Методы обработки оптических спектров звезд на основе вейвлет-анализа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.05, кандидат физико-математических наук Сибгатуллин, Мансур Эмерович

• Сибгатуллин, Мансур Эмерович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сибгатуллин, Мансур Эмерович

Введение.

Глава 1. Методы математической обработки экспериментальных данных.

1.1. Оптическая спектроскопия звезд.

1.2. Обратные некорректные задачи в астрономии.

1.3. Вейвлет-анализ.

Глава 2. Учет априорной информации и обработка сигналов с использованием вейвлет-анализа.

2.1 Анализ шума с применением вейвлет-преобразования.

2.2. Количественные характеристики при классификации шумов

2.3. Метод расчета количественных характеристик в вейвлет-пространстве.

2.4. Выбор базисного вейвлета.

2.5. Итерационная схема удаления шума в вейвлет-пространстве

2.6. Сравнение методов обработки экспериментальных данных.

ГлаваЗ. Анализ и обработка экспериментальных данных.

3.1 Анализ экспериментальных шумов.

3.2. Обработка спектральных контуров звезды Вега.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы обработки оптических спектров звезд на основе вейвлет-анализа»

Актуальность темы исследования. При обработке оптических спектров звезд одной из проблем является учет влияния шума, искажающего экспериментальные данные. Использование математических методов позволяет значительно повысить характеристики приборов и производить учет искажений, возникающих в процессе регистрации экспериментальных данных. В результате математической обработки спектроскопического эксперимента возможно получить более полную и достоверную информацию о физике процессов, происходящих в атмосферах звезд. Это дает возможность в дальнейшем проводить численное моделирование физических условий в астрофизической плазме и сравнение теории и наблюдений.

Математическая обработка эксперимента является одним из важнейших этапов физического эксперимента, включающая в себя как традиционный первичный этап - обработку зарегистрированных данных, так и интерпретацию косвенных измерений. Техника обработки экспериментальных данных может быть очень разнообразной и использует аппарат математической статистики, вариационного исчисления, теорию информации, методы решения некорректных задач, методов оптимизации и т.д. Важно отметить, что никакими методами обработки нельзя увеличить объем информации, она может быть только преобразована в другую форму, более приемлемую с точки зрения интерпретации экспериментальных данных. Математические методы обработки сигналов позволяют, не вкладывая больших затрат, повысить возможности приборов. В ряде случаев математическая обработка данных измерительного эксперимента может интерпретироваться как результат измерения на приборе, характеристики которого превышают предельно достижимые для реальных приборов.

При обработке экспериментальных данных в прикладной спектроскопии наибольшее распространение получили метод Савицкого-Голея, фильтр Кайзера, метод статистической регуляризации и др. Область применения данных методов ограничивается предположениями о стационарности сигнала, некоррелированной природе шума, высоком отношении сигнал/шум в экспериментальных данных. Однако оптическая спектроскопия звезд имеет ряд особенностей. Для определения физики атмосфер звезд необходимы спектры с высоким и сверхвысоким разрешением (0.001-0.01 нм), так как при этом появляется возможность зарегистрировать профили отдельных линий, которые уже определяются физикой атмосфер и параметрами взаимодействия атомов и фотонов в атмосферах звезд. Получаемые оптические спектры могут характеризоваться малым отношением сигнал/шум, сложной формой профилей спектральных линий и обладать коррелированной структурой шума. В этом случае требуется разработка и привлечение новых математических методов для решения задачи обработки оптических спектров звезд.

Эффективность обработки экспериментальных сигналов будет зависеть от количества и качества привлекаемой априорной информации об экспериментальных данных, а также используемого метода математической обработки. Улучшить качество обработки оптических спектров звезд возможно с помощью привлечения количественных характеристик шума, таких как размерность Ричардсона, показатель Херста, относительная дисперсия и энтропия, позволяющих дать количественную оценку и провести классификацию шумов, искажающих экспериментальные данные.

Вейвлет-анализ - это математический аппарат, находящий широкое применение во многих областях обработки сигналов и изображений. В настоящее время вейвлет-анализ получил широкое распространение и применяется для обработки данных, сжатия информации, синтеза изображений. За счет высокой избирательности полосовой фильтрации сигнала, возможности обработки сложных и нестационарных сигналов вейвлет-анализ является удобным инструментом при математической обработке результатов спектроскопического эксперимента. При этом совместное использование размерности Ричардсона, показателя Херста, относительной дисперсии, энтропии и вейвлет-анализа позволяет проводить эффективный анализ оптических спектров с целью получения дополнительной информации о природе экспериментальных шумов в случае малого отношения сигнал/шум.

С помощью методов обработки оптических спектров звезд на основе вейвлет-преобразования и привлечением априорной информации о природе шума с использованием количественных характеристик шума можно существенно улучшить качество обработки в случае малого отношения сигнал/шум, сложной формы спектральных контуров и коррелированной структуры шума. Таким образом, исследования, проведенные в диссертационной работе, являются актуальными и практически значимыми.

Целью данной диссертационной работы является разработка новых и использование существующих методов математической обработки искаженных шумом оптических спектров звезд, с малым отношением сигнал/шум, на основе вейвлет-анализа.

Основные задачи исследований включают в себя:

1. Исследование возможности применения размерности Ричардсона, показателя Херста, относительной дисперсии и энтропии в прикладной спектроскопии для получения априорной информации об экспериментальных данных в случае малого отношения сигнал/шум.

2. Решение проблемы выбора базисного вейвлета в задаче удаления шума из экспериментальных данных.

3. Изучение возможностей использования вейвлет-анализа при обработке оптических спектров звезд с малым отношением сигнал/шум, искаженных коррелированным шумом.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Для получения априорной информации о спектроскопическом эксперименте может быть использован метод расчета характеристик шума в вейвлет-пространстве.

2. Вейвлет-анализ с использованием в качестве базисного вейвлета койфлета пятого порядка позволяет учесть влияние высокочастотного случайного шума в случае малого отношения сигнал/шум.

3. Использование итерационной схемы удаления шума в вейвлет-пространстве с учетом априорной информации о структуре экспериментального шума позволяет восстановить форму спектральных линий в оптических спектрах звезд в случае низкочастотного шума. Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Впервые предложено проводить расчет количественных характеристик шума в вейвлет-пространстве с целью получения априорной информации о спектроскопическом эксперименте.

2. Показано, что вейвлет-анализ с использованием в качестве базисной функции койфлета пятого порядка позволяет удалять высокочастотный шум из оптических спектров без привлечения априорной информации о структуре шума.

3. Разработан новый метод удаления шума, основанный на применении итерационной схемы в вейвлет-пространстве. Проведенный сравнительный анализ показал эффективность предложенной схемы при обработке сигналов искаженных шумом с коррелированной структурой.

Научная и практическая значимость работы заключается в том, что были предложены новые методы обработки экспериментальных данных на основе вейвлет-анализа, которые позволяют проводить качественную и достоверную обработку оптических спектров звезд в случае малого отношения сигнал/шум. Предлагаемые подходы могут быть также использованы при обработке результатов других экспериментов, когда требуется анализ искаженных сигналов.

Достоверность полученных результатов обеспечивается многократной проверкой и отработкой предлагаемых методов, анализом качества обработки различных модельных сигналов, подобных встречающимся в эксперименте, воспроизводимостью получаемых решений.

Личный вклад автора. Все результаты диссертации получены автором лично или непосредственно при его участии. Основные результаты докладывались на международных и всероссийских конференциях.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались: на научных семинарах кафедры оптики и нанофотоники физического факультета КГУ; на VIII международном симпозиуме по фотонному эхо и когерентной спектроскопии (Калининград, 2005); на юбилейной научной конференции физического факультета (Казань, 2004); на итоговой конференции Казанского государственного университета (Казань, 2004, 2005); на итоговой научной студенческой конференции физического факультета Казанского государственного университета (Казань, 2003); на международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных по фундаментальным наукам "Ломоносов-2006" (Москва, 2006); на 10 Всероссийской школе-семинаре "Волновые явления в неоднородных средах" (Москва, 2006); на V-X международных молодежных научных школах "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия" (Казань, 2001, 2002,2003,2004,2005 и 2006);

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 17 работ, из них 6 статей в центральной научной печати, 11 статей и тезисов в сборниках конференций.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка авторской и цитированной литературы, трех приложений. Объем работы составляет 119 страниц, включая 46 рисунков и 5 таблиц. Список цитированной литературы содержит 118 наименований.

Заключение диссертации по теме «Оптика», Сибгатуллин, Мансур Эмерович

Выводы

В этой главе исследованы экспериментальные шумы, полученные при наблюдении звезды Вега. Было показано, что шум имеет низкочастотную структуру и характеризуется персистентным поведением.

С помощью итерационной схемы на основе дискретного вейвлет-анализа с использованием априорной информации о структуре шума на примере обработки участков спектра на длинах волн 6346-6348Á, 5051.1-5053Á, 5268.8-5271.2Á, 5323.5-5326Á, 5166.4-5169.9Á, 4728.8-4732.5Á удалось показать сложную форму профилей, отличающуюся от гауссовой и/или фойгтовской. Это означает, что формирование этих линий происходит в атмосфере звезды Вега при более сложных условиях, чем предполагают упрощенные и однородные модели звездных атмосфер. По-видимому, расчет теоретических профилей линий для звезды Вега необходимо выполнять с учетом изменения температуры и ускорения силы тяжести по видимой поверхности звезды, обращенной к наблюдателю со стороны полюса звезды.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе рассматривается схема получения априорной информации об экспериментальных данных при исследовании оптических спектров звезд. При этом используются фурье-анализ, вейвлет-анализ и количественные характеристики шума, такие как показатель Херста, относительная дисперсия, размерность Ричардсона, энтропия. Также предложено определять характеристики оптических спектров в вейвлет-пространстве. Это дает возможность получить более полную и достоверную априорную информацию о свойствах шума, присутствующего в экспериментальных данных.

Проведено исследование эффективности восстановления модельных сигналов с использованием различных базисных вейвлетов семейств койфлетов, вейвлетов Добечи и биортогональных вейвлетов. Показано, что при использовании в качестве базисного койфлета пятого порядка вейвлет-анализ позволяет удалять высокочастотный случайный шум без привлечения априорной информации об эксперименте.

Разработанный метод удаления шума, основанный на применении итерационной схемы в вейвлет-пространстве с использованием априорной информации о структуре шума, позволил восстановить сигнал в случае сложной спектральной структуры экспериментального шума.

Проведено сравнение эффективности предложенных подходов с методами: Савицкого-Голея; методом статистической регуляризации; удалением шума с использованием вейвлет-анализа и выбором величины порога по критерию Донохо-Джонстоуна. Показано преимущество предлагаемых схем в случае малого отношения сигнал/шум, коррелированной структуры шума и сложной формы сигналов.

С помощью предлагаемых методов и подходов была проведена математическая обработка экспериментального спектра звезды Вега.

Выявлена низкочастотная структура экспериментального шума, выделены контуры спектральных линий и показана сложная форма профилей.

В заключение автор приносит глубокую благодарность своему научному руководителю, профессору, доктору физико-математических наук Салахову М.Х., кандидату физико-математических наук Харинцеву С.С., а также кандидату физико-математических наук Бикмаеву И.Ф. за предоставление экспериментальных данных и обсуждение результатов математической обработки спектров звезды Вега.

Список авторской литературы

Al. Сибгатуллин М.Э. Исследование периодических сигналов с фрактальным гауссовым шумом // М.Э. Сибгатуллин, Д.З. Галимуллин, А.Ю. Воробьев, С.С. Харинцев, И.Ф. Бикмаев, М.Х. Салахов // IX всероссийская молодежная научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. ст. - Казань, 2005. -С. 107-110.

А2. Сибгатуллин М.Э. Математическая обработка оптических спектров звезд / М.Э.Сибгатуллин, С.С.Харинцев, И.Ф. Бикмаев, М.Х.Салахов // VII всероссийская молодежная научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. ст. - Казань, 2003. -С. 139-144.

АЗ. Сибгатуллин М.Э. Удаление фрактального шума в оптических спектрах с помощью вейвлет-денойзинга / М.Э.Сибгатуллин, С.С.Харинцев, М.Х.Салахов // Юбилейная научная конференция физического факультета. -Казань, 2004. -С. 101.

А4. Сибгатуллин М.Э. Введение априорной информации о спектре в схему вейвлет-денойзинга / М.Э.Сибгатуллин, С.С.Харинцев, М.Х.Салахов // VIII всероссийская молодежная научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. ст. - Казань, 2004. -С. 71-76.

А5. Сибгатуллин М.Э. Итерационная схема удаления шума из оптических спектров / М.Э. Сибгатуллин, С.С. Харинцев, И.Ф. Бикмаев, М.Х. Салахов // IX всероссийская молодежная научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. ст. -Казань, 2005. -С. 145-148.

А6. Сибгатуллин М.Э. Удаление экспериментального шума из оптических спектров с использованием итерационной схемы на основе вейвлет-анализа / М.Э. Сибгатуллин, С.С. Харинцев, И.Ф. Бикмаев, М.Х. Салахов // Ученые записки казанского государственного университета. Сер физико-математические науки. Том 148 / КГУ; Редкол.: И.Б.Бадриев и др.-Казань, 2006. -С. 179-185.

А7. Sibgatullin M.E. Smoothening and denoising optical spectra / M.E. Sibgatullin, S.S. Kharintsev, M.Kh. Salakhov // AJS. -2004. -V.8, N.3-4. -P. 91-100.

A8. Сибгатуллин М.Э. Выбор базисного вейвлета в задаче денойзинга оптических спектров / А.Г. Зверев, М.Э. Сибгатуллин, С.С. Харинцев, М.Х. Салахов // IX всероссийская молодежная научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. ст. - Казань, 2005. -С.229-232.

А9. Сибгатуллин М.Э. Адаптивный вейвлет-анализ нестационарных сигналов прикладной спектроскопии / М.Э.Сибгатуллин, А.А.Севастьянов, С.С.Харинцев, М.Х.Салахов // VI всероссийская молодежная научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. ст. - Казань, 2002. -С. 133-138.

А10. Сибгатуллин М.Э. Регуляризованные алгоритмы для сглаживания и денойзинга спектроскопических данных / М.Э. Сибгатуллин // Итоговая научная студенческая конференция физического факультета Казанского Государственного Университета. - Казань, 2003. -С. 63.

All. Сибгатуллин М.Э. Регуляризация обратных некорректных задач в прикладной спектроскопии /Д.З. Галимуллин, М.Э. Сибгатуллин, С.С. Харинцев, М.Х. Салахов // Известия РАН. Серия физическая. -2006, 70(4), 2006, С.534-535.

А12. Сибгатуллин М.Э. Детектирование детерминированной компоненты в оптических спектрах / Г.В. Фролова, М.Э. Сибгатуллин, Д.З. Галимуллин, С.С. Харинцев, Г.Г. Ильин, М.Х. Салахов // IX всероссийская молодежная научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. ст. - Казань, 2005. -С. 279-282.

А13. M.E. Sibgatullin A wavelet-based technique for eliminating noise from optical spectra / M.E. Sibgatullin, S.S. Kharintsev, Il'in G.G., M.Kh. Salakhov //AJS.-2005.-V.9, N.l-4. -P. 43-48.

А14. Сибгатуллин М.Э., Сглаживание и денойзинг оптических спектров: преимущества и недостатки / М.Э.Сибгатуллин, С.С.Харинцев, М.Х.Салахов // VIII всероссийская молодежная научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. ст. - Казань, 2004. -С. 65-70.

Al5. Сибгатуллин М.Э. Сравнительный анализ методов производной спектрометрии / Д.З. Галимуллин, М.Э. Сибгатуллин // VIII всероссийская молодежная научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. ст. - Казань, 2004. -С. 327-332.

Al6. Sibgatullin М.Е. Noise elimination from stellar spectra / M.E.Sibgatullin, D.Z.Gallimullin. S.S.Kharintsev, I.F.Bikmaev, M.Kh. Salakhov // Proc. SPIE. -2006.-V. 6181.-P. 618119-1-618119-7.

A17. Сибгатуллин М.Э. Исследование аппаратных шумов в оптической астрономии / М.Э. Сибгатуллин, Д.З. Галимуллин, С.С. Харинцев, И.Ф. Бикмаев, М.Х. Салахов // Электронный журнал "Исследовано в России".-2006. -№ 67. -С. 668-676. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2006/067.pdf

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сибгатуллин, Мансур Эмерович, 2006 год

1. Михалас Д. Звездные атмосферы / Д.Михалас. М.: Наука, 1982. - т. 1. -352 с.

2. Михалас Д. Звездные атмосферы / Д.Михалас. М.: Наука, 1982. - т.2. -422 с.

3. Куто П. Наблюдения визуально-двойных звезд / П. Куто. М.:Мир, 1981.-238 с.

4. Цасевич В.П. Переменные звезды и их наблюдение / В.П. Цасевич. М.: Наука, 1980.- 176 с.

5. Цасевич В.П. Исследование переменных звезд в избранных областях млечного пути / В.П. Цасевич. Киев.: Наукова думка, 1976. - 256 с.

6. Виткевич В.В. О мерцаниях квазаров на неоднородной межзвездной плазме / В.В.Виткевич, В.И. Широков // Тр. / ФИ АН. Москва, 1972. -Т.62. - С.42-45.

7. Щеглов П.В. Проблемы оптической астрономии / П.В. Щеглов. -М.:Наука, 1980.-272 с.

8. Бикмаев И.Ф. Оптическая спектроскопия в астрономии / И.Ф. Бикмаев // VI всероссийская молодежная научная конференция "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия": Сб. ст. -Казань, 2002. -С. 18-29.

9. Попов Г.М. Современная астрономическая оптика/ Г.М.Попов. М.: Наука, 1988.- 192 с.

10. Максутов Д.Д. Изготовление и исследование астрономической оптики / Д.Д. Максутов. 2-е изд. - М.: Наука, 1984. - 272 с.

11. Михельсон H.H. Оптические телескопы / H.H. Михельсон. М.: Наука, 1976.- 512 с.

12. Мусаев Ф.А. Кудз-эшелле-спектрометр для 2-м телескопа на пике Терскол/ Ф.А.Мусаев, Г.А.Галазутдинов, А.В.Сергеев, Н.В.Карпов, Ю.В.Подьячев // Кинематика и физика небесных тел. -1999. Т.15,№3, с.282. -287.

13. Галазутдинов Г.А. Препринт / Г.А. Галазутдинов // CAO РАН, Ниж. Архыз, 1992.-№92.

14. Сахибуллин H.A. Методы моделирования в астрофизике / H.A. Сахибуллин. -Казань: Фэн, 1997. -328 с.

15. Бакушинский А.Б. Некорректные задачи. Численные методы и приложения: Учеб. Пособие/ А.Б. Бакушинский, A.B. Гончарский. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. - 199 с.

16. Гончарский A.B. Конечно-параметрические обратные задачи астрофизики/ A.B. Гончарский, С.Ю. Романов, A.M. Черепащук. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1991. - 192 с.

17. Гончарский A.B. Численные методы решения обратных задач астрофизики/ A.B. Гончарский, A.M. Черепащук, А.Г. Ягола М.: Наука, 1978.-336 с.

18. Гончарский A.B. Обратные задачи астрофизики / A.B. Гончарский, A.M. Черепащук, А.Г. Ягола / М.: Знание, 1987. 32.с. - (Новое в жизни, науке, технике. Сер. «Математика, кибернетика»; № 2).

19. Гончарский A.B. Некорректные задачи астрофизики / A.B. Гончарский, A.M. Черепащук, А.Г. Ягола-М.: Наука, 1985. 352 с.

20. Василенко Г.И. Восстановление изображений / Г.И.Василенко,

21. A.М.Тараторин. М.: Наука, 1986. - 359 с.

22. Салахов М.Х. Математическая обработка и интерперетация спектроскопического эксперимента / М.Х.Салахов, С.С.Харинцев. -Казань, 2001.-238 с.

23. Тихонов А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н.Тихонов

24. B.Я.Арсенин. М.: Наука, 1979. - 286 с.

25. Федотов A.M. Некорректные задачи со случайными ошибками в данных / A.M. Федотов. Новосибирск: Наука, 1982, - 280 с.

26. John С. Brown. Inverse problems in astrophysical spectrometry / John C. Brown // Inverse problems. 1995. - P. 783-794.

27. Wood K. Inverse problems in spectropolarimetry / K. Wood, Geoffrey K. Fox //Inverse problems. 1995. - P. 795-821.

28. Пытьев Ю.П. Математические методы интерпретации эксперимента / Ю.П.Пытьев, М.: Высш. Шк, 1989.-351 с.

29. Пытьев Ю.П. Методы анализа и интерпретации эксперимента / Ю.П.Пытьев, -М.: Изд-во МГУ, 1990.-288 с.

30. Преображенский Н.Г. Неустойчивые задачи диагностики плазмы / Н.Г. Преображенский, В,В. Пикалов. Новосибирск: Наука, 1982. -236 с.

31. Турчак Л.И. Основы численных методов / Л.И. Турчак. М.: Наука, 1987.-381 с.

32. Василенко Г.И. Теория восстановления сигналов / Г.И. Василенко. -М.: Советское радио, 1979. -272 с.

33. Тутубалин В.Н. Вероятность, компьютер и обработка результатов эксперимента / В.Н. Тутубалин // Успехи Физических Наук. -1993. -Т.193, №.7. -С.93-109.

34. Savitsky A. Smoothing and differentiation of data by simplified least squares procedures / A. Savitsky, M. Golay // Anal. Chem. -1964. -Vol.36, N.8. -P. 1627-1639.

35. Гутников B.C. Фильтрация измерительных сигналов / В.С.Гутников. -Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1990. 192 с.

36. Kaiser J.F. Data smoothing using low-pass digital filters / J.F. Kaiser, W.A. Reed // Rev. Sci. Instrum. -1977. Vol.48, N. 11.- P. 1447-1455.

37. Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях: В 2 т. Т.1 / Ж. Макс. М.:Мир, 1983.- 568с.

38. Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях: В 2 т. Т.2 / Ж. Макс. М.Мир, 1983. - 568с.

39. Турчин В.Ф. Использование методов математической статистики для решения некорректных задач / В.Ф. Турчин, В.П. Козлов, М.С. Малкевич // Успехи физических наук. -1970. -№102, вып.З. -С.348-385.

40. Salakhov M.Kh. Treatment and interpretation of experimental data in applied spectroscopy / M.Kh. Salakhov // Spectrochim. Acta Rev. -1993. -Vol.5, N.6. -P.399-476.

41. Грачев И.Д. Статистическая регуляризация при обработке эксперимента в прикладной спектроскопии / И.Д. Грачев, М.Х. Салахов, И.С. Фишман. Казань: Изд-во Каз. Ун-та, 1986, - 186 с.

42. Kharintsev S.S. Inverse problems in the restoration of signal with fractal Gaussian noise in applied spectroscopy / S.S. Kharintsev, R.R. Nigmatullin, M.Kh. Salakhov // Asian J. Spectr. -1999. -Vol.3. -P.49-65.

43. Kharintsev S.S. Solving inverse problems in applied spectroscopy with random fractal noise // S.S. Kharintsev, R.R. Nigmatullin, M.Kh. Salakhov // JQSRT. -2000. -Vol.67, N.3. -P.239-252.

44. Астафьева H.M. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения / Н.М. Астафьева//УФН. 1996.-т. 166, № 11.-С. 1145-1170.

45. Daubechies L. Ten Lectures on Wavelets / L.Daubechies. New York: Academic Press, 1991.-P. 464.

46. Исаев Ю.Н. Конструирование биортогональных и комплексных вейвлет-базисов для обработки оптических изображений / Ю.Н. Исаев // Известия Томского политехнического университета. 2004. - Т.307. -С.34-40.

47. Placidi G. Post-processing noise removal algorithm for magnetic resonance imaging based on edge detection and wavelet analysis / G. Placidi, M. Alecci, A. Sotgin // Phys. Med. Biol. 2003. - Vol.48. -P. 1987-1995.

48. Nason G. The stationary wavelet transform and some statistical applications, in: A. Antoniadis and G. Oppenheim, ed. / G. Nason, B. Silverman // Wavelet and Statistics, Springer Verlag. -1995. -P.281-300.

49. Стаховский И.Р. Вейвлетный анализ временных сейсмических рядов / И.Р. Стаховский // Доклады Академии Наук. -1996. -Т.350, №.3. -С.393-396.

50. Бураков К.С. Вейвлет-анализ вариаций напряженности геомагнитного поля за последние четыре тысячи лет / К.С. Бураков, Д.К. Галягин, И.Е. Начасова, М.Ю. Решетняк, Д.Д. Соколов, П.Г. Фрик // Изв. РАН. Сер. Физика Земли. -1998. -Т.34, №9. -С.83-88.

51. Дремин И.М. Вейвлеты и их использование / Дремин И.М., Иванов О.В., Нечитайло В.А. // УФН. 2001. - т. 171, №5. - С. 465-501.

52. Mallat S. Singularity detection and processing with wavelets / S. Mallat, W. Hwang//IEEE Trans. Inform. Theory. -1992. -Vol.38, N.2. -P.617-643.

53. Фрик П.Г. Вейвлет-анализ и иерархические модели турбулентности / П.Г. Фрик. -Пермь: Препринт ИМСС УрО РАН, 1992. 40 с.

54. Argoul F. Wavelet analysis of turbulence reveals the multifractal nature of Richardson cascade / F. Argoul, A. Arneodo, G. Grasseau, Y. Gagne, E. Hopfmger, U. Frisch // Nature. -1989. -Vol. 338. -P.51-53.

55. Mallat S. A Wavelet Tour of Signal Processing / S.Mallat New York: Academic Press, 1999. - P. 240.

56. Петухов А.П. Введение в теорию базисов всплесков: Учеб. пособие / А.П. Петухов. СПб.: Изд-во СПбГТУ. - 1999. - 132 с.

57. Новиков И.Я. Основы теории всплесков / И.Л. Новиков, С.Б. Стечкин. -УМН, 1998. т.53, №6. -С.54. -128.

58. Витязев В.В. Вейвлет-анализ временных рядов: Учеб. пособие / В.В. Витязев. Изд-во С.-Петербургского университета, 2001. - 57с.

59. Chui С. An Introduction to Wavelets / С. Chui. New York: Academic Press, 1992.-412 p.

60. Meyer Y. Wavelets and operators / Y. Meyer. Cambridge: Cambridge University Press, 1993. -224 p.

61. Rioul 0. Fast algorithms for discrete and continuous wavelet transforms / 0. Rioul, P. Duhamel // IEEE Trans. Inf. Theory. -1992. -Vol.38, N.2. -P.569-586.

62. Jawerth B. An overwiew of wavelet based multiresolution analyses // B. Jawerth, W. Sweldens // SIAM Rev. -1994. -Vol.36, N.3. -P.377-412.

63. Mallat S. A theory for the multiresolution signal decomposition: The wavelet representation / S. Mallat // IEEE Pattern Analysis and Machine Intelligence. -1989. -Vol.11, N.7. -P.676-693.

64. Mallat S. Multiresolution approximation and wavelets / S. Mallat // Trans. Amer. Math. Soc. -1989. -Vol.315. -P.69-88.

65. Lawton W. Necessary and sufficient conditions for constructing orthonormal wavelet bases / W. Lawton // J. Math. Phys. -1991. -Vol.32. -P.57-61.

66. Daubechies I. Orthonormal bases of compactly supported wavelets / I. Daubechies // Communications on Pure and Applied Mathematics. -1998. -N.41. -P.909-996.

67. Du L. 1 ¡fn Noise separated from white noise with wavelet denoising / Lei Du, Yigi Zhuang, Yong Wu // Microelectronics reliability 2002. - Vol. 42. -P.183-188.

68. Fedi M. Localized denoising filtering using the wavelet transform / M. Fedi, L. Lenarduzzi, R. Primiceri, T. Quarta // Pure appl. geophys. 2000. -Vol.157.-P.1463-1491.

69. Alsberg B.K. Wavelet denoising of infrared Spectra / B.K. Alsberg, A.M.Woodward, M.K.Winson, J. Rowland, D.B.Kell // Analyst. 1997. -Vol.122.-P.645-652.

70. Rieder A. A wavelet multilevel method for ill-posed problems stabilized by Tikhonov regularization / A. Rieder // Numer. Math. 1997. -Vol.75. -P.501-522.

71. Akbaryan F. Smooth representation of trends by a wavelet-based technique / F. Akbaryan, P.R. Bishnoi // Computers and Chemical Engineering. 2000. -Vol.24. -P.1913-1943.

72. Zaroubi S. Coplex denoising of MR data via wavelet analysis: Application for functional MRI / S. Zaroubi, G. Goelman // Magnetic Resonance Imaging. -2000.-Vol.18.-P. 59-68.

73. Barj E.M. Speckle correlation fringes denoising using stationary wavelet transform. Application in the wavelet phase evaluation technique /E.M. Barj, M. Afifi., A.A. Idrissi, K. Nassim, S. Rachafi // Optics & Laser Technology. -2004-Vol.38. -P.506-511.

74. Fligge M. Noise reduction in astronomical spectra using wavelet packets / M. Fligge, S.K. Solanki // Astron. Astrophys. Suppl. Ser. -1997. Vol.124. -P.579-587.

75. Lessard R.W. Wavelet imaging cleaning method for atmospheric Cherenkov telescopes / R.W.Lessard, L.Cayon, G.H.Sembroski, J.A.Gaidos // Astroparticle Physics. -2002. Vol.17, - P.427-440.

76. Rioul O. Wavelets and signal processing / O. Rioul, M. Vetterli // IEEE Signal Processing Magazine. -1991. -Vol.8, N.4. -P. 14-38.

77. Beylkin G. Fast wavelet transforms and numerical algorithms / G. Beylkin, R. Coifman, V. Rokhlin // Comm. Pure Appl. Math. -1991. -Vol.44. -P.141-183.

78. Coifman F.F. Translation-Invariant DeNoising // F.F. Coifman, D.L. Donoho // Lecture Notes in Statistics: Wavelets and Statistics, New York: SpringerVerlag. -1995. -Vol.1. -P.125-150.

79. Donoho D.L. Adapting to unknown smoothness via wavelet shrinkage / D.L. Donoho, I.M. Johnstone // J. Amer. Statist. Assoc. -1995. -Vol.90. -P. 12001224.

80. Constantine W.L.B. Wavelet-based in-band denoising technique for chaotic sequences / W.L.B. Constantine, P.G. Reinhall // International Journal of Bifurcations and Chaos. 2001. - Vol. 11, №2. - P. 483-495.

81. Johnstone I.M. Wavelet threshold estimators for data with correlated noise / I.M.Johnstone, B.W.Silverman // J.R.statist. Soc. B. 1997. - Vol.59. -P.319-351.

82. Adelino R. Ferreira da Silva. Wavelet denoising with evolutionary algorithms/ Adelino R. Ferreira da Silva. // Digital signal processing. 2005. -Vol.15№4. - P.382-399.

83. Abramovich F., Benjamini Y. Adaptive thresholding of wavelet coefficients / F.Abramovich, Y.Benjamini // Computational Statistics & Data Analysis -1996. Vol.22 - P.351-361.

84. Lotric U. Wavelet based denoising integrated into multilayered perceptron / U.Lotric//Neurocomputing.- 2004.-Vol.62 P.179 - 196.

85. Aminghafaria M. Multivariate denoising using wavelets and principal component analysis/ M. Aminghafaria, N. Cheze, J-M. Poggi// Computational Statistics & Data Analysis. 2006. - Vol.50, №9. - P.2381 - 2398.

86. Hou Z. Adaptive singular value decomposition in wavelet domain for image denoising / Z.Hou // Pattern Recognition 2003. - Vol.36. - P.1747 - 1763.

87. Adelino R. Ferreira da Silva. Bayesian wavelet denoising and evolutionary calibration / Adelino R. Ferreira da Silva. // Digital signal processing.-2004. -Vol.14-P.566-589.

88. Sorzano C.O.S. Improved Bayesian image denoising based onwavelets with applications to electron microscopy / C.O.S. Sorzano, E. Ortiz, M. Lypez, J. Rodrigo // Pattern Recognition 2006 - Vol.39 - P. 1205 - 1213.

89. Dufour R.M. Statistical signal restoration with 1// wavelet domain prior models / R.M.Dufour, E.L.Miller // Signal Processing. -1999. -Vol.78. -P.289-307.

90. Bacchelli S. Filtered wavelet thresholding methods / S. Bacchelli., S. Papi // Journal of Computational and Applied Mathematics 2004 - Vol. 164 - P. 3952.

91. Baussard A., Nicolier F., Truchetet F. Rational multiresolution analysis and fast wavelet transform: application to wavelet shrinkage denoising / A. Baussard, F. Nicolier, F. Truchetet // Signal Processing 2004. -Vol.84 -P.1735 - 1747.

92. Yuen S.Y. Fractal dimension estimation and noise filtering using Hough transform / S.Y.Yuen, C.K.Fong, K.L.Chan, Y.W.Leung // Signal Processing. -2004.-Vol.84.-P.907-917.

93. Zhang De S. An implicit method for data prediction and impulse noise removal from corrupted signals / De S. Zhang, H. Wang, D.J. Kouri // International Journal of Modern Physics С 2002,- Vol.13, No. 4 - P.565-583.

94. Ruiz-Medina M.D. Fractional-order regularization and wavelet approximation to the inverse estimation problem for random field / M.D. Ruiz-Medina, J.M. Angulo, V.V.Anh // Journal of Multivariate Analysis. 2003. - Vol.85.1. D 1П1 Olf1. JL . 1 /. I U.

95. Antoniadis A. Regularization of wavelet approximation / A.Antoniadis, J.Fan // Journal of Americal Statistical Association. 2001. -Vol. 96. - P.939-955.

96. Бендат Дж. Прикладной анализ случайных данных / Дж.Бендат, А.Пирсол. М.: Мир, 1989.-540 с.

97. Марпл.-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения: Пер. с англ. / С.Л. Марпл.-мл. М.: Мир, 1990. - 584 с.

98. Qiu L. Wavelet spectrogram of noisy signals / L. Qiu // Int. J. Electronics. -1995. Vol. 79, №5. - P. 665-677.

99. Yisong Dai. The time-frequency analysis approach of electric noise based on the wavelet transform / Yisong Dai // Solid-State Electronics. 2000. - Vol. 44.-P. 2147-2153.101.0'Нейл Э. Введение в статистическую оптику / Э. О'Нейл. М.:Мир, 1966. -256 с.

100. Serva М. Random dynamical systems, entropies and information / M. Serva // Physica A. 2001. - Vol. 290. - P. 243-250.

101. Xinbao Ning. Approximate entropy analysis of short-term HFECG based on wave mode / Xinbao Ning, Yinlin Xu, Jun Wang, Xiaofei Ma // Physica A. -2005.-Vol. 346.-475-483.

102. Rapp P.E. Nonlinear signal classification / P.E. Rapp, T.A.A. Watanabe, P. Faure, C.J. Cellucci // International Journal of Bifurcations and Chaos. -2002.-Vol. 12, №6.-P. 1273-1293.

103. Richardson L.F. The problem of contiguity / L.F. Richardson // Gen. Syst. Yearbook. 1961. -Vol.6. -P. 139-187.

104. Федер E. Фракталы / Е.Федер. M.: Мир, 1991.-254 с. Ю7.Гмурман В.Е. теория вероятностей и математическая статистика / В.Е.

105. Гмурман. 4-е изд. доп. -М.: Высшая школа, 1972. - 368 с.

106. Klocke R.A. Distribution of pulmonary capillary transit times / R.A. Klocke, H.J. Schunemann, B.J. Grant // Am. J. Respir. Crit. Care Med. -1995. -Vol.152.-P.2014-2020.

107. Willis D.M. Statistics of the largest geomagnetic storms per solar cycle / D.M. Willis, P.R. Stevens, S.R. Crothers // Ann. Geophys. 1997. - Vol.15. -P.719-728.

108. Mandelbrot B.B. Fractal Geometry of Nature / B.B. Mandelbrot. San-Francisco: Freeman, 1982. - 486 p.

109. Pallikari F. A study of the fractal character in electronic noise processes / F. Pallikari // Chaos. Solitons and Fractals. 2001. - Vol. 12. - P. 1499-1507.

110. Думский Д.В. Применение вейвлет-анализа в задачах исследования структуры сигналов Дис. канд. физ.-мат. наук: 01.04.03 / Д.В. Думский; СГУ. Саратов, 2005. -114.: ил.

111. Wei G.W. Wavelet generated by using singular convolution kernels / G.W. Wei // J. Phys. A: Math. Gen. 2002. - Vol. 33. - P. 8577-8596.

112. Новиков JI.B. Адаптивный вейвлет-анализ сигналов / Л.В. Новиков // Научное приборостроение. -1999. -Т.9, N.2. -С.8-21.

113. Sevast'yanov А.А. Regularized wavelets for processing non-stationary signals wits a correlated noise / A.A. Sevast'yanov, S.S. Kharintsev, M.Kh. Salakhov //Proc. SPIE.-2003.-Vol.4605.-P. 63-71.