Методы расчета напряженного состояния в области контакта пространственного трансверсально изотопного тела тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Давтян, Давид Борисович

• Давтян, Давид Борисович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Давтян, Давид Борисович

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 4 ГЛАВА 1. ДЕЙСТВИЕ НАГРУЗКИ НА ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНОЕ ТЕЛО

1.1. Задача о действии сосредоточенной силы на трансверсально изотропное полупространство, когда плоскости изотропии перпендикулярны его границе

1.1.1. Постановка задачи

1.1.2. Метод интегральных преобразований

1.2. Расчет перемещений поверхности полупространства

1.3. Выводы по главе 1 33 ГЛАВА 2. МЕТОДЫ РАСЧЕТА КОНТАКТНОГО НАПРЯЖЕНИЯ

ПРИ КОНЕЧНЫХ ОБЛАСТЯХ КОНТАКТА

2.1. Контактная задача для заданной эллиптической области кон- 34 такта

2.1.1. Эллипс контакта вытянут вдоль оси г

2.1.2. Эллипс контакта вытянут вдоль оси у

2.1.3. Эллиптический в плане штамп с полиномиальным ос- 43 нованием

2.2. Контактная задача при заранее неизвестной области контакта.

Численные эксперименты

2.2.1. Контактная задача

2.2.2. Численные эксперименты

2.2.3. Взаимодействие штампов

2.3. Выводы по главе 2 65 ГЛАВА 3. МЕТОДЫ РАСЧЕТА КОНТАКТНОГО НАПРЯЖЕНИЯ

ПРИ ПОЛУБЕСКОНЕЧНЫХ ОБЛАСТЯХ КОНТАКТА

3.1. Контактная задача для полосовой области контакта

3.1.1. Постановка задачи и регулярный асимптотический

метод

3.1.2. Сингулярный асимптотический метод

3.1.3. Замкнутое решение

3.1.4. Метод ортогональных функций

3.2. Контактная задача для клиновидной области контакта

3.2.1. Постановка задачи

3.2.2. Метод преобразования Меллина и метод Галеркина

3.3. Выводы по главе 3 98 Выводы по работе 99 Список использованных источников 102 Приложение 1. Программа расчета контактного давления по методу

Галанова

Приложение 2. Сравнение решений. Эксперимент

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы расчета напряженного состояния в области контакта пространственного трансверсально изотопного тела»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Одним из аспектов проблемы обманутых дольщиков является старение бетонных конструкций, брошенных строительными компаниями порой на 5-10 лет. Старение бетона (часто это только фундамент и 0-2 этажа) происходит как за счет циклов нагрева-охлаждения, так и за счет химического воздействия (кислотные дожди). Состаренный бетон обладает специфической анизотропией (трансверсально изотропное тело) [91], с. 22, требующей анализа его прочности и расчета контактных напряжений. К трансверсально изотропным материалам также относятся современные волокнистые композиты [91], широко используемые в различных областях (например, в строительстве). Яркий пример — самое высокое в мире переносное здание (15 м, 5 этажей, г.Базель, Швейцария, 2011 г.), построенное из ОРКР-композита (усиленный волокнами стеклопластик) [116], с.З, легкое, разборное. Актуален расчет контактных напряжений в подобных конструкциях. Горные породы также обычно моделируются трансверсально изотропным упругим телом (47 горных пород указаны в [38]), при этом плоскости изотропии могут быть ориентированы под углом к поверхности тонной породы.

Настоящая диссертация посвящена разработке методов решения ряда новых трехмерных статических контактных задач для трансверсально изотропного упругого тела, моделируемого полупространством, когда плоскости изотропии перпендикулярны поверхности полупространства и области контакта. Для расчетов выбраны как абстрактные материалы, так и широко востребованные в технике материалы, проявляющие трансверсально изотропные свойства: титан (судостроение), цинк, бериллий, кобальт, оксиды алюминия и цинка, графит (металлургическая и химическая промышленность, реакторостроение), древесина, состаренные бетоны (строительство), бедренная кость (медицина), сапфир, керамика, карбид кремния, сульфид кадмия (полупроводниковая промышленность), композит (60% волокна), углеволокно (авиастроение), и др., см. [91],

с. 22-23, где приведены 5 упругих постоянных этих и др. материалов, экспериментально установленные зарубежными исследователями в последние десятилетия. Ранее некоторые из этих материалов упрощенно считали изотропными (2 упругих параметра). Большую область применения имеют эпоксидные материалы (в [91] даны параметры упругости эпоксидного стекла и эпоксидного графита). Это связующие материалы для стекло- и углепластиков, которые применяются в строительстве (ремонт железобетонных конструкций, дорог, аэродромов, склеивание конструкций мостов, трубопроводы, емкости химических производств), судостроении (судовые гребные винты, лопатки компрессоров) и т.д. Эти материалы отличает атмосферная стойкость, химстойкость, теплостойкость, прочность (в том числе при низких температурах).

Задачи механики контактного взаимодействия являются актуальными как с точки зрения фундаментальных вопросов теории, так и с точки зрения различных приложений, поскольку позволяют оценить напряжения в зоне контакта и контактную прочность. В математическом плане контактные задачи интересны тем, что они, в основном, являются задачами со смешанными граничными условиями, которые, как правило, сводятся к интегральным уравнениям, требующим развития специфических методов решения. В практическом — лишь в результате высокоточных расчетов (в том числе на контактную прочность и жесткость совокупности взаимодействующих деталей) возможно повышение надежности и снижение металлоемкости машин и механизмов.

В ХХ-м столетии решение задач теории упругости со смешанными граничными условиями привлекает внимание многих ученых и специалистов научно-исследовательских организаций и высших учебных заведений. Среди них ведущую роль занимают Институт проблем механики Российской академии наук (Москва), НИИ механики и прикладной математики им. И.И. Воровича Южного федерального университета (Ростов-на-Дону), Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Донской государственный технический университет (ДГТУ) и др. Значительный вклад в становление и развитие механики контактного взаимодействия внесли ученые С.М. Айзикович, В.М. Алек-

сандров, Ю.А. Антипов, В.А. Бабешко, A.A. Баблоян, A.B. Белоконь, В.Н. Бер-кович, Н.М. Бородачев, Ф.М. Бородич, А.О. Ватульян, И.И. Ворович, Б.А. Галанов, JI.A. Галин, Е.В. Глушков, Р.В. Гольдштейн, А.Г. Горшков, И.Г. Горячева, A.A. Евтушенко, А.Б. Ефимов, В.В. Калинчук, Е.В. Коваленко, A.C. Кравчук, A.B. Манжиров, В.И. Моссаковский, С.М. Мхитарян, Б.М. Нуллер, О.В. Онищук, В.В. Панасюк, В.З. Партон, П.И. Перлин, Б.Е. Победря, Д.А. Пожарский, Г.Я. Попов, B.C. Проценко, О.Д. Пряхина, Ю.Н. Работнов, B.JI. Рвачев, Б.И. Сметанин, Б.В. Соболь, Д.В. Тарлаковский, В.М. Толкачев, А.Ф. Улитко, Я.С. Уфлянд, М.И. Чебаков, И.Я. Штаерман, J.R. Barber, V.l. Fabrikant, G.M.L. Gladwell, K.L. Johnson, J.J. Kalker, L.M. Keer и др.

Соответствие плану научных работ. Работа выполнена при поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований 12-01-00065-а «Трехмерные контактные и смешанные задачи для однородных, составных, неоднородных упругих областей в форме клина, слоя и полупространства» и темы госзадания «Математические методы в задачах механики для тел с усложненными свойствами» (№ госрегистрации 114030640001).

Цель и объект исследования. Целью диссертационной работы является получение новых знаний о напряженно-деформируемом состоянии трехмерного трансверсально изотропного упругого тела, моделируемого полупространством, изготовленного из широко востребованных материалов, при контакте в областях различной формы, когда плоскости изотропии перпендикулярны области контакта. Указанное упругое тело и его напряженное состояние в области контакта является объектом исследования.

Идея работы заключается в постановке новых контактных задач и разработке методов их решения на основе классической трехмерной теории упругости анизотропных тел. Выбран такой случай трехмерной анизотропии, что осе-симметричная постановка контактных задач в принципе неосуществима: при внедрении кругового в плане штампа в полупространство область контакта не будет круговой.

Методы исследования. Теоретические исследования и вычислительные

эксперименты, практические результаты работы основываются на основных законах классической механики деформируемого твердого тела, методах механики контактного взаимодействия, теории упругости, методах вычислительной математики, математического и функционального анализа. Используются асимптотические методы, метод Ньютона, метод Бубнова-Галеркина, метод Галанова. Полученные результаты для подтверждения достоверности проверялись совпадением с известными в частных случаях.

Основные научные положения, защищаемые автором:

- не содержащий квадратур компонент фундаментального решения (нормальное перемещение) для трансверсально изотропного упругого полупространства, когда плоскости изотропии перпендикулярны его поверхности, играющий ключевую роль при решении контактной задачи с неизвестной областью контакта; ?

- основанное на построенном компоненте фундаментального решения определение нормальных перемещений поверхности трансверсально изотропного упругого полупространства, когда плоскости изотропии перпендикулярны его поверхности, позволяющее характеризовать свойства поверхности востребованных в технике материалов; :

- метод решения задач о взаимодействии эллиптического в плане штампа с трансверсально изотропным упругим полупространством, когда плоскости изотропии перпендикулярны заданной области контакта;

- метод решения контактных задач с неизвестной областью контакта для трансверсально изотропного упругого полупространства, когда плоскости изотропии перпендикулярны области контакта;

- методы решения (асимптотические, ортогональных функций) задач о взаимодействии полосового в плане штампа с трансверсально изотропным упругим полупространством, когда плоскости изотропии перпендикулярны заданной области контакта;

- метод решения задач о взаимодействии клиновидного в плане штампа с трансверсально изотропным полупространством, когда плоскости изотропии перпендикулярны заданной области контакта.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- получены математические модели контактного взаимодействия анизотропных тел, имеющих плоскости изотропии, когда эти плоскости перпендикулярны области контакта; при этом тела могут быть изготовлены из востребованных в технике материалов (титан, кобальт, цинк, графит, углеволокно, композит, сапфир, древесина, бетоны и др.);

- впервые получен не содержащий квадратур компонент фундаментального решения для трансверсально изотропного упругого полупространства, когда плоскости изотропии перпендикулярны его поверхности;

- впервые исследованы нормальные перемещения поверхности трансверсально изотропного упругого полупространства, когда плоскости изотропии перпендикулярны его поверхности;

- найдены новые точные решения задач о взаимодействии штампа в форме эллиптического параболоида с трансверсально изотропным упругим полупространством, когда плоскости изотропии перпендикулярны заданной области контакта;

- впервые метод Галанова модифицирован для решения контактных задач с неизвестной областью контакта для трансверсально изотропного упругого полупространства, когда плоскости изотропии перпендикулярны области контакта;

- впервые построены асимптотические решения (регулярное и сингулярное) задач о взаимодействии полосового в плане штампа с трансверсально изотропным упругим полупространством, когда плоскости изотропии перпендикулярны заданной области контакта;

- впервые построены численно-аналитические решения задач о взаимодействии клиновидного в плане штампа с трансверсально изотропным упругим полупространством, когда плоскости изотропии перпендикулярны заданной

4 1'' ■ * ■ I < 1 > . , , ,,

области контакта, исследованы особенности контактного напряжения в кончике клиновидного штампа;

Обоснованность и достоверность результатов обеспечивается математической корректностью постановок решаемых задач, применением строгих математических аналитических и численных методов решения, совпадением результатов при применении для решения одной и той же задачи разных методов, совпадением результатов в частных случаях с известными результатами.

Научное значение результатов исследований. Развиты численные и аналитические методы решения трехмерных контактных задач при учете анизотропии специального вида, встречающейся у ряда востребованных в технике материалов. Разработанные методы решения трехмерных контактных задач для случая трансверсальной изотропии могут быть в будущем использованы для других более сложных случаев анизотропии, например, для случая ортотропно-го тела. Результаты могут быть использованы для контроля точности расчетов по прямым методам типа метода конечных элементов.

Практическая ценность работы. Анизотропные материалы, из которых могут быть изготовлены трехмерные тела, для которых получены решения новых контактных задач, включают такие широко востребованные материалы как титан, цинк, бериллий, кобальт (для металлов, обладающих трансверсально изотропными свойствами, характерна гексогональная кристаллическая решетка, обуславливающая слоистость структуры), оксиды алюминия и цинка, графит, древесина, бетоны, бедренная кость, сапфир, керамика, карбид кремния, сульфид кадмия, композит (60% волокна), углеволокно. Проведенные для таких материалов расчеты на контактную прочность могут найти применение в металлургической и химической промышленности, реакторостроении, строительстве, медицине, полупроводниковой промышленности, авиастроении, судостроении. Известны технические упругие константы 47 горных пород (алевролиты, филлиты, сланцы, песчаники, известняки, граниты, гранодиориты и др.) [38], для которых в первом приближении подходит модель трансверсально упругого тела.

Реализация работы. Полученные решения новых контактных задач и разработанные методы решения, вошедшие в настоящую диссертационную работу, используются в учебном процессе кафедрой «Прикладная математика» ДГТУ для обучения студентов специальности 230401 «Прикладная математика».

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на международной конференции «Современные проблемы механики, посвященной 100-летию Л.А. Галина» (Москва, ИПМ РАН, 2012 г.), на X международном научно-техническом форуме «Инновация, экология, ресурсосберегающие технологии (ИнЭРТ-2012)» (Ростов-на-Дону, ДГТУ, 2012 г.), на семинаре факультета математики и информатики технического университета Мюнхена (Германия, 2013), на 7-й международной научно-практической конференции «Состояние и перспективы развития сельскохозяйственного машиностроения» (Ростов-на-Дону, 2014), а также на ежегодных научных конференциях профессорско-преподавательского состава и сотрудников ДГТУ (Ростов-на-Дону, 2012, 2013, 2014 гг.).

Публикации. Основные материалы диссертации опубликованы в 7 печатных работах [13,29,30,51-54], в том числе 3 статьях в журналах, рекомендованных ВАК [29,52,54]. Статья [90] является переводом статьи [29].

Личный вклад автора. В совместных работах постановки задач и рекомендации по выбору методов решения принадлежат соавторам, аналитические и численные исследования и основные результаты — автору диссертационной работы.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 3-х глав, заключения, библиографического списка и приложений. Общий объем работы составляет 127 страниц машинописного текста, содержит 9 рисунков, 24 таблицы, список литературы из 119 наименований.

В первой главе рассмотрена задача о действии нагрузки на трансверсаль-но изотропное упругое полупространство, когда плоскости изотропии перпендикулярны его поверхности. Решение задачи получено при помощи метода ин-

тегральных преобразований. При использовании теории обобщенных функций выражение для нормального перемещения на границе полупространства, определяющее ядро интегрального уравнения при решении контактных задач, удалось получить в форме свободной от квадратур. Исследованы нормальные перемещения поверхности трансверсально изотропного упругого полупространства (плоскости изотропии перпендикулярны его поверхности) при действии на поверхности нормальной сосредоточенной силы. Свойства поверхности характеризуется величиной нормального перемещения точек, равноудаленных от точки приложения силы. Это позволяет классифицировать востребованные в технике материалы по нормальным перемещениям точек, расположенных на той или иной оси координат на поверхности тела. Проведены расчеты.

Во второй главе рассмотрены контактные задачи для конечных в плане областей контакта. Развит метод получения точного решения задач о взаимодействии эллиптического в плане штампа с трансверсально изотропным упругим полупространством, когда плоскости изотропии перпендикулярны заданной области контакта, а основание штампа является полиномом двух переменных. Эллипс контакта может быть вытянут в направлении той или иной оси координат на поверхности тела. Развит метод Галанова для решения контактных задач с неизвестной областью контакта: предложена регуляризация ядра интегрального уравнения, зависящая как от шагов сетки, так и от параметров анизотропии. Для отладки компьютерной программы использовано точное решение для эллиптического штампа. Проведен численный эксперимент.

В третьей главе рассмотрены контактные задачи для полубесконечных в плане областей контакта. Развиты методы решения (регулярный и сингулярный асимптотические, ортогональных функций) задач о взаимодействии волнистого полосового в плане штампа с трансверсально изотропным упругим полупространством, когда плоскости изотропии перпендикулярны заданной области контакта. Полоса контакта может быть вытянута в направлении той или иной оси координат на поверхности тела. Развит численно-аналитический, основанный на интегральном преобразовании Меллина, метод решения задач о взаимо-

действии клиновидного в плане штампа с трансверсально изотропным полупространством, когда плоскости изотропии перпендикулярны заданной области контакта. Сделаны расчеты.

В приложении 1 приведена компьютерная программа (язык Фортран) модифицированного метода Галанова для решения контактных задач с неизвестной областью контакта. В приложение 2 дано сравнение точных решений контактных задач, когда плоскости изотропии параллельны и перпендикулярны площадке контакта, приведены экспериментальные данные о соответствующем индентировании материала.

Невозможно перечислить все публикации, посвященные контактным задачам, число их огромно. Германский ученый Н. Hertz (Герц) [104] был в этой области одним из пионеров. Он получил решение контактной задачи еще в позапрошлом веке (для эллиптической области контакта), которое легло в основу многих расчетов на контактную прочность. Развитие техники требует в ряде случаев исследования контактной прочности деталей, механизмов, конструкций и сооружений. Возможность осуществления этого требования тесно связана с точным знанием действительного распределения напряжений в областях контакта. Без такого знания надежный расчет на прочность невозможен. Однако точное определение напряжений при контакте тел сложной (анизотропной) структуры является весьма трудной задачей. Экспериментальный путь решения на модели тела не обладает общностью. Поэтому желательно развитие теоретических способов определения распределения контактных напряжений в таких телах. Многие результаты решения плоских и пространственных контактных задач изложены в книгах [1,3-4,6-8,10-12,22,25-26,31-32,34-35,43-44,57,78,84]. В настоящей диссертации контактные задачи исследуются в рамках линейной теории упругости [31,3941,43-46,103,106,115]. Отметим, что при аналитическом исследовании контактных задач важную роль играют фундаментальные решения краевых задач математической теории упругости [39,40,86,88,109].

За рубежом для решения контактных задач зачастую применяется метод конечных элементов (МКЭ) [87], относящийся к числу прямых методов. Однако в трехмерных случаях, особенно при учете трения, при наличии особых точек, для полубесконечных тел этот метод может потребовать привлечения суперкомпьютеров. Поэтому важным представляется также развитие альтернативных методов, позволяющих для ряда случаев получить надежные решения, полезные и для контроля точности МКЭ. Здесь важным является метод интегральных преобразований [14,33,65,114], позволяющий в ряде случаев свести систему дифференциальных уравнений упругого равновесия частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, решаемой в явном виде.

Обзоры исследований контактных задач приведены в монографиях [43,57]. Динамическим контактным задачам посвящены, среди прочих, работы [12,15-17,42], причем в двух последних работах рассматривается случай орто-тропного слоя. Действие эллиптического в плане штампа с полиномиальным основанием на упругое изотропное полупространство рассматривалось в рабо-

г

тах [2,25,26], где установлена структура общего точного решения. Действие эллиптического в плане штампа на упругое пространственный клин рассматривалось в работе [107], где получено регулярное асимптотическое решение. Метод Галанова для решения трехмерных контактных задач с неизвестной областью контакта, основанный на сведении задачи к нелинейному интегральному уравнению типа Гаммерштейна, изложен в [23,24,48,111]. Для задачи о действии волнистого полосового штампа на упругое изотропное полупространство точное решение получено В.Л. Рвачевым [58] при использовании теории функций Матье [108]. Изучалось действие волнистого полосового штампа на упругий пространственный клин [5,47], на вязкоупругое основание [9]. Случай полосового штампа с плоской подошвой (отсутствие волны) соответствует плоской задаче. Контактные задачи для клиновидного в плане штампа исследовались в работах [82,85]. Контактные задачи при учете сил кулоновского трения рассматривались, среди прочих, в статьях [49-50,74-77,83,112]. Анализу контакт-

ного взаимодействия нескольких штампов посвящены, в частности, работы [10,63]. Герцевский контакта в присутствии внутренней силы Миндлина рассмотрен в статье [113]. В развитие асимптотических методов решения контактных задач значительный вклад внес В.М. Александров [3-8,79-81]. Им развиты регулярный и сингулярный асимптотические методы, причем последний метод напрямую связан с методом Винера-Хопфа [110]. Эти методы также развивались в работах учеников В.М. Александрова [4,6-8,62].

В настоящей диссертации делается попытка учесть анизотропию, точнее важный специальный ее случай, при исследовании трехмерных контактных задач. Упругой анизотропии посвящена известная монография С.Г. Лехницкого [38]. В общем трехмерном случае тензорный закон Гука иу=Ауиб*/ или Ву=а^<3и содержит 81=34 упругую постоянную А^ (или щи). При записи в матричной форме (6 компонент напряжений зависят от шести компонент деформаций) остается 36=6 упругих постоянных А у (или а у). При учете симметрии тензора напряжений, существования упругого потенциала остается уже 21 упругая постоянная. А при учете трех инвариантов симметричного тензора число независимых упругих постоянных будет равно 18. Согласно принципу Неймана упругая симметрия материалов связана с геометрической симметрией кристаллов. Существует 32 типа геометрической симметрии кристаллов и 7 видов кристаллических систем (триклиническая, моноклиническая, ромбическая, тетрагональная, тригональная, гексагональная и кубическая). Но существует только 9 видов упругой симметрии, определяемой законом Гука. Каждый вид упругой симметрии соответствует от 2 до 7 типам геометрической симметрии кристаллов. Напомним основные виды упругой симметрии (частные случаи анизотропии) [38].

1) Плоскость упругой симметрии, скажем, Оху (направления, симметричные относительно этой плоскости, эквивалентны). В этом случае

а14 = а24 = аЪ4 = а46 = а15 = а25 = а25 = а56 = 0.

Мы имеем 21-8=13 ненулевых упругих постоянных. Можно показать, что из них только 12 независимы. Для каждой точки ось г является единственным главным направлением.

2) Ортотропное тело: для каждой точки существуют три главных направления упругой симметрии, скажем, вдоль осей х, у, г. Примеры: стеклопластики, фанера. Тогда в добавку к указанным выше нулевым компонентам еще имеем

«16 = «26 = «36 = «45 = О-

Закон Гука содержит только 9 независимых упругих постоянных и имеет

вид

= «11^ + а12°у + д13стг,

= «12СТ* + а22ау + Я23С72,

= «13^ + а23су + а33аг,

Ууг=а44Хуг^ Ухг=а55Ххг> Уху~аЬЬ1ху-

3) Трансверсально изотропное тело: в теле существуют параллельные плоскости упругой симметрии, в которых все направления упруго-эквивалентны. Пусть ось 2 перпендикулярна плоскостям изотропии. Тогда закон Гука включает 5 независимых упругих постоянных и имеет вид

-оисх+а12ау+а13аг,

еу=а12ох+апау+а13аг,

У ух - «44 *уг> У хг ~ «44Тж:' Уху = ~ «12 )Хху-

Примерами являются следующие важные в технике материалы (для кри-

сталлов здесь характерна гексагональная структура): титан, цинк, бериллий,

кобальт, оксиды алюминия и цинка, графит, древесина (ель Дугласа), бедренная

кость, сапфир, керамика, карбид кремния, сульфид кадмия, композит (60% волокна), углеволокно и др., см. [91], где на с. 22-23 приведены 5 упругих постоянных этих и др. материалов, экспериментально установленные зарубежными исследователями в последние десятилетия (в [91] даны ссылки на соответст-

вующие работы).

4) Изотропное упругое тело: здесь все направления эквиваленты с точки зрения упругой симметрии. Можно показать, что остается только 2 независимые упругие постоянные. Закон Гука можно представить в форме

Здесь Е — модуль Юнга, v — коэффициент Пуассона, С — модуль сдвига, причем

с = Е 2(1 +у)'

Примеры изотропных материалов: железо, сталь (кубическая кристаллическая решетка).

Пионерскими в области трансверсально изотропного упругого тела можно считать известные работы Эллиота [92,93]. В случае полупространства ранее обычно предполагалось, что плоскости изотропии параллельны границе полупространства [10,28,57,66-73,89,91,94]. При рассмотрении контактных задач для такого полупространства ядро интегрального уравнения оказывается совпадающим с ядром контактной задачи для изотропного полупространства [57]. Исследована осесимметричная контактная задача [69], оценено влияние сдвигающей силы и опрокидывающего момента на цилиндрический штамп, сцепленный с полупространством [67]. Рассматривалась осесимметричная контактная задача термоупругости для трансверсально изотропного полупространства [28]. Было получено точное решение осесимметричной контактной задачи для штампа, сцепленного с трансверсально изотропным полупространством [94]. Вопросам взаимодействия нескольких штампов на трансверсально изотропном полупространстве уделено место в монографии [10]. Изучались различные ва-

рианты смешанных задач для трансверсально изотропного полупространства [68,70,71,73]. Отметим, что связь между контактными задачами для полупространства и задачами о трещинах (математических разрезах) в пространстве, известная для изотропного материала [34], сохраняется и для трансверально изотропного материала [99,100,118,119].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Давтян, Давид Борисович, 2014 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ источников

1 Айзикович, С.М. Контактные задачи теории упругости для неоднородных сред / С.М. Айзикович, В.М. Александров, A.B. Белоконь, Л.И. Кренев, И.С. Трубчик.— М.: Физматлит, 2006. — 236 с.

2 Александров, В.М. О действии эллиптического штампа на упругое полупространство / В.М. Александров // Авторефераты научно-исследовательских работ за 1959 г. — Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1960. — С. 45—47.

3 Александров, В.М. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями / В.М. Александров, Е.В. Коваленко. — М.: Наука, 1986. —336 с.

4 Александров, В.М. Контактные задачи в машиностроении / В.М. Александров, Б.Л. Ромалис. — М.: Машиностроение, 1986. — 176 с.

5 Александров, В.М. Действие полосового штампа на упругий пространственный клин / В.М. Александров, Д.А. Пожарский // Прикладная механика. — 1992. — Т. 28, № 1. — С. 56—62.

6 Александров, В.М. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах / В.М. Александров, Б.И. Сметанин, Б.В. Соболь. — М.: Наука, 1993. — 224 с.

7 Александров, В.М. Неклассические пространственные задачи механики контактных взаимодействий упругих тел / В.М. Александров, Д.А. Пожарский.

— М.: Факториал, 1998. — 288 с.

8 Александров, В.М. Аналитические методы в контактных задачах теории упругости / В.М. Александров, М.И. Чебаков. — М.: Физматлит, 2004.

— 301 с.

9 Александров, В.М. Движение полосового штампа с постоянной скоростью по границе вязкоупругого основания / В.М. Александров, A.B. Марк // Известия РАН. Механика твердого тела. — 2009. — № 1. — С. 135—142.

10 Аргатов, И.И. Основы теории упругого дискретного контакта / И.И. Аргатов, H.H. Дмитриев. — СПб.: Политехника, 2003. — 233 с.

11 Аргатов, И.И. Асимптотические модели упругого контакта / И.И. Аргатов. — СПб: Наука, 2005. — 448 с.

12 Бабешко, В.А. Динамика неоднородных линейно-упругих сред / В.А. Бабешко, Е.В. Глушков, Ж.Ф. Зинченко. — М.: Наука, 1989. — 343 с.

13 Бедоидзе, М.В. Контактные задачи о взаимодействии штампов / М.В. Бедоидзе, Д.Б. Давтян // Материалы 7-й междунар. науч.-практ. конф. «Состояние и перспективы развития сельскохозяйственного машиностроения» (Ростов-на-Дону, 25-27 февраля 2014). — Ростов-на-Дону: ДГТУ, 2014. — С. 181—182.

14 Бейтмен, Г. Таблицы интегральных преобразований. В 2 т. Т. 1. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. — М.: Наука, 1969. — 343 с.

15 Беркович, В.Н. Метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах динамической теории упругости для клиновидных областей / В.Н. Беркович. — Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.02.04 «механика деформируемого твердого тела». — Ростов-на-Дону: ЮФУ, 2011.— 454 с.

16 Ватульян, А.О. Возбуждение волн колеблющимся штампом в анизотропном слое / А.О. Ватульян, Т.В. Коренева, М.Г. Селезнев // Известия Академии наук Армянской ССР. Механика. — 1975. — Т. 28, № 4.

17 Ватульян, А.О. О некоторых динамических контактных задачах для ортотропного слоя / А.О. Ватульян // Известия ВШ. — 1976. — № 4.

18 Ватульян, А.О. Контактная задача со сцеплением для анизотропного слоя / А.О. Ватульян // Прикладная математика и механика. — 1977. — Т. 41, вып. 4. — С. 727—734.

19 Ватульян, А.О. О действии жесткого штампа на ортотропный слой / А.О. Ватульян // Известия Академии наук Армянской ССР. Механика. — 1978. — Т. 31, №4. —С. 31— 42.

20 Ватульян, А.О. Об одном интегральном уравнении и его приложении к контактным задачам / А.О. Ватульян // Тезисы Всесоюзной конференции по теории упругости. — Ереван, 1979.

21 Ватульян, А.О. О действии жесткого штампа на анизотропное полупространство / А.О. Ватульян // Статические и динамические исмешанные задачи теории упругости. — Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1983. — С. 112—115.

22 Ворович, И.И. Неклассические смешанные задачи теории упругости / И.И. Ворович, В.М. Александров, В.А. Бабешко. — М.: Наука, 1974. — 455 с.

23 Галанов, Б.А. Метод граничных уравнений типа Гаммерштейна для контактных задач теории упругости в случае неизвестных областей контакта / Б.А. Галанов // Прикладная математика и механика. — 1985. — Т. 49, вып. 5.— С. 827—835.

24 Галанов, Б.А. Нелинейные граничные уравнения контактных задач теории упругости / Б.А. Галанов // Доклады АН СССР. — 1987. — Т. 296, № 4 — С. 812—815.

25 Галин, JI.A. Контактные задачи теории упругости / JI.A. Галин. — М.: ГИТТЛ, 1953. —264 с.

26 Галин, Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости / Л.А. Галин. — М.: Наука, 1980. — 303 с.

27 Градштейн, И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. — 5-е изд. — М.: Наука, 1971. — 1108 с.

28 Грилицкий, Д.В. Осесимметричная контактная задача термоупругости для трансверсально изотропного полупространства / Д.В. Грилицкий, Б.Г. Шелестовский // Прикладная механика. — 1970. — Т. 6, № 8. — С. 3—8.

29 Давтян, Д.Б. Действие полосового штампа на трансверсально изотропное полупространство / Д.Б. Давтян, Д.А. Пожарский // Прикладная математика и механика. —2012. — Т. 76, вып. 5. — С. 783—794.

30 Давтян, Д.Б. Контактная задача для трансверсально изотропного полупространства / Д.Б. Давтян // Инновация, экология, ресурсосберегающие тех-

нологии (ИнЭРТ-2012). Труды X Международного научно-технического форума (Ростов-на-Дону, 9-11 октября 2012 г.). — Ростов-на-Дону: ДГТУ, 2012. — С. 188—191.

31 Демидов, С.П. Теория упругости: учебник для вузов / С.П. Демидов. — М.: Высш. школа, 1979. — 432 с.

32 Джонсон, К. Механика контактного взаимодействия / К. Джонсон. — М.: Мир, 1989. —509 с.

33 Диткин, В.А. Интегральные преобразования и операционное исчисление / В.А. Диткин, А.П. Прудников. — М.: Наука, 1974. — 542 с.

34 Довнорович, В.И. Пространственные контактные задачи теории упругости / В.И. Довнорович. — Минск: Изд-во БГУ, 1959. — 108 с.

35 Калинчук, В.В. Динамические контактные задачи для предварительно напряженных электроупругих сред /В.В. Калинчук, Т.И. Белянкова. — М.: Физматлит, 2006. — 272 с.

36 Кахиани, О.Н. О действии штампа на ортотропный слой конечной толщины / О.Н. Кахиани // Труды Грузинского Политехнического института.

— 1975. —№3.

37 Кахиани, О.Н. Смешанная задача для уравнений статики ортотропного упругого тела / О.Н. Кахиани // Труды Грузинского Политехнического института. — 1975. — № 3.

38 Лехницкий, С.Г. Теория упругости анизотропного тела / С.Г. Лехницкий. — М.: Наука, 1977. — 416 с.

39 Лурье, А.И. Пространственные задачи теории упругости / А.И. Лурье.

— М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1955. — 491 с.

40 Лурье, А.И. Теория упругости / А.И. Лурье. — М.: Наука, 1970. — 940

с.

41 Ляв, А. Математическая теория упругости / А. Ляв. — М.-Л.: ОНТИ, 1935. — 674 с.

42 Ляпин, A.A. Динамическая контактная задача для двухслойного полупространства со сферической полостью / A.A. Ляпин, А.Н. Румянцев, М.Г.

Селезнев // Прикладная математика и техническая физика. — 1991. — № 3. — С. 123—129.

43 Механика контактных взаимодействий / Под ред. И.И. Воровича и В.М. Александрова. — М.: Физматлит, 2001. — 672 с.

44 Мусхелишвили, Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н.И. Мусхелишвили. — 4-е изд. — М.: Изд-во АН СССР, 1953. —647 с.

45 Нейбер, Г. Концентрация напряжений / Г. Нейбер. — М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1947. — 204 с.

46 Партон, В.З. Методы математической теории упругости: учеб. пособие для вузов / В.З. Партон, П.И. Перлин. — М.: Наука, 1981. — 688 с.

47 Пожарский, Д.А. К задаче о действии полосового штампа на упругий пространственный клин с одной свободной от напряжений гранью / Д.А. Пожарский // Прикладная механика. — 1994. — Т. 30, № 5. — С. 42—48.

48 Пожарский, Д.А. О пространственной контактной задаче для упругого клина с неизвестной областью контакта / Д.А. Пожарский // Прикладная математика и механика. — 1995. — Т. 59, вып. 5. — С. 812—818.

49 Пожарский, Д.А. Трехмерная контактная задача для упругого клина при учете сил трения в неизвестной области контакта / Д.А. Пожарский // Доклады АН.— 2000. — Т. 372, № 3. — С. 333—336.

50 Пожарский, Д.А. Пространственная контактная задача с трением для упругого клина / Д.А. Пожарский // Прикладная математика и механика. —2008. — Т. 72, вып. 5. — С. 852—860.

51 Пожарский, Д.А. Нетрадиционные контактные задачи для трансвер-сально изотропного полупространства / Д.А. Пожарский, Д.Б. Давтян // Тезисы докладов междунар. конф. «Современные проблемы механики», посвященной 100-летию JI.A. Галина» (Москва, ИПМех РАН, 20-21 сентября 2012г.). — М.: ИПМех РАН, 2012. — С. 70.

52 Пожарский, Д.А. Клиновидный штамп на трансверсально изотропном полупространстве / Д.А. Пожарский, Д.Б. Давтян, Е.А. Артамонова // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. —2013. — № 1. — С. 31—33.

53 Пожарский, Д.А. Контактные задачи для трансверсально изотропного полупространства / Д.А. Пожарский, Д.Б. Давтян // Развитие идей JI.A. Галина в механике. — М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2013. — С. 121—136.

54 Пожарский, Д.А. Трехмерная контактная задача для трансверсально изотропного тела / Д.А. Пожарский, Д.Б. Давтян // Вестник Донского государственного технического университета —2013. — Т. 13, № 7-8. — С. 22—26.

55 Прудников, А.П. Интегралы и ряды. Элементарные функции / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. — М.: Наука, 1981. — 798 с.

56 Прудников, А.П. Интегралы и ряды. Специальные функции / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. — М.: Наука, 1983. — 750 с.

57 Развитие теории контактных задач в СССР / Под ред. JI.A. Галина. — М.: Наука, 1976. —493 с.

58 Рвачев, B.JI. Давление на упругое полупространство штампа, имеющего в плане вид полосы / B.JI. Рвачев // Прикладная математика и механика. — 1956. — Т. 20, вып. 2. — С. 248—254.

59 Розенберг, В.М. Твердость / В.М. Розенберг // Физическая энциклопедия. Том. 5. / Под ред. Б.А. Введенского. — М.: Советская энциклопедия, 1966. — С. 123 с.

60 Саркисян, B.C. Некоторые задачи математической теории упругости анизотропного тела / B.C. Саркисян. — Ереван: Изд-во Ереванского ун-та, 1976.

61 Свекл о, В. А. Действие штампа на упругое полупространство / В. А. Свекло // Прикладная математика и механика. — 1970. — Т. 34, вып. 1. — С. 172—178.

62 Сметании, Б.И. Задачи о расклинивании упругих тел / Б.И. Сметанин // Статические и динамические смешанные задачи теории упругости. — Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1981. — С. 54—66.

63 Соболь, Б.В. Пространственная задача о контакте системы штампов с упругим слоем /Б.В. Соболь, И.М. Пешхоев // Экологический вестник научных центров ЧЭС. — 2011. — № 1. — С. 69—76.

64 Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган. — М.: Наука, 1979. — 832 с.

65 Уфлянд, Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости /Я.С. Уфлянд. — М.: Изд-во АН СССР, 1963. — 367 с.

66 Фабрикант, В.И. Действие сосредоточенной силы на трансверсально изотропное полупространство / В.И. Фабрикант // Известия вузов. Машиностроение. — 1970. — № 3. — С. 9—12.

67 Фабрикант, В.И. Влияние сдвигающей силы и опрокидывающего момента на цилиндрический штамп, сцепленный с трансверсально изотропным полупространством / В.И. Фабрикант // Прикладная математика и механика. — 1971, —Т. 35, вып. 1. —С. 178—182.

68 Фабрикант, В.И. Одна неосесимметричная смешанная задача для трансверсально изотропного полупространства / В.И. Фабрикант // Прикладная механика. — 1971. — Т. 7, № 3. — С. 36—40.

69 Фабрикант, В.И. Осесимметричная задача о штампе на трансверсально изотропном полупространстве / В.И. Фабрикант // Известия АН СССР. Механика твердого тела. — 1971. — № 6. — С. 141—146.

70 Фабрикант, В.И. Решение неосесимметричной краевой задача с круговой линией раздела граничных условий для трансверсально изотропного полупространства / В.И. Фабрикант // Известия АН УССР. Серия технических наук. — 1971. — № 3. — С. 93—96.

71 Фабрикант, В.И. Внешняя осесимметричная смешанная задача для трансверсально изотропного полупространства / В.И. Фабрикант // Прикладная математика и механика. — 1972. — Т. 36, вып. 6. — С. 947—951.

72 Фабрикант, В.И. Пространственная контактная задача для шероховатого штампа / В.И. Фабрикант // Прикладная механика. — 1974. — Т. 10, № 7. — С. 106—109.

73 Фабрикант, В.И. Внутренняя основная смешанная задача для трансверсально изотропного полупространства / В.И. Фабрикант // Известия АН СССР. Механика твердого тела. — 1975. — № 1. — С. 27—33.

74 Чебаков, М.И. Пространственные контактные задачи для слоя с учетом сил трения в зоне контакта / М.И. Чебаков, X. Лоренц // Современные проблемы механики сплошной среды: Труды 6-й межд. научн. конференции 1923.10.2000. — Ростов-на-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ, 2000. — С. 232—235.

75 Чебаков, М.И. Учет сил трения в пространственной контактной задаче для закрепленного слоя / М.И. Чебаков // Современные проблемы механики сплошной среды: Труды 7-й межд. научн. конференции памяти акад. РАН И.И. Воровича, 22-25.10.2001. — Ростов-на-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ, 2001. — С. 205—209.

76 Чебаков, М.И. Пространственная контактная задача для слоя с учетом трения в неизвестной области контакта / М.И. Чебаков // Доклады АН. — 2002.

— Т.383,№ 1. —С. 67—70.

77 Чебаков, М.И. Трехмерная контактная задача для слоя с учетом трения в неизвестной области контакта / М.И. Чебаков // Известия РАН. Механика твердого тела. — 2002. — № 6. — С. 59—68.

78 Штаерман, И.Я. Контактная задача теории упругости / И .Я. Штаерман.

— М.-Л.: Гостехиздат, 1949. — 272 с.

79 Aleksandrov, V.M. Asymptotic methods in contact problems of elasticity theory / V.M. Aleksandrov // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. — 1968. — Vol. 32, No. 4. — P. 691—703.

80 Aleksandrov, V.M. Asymptotic methods in the mechanics of continuous media: problems with mixed boundary conditions / V.M. Aleksandrov // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1993. — Vol. 57, No. 2. — P. 321—327.

81 Aleksandrov, V.M. An asymptotic method in contact problems / V.M. Aleksandrov, D.A. Pozharskii // Journal of Applied Mathematics and Mechanics — 1999. — Vol. 63, No. 2. — P. 283—290.

82 Aleksandrov, V.M. The problem of a wedge-shaped punch on the face of an elastic wedge / V.M. Aleksandrov, D.A. Pozharskii // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. — 1999. — Vol. 63, No. 1. — P. 141—144.

83 Aleksandrov, V.M. Three-dimensional contact problems with friction for an elastic wedge / V.M. Aleksandrov, M. Bach, D.A. Pozharskii // Mechanics of Solids. — 2001. — Vol. 36, No. 5. — P. 18—24.

84 Alexandrov, V.M. Three-dimensional contact problems / V.M. Alexandrov, D.A. Pozharskii. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2001. — 406 p.

85 Bach, M. 3-D Contact problems for elastic wedges with Coulomb friction / M. Bach, D.A. Pozharskii // Mathematical Methods in the Applied Sciences. — 2004. — Vol. 27, No. 2. — P. 193—220.

86 Boussinesq, J. Application des potentials à l'étude de l'équilibre et du mouvement des solides Élastiques / J. Boussinesq. — Paris: Gauthier-Villars, 1885.

87 Brenner, S.C. The mathematical theory of finite element method / S.C. Brenner, L.R. Scott. — New York: Springer, 2002. — 361 p.

88 Cerruti, V. Ricerche in torno all' equilibrio de corpi elastici isotropi / V. Cerruti // Atti accad. nazi. Lincei, Mem. Classe sci. fis., mat. e nat. — 1882. — Vol. 13. —P. 81.

89 Chen, W.-Q. Inclined circular flat punch on a transversely isotropic piezoelectric half-space / W.-Q. Chen // Archives of Applied Mechanics. — 1999. — Vol. 69. — P. 455—464.

90 Davtyan, D.B. The action of a strip punch on a transversely isotropic halfspace / D.B. Davtyan, D.A. Pozharskii // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. —2012. — Vol. 76, No. 5. — P. 558—566.

91 Ding, H. Elasticity of transversely isotropic materials / Haojiang Ding, Weiqiu Chen, L. Zhang. — Dordrecht: Springer, 2006. — 435 p.

92 Elliot, H.A. Three-dimensional stress distributions in hexagonal crystals / H.A. Elliot // Proceedings of Cambridge Philosophical Society. — 1948. — Vol. 44. — P. 522—533.

93 Elliot, H.A. Axial symmetric stress distributions in aeolotropic hexagonal crystals. The problem of plane and related problems / H.A. Elliot // Proceedings of Cambridge Philosophical Society. — 1949. — Vol. 45. — P. 621—630.

94 Fabrikant, V.l. Four types of exact solutions to the problem of an axisymmetric punch bonded to a transversely isotropic half-space / V.l. Fabrikant // International Journal of Engineering Science. — 1986. — Vol. 24, No. 5. — P. 785—801.

95 Fabrikant, V.l. Application of Potential Theory in Mechanics. Selection of New Results / V.l. Fabrikant. — Kluwer: Dordrecht, The Netherlands, 1989.

96 Fabrikant, V.l. Exact solution of external tangential contact problem for a transversely isotropic elastic half-space / V.l. Fabrikant // Archives of Applied Mechanics. — 2001. — Vol. 71. — P. 371—388.

97 Fabrikant, V.l. Elementary solution of contact problems for a transversely isotropic elastic layer bonded to a rigid foundation / V.l. Fabrikant // Zeitschrift für angewandte Mathematik and Physik. — 2006. — Vol. 57. — P. 464—490.

98 Fabrikant, V.l. Application of generalized images method to contact problems for a transversely isotropic elastic layer on a smooth half-space / V.l. Fabrikant // Archives of Applied Mechanics. — 2011. — Vol. 81. — P. 957—974.

99 Fabrikant, V.l. Non-traditional contact problem for transversely isotropic half-space / V.l. Fabrikant // Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. — 2011. — Vol. 64, No. 2. — P. 151—170.

100 Fabrikant, V.l. Non-traditional crack problem for transversely-isotropic body / V.l. Fabrikant // European Journal of Mechanics A / Solids. — 2011. — Vol. 30. —P. 902—912.

101 Fabrikant, V.l. Arbitrary point force in arbitrarily oriented transversely isotropic body / V.l. Fabrikant // Archives of Applied Mechanics. — 2013. — Vol. 83. — P. 533—548.

102 Fabrikant, V.l. Stress field around an arbitrary thin inclusion in a transversely isotropic elastic half-space / V.l. Fabrikant // Zeitschrift fur angewandte Mathematik and Physik. — 2013. — Vol. 64. — P. 1779—1795.

103 Hahn, H.G. Elastizitätstheorie / H.G. Hahn. — Stuttgart: Teubner. — 1985. —332 S.

104 Hertz, H. Über die Berührung fester elastischer Körper / H. Hertz // J. reine und angewandte Mathematik. — 1882. — Vol. 92. — P. 156—171.

105 Karapetian, E. The principle of correspondence between elastic and piezoelectric problems / E. Karapetian, M. Kachanov, I. Sevostianov // Archives of Applied Mechanics. — 2002. — Vol. 72. — P. 564—587.

106 Love, A.E.H. A treatise on the mathematical theory of elasticity / A.E.H. Love. — 4th ed. — London: Cambridge University Press, 1952. — 643 p.

107 Lubyagin, I.A. Embedding of a punch in the form of an elliptic paraboloid into an elastic spatial wedge / I.A. Lubyagin, D.A. Pozharskii, M.I. Chebakov // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. — 1992. —Vol. 56, N 2. — P. 244—252.

108 Mclachlan, N.W. Theory and application of Mathieu functions / N.M. Mclachlan. — London: Oxford University Press, 1951. — 401 p.

109 Mindlin, R.D. Force at a point in the interior of a semi-infinite solid / R.D. Mindlin // Physics. A Journal of General and Applied Physics. — 1936. —Vol. 7. — P. 195—202.

110 Noble, B. Methods based on the Wiener-Hopf technique for the solution of partial differential equations / B. Noble. — London: Pergamon Press, 1958. — 246

P-

111 Pozharskii, D.A. The spatial contact problem for an elastic wedge with unknown contact area / D.A. Pozharskii // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. — 1995. —Vol. 59, N 5.— P. 781—787.

112 Pozharskii, D.A. The three-dimensional contact problem for an elastic wedge taking friction forces into account / D.A. Pozharskii // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. — 2000. — Vol. 64, N 1. — P. 147—154.

113 Selvadurai, A.P.S. Hertzian contact in the presence of a Mindlin force / A.P.S. Selvadurai // Zeitschrift fur angewandte Mathematik and Physik. — 1990. — Vol.41. —P. 865—874.

114 Sneddon, I.N. The use of integral transforms / I.N. Sneddon. — New York: McGraw-Hill, 1972. — 539 p.

115 Sokolnikoff, I.S. Mathematical theory of elasticity / I.S. Sokolnikoff. — New York: McGraw-Hill, 1956. — 476 p.

116 Vassilopoulos, A.P. Fatigue of fiber-reinforced composites / A.P. Vassilopoulos, T. Keller. — London: Springer, 2011. — 238 p.

117 Willis, J.R. Hertzian contact of anisotropic bodies / J.R. Willis // Journal of Mechanics and Physics of Solids. — 1966. — Vol. 14. — P. 163—176.

118 Willis, J.R. The stress field around an elliptical crack in an anisotropic elastic medium / J.R. Willis // International Journal of Engineering Science. — 1968. — Vol. 6, No. 5. — P. 253—263.

119 Willis, J.R. The distribution of stress in anisotropic elastic body containing an exterior crack / J.R. Willis // International Journal of Engineering Science. — 1970. — Vol. 8, No. 7. — P. 559—574.