Методика изучения неравенств как средства исследования свойств функций в курсе математики восьмилетней школы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 13.00.02, кандидат педагогических наук Токарева, Людмила Ивановна

• Токарева, Людмила Ивановна
• кандидат педагогических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат педагогических наук Токарева, Людмила Ивановна

Введение.3

Глава I. Методические основы внутрипредметных связей в темах "Неравенства" и "Функции" . 14—III

§ I. Анализ понятий уравнения, неравенства,функции, методов их решения и исследования в историческом развитии . 15

§ 2. Анализ изложения понятий уравнения, неравенства, функции, методов их решения и исследования в школьных учебниках математики 45

§ 3. Методические особенности решения учебных задач при изучении темы "Неравенства" в 7-ом классе . 69-III

Глава 2. Формирование учебных действий при изучении темы "Неравенства" в 7-ом классе . II2-I

§ I. Методические особенности формирования учебных действий при изучении темы "Неравенства" в 7-ом классе . 112

§ 2. Основные итоги эксперимента по постановке учебных задач и формированию соответствующих им учебных действий при изучении темы

Неравенства" . 167

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методика изучения неравенств как средства исследования свойств функций в курсе математики восьмилетней школы»

Одной из задач, поставленных обществом перед советской школой на современном этапе является обучение учащихся учебным умениям, которые бы обеспечивали ориентацию во все возрастающем потоке научно-технической информации. Умения правильно и рационально использовать знания, добиваться их действенности не только в тех ситуациях, в которых проходило их формирование, но и новых является одним из условий успешности трудовой, учебной и общественной деятельности учащихся. Поэтому возникает необходимость и потребность в разработке методики обучения ведущим темам школьного курса математики, направленной на формирование отмеченных выше учебных умений на базе современных достижений дидактики и педагогической психологии.

Актуальность этой большой проблемы в целом и потребности практики обучения математике потребовали поиска эффективных путей решения проблемы, один из которых связан с установлением внутрипредметных связей между понятиями и методами обучения ведущих тем курса.

Тема "Неравенства" занимает одно из центральных мест в курсе математики средней школы как по содержанию, так и по тем приемам и способам, которые должны быть выработаны при ее изучении. В последующем они могут быть применены к решению большого числа задач теоретического и прикладного характера. Для того, чтобы учащиеся смогли применить полученные знания при изучении неравенства в новых темах, в новых учебных ситуациях, у них должны быть сформированы обобщенные приемы учебной деятельности.

Вопрос об умении использовать ранее усвоенные знания в новых учебных и практических ситуациях особенно остро встает при обучении математике. Так как именно в математике часто возникает необходимость такого использования в каждой новой теме.

Однако, самостоятельное применение знаний станет возможно только при овладении теоретически обобщенными структурами понятий, теорем, способами решения некоторых типов математических задач. Поэтому выделение таких теоретических обобщений при обучении математике приобретает особую актуальность.

Анализ учебной, методической литературы, опыта работы учителей математики гг.Ленинграда, Саратова позволил нам установить, что при изучении многих вопросов школьного курса математики, в том числе и темы "Неравенства11 в 7-ом классе на первый план чаще всего выступает операторный уровень изучения, то есть, обучение учащихся решению конкретных видов неравенств на основе приемов рассмотренных на уроке. Такой подход тоже должен иметь место, так как он обеспечивает прочные знания и умения репродуктивного характера. Однако, только на его основе учащиеся не смогут применить знания, полученные при изучении неравенств в новых учебных ситуациях.

Анализ содержания понятий уравнения, неравенства, функции, методов их решения и исследования в курсе математики восьмилетней школы в действующих учебниках показал, что взаимосвязи между их теоретическими трактовками затруднительно установить не только из-за отсутствия в них единства, но и из-за способов организации учебного материала.

Математические задачи в значительной степени служат средством обучения математическому "языку". Но любой язык, в том числе и "язык" школьной математики можно считать изученным в том случае, если его обладатель может им свободно пользоваться: устанавливать разнообразные связи как содержательные, так и процессуальные между понятиями внутри одной темы и между понятиями различных тем. Однако, задач, которые бы позволяли устанавливать связи в теме "Неравенства" и в учебниках и в учебно-методической литературе очень мало, а те* которые можно было бы отнести к такому типу задач не содержат той основы, которая необходима для организации установления связи между различными понятиями курса.

Мы высказали предположение, что если нет математического единства в трактовках основных понятий и недостаточно решается задач, с помощью которых устанавливаются связи, то знания учащихся не будут обладать необходимой степенью переноса. Чтобы проверить, действительно ли знания, полученные учащимися при изучении понятий неравенства, системы неравенств с одной переменной, множества решений неравенства с одной переменной и др* не могут быть перенесены на изучение других вопросов, в частности, на изучение вопросов исследования свойств функций при действующем содержании и методике обучения, мы провели констатирующий эксперимент в ряде школ городов Ленинграда и Саратова, Саратовской области.

Полученные результаты показали, что часто в учебном процессе при изучении даже близких в содержательном отношении тем не устанавливается связь, отсутствуют учебные задачи, ставящие своей целью получение I) теоретического обобщения относительно определенных типов математических задач, 2) методов решения таких задач.

Отмеченный вывод может быть объяснен тем, что: X) содержательные общности в трактовках понятий уравнения, неравенства, функции столь незначительны, что использовать их трудно, 2) также не получает должной оценки в опыте работы внимание на общности в логике выполняемых рассуждений, 3) методы обучения математике в современной школе не ориентируют школьников на получение теоретического обобщения.

Анализ понятий уравнения, неравенства', функции, методов их решения и исследования как в процессе их исторического развития, так и в учебниках математики, действующих в последние десятилетие позволил установить, что при определенных подходах к трактовкам этих понятий между ними могут быть установлены содержательные общности, которые должны найти отражение в методике их изучения в .школе. Анализ указанных понятий позволил определить главное методическое направление изучения темы "Неравенства" в курсе математики восьмилетней школы, которое заключается в следующем: единство в математической трактовке анализируемых понятий возможно реализовать через решение определенных типов математических задач: I) установление изменений значений выражений с изменением значений переменной на всей области их определения, или ее части, 3) исследование педагогически адаптированных процессов реальной действительности, 2) конструирование неравенств и их систем. Мы считаем, что эти типы математических задач будут общими как для темы "Неравенства", так и для темы "Функции".

Следовательно, основное методическое направление данного исследования - это формирование теоретически обобщенных способов решения определенных типов математических задач, способствующих раскрытию специфического содержания двух близких по содержанию тем и установление связей между ними на основе общности логики рассуждения и учебных действий.

Вопросы методики изучения неравенств в литературе освещались в разных аспектах. Выделялись и рассматривались основные направления взаимосвязи линии неравенств с другими основными линиями: развитием понятия числа, операциями над числами, тождественными преобразованиями (З.Г.Борчугова, В.А.Герлингер, М.Г.Гохидзе, А.К.Кордзадзе, Е.И.Маглинова, К.И.Нешков, И.М.Сте-пуро и др.). Вопросам методики совершенствования методов доказательства- неравенств посвящены исследования Г.Н.Солтана, ТД.Тру-хан, Я.В.Хромого. Но в этих исследованиях не ставился вопрос об установлении и влиянии на эффективность обучения содержательных общностей в трактовках понятий уравнение, неравенство, функция, в методах их решения и исследования; не рассматривался вопрос о формировании теоретических обобщений при решении определенных типов математических задач и обобщенных способов учебной деятельности.

Психолого-педагогические исследования последних лет {Л.В.Берцфаи, В.В.Давыдова, Н.А.Менчинской, Н.Ф.Талызиной и др.) показали, что качество знаний учащихся зависит от тех видов деятельности, в которых эти знания используются, от овладения учащимися теоретически обобщенным способом решения некоторого типа конкретно-практических задач, который будет переноситься на новые учебные ситуации.

Методическое исследование, результаты которого представлены в данной диссертации, является попыткой установления внутри-предметных связей в содержании понятий уравнения, неравенства, функции, методах их решения и исследования в курсе математики восьмилетней школы, с учетом процессуальной стороны обучения.

Таким образом, проблема исследования - выявление содержательных и логических общностей в трактовках понятий уравнения, неравенства, функции, в методах их решения и исследования с тем, чтобы на основе этой общности сформировать при изучении неравенств теоретически обобщенные способы решения типов конкретно-частных задач, которые можно будет использовать при изучении функций в восьмилетней школе,

Актуальность проблемы.вытекает из общей значимости разработки конкретных методов и приемов переноса знаний и умений, полученных в одной теме в новые темы, в новые учебные ситуации. Кроме того, не менее важно - разработать методику использования выполняемых способов рассуждений и умозаключений в различных темах школьного курса математики. Выполненный анализ литературы показал, что перенесение учебной задачи по изучению свойств функций в основном в старшие классы и использование для этого аппарата производной значительно уменьшило число "хороших" задач (в обучающем смысле,) в восьмилетней школе при изучении конкретных классов функций.

Поскольку в рамках данного исследования не представляется возможным рассмотрение всех аспектов поставленной проблемы, то в качестве предмета исследования мы выбрали систему учебных задач, общелогические и специфические учебные действия при изучении темы "Неравенства" в 7-ом классе.

Целенаправленное наблюдение за учебным процессом, собственный опыт работы учителем математики, изучение и анализ математической, психолого-педагогической и методической литературы позволили сформулировать гипотезу исследования: определив общую учебную задачу обучения теме "Неравенства" в 7-ом классе и установив учебные действия и наборы типов конкретно-частных задач, возможно на их основе сформировать теоретически обобщенные способы и приемы учебной деятельности, которые будут затем эффективно использованы при изучении функций в восьмилетней школе.

Показателем решения этой проблемы возможно считать знания и умения, обладающие качествами гибкости и осознанности.

В ходе решения поставленной проблемы и проверки гипотезы исследования, необходимо было решить следующие частные задачи:

1. Выполнить анализ содержания понятий уравнения, неравенства, функции, методов их решения и исследования как в историческом развитии, так и в учебниках математики за курс восьмилетней школы, чтобы установить взаимовлияние их друг на друга в различные периоды (в науке, в школе).

2. Сформулировать общую учебную задачу при изучении темы "Неравенства" в 7-ом классе, разработать систему учебных подзадач и соответствующих ш учебных действий и наборов конкретно-частных задач.

3. Выявить методические особенности взаимосвязи учебной задачи, общих и специфических учебных действий при изучении понятий темы "Неравенства", необходимых для сформирования теоретически обобщенных способов решения типов конкретно-частных задач: на установление изменения значений выражений в зависимости от изменения значений переменной, на конструирование неравенств, на исследование педагогически адаптированных процессов реальной действительности.

4, Разработать учебные материалы и провести их экспериментальную проверку в школе,

5. Теоретически осмыслить результаты эксперимента, разработать методические рекомендации для внедрения результатов исследования в практику.

Методологической основой исследования послужили положения марксистско-ленинской теории познания, материалы Съездов КПСС и другие партийно-правительственные документы, направленные на дальнейшее совершенствование учебно-воспитательной работы в школе.

Исследование проводилось с 1979 по 1983 год и включало ряд этапов.

На первом этапе (1979-1980 годы) было выявлено состояние рассматриваемой проблемы в теории и практике обучения, осуществлен частичный отбор материала по теме исследования, определена методика исследования и проведено ее уточнение в процессе поискового эксперимента. В результате этого этапа была выявлена необходимость и возможность совершенствования методики обучения темы "Неравенства" в 7-ом классе.

На втором этапе (I980-I98I годы) были определены математические, психолого-педагогические и методические основы совершенствования методики обучения теме "Неравенства" в 7-ом классе с целью переноса знаний и учебных умений при изучении функций и выбор конкретных методических путей и средств реализации разработанных теоретических положений.

На третьем этапе исследования (I98I-I982 годы) была разработана методика педагогического эксперимента, осуществлен отбор необходимого материала и проведение самого эксперимента.

Исследование проводилось в двух направлениях. Первое было связано с реализацией косвенного управления деятельностью учащихся по формированию знаний и учебных умений через систему вспомогательных задач. В результате был выявлен состав учебных умений. Второе направление было связано с использованием элементов прямого управления деятельностью учащихся по формированию знаний и учебных умений. Учебные действия являлись предметом специального усвоения учащимися: был выявлен операционный состав учебных действий, обеспечивающих перенос знаний и учебных умений в новые области и новые ситуации.

На четвертом этапе (1982-1983 годы.) был обобщен весь полученный в процессе исследования материал, сформулированы окончательные выводы и разработаны практические рекомендации для студентов и учителей математики.

Научная новизна исследования заключается в том, что впервые в методическом исследовании решается вопрос об установлении внутрипредметных связей не только на основе содержательных общностей, но и путем вычленения и постановки учебной задачи на материале конкретной темы, представления учебной задачи в виде системы учебных подзадач, решение которых происходит на основе формирования общелогических и соответствующих им специфических учебных действий; показан вариант отбора типов конкретно-частных задач, с учетом учебной задачи и учебных действий; дан один из возможных вариантов методики формирования учебных действий на основе сочетания приемов косвенного и прямого управления деятельностью учащихся.

Практическая значимость проведенного исследования заключается в разработке конкретной методики изучения темы "Неравенства" в 7-ом классе в концепции учебной деятельности, позволяющей осуществить перенос знаний и умений, полученных в теме "Неравенства" на исследование свойств функций и на решение задач прикладного характера.

На основе материалов исследования разработаны методические рекомендации. Рекомендации подверглись обсуждению на заседаниях школьных методических объединений учителей математики школ № 232, 324 города Ленинграда, а также школ №№ 21, 27 города Саратова и были одобрены. В практике работы учителей математики могут быть также использованы: а} общие приемы постановки учебных задач и формирование на их основе соответствующих учебных действий через систему конкретно-частных задач,б) методика формирования учебных действий в ситуациях соответствующих учебных подзадач.

Апробация и внедрение результатов исследования.

Исследование апробировано в работе учителей математики школ № 232, 324 города Ленинграда, школ №№ 21, 27 города Саратова, Орошаемской средней школы Дергачевского района Саратовской области в 1980-81, 1981-82, 1982-83 учебных годах.

В 1980 году на заседании методического объединения учителей математики Сестрорецкого района г.Ленинграда по материалам диссертационного исследования было сделано сообщение. Учительницей математики школы № 324 Ленинграда Семеновой В.А. по результатам данного исследования было сделано сообщение на августовском совещании учителей математики школ Сестрорецкого района Ленинграда (1982 год). Учительницей математики школы К? 232 Ленинграда Ярмолюк В.Е. по результатам исследования было сделано сообщение на совещании методического объединения учителей математики школ Октябрьского и Куйбышевского районов Ленинграда (1983 год)•

В ходе исследования диссертантом сделаны сообщения на научно-методической республиканской конференции в г.Даугавпилсе (1980 год), на ХХХ1У, ХХХУ, ХХХУ1 Герценовских чтениях кафедры методики преподавания математики ЛПШ им.А.И.Герцена (1981, 1982, 1983 годы), на семинаре аспирантов и молодых ученых при той же кафедре, на заседании методического объединения учителей математики школы № 324 Сестрорецкого района г.Ленинграда (1981 год), на ХЬ итоговой научно-практической конференции в г.Саратове (1982 год), на курсах усовершенствования учителей математики при гор. ИУУ г.Саратова (1983 год).

Результаты исследования внедрены:

- в практику работы школ №№ 232, 324 г.Ленинграда, №№ 9, 12 г.Саратова;

- в практику занятий студентов Саратовского государственного педагогического института им.К.А.Федина;

- методические рекомендации послужили основой для работы спецкурса и спецсеминара студентов ЛГПИ им.А.И.Герцена и Саратовского государственного педагогического института им.К.А.Федина.

Заключение диссертации по теме «Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)», Токарева, Людмила Ивановна

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Выполненное теоретическое и экспериментальное исследование представляет собой один из возможных путей установления внутри-предметных связей в содержании двух фундаментальных тем школьного курса математики не только на основе выделения содержательных общностей, но и путем постановки общей учебной задачи, ставящей своей целью получение теоретически обобщенных способов решения определенных типов математических задач.

Проведенный анализ понятий уравнения, неравенства, функции, методов их решения и исследования как в историческом развитии, так и в школьных учебниках математики, помог установить математические факты, изучение которых должно доводиться при изучении неравенств до уровня теоретического обобщения:

1) Исследование выражений на всей области определения или части.

2) Общий прием доказательства неравенств.

Ъ) Алгоритмы решения и конструирования линейных неравенств и их систем.

40 Исследование педагогически адаптированных процессов реальной действительности.

Чтобы довести изучение неравенств до уровня переноса в новые учебные ситуации, в частности, на исследование свойств функций, нам потребовалось:

1) ввести учащихся в такую общую учебную задачу темы "Неравенства", в ситуации которой были доведены до уровня теоретического обобщения указанные выше математические факты;

2) сформировать математические и учебно-познавательные действия, направленные1 на решение поставленной учебной задачи;

3) сконструировать систему учебных подзадач, определяющих цель и средство решения общей учебной задачи. Основой для конструирования системы учебных подзадач, направленных на решение общей учебной задачи темы "Неравенства" послужил проведенный анализ понятий уравнения, неравенства, функции, методов их решения и исследования, включающий следующие последовательные этапы:

1) установление содержательных (функциональных и алгебраических связей в трактовках анализируемых понятий, в методах

• их решения и исследования,

2) представление вычлененных математических фактов в определенных типах конкретно-частных задач,

3) детализация учебного материала темы "Неравенства" на самостоятельные по смыслу части-элементы знаний и учебных умений.

Таким образом, при изучении темы "Неравенства" в 7-ом классе благодаря разработанной методики были созданы не только содержательные, но и операционные условия, которые послужили основой для переноса знаний и сформированных учебных умений на решение учебной задачи "Исследование свойств функций" в курсе математики восьмилетней школы.

Полученные данные экспериментального обучения (результаты контрольных работ, проводившихся через разные интервалы времени) дают нам все основания утверждать, что разработанная методика изучения темы "Неравенства" в концепции учебной деятельности способствует формированию таких качеств знаний, как прочность, гибкость и осознанность. Действительно, умение привлечь нужные знания, добиться их действенности не только в измененных, но и новых учебных ситуациях, подробно обосновать все этапы процесса решения и сделать соответствующие выводы - есть один из показателей сформированности указанных качеств знаний.

Проведенное теоретическое и экспериментальное исследование подтверждает правомерность гипотезы о том, что, определив общую учебную задачу обучения теме "Неравенства" в 7-ом классе и установив учебные действия и наборы типов конкретно-практических задач, возможно на их основе сформировать теоретически обобщенные способы и приемы учебной деятельности, которые эффективно используются учащимися при изучении свойств функций в восьмилетней школе.

Проблема установления внутрипредметных связей между понятиями различных тем не исчерпывается данным исследованием. Проведенное исследование расценивается как один из возможных подходов к установлению взаимосвязей между теоретическими знаниями на основе способов организации учебного материала.

Полученные в исследовании результаты показывают необходимость решения задач, вытекающих из него и в какой-то степени создают базу для их решения. Укажем некоторые из них.

1. Исследование путей и условий формирования приемов учебной работы в ситуациях соответствующих учебных подзадач при изучении других тем школьного курса математики. Разработанные в нашем исследовании учебные действия могут служить компонентами более общих приемов учебной работы.

2. Разработка конкретных методик, показывающих поиск решения учебной задачи, исходя из предметных и операционных условий других математических понятий, тем школьного курса математики.

Список литературы диссертационного исследования кандидат педагогических наук Токарева, Людмила Ивановна, 1984 год

1. Энгельс Ф. Диалектика природы. - М.: Политиздат, 1982.- 359 е., граф. (Ин-т марксизма-ленинизма при ЦК КПСС).

2. Ленин В.И. Философские тетради. Полн. собр. соч., т.29.- М.: Политиздат, 1969. 782 с.

3. Материалы ХХУ1 съезда КПСС. М.: Политиздат, 1981.- 223 с.

4. Абузярова С.И. Об уровнях познавательной деятельности учащихся на уроке. В кн.: Исследования по педагогике и психологии. Вып.У. - Красноярск, 1974, с.3-21.

5. Алгебра: Учебник для 6-го класса средней школы/iO.H.Ma-карычев, Н.Г.Миндюк, К.С.Муравин. Под ред.А.И.Маркушевича. -6-е изд. М.: Просвещение, 1982. - 223 с.

6. Алгебра: Учебник для 7-го класса средней школы/Ю.Н.Ма-карычев, Н.Г.Миндюк, К.С.Муравин, С.Б.Суворова. Под ред. А.И.Маркушевича. -М.: Просвещение, 1982. 254 с.

7. Алгебра: Учебник для 8-го класса средней школы/Ю.Н.Ма-карычев, Н.Г.Миндюк, К.С.Муравин, С.Б.Суворова. -М.: Просвещение, 1982. 255 е., ил.

8. Алгебра. Проб.учебники для 6-8 кл. средней школы /Ш.А.Алимов, В.А.Ильин, Ю.М.Колягин и др. М.: Просвещение, 1981. - 542 с., ил.

9. Артемов А.К. Состав и методика формирования геометрических умений школьников. Ученые записки Пензенского педагогич. ин-та им.В.Г.Белинского. Вып.23. Приволжское кн. Изд-во Пензенское отд., 1969. 366 с.

10. Бабанский Ю.К. Оптимизация процесса обучения. (Общедидактический аспект). М.: Педагогика, 1977. - 256 с.

11. Баранова И.В., Борчугова З.Г. Математика: Проб.учебник для 4-го класса средней школы. Иод ред.Н.М.Матвеева. -М.: Просвещение, 1980. 240 е., ил.'

12. Баранова И.В., Борчугова З.Г. Математика: Проб, учебник для 5-го кл. сред.школы. Под ред.Н.М.Матвеева. М.: Просвещение, 1981 - 248 е., ил.

13. Барсуков А.Н. Алгебра. Учебник для 6-8 классов. Под ред.С.И.Новоселова. 6-е изд. , перераб. и доп. - М.: Учпедгиз, 1961. - 286 с., ил.

14. Батурина Г.И. К вопросу о сущности критериев эффективности обучения. Новые исследования в педагогических науках. Вып.7. М., 1973, с.26-27.

15. Башмаков М.И. Уравнения и неравенства. 2-е изд., доп. и перераб. - М.: Наука, 1976. - 96 с. - (Б-чка физмат, школы. Вып.У).

16. Безу Э. Курс математики. Пер. В.Загорского. М., 1801.- 412 с., табл.

17. Бекаревич А.Н. Уравнения в школьном курсе математики.- Минск: Народная асвета, 1968. 150 е., черт.

18. Бем Д.А., Волков А.А., Струве Р.А. Алгебра. Полный сборник задач и упражнений по элементарному курсу. Л., 1924.- 576 с.

19. Бертран И., Гарсе Г. Алгебра. 4-е франц. изд. Пер. В.М.Прохорова. ч.П. - М., 1973. - 570 с.

20. Бертран 1. Алгебра для гимназий и ремесленных училищ. Пер.Н.Билибина. С.-Петербург, 1885. - 725 с.

21. Берцфаи Л.В. Оценка учащимися процесса и результатоврешения конкретно-практических и учебных задач. "Вопросы психологии", 1975, № б, с.59-66♦

22. Берцфаи Л.В. Строение учебной задачи и проблема диагностики учебной деятельности. В кн.: Психолого-педагогические проблемы обучения и воспитания. - Душанбе, 1974, с.31-46.

23. Беспалько В.П. Опыт разработки и использования критериев качества усвоения знаний. "Советская педагогика", 1968, № 4, с.52-69.

24. Блох А.Ш., Трухан Т.Л. Неравенства. Минск: Народная асвета, 1972. - 222 е., черт.

25. Богоявленский Д.Н., Менчинская Н.А. Психология усвоения знаний в школе. М., 1959. - 347 с. (В надзаг.: Акад.пед. наук РСФСР, ин-т психологии).

26. Бондарев А.Л. Общее учение об уравнениях в средней школе. Краснодар: Советская Кубань, 1958. - 125 е., черт.

27. Бондаренко С.М. Учите детей сравнивать. М.: Знание, 1981. - 86 е., ил.; - (Новое в жизни, науке, технике. Педагогика и психология, № 9). (Издается с 1964 г.).

28. Борель Э. Элементарная математика. Арифметика и алгебра. Пер. с нем. 2-е изд. Под ред.В.Ф.Кагана. - Киев, 1923. -- 448 с.

29. Борчугова З.Г. Неравенства в курсе алгебры средней школы;. Автореф.дис. на соиск.учен.степ.канд.пед.наук. Л., 1955. - 13 с. (В надзаг.: Ленинградский гос. пед.ин-тим.А.И.Герцена).

30. Бронштейн С.С. Методика алгебры. Пособие для высших педагогических учебных заведений. -М.: Учпедгиз, "Печатный ^ двор", 1937. 391 с.

31. Брусиловский Г.К. Начала алгебры. Учебник для ремесленных и железнодорожных училищ. М.-Л., 1944. - 80 е., черт.,

32. Бурбаки Н. Элементы математики. Пер. с франц. М.: Наука, 1967. 396 с.

33. Буткин Г.А, Формирование умения осуществлять геометрическое доказательство: Автореф.дис.на соиск. учен.степ.канд.пед. наук (по психологии). М., 1967. - 22 с. (В надзаг.: МГУ им. М.В.Ломоносова).

34. Волович М.Б. Формирование общих приемов учебной работы с понятиями (на материале научных понятий геометрии): Авто-реф.дис. на соиск.учен.степ.канд.пед.наук (по психологии). -М., 1967. 17 с. (В надзаг.: МГУ им.М.В.Ломоносова).

35. Володарский В.Е. Дидактические основы системы учебных задач по физике. М.: Педагогика, 1983, с.46-48; - (Новые исследования в пед.науках, № I). (Издается с 1963 г.).

36. Вульф Н., Цинзерлинг Д. Элементарная алгебра. 3-е изд., исп. и доп. Д.Цинзерлингом. (Учебники и учебные пособия для трудовой школы). - М.-Петроград, 1923. - 368 с.

37. Гальперин П.Я. Основные результаты по проблеме "Формирование умственных действий и понятий": Доклад, представленный на соиск. учен.степ.д-ра пед.наук (по психологии). М., 1965. -- 52 с. (В надзаг.: МГУ им.М.В.Ломоносова).

38. Гальперин П.Я. Психология мышления и учение о поэтапном формировании умственных действий. В кн.: Исследованиз мышления в советской психологии. - М.: Наука, 1966, с.236-277.

39. Герлингер В.А, Вопросы методики изучения неравенств в школьном курсе математики: Автореф.дис. на соиск.учен. степ, канд.пед.наук. -М., 1981. 16 е., схем. (В надзаг.: Московский гос.пед.ин-т им.В.И.Ленина).

40. Гохидзе М.Г. Методика обучения систематическому курсу неравенств в средней школе: Автореф.дис. на соиск.учен.степ, канд.пед.наук. Тбилиси, 1975. - 34 с. (В надзаг.: Тбил.гос. пед.ин-т им .А .С.Пушкина).

41. Глаголев А,Н. Элементарная алгебра и собрание упражнений и задач. Курс средних учебных заведений. ч.1., 2-ое изд.,- М., 1914. 312 с*

42. Гончаров В.Л. Алгебра. М., 1970. - 451 с.

43. Грабарь М.И., Краснянская К.А. Некоторые положения выборочного метода в связи с организацией изучения знаний учащихся. М.: Педагогика, 1973. - 48 с. (В надзаг.: НИИ Содержания и методов обучения АПН СССР).

44. Граник Г.Г. Психологический анализ пунктуационных умений и их формирование. "Вопросы психологии", 1977, № 4, с.95-105.

45. Гурова Л.Л. К вопросу о формировании логических операций. В кн.: Применение знаний в учебной практике школьников. (Психологические исследования). Под ред.Н.А.Менчинской. - М., 1961, с.227-276.

46. Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении. (Логико-психологические проблемы построения учебных предметов). -М.: Педагогика, 1972. 423 с. (В надзаг.: Ин-т общей и педагогической психологии АПН СССР).

47. Давыдов В.В., Варданян А.У. Учебная деятельность и моделирование. Ереван: Луйс, 1981. - 220 с.

48. Давыдов В.В. Содержание и структура учебной деятельности школьников. В кн.: Формирование учебной деятельностишкольников. Под ред.В.В.Давыдова, И.Ломпшера, А.К.Марковой. -М.: Педагогика, 1982, с.10-21.

49. Дой Ф. Методология арифметики. СПб., 1886. - 98 с.

50. Дорофеев Г.В. Понятие функции в математике и в школе.- "Математика в школе", 1978, № 2, с.10-27.

51. Енисеев М.К. Сравнение и формирование понятий у учащихся. Чебоксары, 1975. - 80 с.

52. Ермаков В. О преподавании алгебры. (Пособие для преподавателей). -С.-Пб., 1892. 32 с.

53. Жуйков С.Ф. Психологические основы повышения эффективности обучения младших школьников родному языку. -М.: Педагогика, 1979. 184 с.

54. Зиновьев А.А. Логика науки. -М.: Мысль, 1971. 279с.

55. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. В 3-х томах. T.I. Математика с древнейших времен до начала нового времени. Под ре д. А.П.Юшкевича. -М.: Наука, 1970.- 351 с.

56. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. В 3-х томах. Т.2. Математика ХУП столетия. Под ред. А.П.Юшкевича. -М.: Наука, 1970. 300 с.

57. Ительсон Л.Б. Логическая структура экспериментальных исследований в педагогике. В сб.: Тезисы докладов семинара по методологии педагогики и педагогических исследований. -М.,1970, с.17-21.

58. Кабанова-Меллер Е.Н. Формирование приемов умственной деятельности и умственное развитие учащихся. М.: Просвещение, 1968. - 288 с.

59. Калмыкова З.И. Продуктивное мышление как основа обучаемости. М.: Педагогика, 1981. - 200 с.

60. Качество знаний учащихся и пути его совершенствования. Под ред.М.Н.Скаткияа и В.В.Краевского. М., Педагогика, 1978.- 208 с. (Научно-исслед.ин-т общей педагогики АПН СССР).

61. Кедров Б.М. Обобщение как логическая операция. "Вопросы философии", 1965, № 12, с.46-57.

62. Кипнис И.М. Сборник прикладных задач на неравенства. (Пособие для учителей). 2-е изд., доп. и испр. - М.: Просвещение, 1964. - 144 е., черт.

63. Киселев А.П. Графическое изображение некоторых функций, рассматривае2лых в элементарной алгебре. (Пособие для кадетских корпусов и других учебных заведений). М., I9II. - 49с., черт.

64. Клини С.К. Введение в метаматематику. Пер. с англ. А.С.Есенина-Вольнина. Под ред.В.А.Успенского. М.: Мир, 1957. - 526 с.

65. Клини С.К. Математическая логика. Пер. с англ.Ю.А.Гас-тева. Под ред.Г.Е.Минца, М.: Мир, 1973. 480 е., ил.

66. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. (Учебник для матем.спец.ун-тов). -5-е изд., доп. и испр. М.: Наука, 1981. - 543 е., ил.

67. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике, ч.1. Математические задачи как средство развития учащихся. М., Просвещение, 1977. - 112 с.

68. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике, ч.П. Обучение математике через задачи и обучение решению задач. М.: Просвещение, 1977. - 114 с.

69. Кондаков Н.й. Логический словарь-справочник. 2-е изд. испр. и доп. - М. Наука, 1975. - 720 с. (В надзаг.: АН СССР ин-т философии).

70. Коровин П.П. Неравенства. 4-е изд., перераб. -М.: Наука, 1974. - 71 е., черт.

71. Красновский Э.А., Коган Т.Л. Качество знаний, умений и навыков как критерий оценки учебных достижений школьников. -"Советская педагогика". 1980, № 8, с.47-52.

72. Кривошапова Р.Ф., Краевский Э.А., Резникова В.З. Требования к знаниям, умениям и навыкам учащихся. "Советская педагогика", 1978, №2, с.49-55.

73. Крыжановский Д.А. Элементы теории неравенств. М.: Онти, 1936. - 112 с.

74. Кэджори Ф. История элементарной математики с указанием на методы преподавания. Пер. с англ. Под ред.И.Тимченко. Одесса, 1910. - 368 с.

75. Кязимов Н.М. Теория и практика работы над сравнением в школе: Автореф.дис.на соиск.учен.степ.д-ра пед.наук (по педагогике). Тбилиси, 1968. - 57 с. (В надзаг.: Тбил.государственный университет).

76. Лакроа С.Ф. Дополнение к начальным основаниям алгебры. Пер. с франц. П.Смирнова. С.-Петербург, 1823. - 328 с.

77. Лебединцев К.Ф. Руководство алгебры. ч.1. 7-е изд.- М.-Л., 1926. 147 е., черт.

78. Лебединцев К.Ф. Руководство алгебры, ч.П. 7-е изд.- М.-Л., 1927. 212 е., черт.

79. Лёве А. Начальная алгебра. Собрание алгебраических задач. 4-е изд. ч.1, П. - С.-Петербург, 1875. - 620 с.

80. Лейбниц Г.В. Избранные отрывки из математических сочинений. Успехи математических наук. Т.З. Вып.1(23). Под ред. А.Н.Колмогорова, Л.А.Люстерника, Н.Е.Ефимова. М.-Л., 1948,с.165-204.

81. Леонтьев А.Н. Деятельность. Сознание. Личность. М.: Политиздат, 1977. - 304 с.

82. Лернер И.Я. Дидактические основы методов обучения.- М.: Педагогика, 1981. 185 с.

83. Лященко Е.И. Изучение функций в курсе математики восьмилетней школы. Минск: Народная асвета, 1970. - 176 с.

84. Лященко Е.И., Мазаник А.А. Методика обучения математике в 4-5 классах. Минск: Народная асвета, 1970. - 222 с.

85. Макарычев 10.Н. Система изучения элементарных функций встарших классах средней школы. (Учебно-методическое пособие для • учителей). М., 1964. - 219 с.

86. Маракуев Н.Н. Элементарная алгебра. Курс систематический. ч.1. М., 1886. - 454 с.

87. Маракуев Н.Н. Элементарная алгебра. Курс систематический. ч.П. М., 1887. - 508 с.

88. Маркова А.К. Психология усвоения языка как средства общения. М.: Педагогика, 1974. - 240 с,

89. Маркова А.К. Формирование мотивации учения в школьном возрасте. (Пособие для учителя). -М.: Просвещение, 1983. 96с.

90. Математика 3. Учебник для 3-го класса/А.С.Пчелко, М.А.Бантова, М.И.Моро, А.М.Пышкало. -13-е изд. -М.: Просвещение, 1982. 208 с.

91. Математика 4. Учебник для 4-го класса средней школы /Н.Я.Виленшин, К.И.Нешков, С.И.Шварцбурд и др. Под ред.А.И.Мар-кушевича. 3-е изд. - М.: Просвещение, 1982. - 303 с.

92. Математика 5. Учебник для 5-го класса средней школы. (Н.Я.Виленкин, К.И.Нешков, С.И.Шварцбурд и др. Под ред.А.И.Мар-кушевича. 7-е изд. - М.: Просвещение, 1982. - 223 с.

93. Математическая энциклопедия. т.З. Под ред.И.М.Виноградова. -М.: Советская энциклопедия, 1982. 1183 с.

94. Мейер Гирш. Собрание примеров, формул и задач из буквенного вычисления.и алгебры. Пер. с нем.А.Кирпичева. 2-еизд., испр. С.-Петербург, 1844. - 155 с.

95. Менчинская Н.А. Психология применения знаний к решению учебных задач. М., Изд-во АПН РСФСР, 1958, с.3-10.

96. Методика преподавания математики в средней школе: Частные методики: (Учеб.пособие для физ.-мат.фак.пед.ин-тов) /Ю.М.Колягин, Г.Л.Луканкин, Е.Л.Макрушин и др. -М.: Просвещение, 1977. 480 с., граф.

97. Микулина Г.Г. Психологические особенности решения задач с буквенными данными. В кн.: Психологические особенности младших школьников в усвоении математики. Под ред.В.В.Давыдова. -М.: Педагогика, 1969, с.157-195.

98. Миндюк Н.Г. О трактовке понятий уравнения и неравенства с переменными. Сб.: Преподавание алгебры в 6-8 классах. Под ред.й.М.Макарычева и Н.Г.Миндюк. - М.: Просвещение, 1980, с.91-122.

99. Минковский В.Л. Очерк логических основ методов математического доказательства. "Математика в школе", 1949, № 5, с.1-8.

100. Молодший В.Н. Учение о натуральных числах в ХУШ веке. Историко-математические исследования. Под ред.Г.Ф.Рыбкина, А.П.Юшкевича. Вып.Ш. -М.-Л., 1950, с.431-464.

101. Мрочек В., Филиппович Ф. Педагогика математики. Исторические и методические этюды, т.1. С.-Петербург, 1910.380 е., рис. и черт.

102. Натансон И.П. Простейшие задачи на максимум и минимум. -3-е изд. М.-Л.: Физматгиз, 1970. - 31 е., черт.

103. Невяжский Г.Л. Неравенства. (Пособие для учителей). -- М.: Учпедгиз, 1947. 204 е., черт.

104. Нешков К.И. Неравенства в курсе математики средней школы: Автореф. дис.на соиск. учен.степ.канд.пед.наук. -М., 1956. 16 с. (В надзаг.: Акад.пед.наук РСФСР. Научн.-исслед. ин-т методов обучения).

105. Новоселов С.И. Специальный курс элементарной алгебры. -7.-е изд., доп. и перераб. М.: Высшая школа, 1965. - 552 с.

106. Окунев А.К. Квадратные функции, уравнения и неравенства в курсе математики средней школы. (Пособие для учителя). М.: Просвещение, 1972. - 143 е., черт.

107. Осинская В.Н. Активизация познавательной деятельности учащихся на уроках математики в 9-10 классах. Киев: Рад.школа, 1980. - 143 с.

108. Педагогика и народное образование в СССР. Некоторые теоретические проблемы конструирования методических систем познавательных задач. (Экспресс-информация). Вып.10(22). -М., 1978. 18 с.

109. Педагогическая энциклопедия. т.З. Под ред.А.И.Каиро-ва. М.: Советская энциклопедия, 1966. - 879 е.

110. Педагогическая энциклопедия, т.4.'Под ред.А.И.Каиро-ва. М.: Советская энциклопедия, 1968. - 911 с.

111. Перевощиков Д.М. Ручная математическая энциклопедия. Алгебра. Кн.З. 2-е изд. - М., 1835. - 604 с.

112. Перри Д. Практическая математика. Книги для современной школы/Под ред.В.В.Лермантова. М., 1909. - 300 с.

113. Пивоваров Д.В. О соотношении предметного и операционного компонентов научного знания. "Вопросы философии", 1977, № 5, с.89-99.

114. Подгорецкая Н.А. Изучение логических приемов мышления у взрослых. М., 1980. - 149 е., ил.

115. Пойа Д. Как решать задачу. Пер. с англ.В.Г.Звонаревой и Д.Н.Белла. Под ред.й.М.Гайдука. 2-е изд. - М., 1961. - 208с.

116. Понтрягин Л. О математике и качестве ее преподавания.- "Коммунист", 1980, № 14, с.99-112.

117. Программы восьмилетней и средней школы. (1983/84 учебный год). Математика. М;: Просвещение, 1983. - 48 с.

118. Пушкина Т.П. О системе школьных задач и психологических принципах ее структурирования. "Вопросы психологии", 1981, № 2, C.III-II5.

119. Пышкало A.M. Методика обучения математике в I-Ш классах. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Просвещение, 1978.- 336 с., ил.

120. Раев А.И. Управление умственной деятельностью младшего школьника. Л., 1976. - 136 с. (В надзаг.: Ленинградский ордена Трудового Красного Знамени гос.пед.ин-т им.А.И.Герцена).

121. Размас Р.А. О связи исследования свойств функций с решением уравнений и неравенств. "Математика в школе", 1979, № 4, с.40.

122. Рамзаева А.А. Теоретико-множественная основа изучения функций в восьмилетней школе: Автореф.дис.на соиск. учен,степ, канд.пед.наук. -М., 1970. 18 с. (В надзаг.: АПН СССР. Научн.--иссл.ин-т содержания и методов обучения).

123. Ростиславов Д. Начальная алгебра. М., 1868. - 504с.

124. Рубинштейн С.Л. Бытие и сознание. М., 1957. - 328 с.

125. Рубцов Б.В., Гузман Р.Я. Психологическая характеристика способов организации совместной деятельности учащихся в процессе решения учебной задачи. "Вопросы психологии", 1983, № 5, с.48-57.

126. Рунге К. Графические методы математических вычислений. Пер. с 3-го нем.изд. В.М.Абрамова. М.-Л., 1932. - 168 с.

127. Рыбников К.А. История математики. М., I960. - 190с.

128. Семушин А.Д., Кретинин О.С., Семенов Е.Е. Активизация мыслительной деятельности учащихся при изучении математики. Обучение обобщению и конкретизации. (Пособие для учителей). М., Просвещение, 1977. - 64 с.

129. Симон М. Дидактика и методика математики в средней школе. Пер. с нем. И.В.Яшунского. С.-Петербург: Книгоиздательство "Физика", 1912. - 257 с.

130. Славская К.А. Процесс мышления и использование знаний. В кн.: Процесс мышления и закономерности анализа, синтеза и обобщения. - М., I960, с.5-48.

131. Солтан Г.Н. Методика обучения доказательству неравенств в курсе математики средней школы: Автореф.дис. на соиск. учен.степ.канд.пед.наук. Минск, 1983. - 16 с. (В надзаг.: Минский ордена Трудового Красного Знамени гос.пед.ин-т им.1. А.М.Горького).

132. Сохор A.M. Логическая структура учебного материала. Вопросы дидактического анализа/Под ред.М.А.Данилова. М.: Педагогика, 1974. - 192 с.

133. Столл Р. Логика. Множества. Аксиоматические теории. Пер. с англ.Ю.А.Гастева и И.Х.Шманна./Под ред.Ю.А.Шихановича.- М.: Просвещение, 1968. 231 с.

134. Столяр А.А. Педагогика математики. Курс лекций. 2-е изд., перераб. и доп. - Минск: Вышэйшая школа, 1974. - 384 е., ил.

135. Столяр А.А. Элементарное введение в математическую логику. (Пособие для учителей). -М.: Просвещение, 1965. 163 е., схем.

136. Талочкин П.Б. Неравенства и уравнения. Упражнения и методические указания. (Пособие для учителей). -М.: Просвещение, 1970. 160 е., черт.

137. Таннери I. Основные понятия математики. Пер. с франц. Е'.Ермакова. С.-Петербург, 1914. - 406 е., черт.

138. Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний.- М., 1975!. 344 с.

139. Талызина Н.Ф. Формирование познавательной деятельностью учащихся.'- М.: Знание, 1983. 96 е., ил.; - (Новое в жизни, науке, технике. Педагогика и психология, №3). (Издается с 1964 г.)е

140. Тихомандрицкий А. Начальная алгебра. Руководство для преподавания алгебры в гимназиях. С.-Петербург, 1853. - 284с.

141. Тихомиров Е.Н. Начальная алгебра. Курс средних учебных заведений. 4-е изд. - М., 1912. - 340 с.

142. Тоноян П.Н. Вопросы совершенствования методики решения неравенств в средней школе: Автореф. дис. на соиск. учен, степ.канд.пед.наук. Ереван, 1975. - 33 е., граф. (В надзаг.: Армянский гос.пед.ин-т им.Х.Абовяна).

143. Трухан Т.Л. Вопросы логического обоснования и методики решения неравенств: Автореф.дис. на соиск. учен.степ. канд. пед.наук. Минск, 1970. - 17 с. (В недзаг.: Минский гос.педу ин-т им.А.М.Горького).

144. Усова А.В. Психолого-дидактические основы формирования у учащихся научных понятий. Челябинск, 1979. - 86 с.

145. Ушинский К.Д. Соч.т.УП. -M.-^I., 1949. 360 е., ил.

146. Философская энциклопедия, т.4. Под ред.Ф.В.Константинова М.: Советская энциклопедия, 1967. - 591 с.

147. Философская энциклопедия, т.5. Под ред.Ф.В.Константинова. М.: Советская энциклопедия, 1970. - 740 с.

148. Фирсов П. Опыт элементарной алгебры в связи с логикой. С.-Петербург, 1895. - 240 с.

149. Флеров И. Элементарные функции и их графическое изображение. Дополнение к курсу алгебры 1У,У,У1 классов средних учебных заведений. М.: Наука, 1915. - 100 с.

150. Формирование у школьников'приемов умственной деятельности как один из путей успешного обучения: Методические рекомендации в помочь учителю/Владимирское обл.отд.Педагогич.об-ва. (Сост.В.И.Решетников). Владимир, 1974. - 44 с.

151. Фосс А. 0 сущности математики. Пер. И.В.Яшунского.- С.-Петербург, I9II. 71 с.

152. Фридман В.Г. Концентрический учебник алгебры для мужских и женских гимназий, реальных училищ и для самообразования.- М., 1912. 288 с.

153. Фридман JI.M. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. -М.: Педагогика, 1977. 208 е., ил. (В надзаг.: Научно-исслед.ин-т общей и педагогической психологии АПН СССР).

154. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. (Пособие для учителей). Под ред.Н.Я.Виленкина. -М.; Просвещение, 1983. 192 с.

155. Фуше А. Педагогика математики. Пер. с франц.М.З.Раби-✓ >новича. Под ред.(и с предисл^) И.К.Андронова. -М.: Просвещение, 1969. 126 с., ил.

156. Харди Г.Г. и др. Неравенства. Пер. с англ.В.И.Левина с доп.В.И.Левина и С.Б.Стечкина. М.: Мир, 1948. - 456 с.

157. Хинчин А.Я. Педагогические статьи. Под ред.Б.В.Гнеден-ко. М., 1963. - 204 с.

158. Шамова Т.И. Активизация познавательной деятельности школьников. М.: Педагогика, 1982. - 209 е., граф.

159. Шамова Т.И. К вопросу об анализе структуры познавательной деятельности учащихся. "Советская педагогика", 1971, №10,0.18-25.

160. Шапоринский С.А. Обучение и научное познание. М.: Педагогика, 1981. - 208 с.

161. Шереметьевский В.П. Очерки по истории математики. -М.: Учпедгиз, 1940. 180 сЛ1 ил.

162. Шиханович Ю.А. Введение в современную математику. (Начальные понятия). М.: Наука, 1965. - 376 е., черт.

163. Шрейдер С.Н. Алгебра. Рабочая книга для подготовки в вуз. 3-е изд., испр. и доп. - М.: Работник просвещения, 1930. - 534 с.

164. Щеглов Н.Т. Начальные основания алгебры. Таблицы степеней чисел от I до 1000. С.-Петербург, 1853. - 496 е., табл.

165. Эйлер Л. Введение в анализ бесконечно малых. T.I. Пер. с лат.Е.Л.Пацановского. М.-Л., Онти, 1936. - 352 с.

166. Эльконин Д.Б. Психологические вопросы формирования учебной деятельности в младшем школьном возрасте. В кн.: Вопросы психологии обучения и воспитания. Под ред.Г.С.Костюка, П.Р.Чаматы. - Киев, 1961, с.12-13.

167. Энциклопедия элементарной математики. Кн.2 Функции и пределы. (Основы анализа). Под ред.П.С.Александрова, А.И.Мар-кушевича, А.Я.Хинчина. М.-Л., 1951. - 424 с.

168. Эрдниев П.М. Преподавание математики в школе. (Из опыта обучения методом укрупненных упражнений). М.: Просвещение, 1978. - 303 е., ил.

169. Юнг В.А. Как преподавать математику. М. - Петроград, 1923. - 302 с.

170. Юшкевич А.П. О развитии понятия функции. Историкочла-тематические исследования. Вып.ХУП. -М.: Наука, 1966, с.123--150.

171. Юшкевич А.П. Понятие функции у Кондорсе. Историко-ма-тематические исследования. Вып.ИХ. -М.: Наука, 1974, с.158--166.

172. Якиманская И.О. Развивающее обучение. М.: Педагогика, 1979. - 144 с.