory and applications. 1997. 342 p.

68. Mallat S. A theory for multiresolution signal decomposition: the wavelet representation, IEEE Trans. PAMI, 1989. 11. P. 674-693.

69. Mallat S. Multifrequency channel decompositions of images and wavelet models, IEEE Trans. Acoust. Signal Speech Process., 1989. 37. P. 2091-2110.

70. Mallat S. Multiresolution approximation and wavelet orthonormal basis of LA2(R) // Trans. AMS, 1989. Vol. 315.

71. Peyrin F., Zaim M., and Goutte R. Multiscale Reconstruction of Tomographic Images. Proceedings of the IEEE-SP International Symposium on Time-Frequency and Time-Scale Analysis, October 1992. P. 219-222.

72. Sahiner B., and Yagle A. E. Image Reconstruction From Projections Under Wavelet Constraints, to appear in IEEE Transactions on Signal Processing, December 1993.

73. Sahiner B., and Yagle A. E. Limited Angle Tomography Using the Wavelet Transform. Preprint, October 1993.

74. Shchekotin D., Sizikov V. Enhancement of tomographic image quality by means of a regularization method // Proc. Int. Topical Meeting on Optical Sensing and Artificial Vision. Saint Petersburg, 2004. Vol. 1. P. 370-375.

75. Shepp L.A., Logan B.F. The Fourier reconstruction of a head section, IEEE Trans. Nucl. Sei., NS-21, 1974. P. 21-43.

76. Stein C. Estimation of the mean of a multivariate normal distribution. Annals of Statistics, 1981. Vol. 9. P. 1135-1151.

77. Theußl T. On windowing for gradient estimation in volume visualization // Institute of computer graphics. Vienna university of technology, 1998. 14 p.

78. Young, Randy K. Wavelet theory and its applications. Kluwer academic publishers, 2007. 244 p.