Методы лапласовской теории орграфов в управлении многоагентными системами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, доктор физико-математических наук Агаев, Рафиг Паша оглы

• Агаев, Рафиг Паша оглы
• доктор физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Агаев, Рафиг Паша оглы

Введение

Глава 1. Основные определения и базовые результаты

1.1. Общие понятия теории графов.

1.2. О лапласовском спектре орграфа.

1.3. Некоторые результаты исследования лапласовского спектра неориентированного графа

1.4. Модели достижения консенсуса.

1.4.1. Дискретные модели достижения консенсуса.

Модель Де Гроота.

Обобщения модели Де Гроота.

Дискретная модель согласованного движения по плоскости

1.4.2. Непрерывные модели согласования характеристик

Модель с коррекцией скоростей.

Задача устойчивости

1.5. О модели движения стаи

Выводы к главе

Глава 2. О нахождении собственного проектора и компонент матриц

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы лапласовской теории орграфов в управлении многоагентными системами»

3.2. Основные понятия.62

3.3. Свойства остовных исходящих лесов.63

3.4. Максимальные исходящие леса, базы и базовые бикомпоненты 66

3.5. Конструктивное описание максимальных исходящих лесов . . 70

3.6. Матричные теоремы о лесах в параметрической форме . 72

3.7. Матрица максимальных исходящих лесов.73

3.8. Цепи Маркова, связанные с взвешенным орграфом .83

3.9. Вес максимальных исходящих лесов как показатель достижимости вершин орграфа.91

3.10. Матрица предельных достижимостей и задача о лидере . 94

3.11. Матрицы лесов и задача структурирования орграфа.97

Выводы к главе 3 .102

Глава 4. Остовные леса орграфа и их применения 104

4.1. Введение.104

4.2. Предварительные результаты.105

4.3. Матрицы исходящих лесов и переходные вероятности цепей Маркова.107

4.4. Выражение матриц лесов через лапласовскую матрицу и его следствия.110

4.5. О некоторых линейных операторах, связанных с орграфом . . 118

4.6. Псевдообратная и групповая обратная матрицы для лапласовской матрицы.125

4.7. Об области Гершгорина и аннулирующем многочлене лапла-совской матрицы.130

4.8. Достижимость по лесам и по "густым" лесам в орграфе . 131

4.8.1. Достижимость по лесам .131

4.8.2. Достижимость по "густым" лесам.134

Выводы к главе 4 .137

Глава 5. Лапласовские спектры орграфов 139

5.1. Лапласовские и стохастические матрицы .140

5.2. Связь спектров лапласовских и стохастических матриц . 142

5.3. Область, содержащая лапласовские спектры.147

5.4. Многоугольник лапласовских собственных значений.149

5.5. Об асимптотических свойствах лапласовских спектров . 152 Выводы к главе 5 .153

Глава 6. Спектры лапласовских матриц орграфов кольцевой структуры 154

6.1. Введение и основные понятия.154

6.2. Вспомогательные леммы.157

6.3. Существенно циклические орграфы кольцевой структуры . . . 159

6.3.1. Орграфы Г* с п дугами и Г^ с 2п дугами .160

6.3.2. Орграфы Г^ с 2п — 1 дугами.161

6.3.3. Орграфы Г" с 2п — 2 дугами.162

6.3.4. Орграфы Гп с т (п < т < 2п — 2) дугами.170

6.4. Существенная цикличность взвешенных орграфов.175

6.5. О спектре матрицы смежности орграфа с кольцевой структурой 182

6.6. Другие применения многочленов Чебышева второго рода в задачах исследования лапласовских матриц.183

6.7. Об оценке мнимых частей собственных значений лапласовской матрицы циркулянтного орграфа четного порядка.185

6.7.1. Оценка Пика. 185

6.7.2. Оценка 1ш|(Л)| для матрицы четного порядка. 186

Выводы к главе 6 . 191

Глава 7. Метод проекции в задаче о консенсусе и регуляризованный предел степеней стохастической матрицы 192

7.1. Введение. 192

7.2. Результаты из алгебраической теории графов, используемые в анализе сетевых моделей управления. 194

7.3. Условия, гарантирующие достижение согласия в модели

Де Гроота. 195

7.4. Характеризация области сходимости процедуры Де Гроота . . 197

7.5. Метод ортогональной проекции. 198

7.6. Компонентная структура ортогонального проектора и области сходимости . 200

7.7. Небазовые агенты в методе проекции . 202

7.8. Неортогональное проектирование на область сходимости . . . 204

7.9. Метод ортогональной проекции в случае, когда все агенты -базовые . 206

7.10. Об интерпретации метода ортогональной проекции. 212

7.11. Метод ортогональной проекции при произвольной правильной матрице влияний. 213

7.12. Регуляризованный предел стохастической матрицы. 214

7.13. Представление итоговой процедуры согласования взвешенным гамильтоновым циклом. 215

7.14. Дискретная процедура согласования характеристик с помощью минимального цикла, объединяющего базовые бикомпо-ненты . 219

7.15. Метод ортогональной проекции как частный случай процедуры минимального объединяющего цикла . 221

7.16. О свойствах трансформирующей матрицы для Ь.226

7.17. Согласование характеристик в дифференциальной модели с начальным вектором состояний.228

Выводы к главе 7 .231

Заключение 233

Список литературы.236 г

Введение

Актуальность темы. Решение многих задач управления многоагент-ными системами сводится к анализу лапласовской матрицы ориентированного графа комммуникаций агентов и матриц, связанных с ней. Как для дискретных [159,199-201,206-209], так и для непрерывных моделей согласования мнений и управления группой движущихся объектов [109,135-138,166,167, 199-201,203,205,208,209,213,224,230] знание спектра, собственных проекторов, миноров и других функций лапласовской матрицы орграфа коммуникаций позволяет ответить на все основные вопросы о поведении моделируемой системы.

В начале 2000-х годов проблема децентрализованного управления группой движущихся объектов со структурой информационных связей, задаваемой графом, изучалась в [135,138]. В этих работах структурные свойства и собственные значения-лапласовских матриц орграфа коммуникаций впервые используются для анализа сходимости и устойчивости группы движущихся объектов.

В [199-201] была исследована проблема достижения согласия при фиксированной и меняющейся (посредством переключений) топологии коммуникаций. Авторами этих работ были рассмотрены протоколы согласования без временной задержки и с временной задержкой, обеспечивающие сходимость в задаче о консенсусе. При анализе задачи о консенсусе с помощью лапласовских матриц особое внимание уделялось алгебраической связности и сбалансированности сети коммуникаций. В предложенных протоколах было установлено соотношение между связностью сети и ее устойчивостью по отношению к неисправностям узлов и линий связей.

В обзоре [209], посвященном информационному согласию в многоагент-ном кооперативном управлении, задачи сходимости процедур согласования характеристик при фиксированной и меняющейся структуре связей, а также асинхронные процедуры с временной задержкой обмена данными исследованы с помощью лапласовских и соответствующих стохастических матриц.

Проблема консенсуса для дискретных и непрерывных моделей с меняющейся структурой связей изучалась также в [159,207], где главные результаты по достижению согласия в системе с меняющейся структурой связей получены непосредственным применением стохастических и лапласовских матриц, связанных с орграфом влияний.

В [205] предложен вычислительный алгоритм для согласования траекторий при ограничениях, наложенных на управление. Этот алгоритм обеспечивает согласование траекторий в случае, когда лидеры группы и структура связей меняются. Алгоритм был применен для согласования траекторий движения роботов.

В более общих моделях совместного движения предполагается, что каждый агент характеризуется 2d параметрами (координаты и проекции скорости) в (i-мерном пространстве. Задача состоит в построении траекторий, согласованных с заданным курсом и поддерживающих предписанную конфигурацию группы объектов. Для исследования устойчивости таких систем необходимо нахождение спектра лапласовской матрицы графа коммуникаций [230]. Достаточное условие устойчивости формулируется в терминах действительной части ненулевого собственного значения лапласовской матрицы [224]. Необходимое и достаточное условие устойчивости задается системой неравенств, зависящей от элементов матрицы управления и ненулевого собственного значения лапласовской матрицы [167].

Следует заметить, что целый ряд кажущихся на первый взгляд никак не связанными задач о поведении динамических систем и управлении ими имеет тесную связь с проблемой консенсуса для многоагентных систем. Например, решения задач синхронизации связанных осцилляторов, перемещения мобильных агентов в группе (flocking theory), быстрого согласования в "малом мире" (fast consensus in small world networks), "рандеву" в пространстве и т.д. также связаны со спектром лапласовских матриц и другими функциями от лапласовских матриц сети коммуникаций.

Тем не менее, свойства лапласовских матриц орграфов и матриц, связанных с ними, все еще мало изучены. Указанный пробел отчасти объясняется трудностью соответствующих математических задач: исследовать действительный спектр симметричных лапласовских матриц неориентированных графов существенно легче, чем комплексный спектр лапласовских матриц орграфов. Именно этим обусловлена актуальность настоящей диссертационной работы.

Целью диссертации является разработка основ лапласовской теории орграфов для задач управления многоагентными системами, а именно:

• анализ базовых моделей управления многоагентными системами, в которых главным объектом анализа являются лапласовские матрицы;

• исследование собственного проектора квадратной (в частности, лапласовской) матрицы, играющего важную роль при решении задач согласования характеристик^в управлении многоагентными системами;

• исследование матриц исходящих лесов орграфов с помощью лапласовских матриц и их применение в децентрализованном управлении;

• анализ, с использованием спектра лапласовской матрицы, структурных свойств орграфов коммуникаций, определяющих сходимость и устойчивость в децентрализованном управлении; локализация собственных значений лапласовских матриц орграфов коммуникаций, определяющих условия устойчивости в управлении многоагентными системами;

• решение задачи действительности спектра лапласовских матриц орграфов кольцевой структуры, моделирующих распространенный тип коммуникационных сетей;

• синтез процедур согласования мнений в многоагентных системах при несвязном орграфе коммуникаций.

Методы исследования. В диссертационной работе анализ структурных свойств и разработка процедур сходимости и устойчивости в управлении многоагентными системами основаны на методологии системного анализа. В качестве математического инструмента используются алгебраическая теория графов, теория матриц, теория цепей Маркова и многочлены Чебышева.

Научная новизна. В диссертации разработаны новые методы лапла-совской теории орграфов, применяемые в управлении многоагентными системами.

К основным новым результатам диссертации относятся следующие: в получены явные формулы для вычисления собственного проектора произвольной матрицы, играющего важную роль при вычислении обобщенно-обратных матриц и разработке процедур управления многоагентными системами;

• исследованы свойства максимальных исходящих лесов орграфа, с помощью которых описана и интерпретирована процедура ортогональной проекции при произвольной правильной матрице влияний в дискретной модели многоагентной системы управления;

• получен результат, лежащий в основе критерия достижения согласия в децентрализованном управлении многоагентной системой, а именно, установлено, что нуль является простым лапласовским собственным значением орграфа коммуникаций тогда и только тогда, когда лесная размерность орграфа равна единице, т.е. когда он имеет остовное исходящее дерево;

• доказана теорема, играющая существенную роль при анализе многоагентных систем, согласно которой все матрицы исходящих лесов являются матричными коэффициентами присоединенной матрицы для лапласовской матрицы. Установлено, что эти матрицы могут быть охарактеризованы как "промежуточные" матрицы влияний в управлении многоагентными системами;

• для оценки процесса сходимости и условий устойчивости в децентрализованном управлении установлена взаимосвязь между кратностями нулевого и единичного собственных значений нормированной лапласов-ской матрицы и ла.пласовской матрицы дополнительного орграфа;

• для оценки устойчивости в децентрализованном управлении исследована область локализации собственных значений лапласовских матриц орграфов коммуникаций;

• для класса орграфов кольцевой структуры, которые моделируют распространенный тип коммуникационных сетей, решена задача существенной цикличности, т.е. получено необходимое и достаточное условие наличия собственных значений с ненулевой мнимой частью в лапласов-ском спектре орграфа коммуникаций;

• предложен метод ортогональной проекции для задачи согласования мнений при нерегулярной правильной матрице влияний. Введено понятие регуляризованного предела степеней стохастической матрицы;

• доказано, что матрица, через которую выражается предел решения системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющего начальным условиям, как и в случае дискретной модели согласования мнений, является собственным проектором лапласовской матрицы.

Практическая ценность работы. Результаты работы могут быть использованы при решении ряда задач управления многоагентными системами в рамках как дискретных, так и непрерывных моделей, а также в приложениях линейной алгебры, теории графов и сетей (в том числе — при исследовании топологии Интернета). Полученные результаты могут быть также полезными в химической информатике, кластерном анализе, построении топологических структурных индексов графов.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных семинарах в Институте проблем управления РАН, в Институте вычислительной математики РАН (2004 г.), на кафедре алгебры механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (2011 г.), в Вычислительном центре им. A.A. Дородницына РАН (2011 г.), на общемосковском семинаре "Математические методы в экспертных оценках и анализ данных", на 34-й Международной конференции "Моделирование и имитация систем", MOSIS-2000 (Острава, 2000 г.), XIV Международном симпозиуме "Управление большими системами", CONTROL-2000 (Тбилиси, 2000 г.), Международной конференции по анализу порядковых и символьных данных (Брюссель, 2000 г.), 7-й Конференции Международной федерации обществ классификации (Намюр, 2000 г.), Международной конференции по линейной алгебре (Хайфа, 2001 г.), Международной конференции по матричному анализу и его применениям (Форт Лодердейл, 2003 г.), Международной конференции обществ GAMM и SIAM по прикладной линейной алгебре (Дюссельдорф, 2006 г.), 3-й Международной конференции по проблемам управления (Москва, 2006 г.), 2-й Международной конференции по матричным методам и операторным уравнениям (Москва, 2007 г.), 16-й Международной конференции "Проблемы управления безопасностью сложных систем" (Москва, 2008 г.), Международной научной конференции "Современные математические методы анализа и оптимизации информационно-телекоммуникационных сетей" (Минск, 2009 г.), 4-й Международной конференции по проблемам управления (Москва, 2009 г.), Международной конференции "Управление в технических системах" (С.Петербург, 2010 г.), Международных научных конференциях "Проблемы регионального и муниципального управления" (Москва, 2008, 2010, 2011 гг.), 16-й Конференции Международного общества по линейной алгебре (Пиза, 2010 г.), 17-й Конференции Международного общества по линейной алгебре (Брауншвейг, 2011г.), 54-й Научной конференции МФТИ "Проблемы фундаментальных и прикладных, естественных и технических наук в современном информационном обществе" (Москва-Долгопрудный, 2011г.).

Публикации. Материал диссертации опубликован в 38 работах, среди которых 15 статей в ведущих рецензируемых журналах и одна монография.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения и списка литературы, число наименований в котором — 239. Содержание работы изложено на 256 страницах. В текст включено 17 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Агаев, Рафиг Паша оглы

Выводы к главе 7

В главе 7 рассмотрена задача согласования мнений агентов в случае, когда их матрица влияний, входящая в модель Де Гроота, правильна, но не регулярна. Для решения этой задачи предложен метод проекции, на первом этапе отображающий пространство всевозможных начальных мнений на специальное подпространство Тр, каждый вектор которого дальнейшей итеративной коррекцией приводится к консенсусу. Область Тр есть прямая сумма 71{Ь), где Ь = I — Р, и линейной оболочки вектора из единиц. Исследованы свойства метода ортогональной проекции и показано, что любая сходящаяся процедура согласования может быть приближена процедурой Де Гроота, орграф влияний который является гамильтоновым циклом. Установлено, что оо итоговая матрица Р = Р°°3 метода ортогональной проекции, где 5 - ортогональный проектор на Тр, = Ит^оо Рк, может рассматриваться как регуляризованный предел степеней стохастической матрицы Р. При применении предложенного метода на первом этапе изменению подвергаются мнения только тех агентов, которые соответствуют базовым вершинам. А мнения других агентов не меняются. Но с другой стороны, эти же мнения не влияют на конечный результат согласования мнений.

Установлено, что итоговая матрица процедуры ортогональной проекции, примененной к орграфу влияний Г, совпадает с пределом матрицы влияний для орграфа Г11 при определенных весах дуг объединяющего цикла.

Заключение

В результате выполненных автором исследований разработаны теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать как новый крупный вклад в разработку лапласовской теории ориентированных графов и ее применения в задачах управления многоагентными системами. Создана методологическая основа для анализа различных моделей управления многоагентными системами и синтеза процедур согласования мнений. Для решения некоторых задач, таких как анализ структурных свойств системы, исследование информационных потоков, изучение роли подсистем при достижении консенсуса, синтез процедур консенсуса разработано специальное математическое обеспечение. Ряд результатов диссертации, а именно, вычисление компонент и главных идемпотентов произвольных матриц, представление матриц ориентированных лесов в виде многочленов от лапласовских матриц, решение задач о корнях многочленов, связанных с многочленами Чебышева второго рода, локализация собственных значений нормированных лапласовских--мат-риц-и стохастических матриц, связанных.с лими,помимо применения в управлении многоагентными системами, представляет теоретический интерес для алгебраической теории графов, матричного анализа и смежных областей.

В ходе решения поставленных задач получены следующие основные научные результаты:

• на основе анализа работ по децентрализованному управлению выявлены основные критерии сходимости и устойчивости многоагентных систем, развит математический инструментарий для анализа структурных свойств орграфов коммуникаций и сходимости процедур согласования;

• предложен метод вычисления собственного проектора — главного идем-потента произвольной матрицы. Установлено, что главный идемпотент лапласовской матрицы совпадает с предельной матрицей влияний модели Де Гроота и играет важную роль в управлении многоагентными системами; исследованы нормированные матрицы максимальных исходящих лесов орграфа коммуникаций, являющиеся предельными матрицами влияний для дискретных моделей согласования мнений в многоагентных системах; доказано, что условие достижения согласия в децентрализованном управлении многоагентной системой выполняется тогда и только тогда, когда максимальный исходящий лес является деревом; доказано, что матричные коэффициенты присоединенной матрицы, итеративно вычисляемые с помощью метода Леверье—Фаддеева, для лапласовской матрицы совпадают с матрицами исходящих лесов соответствующего орграфа. Установлено, что последний нормированный ненулевой коэффициент присоединенной матрицы является проектором для лапласовской матрицы и определяет предельную матрицу влияний, другие коэффициенты характеризуют промежуточные матрицы влияний в многоагентной системе; показатель стабилизирующего значения в децентрализованном управлении описан с помощью локализации области собственных значений нормированных лапласовских матриц. Установлено соотношение между кратностями нулевого и единичного собственных значений нормированных лапласовских матриц заданного и дополнительного орграфов с лесными размерностями этих орграфов; полностью решена проблема действительности спектра лапласовских матриц для орграфов кольцевой структуры, которые моделируют часто встречающийся тип коммуникационных сетей в многоагентных системах; установлено, что в случае правильной матрицы влияний многоагентной системы область сходимости модели Де Гроота равна прямой сумме образа соответствующей лапласовской матрицы и линейной оболочки вектора из единиц; предложен метод согласования характеристик в многоагентных системах, сводящийся к ортогональному проецированию вектора начальных мнений на. область сходимости и дальнейшей коррекции мнений посредством заданной матрицы влияний; установлено, что итоговая матрица ортогональной проекции дискретной модели согласования мнений совпадает с нормированной матрицей максимальных исходящих деревьев специального орграфа коммуникаций, в котором все агенты соединены гамильтоновым циклом. для специального класса лапласовских матриц и базовой дифференциальной модели согласования характеристик исследован предел решения, удовлетворяющего начальным условиям.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Агаев, Рафиг Паша оглы, 2012 год

1. Агаев Р. П. О матричных коэффициентах присоединенных матриц // Третья межд. конф. по проблемам управления. Тезисы докладов.-Т.1.- Москва: 2006,- С. 70.

2. А гаев Р. П. Об исследовании и применении лапласовских спектров орграфов кольцевой структуры //Автоматика и телемеханика. — 2008. — № 2. С. 3-16.

3. Агаев Р. П. О числе входящих деревьев орграфов кольцевой структуры // Труды четвертой межд. конф. по проблемам управления. — Москва: 2009.- С. 1639-1641.

4. Агаев Р. П. Об одном методе согласования характеристик в многоагент-ных системах при орграфе коммуникаций, не имеющем остовного дерева //Материалы конференции "Управление в технических системах" (УТС-2010). Санкт-Петербург: 2010. - С. 99-102.

5. Агаев Р. П. Дискретная процедура согласования характеристик с помощью минимального цикла, объединяющего базовые бикомпоненты // Управление большими системами. — 2011. — Т. 34. — С. 46-61.

6. Агаев Р. П. Об области сходимости дифференциальной модели достижения консенсуса // Управление большими системами. — 2011. — Т. 35.

7. Агаев Р. П., Никифоров С. В. О свойствах сетей с разреженными топологиями // Проблемы управления безопасностью сложных систем. Труды XVI международной конференции. — Москва: Издательский центр РГ-ГУ 2008. С. 39-42.

8. Агаев Р. П., Никифоров С. В. Об оценке отказоустойчивости сетей с кольцевой структурой // Проблемы регионального и муниципального управления. Сборник докладов международной научной конференции. — Москва: Издательский центр РГГУ 2008. С. 182-186.

9. Агаев Р. П., Чеботарев П. Ю. Матрица максимальных исходящих лесов орграфа и ее применения // Автоматика и Телемеханика. — 2000. — № 9. С. 15-43.

10. Агаев Р. П., Чеботарев П. Ю. Остовные леса орграфа и их применение // Автоматика и Телем.еханика. — 2001. — № 3. — С. 108-133.

11. Агаев Р. П., Чеботарев П. Ю. О нахождении собственного проектора и компонент матрицы // Автоматика и Телемеханика. — 2002. — № 10. — С. 3-12.

12. Агаев Р. П., Чеботарев П. Ю. Лапласовские спектры орграфов и их приложения // Автоматика и Телемеханика. — 2005.— № 5.— С. 47-62.

13. Агаев Р. П., Чеботарев П. Ю. Сходимость и устойчивость в задачах согласования характеристик (обзор базовых результатов) // Управление большими системами. — 2010. — Т. 30, № 1. — С. 470-505.

14. Агаев Р. П., Чеботарев П. Ю. Метод проекции в задаче о консенсусе и регуляризованный предел степеней стохастической матрицы // Автоматика и Телемеханика. — 2011. — № 12.— С. 38-59.

15. Агаев Р. П., Чеботарев П. Ю. Представление дискретной процедуры согласования характеристик с помощью циклического орграфа // Автоматика и Телемеханика. — 2012. — № 1. — С. 178-183.

16. Барабанов И. Н., Коргин Н. А., Новиков Д. А., Чхартишвили А. Г. Динамические модели информационного управления в социальных сетях // Автоматика и телемеханика. — 2010. — № 11. — С. 172-182.

17. Белкин А. Р., Левин М. Ш. Принятие решений: комбинаторные модели аппроксимации информации. — Москва: Наука, 1990.

18. Блюмин С. Л. Мультиагентные системы: проблемы и протоколы согласия, псевдообращение лапласианов графов // Системы управления и информационные технологии. — 2007. — № 2(28). — С. 4-9.

19. Буякас В. И. Задача управления коллективным движением // Автоматика и телемеханика. — 1974. — № 2. — С. 63-77.

20. Буякас В. И. Математическая модель взаимодействия хищника и стаи // Доклады Академии Наук СССР. 1981. - Т. 261, № 1. - С. 252-256.

21. Буякас В. И., Дарков А. А., Радаков Д. В., Чекулаев Ю. В. Математическая модель движения стаи рыб // Вопросы ихтиологии. — 1978. — Т. 18, № 5. — С. 924-934.

22. Вентцель А. Д., Фрейдлин М. И. О малых случайных возмущениях динамических систем // Успехи математических наук. — 1970. — Т. 25. — С. 3-55.

23. Габасов Р., Дмитрук Н. М., Кириллова Ф. М. Оптимальное децентрализованное управление группой динамических объектов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2008. — Т. 48, № 4. С. 593-609.

24. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 3 изд. — Москва: Наука, 1988.

25. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — М.: Наука, 1971.

26. Губанов Д.А., Новиков Д. А., Чхартишвили А.Г. Социальные сети: модели информационного влияния, управления и противоборства. — Москва: Физматлит, 2010.

27. Джунусов И. А., Фрадков А. Л. Синхронизация в сетях линейных агентов с обратными связями //Автоматика и телемеханика. — 2011. — в печати.

28. Дмитриев Н. А., Дынкин Е. Б. О характеристических числах стохастической матрицы //Доклады Академии Наук СССР.— 1945.— Т. 49.— С. 159-162.

29. Дмитриев Н. А., Дынкин Е. Б. Характеристические корни стохастических матриц // Известия Академии наук СССР. — 1946.— Т. 10.— С. 167-184.

30. Золотухин Ю. П., Котов К. Ю., Нестеров А. А. Децентрализованное управление подвижными объектами в составе маневрирующей группы II Автометрия. 2007. - Т. 43, № 3. - С. 31-39.

31. Зыков А. А. Теория конечных графов, — Новосибирск: Наука, 1969.

32. Икрамов X. Д. Несимметричная проблема собственных значений. Численные методы. — Москва: Физматлит, 1991.

33. Икрамов X. ДНазари А. М. Об одном замечательном следствии формулы Малышева II Доклады РАН. 2002. - Т. 385, № 5. - С. 599-600.

34. Икрамов X. Д., Назари А. М. О спектральном расстоянии от нормальной матрицы до множества матриц с кратным собственным значением нуль // Записки научных семинаров ПОМИ. — 2005. — Т. 323. — С. 50-56.

35. Келъманс А. К. О числе деревьев графа. I II Автоматика и Телемеханика. 1965. - Т. 26, № 12. - С. 2194-2204.

36. Келъманс А. К. О числе деревьев графа. II // Автоматика и Телемеханика. 1966. - Т. 27, № 2. - С. 56-65.

37. Келъманс А. К. О свойствах характеристического многочлена графа //^Кибернетику — на службу коммунизму / Под ред. акад. А. И. Берга. М.-Л.: Энергия, 1967. - С. 27-41.

38. Ким Д. П. Теория автоматического управления. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы. — Москва: Физматлит. 2004.

39. Колмогоров А. Н. Об аналитических методах в теории вероятностей // Успехи математических наук. — 1938. — № 5. — С. 5-41.

40. Колотилина Л. Ю. Неравенства для крайних собственных значений блочных эрмитовых матриц с приложениями к спектральной теории графов // Записки научных семинаров ПОМИ. — 2010. — Т. 382. — С. 82103.

41. Колотилина Л. Ю. Оценки для крайних собственных значений лапласиана и положительного лапласиана графа // Записки научных семинаров ПОМИ. 2010. - Т. 395. - С. 104-123.

42. Куржанский А. Б. Задача управления групповым движением. Общие соотношения // Доклады РАН. 2009. - Т. 426, № 1. - С. 20-25.

43. Ланкастер П. Теория матриц. — Москва: Наука, 1978.

44. Мак-Миллан В. Д. Динамика твердого тела. — Москва: ИЛ, 1951.

45. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. — Москва: Наука, 1972.

46. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы. — Москва: Мир, 1983.

47. Пароди М. Локализация характеристических чисел матриц и ее применения. — Москва: Иносранная литература, 1960.

48. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Че-бышева. — Москва: Наука, 1983.

49. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. — Москва: Наука, 2002.

50. Романовский В. И. Дискретные цепи Маркова. — Москва: Гостехиздат, 1949.

51. Сарымсаков Т. А. Об эргодическом принципе для неоднородных цепей Маркова-//-Доклады Академии-наук СС-СР. — 1953. — № 1. — С. 25-28.

52. Станкевич М. П., Станкевич, И. В., Зефиров П. С. Топологические индексы в органической химии // Успехи химии. — 1988.— Т. 57, № 3.— С. 337-366.

53. Tamm У. Теория графов, М.: Мир, 1988.

54. Уилкинсон Дж. X. Алгебраическая проблема собственных значений. — Москва: Наука, 1970.

55. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. — 2 изд. — Москва-Ленинград: Физматгиз, 1963.

56. Фрадков А. Л. Адаптивное управление в сложных системах. Беспоисковые методы. — Москва: Наука, 1990.

57. Фунаси Р., Аракова М., Тсуда Ю., Кавагучи Д. Децентрализованное управление группой спутников с учетом информационного обмена // Труды МАИ (электронный журнал). ~ 2009. — № 9.

58. Харари Ф. Теория графов. — М.: Мир, 1973.

59. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. — Москва: Мир, 1989.

60. Цветкович Д. Дуб М., Захс X. Спектры графов: теория и применение. — Киев: Наукова думка, 1984.

61. Чеботарев П. Ю., Агаев Р. П. Псевдообратная матрица для матрицы Кирхгофа ориентированного графа // Труды 14 Международного Симпозиума "Управление большими системами", CONTROL'2000. — Тбилиси: 2000. С. 23-25.

62. Чеботарев П. Ю., Агаев Р. П. Согласование характеристик в много-агентных системах и спектры лапласовских матриц орграфов // Автоматика и телемехатька. — 2009. — № 3. — С. 136-151.

63. Чеботарев П. Ю., Агаев Р. П. Управление многоагентными системами и спектры лапласовских матриц орграфов // Труды четвертой межд. конф. по проблемам управления. — Москва: 2009. — С. 1571-1584.

64. Чеботарев П. Ю., Агаев Р. П. Уточнение к статье "О нахождении собственного проектора и компонент матрицы" // Автоматика и Телемеханика. 2011. -т 3. - С. 173.

65. Чеботарев П. Ю., Шамис Е. В. Матричная теорема о лесах и измерение связей в малых социальных группах //Автоматика и Телемеханика. — 1997. — № 9,- С. 124-136.

66. Чеботарев П. Ю., Шамис Е. В. О двойственности метрик и Е-близостей // Автоматика и Телемеханика. — 1998. — № 4. — С. 204-209.

67. Чеботарев П. Ю., Шамис Е. В. О мерах близости вершин графов // Автоматика и Телемеханика. — 1998. — № 10. — С. 113-133.

68. Abdesselam A. Grassmann-Berezin calculus and theorems of the matrix-tree type // Advances in Applied Mathematics. — 2004. — Vol. 33. — Pp. 51-70.

69. Agaev R. On the spectra of the Laplacian matrices of a certain class //2 International conference on matrix methods and operator equations. — Moscow: Institute of Numerical Mathematics RAS, 2007. — P. 1.

70. Agaev R., Chebotarev P. On the Faddeev matrix and the generalized inverses // International Conference on Matrix Analysis and Applications. — Fort Lauderdale: Nova Southeastern University, 2003.— P. 1.

71. Agaev R., Chebotarev P. On the spectra of nonsymmetric Laplacian matrices // Linear Algebra and its Applications. — 2005. — Vol. 399. — Pp. 157-168.

72. Agaev R., Chebotarev P. Which digraphs with ring structure are essentially cyclic? // Advances in Applied Mathematics. — 2010. — Vol. 45, no. 2. — Pp. 232-251.

73. Agaev R. P. On the generalized inverses of the Kirchoff matrix // International Linear Algebra Conference. — Haifa: Institute of Advanced Studies in Mathematics, Technion, 2001.- P. 13.

74. Agaev R. P., Chebotarev P. Which digraphs with ring structure are essentially - cyclic?- -// l-6th- Conference of -the- International Li-near Algebra Society. —

75. Pisa, Italy: University of Pisa, 2010. P. 29.

76. Agaev R. P., Chebotarev P. Y. The matrix of maximum out forests of a digraph and its applications // Automation and Remote Control. — 2000. — Vol. 61, no. 9.- Pp. 1424-1450.

77. Agaev R. P., Chebotarev P. Y. Spanning forests of a digraph and their applications // Automation and Remote Control.— 2001.— Vol. 62, no. 3.— Pp. 443-466.

78. Anderson Jr. W. N., Morley T. D. Eigenvalues of the Laplacian of a graph // Linear and Multilinear Algebra. — 1985. — Vol. 18. — Pp. 141-145.

79. Bapat R. В., Constantine G. An enumerating function for spanning forests with color restrictions // Linear Algebra and its Applications. — 1992. — Vol. 173.- Pp. 231-237.

80. Bapat R. В., Pati S. Algebraic connectivity and the characteristic set of a graph // Linear and Multilinear Algebra. — 1998. — Vol. 45. — Pp. 247-273.

81. Ben-Israel A., Charnes A. Contributions to the theory of generalized inverses // Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics. — 1963. — Vol. 11, no. 3.- Pp. 667-699.

82. Ben-Israel A., Greville T. N. E. Generalized Inverses: Theory and Applications. New York: Wiley, 1974.

83. Berman A., Plemmons R. Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences. — New York: Academic Press, 1979.

84. Berman A., Shaked-Monderer N. Non-negative matrices and digraphs //Encyclopedia of Complexity and Systems Science. — New York: Springer,2009. Pp. 6239-6252.

85. Berman K. A. A graph theoretical approach to handicap ranking of tournaments and paired comparisons // SIAM Journal on Algebraic and Discrete Methods. 1980. - Vol. 1. - Pp. 359-361.

86. Bertsekas D., Tsitsiklis J. Parallel and distributed computation: numerical methods. Prentice hall Englewood Cliffs, NJ, 1989. - Vol. 23.

87. Bertsekas D., Tsitsiklis J. Comments on "coordination of groups of mobile autonomous agents using nearest neighbor rules" // IEEE Transactions Automatic Colitrol. -"2007."- Vol."52, no:"5. Pp. 968^969. "

88. Blanchard P., Dawin J., Volchenkov D. Markov chains or the game of structure and chance, from complex networks, to language evolution, to musical compositions // The European Physical Journal — Special Topics. — June2010. Vol. 184, no. 1. - Pp. 1-82.

89. Blanchard P., Kriiger T., Volchenkov D. Random Graphs and Random Walks. — Berlin, Heidelberg: Springer, 2010.

90. Boesch F. T., Prodinger H. Spanning tree formulas and Chebyshev polynomials // Graphs and Combinatorics. — 1986. — Vol. 2, no. 1. — Pp. 191-200.

91. Bollobas B. Modern Graph Theory. — New York: Springer, 1998.

92. Borrelli F., Keviczky T. Distributed LQR design for identical dynamically decoupled systems // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2008. — Vol. 53, no. 8. Pp. 1901-1912.

93. Browne E. Limits to the characteristic roots of a matrix // The American Mathematical Monthly. 1939. - Vol. 46, no. 5. - Pp. 252-265.

94. Brualdi R. A. Spectra of digraphs // Linear Algebra and its Applications. — 2010. Vol. 432. - Pp. 2181-2213.

95. Campbell S. L., Meyer, Jr. C. D. Generalized Inverses of Linear Transformations. — London: Pitman, 1979.

96. Campbell S. L., Meyer, Jr. C. D. Rose N. J. Applications of the Drazin inverse to linear systems of differential equations with singular constant coefficients // SIAM Journal on Applied Mathematics. — 1976.— Vol. 31.— Pp. 411-425.

97. Cao Y., Li Y., Ren W., Chen Y. Distributed coordination of networked fractional-order systems // IEEE Transactions On Systems, Man, And Cybernetics-Part B: Cybernetics. 2010. - Vol. 40, no. 2. - Pp. 362-370.

98. Cao Y., Ren W. LQR-based optimal linear consensus algorithms // 2009 American Control Conference. — Hyatt Regency Riverfront, St. Louis, MO, USA: 2009. Pp. 5204-5209.

99. Cao Y., Ren W. Multi-vehicle coordination for double-integrator dynamics under fixed undirected/directed interaction in a sampled-data setting // International Journal of Robust and Nonlinear Control. — 2009. — Published Online: 13 Aug 2009.

100. Cao Y., Ren W. Containment control with multiple stationary or dynamic leaders under a directed interaction graph // Joint 48th IEEE Conference on Decision and Control and 28th Chinese Control Conference. — Shanghai, P.R. China: 2010. Pp. 3014-3019.

101. Cao Y., Ren W. Optimal linear-consensus algorithms: An LQR perspective J/ IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Part B: Cybernetics. 2010. - Vol. 40, no. 3. - Pp. 819-830.

102. Cao Y., Ren W. Sampled-data discrete-time coordination algorithms for double-integrator dynamics under dynamic directed interaction // International Journal of Control. 2010.- Vol. 83, no. 3,- Pp. 506-515,- First Published on 04 November 2009.

103. Cao Y., Stuart D., Ren W. Co-ordinated collective motion patterns in a discrete-time setting with experiments // IET Control Theory and Applications. 2010. - Vol. 4, no. 11. - Pp. 2579-2591.

104. Caughman J., Veerman J. Kernels of directed graph Laplacians // The Electronic Journal of Combinatorics. — 2006. — Vol. 13, no. 1. — P. R39.

105. Chaiken S. A combinatorial proof of the all minors matrix tree theorem // SIAM Journal on Algebraic and Discrete Methods. — 1982,— Vol. 3, no. 3. Pp. 319-329.

106. Chatterjee S., Seneta E. Towards consensus: Some convergence theorems on repeated averaging // Journal of Applied Probability. — 1977. — Vol. 14. — Pp. 89-97.

107. Chebotarev P. Comments on "Consensus and cooperation in networked multiagent systems" // Proceedings of the IEEE. — 2010. Vol. 98, no. 7. -Pp. 1353-1354;

108. Chebotarev P., Agaev R. Forest matrices around the Laplacian matrix //Linear Algebra and its Applications. — 2002. — Vol. 356. — Pp. 253-274.

109. Chebotarev P., Agaev R. Forest matrices around the Laplacian matrix //Linear Algebra and its Applications. — 2002. — Vol. 356. — Pp. 253-274.

110. Chebotarev P., Agaev R. On of the spectrum of the digraph Laplacian //International Conference on Matrix Analysis and Applications. — Fort Lauderdale: Nova Southeastern University, 2003. — Pp. 4-5.

111. Chebotarev P., Agaev R. When is the Laplacian spectrum of a weighted digraph real? // International GAMM-SIAM Conference on Applied Linear Algebra. — Düsseldorf: University of Düsseldorf, 2006. — P. 29.

112. Chebotarev P., Agaev R., Shamis E. The out forests of a (di)graph and the investigation of its structure // International Conference on Ordinal and Symbolic Data Analysis. — Bruxelles: Universite Libre de Bruxelles, 2000. — P. 8.

113. Chebotarev P., Shamis E., Agaev R. A new metric for graph vertices and its properties // Abstracts of the 7th Conference of the International Federation of Classification Societies. — Namur: University of Namur, 2000. — P. 46.

114. Chebotarev P. Y., Shamis E. V. Preference fusion when the number of alternatives exceeds two: Indirect scoring procedures // Journal of the Franklin Institute. 1999.- Vol. 336,- Pp. 205-226,- Erratum, J. Franklin Inst., 1999, Vol. 336, Pp. 747-748.

115. Chung F. Laplacians and the Cheeger inequality for directed graphs // Annals of Combinatorics. 2005. - Vol. 9. - Pp. 1-19.

116. Chung F. R. K. Spectral Graph Theory. — Providence, RI: American Mathematical Society, 1994. — Vol. 17 of Colloquium Publications.

117. Coates C. Flow-graph solutions of linear algebraic equations // IRE Transactions on Circuit Theory. 1959. - Vol. 6. - Pp. 170-187.

118. Cook W. D., Kress M. Ordinal Information and Preference Structures: Decision Models and Applications. — Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1992.

119. Cucker F. Smale S. On the mathematics of emergence // Japanese Journal of Mathematics. 2007. - Vol. 2, no. 1. - Pp. 197-227.

120. David H. A. The Method of Paired Comparisons. — Second edition. — London: Griffin, 1988.

121. David H. A., Andrews D. M. Nonparametric methods of ranking from paired comparisons // Probability Models and Statistical Analyses for Ranking Data /Ed. by M. A. Fligner, J. S. Verducci. New York: Springer, 1993. - Pp. 2036.

122. DeGroot M. H. Reaching a consensus // Journal of American Statistical Association. 1974. - Vol. 69, no. 345. - Pp. 118-121.

123. Doyle P. G., Snell J. L. Random Walks and Electric Networks. — Washington D. C.: Mathematical Association of America, 1984. —

124. Available at URL http://arxiv.org/abs/math/0001057 (version 2000).

125. Eckart C., Young G. The approximation of one matrix by another of lower rank // Psychometrika. — 1936. — Vol. 1, no. 3. — Pp. 211-218.

126. Erdds P. L. A new bijection on rooted forests // Discrete Mathematics. — 1993. Vol. 111. - Pp. 179-188.

127. Fax J.; Murray R. Information flow and cooperative control of vehicle formations // IEEE Transactions Automatic Control — 2003. — Vol. 49, no. 9. — Pp. 1465-1476.

128. Fax I. A, Optimal and cooperative control of vehicle formations: Ph.D. thesis / California Institute of Technology. — 2002.

129. Fax J. A., Murray R. M. Graph Lapla.cians and stabilization of vehicle formations: CDS Technical Report 01-007. — Pasadena: California Inst, of Technology, July 2001.

130. Fax J. A., Murray R. M. Graph Laplacians and stabilization of vehicle formations //Proceedings of the 15th IFAC Congress. — Barcelona, Spain: July 2002.

131. Fiedler M. Bounds for eigenvalues of doubly stochastic matrices // Linear Algebra and its Applications. — 1972. — Vol. 5. — Pp. 299-310.

132. Fiedler M. Algebraic connectivity of graphs // Czechoslovak Mathematical Journal. 1973. - Vol. 23, no. 98. - Pp. 298-305.

133. Fiedler M. A property of eigenvectors of nonnegative symmetric matrices and its application to graph theory // Czechoslovak Mathematical Journal. — 1975.- Vol. 25, no. 100.- Pp. 619-633.

134. Fiedler M., Sedlácek J. O VK-basích orientovanych grafü // Casopis Pest. Mat. 1958. - Vol. 83. - Pp. 214-225.

135. Fouss F., Pirotte A., Renders J., Saerens M. Random-walk computation of similarities between nodes of a graph with application to collaborative recommendation // IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering. — 2007. Pp. 355-369.

136. Golub G., Hoffman A., Stewart G. A generalization of the eckart-young-mirsky matrix approximation theorem I I Linear Algebra and Its Applications. 1987. - Vol. 88. - Pp. 317-327.

137. Grone R. Merris R. The Laplacian spectrum of a graph II // SIAM Journal on Discrete Mathematics. 1994. - Vol. 7, no. 2. - Pp. 221-229.

138. Grone R., Merris R., Sunder V. S. The Laplacian spectrum of a graph // SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. — 1990. — Vol. 11, no. 2. Pp. 218-238.

139. Hajnal J. The ergodic properties of non-homogeneous finite Markov chains // Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1956. — Vol. 52. — Pp. 67-77.

140. Hajnal J. Weak ergodicity in non-homogeneous Markov chains //Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1958. — Vol. 54. — Pp. 233-246.

141. Hall K. M. An r-dimensional quadratic placement algorithm // Management Science. 1970. - Vol. 17, no. 3. - Pp. 219-229.

142. Harary F., Norman R. Z., Cartwright D. Structural Models: An Introduction to the Theory of Directed Graphs. — New York: Wiley, 1965.

143. Harte R. E. Spectral projections // Irish Mathematical Society Newsletter. — 1984,-Vol. 11.- Pp. 10-15.

144. Hartwig R. E. More on the Souriau-Frame algorithm and the Drazin inverse // SI AM Journal on Applied Mathematics. 1976. - Vol. 31. - Pp. 42-46.

145. Hartwig R. E., Levine J. Applications of the Drazin inverse to the Hill cryptographic system, Part III // Cryptologia. — 1981. — Vol. 5. — Pp. 67-77.

146. Householder A. S. The Theory of Matrices in Numerical Analysis. — New York: Blaisdell, 1964.

147. Jadbabaie A. Lin J. Morse A. S. Coordination of groups of mobile autonomous agents using nearest neighbor rules // IEEE Trans. Automatic Control. 2003. - Vol. 48, no. 6. - Pp. 988-1001.

148. Johns J.; Mahadevan S. Constructing basis functions from directed graphs for value function approximation '/'/' Procee'dirigs of the 24th InternationalConference on Machine Learning (ICML). 2007. - Pp. 385-392.

149. Kelmans A. K., Chelnokov V. M. A certain polynomial of a graph and graphs with an extremal number of trees // Journal of Combinatorial Theory, Series B. 1974. - Vol. 16. - Pp. 197-214.

150. Keviczky T., Borrelli F. Balas G. J. Distributed predictive control: Synthesis, stability and feasibility // Cooperative Control of Distributed MultiAgent Systems / Ed. by J. S. Shamma. — John Wiley & Sons, Ltd., 2007. — Pp. 79-108.

151. Klein D. J. Centrality measure in graphs //Journal of Mathematical Chemistry. 2010. - Vol. 47, no. 4. - Pp. 1209-1223.164:. Koliha J. J. Block diagonalization // Mathematica Bohemica.— 2001.— Vol. 126. Pp. 237-246.

152. Koliha J. J., Straskraba I. Power bounded and exponentially bounded matrices //Applications of Mathematics. — 1999. — Vol. 44, no. 4. — Pp. 289-308.

153. Lafferriere G., Caughman J., Williams A. Graph theoretic methods in the stability of vehicle formations // Proceedings of the 2004 American Control Conference. Vol. 4. - 2004. - Pp. 3729- 3734.

154. Lafferriere G., Williams A. Caughman J. S., Veerman J. J. P. Decentralized control of vehicle formations // Systems and Control Letters. — 2005. — Vol. 54, no. 9. Pp. 899-910.

155. Laslier J. F. Tournament Solutions and Majority Voting. — Berlin: Springer, 1997.

156. Lin Z., Francis B., Maggiore M. Necessary and sufficient graphical conditions for formation control of unicycles // IEEE Trans. Automatic Control. — 2005. Vol. 50, no. 1. - Pp. 121-127.

157. Liu C. J., Chow Y. Enumeration of forests in a graph // Proceeding of the American Mathematical Society. — 1981. — Vol. 83, no. 3. — Pp. 659-663.

158. Luna B., Ugalde E. Dominant vertices in regulatory networks dynamics // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2008. - Vol. 237. - Pp. 2685-2695.

159. Mahadevan S. Learning representation and control in Markov decision processes: New frontiers // Foundations and Trends in Machine Learning. — 2008. Vol. 1~ no. 4. - Pp. 403-565.

160. Malyshev A. N. A formula for the 2-norm distance from a matrix to the set of matrices with multiple eigenvalues // Numerische Mathematik. — 1999. — Vol. 83, no. 3,- Pp. 443-454.

161. Markovski J. Real and Stochastic Time in Process Algebras for Performance Evaluation: Ph.D. thesis / Eindhoven University of Technology. — 2008.

162. Markovski J., Trcka N. Lumping Markov chains with silent steps // Third International Conference on the Quantitative Evaluation of Systems — (QEST'06). Riverside, CA, USA: IEEE Computer Society, 2006. - Pp. 221232.

163. Markovski J., Trcka N. Aggregation methods for Markov reward chains with fast and silent transitions // 14th GI/ITG Conference Measurement, Modelling and Evalutation of Computer and Communication Systems. — Dortmund: 2008.- Pp. 1-15.

164. Marsaglia G., Styan G. P. H. Equalities and inequalities for ranks of matrices // Linear and Multilinear Algebra. 1974. - Vol. 2. - Pp. 269-292.

165. Masuda N., Kawamura Y., Kori H. Impact of hierarchical modular structure on ranking of individual nodes in directed networks // New Journal of Physics. 2009. - Vol. 11. - P. 113002 (21 pp.).

166. Masuda N., Kawamura Y., Kori H. Collective fluctuations in networks of noisy components // New Journal of Physics. — 2010. — Vol. 12. — Pp. 115.

167. Maxwell J. C. Electricity and Magnetism. — 3 edition. — London/New York: Oxford Univ. Press, 1892.- vol. 1, part. II, p. 409.

168. Meng Z., Cao Y., Ren W. Stability and convergence analysis of multi-agent consensus with information reuse // International Journal of Control. — 2010. Vol. 83, no. 5. - Pp. 1081-1092.

169. Meng Z., Ren W., Cao Y., You Z. Leaderless and leader-following consensus with communication and input delays under a directed network topology // IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Part, B: Cybernetics. 2010. - no. 99. - Pp. 1-14.

170. Merris R. Laplacian matrices of graphs: A survey // Linear Algebra and its Applications. 1994. - Vol. 197-198. - Pp. 143-176.

171. Merris R. A survey of graph Laplacians // Linear and Multilinear Algebra. — 1995.-Vol. 39.- Pp. 19-31.

172. Merris R. Doubly stochastic graph matrices // Publikacije Elektrotehnickog Fakulteta Univerzitet. U Beogradu, Serija: Matematika. — 1997. — Vol. 8. — Pp. 64-71.

173. Merris R. Doubly stochastic graph matrices II // Linear and Multilinear-Algebra. 1998. - Vol. 45. - Pp. 275-285.

174. Mesbahi M., Egerstedt M. Graph Theoretic Methods in Multiagent Networks. — Princeton, NJ: Princeton University Press, 2010. — 413 pp.

175. Meyer, Jr. C. D. Limits and the index of a square matrix // SIAM Journal on Applied Mathematics. 1974. - Vol. 26. - Pp. 469-478.

176. Meyer, Jr. C. D. The role of the group generalized inverse in the theory of finite Markov chains // SIAM Review. 1975. - Vol. 17, no. 3. - Pp. 443464.

177. Meyer, Jr. C. D., Stadelmaier M. W. Singular M-matrices and inverse posi-tivity // Linear Algebra and its Applications. — 1978. — Vol. 22. — Pp. 139156.

178. Mohar B. The Laplacian spectrum of graphs // Graph Theory, Combinatorics and Applications / Ed. by Y. Alavi, G. Chartrand, O. Oellermann, A. Schwenk. New York: Wiley, 1991. - Pp. 871-898.

179. Mohar B. Laplace eigenvalues of graphs — a survey // Discrete Mathematics. 1992. - Vol. 109. - Pp. 171-183.

180. Moon J. W., Ptdlman N. J. On generalized tournament matrices // SIAM Review. 1970. - Vol. 12. - Pp. 384-399.

181. Moreau L. Stability of multiagent systems with time-dependent communication links if IEEE Trans. Automatic Control — 2005.— Vol. 50, no. 2,— Pp. 169-182.

182. Myrvold W. Counting /c-component forests of a graph // Networks. — 1992. — Vol. 22. Pp. 647-652.

183. Novikov D. A. Models of strategic behavior // Automation and Remote Control. 2012. - Vol. 73, no. 1. - Pp. 1-19.

184. Olfati-Saber R. Ultrafast consensus in small-world networks // Proc. American Control Conference.- 2005.- Pp. 2371-2378.

185. Olfati-Saber R., Fax J. A., Murray R. M. Consensus and cooperation in networked multi-agent systems // Proceedings of the IEEE. — 2007.— Vol. 95, no. 1. Pp. 215-233.

186. Olfati-Saber R., Murray R. M. Consensus problems in networks of agents with switching topology and time-delays // IEEE Transactions on Automatic Control. 2004. - Vol. 49, no. 9. - Pp. 1520-1533.

187. Pick G. Uber die Wurzeln der charakteristischen Gleichungen von Schwingungsproblemen //Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik. — 1922. — Vol. 2. Pp. 353-357.

188. Ren W. Consensus based formation control strategies for multi-vehicle systems //2006 American Control Conference. 2006. - Pp. 4237-4242.

189. Ren W. Collective motion from consensus with Cartesian coordinate coupling // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2009. — Vol. 54, no. 6. — Pp. 1330-1335.

190. Ren W. Consensus tracking under directed interaction topologies: Algorithms and experiments // IEEE Transactions on Control Systems Technology. — 2010. Vol. 18, no. 1. - Pp. 230-237.

191. Ren W., Beard R., Atkins E. A survey of consensus problems in multi-agent coordination // 2005 American Control Conference.— 2005.— Pp. 18591864.

192. Ren W., Beard R. W. Consensus seeking in multi-agent systems under dynamically changing interaction topologies // IEEE Transactions on Automatic Control. 2005. - Vol. 50, no. 5. - Pp. 655-661.

193. Ren W., Beard R. W. Distributed Consensus in Multi-vehicle Cooperative Control: Theory and Applications. — London: Springer, 2008.

194. Ren W., Beard R. W., Atkins E. M. Information consensus in multivehicle cooperative control // IEEE Control Systems Magazine. — 2007. — Vol. 27, no. 2. Pp. 71-82.

195. Ren W., Cao Y. Convergence of sampled-data consensus algorithms for double-integrator dynamics // Proceedings of the 47th IEEE Conference on

196. Decision and Control Cancun, Mexico, Dec. 9-11, 2008.- No. ThTA06.4.-2008. Pp. 3965-3970.

197. Ren W., Cao Y. Distributed Coordination of Multi-agent Networks: Emergent Problems, Models, and Issues. — Springer, 2011.

198. Ren W., Chao H., Bourgeons W., Sorensen N. Chen Y. Experimental validation of consensus algorithms for multivehicle cooperative control I I IEEE Transactions On Control Systems Technology. — 2008. — Vol. 16, no. 4. — Pp. 745-752.

199. Riethmùller C. A Maintenance Model for Systems with Phase-type Distributed Times to Failure: Ph.D. thesis / Fakultàt fur Mathematik der Otto-von-Guericke-Universitàt Magdeburg. — 2010. — Pp. 1-112.

200. Rothblum U. G. Computation of the eigenprojection of a nonnegative matrix at its spectral radius I I Mathematical Programming Study. — 1976. — Vol. 6.- Pp. 188-201.

201. Rothblum U. G. A representation of the Drazin inverse and characterizations of the index // SIAM Journal on Applied Mathematics. — 1976.— Vol. 31, no. 4. Pp. 646-648.

202. Schwartz T. The Logic of Collective Choice. — New York: Columbia Univ. Press, 1986.

203. Shamma J. Cooperative control of distributed multi-agent systems. — Wiley Online Library, 2007.

204. Simeon B., Fiihrer C., Rentrop P. The Drazin inverse in multibody system dynamics I I Numerische MathemMik. — 1993. — Vol. 64, no. 4. — Pp. 521539.

205. Takacs L. Enumeration of rooted trees and forests // Mathematical Scientist. 1993. - Vol. 18. - Pp. 1-10.

206. Tizghadam A., Leon-Garcia A. On random walks in direction-aware network problems // ACM SIGMETRICS Performance Evaluation Review.— September 2010. Vol. 38, no. 2. - Pp. 9-11.

207. Tsitsiklis J., Bertsekas D., Athans M. Distributed asynchronous deterministic and stochastic gradient optimization algorithms // IEEE Transactions Automatic Control. 1986. - Vol. 9. - Pp. 803-812.

208. Udrea G. Catalan's identity and Chebyshev polynomials of the second kind I I Portugaliae Mathematics 1995. - Vol. 52. - Pp. 391-397.

209. Veerman J. J. P., Lafferriere G., Caughman J., Williams A. Flocks and formations I I Journal of Statistical Physics. — 2005.— Vol. 121, no. 5-6.— Pp. 901-936.

210. Veerman J. J. P., Stosic B. D., Tangerman F. M. Automated traffic and the finite size resonance // Journal of Statistical Physics. — 2009. — Vol. 137, no. 1.- Pp. 189-203.

211. Vicsek T., Czirok A., Jacob E. B. Cohen I., Schochet O. Novel type of phase transitions in a system of self-driven particles // Physics Review Letters. — 1995. Vol. 75. - Pp. 1226-1229.

212. Volchenkov D. Random walks and flights over connected graphs and complex networks (review) // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2011. - Vol. 16, no. 1. - Pp. 21-55.

213. Wei Y. A characterization and representation of the Drazin inverse // SI AM Journal on Matrix Analysis and Applications. — 1996. — Vol. 17, no. 4. — Pp. 744-747.

214. Wilkinson J. H- Note en-the practical-significance of the-Drazin inverse //Recent Applications of Generalized Inverses / Ed. by S. Campbell. — London: Pitman, 1982. Pp. 82-99.

215. Williams A., Lafferriere G., Veerman J. J. P. Stable motions of vehicle formations //44th IEEE Conference on Decision and Control, and the European Control Conference. — Seville, Spain: December 2005. — Pp. 72-77.

216. Wolfowitz J. Products of indecomposable, aperiodic, stochastic matrices // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1963. — Vol. 15. — Pp. 733-736.

217. Wu C. W. Algebraic connectivity of directed graphs // Linear and Multilinear Algebra. 2005. - Vol. 53, no. 3. - Pp. 203-223.

218. Wu C. W. Synchronization in Complex Networks of Nonlinear Dynamical Systems. World Scientific, 2007.

219. Wu C. W. Evolution and dynamics of complex networks of coupled systems // Circuits and Systems Magazine, IEEE. — 2010. — Vol. 10, no. 3. — Pp. 5563.

220. Young G. F., Scardovi L., Leonard N. E. Robustness of noisy consensus dynamics with directed communication //Proceedings of the American Control Conference. — Baltimore, MD: 2010.

221. Zarei M., Samani K. A., Omidi G. R. Complex eigenvectors of network matrices give better insight into the community structure // Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment (An IOP and SISSA journal). — 2009.- Pp. 1-20.- P10018.

222. Zhang L. A characterization of the Drazin inverse // Linear Algebra and its Applications. 2001. - Vol. 335. - Pp. 183-188.

223. Zhang Y., Yong X., Golin M. J. Chebyshev polynomials and spanning tree formulas for circulant and related graphs // Discrete Mathematics. — 2005. — Vol. 298. Pp. 334-364.