Численное дифференцирование временных рядов с использованием фильтра Калмана-Бьюси тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Гончарова, Елена Николаевна

• Гончарова, Елена Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гончарова, Елена Николаевна

Введение

СОДЕРЖАНИЕ

Глава I. Методы численного дифференцирования функций дискретного типа.

1.1. Численное дифференцирование временных рядов.

1.2. Анализ методов численного дифференцирования.

1.3. Некорректность задачи численного дифференцирования.

1.4. Выводы.

Глава II. Алгоритмы численного дифференцирования детерминированных временных рядов.

2.1. Представление полиномиальных функций уравнениями в пространстве состояний.

2.1.1. Представление полиномиальных функций в виде решения системы линейных дифференциальных уравнений.

2.1.2. Преобразование системы линейных дифференциальных уравнений к уравнениям в пространстве состояний.

2.1.3. Условия дифференцируемости полиномиальных функций и наблюдаемость уравнений состояний.

2.2. Оценка производных детерминированных временных рядов по результатам наблюдений.

2.3. Численное дифференцирование дискретных функций, аппроксимированных ортогональными полиномами.

2.4. Выводы.

Глава III. Численное дифференцирование временных рядов при случайных ошибках измерений.

3.1. Фильтрация случайных помех по методу Калмана - Бьюси.

3.2. Фильтр Калмана - Бьюси с фиксированным запаздыванием.

3.3. Точность решения задачи численного дифференцирования.

3.4. Выводы.

Глава IV. Некоторые приложения методов численного дифференцирования временных рядов со случайными ошибками.

4.1. Решение обратной задачи для источника примеси методами оптимальной фильтрации.

4.2. Оценка скорости и ускорения движения снаряда по результатам наблюдений.

4.3. Численное решение уравнений модифицированным методом

Ньютона.

4.3. Численное решение уравнений модифицированным методом

Ньютона.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное дифференцирование временных рядов с использованием фильтра Калмана-Бьюси»

Решение задачи численного дифференцирования имеет большое значение при обработке результатов измерений параметров движущихся объектов, в геологии при обработке измерений, получаемых в процессе бурения скважин, когда необходимо определить скорость и ускорение, с которыми бур проходит различные по плотности слои грунта; в экологии при решении обратных задач, в численных методах решения скалярных уравнений, когда функция, входящая в уравнение задана таблично или является слишком сложной для аналитического дифференцирования и многих других задачах. Решение задачи численного дифференцирования в этих случаях может быть связано с обработкой и интерпретацией результатов физических экспериментов, когда входная информация задана с ошибкой. Поэтому желательно получение значений производных с помощью однотипных вычислительных процессов, не привлекающих аналитических выкладок, и позволяющих одновременно сглаживать исходные данные и строить приближения производных.

В [2, 49] показано, что средние скорости, которые обычно используются для изучения экологических процессов, имеют ряд недостатков: чрезмерная чувствительность к ошибкам в исходных данных, зависимость от величины интервала времени, в течение которого проводится определение. Они слишком грубы для изучения динамики процесса. Мгновенные скорости лишены недостатков средних скоростей и способны отразить тонкую структуру динамики процессов.

Ю. Одум в своем классическом руководстве по экологии [48] писал: «Мгновенную скорость дХИй нельзя измерить непосредственно; точно так же нельзя непосредственно вычислить величину dN'/(ЫЖ)». В практических задачах значения экспериментальных данных подвержены погрешностям измерения, или погрешностям, возникающим при округлении полученных результатов измерения до данного числа знаков, или на некоторых временных участках наблюдения могут отсутствовать. В первых двух случаях эти ошибки могут нарастать в процессе определения аппроксимирующего полинома, а, следовательно, и при определении производных, а в третьем его вообще не представляется возможных построить. Поэтому на практике очень часто применяют специальные приемы для сглаживания значений функции или ее восстановления. Эти приемы разрабатываются в теории оценивания. Задача теории оценивания далеко не нова и относится, по крайней мере, к временам Лежандра и Гаусса. Гауссу приписывают первое употребления понятия оценивания на основе его высказывания о том, что наиболее вероятным значением оцениваемого данного является такое, при котором минимизируется сумма квадратов разностей между действительно наблюдаемым сигналом и вычисленными значениями [55, 64]. Этим по сути дела был сформулирован принцип среднеквадратической ошибки.

Значительный вклад в развитие теории оценивания был внесен А.Н. Колмогоровым и Н. Винером. В 1941 г. А.Н. Колмогоров и в 1942 г. Н. Винер предложили статистический метод оптимальной линейной фильтрации стационарных процессов, который с успехом многие годы применялся для оценивания сообщений [3, 31]. Первая фундаментальная работа в области оптимального оценивания принадлежат В.А. Котельникову [38], в которой был получен ряд практически важных результатов принципиального характера. Дальнейшее развитие вопросы теории оценивания получили в работах Р. Калмана, Р. Бьюси, Р. Стратоновича, В. Тихонова и других ученых [50,28].

В диссертационной работе разработаны методы, представляющие собой сочетание классического статистического анализа и вероятностного подхода, позволяющие оценивать производные (следовательно, мгновенные скорости) из выборок ограниченного объема. В данной работе мы стремились объединить возможности применения современной теории оценивания, основанной на описании сигналов в пространстве состояний и фильтров Калмана - Бьюси, для решения практических задач оценивания значений функций и ее производных.

В данной работе предлагается подход к решению задачи численного дифференцирования с равноотстоящими узлами, не требующий вычисления конечных разностей, основанный на аппроксимации экспериментальных данных решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и применении фильтра Калмана - Бьюси как для построения оценок значений самой функции, заданной таблично и содержащей случайные ошибки измерений так и для определения приближений производных функций различного порядка.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются дискретно заданные функции, которые интерпретируются как результаты физических экспериментов, когда входная информация задана с ошибкой, предметом исследования является математический аппарат на основе интерполирования функций степенными и ортогональными полиномами, теория фильтрации.

Цель и задачи исследования. Целью диссертации является разработка математических методов и программных средств для решения задачи численного дифференцирования таблично заданных функций. Эти функции являются результатами наблюдения некоторого процесса. Процессы могут быть как детерминированными, так и стохастическими. Использование этих методов для решения некоторых задач.

Поставленная цель требует решения следующих задач:

1. Разработать устойчивый по отношению к ошибкам входных данных вычислительный алгоритм решения задачи численного дифференцирования временных рядов.

2. Разработать компьютерную программу, реализующую алгоритмы численного дифференцирования.

3. Применить разработанные методы к решению конкретных задач.

Методология и методы проведенного исследования. Решение поставленных задач основывается на использовании аппарата интерполирования функций, теории фильтрации, математической статистики, объектно-ориентированного программирования.

Научная новизна полученных результатов заключается в следующем:

1. Разработан метод численного дифференцирования детерминированных временных рядов с наблюдателем Льюинбергера, не требующий вычисления конечных разностей.

2. Разработан метод численного дифференцирования временных рядов со случайными ошибками, основанный на оптимальной линейной фильтрации случайных помех.

3. Предложенные методы использованы для решения обратной задачи об источнике примеси в турбулентной атмосфере и решения алгебраических уравнений методом Ньютона.

4. Указанные методы реализованы в виде комплекса программ на

ЭВМ.

Практическая значимость полученных результатов.

1. Предложенные математические методы могут быть использованы для решения практических задач из различных областей прикладной математики, для решения которых необходимы численные значения производных различных порядков.

2. Разработанный на базе полученных результатов комплекс программ позволяет решать задачи численного дифференцирования, как детерминированных временных рядов, так и временных рядов, содержащих ошибки измерения.

3. Результаты работы внедрены в учебный процесс в СГУ.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Метод численного дифференцирования детерминированных временных рядов в узловых точках с использованием наблюдателя Льюинбергера.

2. Метод наилучшего (в среднеквадратическом смысле) приближения функции, заданной таблично и ее производных в узловых точках, основанный на использовании оптимального линейного фильтра Калмана -Бьюси.

3. Методика решения обратной задачи об источнике примеси в турбулентной атмосфере, основанная на численном дифференцировании временных рядов с помощью фильтра Калмана - Бьюси.

4. Методика применения разработанных методов к численному решению алгебраических уравнений модифицированным методом Ньютона.

Апробация результатов диссертации. Результаты работы докладывались на Международных школах-семинарах по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, МГУ, РГУ, 1996 и 1998 гг.), на четвертом всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2003 г.), на 47,49-й научно-методических конференциях преподавателей и студентов «Университетская наука - региону» (Ставрополь, 2003, 2004 гг.).

Опубликованностъ результатов. Материалы диссертации опубликованы в 10 научных работах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка использованных источников и приложений. Работа изложена на 107 страницах, содержит 10 рисунков и 6 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Гончарова, Елена Николаевна

Выводы

В данной главе показано практическое применение разработанных в диссертационном исследовании методов к различным задачам. Здесь разработана методика решения обратной задачи об источнике примеси в турбулентной атмосфере. Также предлагается использовать алгоритм численного дифференцирования детерминированных временных рядов при решении алгебраических уравнений методом Ньютона, для случая, когда функция, входящая в уравнение является достаточно сложной для аналитического дифференцирования. Также показано применение рассмотренных методов для других практических задач.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенные в диссертационной работе исследования направлены на разработку альтернативных методов численного дифференцирования детерминированных временных рядов и временных рядов, содержащих случайные ошибки измерения. Получены следующие научные и практические результаты.

1. Предложен новый метод численного дифференцирования временных рядов, основанный на представлении временного ряда однородными конечно-разностными уравнениями пространства состояний. Он отличается от известных методов тем, что не требует вычисления конечных разностей. Приводятся примеры, иллюстрирующие эффективность предложенного метода.

2. Разработана программная реализация метода численного дифференцирования детерминированных временных рядов.

3. Разработан метод численного дифференцирования временных рядов, содержащих случайные ошибки измерений на основе использования фильтра Калмана - Бьюси, позволяющий получить не только оценки значений временного ряда, но и приближения производных различного порядка.

4. Разработана программная реализация метода численного дифференцирования стохастических временных рядов на основе применения фильтра Калмана - Бьюси.

5. Приведены примеры сравнений результатов численного дифференцирования предложенными методами с классическими.

6. Предложенные методы численного дифференцирования использованы при решении конкретных прикладных задач (задача об источнике примеси, численное решение алгебраических уравнений и др.)

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гончарова, Елена Николаевна, 2004 год

1. MATHCAD 6.0 PLUS. Финансовые, инженерные и научные расчеты в среде Windows: Пер. с англ. М.: Информационно-издательский дом «Филинъ», 1996. - 712 с.

2. Parchevsky K.V. Using regularizing algorithms for the reconstruction of growth rate from the experimental data // Ecol. modelling. 2000.

3. Wiener N. Extrapolation, Interpolation and Smoothing of Stationary Time Series. N.Y.: Wiley, 1949.

4. Балакришнан A.B. Теория фильтрации Калмана. М., 1988.

5. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973.

6. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.

7. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции / Пер. с англ. Виленкина Н.Я. М.: Наука, 1974. - 296 с.

8. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений: В 2 т. М.: Физмат-гиз, 1962.

9. Берлянд М.Е. К теории турбулентной диффузии // Труды ГКО, 1963. -Вып. 185.-С. 15-25.

10. Бокс Дж., Дженкинкс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление.-М.: Мир, 1974.

11. Бриллинджер Д. Временные ряды. М.: Мир, 1080.

12. Бриллюэн Л. Наука и теория информации. М.: Физматгиз., 1960.

13. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. -М.: Наука, 1979.

14. Вапник В.Н., Глазкова Т.Г., Кощеев В.А., Михальский А.И., Червонен-кис А.Я. Алгоритмы и программы восстановления зависимостей. М.: Наука, 1984.-815 с.

15. Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения). М.: Высшая школа, 2000.

16. Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения). М.: Высшая школа, 2001.

17. Волков И.К., Зуев С.М., Цветкова Г.М. Случайные процессы: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2000. - 448 с.

18. Гаусс К.Ф. Теория движения небесных тел. 1809.

19. Геймер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1971.-384 с.

20. Гончарова E.H. Применение фильтра Калмана для решения задачи численного дифференцирования при случайных ошибках измерений // Вестник Ставропольского государственного университета. — 2003. -№ 34. С.24-27. - 152 с.

21. Гончарова E.H. Решение задачи оценивания функции и ее производных при случайных ошибках измерения // Материалы 49-й научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука региону» 5-27 апреля 2004 г.

22. Гутер P.C., Овчинский Б.В. Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта. М.: Наука, 1970.

23. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -М.: Наука, 1970.

24. Жданюк Б.Ф. Основы статистической обработки траекторных измерений. М.: Советское радио, 1978.

25. Зальцер Дж. М. Частотный анализ вычислительных машин в реальном времени // Частотные методы в автоматике. -М.: Изд-во ин. лит., 1957.

26. Иванов В.В. Методы вычислений на ЭВМ. Киев: Наукова думка, 1986.

27. Иванов Е.С., Колосов Л.В. Современные методы обработки сигналов в системах связи и управления. Ставрополь: СВВИУС, 1988.

28. Калман Р., Бьюси Р. Новые результаты в линейной фильтрации и теории предсказания // Техн. механика. Сер. Д. 1961. Т. 83, № 1.

29. Квакирнаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977.

30. Колмановский В.Б. Задачи оптимального управления // Соросовский Образовательный Журнал. 1997. - № 6. - С. 121-127.

31. Колмогоров А.И. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей // Известия АН СССР. Т.5. -№1.-1945.

32. Колосов JI.B., Гончарова E.H. Об одном методе численного дифференцирования // Труды участников Международной геометрической школы-семинара памяти Н.В. Ефимова Абрау-Дюрсо, база отдыха Ростовского госуниверситета«Лиманчик» 27.09-04.10, 1996.-С. 147-148.

33. Колосов Л.В., Гончарова E.H. Об одном методе численного дифференцирования временных рядов // Вестник СГУ. — Ставрополь: Изд-во СГУ.-№7.-1996.-99 с.

34. Колосов Л.В., Гончарова E.H., Бибарсов М.Р. Решение задачи численного дифференцирования // Международная геометрическая школа-семинар памяти Н.В. Ефимова Абрау-Дюрсо, база отдыха Ростовского госуниверситета «Лиманчик» 27.09 04.10,1998.

35. Колосов Л.В., Гончарова E.H. Численное дифференцирование функций, допускающих аппроксимацию ортогональными полиномами Эрмита // Вестник СГУ. Ставрополь: Изд-во СГУ. - №20. - 1999. - С. 21-27.

36. Колосов Л.В., Суйменбаев В.Т. Об одном подходе идентификации нестандартных систем // Информационно-измерительные устройства. -М.: МАИ им С. Орджоникидзе, 1979.

37. Котельников В. А. Теория потенциальной помехоустойчивости. М.: Госэнергоиздат, 1956.

38. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. -763 с.

39. Ларри Леви. Применение фильтра Калмана в навигационной аппаратуре // GPS World. Сентябрь, 1997.

40. Медич Дж. Статистичеси оптимальные линейные оценки и управление. -М.: Энергия, 1973.

41. Морозов В.А. Линейные и нелинейные некорректные задачи // Итоги науки и техники. Сер. Мат. анализ. ВИНИТИ, 1973. - С.129 - 178.

42. Морозов В.А. О задаче дифференцирования и некоторых алгоритмах приближения экспериментальной информации // Вычислительные методы и программирование. 1970. — Вып. 14. — С. 46-62.

43. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Изд-во Мгу, 1974. - 360 с.

44. Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962.

45. Мэтьюз Джон Г., Финк Куртис Д. Численные методы. Использование MATLAB. 3-е издание.: Пер. с ангд. М.: Издательский дом «Вильяме», 2001.-720 с.

46. Наац В.И. Аппроксимация искомого решения и его производных в вычислительной модели явления переноса // V региональная научно-техническая конференция "Вузовская наука Северо-Кавказскому региону". www.ncstu.ru.

47. Одум Ю. Экология. М.: Мир, 1986. - 2 т. - 376 с.

48. Парчевский К.В., Парчевский В.П. Определение мгновенных скоростей роста с помощью аппроксимирующих кубических сплайнов // Ж. общ. биол. 1998. - № 4. - С. 424-437.

49. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1992.

50. Ройтенберг Я.Н. Некоторые задачи управления движением. М.: Физ-матгиз, 1963.

51. Румшский JI.3. Математическая обработка результатов эксперимента. -М.: Наука, 1971.

52. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. М.: Едиториал УРСС, 2004. -480 с.

53. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989.

54. Сейдж Э.П., Меле Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении. М.: Энергия, 1973.

55. Семенчин Е.А. Аналитические решения краевых задач в математической модели атмосферной диффузии. Ставрополь: Изд-во СКИУУ, 1993.-141 с.

56. Семенчин Е.А., Гончарова E.H. Один способ решения обратной задачи для источника примеси // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: Редакция журнала «ОПиПМ», 2003. - Т. 10. - С. 738740.

57. Скарборо Дж. Численные методы математического анализа. — M;JI.: ГТТИ, 1934.

58. Сулицкий В.Н. Вычисление производной на основании дискретно поступающей информации // Журнал вычислительной математики и математической физики. Т.9. - №3. - М.: Наука, 1969.

59. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. -М.: Наука, 1976.-248 с.

60. Тихонов А.Н., Арсенин В.А. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1986.-223 с.

61. Тихонов А.Н., Гончарский A.B., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990.

62. Тихонов А.Н., Иванов В.К., Лаврентьев М.М. Некорректно поставленные задачи / Дифференциальные уравнения с частными производными. М.: Наука, 1970. - С. 224 - 238.

63. Трис Г. Ван. Теория обнаружения, оценок и модуляции. М.: Сов. Радио, T.I - 1972, Т. 2- 1975, Т. 3. - 1977.

64. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968. - 428 с.

65. Хемминг Р.В. Численные методы. М.: Наука, 1968.