Предельное состояние тонкого пластически анизотропного слоя, сжимаемого сближающимися гранями упругих параллелепипедов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Бородин, Иван Валентинович

• Бородин, Иван Валентинович
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Бородин, Иван Валентинович

Содержание

Введение

1 Постановка начально-краевой задачи

1.1 Предельное состояние слоя на границе полупространства

1.2 Предельное состояние слоя на границе упругого параллелепипеда

1.3 Метод последовательных приближений в решении задач пластического течения тонкого слоя

2 Формулировка и исследование тестовых задач

2.1 Предельное состояние пластически анизотропного слоя в форме прямоугольника на поверхности упругого полупространства

2.2 Предельное состояние пластически анизотропного слоя в форме эллипса на поверхности упругого полупространства

2.3 Выводы

3 Исследование предельного состояния пластически анизотропного слоя расположенного на грани упругого параллелепипеда

3.1 Исследование задачи о предельном состоянии слоя, занимаемого прямоугольную область

3.1.1 Определение давления на инструмент со стороны слоя прямоугольной формы

3.1.2 Определение упругих перемещений инструмента в результате действия давления со стороны слоя прямоугольной формы

3.2 Исследование задачи о предельном состоянии слоя, занимаемого эллиптическую область

3.2.1 Определение давления на инструмент со стороны слоя

эллиптической формы

3.2.2 Определение упругих перемещений инструмента в результате действия давления со стороны слоя эллиптической формы

3.2.3 Исследование напряженно-деформированного состояния инструмента

3.3 Сравнение результатов, полученных при решении тестовых задач с результатами решения совместной задачи теории упругости и задачи о предельном состоянии

3.4 Обсуждение полученных результатов

3.5 Выводы

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Предельное состояние тонкого пластически анизотропного слоя, сжимаемого сближающимися гранями упругих параллелепипедов»

Введение

Актуальность темы исследования

Диссертация посвящена исследованию предельного состояния тонкого слоя пластически анизотропного материала, сжимаемого упругими инструментами, моделируемыми прямоугольными упруго-деформируемыми параллелепипедами. Постоянное повышение требований к точности изготовления деталей влечет за собой разработку новых производственных технологий в процессах обработки давлением. Целесообразно изготавливать детали с точной геометрией уже на первых этапах обработки давлением, чтобы последующая, более дорогая механическая обработка была минимальной. Эта задача особенно актуальна для изготовления тонкостенных изделий заданной точности, т.к. существенное влияние на конечную геометрию детали оказывает деформируемость тела инструмента.

Процессы обработки давлением - сложные механические процессы, связанные с большим количеством параметров, для них характерны большие деформации начальной формы. Значительную роль играет скорость деформации и параметры внутренней структуры материала, например, переход материала в состояние сверхпластичности при обработке давлением.

Работа посвящена исследованию одного класса нестационарных задач обработки давлением пластического слоя, который расположен между двумя сближающимися поверхностями упруго-деформируемых внешних тел. Большинство технологических процессов обработки давлением (прессование тонкостенных элементов конструкций, чеканка, тонколистовая прокатка, дрессировка и д.р.) можно рассматривать как пластическое течение материала по поверхностям упругих тел инструментов: штампов, прессов.

В современной технологии обработки давлением возникает необходимость учитывать анизотропию как свойств материала, так и контактного трения [50,

59,61,84]. В этом случае добавляются дополнительные параметры, влияющие на процесс течения пластического слоя.

Для процессов течения в тонком слое, когда толщина слоя значительно меньше его главного линейного размера, характерны высокие удельные давления, на порядок превышающие величины сдвиговых напряжений. Под действием таких высоких давлений, а также с учетом конечной жёсткости инструмента, деформации, возникающие в теле инструмента, могут достигать величин порядка толщины слоя. Очевидно, что неучет этих деформаций при разработке самих инструментов может сказаться на конечной точности изготовления детали. В результате требуется достаточно большое количество переходов для достижения заданной точности геометрии заготовки на последующих этапах обработки, что увеличит стоимость и время изготовления детали конструкции.

Объектом исследования в данной работе является тонкий слой пластически-анизотропного материала.

Предметом исследования является предельное состояние тонкого слоя пластически анизотропного материала, сжимаемого телами сближающихся упругих инструментов с учетом их деформируемости.

Цели и задачи исследования

В виду актуальности исследований, проводимых в рамках теории течения тонкого пластического слоя, целью настоящей работы является:

1. формулировка и получение численных решений некоторых тестовых и типовых задач о предельном состоянии тонкого пластически анизотропного слоя, сжимаемого упруго-деформируемыми поверхностями инструментов с использованием современных программных вычислительных пакетов;

2. проведение широкого параметрического анализа этих решений;

3. анализ напряженно-деформированного состояния инструмента.

История проблемы исследования

В 1923 году Л. Прандтлем была поставлена и решена классическая задача о сжатии полосы двумя сближающимися жесткими плоскостями [87], позднее, в 50-х годах, Надаи А. построил кинематическую картину состояния в

слое этого течения [65]. В эти же годы Р. Хиллом рассматривались задачи листовой прокатки в приближённой инженерной постановке, где учитывались деформации валков [82,85].

В 50-х годах A.A. Илыошин в общем виде сформулировал задачу пластического течения металлов в приложениях к процессам обработки давлением [28]. В развитой теории [29] учитывается влияние степени и скорости деформации, введен специальный вариационный принцип, исследованы условия подобия и установлены правила моделирования процессов пластического течения. Также A.A. Ильюшиным на основе анализа решения Прандтля-Надаи была разработана эффективная теория течения тонких слоев металла по поверхностям тел инструментов [25,30]. Особо стоит отметить работу [27], где представлено решение задачи о растекании тонкого пластического слоя постоянной толщины в форме кольца.

Эксперименты по расчету усилий при обработке металла давлением проводились Е.П. Ушссовым [78,79], А.Д. Томленовым [77]. И.Я. Тарновским и А.Н. Левановым были произведены успешные попытки измерения контактных напряжений при пластической деформации [75,76]. Также эксперименты по данной проблеме проводились В.М. Сегалом [70] и другими учёными.

Существенный вклад в развитие современной теории течения в тонком пластическом слое внес И.А. Кийко [39-51,66-68]. Его работы стали одними из первых, в которых подробно исследовалось влияние деформации тела инструмента на процесс течения [39-44,51]. И.А. Кийко сформулировал задачу течения в тонком пластическом слое в пространстве между двумя сближающимися поверхностями упруго-деформируемых тел и предложил вариационный метод решения [39]. Им исследованы процессы течения в условиях теплообмена, когда имеется существенная разница начальных температур между слоем и инструментом [46]. Кроме того, в работах П.М. Огибалова, И.А. Кийко и Л.К. Кийко [66-68] рассчитаны методом песчаной аналогии контактные давления со стороны слоя, общие усилия прессования ребристых пластин; проведена экспериментальная проверка теоретических результатов, которые в дальнейшем использовались другими исследователями.

В работе Ю.С.Арутюнова [5] использовался метод преобразования Ле-жандра для решения задач течения пластических слоев в плоской постановке и построены эпюры истинных контактных давлений. И.В. Костарев [55,56]

разработал методы расчета процессов штамповки ребристых поковок сложной формы.

Задача о растекании слоя постоянной (не зависящей от координат) толщины в условиях изотропии (как материала слоя, так и контактного трения) поставлена в работах A.A. Илыошина [26,27]. В публикации И.А. Кийко [45] дана постановка для случая переменной толщины, но фактически приведенные «решения подобия» относятся к случаю постоянной толщины. В статье И.А. Кийко 2006 года [48] поставлена задача о течении тонкого слоя в условиях анизотропии, а в работе [49] представлены уравнения растекания, приведены решения подобия и классы новых автомодельных решений.

Задача об обработке тонкостенных оболочек из анизотропного материала исследована в работах С.П. Яковлева [83]. Также большое количество публикаций других авторов посвящено различным исследованиям процессов обработки давлением анизотропных материалов: работы A.A. Маркина, Н.М. Матченко [58,60,62].

В теорию течения также свой вклад внесли: С.С. Григорян [4], А.Н. Мо-хель и P.JL Салганик [63], В.А. Кадымов [31-35], Г.Х. Соловьёв [74], С.К. Быстриков [21,22,34] и многие другие авторы [1-3,6-9,11,13,23,24,36-38,52, 54,57,64,71-73,86].

В представленной работе продолжено исследование в данной области механики, распространенное на случай анизотропии свойств материала слоя. В ней учтены результаты работы Д.М. Бодунова для изотропного слоя [12], где в качестве контактирующих со слоем тел принимается модель полупространства. А также, используются результаты работы П.В. Коваленко [53], в которой осуществлен переход от модельного подхода, реализованного в [12], к задаче, где течение тонкого пластически-изотропного слоя происходит между двумя сближающимися друг с другом упругими трёхмерными телами. В настоящей работе учитывается анизотропия свойств материала слоя и рассмотрены некоторые другие формы границы области течения слоя.

Представленный обзор работ в данной области механики показывает высокую актуальность исследований в этом направлении и огромный потенциал общей теории течения тонких слоев, основоположниками которой по праву считаются A.A. Ильюшин и И.А. Кийко. Некоторые задачи были успешно решены последователями этих ученых, некоторые в силу различных обстоя-

тельств остались нетронутыми к настоящему времени. Вместе с тем потребности производственных технологий обработки давлением нуждаются в четком математическом обосновании.

Как видно, важная в практических приложениях проблема течения тонких пластических слоев в условиях анизотропии свойств материала и контактного трения на сегодня практически не исследована. Цель настоящей работы -разработка и исследование математической модели описывающей предельное состояние в тонком слое пластически анизотропного материала, сжимаемого упруго-деформируемыми поверхностями тел инструментов.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту

1. Новые постановки задач о предельном состоянии тонкого слоя пластически анизотропного материала, сжимаемого упругими телами инструментов и их решения.

2. Результаты параметрического анализа этих решений.

3. Исследование напряженно-деформированного состояния инструмента в задачах течения тонкого пластического слоя

Достоверность научных положений

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием фундаментальных положений механики деформируемого твердого тела, а также сравнением полученных численных решений с имеющимися решениями для случая изотропного материала [12,53].

Научная новизна

В данной работе впервые сформулированы и исследованы задачи о предельном состоянии тонкого пластически анизотропного слоя, сжимаемого поверхностями упругих тел. Рассмотрены случаи из процессов течения в прямоугольной и эллиптической областях. Проведен подробный параметрический анализ моделей и сделана оценка влияния параметра анизотропии на скорость сходимости метода последовательных приближений.

Установлены границы значений параметров, когда сложная задача о течении слоя по границе параллелепипеда с хорошей точностью может быть

заменена более простой — задачей о течении слоя по границе полупространства.

Также проведено исследование напряженно-деформированного состояния инструмента, смоделированного как трехмерное упругое тело, для которого построены кривые распределения интенсивности напряжений.

Практическая ценность

Результаты диссертации представляют интерес для некоторых теоретических и практических приложений процессов обработки давлением. Разработанная в рамках диссертации методика может быть непосредственно использована специалистами промышленных предприятий и НИИ при проектировании и расчёте новых современных технологических процессов и оснастки в технологии обработки давлением.

Публикации

Теме диссертационного исследования посвящено 7 работ автора [14-20]. Основное содержание и научные результаты отражены в цитированных публикациях автора [15,16,19].

Апробация

Основные результаты работы обсуждались: на научных конференциях «Ломоносовские чтения» (Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 15-24 апреля 2013 года и 14-23 апреля 2014 года); на международных научных конференциях «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, Тульский государственный университет, 16-20 сентября 2013 года, 17-21 сентября 2012 года, 15-19 сентября 2014 года); на аспирантском семинаре кафедры теории упругости Московского государственного университета (г. Москва, 12 ноября 2014 года); научный семинар кафедры Математического моделирования ТулГу под руков. проф. A.A. Маркина (Тула, ТулГУ, 15 января 2015 года).

Объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложений. Общий объем работы составляет 92 страниц. В работу включены 57 рисунков и 8 таблиц.

Хочу выразить глубокую признательность и благодарность заслуженному деятелю науки РФ, профессору МГУ им. М.В. Ломоносова Игорю Анатольевичу Кийко, моему научному руководителю, профессору Университета Машиностроения «МАМИ» Михаилу Алексеевичу Бодунову и научному консультанту, доценту к.ф.-м.н. Дмитрию Михайловичу Бодунову — за постоянное внимание и помощь при выполнении работы.

Глава 1

Постановка начально-краевой задачи

Рассматриваемый класс теоретических задач на практике представляет процессы обработки давлением, такие как: тонколистовая прокатка, прессование тонкостенных элементов конструкций, дрессировка и др. В результате этого процесса получают плоские детали из заготовок, толщина которых значительно меньше размеров в плане (лист, лента, полоса).

Исследования в данной области имели дело преимущественно с изотропными материалами [12,53]. В данной работе будем рассматривать обработку давлением тонкого слоя пластически анизотропного, конкретно — ортотроп-ного, материала.

Обозначим за /г толщину слоя, I - главный линейный размер слоя (для прямоугольника - это его длина, для эллипса - длина его большей оси). Слой

материала будем называть тонким если - С 1, т.е. толщина слоя много мень-

6

ше его длины.

Материал характеризуется следующими параметрами: а3 = \/Зт6. - предел текучести материала, т8 - предел текучести материала на сдвиг, Е - модуль Юнга.

Пусть рассматриваемый слой (материал ортотропный) расположен между двумя параллельными поверхностями (упругих тел инструментов), которые сближаются с равномерной скоростью по направлению друг к другу. В результате заданного движения инструментов тонкий слой сжимается и растекается.

Общая схема процесса представлена на Рис. 1.1, начало системы координат положим в центре обрабатываемого образца на границе контакта.

Расстояние между рабочими поверхностями тел инструментов определяет толщину слоя материала (см. Рис. 1.1) и является весьма малым по сравнению с размерами слоя вдоль осей ОХ и ОУ (см. Рис. 1.1 б), так же

а)

б)

Рис. 1.1: Общая схема процесса

будем предполагать, что размеры тел инструментов существенно превосходят размеры слоя.

Пусть в некоторый начальный момент времени £ = ¿о слой занимает область 5, ограниченную кусочно-гладким контуром Г (см. Рис. 1.1 а), уравнение которого можно записать в явном виде:

Г:у = у0(х0). (1.1)

Пусть положение поверхностей инструментов в недеформированном состоянии (см. Рис. 1.1) задано функциями времени:

^ = Л

* = к (я, ?/,*).

Зная эти функции можно определить толщину слоя, сжимаемого жесткими поверхностями

Цх,у,г) = /2(х,у,г) - Л(х,г/,4).

В процессах течения тонких слоев на поверхности контакта развиваются

высокие напряжения. Давление, возникающие на поверхности контакта слоя с

I2

инструментом, является величиной порядка Р ^ а[12], поэтому в инстру-

№

менте возникают заметные упругие деформации. На Рис. 1.16) пунктирными линиями условно отмечены деформации поверхностей инструментов. Следовательно, толщина слоя также зависит и от процесса:

= ¡2 (х,у,г) - Л (я, + и)1{х,у^) + И)2{х,у,1)

Обозначим начальную толщину слоя /го, а величину упругих деформаций т = 11)\{х, у, ¿) + 'Ш2(х, у, тогда толщина слоя, сжимаемого поверхностями, будет иметь вид:

!г(х, у, €) = к0{х, у, £) + ги(ж, у, (1.2)

В рамках данного исследования мы не будем фокусироваться на кинематике задачи и будем рассматривать этап процесса, когда на слой уже действует давление со стороны инструментов, т.е. такой момент времени когда весь слой полностью перешел в состояние пластичности, а граница контура (1.1)

практически не изменилась. Таким образом мы не затрагиваем процесс растекания тонкого слоя.

Материал слоя предполагается анизотропным. Свойство анизотропии материала моделируется способом, предложенным И.А. Кийко в [48] - как от-

т,

ношение пределов текучести материала вдоль главных осей /3 = —. Трение

Те

"у

будем считать изотропным.

Задачу решаем в предположении, что оба инструмента обладают одинаковыми физическими свойствами и геометрией. В этом случае можно допустить, что при равномерном сближении поверхностей инструментов средняя плоскость ОХУ (см. Рис. 1.1) остается неподвижной и неизменной. Это позволяет, вследствие симметрии процесса, рассматривать упрощенную задачу (См. Рис. 1.2): пусть тонкий слой пластически-анизотропного материала расположен на упругом теле инструменте, а на верхней границе слоя (г — /¿о) выполнены условия непроницаемости. Если принять начальную толщину слоя

/¿о = — за постоянную величину, фактическая толщина слоя с учетом упругих деформаций определяется

к(х, у) = 1г0 + и){х, у)

Таким образом, нахождение неизвестной толщины слоя пластически анизотропного материала, определенной в (1.2), и нахождения распределения давления в нем при сжатии параллельными поверхностями упругих тел представляется основной целью исследования.

Перейдем к математической формулировке задачи пластического течения в тонком слое. Пусть Р - давление, которое оказывает слой на поверхность инструмента, V = {и, г>} - осредненный по толщине вектор скорости частиц слоя, 0 - угол между вектором V и осью ОХ, а3 - предел текучести материала при известных уловиях процесса течения. Принимая во внимание упрощения представленные выше и гипотезы изложенные в [43,47] запишем уравнение равновесия элемента слоя 1к1хс1у:

дР 2 т8 и 2 т8

СОБ в

дх Н у/и2 + у2 Ь

бшО

дР 2 т8 V 2 т8

(1.3)

ду К у/и2 + V2 Н Систему (1.3) преобразуем к виду:

здесь тА. - предел текучести материала на сдвиг, а3 — л/3т3.

Граничные условия примем в форме свободного растекания. Если контур Г свободен от внешних воздействий (ахх = ауу = 0), то Р(хо,уо) = а3. Если граница является пазом (так что в него может свободно втекать металл слоя), ширина паза порядка или меньше толщины слоя ко, то приближённым условием свободного втекания будет Р(хо,уо) ~ 2сг3. В общем случае будем иметь:

Р{х^уо) = \(т3. (1.5)

На границе области течения давление пропорционально пределу текучести, здесь (хо,уо) - точка на контуре Г, Л - безразмерный коэффициент порядка единицы.

Для окончательного представления начально-краевой задачи необходимо представить соотношения для нахождения функции и>(х,у) из правой части (1.4) - суть величина прогиба инструмента в результате действия давления Р

со стороны слоя. Далее мы будем рассматривать две схожие модели: в одной мы будем моделировать инструмент упругим полупространством, в другой -упругим параллелепипедом.

1.1 Предельное состояние слоя на границе полупространства

Пусть течение тонкого слоя, предельное состояние которого мы рассматриваем, в указанной выше постановке происходит по границе упругого полупространства. Толщина слоя h в системе (1.3) определяется в ходе решения задачи, в простейшем случае, когда известна функция жесткости тела инструмента Н(хту,х', у1), для w справедливо [10]:

w(x, у) = д Jj Н(х, у, а/, у')Р(х', у') dx'dy\ (1.6)

параметр 5 характеризует размерность функции жесткости.

Определение функции влияния Н для произвольного упругого трёхмерного тела представляет собой самостоятельную задачу. В нашем случае, когда инструмент моделируется полупространством, выберем в качестве функции жесткости Н соотношение, известное из решения задачи Буссинеска о действии сосредоточенной силы на поверхности полупространства [10,38,86]:

1

; у/(х - х'У + (:У - у'У

Уравнения (1.6), (1.3) с граничным условием (1.5) составляют начально-краевую задачу.

Отметим, что задача о течении тонкого слоя идеально пластического материала по поверхности, ограничивающей упругое полупространство, в указанной постановке исследована в работе [12].

В обобщении теории течения тонкого пластического слоя на случай анизотропии материала и контактного трения в [48] показано, что уравнение, связывающее давление в слое ортотропного материала с его толщиной, а, следовательно, и с упругими деформациями инструмента, выводится аналогично как и (1.4) и имеет вид:

(дР\2 а(дР\2 4 т2

где (3 - параметр, представляющий отношение пределов текучести материала вдоль осей х и у соответственно, т.е. анизотропии [48]. После подстановки у = (Зг) в (1.4), получаем

/дР\2 (дР\2 4 г2

это позволит нам в дальнейшем решать данную задачу с помощью метода последовательных приближений [80,81].

Приведем полученную систему уравнений к безразмерному виду. Для этого координаты х, у, х', у' отнесем к I, перемещения ии к /г0, напряжения Р к пределу текучести материала сгА.

_ X _ у — х' — у'

х=гу=гх = г У=Т>

_ IV IV = —;

п0

Функцию давления определим как

7 = (Р ~ ^ 2тв1 '

Уравнение (1.8) и граничное условие (1.5) с учетом (1.9) и К — Но + ии перепишутся в следующем виде:

С(*о,Уо)=0. (1.11)

Знак обезразмеривания опустим и в дальнейшем будем полагать, что мы работаем с безразмерной задачей.

Из (1.6) получим:

w(x,y)=ói JJ Н{х, у, х': ?/) dx'dy' + ó2 JJ H(x, у, х', у')({х', y')dx'dy\

s

(1.12)

. ÓXasl 2ÓX rsl2 где ói = —-—, 02 = —Yo—, о - характеризует размерность функции жестко-

го

сти.

h2

Соотношения (1.10), (1.12) и начальное условие (1.11) представляют постановку задачи о течении тонкого пластически-анизотропного слоя по границе полупространства в безразмерном виде, подробное решение [14,18] которой будет рассматриваться во второй главе.

1.2 Предельное состояние слоя на границе упругого параллелепипеда

Параллельно сформулируем еще одну задачу, которая имеет более близкое инженерное приложение. Здесь мы будем моделировать течение тонкого слоя (в постановке, описанной выше) по границе упругого параллелепипеда и рассматривать предельное состояние этого слоя. Аналогично, как в случае полупространства, за счет симметрии, рассматриваем упрощенную задачу: тонкий слой расположен на верхней грани параллелепипеда. Геометрия процесса течения в трехмерном пространстве представлена на (Рис. 1.3).

кЪ

1ъ:

И

щзшт

шшшд

/777777777777777/

А

Инструмент

7777777777777777

X

а) Вид в трехмерном плане

б) Вид в сечении плоскостью у = О

Рис. 1.3: Схема процесса течения тонкого слоя по границе параллелепипеда

Для нахождения функции ъ,у) справедливо (1.6). Функция жесткости Н(х,у,х',у') для упругого параллелепипеда в данном случае не известна.

Для нахождения и>{х,у) формулируется задача теории упругости для тел инструментов. Запишем основные её соотношения, определяющие напряженно-деформированное состояние тела инструмента [25,27,43,51]. Уравнения равновесия в форме Ламе [10]:

<90

(А + fi)-^ + цАих = 0 <90

(\ + n)— + [iAuy = Q <90

(А + аО— + iiAUz = 0

где Д — оператор Лапласа, 0 — £хх + £уу

дих

_ диу

ди?

'XZ

дх

1 (duz_ дих

2 V ~дх ch

'УУ

ду

£7.7.

dz

1 {duz дщ

£yz~ 2 Уду +

д z

Соотношения Ламе [10,29]:

&ХХ

аУУ Ozz

&XZ

О.

yz

v

Хв + 2fiexx Хв + 2 ¡JLSyy Хв + 2 fiszz

2{-l£Xz 2j-L£yz

о

(1.13)

-XIJ

0.

(1.14)

Граничные условия для задачи теории упругости имеют вид:

1. При ^ = —Н: и2 — 0; ахг — 0; ауг = 0.

2. При г =

в области ¿х: агг = — Р; ахг ~ 0; ау2 « 0. в области £>2: сггг = 0; аХ2 = 0; сгу2 = 0.

3. Боковая поверхность: = 0,

(1.15)

где — область, занятая слое, Бч — свободная поверхность.

Как показано в работе [51], задача сформулирована с точностью до величины порядка —. Касательные напряжения в области, занятой слоем, несу-

6

щественны по сравнению с нормальными напряжениями. Ими можно пренебречь, положив близкими к нулю.

С помощью соотношений Ламе (1.14) граничные условия (1 .^представляются в перемещениях:

X. При z=-H:uz = 0; ^ = 0; ^ = 0.

OZ OZ

2. При z = 0:

в области (2ц + А)^ + Л + ^) = -Р(х, у);

duz dux _ о>

дх dz ' duz duv

« , sduz , fдих дщ\

в области S2: (2ц + А)-^ + А i+ ) = 0;

duz дих

—- Н--- - 0;

дх dz

duz duy _ 0 ду dz

< 3. Боковая поверхность: a^nj — 0

Таким образом, для нахождения распределения давления Р в слое и толщины слоя h необходимо решить систему (1.13) с граничными условиями (1.16) совместно с системой уравнений течения (1.3). Совокупность перечисленных уравнений представляет собой сложную систему нелинейных дифференциальных уравнений. В настоящий момент аналитическое решение этой системы в общем виде не найдено и в данной работе представлено численное решение для некоторых частных случаев поставленной задачи.

Приведем полученную систему уравнений и граничные условия к безразмерному виду: все линейные размеры и координаты А, В, Н, х, у отнесем к характерному размеру инструмента, перемещения - к начальной толщине слоя ho (которую считаем постоянной), напряжения - к удвоенному пределу текучести материала слоя на сдвиг 2т5:

р р h г х - У -= 7 = h> 7 = 7 = У-

2т, ' / ' / ' I Очевидно, что уравнения равновесия и все уравнения системы граничных условий (кроме одного) в силу своей однородности не изменятся, поэтому за безразмерными функциями и параметрами можно оставить прежние обозначения. Уравнения (1.8), (1.5), а также одно из граничных условий примут следующий безразмерный вид:

дР дР к 1

Ox or/ L (1 + w)

Р(х0,у0) = ^ (1.18)

^ ^ / чч duz , (дих duv\ к . ,,

z — О, в области Si: (2/z + + A f ~ + ) = -=Р{х,у), (1.19)

1 h

где — = — - относительная толщина слоя; к I

Т L - г

L =--параметр, характеризующий размеры слоя (так как во всех за-

tlQ

дачах, рассматриваемых в главе 3, принимается L = 1, то и черту можно опустить);

ho - характерный размер слоя; L - характерный размер инструмента.

Соотношения (1.17), (1.13), (1.15) и граничные условия (1.16), (1.18), (1.19) представляют постановку задачи о течении тонкого пластически-анизотропного слоя по границе параллелепипеда в безразмерном виде, подробное решение [ 17,20] которой рассмотрено в третьей главе.

1.3 Метод последовательных приближений в решении задан пластического течения тонкого слоя

Система уравнений теории упругости (1.13), (1.16) — в безразмерном виде—и уравнения течения (1.17), (1.18) решается методом последовательных приближений [80,81] так же, как это делается в работах для изотропного материала [12,53]. В нулевом приближении полагаем w= 0; из уравнений (1.17) с условиями (1.18) находится первое приближение давления Р( D( X, Г)) в системе координат Охт).

Далее осуществляется переход Охт] —у Оху\ у = рг/. Т.е. Ро1у{х,у) =

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бородин, Иван Валентинович, 2015 год

Литература

1. Георгиевский Д.В. Устойчивость процессов деформирования вязкопласти-ческих тел. - УРСС, 1998.

2. Гордон В.А., Тинякова Е.В., Шоркин B.C. О пластическом поведении материала в поверхностном слое твердого тела // Исслед. в обл. теории, технол. и обор. ОМД.- 1998.-С. 150-153.

3. Григорьев И.П., Ивлев Д.Д. О сдавливании круглого в плане идеально-пластического слоя шероховатыми плитами // Механика твердого тела. — 2000. -№ 1.-С. 129-140.

4. Григорян С.С. Об одной задаче JI. Прандтля и теории течения пластического вещества по поверхностям // Доклады академии наук СССР. — 1981.— Т. 257, № 5.-С. 1075-1077.

5. Арутюнов Ю.С., Гонор А. Л. Осаживание тонких поковок произвольной формы в плане // Изв. АН СССР. Механика и материалы. — 1963. — № 1. — С. 166-171.

6. Ершов JI.B. О приближенном решении осесимметричных упруго пластических задач методом малого параметра // Проблемы механики деформируемых твердых тел и горных пород - Сборник статей к 70-летию Ершова Л.В.-2002.

7. Ершов Л.В., Ивлев Д.Д., Романов А.Д. Об обобщениях решения Л. Прандтля о сжатии пластического слоя шероховатыми плитами // Сборник «Современные проблемы механики и авиации». — 1962. — С. 137-144.

8. Дмитриев A.M., Воронцов А.Л. Определение с учетом упругой деформации матрицы технологических параметров штамповки выдавливанием // Вестник МГТУ, Серия машиностроение. — 2002. — № 2. — С. 76-93.

9. Друянов Б.А. О применимости жесткопластического анализа к некоторым технологическим задачам // Изв. АН СССР, Механика твердого тела.— 1971.-№3.-С. 179-183.

10. Безухов Н.И. Теория упругости и пластичности.— Москва : Гостехизд., 1953.- С. 420.

И. Безухов Н.И. Об осадке пластического слоя некруговой формы в плане : Дисс... кандидата наук / Н.И. Безухов ; -. — Москва, 1955. — С. 78.

12. Бодунов Д.М. Течение тонкого слоя идеально-пластического материала по деформируемым поверхностям : Дисс... кандидата наук / Д.М. Бодунов ; Московский государственный технический университет МАМИ. — Москва, 2004.-С. 163.

13. Бодунов Д.М., Исаев В.П., Кийко Л.К. О растекании тонкого пластического слоя // Известия МГТУ МАМИ. - 2010. - № 1. - С. 181-185.

14. Бородин И.В., Бодунов М.А., Бодунов Д.М. Течение тонкого пластически анизотропного слоя по поверхностям упругих тел // Тезисы доклада научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики». — 2013. — С. 72.

15. Бородин И.В., Бодунов Д.М., Бодунов М.А. Течение тонкого слоя пластически анизотропного материала по поверхности упругого полупространства // Известия МГТУ «МАМИ».- 2013.- Т. 3, № 1(15).- С. 13-18.

16. Бородин И.В., Бодунов Д.М., Бодунов М.А. О напряженно-деформированном состоянии инструмента в процессах течения тонкого пластического слоя // Известия МГТУ «МАМИ»,— 2014.— № 4(22).— С. 11-15.

17. Бородин И.В., Бодунов М.А., Бодунов Д.М. Течение тонкого слоя пластически анизотропного материала по грани упругого параллелепипеда // Тезисы доклада научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики». — 2014. — С. 172.

18. Бородин И.В., Бодунов Д.М., Кийко И.А. Течение тонкого пластически анизотропного слоя по поверхностям упругих тел // Тезисы доклада научной конференции «Ломоносовские чтения». — 2013.— С. 69.

19. Бородин И.В., Бодунов М.А., Кийко Л.К. Течение тонкого слоя пластически анизотропного материала по грани упругого параллелепипеда // Известия МГТУ «МАМИ». - 2014. - № 3(21). - С. 22-29.

20. Бородин И.В., Бодунов Д.М., Кийко И.А. Течение тонкого слоя пластически анизотропного материала по грани упругого параллелепипеда // Тезисы доклада научной конференции «Ломоносовские чтения». — 2014. — С. 72.

21. Быстриков С.К. Вывод точного дифференциального уравнения растекания пластического слоя между сближающимися упруго-деформируемыми по Винклеру плоскостями и его исследование // Изв. ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. — 2006.— Т. 12, № 1. — С. 2.

22. Быстриков С.К. Исследование некоторых задач о растекании тонкого пластического слоя по поверхностям деформируемых упругих тел: Автореф. : Дисс... кандидата наук / С.К. Быстриков ; Московский государственный технический университет МАМИ. — Москва, 2006.

23. Ивлев Д.Д., Ишлинский А.Ю., Максимова Л.А. О свойствах течений изотропной среды // Доклады РАН. - 2000. - Т. 375, № 2. - С. 191-194.

24. Ивлев Д.Д., Максимова Л.А. О плоских течениях идеально жесткопласти-ческой среды // Доклады РАН. - 2000. - Т. 370, № 1. - С. 43^5.

25. Ильюшин A.A. Вопросы теории течения пластического вещества по поверхностям // Прикладная математика и механика. — 1954. — Т. 18, № 3. — С. 265-288.

26. Ильюшин A.A. Вопросы теории течения пластического вещества по поверхностям // ПММ. - 1954. - Т. 18, № 3. - С. 265-288.

27. Ильюшин A.A. Полная пластичность в процессах течения между жесткими поверхностями, аналогия с песчаной насыпью и некоторые приложе-

ния // Прикладная математика и механика. — 1955. — Т. 19, № 6. — С. 693713.

28. Ильюшин A.A. Некоторые вопросы теории пластического течения // Изв. АН СССР. - 1958. - № 2. - С. 64-86.

29. Ильюшин A.A. Пластичность. - АН СССР, 1963. - С. 376.

30. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды.— Москва : МГУ, 1978. — С. 288.

31. Кадымов В.А. Расчет пластических течений в тонком слое металла // Teorijska i primenjena mechanika. — 1987. — № 13.— С. 55-63.

32. Кадымов В.А. К решению задачи JL Прандтля об осадке полосы из идеально-пластического материала // Трехмерные зад. мех-ки структ.-неодн. сред. - 1991.-С. 107-114.

33. Кадымов В.А. Нестационарные задачи течений в тонком пластическом слое.— Баку, Институт математики и механики. : Дисс... докт. физ.-мат. наук., 1994,- С. 226.

34. Кадымов В.А., Быстриков С.К. Обобщения постановок краевых задач теории течения тонких пластических слоев и новые решения // Упругость и неупругость. - 2006. - Т. 11, №2.-С. 153-160.

35. Кадымов В.А., Чулафич 3. Метод и точные решения задач течения в тонком слое металла // Изв. АН Азерб. ССР. - 1983. - № 3. - С. 50-55.

36. Кальменев A.A., Лукашкин Н.Д. Состояние теории расчета давления и усилия при холодной тонколистовой прокатке // Сталь. — 2001. — № 11.— С. 44^17.

37. Капланова Е.В. Давление металла на валки при холодной круговой прокатке тонких дисков // Захист металлурпчних машин вщ поломок. — 2002. — №6.-С. 61-67.

38. Качанов Л.М. Основы теории пластичности.— Москва : Наука, 1969.— С. 420.

39. Кийко И.А. Вариационный принцип в задачах течения тонкого слоя пластического вещества // Доклады академии наук СССР.— 1964,— Т. 157, № 3.- С. 551-553.

40. Кийко И.А. Течение тонкого слоя пластического материала по упруго-деформируемым поверхностям // Инженерный журнал.— 1965.— Т. 5, № 2.-С. 372-375.

41. Кийко И.А. Точное решение одной задачи пластического течения в тонком слое по упругим поверхностям // Доклады академии наук СССР. — 1965. — Т. 161, № 1.-С. 40^12.

42. Кийко И.А. К теории пластического течения в тонком слое по деформируемым поверхностям // Механика твердого тела,— 1966,— № 5.— С. 123— 126.

43. Кийко И.А. Теория пластического течения. — Москва : МГУ, 1975. — С. 75.

44. Кийко И.А. Теория пластического течения // Прикладная математика и механика. - 1978.- С. 50-57.

45. Кийко И.А. Пластическое течение металлов // Научные основы прогрессивной техники и технологии, Сборник трудов под ред. Лымзина. — 1985.-С. 376.

46. Кийко И.А. Теория пластического течения в тонком слое металла // Научн основы прогресс, техники и технологии. — 1985. — С. 102-133.

47. Кийко И.А. Обобщение задачи Л. Прандтля о сжатии полосы // Вестник Московского университета. — 2003. — № 4. — С. 50-56.

48. Кийко И.А. Анизотропия в процессах течения тонкого пластического слоя // ПММ. - 2006. - Т. 70, № 2. - С. 344-351.

49. Кийко И.А. Анизотропия в процессах течения тонкого пластического слоя // ПММ. - 2006. - Т. 70, № 2. - С. 344-351.

50. Кийко И.А. Технология обработки давлением и новые постановки задач в теории пластичности // Тр. IX конференции по прочности и пластичности. - Т. 3. - Москва, 22-26 января 1996. - С. 145-149.

51. Кийко И. А. Теория пластического течения в тонком слое металла. — Москва : Институт механики МГУ, 1971. — С. 66.

52. Клюшников В.Д. Плоское установившееся течение жестко-пластического материала // Доклады АН СССР. - 1988. - Т. 303, № 4. - С. 815-817.

53. Коваленко П.В. Течение тонкого слоя пластического материала по грани упруго-деформируемого инструмента : Дисс... кандидата наук / П.В. Коваленко ; Московский государственный технический университет МА-МИ. - Москва, 2009. - С. 110.

54. Козлова О.В. Накопление деформаций при осесимметричном пластическом течении // Дальневосточная математическая школа-семинар им. ак. Золотова Е.В. — Владивосток, 2002. — С. 79-80.

55. Костарев И.В., Баев Б. А. Использование положений теории течения тонкого пластического слоя для проектирвоания технологических процессов // Технология легких сплавов. — 1979. — № 7. — С. 47-50.

56. Костарев И.В., Казьмин А. В. Исследование процесса штамповки деталей с ребрами жесткости // Известия высших учебных заведений. Машиностроение.- 1981,-№5.-С. 114-116.

57. Ломакин Е.В. Пластическое течение дилатирующей среды в условиях плоской деформации // Известия РАН, Мекханика твердого тела. — 2000. — № 6. - С. 58-68.

58. Маркин A.A., Соколова М.Ю. Термомеханика конечного деформирования анизотропных тел // Известия Тульского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Информатика. — 2001. — Т. 7, № 2. — С. 130.

59. Маркин A.A., Соколова М.Ю. Термомеханические модели необратимого конечного деформирования анизотропных тел // Проблемы прочности. — 2002. -№ 6.- С. 5-13.

60. Маркин A.A., Соколова М.Ю. Термомеханические модели необратимого конечного деформирования анизотропных тел // Проблемы прочности. — 2002.- №6. -С. 5-13.

61. Матченко Н.М. Модификация квадратичного условия предельного состояния ортотропной среды // Механика деформируемого твердого тела и обработка металлов давлением. Часть 1. — 2002. — С. 27-31.

62. Матченко Н.М. Модификация квадратичного условия предельного состояния ортотропной среды // Механика деформируемого твердого тела и обработка металлов давлением. Часть 1. — 2002. — С. 27-31.

63. Мохель А.Н., Салганик P.JI. Тонкий идеальнопластичный слой с произвольным контуром, сжимаемый между жесткими плитами II Доклады академии наук СССР. - 1987. - Т. 293, № 4. - С. 809-813.

64. Мясищев A.A. Решение в рядах задачи о сжатии жесткопластического слоя шероховатыми плитами // Известия вузов. Черн. металл-я. — 1986. — № 1.-С. 81-103.

65. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. — Москва : Изд. иностранной литературы, 1954.— С. 647.

66. Огибалов П.М., Кийко И.А. Задачи пластических течений // Инженерный журнал.-1961.-Т. 1, № 3. — С. 181-184.

67. Огибалов П.М., Кийко И.А. Определение усилий штамповки и прессования некоторых элементов конструкций // Расчеты процессов пласт, форм-я мет. - Москва : Мир, 1962. — С. 73-77.

68. Огибалов П.М., Кийко И.А., Кийко JI.K. Растекание тонкого пластического слоя // Прикладная механика. - 1988. - Т. 24, № 10. - С. 88-94.

69. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. — 2-ое изд. — Москва : Наука, 1988,- С. 712.

70. Сегал В.М. Технологические задачи теории пластичности. — Минск : Наука и технологии, 1977. — С. 253.

71. Соколова М.Ю. Термомеханические модели процессов конечного деформирования анизотропных тел. — Тула, Тульский государственный университет : Дисс... докт. физ.-мат. наук. 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела, 2003. — С. 258.

72. Соколова М.Ю., Астапов Ю.В. Термомеханическая модель нелинейного анизотропного материала // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. — 2012. — № 3. — С. 102-109.

73. Соколова М.Ю., Христич Д.В. Модель упругопластического деформирования нелинейных анизотропных материалов // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. — 2013.— Т. 2, № 2.— С. 239-250.

74. Соловьев Г.Х. Нестационарные задачи течения тонкого пластического слоя по деформируемым поверхностям : Дисс... кандидата наук / Г.Х. Соловьев ; Московский государственный технический университет МАМИ. — Москва, 2005.- С. 104.

75. Тарновский И .Я., Леванов А.Н., Посеваткин М.И. Контактные напряжения при пластической деформации. — Москва : Металлургия, 1966.— С. 279.

76. Тарновский И .Я., Поздеев А. А. Теория обработки металлов давлением.— Москва : Металлургизд., 1963.— С. 672.

77. Томленов А.Д. Теория пластического деформирования металлов. — Москва : Металлургия, 1972.— С. 408.

78. Унксов Е.П. Инженерные методы расчета усилий при обработке металла давлением. — Москва : Машгиз, 1955.— С. 280.

79. Унксов Е.П., Джонсон У., Колмогоров В. Л. Теория пластических деформаций металлов. — Москва : Машиностроение, 1969. — С. 503.

80. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2001. - Т. 3. - С. 662.

81. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.- Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2001.- Т. 2,- С. 616.

82. Хил л Р. Математическая теория пластичности.— Гостехиздат, 1956. — С. 407.

83. Яковлев С.П., Черняев A.B., Крылов Д.В. Обжим и раздача тонкостенных цилиндрических оболочек из анизотропного материала жестким инструментом в режиме ползучести // Известия ТулГУ. Сер. Технические науки. - 2007. - Т. 2. - С. 133-137.

84. Яковлев С.П., Яковлев С.С., Андрейченко В.А. Обработка давлением анизотропных материалов. — Кишенев : Квант, 1997. — С. 332.

85. Hill R. The mathematical theory of plasticity. — New York, USA : Oxford University Press, 1998. — P. 355.

86. Kachanov L.M. Foundations of the theory of plasticity // -.— 1971.

87. Prandtl L. Anwendungsbeispiele zu einem Henckyschen satz uberdas plastische Gleichgewicht // Journal of Applied Mathematics and Mechanics / Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. — 1923. — Vol. 3. — P. 401-406.