Технология развивающего обучения в курсе алгебры средней школы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 13.00.02, доктор педагогических наук Горбачев, Василий Иванович

• Горбачев, Василий Иванович
• доктор педагогических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор педагогических наук Горбачев, Василий Иванович

Введение.

Глава 1. Методология развивающего обучения в уравнениях и неравенствах с параметрами.

1.1. Формирование теоретического типа мышления в содержательно-методической линии уравнений и неравенств с параметрами.

1.1.1. Типы мышления в содержательно-методических линиях школьного курса математики.

1.1.2. Понятие общего решения и связанные с ним теоретические абстракции.

1.1.3. Теоретические понятия в неравенствах с параметрами.

1.2. Разработка общих методов решения уравнений и неравенств с параметрами в процессе восхождения от абстрактного к конкретному.

1.3. Анализ уравнений и неравенств с параметрами с позиции теории учебных задач.

1.3.1. Учебно-практические задачи в уравнениях и неравенствах.

1.3.2. Учебно-исследовательские задачи в алгебраических уравнениях и неравенствах.

1.3.3. Учебно-исследовательские задачи в трансцендентных уравнениях и неравенствах.

1.3.4. Учебно-теоретические задачи в уравнениях и неравенствах.

Глава 2. Научно-методический анализ линии уравнений и неравенств с параметрами.

2.1. Основные понятия уравнений и неравенств с параметрами.

2.2. Отношение эквивалентности и методы классификации частных уравнений и неравенств.

2.3. Контрольные и граничные значения параметра в уравнениях и неравенствах.

2.4. Функционально графический метод решения уравнений и неравенств с параметрами.

Глава 3. Технология поэтапного формирования методов решения ^ уравнений и неравенств с параметрами.

3.1. Ориентировочная основа учебной деятельности в процессе решения уравнений с параметрами.

3.2. Ориентировочная основа учебной деятельности в процессе решения неравенств с параметрами.

3.3. Поэтапное формирование методов решения уравнений и неравенств с параметрами не выше п-й степени.

3.4. Поэтапное формирование методов решения рациональных и иррациональных уравнений и неравенств с параметрами.

3.5. Поэтапное формирование методов решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств с параметрами.

3.6. Поэтапное формирование методов решения уравнений и неравенств с параметрами и переменной под знаком модуля.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Технология развивающего обучения в курсе алгебры средней школы»

Актуальность исследования. В дискуссиях по обновлению содержания школьного математического образования, связанных с дифференциацией образовательных учреждений, концепцией личностно-ориентированного образования, его гуманитарной направленностью, уравнения и неравенства с параметрами рассматриваются как перспективная содержательно-методическая линия курса алгебры средней школы.

Нацеленные на формирование исследовательских способностей, эвристических приемов, элементов математического творчества учащихся задачи с параметрами в силу своего богатого потенциала общекультурного и развивающего характера, соответствия целям математического образования стали объектом пристального изучения многих математиков и методистов (М. И. Башмаков, В.В.Вавилов, М.А.Галицкий, А.М.Гольдман, В.Н.Голубев, Г.В.Дорофеев, Л.И.Звавич, В.К.Марков, И.И.Мельников, А.Г.Мордкович, П.С.Моденов, С.И.Новоселов, С.Н.Олехник, М.К.Потапов, П.И.Пасиченко, Н.Х.Розов, С.А.Тынянкин, И.Ф.Шарыгин и т. д.).

В оценках значимости для формирования математической культуры учащихся, их подготовленности к усвоению современных научных теорий уравнения и неравенства с параметрами характеризуются как миниатюрные исследовательские задачи, требующие высокой логической культуры и высокой техники исследования (М.И.Башмаков, В.К.Марков, С.А.Тынянкин), как наиболее сложный в логическом и техническом планах раздел элементарной математики (А.Г.Мордкович, Н.Х.Розов); решение уравнений и неравенств с параметрами открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов, востребованных в различных областях математики (Г.В.Дорофеев, С.И.Новоселов).

Также важным с позиции современных научных представлений является установленный в данном исследовании вывод: в уравнениях и неравенствах с параметрами развитые исследовательские способности, логическая культура, высокая техника вычислений вырабатываются у учащихся в рамках глобальной задачи -формирования теоретического типа мышления (В.В.Давыдов, С.Л.Рубинштейн). Кроме того, в уравнениях и неравенствах с параметрами получают свое логическое завершение основные содержательно-методические линии школьного курса математики - функциональная, уравнений и неравенств, алгоритмическая, тождественных преобразований.

В историко-генетическом плане возникновение задач с параметрами связано с потребностью в проведении научными работниками исследований процессов в зависимости от определенных параметров. Моделью будущего специалиста было обусловлено первоначальное включение в программы конкурсных испытаний ведущих вузов России уравнений и неравенств с параметрами как естественного обобщения уравнений и неравенств с переменной и предполагающих проведение исследований. Поскольку исследовательские способности востребованы во многих направлениях науки и отраслях производства, то в течение последних четырех десятилетий задачи с параметрами превратились в обязательный компонент итоговой аттестации выпускников школ, конкурсных испытаний.

Предлагаемые на вступительных испытаниях уравнения и неравенства с параметрами, обеспечивая конкурсный отбор, интенсивно усложняются, становятся уникальными по постановке, используемым методам исследования. В результате углубляется разрыв между уровнем реальной подготовки выпускников общеобразовательных учреждений и требованиями комплексной подготовки, сочетающей репродуктивные действия с эвристическими, творческими, необходимой для успешного выполнения конкурсных задач с параметрами. На преодоление такого разрыва направлены многочисленные пособия, руководства справочного и методического характера, разъясняющие способы решения таких заданий:

- в учебных пособиях М.И.Башмакова, В.В.Вавилова, В.М.Говорова, В.А.Гусева, Г.В.Дорофеева, В.Б.Лидского, И.И.Мельникова, П.С.Моденова, А.Г.Мордковича, Ю.В.Нестеренко, С.Н.Олехника, П.И.Пасиченко, А.И.Пинского, М.К.Потапова, Н.Х.Розова, М.И.Сканави, А.Г.Цыпкина уравнения и неравенства с параметрами рассматриваются в рамках большого спектра конкурсных заданий;

- пособия В.В.Амелькина, В.Л.Рабцевича, П.И.Горнштейна, В.Б.Полонского, М.С.Якира, П.Д.Кухарчика, В.С.Федосенко, А.И.Азарова, В.К.Маркова, Е.М.Родионова, С.А.Тынянкина предусматривают определенную классификацию и решение только задач с параметрами, связанных с конкурсными испытаниями;

- в учебных пособиях В.Н.Литвиненко, А.Г.Мордковича, Е.Е.Вересовой, Н.С.Денисовой, Т.Н.Поляковой для студентов, пособии Г.АЛстребинецкого для учителей вводятся начальные понятия уравнений и неравенств с параметрами, изучаются методы решения конкретных задач с параметрами;

- в пособиях для учащихся Н.Я.Виленкина и др., М.Л.Галицкого, А.М.Гольдмана, В.Н.Голубева, Л.И.Звавича, И.Ф.Шарыгина задачи с параметрами рассматриваются в рамках углубленного изучения школьного курса математики, факультативного курса;

- в многочисленных методических пособиях для учащихся, студентов, учителей исследуются различные аспекты изучения рассматриваемого класса задач.

Таким образом, в учебных пособиях, справочно-методической литературе, обширной серии публикаций выделяются две тенденции непрерывного развития содержания и методов исследования уравнений и неравенств с параметрами, направленных на совершенствование математической культуры учащихся как в процессе непосредственно школьного математического образования, так и на пути их подготовки к конкурсным испытаниям в высшее учебное заведение:

1. Разработка конкурсных задач с параметрами, новых и по содержанию, и по постановке задач, и по средствам логических рассуждений, используемых в процессе их решения. Усложнение задач конкурсного характера вне реальных математических моделей привело к состоянию, которое Н.Х.Розов оценивает как «гипертрофированное увлечение формально-техническими процедурами и искусственными конструкциями». Такая тенденция усложнения конкурсных задач, вызывающих, по замечанию Г.В.Дорофеева, даже у учителей математики как минимум робость, разделяется далеко не всеми учеными.

- в спектре разрабатываемых вузами способов решения задач с параметрами отсутствуют явление переноса; воспроизводимость как процесса, так и результата;

- в процессе решения объектом внимания учащихся являются вычислительные процедуры, а не мыслительная деятельность, посредством которой осуществляется отбор и использование математических фактов;

- «высокие» математические действия носят сугубо конкретный характер, не способствуют формированию обобщенного, понятийного мышления.

2. Создание органически вписанной в школьный курс математики методической системы - «линии уравнений и неравенств с параметрами» (А.Г.Мордкович), включающей отбор содержания задач с параметрами, обеспечивающей развитие конкретных способностей учащихся, разработку технологии обучения, направленной на формирование теоретического типа мышления. Указанная система, сущность содержания которой составляет развитие учащихся установлением общих закономерностей исследования уравнений и неравенств с одной и несколькими переменными, в своем развитии из сферы теоретических дискуссий перешла в сферу научно-методических разработок ученых, практику работы каждого учителя математики:

- уравнения и неравенства не выше первой и второй степеней как с одним, так и с двумя параметрами составляют обширный класс задач «Сборника заданий для проведения письменного экзамена по математике в девятых классах общеобразовательных школ России»;

- если в учебниках «Алгебра и начала анализа» А.Н.Колмогорова и др., М.И.Башмакова, Ш.А.Алимова, Ю.М.Колягина внимание к уравнениям и неравенствам с параметрами весьма незначительно, то в учебниках нового поколения (А.Г.Мордкович) методический принцип ориентации в каждом году обучения «на конкретную модель реальной действительности» получает свое завершение в исследовании уравнений и неравенств с параметрами для соответствующей функции, обобщающем решении таких задач в специальных разделах;

- уравнения и неравенства с параметрами являются обязательным компонентом «Дополнительных глав к школьному учебнику 8 класса», «Дополнительных глав к школьному учебнику 9 класса» под редакцией Г.В.Дорофеева, факультативных курсов по математике для 10, 11 классов В.Н.Голубева, И.Ф.Шарыгина, учебного пособия для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики «Алгебра и математический анализ для 11 класса» Н.Я.Виленкина, О.С.Ивашева-Мусатова, С.И.Шварцбурда и соответствующего ему пособия для учителя М.А.Галицкого и др.;

- проектом «Стандарта среднего математического образования», разработанного лабораторией математического образования Института общеобразовательной школы предусмотрено изучение программного материала, дающего возможность усвоения учащимися основной школы решения уравнений с параметрами, сводящихся к линейным и квадратным, а в старшей школе - к усвоению общей схемы решения уравнений, неравенств, систем с параметрами.

Включение в школьный курс математики уравнений и неравенств с параметрами через обязательные результаты обучения в виде заданий итоговой аттестации учащихся неполной и полной средней школы, требование проекта стандарта среднего математического образования, через учебные и методические пособия для учащихся породило в методике обучения математики, практике работы учителей математики немало проблем:

- в отсутствие системного изложения данного класса задач в учебниках алгебры и начал анализа планируемые результаты обучения не достигаются;

- в условиях неразработанности содержания уравнений и неравенств с параметрами не установлены их место в структуре математического знания, взаимосвязь с основными линиями школьного курса алгебры;

- учителя математики в условиях реализуемого справочно-методическими пособиями информационно-объяснительного подхода к решению задач с параметрами сами не владеют общими методами решения уравнений и неравенств, указанными в стандарте и т. д.

Анализ становления и развертывания выделенных тенденций показывает, что при всех различиях целей включения задач с параметрами, уровня их сложности, используемых аналитических и графических способов решения, в пособиях, научно-методических работах имеется ряд общих характеристик, определяющих сложившийся уровень развития содержания и методов исследования уравнений и неравенств с параметрами.

1. В оценках ведущими учеными развивающего потенциала уравнений и неравенств с параметрами отмечаются большие возможности задач в развитии исследовательских способностей учащихся, формировании их логической культуры, проектировании эвристических способов учебной деятельности, однако не устанавливается тип мышления, в рамках которого осуществляется подлинное формирование отмеченных способностей.

2. По всем разделам школьного курса алгебры разработан широкий спектр уравнений, неравенств, их систем с параметрами как учебного, так и конкурсного характера, связанных с разнообразными способами мыслительной деятельности учащихся. Вместе с тем неверная трактовка задач с параметрами значительной частью авторов, опора на интуитивную систему понятий, весьма неполную и противоречивую, существенно ограничивают набор задач с параметрами, приводят к ориентации на частные способы решения, вне общих закономерностей. Как правило, в пособиях, публикациях предполагается, что в ходе решения конкретных уравнений и неравенств с параметрами у учащихся будет сформирован метод решения задач определенного класса, то есть восхождение от конкретного к абстрактному рассматривается как закономерный путь развития познания.

3. Если в графических методах решения, восходящих к работам Г. В. Дорофеева, А. Г. Мордковича, С. И. Новоселова, уравнения с параметром исследуется как бесконечные совокупности частных уравнений с соответствующими графиками, то в отсутствие аналитических способов классификации уравнение (неравенство) с параметром рассматривается чаще всего как отдельный неделимый объект изучения, в исследовании которого акцент делается не столько на методы классификации, неизвестные в общем случае, сколько на поиск тех эвристических действий, которые составляют сущность данного конкретного примера.

4. Как правило, в научно-методических работах каждое уравнение или неравенство с параметром рассматривается обособленно, лишь в рамках сравнения с другими изолированными примерами, вне понятийной формы знания, формируя эмпирический тип мышления. Фактически в процессе исследования конкретных примеров с использованием форм эвристической, творческой деятельности на обширный класс задач с параметрами осуществлен перенос эмпирического типа мышления, реализуемого линией уравнений и неравенств.

Используемый в литературе экстенсивный подход привел к увеличению примеров, имеющих самостоятельную ценность, но затрудняющих ориентацию учащихся в обширном спектре нетривиальных параметрических задач. При таком подходе переориентация методической системы на приоритет развивающей функции обучения по отношению к его образовательной, информационной функции, как основной задаче перестройки школьного математического образования (Г. В. Дорофеев) не происходит.

Развивающая функция обучения в содержании «линии параметров» не получила полного осмысления и соответствующей реализации по причинам, характеризующим технологический подход к проектированию и конструированию учебной деятельности.

- не выделена главная цель - формирование теоретического типа мышления установлением общих способов предметных действий, становящихся в процессе интериоризации способами мышления учащихся, структурированная в каждом классе уравнений и неравенств с параметрами в виде системы конкретных промежуточных целей, имеющих диагностический характер;

- не обеспечена воспроизводимость учебного процесса как последовательной смены материализованных действий учащихся по исследованию конкретных уравнений и неравенств с параметрами понятийной внешней речью по составлению ориентировочной основы действий и переходом к свернутым формам внутренней речи;

- не обеспечена воспроизводимость результата в виде умственной формы полной ориентировочной основы деятельности по исследованию уравнений и неравенств с параметрами каждого вида школьного курса алгебры.

Таким образом, актуальность диссертационного исследования определяется тем, что в отсутствие методологической основы не установлена иерархия целей внедрения уравнений и неравенств с параметрами в содержание курса математики средней школы, не определено их место в структуре математического знания, неверная трактовка задач с параметрами и связанной с ними системы понятий не позволяет установить общие закономерности в способах их решения, вместо стройной системы методов решения каждого класса уравнений и неравенств с параметрами справочные и методические пособия предлагают множество способов решения конкретных примеров, существующая система задач с параметрами не полностью реализует их развивающий потенциал.

Даже с учетом сложившейся тенденции расширения спектра уравнений и неравенств с параметрами, включаемых в содержание школьного курса математики в качестве обязательных компонентов усвоения учащимися, рассматриваемый класс задач пока не составляет отдельной содержательно-методической линии. Ее развертывание как важной методической проблемы не осуществлено, в основном, по двум причинам:

1) не установлена система методологических положений, позволяющих в полной мере оценить развивающий характер уравнений и неравенств, направленных на формирование теоретического типа мышления;

2) отсутствует система понятий, в терминах которой может быть реализована развивающая функция задач с параметрами в виде общих методов решения, сочетающих исполнительские действия алгоритмического характера с эвристическими, творческими.

Проблема развертывания содержательно-методической линии уравнений и неравенств с параметрами, интегрирующей основные линии курса алгебры средней школы, реализующей методические принципы теории развивающего обучения Д. Б. Эльконина и В. В. Давыдова, направленной на формирование теоретического типа мышления и выстроенной в соответствии с теорией поэтапного формирования П. Я. Гальперина и Н. Ф. Талызиной, определила тему диссертационного исследования «Технология развивающего обучения в курсе алгебры средней школы».

Цель исследования - на методологической основе деятельностной теории учения разработать теоретическое обоснование, систему математических понятий и методов, технологию обучения учащихся решению уравнений и неравенств с параметрами.

Объект исследования - содержание математического образования в общеобразовательных учебных заведениях.

Предмет исследования - содержательно-методическая линия уравнений и неравенств с параметрами как методическая система, интегрирующая основные линии школьного курса математики (функциональную, уравнений и неравенств, алгоритмическую, тождественных преобразований, числовую).

Гипотеза исследования включает в себя следующий комплекс предположений. Включение уравнений и неравенств с параметрами и становление методической системы с позиции целей и содержания математического образования будут обоснованы, если:

- в качестве основного научного метода исследования системы выступит теория развивающего обучения Д.Б.Эльконина и В.В.Давыдова;

- системное развитие исследовательских способностей, проектирование эвристических способов решения задач с параметрами осуществится в рамках формирования теоретического типа мышления;

- в процессе анализа содержания задач с параметрами произойдет переход от интуитивных понятий и основанных на них эмпирических способов решения к единой системе понятий, обосновывающей используемые средства классификации, общие методы решения уравнений и неравенств данного вида; в содержательно-методической линии уравнений и неравенств с параметрами получат свое логическое завершение функциональная линия, также направленная на теоретический тип мышления, алгоритмическая линия - введением в учебную деятельность алгоритмических схем с определенными действиями продуктивного характера, линии уравнений и неравенств, тождественных преобразований; организация учебной деятельности учащихся будет осуществляться в рамках технологии поэтапного формирования умственных действий П.Я.Гальперина, Н.Ф.Талызиной, формирования теоретического типа мышления посредством построения учащимися логических структур общих методов решения уравнений и неравенств с параметрами.

Проблема, цель, предмет и гипотеза диссертационного исследования определили задачи исследования:

1. Проанализировав учебно-методическую литературу и другие публикации, направленные на исследование уравнений и неравенств с параметрами, оценить значимость задач с параметрами в реализации целей математического образования, становлении математической культуры учащихся, установить общие тенденции их развития, используемые в процессе решения способы учебной деятельности.

2. Развертывание содержания и методов исследования уравнений и неравенств с параметрами осуществить в учебной деятельности, главным содержанием которой является формирование теоретического типа мышления.

3. Разработку исследования содержательно-методической линии уравнений и неравенств с параметрами провести на базе методологических принципов теории развивающего обучения Д.Б.Эльконина и В.В.Давыдова - восхождения от абстрактного к конкретному, обобщения и абстрагирования существенных отношений, их моделирования внутри конкретной целостности, теории учебных задач.

4. Для реализации положений теории развивающего обучения в содержательно-методической линии уравнений и неравенств с параметрами ввести систему понятий, математических утверждений, фактов, определяемую фундаментальными математическими понятиями и методами.

5. На основе введенной системы понятий восхождением от абстрактного к конкретному установить общую систему учебных действий в решении произвольных уравнений и неравенств с параметрами, в теории учебных задач - системы учебных действий по решению уравнений и неравенств школьного курса математики.

6. Главная же задача состоит в том, чтобы «принципы диалектического мышления преломить и выразить в технологии развертывания учебного материала, в способах формирования понятий у школьников, в средствах организации их собственной мыслительной деятельности». (В.В.Давыдов)

Методологической основой исследования являются:

- психолого-педагогические аспекты философских понятий деятельности (ее общей структуры, психологического строения, соотношения коллективной и индивидуальной деятельности), сознания, категорий абстрактного и конкретного, явления и сущности, принципов эмпирического и теоретического;

- современные психолого-педагогические концепции учебной деятельности, личностно-ориентированного обучения, технологического подхода к обучению;

- ведущие принципы современной системы образования, в том числе гуманизации, гуманитаризации, учета уровня развития и индивидуально-психологических особенностей личности.

Теоретические основы исследования составляют:

- психолого-педагогическая теория о связи психического развития учащихся с их обучением и воспитанием (П. П. Б донской, Л.С.Выготский, П.Я.Гальперин,

В.В.Давыдов, А. В. Запорожец, Г.С.Костюк, А.Н.Леонтьев, А.Р.Лурия, А.И.Мещеряков, Н.А.Менчинская, Ж.Пиаже, С.Л.Рубинштейн, Д.Б.Эльконин);

- современные теории содержания образования (Ю.К.Бабанский, В.П.Беспалько, Б.С.Гершунский, Л.Б.Ительсон);

- теория развивающего обучения (Л.С.Выготский, В.В.Давыдов, А.Н.Леонтьев, Л.В.Занков, А.В.Запорожец, А.Р.Лурия, В.В.Репкин, Н.В.Репкина, С.Л.Рубинштейн, Г.А.Цукерман, Д.Б.Эльконин, И.С.Якиманская, Е.Н.Кабанова-Меллер);

- теория поэтапного формирования умственных действий (П.Я.Гальперин, Н.Ф.Талызина, Н.С.Пантина, И.А.Володарская, М.Я.Микулинская, И.П.Калошина, Л.И.Айдарова);

- концептуальные положения методики обучения математике (Н.Я.Виленкин, В.А.Гусев, М.И.Башмаков, Г.В.Дорофеев, Ю.М.Колягин, Г.Л.Луканкин,

A.Г.Мордкович, Г.И.Саранцев, Л.М.Фридман);

- концепции системного (В.С.Ильин, В.В.Краевский, А.Н.Леонтьев, Б.Ф.Ломов), деятельностного (А.Н.Леонтьев, А.К.Маркова, А.В.Петровский, Н.Ф.Талызина, Г.И.Щукина), личностного (В.А.Сластенин, И.С.Якиманская), технологического (В.П.Беспалько, В.М.Монахов, Г.К.Селевко) подходов;

- логико-психологический анализ школьных учебных задач (Г.А.Балл,

B.В.Давыдов, Ю.М.Колягин, В.В.Репкин, Л.М.Фридман);

- концептуальные положения о содержании, методах исследования уравнений и неравенств с параметрами (М. И. Башмаков, В.В.Вавилов, М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Г.В.Дорофеев, Л.И.Звавич, И.И.Мельников, А.Г.Мордкович, П.С.Моденов, С.И.Новоселов, С.Н.Олехник, М.К.Потапов, Н.Х.Розов, И.Ф.Шарыгин).

Для реализации целей и задач исследования применялись как теоретические методы (теоретический анализ и синтез, содержательное обобщение, восхождение от абстрактного к конкретному, классификация, аналогия, моделирование, содержательный и логико-исторический анализ научно-методической литературы по проблеме исследования, научно-методический анализ используемой в исследованиях системы понятий и методов), так и эмпирические (констатирующий и формирующий эксперименты при обучении решению задач с параметрами учащихся общеобразовательных учреждений, студентов педвузов, учителей математики, наблюдение, тестирование, метод экспертных оценок).

Основные этапы исследования. Исследование проводилось с 1993 года по 2000 год в несколько этапов:

- I этап (1993-1995гг.) - организация поискового эксперимента в совокупности фактов и методических приемов исследуемой области, разработка понятийной базы линии уравнений и неравенств, доказательство классификационных теорем, проектирование задач с заранее заданными свойствами;

- II этап (1995-1998гг.) - создание методологической основы содержательно-методической линии уравнений и неравенств с параметрами - поиск генетически исходной содержательной абстракции и ее развертывание в процессе восхождения от абстрактного к конкретному, выделение состава учебной деятельности при исследовании уравнений и неравенств с позиции теории учебных задач;

III этап (1998-2000гг) - проектирование и разработка технологии развивающего обучения — создание в рамках теории поэтапного формирования умственных действий П.Я.Гальперина, Н.Ф.Талызиной условий для первоначального усвоения базовых понятий предметной области исследования и последующее самостоятельное построение учащимися логической структуры, полной ориентировочной основы деятельности при решении уравнений и неравенств с параметрами.

Научная новизна исследования определяется следующим.

1. В целях реализации требований стандарта среднего математического образования, формирования у учащихся теоретического типа мышления осуществлено значительное расширение содержательно-методической линии уравнений и неравенств школьного курса алгебры в тесной связи с функциональной, алгоритмической линиями, линией тождественных преобразований.

2. Восхождением от абстрактного к конкретному, обобщением и абстрагированием существенных отношений, их моделированием внутри конкретной целостности в содержательно-методической линии уравнений и неравенств с параметрами реализованы методологические принципы теории развивающего обучения Д. Б. Эльконина и В. В. Давыдова, направленные на установление учащимися понятийной формы общих методов решения уравнений и неравенств с параметрами данного вида, развитие адекватных способов учебной деятельности.

3. Методологические положения деятельностной теории учения П. Я. Гальперина, Н. Ф. Талызиной выступают основой проектирования и разработки технологии поэтапного формирования методов решения уравнений и неравенств с параметрами, обеспечивающей самостоятельное выделение учащимися базовых понятий в конкретных видах уравнений и неравенств, овладение ими способами классификации, разработку и реализацию методов решения стандартных уравнений и неравенств.

Теоретическая значимость исследования заключается в том, что в нем: обоснованы сущность понятий уравнений и неравенств с параметрами, их решения, определено место и взаимосвязь «линии параметров» в общей структуре содержательно-методических линий школьного курса математики;

- установлены понятия общих решений, типов частных уравнений и неравенств, граничных значений параметров, позволяющие выделить систему учебных действий, являющихся общими для всех уравнений и неравенств с параметрами;

- выделены структуры учебных задач общего, данного и конкретного вида в качестве закономерных этапов формирования внутреннего плана учебной деятельности учащихся при решении конкретных уравнений и неравенств с параметрами;

- определен операционный состав учебных действий общих методов решения уравнений и неравенств с параметрами школьного типа (не выше п-й степени, рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических, с переменной под знаком модуля) как учебных задач развивающего обучения;

- спроектирована технология поэтапного формирования общих методов решения всех видов уравнений и неравенств с параметрами на пути от материализованных действий через построение логических структур и этапы громкой речи к свернутым формам внутреннего плана;

- разработанная методическая система рассматривается как модель теории развивающего обучения, подтверждающая универсальность ее концептуальных положений.

Практическая значимость исследования:

- разработанная и апробированная целостная методическая система обеспечивает не только усвоение учащимися общих методов решения уравнений и неравенств с параметрами в соответствии с нормативными требованиями, проектом стандарта, но и формирует у них теоретический тип мышления;

- установленные в исследовании общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами, конкретные примеры, составленные для усвоения методов, подготовлены для их включения в учебные и методические пособия, практику работы учителей математики;

- реализация теории развивающего обучения, технологии поэтапного формирования действий составляет основу для проведения спецкурсов в педагогических вузах, пример для использования современных психолого-педагогических теорий и в других областях школьного образования.

Достоверность полученных результатов обоснована научными деятельностными теориями, используемыми в качестве методов исследования и обучения учащихся, методическим и математическим аппаратом, адекватным целям, предмету и задачам исследования, многолетней практикой использования разработанной технологии в учебных занятиях с учащимися, студентами, учителями математики.

На защиту выносятся:

1. Концепция содержательно-методической линии уравнений и неравенств с параметрами, интегрирующей в себе основные линии школьного курса математики, включающая развернутое обоснование учебной деятельности, направленной на формирование теоретического типа мышления, разработку понятийной базы в единстве с фундаментальными математическими понятиями, создание технологии развивающего обучения на полной ориентировочной основе умственных действий, логической структуре обобщенных методов решения уравнений и неравенств.

2. Теоретическое обоснование содержательно-методической линии уравнений и неравенств с параметрами, главным системообразующим методом которого является теория развивающего обучения Д.Б.Эльконина и В.В.Давыдова, включающее определение и конкретизацию основной цели исследуемой линии, двухступенчатую структуру восхождения от исходной абстракции к конкретному, систему учебных действий методов решения с соответствующим операционным составом, рассматриваемую в контексте теории учебных задач - от учебно-практических до учебно-теоретических.

3. Математическое обеспечение теоретических исследований содержания и методов решения уравнений и неравенств с параметрами, охватывающее систему понятий общих решений, отношений эквивалентности, типов частных уравнений и неравенств, областей однотипности, контрольных и граничных значений параметров, в терминах которой осуществляется исследование класса задач, создается обобщенная громкоречевая форма учебных действий.

4. Технология поэтапного формирования умственной формы учебных действий общих методов решения уравнений и неравенств с параметрами данного вида (не выше п-й степени, рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических, с переменной под знаком модуля), обеспечивающая выделение системы диагностируемых промежуточных целей, воспроизводимость учебного процесса последовательной сменой материализованных действий внешнеречевыми и переходом к свернутой внутренней речи, воспроизводимость результата в виде умственной формы полной ориентировочной основы деятельности.

Апробация и внедрение результатов исследования.

Результаты исследования опубликованы в 35 работах, в том числе монографиях «Элементы теории и общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами», получившей гриф УМО по педобразованию РФ, и «Модель развивающего обучения в курсе алгебры средней школы», пособии для учителя «Методы решения уравнений и неравенств с параметрами», учебно-методических пособиях для учащихся, статьях в журнале «Математика в школе», межвузовских сборниках, материалах международных, федеральных и региональных конференций, Всероссийского семинара преподавателей математики университетов и педагогических вузов под руководством профессора А.Г.Мордковича.

Апробация исследований проведена на международной конференции в Минске (1998г.), международной научно-практической конференции в Самаре (1999г.), федеральной научно-практической конференции в Нижнем Новгороде (1997г.) Всероссийском семинаре преподавателей математики педвузов и университетов в Санкт-Петербурге (1996г.), Новгороде (1997г.), Калуге (1998г.), Брянске (1999г.), Герценовских чтениях в Санкт-Петербурге (1996, 1998, 1999г.)

По материалам исследования с 1993 года автор проводит учебные занятия с учащимися гимназии № 1 Брянска, Брянского городского лицея, средних школ № 39, 51, 60, 62 Брянска, нескольких районных центров, читает лекции учителям математики Брянска и области в рамках городского методического семинара и БИПКРО, разрабатывает обязательные и специальные курсы студентам БГПУ, руководит выполнением выпускных работ.

Структура диссертации.

Диссертационное исследование состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, 335 страниц, 25 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)», Горбачев, Василий Иванович

Выводы:

1. Установленные в предыдущих главах система понятий, их взаимосвязь в виде общих методов решения произвольных уравнений и неравенств с параметрами составляют «основные единицы материала и законы их сочетания» (П.Я.Гальперин), формированием которых в материализованной, громкоречевой, умственной формах создается «образ действия» как один из основных компонентов ориентировочной основы деятельности по исследованию уравнений и неравенств с параметрами данного вида.

2. Выделением характеристических признаков уравнений и неравенств с параметрами данного вида (не выше n-й степени, рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических, с модулем) создается «образ среды действия» (П.Я.Гальперин).

3. В рамках материализованных действий по решению учебной задачи конкретного вида, ее громкоречевого обобщения «образ действия и образ среды действия» воплощаются в логической структуре общего метода решения уравнений (неравенств) с параметрами данного вида.

4. Во внешнеречевой форме учебные действия логической структуры метода обобщаются, уточняется их операционный состав - формируется умственная форма полной ООД метода решения уравнения (неравенства) данного вида.

5. Последовательная реализация принципов организации учебной деятельности по III типу ориентировки в соответствии с теорией поэтапного формирования умственных действий П. Я. Гальперина, Н. Ф. Талызиной привела к созданию системы технологических модулей, обеспечивающих развитие учащихся через овладение ими общими методами решения уравнений и неравенств с параметрами каждого вида школьного курса алгебры.

I Области знакопостоянства

II =0

X Ч 1 = /г(а) т = /к(р)

Ма> = Ма)-/Ла){1< у)

I 14 д о,

II Промежуточные неравенства

ЪхС^.х) < о

А*:

7Ь4(а,х) <0 а.х) =0 гр. зн. пар-ра 1 т х = !\(а) т х = Л2(о) И

Ъ4(в,*) = о х = й3(а) /,(а) - Ау.(о)(» = 1,/с.у = 1,2) о = а, гр. зн. пар-ра

С,Ла) = Ма)-И Ла)

В,}(а) = 0 1

Вх2{а) + ск,{°) -

7"

С,,(«) = 0

Си (о) - ччччч^ччч^, ^

О/.Оу) /1 /2 их хе(Л2./2) а,, а А

4 ^ССС^чССССч-Хч*

1 /2 х е (/?3,+оо) А,-(а) -ЙДа) (/ < у./,у = 1, л)

В„(а) = 0 о, • оу )

12 +

Яц-1 л (а) —

III Объединение общих решений о,, а ,) А

1 /2 ¿1

1 /?2 /2 % г^С^-Мо)

Заключение

Анализ учебной, методической, справочной литературы, публикаций в периодической печати, направленных на исследование уравнений и неравенств с параметрами, позволяет установить основные причины, по которым рассматриваемый класс задач, обладающий большим потенциалом исследовательского, эвристического характера, остается вне знаний большинства учащихся, учителей:

1. Исследования, как правило, проводятся в рамках эмпирического типа мышления, не позволяющего выявлять закономерные связи понятий, способов классификации, методов решения. Метод восхождения от конкретного к абстрактному не мог привести и не привел к формированию общих методов решения задач данного класса.

2. В оценках ведущими учеными развивающего потенциала уравнений и неравенств с параметрами подчеркиваются исследовательский характер, опора на эвристику, использование глубоких математических фактов, однако не устанавливается тип мышления, в рамках которого осуществляется подлинное формирование всех отмеченных способностей.

3. В основе большей части публикаций заложено и остается весьма стойким неверное понимание сущности уравнений и неравенств с параметрами. В результате понятийная база «линии параметров» оказывается неразработанной, методы классификации частных уравнений и неравенств неопределенными, задача поиска общих методов решения практически не рассматривается.

4. Активно развиваемая вступительными испытаниями во многих университетах России традиция разработки задач с параметрами, вне понятийных способов классификации, привела к однобокому классу уравнений и неравенств, решение которых в отсутствие общих методов осуществляется в условиях действия только внешних мотивов, существенно снижая развивающий характер таких задач.

Даже в ограниченных условиях развития содержания и методов решения задачи с параметрами оцениваются как одно из важных и перспективных направлений дальнейшего совершенствования школьного математического образования. Система задач, поставленных в диссертационном исследовании, направлена на устранение указанных причин:

- восхождение от абстрактного к конкретному становится основным методом исследования;

- уравнения и неравенства с параметрами рассматриваются как учебные задачи -с позиции разработки общих методов решения;

- установленные методы решения уравнений и неравенств с параметрами реализуются в рамках теоретического мышления — по III типу учебной деятельности.

В ходе диссертационного исследования в соответствии с поставленными задачами получены следующие основные результаты, подтверждающие выдвинутую гипотезу.

1. Установлено, что рамки эмпирического типа мышления слишком узки для реализации развивающего потенциала задач с параметрами. Выбор теории развивающего обучения Д.Б.Эльконина и В.В.Давыдова в качестве методологической основы позволил, во-первых, развернуть системное исследование данного класса задач, во-вторых, организовать процесс обучения в полном соответствии с теорией поэтапного формирования умственных действий и, в-третьих, обеспечить преемственность развивающего обучения в каждом возрастном периоде школьного образования.

2. Опыт разработки учебных предметов подтверждает, что реализация теоретических принципов развивающего обучения в каждой учебной дисциплине не является простой процедурой. Поиск реальных оснований, моделирующих положения теории в исследуемом обширном классе задач, составляет главную трудность на пути ее реализации. В процессе развертывания теории развивающего обучения выделены следующие положения, имеющие в классе уравнений и неравенств с параметрами концептуальный характер: а) уравнение (неравенство) с параметром и переменной - уравнение (неравенство) с двумя переменными, способ решения которого является параметрическим, т.е. в виде бесконечной совокупности частных уравнений (неравенств); б) в рамках формальной целостности выделена генетически исходная содержательная абстракция, ее последовательное развертывание привело к системе понятий, характеризую щих конкретное; в результате восхождения от абстрактного к конкретному стало внутренним стержнем, на котором базируется исследование всего класса уравнений и неравенств с параметрами; в) отношения эквивалентности на множествах частных уравнений и неравенств, установленные теоретически и опосредованные конкретными предметными действиями, являются средством выделения всевозможных типов; г) в схемах учебных задач (общего вида <-» данного вида конкретного вида и учебно-практическая —> учебно-исследовательская —> учебно-теоретическая) вырабатываются общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами.

3. В процессе научно-методического анализа существующей справочной и методической литературы установлено, что эмпирический характер исследований, основанных на неверных представлениях о предмете исследования, усугубляется неразработанностью математического аппарата, интуитивным обоснованием способов рассуждений.

Методологические положения теории развивающего обучения реализуются исходя из фундаментальных математических понятий и методов, во взаимной связи и как естественное углубление системы понятий школьного курса математики:

- понятие уравнения с параметрами как уравнения с несколькими переменными, рассматриваемого в виде бесконечной совокупности частных уравнений, однозначно определяет место «линии параметров» на стыке уравнений и неравенств с одной переменной школьного курса математики и уравнений и неравенств с несколькими переменными вузовских математических курсов;

- понятие общего решения уравнения с параметрами, введенное в диссертации, становится «генетически исходной содержательной абстракцией» (В.В.Давыдов), последовательное развертывание которой приводит к понятиям типов, граничных значений параметров, областей однотипности;

- сугубо абстрактный характер понятий типов, граничных значений параметров опосредован доказательством теорем, позволяющих методом классификации уравнений и неравенств данного вида находить уравнения, из которых выделяются все граничные значения параметра;

- аналитические методы исследования уравнений и неравенств с параметрами дополняются функционально-графическими, обеспечивающими единство логического и наглядно-образного мышления;

- в целях формирования общих методов решения задач с параметрами, принимаемых учащимися как учебные, разработана система уравнений и неравенств с параметрами с наперед заданными критериями к составу планируемых учебных действий по их решению.

4. Методологические положения теории развивающего обучения, обоснованные разработанной в диссертации понятийной базой, в структуре учебных задач общего и данного вида определили взаимную связь понятий, последовательность учебных действий, составляющую мысленный план классификации частных уравнений и неравенств. Движение от абстрактного к конкретному, от общих принципов исследования уравнений и неравенств с параметрами к их частным проявлениям определяют построение учебной деятельности учащихся по третьему типу учения в классификации П.Я.Гальперина.

Учебная деятельность по усвоению учащимися методов решения уравнений и неравенств с параметрами организуется в соответствии с методологическими принципами обучения по третьему типу ООД:

- в коллективной деятельности учащихся с конкретными примерами уравнений и неравенств, сочетающей материализованные и громкоречевые действия различных уровней абстракции, формируются понятия уравнений и неравенств с параметрами, их стандартный вид - предметная область исследования с ее структурными компонентами;

- восхождением от абстрактного к конкретному выделяются «основные единицы предметной области» - система понятий уравнений и неравенств с параметрами, в знаковых, графических, табличных моделях, классификацией частных уравнений и неравенств устанавливаются «законы сочетания основных единиц»;

- построением общих методов решения произвольных уравнений и неравенств с параметрами осуществляется составление полной ООД внутреннего плана;

- в уравнениях и неравенствах данного вида конкретизацией общих методов решения свойствами соответствующих функций обеспечивается самостоятельное составление учащимися их полной ООД.

5. Как в учебных задачах общего вида, так и в каждой из учебных задач данного вида в полной мере реализуется механизм формирования умственных действий:

- выделение предметной области, ее основных понятий проводится в системе материализованных учебных действий, закономерно переходящих в специально организованную внешнеречевую деятельность;

- в громкой социализированной речи формируется как ее предметная форма, так и обобщенная, понятийная форма, причем по мере расширения спектра учебных задач понятий как форма громкой речи становится доминирующей;

- внутренний план учебной деятельности формируется в несколько этапов: на этапе принятия конкретного уравнения (неравенства) как учебной задачи, когда каждое учебное действие рассматривается с позиции общих закономерностей исследования; в процессе становления и развития понятийной формы громкой речи; при построении логической структуры общего метода решения и уточнении операционного состава учебных действий.

6. Разработанная содержательно-методическая линия уравнений и неравенств с параметрами направлена на формирование теоретического типа мышления -выстроена в логике восхождения от абстрактного к конкретному, с опорой только на существенные отношения данной предметной области, в единстве с функциональной линией, В теоретическом плане установленные методы решения уравнений и неравенств с параметрами являются ярким подтверждением методологических принципов теории развивающего обучения, определивших также и технологию учебной деятельности учащихся. Реализация же концептуальных положений III типа учения, теории поэтапного формирования умственных действий обеспечила не только усвоение учащимися методов решения задач с параметрами, но и их «самостоятельное открытие», формирование устойчивых внутренних мотивов учебной деятельности.

В то же время в процессе разработки линии уравнений и неравенств с параметрами как конкретной модели используемых теорий учебной деятельности установлен ряд теоретических моментов, имеющих во многом закономерный характер:

- выделение иерархии учебных задач общего, данного и конкретного вида объясняет механизм «самостоятельных открытий» учащихся в исследовании учебных задач данного вида: в проблемно-поисковой деятельности учащиеся устанавливают закономерности исследования учебной задачи общего вида, характерные особенности учебной задачи данного вида и затем -самостоятельно реализуют общие закономерности с учетом известной специфики учебной задачи данного вида; система понятий, логическая структура методов решения уравнений и неравенств с параметрами, принятие конкретных задач как учебные разрабатывались в процессе восхождения от абстрактного к конкретному, поэтому указанный метод является одним из основных средств выделения «основных единиц и знаков сочетания» III типа учения;

- поскольку во внутреннем плане формируются обобщенные способы деятельности, становящиеся предметом сознания, а начальным этапом является предметная деятельность, то реализуемый в диссертационном исследовании механизм обобщения является закономерностью технологии поэтапного формирования умственных действий.

7. Как показывает анализ разработанности «линии параметров» в существующей учебно-методической литературе включение уравнений и неравенств с параметрами в «Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике в девятых классах общеобразовательных школ России», проект «Стандарта среднего математического образования» является преждевременным - не существует учебников для учащихся, детально излагающих материал на уровне требований нормативных документов, нет учебных пособий для соответствующей подготовки учителей математики.

Разработанная в диссертационном исследовании технология обучения решению задач с параметрами, реализующая концептуальные положения теорий учебной деятельности, обеспечивает не только выполнение всеми учащимися государственных требований, но и формирование у них способов учебной деятельности, свойственных теоретическому типу мышления.

Список литературы диссертационного исследования доктор педагогических наук Горбачев, Василий Иванович, 2000 год

1. Айдарова Л. И. Формирование некоторых понятий грамматики по третьему типу ориентировки в слове.//Зависимость обучения от типа ориентировочной деятельности. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1968. - С. 42-81.

2. Алгебра и начала анализа в 9-10 классах. Пособие для учителя /Л. О. Деншдева, Ю. П. Дудницын, Б. М. Ивлев и др. М.: Просвещение, 1988. -272 с.

3. Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред, шк /Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Под ред. С. А. Теляковского. 2-е изд. - М.: Просвещение, 1992. -271 с.

4. Алимов Ш. А., Колягин Ю. М. и др. Алгебра и начала анализа: Учеб для 10—11 кл. сред. шк. 3-е изд. - М.: Просвещение, 1994. - 254 с.

5. Амелькин В. В., Рабцевич В. Л. Задачи с параметрами: Справ, пособие по математике. Мн.: «Асар», 1996. 464 с.

6. Бабанский Ю. К. Оптимизация процесса обучения. Общедидактический аспект. -М.: Педагогика, 1977. 251 с.

7. Барболин М. П. Методологические основы развивающего обучения. — М.: Высшая школа, 1991.-232 с.

8. Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. 2-е изд. - М.: Просвещение, 1992. - 351 с.

9. Башмаков М. И. Уравнения и неравенства. М.: Изд-во МГУ. 1970. - 158 с.

10. Беспалько В. П. Теория учебника. М.: Педагогика. 1988. -160 с.

11. Блонской П. П. Развитие мышления школьника. М. Учпедгиз, 1935. - 125 с.

12. Болтянский В. Г., Сидоров Ю. В., Шабунин М. И. Лекции и задачи по элементарной математике. М.: Наука, 1971. - 592 с.

13. Брунер Д. Психология познания /Перевод с английского. М.: Педагогика, 1977. -327 с.

14. Вавилов В. В., Мельников И. И., Олехник С. Н., Пасиченко П. И. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. М.: Наука, 1987. - 240 с.

15. Вавилов В. В., Мельников И. И., Олехник С. Н., Пасиченко П. И. Задачи по математике. Алгебра. М.: Наука, 1987. - 432 с.

16. Вересова Е. Е., Денисова Н. С., Полякова Т. Н. Практикум по решению математических задач. М.: Просвещение, 1979. - 240 с.

17. Виленкин H. Я. О некоторых аспектах преподавания математики в младшем классе //Математика в школе. 1965. - №1. - С. 20-29.

18. Виленкин Н. Я. Современные основы школьного курса математики. М.: Просвещение, 1980. - 240 с.

19. Виленкин Н. Я., Ивашев- Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 1995. - 288 с.

20. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 1992. - 335 с.

21. Возрастные возможности усвоения знаний //Под ред. Д. Б. Эльконина и В. В. Давыдова. М.: Просвещение, 1966. -442 с.

22. Волович М. Б. Наука обучать /Технология преподавания математики. М.: LINKA-PRESS, 1995. - 280 с.

23. Волович Н. Б. Теория Гальперина как теоретическая основа преподавания математики //Теория и практика преподавания математики и информатики. -Иркутск, 2000. Вып. 1. С. 17-32.

24. Володарская И. А. Формирование обобщенных приемов геометрического мышления /Формирование приемов математического мышления /Под ред. Н. Ф. Талызиной. М.: Изд-во «Вентана-Граф», 1995. - С. 156-202.

25. Выготский JI. С. Педагогическая психология. М.: Педагогика, 1981. - 486 с.

26. Выготский JL С. Собрание сочинений. В 6-ти Т. томах /Гл. ред. А. В. Запорожец. -T. 1.-М.: Педагогика, 1982. 487 с.

27. Выготский JI. С. Собрание сочинений. В 6-ти Т. томах /Гл. ред. А. В. Запорожец. -T. 2.-М.: Педагогика, 1982. 504 с.

28. Выготский JL С. Собрание сочинений. В 6-ти Т. /Гл. ред. А. В. Запорожец. Т. 4. -М.: Педагогика, 1982. - 432 с.

29. Галицкий М. А. и др. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа: Метод, рекомендации и дидакт. материалы: Пособие для учителя. — М.: Просвещение, 1968. 352 с.

30. Гальперин П. Я. О методе поэтапного формирования умственных действий. Вопросы психологии. . 1969. - № 1. - С. 79-94.

31. Гальперин П. Я. Поэтапное формирование как метод психологического исследования //Теории учения: Хрестоматия. Часть 1. Отечественные теории учения /Под ред. Н. Ф. Талызиной, И. А. Володарской. М.: 1966. - С. 77-88.

32. Гальперин П. Я. Типы ориентировки и типы формирования действий и понятий. //Доклады АПН РСФСР .-1958. № 2. - С. 132-147

33. Гальперин П. Я., Кабыльницкая С. Л. Экспериментальное формирование внимания. М.: Изд-во МГУ, 1974. - 101 с.

34. Гальперин П. Я., Пантина Н. С. Зависимость двигательного навыка от типа ориентировки в задании //Доклады АПН РСФСР. 1957. - № 2. - С. 47-61.• 39. Танеев X. Ж. Теоретические основы развивающего обучения математике

35. Уральский госпедуниверситет. Екатеринбург, 1997. - 160 с.

36. Гнеденко Б. В. Математика и математическое образование в современном мире. -М.: Просвещение, 1985. 123 с.

37. Гнеденко Б. В. Мнение кафедры теории вероятностей МГУ имени М. В. Ломоносова об учебниках для средней школы по математике //Математика в школе,- 1978. №5 - С. 25-27.

38. Говоров В. М. и др. Сборник для поступающих в вузы. М.: Наука, 1986. - 384 с.

39. Голубев В. И. Абсолютная величина числа в конкурсных экзаменах по математике //Квантор. 1991. - № 8. - 96 с.

40. Голубев В. И., Гольдман А. М., Дорофеев Г. В. О параметрах с самого начала. //Репититор. - 1991. -№ 2. - С. 3-13.

41. Горбачев В. И. и др. Задания к вступительному экзамену по математике в БГПИ. -Брянск. Изд-во БГПУ, 1995. 72 (в соавторстве)

42. Горбачев В. И. Методические рекомендации для студентов-заочников 3 курса по ПРМЗ (практикум по алгебре). Брянск: Изд-во БГПИ, 1987. - 30 с.

43. Горбачев В. И. Методические рекомендации по алгебре и теории чисел для студентов-заочников 3 курса физико-математического факультета. Брянск.: Изд-во БГПУ, 1988. - 51 с.

44. Горбачев В. И. Методы решения уравнений и неравенств с параметрами: Пособие для учителя. Брянск: Изд-во БГПУ, 1999. - 116 с.

45. Горбачев В. И. Модель развивающего обучения в курсе алгебры средней школы. -Брянск: Изд-во БГПУ, 2000. 266 с.

46. Горбачев В. И. О подготовке учителей математики инновационных учебных заведений //Школьное математическое образование на пороге XXI века: Тезисы докладов международной научно—практической конференции. Самара. Изд-во СИПКРО, 1999. - С. 179-180.

47. Горбачев В. И. Общие методы решения уравнений и неравенств не выше второй степени //Математика в школе. 2000. - № 1. - С. 58-64.

48. Горбачев В. И. Общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами //Математика в школе. 1999. - № 6. - С. 60-68.

49. Горбачев В. И. Развивающее обучение и задачи с параметрами //XVI Всероссийский семинар преподавателей математики и методики ее преподавания университетов и педагогических вузов России: Тезисы докладов. Новгород, 1997. - С. 77.

50. Горбачев В. И. Учебные задачи в уравнениях с параметрами /Теория и практика преподавания математики и информатики. Вып. 1. Иркутск, 2000. С. 131-146.

51. Горбачев В. И. Факультативный курс углубленного изучения математики. Программа. Брянск: Изд-во БГПУ, 2000. 12 с.

52. Горбачев В. И. Факультативный курс углубленного изучения математики. Часть 1. Базовые понятия, общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами. Брянск: Изд-во БГПУ, 2000. 52 с.

53. Горбачев В. И. Факультативный курс углубленного изучения математики. Часть 2. Алгебраические уравнения и неравенства с параметрами. Брянск: Изд-во БГПУ, 2000. 54 с.

54. Горбачев В. И. Факультативный курс углубленного изучения математики. Часть 3. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства с параметрами. Брянск: Изд-во БГПУ, 2000. 48 с.

55. Горбачев В. И. Факультативный курс углубленного изучения математики. Часть 4. Уравнения и неравенства с параметрами и переменной под знаком модуля. Брянск: Изд-во БГПУ, 2000. 46 с.

56. Горбачев В. И. Элементы теории и общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами //XV Всероссийский семинар преподавателей математики педвузов, посвященный 200-летию РГПУ им. А. И. Герцена: Тезисы докладов. С.-Пб., 1996. - С. 27-28.

57. Горбачев В. И. Элементы теории и общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами. Брянск: Изд-во БГПУ, 1998. - 264 с.

58. Горбачев В. И., Иноземцева Т. М. Задачи для самостоятельного решения. Методические рекомендации для студентов-заочников 1 курса физико-математического факультета. Часть 2 Брянск: Изд-во БГПУ, 1991. - 30 с.

59. Горбачев В. И., Иноземцева Т. М. Методы решения математических задач. Методические рекомендации для студентов-заочников 1 курса физико-математического факультета. Часть 1- Брянск. : Изд-во БГПУ, 1991. -66 с.

60. Горбачев В. И., Маницкая Н. А. Логические структуры решения неравенств с параметрами //Проблемы теории и методики преподавания математики, физики и информатики: Тезисы докладов международной конференции. Минск, 1998. - С. 168-170.

61. Горнштейн П. И. Тригонометрия помогает алгебре //Квант,-1989.-№ 5. С. 68-70.

62. Горнштейн П. И., Полонский В. Б., Якир М. С. Задачи с параметрами. Москва-Харьков, "Гимназия". 1998.-326 с.

63. Горнштейн П. И., Полонский В. Б., Якир Н. С. Необходимые условия в задачах с параметрами //Квант. -1991. -№11. С. 44-49.

64. Гусев В. А., Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г. Практикум по решению математических задач: Геометрия: Учеб. пособие для физ.-мат. спец. пед. ин—тов.- М.: Просвещение, 1985. 223 с.

65. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: справочные материалы: Книга для учащихся. М.: Просвещение, 1990. - 416 с.

66. Давыдов В. В. Виды обобщения в обучении. М.: Педагогика, 1972. - 423 с.

67. Давыдов В. В. и др. 1 класс: Учебник-тетрадь для первоклассников. М.: МИРОС. 1995. - 224 с.

68. Давыдов В. В. и др. 2 класс трехлетней начальной школы: Учебник-тетрадь. М.: МИРОС, 1995. - 256 с.

69. Давыдов В. В. и др. 3 класс трехлетней начальной школы: Учебник-тетрадь. М.: МИРОС, 1995. -236 с.

70. Давыдов В. В. Проблемы развивающего обучения: Опыт теоретического и экспериментального психологического исследования.-М.: Педагогика, 1986. 240 с.

71. Давыдов В. В. Теория развивающего обучения. М.: Интор, 1996. - 544 с.

72. Давыдов В. В. Учебная деятельность: состояние и проблемы исследования //Вопросы психологии. 1991. -№ 6. - С. 3-15.

73. Далингер В. А. Геометрия помогает алгебре. Математика в школе. - 1996. - № 4.- С. 29-34.

74. Джиоев Н. Д. Нахождение графическим способом числа решений уравнений с параметром //Математика в школе. 1996. - № 2. - С. 54-57.

75. Дорофеев Г. В. Гуманитарно-ориентированный курс основа учебного предмете «Математика» в общеобразовательной школе //Математика в школе. - 1997. - № 4.- С. 59-66.

76. Дорофеев Г. В. Как расположены корни трехчленов? //Квант. 1991. - № 7.- С. 45-49.

77. Дорофеев Г. В. Квадратный трехчлен в задачах //Квантор. 1991. - № 2. - 103 с.

78. Дорофеев Г. В. О задачах с параметрами, предлагаемых на вступительных экзаменах в вузы //Математика в школе. 1983,-№4.-С. 36-40.

79. Дорофеев Г. В. О принципах отбора содержания школьного математического образования //Математика в школе. 1990. - № 6. С. 2-12.

80. Дорофеев Г. В. Понятие функции в математике и в школе //Математика в школе.- 1978. -№ 2. С. 10-27.

81. Дорофеев Г. В. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными //Квант. 1973. - № 9. - С. 63-67.

82. Дорофеев Г. В., Затакавай В. В. Решение задач, содержащих параметры. М.: Научн.-пед. об-ние «Перспектива», 1990. - Ч. 2. - 38 с.

83. Дорофеев Г. В., Потапов М. К., Розов Н. X. Пособие по математике для поступающих в вузы. М.: Наука, 1976. - 640 с.

84. Дудницын Ю. П., Смирнова В. К. Содержание и анализ письменных работ по алгебре и началам анализа: Пособие для учителя. 2-е изд., дораб. - М.: Просвещение, 1977. - 144 с.

85. Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А. и др. Сборник задач по математике для поступающих во втузы. Под ред. М. И. Сканави.-Мн. : Выш. шк., 1990. 528 с.

86. Епишева О. Б., Крупич В. И. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учебной деятельности: Кн. для учителя. М. Просвещение, 1980. - 128 с.

87. Жаржевский А. Я., Фельдман Я. С. Математика. Решение задач с параметрами. -С,- Пб.: Изд-во «Агентство ИГРЕК», 1995. -74 с.

88. Запорожец А. В. Психология. М.: Просвещение, 1965. - 240 с.

89. Звавич Л. И. , Аверьянов Д. И., Трушанина Т. Н., Пигарев Б. П. Материалы «Сборника заданий для проведения письменного экзамена по математике вдевятых классах общеобразовательных школ России» //Математика в школе. -1993. -№ 5.-С. 27-46.

90. Ильин В. С. Педагогические основы комплексного подхода к учебному процессу. Волгоград: ВГПИ, 1979. - 168 с.

91. Илюшкин В. А. Как решать задачи с параметрами на конкурсных экзаменах по математике. М.: Пифагор, 1994. - Вып. 6. - 54 с.

92. Ительсон JI. Б. Проблемы современной психологии учения. Вып. 2. Учебная деятельность, ее источники, структура и условия. М.: Знание, 1969. - 60 с.

93. Кабанова-Меллер Е. Н. Учебная деятельность и развивающее обучение. М. Знание, 1981.-96 с.

94. Кабанова-Меллер Е. Н. Учебная деятельность и развивающее обучение. М.: Знание, 1981. -95 с.

95. Кабанова-Меллер Е. Н. Формирование приемов умственной деятельности и умственное развитие учащихся. М.: Просвещение, 1968. - 288 с.

96. Калмыкова 3. И Психологические принципы развивающего обучения. М.: Знание, 1979. - 47 с.

97. Калошина И. П. Формирование технического мышления //Управление познавательной деятельностью учащихся /Под ред. П. Я. Гальперина, Н. Ф. Талызиной. М. Изд-во МГУ, 1972. - С. 11-83.

98. Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: Учеб. пособие для 10 11 классов с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 1999.-176 с.

99. Качарова К. С. Об уравнениях с параметром и модулем //Математика в школе. -1995.-№2.- С. 2-4.

100. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 1- М.-Л.: 1933.-431 с.

101. Кожухов С. К. Различные способы решения задач с параметрами //Математика в школе. 1998. - № 6. - С. 9-12.

102. Колмогоров А. Н. Алгебра и начала анализа. Учеб. для 10-11 кл. сред, шк.- М.: Просвещение, 1990. 320 с.

103. Колмогоров А. Н. Что такое функция /Математика в школе. 1978. - № 2.- С. 27-30.

104. Колягин Ю. М. Задачи в обучении математике. М.: Просвещение, 1977. - 144 с.

105. Колягин Ю. М. Задачи в обучении математике. Ч. I. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся. М.: Просвещение, 1977. - 110 с.

106. Колягин Ю. М. Задачи в обучении математике. Ч. И. Обучение математике через задачи и обучение решению задач. М.: Просвещение, 1977. - 144 с.

107. Колягин Ю. М., Луканкин Г. Л. И др. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. институтов. -М.: Просвещение, 1997. 480 с.

108. Колягин Ю. М., Луканкин Г. Л. Основные понятия школьного курса математики /Под ред. А. И. Маркушевича. М.: Просвещение, 1974. - 382 с.

109. Кормихин А. А. Об уравнениях с параметрами //Математика в школе. 1994. -№ 1. - С. 33-35.

110. Костюк Г. С. Обучение и развитие младших школьников. Киев, 1970. - 407 с.

111. Краевский В. В. Проблемы научного обоснования обучения. М. Педагогика, 1977.-311 с.

112. Краевский В. В. Состав, функции и структура научного обоснования обучения. -М.: Просвещение, 1975. 70 с.

113. Крупич В. И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач. М.: Прометей, 1995. - 165 с.

114. Крутецкий В. А. Психология математических способностей школьников. М.: Изд—во «Институт практической психологии», 1998. - 416 с.

115. Кудрявцев Л. Д. Мысли о современной математике и ее изучении. М.: Наука, 1977. - 108 с.

116. Кудряецев Л. Д. Современная математика и ее преподавание. М.: Наука, 1985. - 170 с.

117. Кузнецова Л. В., Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Суворова С. Б. О методических аспектах и теоретико-множественном подходе к понятию функции /Математика в школе. 1979. - № 2. - С. 3-27.

118. Кухарчик П. Д., Федосенко В. С., Азаров А. И. Как успешно сдать экзамены в вуз. Методы решения задач с параметрами. Мн.: Изд-во БГПУ, 1992. - 230 с.

119. Леонтьев А. Н. Деятельность. Сознание. Личность. Изд. 2-е. М.: Политиздат. 1971.-304 с.

120. Леонтьев А. Н. Избранные психологические произведения: В 2-х т /Под ред В. В. Давыдова и др. М.: Педагогика, 1983. - 318 с.

121. Леонтьев А. Н. Проблемы развития психики. М.: Изд-во МГУ, 1981. - 584 с.

122. Лернер И. Я. Дидактические основы методов обучения. М.: Педагогика, 1981.- 185 с.

123. Лернер И. Я. О соотношении общедидактических и частнопредметных методов обучения //Новые исследования в педагогических науках. 1978. - №2 (32). -С. 17-19.

124. Лернер И. Я. Процесс обучения и его закономерности. М.: Педагогика, 1978.- 174 с.

125. Лидский В. Б. И др. Задачи по элементарной математике. М.: Гос. изд-во физ мат. лит-ры, 1962. -463 с.

126. Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г. Практикум по элементарной математике: Алгебра. Тригонометрия: Учебное пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. институтов. -М.: Просвещение, 1991. -352 с.

127. Локоть В. В. Задачи с параметрами в курсе 8-9-х классов с углубленным изучением математики. Мурманск, 1996. - 172 с.

128. Ломов Б. Ф. О системном подходе в исследовании проблемы «коллектив и личность». -М.: Педагогика, 1977. -261 с.

129. Лурия А. Р. Ум мнемониста //Хрестоматия по общей психологии. Психология мышления. -М.: Педагогика, 1981. С. 108-112.

130. Лурия А. Р. Язык и сознание. М.: Изд-во МГУ, 1979. - 319 с.

131. Макарычев Ю. Н. И др. Алгебра. Учеб. для 7 класса общеобразовательных учреждений. СПб.: Свет, 1997. - 240 с.

132. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. Алгебра: Доп. главы к шк. учеб. 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики /Под ред. Г. В. Дорофеева. 2-е изд. - М.: Просвещение, 1998. - 207 с.

133. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. Алгебра: Доп. главы к шк. учеб. 9 кл. Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики /Под ред. Г. В. Дорофеева. М.: Просвещение, 1997. - 224 с.

134. Максимов Л. К. Зависимость развития математического мышления от характера обучения //Вопросы психологии. 1979. - №2. - С. 57-65.

135. Марков В. К. Метод координат и задачи с параметрами. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1970. - 146 с.

136. Маркова А. К., Матис Т. А., Орлов А. Б. Формирование мотивацииучения /Книга для учителя. — М.: Просвещение, 1990. 192 с.

137. Маркушевич А. И. Деление с остатком в арифметике и алгебре. Пособие для учителей математики средней школы и студентов педагогических вузов. М.-Л.: Изд-во Акад. пед. наук, 1949. - 212 с.

138. Маркушевич А. И. Об очередных задачах преподавания математики в школе //На путях обновления школьного курса математики. М. Просвещение. - С.3-27.

139. Менчинская Н. А. Проблемы обучения, воспитания и психического развития ребенка /Под ред. Е. Д. Божович. М.: Издательство «Институт практической психологии», 1998. - 448 с.

140. Менчинская Н. А. Проблемы учения и умственного развития школьника. М.:1. Педагогика, 1989. 256 с.

141. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб.1.пособие для студентов пед. институтов по физ.-мат. спец. /А. Я. Блох, В. А. Гусев,

142. Г. В. Дорофеев и др. Сост. В. И. Мишин. М.: Просвещение, 1987. - 416 с.

143. Мещерякова Г. П. Фушащонально-графический метод решения задач с параметрами //Математика в школе. 1999. - № 6. С. 69-71.

144. Микулинская М. Я. Формирование обобщенных пунктуационных навыков //Управление познавательной деятельностью учащихся /Под ред. П. Я.

145. Гальперина, Н. Ф. Талызиной. М.: Изд-во МГУ. 1972. - С. 134-163.

146. Минасян А. М. Диалектика как Логика: Учебник. Ростов нД.: РИСИ. - 536 с.

147. Моденов П. С. Сборник задач по математике с анализом их решений. М.: Сов. наука, 1959. - 480 с.

148. Моденов П. С., Новоселов С. И. Пособие по математике для поступающих в вузы. М.: Изд-во МГУ, 1961. - 406 с.

149. Мордкович А. Г. Алгебра -7: Методическое пособие для учителей. М.: Мнемозина, 1997. - 61 с.

150. Мордкович А. Г. Алгебра. 8 кл. Учеб. для общеобразовательных учреждений. -М.: Мнемозина, 1998. 237 с.

151. Мордкович А. Г. Алгебра. 8 кл.: Методическое пособие для учителя. М.: Мнемозина, 1998. - 80 с.

152. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 кл. Учеб. для общеобразовательных учреждений. -М.: Мнемозина, 1999. 191 с.

153. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 кл.: Методическое пособие для учителя. М. Мнемозина, 1999. - 78 с.

154. Мордкович А. Г. Алгебра. Учеб. для 7 кл. общеобразовательных школ. М.: Мнемозина, 1997. - 160 с.

155. Мордкович А. Г. Новая концепция школьного курса алгебры //Математика в школе. 1996. - № 6. - С. 28-33.

156. Мордкович А. Г. О профессионально-педагогической направленности математической подготовки будущих учителей //Математика в школе.-1984.- № 6. -С.42-45.

157. Мордкович А. г. Уравнения и неравенства с параметрами (часть вторая) //Математика. Еженедельное приложение к газете «Первое сентября». 1994. -№ 36. - С. 2-3.

158. Мордкович А. Г. Уравнения и неравенства с параметрами (часть первая) //Математика. Еженедельные приложения к газете "Первое сентября". 1994. -№ 34. - С.2-3.

159. Мордкович А. Г. Уравнения и неравенства с параметрами (часть третья) //Математика. Еженедельное приложение к газете «Первое сентября». 1994. -№ 38. - С. 2-4.

160. Мордкович А. Г., Тульчинская Е. Е. Алгебра. 7 кл.: Задачник дл общеобразовательных учреждений. М.: Мнемозина, 1998. - 144 с.

161. Мордкович А. Г., Тульчинская Е. Е., Мишустина Т. Н. Алгебра. 8 кл. Задачник для общеобразовательных учреждений. М.: Мнемозина, 1998. - 247 с.

162. Мордкович А. Г., Тульчинская Е. Е., Мишустина Т. Н. Алгебра. 9 кл. Задачник для общеобразовательных учреждений. М.: Мнемозина, 1999. - 144 с.

163. Мочалов В. В., Сильвестров В. В. Уравнения и неравенства с параметрами. -Чебоксары. Изд-во Чувашского ун-ва, 1974. 44 с.

164. Никола Г., Талызина Н. Ф. Формирование общих приемов арифметических задач //Формирование приемов математического мышления /Под ред. Н. Ф. Талызиной. М.: Изд-во «Вентана-Граф», 1995. - С. 68-119.

165. Никонова Е. Ю. Внимание параметр. - Самара: Изд-во Самарского ИПКРО, 1998. - 148 с.

166. Новоселов С. Н. Специальный курс элементарной алгебры. М.: Высшая школа, 1965.-552 с.

167. Педагогика школы. Учебное пособие для студентов педагогических институтов /Под ред. Г. И. Щукиной. М.: Просвещение, 1976. - 382 с.

168. Педагогика: Курс лекций /Под ред. Г. И. Щукиной. М.: Просвещение, 1966. -378 с.

169. Пиаже Ж. Структура математические и операторные структуры мышления //Преподавание математики: Перевод с французского. М.: 1960. - С. 7—31.

170. Постников А. Г. Культура занятий математикой. М.: Знание, 1975. - 64 с.

171. Потапов М. К., Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В. Математика. Методы решения задач. Для поступающих в вузы: Учеб. пособие. М.: Дрофа, 1995. — 336 с.

172. Потапов М. К., Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В. Уравнения и неравенства с параметрами. М.: Изд-во МГУ, 1992. -16 с.

173. Программы развивающего обучения (Система Д. Б. Эльконина В. В. Давыдова. 1-5 класс). - М.: Просвещение, 1992. - 50 с.

174. Психология развивающейся личности /Под ред. А. В. Петровского. М.: Педагогика, 1989. - 240 с.

175. Пятьсот четырнадцать задач с параметрами /Под ред. Тынянкина С. А. -Волгоград: В. П., 1991. 160 с.

176. Репкин В. В. О понятии учебной деятельности //Вестник Харьковского университета. Психология. 1976. - Вып. 9.-№ 138. - С. 73-86.

177. Репкин В. В. Формирование учебной деятельности в младшем школьном возрасте //Вестник Харьковского университета. 1978. - № 171. - С. 76-82.

178. Родионов Е. М. Решение задач с параметрами: Пособие для поступающих в вузы. М.: МП «Русъ-90», 1995.- 160 с.

179. Розов H. X. Вечные вопросы о школьном курсе математики. Чему учить? Как преподавать? //Математика в школе. 1999. - № 6. - С. 34-40.

180. Рубинштейн С. Л. Бытие и сознание. М.: Изд-во АН СССР, 1957. 328 с.

181. Рубинштейн С. Л. О мышлении и путях его исследования. -М.: Изд-во АН СССР, 1958. 147 с.

182. Саранцев Г. И., Демидов В. П. Методика преподавания математики. Учебное пособие для студентов. Саранск: Мордовский ун-т, 1976. - 190 с.

183. Селевко Т. К. Современные образовательные технологии: Учебное пособие. -М.: Народное образование, 1998. -256 с.

184. Стандарт среднего математического образования //Математика в школе. 1993. - № 4. - С. 10-23.

185. Столяр А. А. Педагогика математики.: Курс лекций. Минск: Вышейшая школа, 1974. - 382 с.

186. Талызина Н. Ф. Педагогическая психология: Учеб. пособие для студ. сред. пед. учеб. заведений. М.: Издательский центр «Академия». 1988. -288 с.

187. Талызина Н. Ф. Теория поэтапного формирования умственных действий //Теории учения: Хрестоматия. Часть 1. Отечественные теории учения /под ред. Н. Ф. Талызиной, И. А. Володарской. М.: 1966. - С. 98-136.

188. Талызина Н. Ф. Управление процессом усвоения знаний. М.: Изд-во МГУ, 1984. - 167 с.

189. Теоретические основы содержания общего среднего образования /Под редакцией В. В. Краевского и И. Я. Лернера. М.: Педагогика. - 352 с.

190. Уткин В. И., Уткина Т. Г. Учебно-методическое руководство по решению уравнений и неравенств с параметрами. Тольятти: ТФ СГПУ, 1997. - 78 с.

191. Фрейденталь Р. Ф. Математика как педагогическая задача. Т.2. М.: Просвещение, 1983. - 191 с.

192. Фридман Л. М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. М.: Педагогика, 1977. - 207 с.

193. Фридман Л. М. Методы формирования ориентировочной основы умственных действий по решению задач //Вопросы психологии. 1975.- № 4. - С. 51-61.

194. Фридман Л. М. Теоретические основы методики обучения математике: Пособие для учителей, методистов и педагогических высших учебных заведений. М.: Московский психолого-социальный институт: Флинта, 1998. - 224 с.

195. Фридман Л. М., Волков К. Н. Психологическая наука учителю. - М.: Просвещение, 1985. - 224 с.

196. Хинчин А. Я. Основные понятия математики и математические определения в средней школе. М.: Учпедгиз, 1940. - 52 с.

197. Цыпкин А. Г., Пинский А. И. Справочник по методам решения задач по математике для средней школы. М.: Наука, 1989. 576 с.

198. Чаплыгин В. Ф. Анализ и задачи с параметрами //Математика в школе. 1999. -№ 6. - С. 72-74.

199. Чучаев И. И., Мещерякова С. И. Уравнения и неравенства с параметром на экстремум //Математика в школе. 1994. - № 4. - С. 56-59.

200. Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для 10 класса. М.: Просвещение, 1989. - 252 с.

201. Шарыгин И. Ф., Голубев В. Н. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для 11 класса. М.: Просвещение, 1991. - 384 с.

202. Шестаков С. А., Юрченко Е. В. Уравнения с параметром. М.: Слог, 1993,- 78 с.

203. Шимина А. Н. Логико—гносеологические основы процесса формирования понятий в обучении: Пособие к спецкурсу для студентов педагогических институтов. М., 1981. - 75 с.

204. Щукина Г. И. Активизация познавательной деятельности учащихся в учебном процессе. М. Просвещение, 1979. - 160 с.

205. Эльконин Д. Б. Избранные психологические труды /Под ред. В. В. Давыдова, В. П. Зинченко. М.: Педагогика, 1989. - 554 с.

206. Эльконин Д. Б. Психологические условия развивающего обучения //Обучение и развитие младших школьников. М. Просвещение, 1970. - 114 с.

207. Эльконин Д. Б. Психология обучения младшего школьника. М.: Знание, 1974. -64 с.

208. Эсаулов А. Ф. Психология решения задач. М.: Высшая школа, 1972. - 216 с.

209. Якиманская И. С. Развивающее обучение. М.: Педагогика, 1979. - 144 с.

210. Якиманская И. С. Развитие пространственного мышления школьников. М. Педагогика, 1980. - 240 с.

211. Ястребинецкий Г. А. Уравнения и неравенства, содержащие параметры. М.: Просвещение, 1972. - 128 с.