Метод возмущений в одном классе плоских упругопластических задач с включениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Русина Елена Юрьевна

• Русина Елена Юрьевна
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Русина Елена Юрьевна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ

1.1. Определяющие соотношения при

моделировании упругопластических тел

1.2. Определяющие соотношения при

моделировании идеально пластических тел

1.3. Плосконапряженное состояние

1.4. Алгоритм для определения решения упругопластической

задачи

1.5. Обсуждение результатов

ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ

С УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИМ ВКЛЮЧЕНИЕМ

2.1. Решение задачи об определении упругопластических границ

в тонкой упругопластической конструкции с включением

2.2. Примеры тестовых расчетов по решению упругопластической задачи с упругопластическим включением

2.3. Обсуждение полученных результатов

ГЛАВА 3. РЕШЕНИЕ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

С УПРУГИМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ

3.1. Определение напряжений и деформаций в тонкой упругопластической пластине с упругим включением-кольцом

3.2. Примеры тестовых расчетов упругопластической задачи

с упругим включением

3.3. Решение упругопластической задачи в пластине,

содержащей включение в виде шайбы

3.4. Примеры тестовых расчетов упругопластической задачи

с упругим включением в виде шайбы

3.5. Обсуждение результатов

ЗАКЛЮЧЕНИЕ............................................................................. S3

Литература................................................................................... S4

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод возмущений в одном классе плоских упругопластических задач с включениями»

ВВЕДЕНИЕ

На текущем этапе развития науки и техники часто требуется создать прочную и легкую конструкцию, содержащую несколько элементов. При решении подобной задачи, естественно, возникает необходимость в определении полей напряжений и перемещений в них. Так при расчете конструкций с предварительным возникновением деформаций на границе деталей, соединенных методом запрессовки, особую важность получает наличие математической модели, учитывающей такой эффект. При ее построении возникает сложность типичная для задач, в которых необходимо найти как упругое, так и пластическое НДС (напряженно деформированное состояние). Эта сложность связана с тем, что заранее, до получения данных о напряжениях и деформациях во всех областях конструкции, нет возможности определить границу раздела между областями, в которых происходит пластическое и упругое деформирование. Подобному вопросу было посвящено большое количество публикаций, где задачи о деформировании составной конструкции решались в рамках плоской деформации. Это работы А.Н. Гузя и Ю.Н. Немиша [37], А.В. Ковалева [75-82], А. Н. Спорыхина, А. Н. Гузя, М. Т. Алимжанова [1, 2, 38, 126-130], Т. Д. Семыкиной [128] , А.Н. Спорыхина и А.И. Сумина [137].

Данная диссертационная работа развивает метод возмущений в одном классе плоских упругопластических задач с включениями для случая плосконапряженного состояния. В эпоху бурного развития электронно-вычислительной техники, когда даже микроконтроллер позволяет производить миллионы операций в секунду, приближенно-аналитические методы не потеряли свою актуальность. Одним из мощнейших и одновременно с этим простых приближенно-аналитических методов, конечно же, выступает метод возмущений или его модификация в виде метода малого параметра, который обосновывали в своих работах Д.Д. Ивлев [63], Б.Д. Анин и Г.П. Черепанов [7], М. Ван-Дайк [24], А.Н. Гузь и Ю.Н. Немиш [37], Я.Ф. Каюк [73], Д. Коул [85], В.А. Ломакин [92], А. Найфэ [103], И.В. Свир-ский [126], А.Н. Спорыхин [136], А.Н. Спорыхин и А.Н. Сумин [137] и др.

Метод малого параметра позволяет учитывать различные факторы в теории пластичности. Так в работах [68, 83, 89, 140, 171] проведение процесса линеаризации уравнений позволило учесть нелинейность при описании отверстий. Учет неоднородности и анизотропии при описании пластических свойств материала проведен в работах [3, 40-43, 64, 99, 141-143, 160, 166-170]. Напротив, в работах [39, 106, 108, 127, 128] параметр возмущения вводится с учетом характеристик геометрии тела.

Основной вопрос для метода возмущений состоит в том, чтобы найти приближенное решение относительно результата задачи, который можно считать точным, так как он является решением более простой базовой задачи. Как заметил Ван-Дайк [24], с помощью небольшого количества разложений (два-три) можно получить значительную информацию по поведению рассматриваемого объекта. Практически ценные определяющие решение задачи, при применении метода малого параметра, это второе-третье приближения. Д.Д. Ивлевым, с целью оценки сходимости приближения метода были проведены следующие исследования. Было выбрано две задачи, точные решения которых известны, а именно это решения задач о растяжении пластин с отверстием круговой формы. Первым примером выступила задача Л.А. Галина [34], которая сформулирована в рамках плоской деформации, другая - Г. П. Черепанова [150] для плосконапряженного состояния. Д.Д. Ивлев [63] привел разложение точного решения и сравнил с решением, полученным методом возмущений. Как оказалось, четыре приближения, которые получил Ивлев, в точности совпадают с точным решением. Как показали Ивлев и Ершов, для решения задачи Галина достаточно использовать два приближения, при этом достаточная точность решения для задачи Черепанова достигается при наличии четырех приближений [63].

Возможно применение нескольких алгоритмов построения приближений метода возмущений при решении упругопластических задач.

Можно выделить решения для плоских и пространственных задач, которые учитывают несколько ситуаций развития пластических зон. В первом случае пластические зоны распространяются и полностью охватывают некую исходную гра-

ницу [3, 4, 6, 26, 29, 33, 63, 89, 97, 98, 128, 146]. Наиболее полно такая ситуации исследуется в публикации Д.Д. Ивлева и Л.В. Ершова [63]. Во втором случае границы имеют локальный характер и не полностью охватывают заданную область -решения получены в работах [21-23], выполненных Г. И. Быковцевым и Ю. Д. Цветковым. В частности, были решены две задачи с неполным охватом пластической зоной заданного контура (задача «о пластине, ослабленной отверстием в одноосном и двухосном случаях» [23] и «об определении упругопластической границы при кручении стержня эллиптического сечения» [21, 148]). В русле данной темы, то есть для задач с неполным охватом границы, разделяющей зоны упругого и пластического поведения материала, Б.Г. Зебрикову удалось построить схему, которая описывает процесс распространения в нагруженной эллиптической трубе пластических деформаций [55].

Еще одним классическим подходом можно назвать схему решения, которую ввели Б. Д. Аннин и Г. П. Черепанов [7], при которой определяющие характеристики материала в упругой зоне находятся методами ТФКП (теория функций комплексной переменной). Важным следствием работ Б. Д. Аннина и Г. П. Черепанова стала демонстрация идентичности получаемых результатов решения задачи о пластине с эллиптическим отверстием, как в случае применения методов ТФКП, так и в случае применения схемы Ивлева - Ершова.

Анализ работ, посвященных рассматриваемому методу, показывает гибкость физического смысла параметра возмущения, в том числе и в теории пластичности. По физическому смыслу используемых ими вариантов введения параметра можно ранжировать работы следующих авторов:

1. А. А. Ильюшина [65], задача о чистом изгибе балки, где малый параметр -величина, обратная модулю объемного сжатия (в работе определены за пределом упругости нормальные и касательные напряжения);

2. Л.М. Качанова [71, 72], задачи о кручении стержней, имеющих переменный радиус, здесь малый параметр представляет собой величину, связанную с геометрией контуров конструкций;

3. Д.Д. Ивлева и Л.В. Ершова [63], задачи о деформировании толстых плит, где малый параметр - возмущение граничных условий. В рамках этой схемы Б. А. Друянов [40-41] решил задачу о пластическом деформировании материала с учетом свойств его неоднородности. Метод малого параметра помог найти решение упругой задачи с учетом нелинейности её описания в работе [70]. Малый параметр применяется не только в идеальной пластичности, так Д. Д. Ивлевым и В. В. Дудукаленко [44, 45] выведены линеаризованные соотношения для тел с пластическим упрочняющимся материалом. В 1978 году была опубликована монография Д. Д. Ивлева и Л.В. Ершова [63], в которой авторы подробно привели схемы линеаризации определяющих соотношения теории пластичности, граничных условий и условий сопряжения. Так же, приведен широкий набор решенных задач, рассмотренным методом.

Схема Ивлева - Ершова оказалась востребована при определении полей напряжений и деформаций в задачах об упругопластических плитах с отверстиями различных очертаний с учетом упрочнения материала плит. Значимые результаты при решении задач с учетом упрочнения упругопластического материала методом возмущений получены М.А. Артемовым [10-18], который, используя плоские постановки (плоская деформация, плосконапряженное состояние), решил следующие задачи: о конической трубе, о двухосном растяжении плоскости с круговым и эллиптическим отверстием, об эксцентрической трубе, подверженной действию внутреннего давления. Можно отметить также задачи о пластинах со сплошными включениями, в которых в том числе исследуется и локальная неустойчивость: [138] круговое сплошное включение в пластине (задача о локальной неустойчивости); [17, 18, 76-79, 152] круговое, в виде эллипса и напоминающее по конфигурации правильный многоугольник включение в пластине (задача определения НДС); в [77-79, 111, 112] решены аналогичные, с точки зрения геометрии, задачи определения НДС, но для более сложной модели материала. Используя схему построения линейных уравнений Ивлева - Ершова, можно получать решения в задачах о кручении различных стержней [139]. Задачи о плитах с включениями успешно решила Ю. М. Марушкей [97], применив метод малого па-

раметра. В рамках плоской деформации А.Ю. Яковлевым [155, 156] решены задачи об упругопластическом состоянии пространства, содержащего призматические включения различных форм.

Большинство вышеперечисленных работ посвящены поиску НДС в упруго-пластических плитах бесконечной толщины, т.е., по сути, решению задач для упругопластического пространства с призматическими выточками. При этом класс задач об упругопластическом деформировании тонких пластин с отверстиями различной конфигурации, в которые помещены включения соответствующей формы, отражен в литературе в значительно меньше степени. Настоящая диссертационная работа имеет своей целью развитие метода возмущений применительно к классу задач о тонких пластинах с включениями.

Помимо отмеченных выше работ, при написании диссертации автор обращался к следующим публикациям [5, 8, 9, 16, 19, 20, 25, 27, 28, 30-32, 35, 36, 4654, 56-62, 66, 67, 69, 73-75, 80-82, 84, 86-88, 90-96, 100-102, 104, 105, 107, 109, 110, 113-116, 123-125, 129-131, 144, 145, 147, 149, 151, 153, 154, 157-159, 161-165, 172, 173].

Актуальность темы. Применение процесса создания деталей путем запрессовки в различных сооружениях и технических конструкциях позволяет многократно удешевить и упростить производственный процесс. Как следствие, полученный таким образом узел детали будет более надежным, поэтому на данном этапе развития производства и инженерии такой подход к созданию деталей имеет большое распространение. Особую важность при таком процессе приобретает предсказание вариантов поведения конструкций с запрессованными элементами, а также деталей, в которых выполнены различные подкрепления, выемки, выточки, что вызывает необходимость разработки современных математических моделей, точность которых позволяет давать оценки процессов и явлений, происходящих в таких конструкциях и деталях. Несмотря на большие возможности получения численного решения таких задач, использование приближенно-аналитического решения является более выигрышным, так как за счет аналитиче-

ской части такого решения возникает возможность применить богатый математический аппарат для проведения, в том числе и компьютерных экспериментов.

Цель работы формулируется на базе приведенного выше анализа текущего состояния вопроса о определении напряженно-деформированного состояния (НДС) в составных конструкциях и заключается в разработке схемы применения метода возмущения и его модификации в виде метода малого параметра к определению НДС в задачах о двухосном растяжении тонких пластин с отверстиями, содержащими упругое (шайба и кольцо) или упругопластическое включение (кольцо), близкое по форме к правильному многоугольнику. Научная новизна диссертации заключается в следующем: С помощью схемы Ивлева - Ершова в одном классе плоских упругопластических конструкций, содержащих упругое и упругопластическое включения:

- получено решение задачи о двухосном растяжении тонкой пластины с отверстием, которое имеет форму, близкую к правильному многоугольнику, заполненным полым включением. Полое включение имеет зоны упругого и пластического деформирования (решение ограничено нулевым и первым приближением);

- получено решение задачи о двухосном растяжении тонкой пластины с отверстием, которое имеет форму, близкую к правильному многоугольнику, заполненным полым или сплошным включением. Включение имеет упругие свойства (решение ограничено нулевым и первым приближением);

- проведена оценка влияния контуров включения на НДС конструкции. Практическое значение. Найденные в диссертационной работе результаты

дают возможность находить НДС в задачах упругопластического деформирования тонких пластин с отверстиями различных форм и положение границ пластических зон.

Достоверность. Многократное использование метода возмущений для решения задач в различных областях науки и техники, где требуется решить упруго-пластические задачи, показали надежность и достоверность его применения.

Выше сказанное позволяет считать, что результаты диссертационного исследования согласованы с физическими представлениями т.к. являются следствием корректной постановки задачи, дальнейших строгих выкладок, а также, в связи с апробированностью в других задачах применяемых моделей сплошных сред.

Апробация. Основные результаты работы были доложены и обсуждались на семинарах кафедры механики и компьютерного моделирования Воронежского госуниверситета в 2015 - 2018 гг и кафедры вычислительной математики и механики Тульского госуниверситета в 2018 г.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 10 научных работ, в том числе 1 в базе данных Scopus. Две работы опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК.

Объем работы. Диссертационная работа включает в себя следующие блоки: введение, три главы (13 параграфов), заключение и список литературы, включающий 173 наименований. Общий объем работы составляет 101 страница печатного текста, включая 9 рисунков.

Краткая структура диссертационной работы.

Глава первая. В ней описана схема Ивлева - Ершова для решения в рамках идеальной пластичности упругопластических задач. Записаны определяющие соотношения при моделировании упругопластических тел. Даны линеаризованные соотношения для нахождения напряжений и перемещений в случае плосконапряженного состояния. Описан алгоритм решения упругопластической задачи.

Глава вторая. Во второй главе решена задача об определении НДС в тонкой упругопластической конструкции с упругопластическим включением. Определено нулевое и первое приближение. Рассмотрены два случая - впаянного и вложенного с натягом упругопластического включения. Найденные радиусы вектора упругопластических границ в пластине и во включении проиллюстрированы примерами.

Третья глава. В этой главе найдено решение задач о растяжении тонкой упругопластической пластины с упругим сплошным включением и включением в виде кольца. При этом форма контуров, определяющих внешнюю и внутреннюю

геометрию включения, представляет собой гладкую кривую, близкую к правильному многоугольнику. В каждой задаче (для сплошного и кольцевого включения) рассмотрены два случая - впаянного и вложенного с натягом включения. Найденные радиусы вектора упругопластических границ в пластине проиллюстрированы примерами.

На защиту представляются следующие результаты диссертационной работы:

- Алгоритм применения метода возмущения для определения НДС в одном классе плоских упругопластических задач с включениями.

- Определение НДС в задачах: о двухосном растяжении тонкой упругопласти-ческой пластины с отверстием, близким по форме к правильному многоугольнику, в которое с натягом вкладывается или впаивается упругопласти-ческое включение; о двухосном растяжении тонкой упругопластической пластины с отверстием, близким по форме к правильному многоугольнику, в которое с натягом вкладывается или впаивается упругое включение-кольцо; о двухосном растяжении тонкой упругопластической пластины с отверстием, в которое с натягом вкладывается или впаивается упругое включение в виде шайбы.

- Исследование влияния вида отверстия в пластине, внешней и внутренней формы включения на выражения для радиусов вектора упругопластических границ в пластине и во включении.

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ

1.1. Определяющие соотношения при моделировании упругопластических тел

Приведем полную систему уравнений, которая позволит описать НДС в упругопластическом материале [60-62].

1. Уравнения равновесия (в напряжениях при отсутствии массовых сил):

V р, =о, (1.1.1)

где Оу - компоненты тензора напряжений, V - ковариантная производная.

2. Соотношения Коши:

^ = 1 (Vи ), (1.1.2)

связи между компонентами тензора деформаций е и вектора

перемещений и1.

3. Связь полных деформаций упругих и пластических:

^ =е + е>, (1.1.3)

е

где еч - компоненты тензора полных деформаций, е1 - компоненты тензора

упругих деформаций, еР - компоненты тензора пластических деформаций.

4. Соотношения закона Гука:

Sj = 20ее;, (1.1.4)

для несжимаемого (ееш = о) материала - связи между напряжениями и упругими деформациями, где G - модуль сдвига, ^ - девиатор тензора напряжений, ее - компоненты тензора деформаций.

5. Уравнение поверхности нагружения для случая идеально пластической среды:

КШ = 0, (1.1.5)

где р = 1..и.

6. Соотношения ассоциированного закона пластического течения:

дЕ

^р = алр д~р-, (1.1.6)

где ёЛр - скалярный положительный множитель, р = \..у. Чтобы получить замкнутую краевую задачу, дополним приведенные соотношения следующими граничными условиями.

7.

р = Р, (1.1.7)

граничные условия на части поверхности тела, где заданы усилия р, и -компоненты вектора нормали.

Граничные условия на части поверхности тела, где заданы перемещения и*, имеют вид:

и = и*. (1.1.8)

8. Зададим на границе разделений упругой и пластических областей следующие условия сопряжения:

[— ] = 0, [и, ] = 0. (1.1.9)

Для обозначения процессов, происходящих на границе упругого и пластического деформирования материала, применим общепринятое обозначение для условий сопряжения на упругопластической границе. Таким образом, знак [ ] в этом месте и в дальнейшем будет означать для величины, стоящей в скобках, разность между ее значениями, соответствующими упругой и пластической зонам. Согласно известному правилу тензорного исчисления для суммирования элементов тензоров, дважды повторяющийся индекс означает сумму в диапазоне от 1 до 3, если не используется другое правило.

Вышеперечисленные блоки уравнений, граничных условий и условий сопряжения (1.1.1) - (119) представляют замкнутую систему уравнений, которая описывает напряженно деформированное состояние упругопластического тела.

В цилиндрической системе координат уравнения равновесия в напряжениях (при отсутствии внешних массовых сил) запишутся следующим образом

даг +1 Т +Т + OL^El = 0

дт т dL dz r

дт„

1 даа дтв2 2т,

■ + -■

■ + ■

дт т дв dz

дт„„ 1 дтв2 да

+

= 0,

(1.1.10)

■ + —

дт т дв

+

■ + = 0, дz т

где ар, ав, аг, трв, трг, твг - компоненты тензора напряжении.

Для соотношений Коши, которые связывают компоненты тензора деформа-

ций ер, ев, е, ^, ерг, ег и вектора перемещений ир, ив, иг, ирв,

и

щ7 в цилин-

дрической системе координат, имеем

е - дМг

т дт

ев =

1 див иг _ диг т дв т ' 2 dz

6тв 2

т Ul |+1 дт I т I т дв

, eLz =-1 -

1 f 1 ди диа + ■

21 т дв дг

(1.1.11)

-1 f dUL ди^

^ = 21 дг + дт

т

1.2. Определяющие соотношения при моделировании идеально пластических

тел (линеаризация)

При решении задач методом малого параметра все функции раскладываются в ряды по степени малого параметра 5 [63]:

ад

{*,, ер, е-, А,...} = ]Г5"<п), <п), ^п),...}, (5« 1). (1.2.1)

п=0

Величинами п -го порядка здесь и далее по тексту будем называть выражения, отмеченные вверху индексом (п). Из выше написанных соотношений (1.1.5) и (1.1.6), после разложения входящих в них функций по малому параметру, после подстановки в них (1.2.1) и приравнивания слагаемых при одинаковых степенях 5, приходим к следующим выражениям (р = 1) для условия пластичности и ассоциированного закона пластического течения

При п = 0:

При п > 1:

Е <0) (а™ ) = 0,

(0) -^11(0) дЕ(0) ае- =ал да»

Е(п) (а(") а(п-1) а(п-2) 1 (аР , аР , а>

(1.2.2) (1.2.3)

....00 ) = 0,

аер(п) = 2 ал'-

т)

т=0

дЕ да

(п-т)

где

Е(п) =

а(п) Е

аз

( п)

(1.2.4)

(1.2.5)

(1.2.6)

3=0

Линеаризацией функций будем называть процесс разложения исходной функции в ряд по некому безразмерному параметру 5, малому по сравнению с единицей. При корректном разложении величины элементов ряда при п > 0 представляют собой линейные функции, а при п = 0 мы получаем не линейную функцию, но ее можно найти из решения, как правило, очень простой задачи. Учитывая вышеизложенное, запишем уравнения (1.2.4) и (1.2.5) в виде:

дЕ

■(0)

а(п) +Ф( п) = 0,

аер(п) = ал

(0)

д00) р

У

г)2 Е(0) ----а( п) +а(п)

дОрда^ к р

+ 2 ёЛ

(т)

8Е_ да

(п-т)

(1.2.7)

(1.2.8)

В соотношении (1.2.8) введены обозначения в виде функций Ф(п), (о(п) для

членов ряда, для которых п > 0 и которые входят в функцию Б(п). Введенные функции Ф(п), со\} п), зависящие от величин не выше (п -1) порядка, можно записать

в следующем виде:

Ф(п) =ф(п) (а;п-1),...а;о)). (1.2.9)

Анализируя выражения (1.2.8) делаем вывод, что в данном случае соотношения закона пластического течения в линеаризированной форме невозможно

т=1

проинтегрировать в связи с тем, что в них присутствуют неизвестные величины в виде функций о (n).

Приведенные выше соотношения представляют собой линеаризованные соотношения для основных законов, описывающих пластическое деформирование тела в общем случае.

1.3. Плосконапряженное состояние

Рассмотрим в полярных координатах условие пластичности Треска

(ор-2к)(ов-2к) + т2рв= 0, (1 3 1)

где к = const.

Подставим в это условие разложение (1.2.1) и приравняем компоненты при одинаковых степенях 8, будем иметь

О -2k-2к)-Трвв = 0,

n

m)2k)(овп-т) -JU(n-m)2k)-т{вт%п) = 0, (1.3.2)

m=0

где п > 1, а при т > 1, ¡10) = 1, ¡1т) = 0. При г(0) = 0 получим

№ -2к)№ -2к) = 0.

(1.3.3)

В общем случае о(0) ^2к, а если предположить, что о(0) = 2к, то из уравнений (1.1.10) получим о(0) = 2к, а из этого следует, что на пределе текучести имеем однородное напряженное состояние. Предполагаем, что <о(0) = 2к, |ст(0)| < 2к.

Тогда следующие приближения имеют вид

= 0,

о<2) № - 2к) + (т? )2 = 0,

о? № -2к)-№№ - 2^2) = 0, (13.4)

о? № -2к)-№>о? +о?0(р2) -2т%т?в +(т%)2 = 0,

Согласно соотношениям [63] и (1.3.4) для первого приближения имеем

= 0,

а(1) = а в

д 2Ф

др1

(1.3.5)

тогда из этого и [63] имеем

Е1(в)

(1) _ , ») _(1) _ р „ „2 ' Рв -2 '

(1.3.6)

Р Р Р

где ©(в), Е(в) - произвольные функции, а точка - производная по в.

Уравнения для определения перемещений в пластической области приведены в [63]. Используя алгоритм линеаризации, приведенный выше, получим их в виде следующих соотношений (1.3.7)

0_(ее(0) - е(0) )

(0) пЛеР еР ),

^=10-О )-

др ЕУ р в '

Ор - 2к

Л/(!) »(!) 1 ди(1) е(0) - е(0)

див ив . 1 дир =2 ер ев г(1)

др р р дв а(0)-а™ рв\

(1.3.7)

где

ее (0) = — ер = Е

(

гР(0) Л

Орр(0) --в

V р 2 J

дир (0)

, е(0) =—р—, ер(0) = еу"' - е~(0), е(0) = ' р д ' р р р ' в

др

р(0) _ „(0) _ /(0) „(0) _ "р р

ир р

Теперь для компонента перемещений запишем однородную систему уравне-

ний

дир1 ди (1 и (1) 1 дир

= 0

др др р р дв Заметим, что ир = и (в), тогда

= 0.

(1.3.8)

и

(1) _

= Си1 соб(пв + в0), иЦ) = Я(р)бш(пв + в0).

Из второго уравнения (1.3.8) имеем

откуда при п >1

Из этого следует, что

дЯ Я Сщ .

----+ п —— = 0,

др р дв

Я = ColР, Я„ = -пСп1 +рС,

я2'

(1.3.9)

Л1) -

= 2 Сл cos (пв + в0), и™ = 2 (~nC„i + Cnр) sin (пв + в(0).

(1.3.10)

ир

п=0 п=0

Из (1.3.10) определим компоненты деформаций

ш Г1 - п2 Л

ef = 0, еРв = 0, в =2 -Cm + nCn2 cos(пв + во).

n=0

Р

(1.3.11)

1.4. Алгоритм для определения решения упругопластической задачи

Приведем алгоритм нахождения методом малого параметра приближенного решения задачи, причем ограничиваться будем первым приближением. Воспользуемся системой уравнений (1.1.1) - (1.1.9) после ее линеаризации в случае, когда в пластину вставлено упругопластическое включение, выполним следующие последовательные действия:

1. Согласно источнику [63], запишем линеаризованные граничные условия на бесконечности, определяющие условия для зоны упругого деформирования пластины и условия сопряжения на границе раздела зон с различным типом деформирования.

2. Следуя [19], находим напряжения и перемещения в упругой зоне пластины. При этом условия сопряжения на границе раздела зон с различным типом деформирования представляют собой граничные условия для поиска напряжений и перемещений в пластической зоне.

3. Используя соотношение (1.3.6), определим напряжения в пластической зоне пластины.

4. Вид перемещений в пластической зоне пластины (1.3.10) получаем из совместного решения системы уравнений (1.3.8).

5. При использовании условий сопряжения, записанных на упругопластической границе, можно переопределить неизвестные константы, входящие в равенства для напряжений. Найденные таким образом константы дадут окончательный вид уравнения границы, которая разделяет упругую и пластическую области пластины.

6. Компоненты тензора напряжений и вектора перемещений для упругой области включения найдем, следуя [19].

7. Используя выражение (1.1.9), построим линеаризованные граничные условия для пластически деформирующейся зоны включения. Эти условия (1.1.9), линеаризованные условия на внутренней границе включения (1.1.7) и соотношение (1.3.6) позволят определить поле напряжений в пластической зоне включения.

8. Для определения компонент вектора перемещения в пластической зоне включения с учетом (1.3.6) вычислим правые части системы дифференциальных уравнений (1.3.7).

9. По полученным выражениям для напряжений и перемещений, также по линеаризованным условиям на границе контакта пластина-включение после выполнения пунктов 1-8 найдем неизвестные константы, которые входят в напряжения, перемещения и уравнение упругопластической границы включения.

В задачах с упругим включением компоненты тензора напряжений и вектора перемещений вычисляются по алгоритму Ивлева - Ершова:

1. Для пластины и упругой зоны включения поля напряжений и перемещений определяются согласно вышеописанным пунктам 1-6.

2. Соотношения на границе контакта включения и пластины позволят вычислить все оставшиеся после пункта 1 неизвестные константы интегрирования, которые входят в уравнение упругопластической границы включения.

1.5. Обсуждение результатов

В данной главе приведены уравнения и условия (1.1.1) - (1.1.9), описывающие поведение упругопластического тела. Также определены уравнения для нахождения напряжений и перемещений для первого приближения в пластической области. Причем для окончательного вывода уравнений (1.3.7), определяющего перемещения в пластической зоне, необходимо предварительно вычислить

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Русина Елена Юрьевна, 2019 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Алимжанов М.Т. Проблемы устойчивости равновесия в задачах геомеханики / М.Т. Алимжанов // Успехи механики. - 1990. - Т. 13. - №3. - С. 21-57.

2. Алимжанов М.Т. Устойчивость равновесия тел и задачи механики горных пород / М.Т. Алимжанов // Алма-Ата. Наука. - 1962. - С. 272.

3. Алимжанов М.Т. Об упругопластическом состоянии неоднородных толстостенных цилиндрических и сферических оболочек / М.Т. Алимжанов, Б.Ж. Габдулин // Вест. АН Каз.ССР. - 1967. - №10. - С. 52-67.

4. Алимжанов М.Т. Упругопластическое состояние плоскости, ослабленной круговым отверстием / М.Т. Алимжанов, Е.К. Естаев // Механика деформ. тверд. Тела. - 1982. - С. 105-115.

5. Алимжанов М.Т. К решению задач упругопластического кручения методом малого параметра / М.Т. Алимжанов, Н.С. Мухашев // Алма-Ата, Деп. в ВИНИТИ, 19.10.90, № 5411-В90. - 1990. - С. 14.

6. Алимжанов М.Т. Упругопластическое состояние эллиптической трубы, находящейся под действием внешнего давления / М.Т. Алимжанов, В.К. Саньков // Диф. ур. и их прил. - 1981. - С. 16-26.

7. Анин Б.Д. Упругопластическая задача / Б.Д. Анин, Г.П. Черепанов // Новосибирск. Наука. - 1984. - С. 238.

8. Анин Б.Д. Упругопластическое распределение напряжений в пластине с отверстием, близким к круговому / Б.Д. Анин // Изв. АН СССР. Механика твердого тела - 1984. - №1. - С. 45-47.

9. Армянников А.Б. Применение метода возмущений к задачам кручения стержней овального сечения / А.Б. Армянников, Ю.Д. Цветоков // Куйбышев. ун-т, Куйбышев, Деп. в ВИНИТИ, 07.08.85, № 5914-85. - 1985. - С.11.

10. Артемов М.А. О двухосном растяжении толстой пластины с круговым отверстием из упрочняющегося упругопластического материала / М.А. Артемов // Журн. прик. механ. и техн. физ. -1985. - №6. - С. 159-163.

11. Артемов М.А. Эксцентрическая труба из упрочняющегося упругопластического материала под действием внутреннего давления / М.А. Артемов // Воронеж. ун-т, Воронеж, Деп. в ВИНИТИ, 05.01.85, № 83-85. -1984. - С. 23.

12. Артемов М.А. Приближенное решение плоской задачи теории пластичности изотропного материала с анизотропным упрочнением / М.А. Артемов // Воронежский ун- т, Воронеж, Деп. в ВИНИТИ, 13.05.86, № 3481В. -1986. -С.29.

13. Артемов М.А. Приближенное решение задач теории кинематического упрочнения / М.А. Артемов // Актуальные задачи механики сплошных сред, Чебоксары. - 1986. - С. 8-13.

14. Артемов М.А. Метод возмущений в теории упрочняющегося тела / М.А. Артемов // Прикладные задачи механики сплошных сред, Воронеж. - 1988. -С. 51-53.

15. Артемов М.А. Двухосное растяжение тонкой пластины с эллиптическим отверстием / М.А. Артемов // Актуальные вопросы теории краевых задач и их приближения, Чебоксары. - 1988. - С. 4-8.

16. Артемов М.А. К расчету пластины, ослабленной отверстием / М.А. Артемов, В.А. Знаменский // Вторая межвузовская научно-практическая конференция. «Проблемы прочности, надежности и долговечности двигателей и констукций»: Тез. докл., Кировоград. - 1987. - С. 7.

17. Артемов М.А. О локальной неустойчивости в задаче Галина для сложной среды / М.А. Артемов, А.В. Ковалев // Современные методы в теории краевых задач: Тез. докл. школы, Воронеж. ун-т, Воронеж. - 1992. - С. 7.

18. Артемов М.А. Метод возмущений в одном классе упругопластических задач с произвольным упрочнением / М.А. Артемов, А.В. Ковалев, А.Н. Спорыхин // Воронеж ун-т, Воронеж. Деп. в ВИНИТИ, 14.03.96, № 685-В95. - 1995. - С. 30.

19. Бицено К.Б. Техническая динамика / К.Б. Бицено, Р. Граммель // Гостеоретиздат.М. - 1950. - Т.1.

20. Бродштейн И.Н. Справочник по математике / И.Н. Бродштейн, К.А. Семендяев // М., Наука. - 1986. - С. 544.

21. Быковцев Г.И. Применение метода возмущений к теории кручения упругопластических стержней / Г.И. Быковцев, Ю.Д. Цветков // Прикл. матем. и механика. - 1961. - Т.45. - №5. - С. 932-939.

22. Быковцев Г.И. Концентрация напряжений в упругопластической плоскости, ослабленной отверстием / Г.И. Быковцев, Ю.Д. Цветков // Кубышев. ун-т, Куйбышев. Деп. в ВИНИТИ, 05.05.83 № 2443-83. - 1983. - С. 23.

23. Быковцев Г.И. Двумерная задача нагружения упругопластической плоскости, ослабленной отверстием / Г.И. Быковцев, Ю.Д. Цветков // Прикл. матем. и механика. - 1987. - Т.51. - №2. - С. 314-322.

24. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости / М. Ван-Дайк // М. Мир. - 1967. - С. 310.

25. Вильдеман В.Э. Некоторые методы прогнозирования поведения многослойных тел при упругопластическом деформировании / В.Э. Вильдеман, А.А. Ташкинов // Деформирование и разрушение конструкций из композиционных материалов, Свердловск. - 1987. - С. 17-20.

26. Вульман С.А. О решении осесиметричных упругопластических задач методом малого параметра / С.А. Вульман // Изв.АН СССР, Механика твердого тела. - 1969. - №3. - С. 16-169.

27. Вульман С.А. Приближенное решение упругопластической задачи для полых тел, поверхность которых близка к сферической / С.А. Вульман // Изв. АН СССР, Механика твердого тела. - 1971. - №1. - С. 119-122.

28. Вульман С.А. Решение осесимметричных упругопластических тел из сжимаемого материала / С.А. Вульман // Прикладная механика. - 1971. - Т.7. -№7. - С. 91-94.

29. Вульман С.А. Коническая труба под действием равномерного давления / С.А. Вульман, Д.Д. Ивлев, Т.Д. Семыкина // Воронеж. ун-т, Воронеж. Деп. в ВИНИТИ, 17.12.80, № 5337-80. - 1980. - С. 9.

30. Вульман С.А. Об использовании метода возмущений при решении упругопластических задач с учетом упрочнения / С.А. Вульман, Т.Д. Семыкина // Воронеж. ун-т. Воронеж. Деп. в ВИНИТИ, 21.06.84, № 4157-84. -1984. - С. 8.

31. Вульман С.А. Чистый изгиб листа из материала со степенным упрочнением / С.А. Вульман, Т.Д. Семыкина // Воронеж. ун-т, Воронеж. Деп. в ВИНИТИ, 21.06.84, № 4157-84. - 1984. - С. 10.

32. Вульман С.А. Применение метода возмущений в задаче о чистом изгибе листа с учетом упрочнения / С.А. Вульман, Т.Д. Семыкина // X семинар актуальных проблем прочности по теме: Пластичность материалов и конструкций: Тез. докл. - 1985. - С. 33.

33. Вульман С.А. Напряженно деформированное состояние пластины с включением / С.А. Вульман, Т.Д. Семыкина // Прикладные задачи механики сплошных сред, Воронеж. - 1988. - С. 48-51.

34. Галин Л.А. Плоская упругопластическая задача / Л.А. Галин // Прикладная математика и механика. - 1946. - Вып.3. - С. 367-386.

35. Гузь А.Н. Про наближений метод визначення концетрацп напружень навколо криволшшнх отвор1в в оболонках / А.Н. Гузь // Прикладная механика. - 1962. -№6. - С. 605-612.

36. Гузь А.Н. Метод возмущений формы границы в механике сплошной среды (обзор) / А.Н. Гузь, Ю.Н. Немиш // Прикладная механика. - Т.23. - №9. - С. 329.

37. Гузь А.Н. Метод возмущений в пространственных задачах теории упругости / А.Н. Гузь, Ю.Н. Немиш // Киев: Вища школа. - 1982. - С. 346.

38. Гузь А.Н. Трехмерная теория неупругой устойчивости. Общие вопросы / А.Н. Гузь, А.Н. Спорыхин // Прикладная механика. - 1982. - Т.18. - №7. - С. 3-22.

39. Дель Г.Д. Растяжение листа с разной начальной разнотолщенностью / Г.Д. Дель, А.И. Балакерев // Изв. ВУЗов, Машиностроение. - 1984. - №2. - С. 7-11.

40. Друянов Б.А. Вдавливание жесткого штампа в толстую пластически неоднородную полосу / Б.А. Друянов // Изв. АН СССР, Отд. техническ. Наук. Механика и машиностр. - 1969. - №3. - С. 161-166.

41. Друянов Б.А. Вдавливание шероховатого штампа в толстую пластически неоднородную полосу / Б.А. Друянов // Изв. АН СССР, Отд. техническ. наук. Механика и машиностр. - 1960. - №2. - С. 129-131.

42. Друянов Б.А. Вдавливание жесткого штампа в толстую пластически неоднородную полосу / Б.А. Друянов // - Изв. АН СССР, Отд. техническ. наук. Механика и машиностр. - 1960. - №4. - С. 156-158.

43. Друянов Б.А. Начальное течение неоднородной полосы при вдавливании шероховатого штампа / Б.А. Друянов // Инж. журн. - 1962. - Т2. - №1. - С. 111-116.

44. Дудукаленко В.В. О кручении призматических стержней из упрочняющегося материала при линеаризированном условии пластичности / В.В. Дудукаленко, Д.Д. Ивлев // Изв. АН СССР, Механик и машиностроении. - 1963. - №3. - С. 115-118.

45. Дудукаленко В.В. О кручении анизотропных упрочняющихся призматических стержней при линеаризированном законе пластического течения / В.В. Дудукаленко, Д.Д. Ивлев // Изв. АН СССР, Механик и машиностроении. -1963. - №5. - С. 173-175.

46. Дудукаленко В.В. О сжатии полосы из упрочняющегося пластического материала / В.В. Дудукаленко, Д.Д. Ивлев // Докл. АН СССР. - 1963. - Т.153. -№5. - С. 1024-1026.

47. Дуров В.В. О вдавливании тонкого жесткого тела в пластическую среду с учетом упрочнения / В.В. Дуров, Д.Д. Ивлев // Прикл. матем. и механика. -1972. - Т.36. - Вып.3. - С. 514-518.

48. Дуров В.В. К задаче о вдавливании тонкого жесткого тела в пластическую среду с упрочнением / В.В. Дуров // Прикл. матем. и механика. - 1973. - Т.37. -Вып.4. - С. 763-767.

49. Ершов Л.В. Исследование вопросов проявления горного давления с позиций теории устойчивости упругопластических тел / Л.В. Ершов // Вестник МГУ. -1967. - №2. - С. 51-52.

50. Ершов Л.В. Об осесимметричной потере устойчивости толстостенной сферической оболочки, находящейся под действием равномерного давления / Л.В. Ершов // Прикладная механика и техническая физика. - 1960. - С. 81-82.

51. Ершов Л.В. Упругопластическое напряженное состояние полого тора, находящегося под действием равномерного давления / Л.В. Ершов, Д.Д. Ивлев // Изв. АН СССР, Отд. техн. наук. - 1957. - №7. - С. 129-131.

52. Ершов Л.В. О выпучивании толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего давления / Л.В. Ершов, Д.Д. Ивлев // Изв. АН СССР, Отд. тех. наук. - 1957. - №8. - С. 143-153.

53. Ершов Л.В. О потере устойчивости вращающихся дисков / Л.В. Ершов, Д.Д. Ивлев // Изв. АН СССР, Отд. тех. наук. - 1958. - №1. - С. 123-125.

54. Ержанов Ж.С. Устойчивость неоднородного деформирования нелинейных тел / Ж.С. Ержанов, А.К Егоров // Алма-Ата, Наука. - 1987. - С. 280.

55. Зебриков В.П. Напряженное состояние концентрической трубы при упругопластическом деформировании под действием давления / В.П. Зебриков // Журнал прикладная механика и техническая физика. - 1983. - №3. - С. 152159.

56. Ибрагимов В.А. Метод разложения по параметру нагружения в упругопластических задачах для упрочняющихся тел / В.А. Ибрагимов, В.А. Нефагин // Теор. и прикл. механика. - 1986. - №13. - С. 3-7.

57. Ибрагимов В.А. Аналитическое решение задачи о двухосном растяжении плоскости с круговым отверстием при определяющих соотношениях теории пластичности с упрочнением / В.А. Ибрагимов, В.А. Нефагин // Теор. и прикл. механика, Минск. - 1987. - С. 29-32.

58. Ибрагимов В.А. О сходимости метода разложения по параметру нагружения в задаче об упругопластическом изгибе кольцевой пластины / В.А. Ибрагимов,

В.А. Нефагин // Белорус. Политехн. Ин-т, Минск. Деп. в ВИНИТИ, 02.06.87, №3880-В87. - 1987. - С. 20.

59. Ибрагимов В.А. Сходимость метода разложения по параметру нагружения в задачах упругопластического деформирования стержней / В.А. Ибрагимов,

B.А. Нефагин // Теор. и прикл. механика, Минск. - 1988. - №5. - С.50-58.

60. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности / Д.Д. Ивлев // М. :Наука. - 1966. - С. 232.

61. Ивлев Д.Д. Теория упрочняющегося пластического тела / Д.Д. Ивлев, Г.И. Быковцев // М. :Наука. - 1971. - С. 232.

62. Ивлев Д.Д. Теория пластичности / Д.Д. Ивлев, Г.И. Быковцев // Дальнаука, Владивосток. - 1998. - С. 528.

63.Ивлев Д.Д. Метод возмущений в теории упругопластического тела / Д.Д. Ивлев, Л.В. Ершов // М. :Наука. - 1978. - С. 208.

64. Ивлев Д.Д. Линеаризированные уравнения теории анизотропного идеально жесткопластического тела / Д.Д. Ивлев, Л.Б. Шитова // Чебоксары. - 1988. - С. 55-58.

65. Ильюшин А.А. Нормальное и касательное напряжение при чистом изгибе балки за пределом упр угости и аналогия с задачей об изгибе плиты / А.А. Ильюшин // Инж. сб. - 1954. - Т.19. - С. 3-12.

66. Ильюшин А.А. Пластичность. Ч. 1. Упругопластические деформации / А.А. Ильюшин // М. Л.: ОГИЗ. - 1948. - С. 367.

67. Ишлинский А.Ю. Общая теория пластичнос ти с линейным упрочнением / А.Ю. Ишлинский // Укр. матем. журн. - 1964. - Т.6. - №3. - С. 314-325.

68. Калужский И.И. Напряженное состояние и усилия при стесненном изгибе идеально пластической широкой полосы. Метод возмущений / И.И. Калужский, А.В. Скрипачев // Деп. в ВИНИТИ, 11.12.85. № 8479-В. - 1985. -

C. 55

69. Камышникова А.А. Концентрация напряжений в упругопластической пластине, ослабленной отверстием / А.А. Камышникова, Ю.Д. Цветков //

Куйбышев. Ун-т, Куйбышев. Деп. в ВИНИТИ, 11.12.85, № 8479-В. - 1985. - С. 14.

70. Каудерер Г. Нелинейная механика / Г. Каудерер // М., ИЛ. - 1961. - С. 777.

71. Качанов Л.М. Пластическое кручение круглых стержней переменного диаметра / Л.М. Качанов // Приклад. матем. и механика. - 1948. - Т.12. - №4. -С. 375-386.

72. Качанов Л.М. Ползучесть овальных и равностенных труб / Л.М. Качанов // Изв. АН СССР, Отд. тех. наук. - 1956. - №9. - С. 65-71.

73. Каюк Я.Ф. Некоторые вопросы методов разложения по параметру / Я.Ф. Каюк // Киев: Наук. Думка. - 1980. - С. 166.

74. Клюшков В.Д. Математическая теория пластичности / В.Д. Клюшков // М.: МГУ. - 1979. - С. 207.

75. Ковалев А. В. Об учете ассоциированной сжимаемости упругопластических тел в случае плоской деформации / А. В. Ковалев // Вестник, Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. - 2013. - №1.(15). - С. 65-69.

76. Ковалев А. В. Метод возмущений в одном классе упругопластических задач с произвольным упрочнением / А. В. Ковалев // Современные методы теории функций и смежные проблемы матем. и механики: Тез. докл. Междунар. школы-симп. Воронеж. ун-т, Воронеж. - 1995. - С. 122.

77. Ковалев А.В. К определению напряженно-деформированного состояния в задаче Галина для сложной модели среды / А. В. Ковалев, Н.Б. Горбачева, А.Н. Спорыхин // Вестник ВГУ, Серия 2, Естественные науки. - 1998. - №3. - С. 245-249.

78. Ковалев А.В. Об одном методе решения задач Галина / А. В. Ковалев, Н.Б. Подболотова // Белорусский конгресс по теоретической и прикладной механике «Механика-95»: Тез. докл., ИИМС АНБ, Инфотрибо, Гомель. - 1996. - С. 122-123.

79. Ковалев А.В. Метод возмущений в решении задачи Галина для упруго - вязко

- пластического тела / А. В. Ковалев, Н.Б. Подболотова // Воронеж. ун-т, Воронеж. Деп. В ВИНИТИ 26.03.97, № 919-В97. - 1997. - С. 11.

80. Ковалев А.В. Двухосное растяжение упругопластического пространства с призматическим включением / А. В. Ковалев, А.Ю. Яковлев // «Понтрягинские чтения X»: Тез. докл., г. Воронеж, Воронеж. Гос. Универ. - 1999. - С. 287.

81. Ковалев А.В. Двухосное растяжение упругопластического пространства с включением близким по форме к правильному многоугольнику / А. В. Ковалев, А.Н. Спорыхин, А.Ю. Яковлев // II Белорусский конгресс по теоретической и прикладной механике, Гомель: ИММС НАНБ. - 1999. - С.85-86.

82. Ковалев А.В. Двухосное растяжение упругопластического пространства с призматическим включением / А. В. Ковалев, А.Н. Спорыхин, А.Ю. Яковлев // Прикладная механика. - 2000. - Т.36. - №6. - С. 114-120.

83. Комаров В.П. К решению плоской упругопластической задачи / В.П. Комаров // Актуальные вопросы теории краевых задач и их решений, Чебоксары. - 1988.

- С. 66-73.

84. Космодамианский А.С. Изгиб анизотропных плит с криволинейными отверстиями (обзор) / А.С. Космодамианский // Прикладная механика. - 1981.

- Т.17. - №2. - С. 3-10.

85. Коул Д. Методы возмущений в прикладной математике / Д. Коул // М.: Мир. -1972. - С. 277.

86. Кубенко В.Д. Метод возмущений в краевых задачах механики деформируемых тел (обзор) / В.Д. Кубенко, Ю.Н. Немиш, К.И. Шнеренко, Н.А. Шульга // Прикладная механика. - 1982. - Т.18. - №11. - С. 3-20.

87. Кузнецов В.В. Об определении деформированного состояния упругопластической толстой плиты с эллиптическим отверстием / В.В. Кузнецов // Прикладная механика. - 1973. - Т.9. - С. 133-137.

88. Кузнецов В.В. Напряженное состояние упругопластической пластины, изгибаемой в своей плоскости / В.В. Кузнецов // Изв. ВУЗов, Машиностроение. - 1980. - №3. - С. 12-17.

89. Кузнецов В.В. Деформированное упругопластическое состояние толстой пластины с эллиптическим отверстием, изгибаемой в своей плоскости / В.В. Кузнецов // Изв. ВУЗов. - 1980. - №4. - С.23-27.

90. Кузьменко В.А. Пластическая деформация в малой окрестности конца трещины / В.А. Кузьменко, К.Н. Русенко // Изв. АН СССР, Механ. тверд. деф. тела. - 1983. - №2. - С. 124-127.

91. Лернер М.М. Последовательные приближения в решении краевой задачи о конечных деформациях полого цилиндра из наследственно-линейного материала / М.М. Лернер // Ползучесть и длит. прочность конструкций, Куйбышев. - 1966. - С. 123-130.

92. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел / В.А. Ломакин // М.: Изд-во Моск. ун-та. - 1976. - С. 367.

93. Лунин В.А. Кручение стержней из упрочняющегося материала, сечение которых близко к круговым / В.А. Лунин, Л.В. Максимов, С.Б. Максимов, А.Н. Остсемин // Проблем. прочности. - 1982. - №11. - С. 63-66.

94. Лурье А.И. Пространственная задача теории упругости / А.И. Лурье / М: Гостехиздат. - 1955. - С. 492.

95. Максимов С.Б. Некоторые свойства уравнений и метод малого параметра в плоских задачах теории идеальной пластичности / С.Б. Максимов, Ю.В. Немировский // Изв. АН СССР, Механика твердого тела. - 1966. - №5. - С. 101-107.

96. Максимов С.Б. Некоторые свойства уравнений и метод малого параметра в двумерных пространственных задачах теории идеальной пластичности / С.Б. Максимов, Ю.В. Немировский // Журнал. приклад. механика и техн. физика. -1966. - №5. - С. 142-150.

97. Марушкей Ю.М. Об упругопластическом состоянии среды с включением в виде эллиптического цилиндра / Ю.М. Марушкей // Прикладная механика. -1976. - Т.12. - №2. - С. 126-130.

98. Марушкей Ю.М. Двухосное растяжение упругопластического пространства с включением / Ю.М. Марушкей // Изв. ВУЗов. сер. машиностр. - 1975. - №12. -С. 25-30.

99. Метчинко Н.М. Влияние начальной пластической анизотропии на напряженное состояние пластины с отверстием / Н.М. Метчинко, А.Г. Митяев, С.Д. Фейгин // Исследования в области пластичности и обработки металлов давлением. Тула. - 1980. - С. 14-19.

100. Милявская Ф.Б. О двухосном растяжении пластины с круговыми отверстием из стареющего упругопластического материала / Ф.Б. Милявская // Краевые задачи и их приложения, Чебоксары. - 1986. - С. 82-90.

101. Мукашев Н.С. О концентрации напряжений вблизи отверстия, близкого по форме к правильному многоугольнику / Н.С. Мукашев // Алма-Ата, Деп. в ВИНИТИ, 24.12.90, № 6390-В90. - 1990. - С. 11.

102. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н. И. Мусхелишвили // М.: Наука. - 1966. - С. 707.

103. Найф А.Х. Методы возмущений / А.Х. Найф // М: Мир. - 1976. - С.456.

104. Найф А.Х. Введение в методы возмущений / А.Х. Найф // М: Мир. - 1984. -С. 526.

105. Ольшак В. Теория пластичности неоднородных тел / В. Ольшак, Я. Рыхлевский, В. Урбановский // М: Мир. - 1964. - С. 156.

106. Онат Е. Образование шейки при пластическом течении растягиваемого плоского образца / Е. Онат, В. Прагер // Сб. перев. и обзоров иностр. период. лит. - 1965. - №4. - С. 93-97.

107. Осеенко Г.И. К определению упругих перемещений в задаче Галина Л.А. / Г.И. Осеенко // Гидроаэромеханика и теория упругости. - 1985. - №6. - С. 9397.

108. Остсемин А.А. Кручение конического стержня из упругопластического материала / А.А. Остсемин, В.А. Лунин // Проблемы прочности. - 1985. - №6.

- С. 60-64.

109. Остросаблин Н.Н. Определение смещений в задаче Л.А. Галина / Н.Н. Остросаблин // Динамика сплошных сред: Ин-т гидродинамики со АН СССР, Новосибирск. - 1973. - Вып.14. - С. 67-70.

110. Остросаблин Н.Н. Плоское упругопластическое распределение напряжений около круговых отверстий / Н.Н. Остросаблин // Новосибирск, Наука. - 1984. -С. 113.

111. Подболотова Н.Б. Метод возмущений в решении плоских задач для сложной среды / Н.Б. Подболотова, А.Н. Спорыхин // 1-я международная конференция «ЭМО в условиях техногенеза»: Тез. докл., Солигорск, Беларусь.

- 1996. - С. 147.

112. Подболотова Н.Б. К решению упруго - вязко - пластического состояния тонких пластин с отверстиями при двухосном нагружении / Н.Б. Подболотова // Современные методы теории функций и смежных проблем: Тез. Докл. Воронежская зимняя математическая школа, Воронеж. ун-т, Воронеж. - 1997.

- С. 132.

113. Прелин П.И. Приближенный метод решения упругопластических задач / П.И. Прелин // Инж. журн. - 1961. - Т.1. - Вып.4. - С. 68-76.

114. Прагер В. Проблемы теории пластичности / В. Прагер // М: Физматгиз. -1966. - С. 136.

115. Прагер В. Теория идеально пластических тел / В. Прагер, Ф.Г. Ходж // М, Ил. - 1956. - С. 398.

116. Пуанкаре А. Избранные труды. В 3-х томах. Т. 1. Новые методы небесной механики / А. Пуанкаре // М: Наука. - 1971. - С. 772.

117. Русина Е.Ю. Об исследовании механического взаимодействия элементов тонкой упругопластической конструкции / Е.Ю. Русина, А.В. Ковалев, А.Ю. Яковлев // Материалы Всероссийской научной школы-конференции посвящен-

ной 85-летию профессора Д.Д. Ивлева «Механика предельного состояния и смежные вопросы», г. Чебоксары. - 2015.- С. 107-114.

118. Русина Е.Ю. Теория и практика решения неодномерных задач упругопла-стического деформирования. Задача о напряженно-деформированном состоянии в тонкой пластине с включением: учебно-методическое пособие / Е.Ю. Русина, Д.В. Гоцев, А.В. Ковалев, А.Ю. Яковлев // Воронеж. Изд. Дом ВГУ -2016. - С. 25.

119. Русина Е.Ю. О механическом взаимодействии элементов тонкой упруго-пластической конструкции / Е.Ю. Русина, А.В. Ковалев, А.Ю. Яковлев // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева, Серия: Механика предельного состояния. - 2017. - №1(31). - С. 3-14.

120. Русина Е.Ю. Об исследовании напряженно деформированного состояния в тонкой пластине с упругим включением в виде шайбы / Е.Ю. Русина, А.В. Ковалев, А.Ю. Яковлев // X Всероссийская конференция по механике деформирования твердого тела. Самара. - 2017. - С. 35-38.

121. Русина Е.Ю. Об определении упругопластических границ в тонкой упруго-пластической конструкции с включением / Е.Ю. Русина // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева, Серия: Механика предельного состояния. - 2017. - №4(34). - С. 36-44.

122. Rusina E.Y. On the determination of stress fields and displacements in a thin elastoplastic plate containing elastic inclusion - a shim / E.Y. Rusina, A.V. Kovalev, A.Y. Yakovlev // AMSCM. IOP Publishing. IOP Conf. Series: Journal of Physics: Conf. Series 973 012010. - 2018. - Р. 10.

123. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий / Г.Н. Савин // Киев, Наукова думка. - 1968. - С. 888.

124. Савин Г.Н. Пластинки и оболочки с ребрами жесткости / Г.Н. Савин, Н.П. Флейман // Киев: Наукова думка. - 1964. - С. 384.

125. Савин Г.Н. Пластинки, подкрепленные составными кольцами и упругимти накладками / Г.Н. Савин, В.И. Тульчий // Киев: Наукова думка. - 1971. - С. 268.

126. Свирский И.В. Методы типа Бубнова - Галеркина и последовательных приближений / И.В. Свирский // М.: Наука. - 1968. - С. 199.

127. Сегал В.М. Технологические задачи теории пластичности / В.М. Сегал // Минск, Наука и техника. - 1977. - С. 254.

128. Семыкина Т.Д. О трехосном растяжении упругопластического пространства, ослабленного сферической полостью / Т.Д. Семыкина // Изв. АН СССР, Механика и машиностроение. - 1963. - №1. - С. 17-21.

129. Соколов А.П. Об упругопластическом состоянии пластинки / А.П. Соколов // Докл. АН СССР. - 1948. - Т.10. - №1. - С. 33-36.

130. Соколовский В.В. Теория пластичности / В.В. Соколовский // М.: Высш. школа. - 1969. - С. 608.

131. Спорыхин А.Н. Неодномерные задачи упруговязкопластичности с неизвестной граицей / А. Н. Спорыхин, А. В. Ковалев, Ю. Д. Щеглова // Воронеж: Изд-во ВГУ. - 2004. - С. 219.

132. Спорыхин А.Н. Об устойчивости деформирования упруго - вязко -пластических тел / А. Н. Спорыхин // Журн. прикл. механика и техническая физика. - 1957. - №4. - С. 52-58.

133. Спорыхин А.Н. Об устойчивости плиты при сжатии / А. Н. Спорыхин // Прикладная механика. - 1969. - №5. - С. 120-122.

134. Спорыхин А.Н. К устойчивости равновесия упруго - вязко - пластической среды / А. Н. Спорыхин // Прикладная механика и техническая физика. - 1970.

- №5. - С. 86-92.

135. Спорыхин А.Н. К устойчивости горизонтальных выработок в массивах, обладающих упруго - вязко -пластическими свойствами / А. Н. Спорыхин // Изв. АН КазССР, Сер. физ. - мат. - 1975. - №1. - С. 67-72.

136. Спорыхин А.Н Метод возмущений в задачах устойчивости сложных сред / А. Н. Спорыхин // Воронеж. - 1997. - С. 360.

137. Спорыхин А.Н. Иерархия устойчивых сотояний в механике нелинейных сред / А. Н. Спорыхин, А.И. Сумин // Воронежский гос. ун-т, Воронеж. - 1999.

- С. 210.

138. Спорыхин А.Н. К определению поля напряжений в пластинах с отверстиями различных очертаний / А.Н. Спорыхин, Н.Н. Чиканова, А.Н. Ковалев // Информационные технологии и системы: Воронеж. технол. ин-т, Воронеж. - 1994. - Ч.3. - С. 11-15.

139. Спорыхин А.Н. Метод возмущений в задачах упругопластического кручения стержней / А.Н. Спорыхин, Ю.Д. Щеглова // Механика твердого тела. - 2000. - №5. - С. 54-64.

140. Суздальская Л.И. Определение неизвестной границы в обратных задачах для полосы с отверстием / Л.И. Суздальская // Изв. АН СССР, Механика твердого тела. - 1965. - №4. - С. 121-124.

141. Тарасьев Г.С. Концентрация напряжений около полостей в несжимаемом материале / Г.С. Тарасьев, Л.А. Толоконников // Концентрация напряжений, Киев: Наукова думка. - 1962. - Вып.1. - С. 251-255.

142. Тарасьев Г.С. Конечные плоские деформации сжимаемого материала / Г.С. Тарасьев, Л.А Толоконников // Приклад. матем. и механика. - 1962. - Т.2. -№2. - С. 1-13.

143. Толоконников Л.А. Плоская деформация со слабой пластической анизотропией / Л.А. Толоконников, С.П. Яковлев, В.Ф. Кузин // Прикладная механика. - 1969. - Т.5. - №8. - С. 71-76.

144. Филллипов А.П. Влияние ползучести на концентрацию напряжений в пластинке с отверстием / А.П. Филллипов // Исследование по вопросам устойчивости и прочности, Киев. - 1966. - С. 56-69.

145. Филоненко-Бородич М.М. Теория упругости / М.М. Филоненко-Бородич // М.: Госиздат. - 1956. - С. 364.

146. Харченко А.П. Упругопластическое деформированное состояние бесконечной полосы с круговым отверстием / А.П. Харченко // Прикладная механика, Воронеж: изд. ВГУ. - 1976. - С. 60-66.

147. Цвелогуб И.Ю. О решении некоторых задач теории ползучести методом малого параметра / И.Ю. Цвелогуб, А.А. Шваб// Прикладная механика и техн. физика. - 1982. - №2. - С. 122-127.

148. Цветков Ю.Д. Кручение упругопластического цилиндрического стержня с поперечным сечением, близким к круговому / Ю.Д. Цветков // Актуальные задачи механики сплошных сред, Чебоксары. - 1986. - С. 117-121.

149. Цурпал И.А. Задачи концентрации напряжений с учетом физической нелинейности материала: Обзор / И.А. Цурпал, Г.Г. Кулиев // Прикладная механика. - 1974. - Т.10. - №7. - С. 3-22.

150. Черепанов Г.П. Об одном методе решения упругопластической задачи / Г.П. Черепанов // Прикладная математика и механика. - 1963. - Т.27. - Вып.3. - С. 428-436.

151. Черепанов Г.П. К решению некоторых задач теории упругости и пластичности с неизвестной границей / Г.П. Черепанов // Прикладная математика и механика. - 1964. -Т.28. - Вып.1. - С.141-144.

152. Чиканова Н.Н. Применение ТФКП к определению поля напряжений в пластине с эллиптическим включением / Н.Н. Чиканова, А. В. Ковалев // Современные проблемы механики и математической физики: Тез. докл. школы Воронеж. ун-та, Воронеж. - 1994. - С. 107.

153. Чиканова Н.Н. О локальной потере устойчивости неограничееной пластины с круговым включением / Н.Н. Чиканова // Сб. «Аналитические и численные методы решения задач мех. дефор. тв. тела», Деп. в ВИНИТИ, № 3346-В90.

154. Шакалова О.И. Применение метода малого параметра к одной задаче термопластичности с учетом реологии среды / О.И. Шакалова / Днепропетровск. Деп. в ВИНИТИ, 3.05.75, № 3450-75. - 1975. - С. 13.

155. Яковлев А.Ю. Двухосное растяжение упругопластического пространства с эллиптическим отверстием, заполненным эллиптическим цилиндром -включением / А.Ю. Яковлев // Материалы школы - семинара, посвященной 70-летию Д.Д. Ивлева «Современные проблемы механики и прикладной математики», г. Воронеж. - 2000. - С. 521-527.

156. Яковлев А.Ю. О влиянии формы внешнего контура включения на напряженно-деформированное состояние упругопластического пространства / А.Ю. Яковлев // В сборнике: Перспективы развития науки и образования

сборник научных трудов по материалам Международной научно-практической конференции. Тамбов. - 2014. - С. 160-162.

157. Budiansky B. Anisotropy plasticity of plane-isotopic sheets / B. Budiansky // Mech. Matar. Behav. Daniel C. Drakcker Anniv., Amsterdam e.a. - 1984. - Vol.1. -P. 15-29.

158. Collins I. The application on singular perturbations techniques to the analysis of forming progress for strainardeing materials / I. Collins // Metal Form. Plast. : Symp. Tutzing. Berlin e.a. - 1978. P. 227-243.

159. Deprit A. Canonical transformations depending on a small parameter / A. Deprit // Celestial Mech. - V.1. - P. 12-30.

160. Dollar A. Влияние неоднородности металла из формы некруговых сечений толстостенных цилиндров в состоянии полной пластичности и стадии разрушения / A. Dollar // Rozpz. inz. - 1983. - Vol.31. - №2. - P. 241-257.

161. Gamer U. Tresca's yield condition and the rotating disk - Trans / U. Gamer // ASME J. Appl. Mech. - 1983. - V.50. - P. 676-678.

162. Gamer U. Elastic-plastic deformation of the rotating solid disk / U. Gamer // Ingenieur-Archiv. - 1984. - V.54. - P. 345-354.

163. Gamer U. The rotating solid disk in the fully plastic state / U. Gamer // Forsch. Ingenieurwes. - 1984.- Bd.50. - Nr.5. - P. 137-140

164. Izwiski R.J. On the axially - symmetric plastic deformation of coulomn medium / R.J. Izwiski // Bulletin de l'Academie Rolonaise des Seiences, Serie des seences teshniques. - 1975. - V.20. - №7-8. - P. 245-255.

165. In an-qi elastic - plastic analysis of stress around a circular hole in on infinite sheet subjected to equal biaxial tension // Acta. mesh. solid sin. - 1984. - №3. - Р. 449-453.

166. Olsak W. Geometric properties of stress fields in plastically non-homogeneous bodies under conditions of plane strain / W. Olsak, J. Rychlewski // IUTAN Sympo-zium, Hana. - 1962.

167. Olsak W. Plasticity under non-homogeneous conditions / W. Olsak, J. Rychlewski, W. Urbanowski // Advaces in Appl. mech. - 1962. - №7. - Р. 131-214.

168. Rychlewski J. On the initial plastic flow of a body with arbitrarily small non-homogeneity / J. Rychlewski, J. Ostarowska // Arch. mech. stos. - 1963. - V.5. - Р. 687-710.

169. Rychlewski J. О произвольной малой пластической неоднородности / J. Rychlewski // Бюллетень Польской Академии Наук, серия техн. науки. - 1963. -V.11. - №6. - Р. 215-223.

170. Spenser A.J.M. Perturbation method in plasticity. I. Plane strain of non-homogeneity plbtic solids / A.J.M. Spenser // J. Mech. and phys. solid. - 1961. -Vol.9. - №4. - Р. 279-288.

171. Spenser A.J.M. Perturbation method in plasticity. II. Plane strain of slightly irregular bodies / A.J.M. Spenser // J. Mech. and phys. solid. - 1962. - Vol.10. - №1. - Р. 17-26.

172. Spenser A.J.M. Perturbation method in plasticity. III. Plane strain solids with wody forces / A.J.M. Spenser // J. Mech. and phys. solid. - 1962. - Vol.10. - №1. -Р. 165-177.

173. Yamamoto T. Elastic analysis of partial contact problem in uniaxially loaded plate with interference - fit disk / T. Yamamoto, T. Tumura // Bull.JSME. - 1986. -№257. - Р. 3659-3664.