Осесимметричная задача о действии нормальной нагрузки на изотропное полупространство с упруго закрепленной границей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Залётов, Сергей Владиславович

• Залётов, Сергей Владиславович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Залётов, Сергей Владиславович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1.ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ДЕФОРМИРУЕМОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА

1.1.Осесимметричные смешанные задачи теории упругости для полупространства. Обзор литературы

1.2. Приложения смешанных задач для упругого полупространства

в механике горных пород и в строительной механике

1.3. Основные уравнения статики трехмерного упругого тела

1.4. Выводы по главе 1

ГЛАВА 2. ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА О ДЕФОРМАЦИИ ИЗОТРОПНОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА ПРИ УПРУГОМ ЗАКРЕПЛЕНИИ ГРАНИЦЫ ВНЕ ОБЛАСТИ ПРИЛОЖЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКИ

2.1. Математическая постановка задачи. Основные уравнения и граничные условия

2.2. Аналитическое решение осесимметричной смешанной задачи теории упругости для изотропного полупространства

2.3. Распределение напряжений и перемещений на границе упругого полупространства

2.4. Преобразование аналитического решения осесимметричной задачи

2.5. Частные случаи аналитического решения осесимметричной смешанной задачи

2.6. Равномерно распределенная нагрузка. Решение в точках упру -гого полупространства

2.7. Выводы по главе 2

ГЛАВА 3. ДЕЙСТВИЕ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ СИЛЫ НА ИЗОТРОПНОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО С УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОЙ ГРАНИЦЕЙ

3.1. Аналитическое решение осесимметричной смешанной

задачи о сосредоточенной силе

3.2. Задача Буссинеска

3.3. Компактная форма точного решения задачи о сосредоточен -ной силе, приложенной к упруго закрепленной поверхности полупространства

3.4. Численные исследования напряженного состояния упругого полупространства

3.5. Выводы по главе 3

ГЛАВА 4. ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПОЛУПРОСТРАН -СТВА С УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОЙ ГРАНИЦЕЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКИ

4.1. Решение интегрального уравнения в случае равномерно распределенной нагрузки

4.2. Расчет нормальных напряжений на упруго закрепленной границе полупространства

4.3.Численное исследование распределения перемещений на

границе изотропного полупространства

4.4.Опорное давление на деформируемый угольный пласт в

окрестности цилиндрической выработки

4.5.Выводы по главе 4

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ

А1. Второй способ построения точного решения задачи о

действии сосредоточенной силы на полупространство с

упруго закрепленной границей

А2. Основные свойства интегрального преобразования

Ханкеля, функций Бесселя и Струве

А3. Программы для расчета нормального напряжения < на упруго закрепленной границе полупространства при действии равномерно распределенной нагрузки

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Осесимметричная задача о действии нормальной нагрузки на изотропное полупространство с упруго закрепленной границей»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Анализ напряженно-деформированного состояния полубесконечных упругих тел на основе аналитических решений пространственных смешанных задач теории упругости является фундаментальной задачей механики деформируемого твердого тела. К смешанным задачам для упругого полупространства, интенсивно изучаемым современными исследователями, относятся контактные задачи, задачи о трещинах, а также задачи о распределении напряжений в горном массиве с выработками. Базовой моделью для построения аналитических решений задач этого класса является задача Буссинеска о действии сосредоточенной силы на упругое полупространство. Широкий спектр приложений задачи Буссинеска в механике, машиностроении, биофизике, инженерной медицине стимулирует появление в современной печати научных работ, посвященных тем или иным её обобщениям. Так, исследование ряда научно-технических проблем горной и строительной механики приводит к постановке смешанной задачи для полупространства, в точках поверхности которого вне области приложения распределенной нагрузки выполняется условие пропорциональности нормальных напряжений и перемещений (условие упругого закрепления границы). Создание методов решения этой пространственной задачи актуально, так как она связана с расчетом распределения напряжений и перемещений в массиве горных пород при разработке пластовых месторождений полезных ископаемых, а также с оценкой прочности деталей, включающих тонкие перфорированные прослойки, с исследованием ряда проблем теории многослойных оснований.

В последние десятилетия опубликован ряд работ, посвященных построению в прямоугольной декартовой системе координат решений трехмерных и плоских смешанных задач о распределении напряжений и

перемещений внутри и на границе полупространства (полуплоскости), при действии на него нормальной нагрузки, распределенной по многосвязной конечной области, вне которой граничная поверхность упруго закреплена. Вместе с тем, как следует из обзора литературы, класс пространственных осесимметричных смешанных задач о действии распределенной нагрузки на полупространство с упруго закрепленной границей в настоящее время остается практически полностью не изученным. Аналитическое решение осесимметричной задачи о напряженно-деформированном состоянии изотропного полупространства при смешанных граничных условиях исследуемого типа отсутствует, а необходимые для практики численные расчеты, как правило, базируются на трудоёмкой реализации принципа суперпозиции решений задач о сосредоточенной силе.

Таким образом, разработка аналитических методов решения осесимметричных задач о деформации полупространства с упруго закрепленной граничной поверхностью под действием нормальных усилий является актуальной задачей классической теории упругости, имеющей практические приложения во многих областях современной промышленности и техники.

Цель работы - получение аналитических решений осесимметричных задач теории упругости о действии распределенных и сосредоточенных усилий на изотропное полупространство с упруго закрепленной границей и исследование на их основе закономерностей распределения напряжений и перемещений в упругом теле при изменении его физико-механических свойств и типа приложенной нагрузки.

Для достижения цели ставились следующие задачи. - получить аналитическое решение осесимметричной задачи для упругого полупространства в случае, когда в круговой области V, принадлежащей граничной плоскости, приложена распределенная нагрузка, вне области V выполняется условие пропорциональности нормальных напряжений и перемещений, касательные напряжения на всей границе обращаются в нуль;

- построить интегральное уравнение для определения неизвестной функции, входящей в аналитическое решение осесимметричной задачи о действии на изотропное полупространство нагрузки, распределенной по круговой области, вне которой граничная поверхность упруго закреплена;

- исследовать аналитическое решение осесимметричной смешанной задачи теории упругости о действии сосредоточенной силы на изотропное полупространство, на границе которого отсутствуют касательные напряжения и выполняется условие пропорциональности нормальных напряжений и перемещений;

- предложить алгоритмы численного решения интегральных уравнений в осесимметричных задачах о действии распределенной нагрузки на полупространство при упругом закреплении границы вне области приложения внешних усилий;

- на основе построенных аналитических решений осесимметричных смешанных задач разработать алгоритмы расчёта на ПК компонент тензора напряжений внутри и на границе упругого полупространства;

- численно исследовать напряженно-деформированное состояние изотропного полупространства с упруго закрепленной границей при действии равномерно распределенной нагрузки либо сосредоточенной силы;

- установить влияние упругого закрепления границы на распределение напряжений и перемещений в изотропном полупространстве при варьировании его физико-механических свойств.

Объект исследования - осесимметричная деформация изотропного полупространства с упруго закрепленной границей под действием распределенных и сосредоточенных внешних усилий.

Предмет исследования - закономерности изменения напряженно -деформированного состояния изотропного полупространства с упруго закрепленной границей при варьировании параметров, входящих в граничные условия и аналитические решения осесимметричных задач.

Методы исследования. Аналитическое решение осесимметричной задачи о действии распределенной нагрузки на полупространство при заданных смешанных условиях на его границе получено с помощью интегрального преобразования Ханкеля. При построении решений смешанных задач использованы отдельные положения теории интегральных уравнений Фредгольма второго рода, рядов Неймана, специальных функций Бесселя, Неймана, Струве, гамма-функции, эллиптических интегралов первого и второго рода. Численное решение интегральных уравнений осуществлено с помощью метода последовательных приближений.

Научная новизна полученных результатов состоит в том, что в работе

- впервые методом интегрального преобразования Ханкеля получено аналитическое решение смешанной статической задачи об осесимметричной деформации изотропного полупространства в случае, когда на границе касательные напряжения отсутствуют, в круговой области, принадлежащей граничной плоскости, действует распределённая нагрузка, зависящая от радиальной координаты, вне круга - нормальные напряжения и перемещения пропорциональны; напряжения на бесконечности обращаются в нуль. Предложены две формы аналитического решения исследуемой задачи;

- впервые в результате аналитического решения осесимметричной задачи теории упругости получены известные формулы С.П.Тимошенко, Дж.Гудьера для компонент тензора напряжений и вектора перемещений на границе полупространства при действии на него нагрузки, равномерно распределенной по круговой области;

- в случае распределенной нагрузки постоянной интенсивности, приложенной к полупространству с незакрепленной границей, входящие в аналитическое решение осесимметричной задачи несобственные интегралы вычислены через специальные и элементарные функции;

- обоснован переход от распределенной нагрузки к сосредоточенной силе в аналитическом решении задачи для полупространства с упруго закрепленной границей;

- получена компактная форма точного аналитического решения задачи о сосредоточенной силе, приложенной к упруго закрепленной поверхности полупространства;

- предложен алгоритм аналитического преобразования несобственных интегралов, содержащихся в решениях осесимметричных задач, его реализация существенно уменьшает время компьютерных расчетов компонент тензора напряжений;

- разработаны и обоснованы методы численной реализации аналитических решений осесимметричных смешанных задач исследуемого класса;

- на основе численных исследований установлены новые закономерности, характеризующие влияние внешней нагрузки, физико-механических свойств материала и упругого закрепления поверхности полупространства на его напряженное состояние в случае осесимметричной деформации.

Достоверность научных результатов и выводов обеспечивается корректностью постановок исследуемых осесимметричных задач, использованием апробированных математических методов при построении решений сформулированных задач, проверкой выполнения граничных условий, получением из аналитических решений в частных случаях формул, опубликованных в научной литературе, подтверждением результатов расчётов известными качественными закономерностями и данными других авторов.

Научное значение полученных результатов заключается в развитии аналитических методов решения осесимметричных смешанных задач о напряженно-деформированном состоянии полупространства с упруго закрепленной граничной поверхностью при действии нормальной нагрузки.

Научные положения, которые выносятся на защиту.

1. Аналитическое решение осесимметричной смешанной задачи теории упругости о деформации изотропного полупространства при следующих граничных условиях: к упругому телу приложена нагрузка, распределенная по круговой области V, вне области V - нормальные напряжения и перемещения пропорциональны, касательные напряжения на всей граничной плоскости отсутствуют, напряжения на бесконечности обращаются в нуль.

2. Вторая форма аналитического решения исследуемой осесимметричной задачи, построенная путем перехода от трансформанты к оригиналу введенной функции, характеризующей нагрузку на граничной поверхности полупространства.

3. Математическое доказательство утверждения о том, что формулы С.П.Тимошенко, Дж. Гудьера для компонент тензора напряжений и вектора перемещений на границе полупространства при действии на него нагрузки, равномерно распределенной по круговой области, являются частным случаем полученного аналитического решения осесимметричной смешанной задачи; в случае распределенной нагрузки, зависящей от радиальной координаты, интегральная форма построенного аналитического решения при отсутствии закрепления поверхности полупространства совпадает с решением Тередзавы.

4.Преобразование формул для компонент вектора перемещений в точках изотропного полупространства с незакрепленной границей путем вычисления несобственных интегралов и их записи через специальные функции в случае осесимметричной деформации упругого тела под действием равномерно распределенной нагрузки.

5. Компактная форма точного решения осесимметричной задачи о деформации изотропного полупространства с упруго закрепленной границей под действием сосредоточенной силы.

6. Разработанные алгоритмы и компьютерные программы для расчёта компонент тензора напряжений и вектора перемещений внутри и на границе

изотропного полупространства. Численный анализ решений осесимметрич-ной задачи о напряженно-деформированном состоянии изотропного полупространства с упруго закрепленной границей при действии сосредоточенной силы либо равномерно распределенной нагрузки.

7. Задача об опорном давлении горных пород на угольный пласт в окрестности цилиндрической выработки.

Практическое значение полученных результатов. Разработанные алгоритмы расчётов и программы, осуществляющие численную реализацию аналитических решений осесимметричных задач на ПК, позволяют исследовать пространственное напряжённо-деформированное состояние

- горного массива с полостями с целью обоснования технологических схем разработки пластовых месторождений полезных ископаемых,

- деталей с перфорированными прослойками с целью выбора оптимальных рабочих параметров элементов конструкций в машиностроении.

Результаты могут быть использованы конструкторскими бюро, научно-исследовательскими институтами, а также вузами при изложении специальных курсов по механике деформируемых твердых тел.

Личный вклад соискателя. Следующие результаты, изложенные в

диссертации и публикациях, принадлежат лично автору:

- аналитическое решение осесимметричной задачи о действии распределенной нагрузки на изотропное полупространство с упруго закрепленной границей вне области приложения внешних усилий;

- математическое обоснование перехода от распределенной нагрузки к сосредоточенной силе в аналитическом решении осесимметричной задачи для изотропного полупространства с упруго закрепленной границей;

- подтверждение достоверности аналитических решений осесимметричных задач путем получения из них в частных случаях решений Тередзавы, Буссинеска, формул С.П.Тимошенко;

- преобразование аналитических решений осесимметричных смешанных задач теории упругости о деформации изотропного полупространства с упруго закрепленной поверхностью под действием сосредоточенной силы либо равномерно распределенной нагрузки к компактному виду путем вычисления несобственных интегралов через специальные функции;

- разработка алгоритмов и компьютерных программ для численной реализации аналитических решений;

- анализ закономерностей распределения напряжений и перемещений в изотропном полупространстве на основе аналитических и численных исследований решений смешанных задач;

- аналитическое решение и численное исследование задачи о давлении горных пород на угольный пласт в окрестности цилиндрической выработки.

Основные результаты получены автором самостоятельно. По результатам исследований опубликованы три работы без соавторов [33, 36, 149]. В работах [28-31, 34-35, 80-86, 117] автору принадлежит получение аналитических решений осесимметричных задач, разработка алгоритмов численной реализации их решений, выполнение расчетов, установление и анализ закономерностей; в этих работах научному руководителю и соавторам принадлежат постановки задач, участие в выборе методов решения, обсуждение и анализ результатов исследований.

Апробация результатов диссертации. Основные положения и результаты диссертации докладывались на

- XV Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» ( Ростов-на-Дону, Россия, 2011г.);

- Международной конференции «Современные проблемы механики и математики» ( Львов, Украина, 2013);

- VII Всероссийской (с международным участием) конференции по механике деформируемого твердого тела (Ростов - на - Дону, Россия, 2013);

- 6th International Conference of Young Scientists CSE-2013 (Lviv, Ukraine, 2013);

- XXII Международном научном симпозиуме «Неделя горняка 2014» (Москва, Россия, 2014);

- XVII Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, Россия, 2014).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 научных работ, из них 6 статей в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК МОН РФ, 8 статей в научных журналах и в сборниках трудов международных конференций, 3 публикации в сборниках тезисов докладов на международных научных конференциях.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка использованной литературы из 149 наименований и приложения. Работа содержит 1 таблицу, 32 рисунка. Общий объем составляет 157 страниц, из них 17 страниц занимает список литературы, 21 страницу - приложение.

Аннотация содержания структурных разделов диссертации.

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследования, охарактеризованы научная новизна, достоверность и практическое значение результатов, изложены сведения о личном вкладе соискателя, об апробации материалов исследования, о структуре работы.

В первой главе изложен обзор методов решения пространственных задач для полубесконечных упругих тел. Отмечено, что на современном этапе развития компьютерной техники исследование сложных трёхмерных задач теории упругости с помощью только численных методов с

необходимой точностью расчётов часто оказывается неосуществимым. Поэтому в настоящее время предпочтение отдаётся аналитическим методам с последующей численной реализацией решений задач на ПК. Точные решения, моделируя закономерности деформирования упругих тел, являются в то же время тестами для оценки результатов, полученных численными и приближенными методами. В связи с этим построение аналитических решений пространственных задач остаётся на сегодняшний день актуальной проблемой механики деформируемого твердого тела.

В заключение первой главы приведены основные дифференциальные уравнения трёхмерной теории упругости в цилиндрической системе координат, которые использовались при математической постановке исследуемых в диссертационной работе осесимметричных смешанных задач для изотропного полупространства.

Во второй главе с помощью метода интегрального преобразования Ханкеля получено аналитическое решение смешанной задачи об осесимметричной деформации изотропного полупространства при упругом закреплении его границы вне области приложения распределенной нагрузки, заданной функцией, зависящей от радиальной координаты. Путем перехода от трансформанты к оригиналу введенной функции, характеризующей нагрузку на граничной поверхности полупространства, построена вторая форма аналитического решения изучаемой осесимметричной задачи. Исследованы частные случаи решения. Показано, что при отсутствии закрепления поверхности полупространства в случае распределенной нагрузки, зависящей от радиальной координаты, интегральная форма построенного аналитического решения осесимметричной задачи совпадает с решением Тередзавы. В случае нагрузки, равномерно распределенной по круговой области, из построенного аналитического решения смешанной задачи получены формулы С.П.Тимошенко для компонент тензора напряжений и вектора перемещений на границе полупространства. Для распределенной нагрузки постоянной интенсивности вычислены входящие в

решение несобственные интегралы через специальные функции, в результате получены компактные выражения для компонент вектора перемещений в точках упругого полупространства.

В третьей главе получено аналитическое решение осесимметричной смешанной задачи теории упругости о деформации изотропного полупространства под действием сосредоточенной силы в случае, когда в точках граничной поверхности нормальные напряжения и перемещения пропорциональны, касательные напряжения отсутствуют, на бесконечности напряжения обращаются в нуль. Построена компактная форма точного решения задачи путем вычисления входящих в него несобственных интегралов через специальные функции. Показано, что полученные формулы для компонент тензора напряжений и вектора перемещения в случае, когда поверхность полупространства не закреплена, совпадают с известным решением задачи Буссинеска. Проанализированы закономерности распределения напряжений в упругом полупространстве. Изучено влияние упругого закрепления граничной плоскости на напряженное состояние полупространства.

В четвертой главе исследовано решение осесимметричной задачи о действии равномерно распределенной нагрузки на изотропное полупространство при упругом закреплении граничной поверхности вне области приложения внешних усилий. Разработан алгоритм численного решения интегрального уравнения, содержащего неизвестную функцию, входящую в формулы для напряжений и перемещений. Изучено влияние упругого закрепления поверхности изотропного полупространства на закономерности распределения напряжений и перемещений на его границе. На основе аналитического решения осесимметричной задачи разработан метод расчёта нормального напряжения на контакте пород с угольным пластом в окрестности цилиндрической выработки. Численно исследовано

влияние деформируемости пласта и глубины его залегания на распределение опорного давления.

В приложении для подтверждения достоверности построенного в гл. 3 точного решения задачи о действии сосредоточенной силы на полупространство с упруго закрепленной границей предложен второй способ вывода формул для компонент вектора перемещений и тензора напряжений. Приведены сведения об основных свойствах специальных функций, которые использованы при аналитических решениях задач, а также компьютерные программы для численной реализации построенных решений.

ГЛАВА 1

ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ДЕФОРМИРУЕМОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА

1.1. Осесимметричные смешанные задачи теории упругости для полупространства. Обзор литературы

Смешанные задачи для упругого полупространства представляют собой большой класс задач линейной теории упругости, имеющих практические приложения в различных областях науки и техники. Для их решения применяются аналитические, численные и численно-аналитические методы.

Большинство аналитических методов решения пространственных задач теории упругости, предложенных в прошлом веке, основаны на построении формул, представляющих перемещения и напряжения через неизвестные функции, которые удовлетворяют либо бигармоническому уравнению, либо уравнениям Лапласа и Пуассона. Такие общие представления позволяют при исследовании конкретных задач теории упругости использовать известные частные решения этих уравнений [52]. При изучении процессов деформирования трёхмерного упругого тела современные ученые широко используют общие решения системы уравнений теории линейной упругости, впервые полученные В. Кельвиным, Ж.Буссинеском, П.Ф. Папковичем, Г. Нейбером, Б.Г. Галёркиным.

В создании аналитических методов решения пространственных задач теории упругости большую роль сыграли опубликованные в 1938 г. формулы П.Ф.Папковича, представляющие перемещения в упругом теле через четыре гармонические функции. Б.Г.Галёркин [14] предложил способ определения напряжений и перемещений в изотропном теле при помощи трех функций. В

случае упругого полупространства первая и вторая основные задачи, а также контактная задача были сведены к определению одной гармонической функции по заданным значениям самой функции либо её производной во взаимно дополняющих областях S, S', сумма которых есть полная граничная плоскость [69].

Развитие аналитических методов решения задач теории упругости для полупространства связано, прежде всего, с исследованием осесимметричных задач. Так, S.K. Datta [97] рассмотрел осесимметричную задачу для упругого полупространства со сферическим включением, использовав представление решения через две гармонические функции. Применив итерационную процедуру к решению, автор получил приближенные выражения для распределения перемещений при удалении от включения.

Задача определения функции Грина для упругой полуплоскости [122] значительно усложняется при переходе к исследованию трехмерных тел. Построению функций Грина для упругого полупространства посвящены работы [128,130,145]. В случае осесимметричной задачи H.Hasegawa [113] построил функцию Грина и в качестве приложения математических результатов рассмотрел задачу о распределении напряжений в полупространстве с полусферической выемкой при учете объемных сил. Изучению проблем, связанных с применением методов потенциала в задачах теории упругости, посвящена монография В.Д.Купрадзе [49]. На основе методов теории потенциалов G.Fu [103] исследовал распределение перемещений при индентировании упругого полупространства жестким осесимметричным штампом.

Уже к середине прошлого века учеными был предложен широкий спектр эффективных методов, позволивших получить точные решения контактных и некоторых других пространственных смешанных задач теории упругости. Здесь, кроме метода построения функции Грина, отметим метод сведения к интегральным уравнениям, метод комплексных потенциалов,

метод интегральных преобразований, метод парных интегральных уравнений.

Интенсивное развитие аналитических и численных методов решения пространственных смешанных задач теории упругости, в первую очередь, связано с исследованием контактных задач, а также задач механики разрушения, строительной механики и геомеханики.

Впервые контактная задача для случая вдавливания в упругое полупространство кругового цилиндра была рассмотрена Ж.Буссинеском [91] в 1885 г. Решения интегрального уравнения пространственной контактной задачи в случаях круглого и эллиптического штампов изложены в монографиях И.Я. Штаермана [87], Л.А. Галина [15,16], А.И. Лурье [51]. Большой класс контактных задач, приведенных в монографии [12], изучен с помощью асимптотических методов, разработанных И.И. Воровичем, В.А. Бабешко, В.М. Александровым. Различные модификации асимптотических методов использованы в работах [95,110] при исследовании как плоских, так и пространственных смешанных задач.

M.R. Gecit [105] контактную задачу о вдавливании полубесконечного цилиндра в упругое полупространство свел к решению системы сингулярных интегральных уравнений. В его статье приведены численные результаты для контактного давления и коэффициента интенсивности напряжений в угловых точках для различных материалов контактирующих тел.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Залётов, Сергей Владиславович, 2016 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абрамовиц, М. Справочник по специальным функциям [Текст]/ М.Абрамовиц, И. Стиган. - М.: Наука, 1979. - 832 с.

2. Айзикович, С.М. Конечно-элементное моделирование контактного взаимодействия для трибомеханической системы с градиентыми упругимим свойствами [Текст] /С.М.Айзикович, Т.В.Игнатьева, А.В.Наседкин //Проблемы прочности и пластичности. - 2009. - Вып.71. - С.153- 163.

3. Александров, В.М. Контактная задача для полосовой накладки, взаимодействующей с упругим полупространством [Текст] / В.М.Александров, В.Ю.Саламатова // ПММ. - 2008. -Т. 72, вып. 2. - С. 322327.

4. Александрович, А.И. Применение теории функций двух комплексных переменных к решению пространственных задач теории упругости [Текст]/

A.И. Александрович // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. -1977. - № 2. - С. 164-168.

5. Амензаде, Ю.А. Теория упругости [Текст] / Ю.А. Амензаде. - М.: Высшая школа, 1971. - 287с.

6. Аналитические решения смешанных осесимметричных задач для функционально-градиентных сред [Текст] / С.М.Айзикович,

B.М.Александров, В.С.Васильев и [др.]. - М.: Физматлит, 2011. - 192 с.

7. Аннин, Б.Д. Упругопластическая задача [Текст] / Б.Д.Аннин, Г.П.Черепанов. - Новосибирск: Наука,1983.- 238с.

8. Аргатов, И.И. Взаимодействие между штампами на упругом полупространстве [Текст]/ И.И. Аргатов // Успехи механики. - 2002. - №4. -

C. 8 - 40.

9. Арутюнян, Н.Х. Контактные задачи механики растущих тел [Текст] / Н.Х. Арутюнян, А.В. Манжиров, В.Э. Наумов. - М.: Наука, 1991. - 176с.

10. Бреббиа, К. Методы граничных элементов [Текст]/ К. Бреббиа, Ж. Телес, Л. Вроубел. - М.: Мир, 1987. - 524с.

11. Васильев, В.З. Пространственные задачи прикладной теории упругости [Текст] /В.З.Васильев. - М.: Транспорт, 1993.- 366с.

12. Ворович, И.И. Неклассические смешанные задачи теории упругости [Текст] / И.И. Ворович, В.М. Александров, В.А. Бабешко. - М.: Наука, 1974.

- 455 с.

13. Ворошко, П.П. Эффективное построение интегральных уравнений теории потенциала основных краевых задач теории упругости [Текст] / П.П. Ворошко // Проблемы прочности. - 1996. - № 5. - С. 83-90.

14. Галёркин, Б.Г. Определение напряжений и перемещений в упругом изотропном теле при помощи трёх функций [Текст]/ Б.Г. Галёркин // Изв. науч.-иссл. ин-та гидромеханики. - 1931. - Т.1. - С. 49 - 56.

15. Галин, Л.А. Контактные задачи теории упругости [Текст]/ Л.А. Галин.

- М.: Гостехиздат, 1953. - 264с.

16. Галин, Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости [Текст]/ Л.А. Галин.- М.: Наука, 1980. - 302 с.

17. Гладкий, С.Л. Процедура решения контактных задач методом фиктивных канонических областей [Текст]/ С.Л. Гладкий // III Междунар. конф. по теории упругости: Тр. конф., Ростов-на-Дону, Азов. 13 - 16 октября 2003. - Ростов-на-Дону: Новая книга, 2004. - С. 125 - 128.

18. Горячева, И.Г. Механика фрикционного взаимодействия [Текст] /И.Г.Горячева. - М.: Наука, 2001. - 478 с.

19. Градштейн, И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений [Текст] / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. - М.: Наука, 1974. - 1108с.

20. Гринченко, В.Т. Растяжение упругого пространства, ослабленного кольцевой трещиной [Текст] / В.Т. Гринченко, А.Ф. Улитко // Прикл. механика . - 1995. - Т.1, №10. - С. 61-64.

21. Губенко, В.С. Давление осесимметричного кольцевого штампа на упругое полупространство [Текст] / В.С. Губенко, В.И. Моссаковский // Прикладная математика и механика. - 1960. - Т. 24, № 2. - С. 334-340.

22. Гузь, А.Н. Механика хрупкого разрушения материалов с начальными напряжениями [Текст] / А.Н. Гузь. - К.: Наук. Думка, 1983. - 296 с.

23. Гузь, А.Н. Контактная задача о давлении упругого штампа на упругое полупространство с начальными напряжениями [Текст] / А.Н. Гузь, В.Б.Рудницкий// Прикладная механика. -1984. - Т. 20, №8. - С. 3 - 11.

24. Даль, Ю.М. Разрушение твердых тел в агрессивных газах [Текст] /Ю.М.Даль //Физика твердого тела. - 2005. - Т.47, вып.2. - С. 827 - 829.

25. Даль, Ю.М. Упругая полоса, нагруженная на границе двумя сосредоточенными силами [Текст] /Ю.М.Даль //Вопросы механики деформируемого тела и горных пород. - М.: МГУ, 2005. - С.243 - 248.

26. Джонсон, К. Механика контактного взаимодействия [Текст] / К.Джонсон. - М.: Мир, 1989. - 510с.

27. Ержанов, Ж.С. Упругое полупространство с полостью [Текст] /Ж.С.Ержанов, А.А. Калыбаев, Т.Б. Мадалиев. - Алма-Ата: Наука, 1988. -223 с.

28. Залётов, В.В. Численное исследование аналитического решения задачи о действии сосредоточенной силы на изотропное полупространство с упруго закрепленной границей [Текст] / В.В. Залётов, С.В.Залётов, А.А.Илюхин// Современные проблемы механики сплошной среды: Тезисы XVII Междунар. конф. - Ростов-на-Дону: ЮФУ, 2014. - С. 59.

29. Залётов, В.В. Численное исследование аналитического решения задачи о действии сосредоточенной силы на изотропное полупространство с упруго закрепленной границей [Текст] /В.В.Залётов, С.В.Залётов, А.А.Илюхин// Современные проблемы механики сплошной среды: Труды XVII Междунар.конф., Т.1. - Ростов-на-Дону: ЮФУ, 2014. - С. 206 - 210.

30. Залётов, В.В. Распределение перемещений на границе изотропного полупространства при упругом закреплении его поверхности вне круговой

области приложения нормальной нагрузки [Текст] /В.В.Залётов, С.В.Залётов, Н.С. Хапилова // Тезисы докладов VII Всероссийской (с международным участием) конференции по механике деформируемого твердого тела. Ростов -на - Дону, 15 - 18 октября 2013г. - Ростов - на - Дону: Изд-во ЮФУ, 2013. -С.66.

31. Залётов, В.В. Распределение перемещений на границе изотропного полупространства при упругом закреплении его поверхности вне круговой области приложения нормальной нагрузки [Текст] /В.В.Залётов, С.В.Залётов, Н.С. Хапилова // Труды VII Всероссийской (с международным участием) конференции по механике деформируемого твердого тела. Т.1. - Ростов-на-Дону: Изд-во Южного федерального университета, 2013. - С. 208 - 212.

32. Залётов В.В. Закономерности распределения перемещений в изотропном полупространстве, лежащем на упругом основании, при действии сосредоточенной силы [Текст] / В.В. Залётов, Н.С. Хапилова //Труды ИПММ НАН Украины. - 2010. - Т.20. - С.65 - 73.

33. Залётов, С.В. Осесимметричная задача об опорном давлении на деформируемый угольный пласт [Текст] /С.В. Залётов// Научный вестник Московского государственного горного университета. - 2014. - №1(46). -С.37-43.

34. Залётов, С.В. Влияние деформируемости угольного пласта на пространственное напряженно-деформируемое состояние массива горных пород в окрестности полости [Текст] /С.В.Залётов, В.В.Залётов, Н.С. Хапилова// Научный вестник Московского государственного горного университета. - 2014. - №1(46). - С.100-107.

35. Залётов, С.В. Аналитическое решение осесимметричной задачи о деформации изотропного полупространства с упруго закрепленной границей под действием распределённой нагрузки [Текст] /С.В.Залётов, Н.С. Хапилова// Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. - 2016. - №5. -С.67- 71.

36. Залётов, С.В. Осесимметричная задача об опорном давлении на деформируемый угольный пласт [Текст] /С.В.Залётов// Горный информационно-аналитический бюллетень. Научно-технический журнал. -2015. - №3. - С.135-139.

37. Илюхин, А.А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней [Текст] / А.А. Илюхин. - Киев: Наук.думка, 1979. - 216с.

38. Илюхин, А.А. Микрополярная модель деформации естественно-закрученного тела [Текст] /А.А. Илюхин, А.К. Попов //Известия ЮФУ. Технические науки. -2013. -Тематический выпуск, Таганрог. - С.105 -111.

39. Илюхин, А.А., Полуобратная задача о деформации цилиндрического тела под воздействием концевых усилий в рамках моментной теории упругости [Текст] / А.А.Илюхин, А.К. Попов // Фундаментальные исследования. -2013. - С.38 - 45.

40. Кавлакан, М.В. О распределении давления на пласт при горизонтальной выработке [Текст] / М.В. Кавлакан, А.М. Михайлов // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - 1977. -№5. - С. 48 - 53.

41. Кавлакан, М.В. Осесимметричная задача об опорном давлении [Текст] / М.В. Кавлакан, А.М. Михайлов // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - 1980. - №1. - С. 18 - 22.

42. Кавлакан, М.В. Решение смешанной статической задачи теории упру-гости для полупространства на упругом основании [Текст] / М.В.Кавлакан, А.М. Михайлов // ДАН СССР. - 1980. - Т. 251. - №6. - С. 1238-1341.

43. Калякин, А.А. О взаимодействии штампа со слоистым упругим основанием [Текст] /А.А. Калякин// Прикладная механика и техническая физика. - 2006. - Т. 47, №3. - С. 165 - 175.

44. Канторович, Л.В. Функциональный анализ [Текст] /Л.В.Канторович, Г.П. Акилов. - М.: Наука, 1984. - 752с.

45. Капшивый, А.А. Решение смешанной осесимметричной задачи теории упругости для полупространства методом ^-аналитических функций [Текст] /А.А.Капшивый, Ф. Маслюк // Прикладная механика. -1967. -Т.3, вып. 7. - С. 13-16.

46. Кит, Г.С. Метод потенциалов в трехмерных задачах термоупругости тел с трещинами [Текст] / Г.С. Кит, М.В. Хай. - К.: Наук. думка, 1989. -284с.

47. Корн, Г. Справочник по математике [Текст] / Г. Корн, Т. Корн. - М.: Наука, 1978. - 832с.

48. Космодамианский, А.С. Динамические задачи теории упругости для анизотропных сред [Текст] / А.С.Космодамианский, В.И.Сторожев. - Киев: Наукова думка, 1985. -176с.

49. Купрадзе, В.Д. Методы потенциала в теории упругости [Текст] /

B.Д.Купрадзе. - М.: Физматгиз, 1963. - 472 с.

50. Лехницкий, С.Г. Теория упругости анизотропного тела [Текст] /

C.Г.Лехницкий. - М.: Наука, 1977. - 415с.

51. Лурье, А.И. Теория упругости [Текст] / А.И. Лурье. - М.: Наука, 1970. - 940с.

52. Механика в СССР за 50 лет [Текст] / Механика деформируемого твердого тела, т.3. - М.: Наука,197 2. - 479 с.

53. Михлин, С.Г. О напряжениях в породе над угольным пластом [Текст] /С.Г. Михлин// Изв. АН СССР, Отдел. техн. наук. - 1942. - № 7-8. - С.13 -29.

54. Морозов, Н.Ф. Математические вопросы теории трещин [Текст] /Н.Ф.Морозов. - М.: Наука, 1984. - 256 с.

55. Моссаковский, В.И. Контактные задачи математической теории упру-гости [Текст] / В.И. Моссаковский, Н.Е. Качаловская, С.С. Голикова. -Киев: Наук. думка, 1985. - 176 с.

56. Моссаковский, В.И. Прочность упругого пространства, ослабленного плоской трещиной, близкой к круговой [Текст] / В.И. Моссаковский,

Л.Р.Моссаковская // Гидромеханика и теория упругости. - 1977. - Вып. 22. -С. 56 - 74.

57. Мусхелишвили, Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости [Текст] / Н.И. Мусхелишвили. - М.: Наука, 1966. - 707с.

58. Немировский, Ю.В. О напряженном и деформированном состоянии массива с горизонтальной выработкой [Текст] / Ю.В. Немировский, В.Е.Миренков // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых . - 1973. - №1. - а 21 - 28.

59. Новацкий, В. Теория упругости [Текст] /В. Новацкий. - М.: Мир, 1975. - 872 с.

60. Панасюк, В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами [Текст] /В.В. Панасюк. - Киев: Наук. Думка, 1984. - 304 с.

61. Партон, В.З. Интегральные уравнения теории упругости [Текст] / В.З.Партон, П.И. Перлин. - М.: Наука, 1977. - 312 с.

62. Партон, В.З. Методы математической теории упругости [Текст] / В.З.Партон, П.И. Перлин. - М.: Мир, 1981. - 688 с.

63. Победря, Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности [Текст] /Б.Е.Победря. - М.: Издательство Московского университета, 1981. -343 с.

64. Победря, Б.Е. Основы механики сплошной среды [Текст] /Б.Е. Победря, Д.В.Георгиевский. - М.: Физматлит, 2006. - 272 с.

65. Подильчук, Ю.Н. Пространственные задачи механики горных пород [Текст] / Ю.Н. Подильчук. - Киев: Наукова думка, 1983. - 160 с.

66. Пожарский, Д.А. Сравнение точных решений контактных задач для трансверсально-изотропного полупространства [Текст]/Д.А.Пожарский, Д.Б. Давтян// Вестник Донского государственного технического универ-ситета. -2015. -№1(80). - С. 23 - 28.

67. Попов, Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, вырезов, тонких включений и подкреплений [Текст] / Г.Я. Попов. - М.: Наука, 1982. - 342 с.

68. Прудников, А.П. Интегралы и ряды. В 3-х томах. Т.2. Специальные функции [Текст] /А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И.Маричев. - М.: Физматлит, 2003. - 664 с.

69. Работнов, Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела [Текст] / Ю.Н. Работнов. - М.: Наука, 1988. - 711с.

70. Рвачёв, В.Л. Метод R-функций в задачах теории упругости и пластичности [Текст] / В.Л. Рвачёв, Н.С. Синекоп. - Киев: Наук. думка, 1990. -216 с.

71. Ржевский, В.В. Основы физики горных пород [Текст] / В.В. Ржевский, Г.Я. Новик. - М.: Недра, 1984. - 390 с.

72. Ростовцев, Н.А. Комплексные потенциалы в задаче о штампе, круглом в плане [Текст] / Н.А. Ростовцев // Прикладная математика и механика. - 1957. - Т.21. - Вып. 1. - С.77-82.

73. Тимошенко, С.П. Теория упругости [Текст] / С.П. Тимошенко, Дж. Гудьер. - М.: Наука, 1975. - 576 с.

74. Товстик, П.Е. Устойчивость тонких оболочек: асимптотические методы [Текст] /П.Е. Товстик. - М.: Наука, 1995. - 320 с.

75. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости [Текст] / В.Д. Купрадзе, Т.Г. Гегелия, М.О. Баше-лейшвили и [др.]. - М.: Наука, 1976. - 658 с.

76. Устинов, Ю.А. Две задачи Сен-Венана для кругового анизотропного цилиндра [Текст] /Ю.А.Устинов// Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия. - 2011. -№1. -С. 76 - 81

77. Уфлянд, Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости [Текст] / Я.С. Уфлянд. - Л.: Наука, 1963. - 368 с.

78. Хапилова, Н.С. Теория внезапного отжима угольного пласта [Текст] / Н.С. Хапилова. - Киев: Наукова думка, 1992. - 232с.

79. Хапилова, Н.С. Осесимметричная смешанная задача для полупространства на упругом основании [Текст] /Н.С.Хапилова// Современные проблемы концентрации напряжений. -1998. - С.242-246.

80. Хапилова, Н.С. Осесимметричная задача о действии распределенной нагрузки на изотропное полупространство с упруго закрепленной границей [Текст] /Н.С.Хапилова, В.В.Залетов, С.В. Залетов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. - 2012. - Т.25. - С. 251 -259.

81. Хапшова, Н. Осесиметричне деформування iзотропного твпростору з пружно закршленою границею тд дieю нормальних зусиль [Текст] /Н.Хапшова, В.Зальотов, С.Зальотов// Современные проблемы механики и математики: В 3-х т. Под ред. Р.М.Кушнира, Б.И.Пташника. - Львов: Институт прикладных проблем механики и математики им. Я.С. Подстригача НАН Украины. -2013. - Т.1. - С. 176 - 178.

82. Хапилова, Н.С. Осесимметричная задача о распределении напряжений на упруго закрепленной границе изотропного полупространства при действии нормальной нагрузки [Текст] /Н.С.Хапилова, В.В.Залетов, С.В. Залетов //Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. -2013. - № 4. - С.31 - 34.

83. Хапилова, Н.С. Влияние деформируемости угольного пласта на пространственное напряженно-деформируемое состояние массива горных пород в окрестности полости [Текст] /Н.С.Хапилова, В.В.Залетов, С.В. Залетов // Горный информационно-аналитический бюллетень. Научно-технический журнал. -2015. -№3. - С.140-145.

84. Хапилова, Н.С. Осесимметричная деформация изотропного полупространства при упругом закреплении границы вне области приложения нормальной нагрузки [Текст] /Н.С.Хапилова, С.В. Залётов// Современные проблемы механики сплошной среды: Тезисы докладов XV Междунар. конф., Ростов-на-Дону, 4-7 декабря 2011г. - Ростов-на-Дону: Южный федеральный университет, 2011. - С. 48.

85. Хапилова, Н.С. Осесимметричная деформация изотропного полупространства при упругом закреплении границы вне области приложения нормальной нагрузки [Текст] /Н.С. Хапилова, С.В. Залётов // Современные проблемы механики сплошной среды: Труды XV Междунар. конф., Ростов-на-Дону, 4-7 декабря 2011г. - Ростов-на-Дону: Южный федеральный университет, 2011. -Т.2. - С. 246 - 250.

86. Хапилова, Н.С. Точное решение задачи о действии сосредоточенной силы на изотропное полупространство с упруго закрепленной границей [Текст] /Н.С. Хапилова, С.В. Залётов// Научно-технические ведомости С.-Петербургского государственного политехнического университета. Физико-математические науки. - 2015. - №3(225). - С. 107-114.

87. Штаерман, И.Я. Контактные задачи теории упругости [Текст] / И.Я.Штаерман. - М.: Гостехиздат, 1949. - 272с.

88. Ahmadi, S.F. Axisymmetric circular indentation of a half-space reinforced by a buried elastic thin film [Text] /S.F.Ahmadi, M.Eskandari// Mathematics and Mechanics of Solids. - 2014, Jul 6. On line First Version 2013 May 1. -1081286513485085

89. Altenbach, H. Basic Equations of Continuum Mechanics [Text] /H.Altenbach, V.A. Eremeyev// Plasticity of Pressure-Sensitive Materials. Engineering Materials. - 2014. - Pp. 1-47.

90. Balas, J. Stress Analysis by Boundary Element Methods [Text] / J. Balas, J. Sladek, V. Sladek. - Amsterdam: Elsevier, 1989. - 521 p.

91. Boussinesq, J. Application eles Potentiels a TEtude TEquilibre et du Mouvement des Solides Elastiques [Text] / J. Boussinesq. - Gauthier - Villars, Paris. - 1885. - 721 p.

92. Bucher, F. The normal contact of rough surfaces with discretization [Text] / F. Bucher, K. Knothe, A. Lunenschlob // Archive of Appl. Mech. - 2004. - Vol. 73, №8. - P. 561 - 567.

93. Chebakov, M.J. Finite element analysis of contact problems with complicated properties [Text] /M.J. Chebakov, V.J. Kolesnikov, A.V.Nasedkin

[and others]// CD-Rom Proceedings of the Tenth International Conference on Computational Structures Technology. CST-2010. Valencia, Spain, 14-17 September 2010. - Valencia, Spain: Civil-CompPress, Stirlingshire UK, 2010. -Paper 9. -17 p. (Scopus; doi: 10.4203/ccp.93.9)

94. Chen Shaohua. Non-slipping adhesive contact of an elastic cylinder on stretched substrates [Text] / Shaohua Chen, Huajian Gao // Proc. R. Soc. A, January 8, 2006. - 462. - P. 211-228.

95. Coon1, E.T. Asymptotic Analysis of Finite Deformation in a Nonlinear Transversely Isotropic Incompressible Hyperelastic Half-space Subjected to a Tensile Point Load [Text] / E.T. Coon1, D.P. Warne, P.G. Warne // Journal of Elasticity. -June 2004. -Vol. 75, Number 3. - P. 197-228.

96. Cruse, T.A. An improved boundary-integral equation method for three-dimensional elastic stress analysis [Text] / T.A. Cruse // Computers and Structures. - 1974. - Vol. 4, № 4. - P. 741- 754.

97. Datta, S.K. An axisymmetric problem of an elastic half-space containing a rigid spherical inclusion [Text] /S.K.Datta //Quarterly Jnl. of Mechanics and Appl. Math. -1969. -22(4). -P. 439 - 451.

98. Dhaliwal, R.E. An axisymmetric mixed boundary value problem for a thick slab [Text] / R.E. Dhaliwal // Siam J. Appl. Math. - 1967. - Vol. 15, № 1. -P. 98-106.

99. Elliot, H.A. Axial symmetric stress distributions in aeolotropic Hexagonal crystals. The problem of plane and related problems [Text] / H.A. Elliot// Proceedings of Cambridge Philosophical Society. -1949. -Vol. 45. - P. 621-630.

100. Erdogan, F. Mixed boundary value problems in mechanics [Text] / F. Erdogan // Mechanics Today. - Vol. 4, Ed. S. Nemat. - Nasser. - Oxford: Pergamon Press. - 1978. - P. 1- 86.

101. Fabrikant, V.I. Non-traditional contact problem for transversely isotropic half-space [Text] / V.I. Fabrikant// Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. -2011. -V.64, №2. - P. 151-170.

102. Fabrikant, V.I. Non-traditional crack problem for transversely-isotropic body[Text] / V.I. Fabrikant// European Journal of Mechanics A/ Solids. -2011. -Vol. 30. - P. 902 - 912.

103. Fu, G. Normal Indentation of Elastic Half-Space With a Rigid Frictionless Axisymmetric Punch [Text] / G. Fu //J. Appl. Mech. - March 2002. - Vol. 69, Issue 2. - P. 142 - 147.

104. Gang Liu. Analytical solution for ground motion of a half space with a semi-cylindrical canyon and a beeline crack [Text] / Gang Liu, Baohua Ji, Diankui Liu // Proc. R. Soc., A8, July 2008. -Vol. 464, no. 2095. -P. 1905 -1921.

105. Gecit, M.R. Axisymmetric contact problem for a semiinfinite cylinder and a half space [Text] /M.R. Gecit // International Journal of Engineering Science. -1986. -Vol. 24, issue 8. - P. 1245 - 1256.

106. Georgiadis, H. G. Problems of the Flamant-Boussinesq and Kelvin Type in Dipolar Gradient Elasticity [Text] / H. G. Georgiadis, D.S. Anagnostou // Journal of Elasticity. -January 2008. -Vol. 90, Number 1. - P. 71-98.

107. Gladwell, G.M.L. On the approximate solution of elastic contact problems circular annulus [Text] / G.M.L. Gladwell, O.P. Gupta // Journal of Elasticity. -October 1979. -Vol. 9, Number 4. - P. 335-348.

108. Goryacheva, I.G. Modeling of fatique wear of a two layered elastic halfspace in contact with periodic system of indenters [Text] / I.G.Goryacheva, E.V.Torskaya. Wear. - 2010. -Vol. 268, Issue 11-12. - P. 1417-1422.

109. Green, A.E. The distribution of stress in the neighborhood of flat elliptical crack in an elastic solid [Text] / A.E. Green, Y.N. Sneddon // Proc. Cambridge Phil. Soc. - 1960. - 46. - P. 159 - 163.

110. Gridin, D. The complete far-field asymptotic description of a point source acting on a transversely isotropic half-space [Text] / D. Gridin, L. J. Fradkin // Proc. R. Soc. Lond., A. - November 8, 2001. - 457. - P. 2675-2698.

111. Han Itanping. The boundary integral eqution method for a bounded elastic body containing a crack and an inclusion [Text] / Han Itanping // Lanzhou daxue

xuebao. Ziran Kexue ban. - J. Lanzhou Univ. Natur. Sci. - 1993. - Vol. 29, № 4. -P. 63-68.

112. Hanson, M.T. A simplified analysis for an elastic quarter-space [Text] / M.T. Hanson, L.M. Keer //Quart.1. Mech. and Appl. Math. - 1990. -Vol.43, №4. -P. 561-587.

113. Hasegawa H. Green's Function for Axisymmetric Body Force Problems of an Elastic Half Space and Their Application (An Elastic Half Space with a Hemispherical Pit) [Text] /H. Hasegawa //Bulletin of JSME. - September 1984. -Vol. 27, No.231-4. - P. 1829 - 1835.

114. Heise, U. The calculation of Cauchy principal values in integral equations for boundary value problems of the plane and three dimensional theory of elasticity [Text] / U. Heise // J. Elast. - 1975. - Vol. 5, № 2. - P. 99-110.

115. Kermandis, T. A numerical solution for axially symmetrical elasticity problems [Text] / T. Kermandis // Int. J. of Solids and Struct. - 1975. - Vol.11, № 4. - P. 493-500.

116. Khan, S.M. Axisymmetric problem for a half-space in the micropolar theory of elasticity [Text] / S.M. Khan, R.S. Dhaliwal // Journal of Elasticity. -January 1977. -Vol. 7, number 1. -P. 13-32.

117. Khapilova, N.S. The exact solution of the problem on a concertrated force action on the isotropic half-space with the boundary fixed elastically [Text] /N.S.Khapilova, S.V. Zaletov// Journal of St. Petesburg state polytechnical university. Physics and Mathematics. -2015. - 1-3 (128). - P. 287-292.

118. Kral, E.R. Three-dimensional finite element analysis of subsurface stress and strain fields due to sliding contact on an elastic - plastic layered medium [Text] / E.R. Kral, K. Komvopoulos //ASME J. Tribol. - 1997. - № 119. - P. 332-341.

119. Lachat, J.C. Effective numerical treatment of boundary-integral equations: a formulation for three-dimensional elastostatics [Text] / J.C. Lachat, J.O.Watson // Int. J. for numerical Methods in Engineering. - 1976. - V. 10, issue 5. - P. 9911005.

120. Lowengrub, M. An axisymmetric boundary value problem of mixed type for a half-space [Text] /M.Lowengrub, I.N. Sneddon // Duke University, North Carolina. University Glasgow. -1962. - P. 39 - 46.

121. Li Junshan. A Boussinesq-Cerruti Solution Set for Constant and Linear Distribution of Normal and Tangential Load over a Triangular Area [Text] / Junshan Li, E.J. Berger // Journal of Elasticity. - May 2001. -Vol. 63, Number 2. -P. 137-151.

122. Ma Chien-Ching. Image Singularities of Green's Functions for an Isotropic Elastic Half-Plane Subjected to Forces and Dislocations [Text] / Ma Chien-Ching, Lin Ru-Li // Mathematics and Mechanics of Solids. - 2001. - Vol. 6, No. 5. - P. 503-524.

123. Mao, K. Effect of sliding friction on contact stresses for multilayered elastic bodies with rough surfaces [Text] / K. Mao, T. Bell, Y.Sun // ASME J. Tribol. - 1997. - No.119. - P. 476-480.

124. Mistakidis, E.S. Unilater al contact problems with fractal geometry and fractal friction laws: methods of calculations [Text] / E.S. Mistakidis, O.K. Panagoli, P.D. Panagiotopoulos // Comput. Mech. - 1998. - Vol. 21, No.11. - P. 353-362.

125. Morrey, C.B. On the analyticity of the solutions of linear elliptic systems of partial differential equations [Text] / C.B. Morrey, L. Nirenberg // Comm. Pure Appl. Math. - 1957. - № 10. - P. 271-290.

126. Nasedkin, A.V. New models of coupled active materials for finite element package ACELAN [Text] /A.V.Nasedkin, A.Skaliukh, A.Soloviev// AIP Conference Proceedings. - 2014. - V. 1637. - P. 714 - 723. (Web of Science, doi: 10.1063/1.4904643)

127. Oliveira, M.F.F. Boundary element formulation of axisymmetric problems for an elastic half-space [Text] /M.F.F. Oliveira, N.A. Dumont, A.P.S. Selvadurai // Engineering Analysis with Boundary Elements. -October 2012. -Vol.36, issue 10. - P.1478 - 1492.

128. On Green's function for a three-dimensional exponentially graded elastic solid [Text] / P.A. Martin, J.D. Richardson, L.J. Gray, J.R. Berger // Proc. R. Soc. Lond., A. - August 8, 2002. - 458. - P. 1931-1947.

129. Paget, D.F. The numerical evaluations of Hadammard finite-part integrals [Text] / D.F. Paget // Numer. Math. - 1981. - Vol. 36, № 4. - P. 447-453.

130. Pan, E. Three-Dimensional Green's Functions in an Anisotropic HalfSpace With General Boundary Conditions [Text] / E. Pan // J. Appl. Mech. -January 2003. - Vol. 70, Issue 1. - P. 101-110.

131. Polonsky, A. Fast methods for solving rough contact problems: a comparative study [Text] / A. Polonsky, L.M. Keer // ASME J. Tribol. - 2000. -№ 122. - P. 36-41.

132. Puzrin, A.M. The growth of shear bands in the catastrophic failure of soils [Text] / A.M. Puzrin, L.N. Germanovich // Proc. R. Soc., A. - April 8, 2005. -461. - P. 1-31.

133. Reissner, E. On a variational theorem in elasticity [Text] / E. Reissner // J. Math. and Phys. - 1950. - 29, № 2. - P. 90 - 95.

134. Selvadurai, A.P.S. Boussinasq's problem for an elastic half-space reinforced with a rigid disk inclusion [Text] / A.P.S. Selvadurai // Mathematics and Mechanics of Solids. - 2000. - Vol. 5, No. 4. - P. 483-499.

135. Selvadurai, A.P.S. On the Surface Displacement of an isotropic elastic half-space containing an inextensible membrane reinforcement [Text] / A.P.S. Selvadurai // Mathematics and Mechanics of Solids. - 2009. - Vol. 14, No. 1-2. -P. 123-134.

136. Shillor, Meir. Quasistatic problems in Contact Mechanics [Text] / Meir Shillor // Int. J. Appl. Math. Comput. Sci. - 2001. - Vol. 11, № 1. - P. 189-204.

137. Shyshkanova, G.A. Three-dimensional problem of the contact by doubly connected domain taking in to account roughness and friction [Text] / G.A. Shyshkanova // 21 Int. Congress of Theoretical and Applied Mechanics (ICTAM'04): Proc.: Warsaw, August 15-21, 2004. - Warsaw (Poland): IUTAM, IPPT PAN, 2004. - P. 222.

138. Simmonds, J. G. Notes on the nonlinearly elastic Boussinessq problem [Text] / J. G. Simmonds, G. Warne // Journal of Elasticity. - January 1994. - Vol. 34, Number 1. - P. 69-82.

139. Sneddon, I.N. The elementary solution of dual integral equations [Text] /I.N.Sneddon// Proc. Glasgow Math. Assoc. -1960. - №4. - P.108.

140. Stenberg, E. Tree-dimensional stress concentrations in the theory of elasticity [Text] / E. Stenberg // Appl. Mech. Revs. - 1958. - Vol. 11, № 1. - P. 14.

141. Szelagowski, F. Solution of tree-dimensional problem of the theory of elasticity in functions of comlex variables [Text] / F. Szelagowski // Bull. Acad. Polon. Sci. Thechn. - 1962. - Vol. 12, № 7. - P. 253-260.

142. Tang, Li-min. Tree-dimensional elasticity problems solved by complex variable method [Text] / Tang Li-min, Sun Hwan-chun // Scientia Sinica. - 1963. -Vol. 12, № 11. - P. 1627-1649.

143. Teong, A.W. A boundary integral equation method for the solution of a class of crack problem [Text] / A.W.Teong, D.L. Clements // J. of Elasticity. -1987. - 17. - No.1. - P. 9 - 21.

144. Tian, X. A numerical three-dimensional model for the contact of rough surfaces by variational principle [Text] / X. Tian, B. Bhushan // ASME J. Tribol. -1996. - 118. - P. 33 - 41.

145. Ting, T.C.T. Green's Functions for a Half-Space and Two Half-Spaces Bonded to a Thin Anisotropic Elastic Layer [Text] / T.C.T. Ting // J. Appl. Mech.

- September 2008. - Vol. 75, Issue 5. - P. 51103-1 - 51103-6.

146. Xu, Jin-Quan. A Normal Force on the Free Surface of a Coated Material [Text] / Jin-Quan Xu, Mutoh Yoshiharu // Journal of Elasticity. - December 2003.

- Vol. 73, no. 1-3. - P. 147-164.

147. Youngdahl, C.K. Tree-dimensional stress concentration around a cylindrical hole in a semi-infinity body [Text] / C.K. Youngdahl, E. Sternberg // J. Appl. Mech. Ser. E. - 1966. - Vol. 33, № 4. - P. 855-865.

148. Yuoggang, Xiao. Solution for elastic contact problem with friction using boundary element method [Text] / Xiao Yuoggang, Long Shuyao, Kuai Xingcheng // J. Human Univ. Natur. Sci. - 2000. - № 26(2). - P. 16 -19.

149. Zaletov, S. Mathematical modeling of the process of the deformation of an isotropic half-space under the action of distributed load at elastic fixing of the boundary [Text] /S. Zaletov// Proceedings of 6-th International Conference of Young Scientists CSE- 2013. November 21-23, 2013. - Lviv, Ukraine: Lviv Polytechnic Publishing House, Electronic edition, 2013. - P. 132 - 133.