Методы и методики анализа математических моделей в сложных системах: экономических, экологических, биологических тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Лайпанова, Зульфа Мисаровна

• Лайпанова, Зульфа Мисаровна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лайпанова, Зульфа Мисаровна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЭКОНОМИЧЕСКИХ И БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

1.1. Балансовые экономике» - ма тематические модели Леонтьева.

1.2. Динамическая модель микроэкономической системы.

1.3. Математическая модель экономического роста (модель Солоу).

1.4. Биологические системы, описываемые уравнением а2и —и= 0.

1.5. Коррек 11 юсть постановки математических задач.

1.6. Оптимальная фильтрация случайных помех в динамических системах.

1.7. Методььрешения некорректно поставленных задач.

1. 7.1. Метод регуляризации по А. Н. Тихонову.

1.7. 2. Построение оптгталъной оценки решения системы линейных алгебраических уравнений с помощью одношагового фильтра Калмана

Бьюси.

1.7. 3. Сравнительный анализ оценок, получаемых с помощью одношагового фильтра Калмана-Бьюси и методом регуляризации

Тихонова.

1.7. 4. Многошаговый (многократный) фильтр Калмана-Бьюси.

Выводы к первой главе. '.

ГЛАВА II. КОРРЕКТНОСТЬ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ КОШИ'В МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ И МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ, ПРЕДСТАВЛЕННЫХ СИСТЕМАМИ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙВ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ.

2.1 Корректность математических моделей, представленных системами линейных алгебраических уравнений.

2.2. Корректность постановки балансовой модели Леонтьева.

2.3. Корректность поста! ювки динамической модели Леонтьева-.

2.4. Корректность постановки задачи Коши в математической модели Солоу.

2.5. Корректность постановки задачи Коши в динамической модели микроэкономической системы.

Выводы ко в горой главе.

ГЛАВА III. С ТОХАСТИЧЕСКАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ КОШИ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ, И МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ, ПРЕДСТАВЛЕННЫХ ЛИНЕЙНЫМИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ

УРАВНЕНИЯМИ, В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ.

3.1. Фильтрация случайных ошибок в балансовой модели Леонтьева.

3.1.1. Одношаговая фильтрация ошибок в балансовой модели Леонтьева

3.1.2. Многошаговая фильтрация случайных ошибок в балансовой модели Леонтьева.

3.2. Оптимальная лш шйная фильтрация случайных помех в задаче.

Коши в математической модели солоу.

3.3. Оптимальная линейная фильтрация случайных помех в динамической модели леонтьева.

3.4. Оптимальная линейная фильтрация случайных помех в динамической модели микроэкономической системы.

3.5. Оптимальная оценка валового выпуска продукции закрытого акционерного общества «карачаевский пивзавод» (г. карачаевск).

Выводы к третьей главе.

ГЛАВА IV. КОРРЕКТНОСТЬ ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ БИОЛОГИЧЕСКИХ И ЭКОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ.".

4.1. Об одном методе регуляризации задачи Коши со смешанным носителем.

4.2. Анализ задачи Topi ши.

4.3. Разрешимость краевой задачи, описывающей рассеяние примеси в турбулен п юй атмосфере.

4.4 Koppekti юсть задачи, описывающей рассеяние примеси в турбулентной атмосфере.

4.5. Корректность постановки первой краевой задачи, описывающей рассеяние примеси в турбулентной атмосфере.

4.6. корректность постановки третьей краевой задачи, описывающей рассеяние примеси втурбулентной атмосфере. выводы к четвертой главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы и методики анализа математических моделей в сложных системах: экономических, экологических, биологических»

Актуальность темы диссертации. Согласно [60] «.система есть совокупность взаимосвязанных элементов, обособленная от среды и взаимодействующая с ней как единое целое.сложной системой называется система, в модели которой не хватает информации для эффективного управления» (ею).

В соответствии с этим определением систему будем всюду в дальнейшем называть простой, если в ее модели достаточно информации для эффективного управления ею. Кроме того, согласно определения сложной системы, совокупность ее взаимосвязанных элементов и ее модель следует воспринимать как единое целое.

Под управлением системы будем понимать процесс воздействия на нее (в рамках, допускаемых моделью изменений параметров этой модели) с целью достижения некоторой цели.

Цель, которая будет ставиться в диссертационной работе при исследовании различных систем — адекватность экспериментальным данным результатов, получаемых с помощью модели системы.

Один из основных способов перехода от сложной системы к простой -изучить причины сложности системы и на основе этих исследований получить дополнительную информацию, позволяющую эффективно управлять системой.

В соответствии с указанными выше определениями, для перехода от сложной системы к простой достаточно «подкорректировать и (подправить, уточнить) модель сложной системы» таким образом, чтобы она позволяла эффективно управлять системой и достичь поставленной цели.

В диссертационной работе основное внимание будет уделено экономическим, экологическим и биологическим сложным системам. Моделями этих систем (и их подсистем) являются различные математические модели. В дальнейшем всюду анализу будут подвергнуты именно математические модели указанных систем.

Математическая модель системы в общепринятом смысле — о <ищ>'ьект, построенный средствами математики и способный в определенных усп~«=£п>виях заменять оригинал, воспроизводя интересующие нас свойстт===а.;а. и характеристики оригинала. В качестве «средств математики» 2г>^10гут выступать уравнения (алгебраические, дифференциальные - с заданнызч^пш для них начальными или граничными условиями), различные типы нера^^^енст, аналитические и логические формулы и т. д.

Математические модели рассматриваемых экономии экологических и биологических систем (или их подсистем) предсха^^^лены (или их основу составляют) дифференциальные уравнения (обыкнов иные или в частных производных) с заданными для их решения начальы^ь-^лсгли и граничными условиями (1. е. представлены краевыми задачами). Длзз: -того, чтобы краевая задача адекватно экспериментальным данным опиоЕ^1вала рассматриваемую систему (г. е. чтобы сложная система была управли5з:*<^:зу10й) необходимо, чтобы она была корректно поставленной.

Если задача является некорректно поставленной, то ее решение не существует, или не является единственным, или является неустойчи:в-::&»1М, и значит система является плохо (слабо) управляемой. Кроме того, в ~пгш<их задачах важно выяснить не только факт корректности или некоррекпггч&^ости задачи, но и предложить (указать) эффективные методы построеызмг^я их аналитического и численного решения в случае некорректной постаи:.овки. Подобных исследований экономических, экологических и биологи^^гч^ских систем, судя по публикациям в периодических журналах, не проводх^-аЕпось. Более того, подобных исследований никто не проводил методами -жг-«^:ории оптимальной фильтрации, которые наряду с аналитическими мех~одами использованы при анализе сложных систем.

Поэтому тема диссертационной рабо1Ы, в рамках которой предл<1=»х>зЕсены методы и методики, позволяющие проводить анализ математи^-з: ^ских моделей сложных систем и ответить на вопрос: является ли система гге^><12>стой или сложной, является актуальной и практически значимой, указа 1ь пути сведения сложных систем к простым.

Тема диссертационной работы сформулирована в рамках научной проблемы, на решение которой направлены в настоящее время исследования, проводимые как у нас в стране, гак и за рубежом: разрабогшь математические модели систем, в частности, экономических, затрагивающих общее состояние экономики страны, региона, предприятия (фирмы), экологических и биологических систем, являющихся средой обитания людей.

Данная диссертационная работа направлена на решение (в рамках указанной научной проблемы) важной научной задачи: указать методы исследования и исследовать на корректность постановки краевые задачи, описывающие стационарные и динамические процессы в экономических, биологических и экологических системах, которые являются наиболее значимыми сис1емами в теории сложных систем.

Степень разработанности проблемы.

Построению математических моделей а) макро - и микроэкономических систем посвящены многочисленные исследования отечественных и зарубежных ученых: Л. Канторовича, С. А. Ашманова, В. А. Колемаева, В. В. Федосеева, II. Ш. Кремера, Ф. В. Кротова, И. В. Орловой, М. В. Пинегиной, С. Р. Хачафяна, В. П. Буянова, В. В. Леонтьева, Солоу, К. Дж. Эррау, С. Карлина, X. Никайдо, М. Иш рил ига юра и многих других; б) рассматриваемой подсис1емы - покров листьев на растении биологической системы: А. N4 Нахушева; в) рассматриваемой подсистемы - приземная атмосфера эколгической системы: А. С. Монина, А. М. Яглова, Г. И, Марчука, М. Е. Берлянда, Н. Л. Бызовой, А. М. Обухова, Е. К. Гаргера, В. Н. Иванова, С. С. Зилитинкевича, Д. Л. Лайхтмана, Ю. А. Израэля, В. А. Бабешко, Ф. Т. М. Ныостадта, X. Ван Дона, Т. Р. Оке, С. Панчева и многих других.

Методам исследования на корректность постановки, регуляризации некорректно поставленных задач, фильтрации случайных помех в динамических системах посвящены исследования А. Н. Тихонова.—^ В. Я. Арсенина, В. А. Морозова, М. М. Лаврентьева, А. М. Денисова-—^ В. С. Сизикова, А. Н. Калмогорова, Н. Винера, Р. Е. Калмана, Р. С. Бьюсз&-а:, В. С. Пугачева, Р. Л. Стратоновича, В. Б. Колмановского, В. Р. Носова А. Н. Ширяева, Р. Ш. Линцера, В. Н. Афанасьева и многих других.

Вместе с тем не исследованы на корркетность постановки задачя ЗЕСоши в математических моделях макро - и микроэкономических си:с~1г--<^1У1, не разработаны методики подавления случайных помех в этих зада.'^чсах, не исследованы на корректность постановки краевые задачи, описывающие рассеяние примеси в экологической подсистеме приземная атм:<^>сфера. Важность (теоретическая и практическая) проведения таких исследои определила тему и постановку задач диссертационного исследование

Объект исследования - математические модели эконохугиг^асеских, биологических и экологических систем.

Предмет исследования - критерии корректной постановки зада^^з; ЬСоши и краевых задач в указанных моделях.

Цели проводимых исследований: найти условия, обеспе^гисз^^г-^-ЮЩие корректную постановку краевых задач, описывающих наиболе^г часто встречающиеся в прикладных исследованиях сложные си отемы: экономические, экологические, биологические, разработать эфф&ьст-^вную методику подавления помех, ошибок и шумов, возникающих в этих. и адаптировать ее к решению задач, возникающих в при^ьс^»—нудных исследованиях.

Задачи, которые решались в ходе проводимых исследований«

1. Исследовать на предмет обусловленности решения статической: одели

Леонтьева, на корректность постановки задач Коши в математп-д^чееских моделях Леонтьева, (динамической), Солоу, динамической модели ра^звития малого предприятия.

2. Разработать методику подавления шумов в статической балансовой модели Леонтьева, которая основана на методах оптимальной линейной фильтрации шумов в системах линейных алгебраических уравнений;

3. Разработать методику подавления шумов в динамических макроэкономических моделях (Солоу, Леонтьева), которая основана на методах линейной фильтрации шумов в линейных системах дифференциальных уравнений;

4. Разработать методы регуляризации решений краевых задач, описывающих биологические процессы, и методы исследования на корректность постановки краевых задач, описывающих жономические прцессы.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы понятия и методы теории дифференциальных уравнений, в том числе уравнений с частными производными, методы регуляризации задачи Коши, методы оптимальной линейной фильтрации шумов в динамических системах.

Достоверность и обоснованное 1Ь полученных в диссертационной работе теоретических и практических результатов следуют из математической сфогости постановки рассматриваемых задач, методов их решения, а также из совпадения полученных результатов с результатами, известными из печатных источников.

На защиту выносятся следующие результаты.

1. Методика фильтрации ошибок измерений вектора спроса в экономико-математических моделях Леонтьева и Солоу. Такая методика предлагается впервые, она дает возможность найти оптимальную в среднеквадратическом смысле оценку решения моделей Леонтьева и Солоу методами оптимальной фильтрации случайных помех. ^

2. Результаты исследования на корректность постановки краевых задач, описывающих рассеяние примеси в турбулентной атмосфере. Они позволяют теорему о корректной постановке второй краевой задачи для уравнения параболического типа переформулировать применительно к задачам, посвященным рассеянию примеси в турбулентной атмосфере.

3. Способ регуляризации задачи Коши со смешанным носителем, описывающей явление спирального филлотаксиса (расположение листьев на растении). Эти исследования являются продолжением исследований, проведенных Торнли. Они позволяют уточнить модель спирального филлотаксиса.

Соответствие паспорту специальности.

Диссертационное исследование выполнено в соответствии с паспортом специальности 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ:

2. Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей

4. Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента

5. Разработка новых математических методов и алгоритмов интерпретации натурного эксперимента на основе его математической модели

Научная новизна. Предложены методы и методики анализа сложных систем, наиболее часто встречающихся в прикладных исследованиях -экономических, экологических, биологических: методика оптимальной фильтрации ошибок в решении балансовой математической модели, возникающих при задании вектора спроса в этой модели; исследованы на корректность постановки краевые задачи, описывающие макроэкономические процессы, процессы рассеяния примесей в атмосфере, предложен способ регуляризации методом малого параметра задачи Коши со смешанным носителем.

Теоретическая значимость полученных результатов. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы при анализе на корректность постановки, при фильтрации случайных шумов в математических моделях других сложных систем.

Практическая значимость результатов диссертационного исследования. Полученные критерии и разработанные методики могут быть использованы для проверки на адекватность экспериментальным данным математических моделей макро — и микроэкономических, биологических и экологических систем, для исследования, явления филлотаксиса в кронах деревьев, для получения численными методами оптимальных в среднеквадратическом , смысле оценок решений задач Коши в математических моделях макро - и микроэкономических систем, учитывающих случайные помехи.

Внедрения полученных результатов.

Результаты исследований, изложенные в диссертационной работе, внедрены (что подтверждается соответствующими актами о внедрении) в производственную деятельность ЗАО «Карачаевский пивзавод» (г. Карачаевск) и в учебный процесс Карачаево-Черкесского государственного университета им. У. Дж. Алиева.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались в 2007г. на Международной научно-технической конференции «Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании» (г. Пенза), в 2007г. на Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (г. Кисловодск), в 2008г. на кафедрах математического анализа, информатики Карачаево-Черкесского государственного университета, на научных конференциях, проводившихся в Карачаево-Черкесском государственном университете.

Публикации. Материалы диссертации подробно опубликованы в 14 научных работах: в монографии, 7 статьях (6 из них - в научных изданиях, рекомендованных ВАК для опубликования результатов докторских и кандидатских диссертаций), и 6 тезисах докладов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из данного введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы, содержащего 105 наименований. Объем диссертации 128 страниц машинописного текста.

Краткая характеристика работы

Первая глава - вводная. В ней изложены основные результаты проведенных исследований, используемые в последующих главах для анализа математических моделей некоторых сложных систем: экономических моделей, моделей из экологии и биологии, основные сведения о корректной постановке задач, представленных в операторном виде, и известные результаты о фильтрации случайных помех в линейных системах.

В первом параграфе описаны соотношения баланса в экономической системе. Приведена математическая балансовая модель Леонтьева. Эти сведения представлены в том объеме, который достаточен для интерпретации и анализа результатов проведенных исследований, изложенных в последующих главах.

Во втором и в третьем параграфах приводятся соответственно модели микро - и макроэкономических систем: динамическая модель микроэкономики и модель экономического роста Солоу. Модели отражают важнейшие микро- и макроэкономические аспекты процесса воспроизводства в этих сложных системах.

В четвертом параграфе описана (в заданной области О) задача Коши: U, - aUхх, а - const > 0, (0.0.1)

U(0.t) = <p(t). и ДО./) = (//(/)- 0 </<7\ ' (0.0.2)

U(-V.0) = r(.v), 0 <А-</, г(0) = р(0), (0.0.3) которая часто встречается в математической биологии.

В пятом параграфе приведены общие положения корректности постановки математических задач (моделей) сложных систем.

В шестом и седьмом параграфах приводятся соответственно методы регуляризации (по Тихонову) решения операторного уравнения

Ау = /. yeL2. /е/о. (0.0.4) И

А- линейный вполне непрерывный оператор, / - заданная правая часть уравнения, у - искомое решение) и результаты теории линейной фильтрации наблюдаемых стохастических систем, описываемых линейными стохастическими дифференциальными уравнениями.

Во второй, третьей и четвертой главах изложены результаты, принадлежащие авторам.

Вторая глава посвящена изложению результатов исследования па корректность постановки задачи Коши в математических моделях, макро- и микроэкономических систем.

В первом параграфе изучается задача о корректности балансовой модели Леонтьева, т. е. задача о существовании, единственности и устойчивости решения этой модели.

Во втором и третьем параграфах представлены результаты анализа на корректность постановки задачи Коши в математической модели Солоу, динамической модели Леонтьева макроэкономической системы; в четвертом параграфе - динамической модели микроэкономической системы.

В третьей главе изучается задача фильтрации ошибок измерения в математических моделях экономических систем.

Первый параграф посвящен одношаговой фильтрации случайных ошибок измерений вектора спроса / в балансовой модели Леонтьева х = Ах + /, х>0, (0.0.5) где А— заданная технологическая матрица размера пхп, /- известный вектор спроса размерности п, х- неизвестный вектор валового производства (выпуска) размерности п, подлежащий определению,0- нулевой вектор размерности п.

Во втором параграфе приводится многошаговая оптимальная фильтрация ошибок измерений вектора спроса /, так как на практике вектор / измеряется, как правило, не один раз, а многократно: к раз, к > 1.

Третий, четвертый и пятый параграфы посвященьх. задаче фильтрации случайных помех соответственно в математической! модели Солоу, динамической модели Леонтьева макроэкономической системы и динамической модели микроэкономической системы.

В четвертой главе приведены результаты исследований на разрешимость начально-граничной задачи, описывающей рассеяние: примеси в турбулентной атмосфере, которая является сложной системой.

В первом параграфе приведена постановка задачи К1оши со смешанным носителем а для классического уравнения теплопроводности а2ихх-и^Ъ, а - const > 0. (0.0.6)

Во втором параграфе сделан анализ задачи Торнли, найдено регулярное в области Q решение v = v(x,y) ^^эавнения v, = o2vKX -у\\ а = canst > 0, непрерывное в П и удовлетворяющее условиям:

-a2 limv, =-S0(/), о </<7\ (4.2.2) 2 v(0,/) = v(/,/), 0 <t<T, хе[0,/]. (4.2.3) i

В третьем изложены результаты исследования соответственно на разрешимость и устойчивость решения краевой задачи.

В четвертом параграфе исследована задача на корректность математических моделей, описывающей рассеяние примеси в атмкзефере и представленной задачей Коши.

В пятом и шестом параграфах исследованы задачи на корректность математических моделей, описывающих рассеяние примеси в атмосфере и представленных первой и третьей краевыми задачами.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Лайпанова, Зульфа Мисаровна

Выводы к четвертой главе

В этой главе рассмотрена задача Коши со смешанным носителем а для классического уравнения 1еплопроводности

2 ихх ~иу a = const > 0, найдено регулярное в области Q решение и = и(х,у) этого уравнения, непрерывное в Q и удовлетворяющее заданным условиям:

Переформулирована теорема о корректной постановке второй краевой задачи для уравнения гиперболического типа.

В этой же главе подробно рассмотрена разрешимость начально-граничной задачи, описывающей рассеяние примеси в турбулентной атмосфере, исследованы и получены результаты решения задач на корректность постановки краевых задач, описывающих рассеяние примеси в атмосфере и представленных первой и третьей краевыми задачами Коши.

В данной диссертационной работе изложены основные понятия о экономических моделях Солоу и Леонтьева, о моделях из биологии, о математических моделях микроэкономики, фильтрах Калмана - Бьюси для линейных алгебраических уравнений и стохастических систем. Приведены и подробно описаны уравнения соотношения баланса в экономической модели Леонтьева, и модели экономического роста Солоу, решены задачи на корректность. В диссертационной работе также изучается задача Коши в u(x,Q) = <р(х), и(0,у) = т(х), ux(0,y) = v(y), у £ СГ( оу

ЗАКЛЮЧЕНИЕ области Q, и I и, — а и a = const > О (О, t) - (p{i), ыг(О./) = 0>(/),О</ <Т, (л. О) = г(х), 0 < х < /, г(0)=(р(0), которая часто изучается в математической биологии. Приводится метод регуляризации (по Тихонову) решения операторного уравнения.

АУ=/< уеЬь, fe.L2, где А - линейный вполне непрерывный оператор, f- заданная правая часть, у - искомое решение.

Также приведены результаты теории линейной фильтрации наблюдаемых стохастических объектов, описываемых линейными стохастическими дифференциальными уравнениями.

В диссертационной работе приводятся уже полученные результаты в ходе проведенных исследований. Так в первом параграфе второй главы исследована одношаговая фильтрация ошибок измерений вектора спроса в балансовой модели Леонтьева. В этой же главе приводится и многошаговая оптимальная фильтрация ошибок измерений вектора спроса /, рассматривается модель Солоу, приводятся результаты измерений модели Солоу на корректность ее постановки.

Изучается также линеаризованная модель Солоу, рассмотрен вопрос о разрешимости динамической модели Леонтьева и исследована задача: по данным наблюдениям z(t). /е[0,Г], найти оценку y{t) вектора X{t), которая доставляет минимум выражению.

В четвертой главе исследована задач Коши и задача, описывающая рассеяние примеси в турбулентной атмосфере, а также применение данных математических моделей в биологии. В этой же главе рассмотрена задача Коши со смешанным носителем а для классического уравнения теплопроводности а2 ихх - иу = 0, а = const > О и найдено регулярное в области Q решение и = м(.г,.у)УРавнения> непрерывное в Q и удовлетворяющее заданным условиям и(х,0) = р(х), хеах0. и( 0,у) = r(x), ux(0.v) = v(y), уео■„,. и также переформулирована теорема о корректной постановке второй краевой задачи для уравнения гиперболического типа. В IV главе также подробно рассмотрена разрешимость начально-граничной задачи, описывающей рассеяние примеси в турбулентной атмосфере, приведены и доказаны 4 теоремы о существовании и единственности решения поставленной задачи, получены результаты решения задач на корректность математических моделей, описывающих рассеяние примеси в атмосфере и представленных первой и третьей краевыми задачами Коши. Полученные результаты применяются для анализа математических моделей, используемых на практике.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лайпанова, Зульфа Мисаровна, 2011 год

1. Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т. В. Дифференциальные уравнения.- М.: МГТУ, 2004. - 352 с.

2. Алдохин Н.П., Кулиш С.А. Экономическая кибернетика. Харьков: Высшая школа, 1983. - 340 с.

3. Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсголыд Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. — м.: Наука, 1968. 416 с.

4. Ахтямов A.M. Математика для социологов и экономистов. — м.: Физматлит, 2004. 464с.

5. Ашманов С.А., Тимохов A.B. Теория оптимизации в задачах и упражнениях. М.: Наука, 1991. — 448 с.

6. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. Пер. с англ. М.: Мир, 1982. - 583 с.

7. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. -М.: Наука, 1971. 223 с.

8. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М: Лаборатория базовых знаний, 2002. - 632с.

9. Берлянд М.Е. Современные проблемы атмосферной диффузии и загрязнения атмосферы. JL: Гидрометеоиздат, 1975 - 392 с.

10. Бицадзе A.B. Основы теории аналитических функций. М.: Наука, 1984. — 320 с.

11. П.Боголюбов А. Н., Красильникова А.В, Минаев Д.В., Свешников А.Г. Метод конечных разностей для решения задач синтеза волноведуших систем. Математическое моделирование т. 12, №1, 2000. С. 13 - 24.

12. Боголюбов А.Н., Делицын A.JL, Красильникова A.B., Минаев Д.В., Свешников А.Г. /Математическое моделирование волноведуших систем на основе метода конечных разностей. Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 1998.— 234 с.

13. Боголюбов А.Н., Делицын A.JL, Свешников А.Г. Об условиях разрешимости задачи возбуждения радиоволповода. // Доклады РАН 2000, т. 370, №4. С. 453 456.

14. Бусленко Н. П. Моделирование сложных систем. М. Наука 1978.- 400 с.

15. Вабишевич П.Н. Численное моделирование. — М.: Изд-во МГУ, 1993. -152 с.

16. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М: Высшая школа , 2002. - 848 с.

17. Владимиров B.C., Жарииов В.В. Уравнения математической физики. -М.: Физматлит, 2001.- 400 с.

18. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. М.:, «Наука», 1978- 304 с.

19. Головизнин В.М., Карабасов С.А. Метод прыжкового переноса для численного решения гиперболических уравнений. Точный алгоритм для моделирования конвекции на эйлеровых сетках. Препринт ИБРАЭ РАН №IBRAE-2000-04, Москва, 2000. 40 с.

20. Горицкий АЛО., Кружков С.Н., Чечкин Г.А. Уравнения с частными производными первого порядка. М.: Изд-во МГУ, 1999. — 80 с.

21. Гранберг А.Г. Динамические модели народного хозяйства. М.: Экономика, 1985. - 240 с.

22. Гурса Э. Курс математического анализа. Т. II. М.-Л.: ГТТИ, 1936. — 563 с.

23. Гурса Э. Курс математического анализа. Т. Ill, ч. 1. М.-Л.: ГТТИ, 1933. -276 с.

24. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 2008. 480 с.

25. Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач. М.; Изд-во МГУ, 1994. - 208с.

26. Дубров A.M., Лагоша Б.А., Хрусталев Е. Ю. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе. — М.: Финансы и статистика 1999. — 172с.

27. Еремина Н.М., Маршалова В.П. Статистика труда: Учебник для вузов. -М.: Финансы и статистика, 1988. 248 с.

28. Жданов С. Экономические модели и методы управления. — М.: Эльта, 1998.- 176 с.

29. Замков О.О., Толстонятенко A.B., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. М.: Изд-во МГУ, 1999. — 368 с.

30. Ивченко Б. П., Мартыщенко Л.А. Информационная микроэкономика Часть 1: Методы анализа и прогнозирования. — СПб.: Нордмед-Издат, 1997.- 160 с.

31. Ильинский A.C., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М.: Высшая школа, 1991. — 224 с.

32. Карасев А.И., Кремер Н.Ш., Савельева Т.Н. Математические методы и модели в планировании. М.: Экономика, 1987. - 240 с.

33. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.-.Наука, 1979. -356 с.

34. Каханер Д., Моулср К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 1998. - 575 с.

35. Колемаев В.А. Математическая экономика. М.: 1998. - 240 с.

36. Колемаев В. А. Экономико-математическое моделирование. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. 295с.

37. Корбут A.A., Финкельштейн Ю.Ю. Дискретное программирование. М.: Наука, 1969. - 368с.

38. Краснов МЛ. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1975. 303 с.

39. Краснощеков П.С, Петров A.A. Принципы построения моделей, М.: МГУ. 1983. - 264 с.

40. Кротов В.Ф. и др. Основы теории оптимального управления. М.: Высшая школа, 1990. - 432 с.

41. Кундышев Е.С. Математическое моделирование в экономике. М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К0 », 2006. - 352 с.

42. Лаврентьев M. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. — 285 с.

43. Лаврентьев М.М., Соболев Л.Я. Теория операторов и некорректные задачи. Новосибирск: Изд-во Ип-та математики, 1999. - 702 с.

44. Ладыженская O.A., Солоников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. - 736 с.

45. Лайпанова 3. М. Неразложимые матрицы и операторы. Ал невские чтения. Карачаевск, 2007.- С.256-262.

46. Лайпанова 3. М. Об одном методе регуляризации задачи Коши со смешанным носителем. Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук. Нальчик, 2005.-Т.7,- вып. 2- С.32-36.

47. Лайпанова 3. М. Самоподдерживающееся динамическое равновесие без внешних расходов модели Леонтьва. Вестник. Карачаевск, 2007.— С. 267275.

48. Лайпанова З.М. Оптимальная оценка валового выпуска продукции закрытого акционерного общества «Карачаевский пивзавод» г. Карачаевск. Известия Российского государственного педагогического университета имени А.И. Герцена. № 35. СПб., 2008. - С.200-202.

49. Лайпанова З.М. Фильтрация ошибок измерений вектора спроса в балансовой модели Леонтьева. Известия Российского государственного педагогического университета имени А.И. Герцена. № 23. СПб., 2008. -С. 121-124.

50. Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики. М. Изд-во УРАО, 1998.- 104 с.

51. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме охраны окружающей среды. М.: Наука, 1982. - 320 с.

52. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989. — 456 с.

53. Монин A.C., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика 4.1. М.: Наука, 1965. - 640 с.

54. Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. - 272 с.

55. Нахушев A.M. Уравнения магматической биологии. М.: Высш. шк., 1995. -300 с.

56. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972.-518с.

57. Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование: Практическое пособие по решению задач. М.: Вузовский учебник, 2004. — 144с.

58. Острейковский В.А. Теория систем. М.: Высшая школа 1997. - 240с.

59. Перегудов Ф. И. , Тараеенко Ф. П. Введение в системный анализ. — М.:1. Высшая школа, 1984. 367с.

60. Понтрягин JI.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1974.- 331с.

61. Попов JT.A. Математические методы в экономике труда. М.: ~ШШ^1зд-во МИНХ им. Г.В. Плеханова, 1981. 72с.

62. Пугачев В. С. Основы автоматического управления. — М.: 1974. 72 ^mCD с.

63. Райцин В.Я. Моделирование социальных процессов. М.: Экзамене 2005.- 189с.

64. Римашевская Н.М. Проблемы моделирования уровня жизни насел<««г=^;ния в народнохозяйственном планировании. /Проблемы прим^^^иения макроэкономических моделей в планировании. М.: Прогресс, — 201с.

65. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1978. 5S с.

66. Рябенький B.C. Введение в вычислительную математику. М.: X Таука,1994. 284с.

67. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука. 1989. -— 432с.

68. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование: 3>1деи. Методы. Примеры. М.: Наука, 1997. - 320с.

69. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач -зовон динамики. М.: Наука, 1980,— 325с.

70. Семенчин Е. А., Лайпапова 3. М. Корректность и стохаст:иг«=зи^еская регуляризация математических моделей, описывающих экономичен ^кие и эколого-биологические процессы.- Краснодар: Просвещение-Юг, ^2009. -121с.

71. Семенчин Е.А. Аналитические решения краевых задач в математи:ч<«^^ской модели атмосферной диффузии. — Ставрополь: Изд-во СККИУУ, 1 — 142с.

72. Семенчин Е.А., Лайпанова З.М. Оптимальная фильтрация случайных помех в математической модели Солоу. Материалы 5 Всероссийской научной конференции молодых ученых «НАУКА. ОБРАЗОВАНИЕ. МОЛОДЕЖЬ», 2007.

73. Семенчин Е.А., Лайпанова З.М. Разрешимость начально-граничной задачи, описывающей рассеяние примеси в турбулентной атмосфере. Информационные технологии в учебном процессе. Карачасвск, -2009,- С. 141-152.

74. Семенчин Е.А., Лайпанова З.М. Многошаговая фильтрация ошибок измерений вектора спроса в балансовой модели Леонтьева. Математическое моделирование, обратные задачи, информационно-вычислительные технологии. Пенза,-2007.-С.103-104.

75. Семенчин Е.А., Лайпанова З.М. О корректной постановке краевых задач, описывающих рассеяние примеси в турбулентной атмосфере. Обозрение прикладной и промышленной математики. М., -2008. — Т. 115, вып.1. -С. 171- 172.

76. Семенчин Е.А., Лайпанова З.М. О корректной постановке модели Солоу. Сборник научных трудов всероссийского симпозиума «Математические модели и информационные технологии в экономике». Кисловодск,—2007.— Т.2-С.36-38.

77. Семенчин Е.А., Лайпанова З.М. О разрешимости динамической модели Леонтьева. Обозрение прикладной и промышленной математики. М., -2007. Т. 14, вып. 2. - С. 348-349.

78. Семенчин Е.А., Лайпанова З.М. Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 14, вып. 2, 2006. С. 347 - 348.

79. Семенчин Е.А., Лайпанова З.М. Оптимальная фильтрация ошибок измерений вектора спроса в балансовой модели Леонтьева. Математическое моделирование, обратные задачи, информационно-вычислительные технологии. Пенза,—2007.-С. 104-106.

80. Семенчин Е.А., Лайпанова З.М. Оптимальная фильтрация случайных, помех в динамической модели Леонтьева. // Обозрение прикладной иг промышленной математики. М., -2008. Т. 15, вып. 2. - С. 362-363.

81. Семенчин Е. А. О граничных условиях в задаче атмосферной диффузии // Обозрение прикладной и промышлпной математики. Т. 12, вып. 3. С. 635-639.

82. Сизиков B.C. Математические методы обработки результатов измерений. Спб: Политехника, 2001. - 240с.

83. Скурихин Н.П. Математическое моделирование. — М.: Высшая школа, 1989. 165с.

84. Смит Дж. М. Модели в экологии. М.: Мир, 1976. 184с.

85. Советов Б. Моделирование систем. М. Высшая школа 1999. 296с.

86. Схрейвер А. Теория линейного и целочисленного программирования. Пер. с англ. М.: Мир, 1991. - 360с.

87. Сытник В.Ф. Каратодава Е.А. Математические модели в планировании и управлении предприятиями. Киев: Выща школа, 1985. - 248с.

88. Терехов Л.Л. Экономико- математические методы. М.: Статистика, 1988.- 241с.

89. Тихонов А. Н. О некорректных задачах оптимального планирования и устойчивых методах их решения. ДАН СССР, 1965. С. 164-176.

90. Тихонов А. Н., Арсении В. Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1986. 286с. .

91. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Вводные лекции по прикладной математике. М.: Наука, 1984. - 190с.

92. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.-736с.

93. Турчак К. Численные методы. М.: Наука, 1985. — 320с.

94. Федосеев В. В. Экономико-математические методы и прикладные модели. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. - 304 с.

95. Федосеев B.B. Математическое моделирование в экономике и социологии труда. Методы, модели, задачи: М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. - 144 с.

96. Федосеев В.В. Экономико-математические модели и прогнозирование рынка труда. М.: Вузовский учебник, 2005, - 221с.

97. Френкель A.A. Прогнозирование производительности труда: методы и модели. М.: Экономика, 1989.- 231с.

98. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. -М.: Мир, 1968. 428с.

99. Федоров В. Д. , Гильманов Т. Г. Экология. М.: Изд-во МГУ, 1980. -464с.

100. Хазанова JT. Математическое моделирование в экономике. М.1998. -143 с.

101. Хачатрян С. Р., Пинегина М. В., Буянов В. П. Методы и модели решения экономических задач. М.: Изд-во «ЭКЗАМЕН» 2005. -383с.

102. Черчмен У., Акоф Р., Арноф Я. Введение в исследование операции М. -Наука, 1968.- 488с.

103. Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования. М.: Финансы и статистика, 1979. - 200с.

104. Вставка Формат Сервис Данные Qkho Справка ▼ lu » Ж Л' Ч Ш S 3 ni 0 f*05 0 701 0 11. В X0 04о пз1. F |ВХ Fl10 9 96 20 14 973 ,yi-л12