Предельное и упругопластическое состояние тел при отрыве тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Роштова, Алена Николаевна

• Роштова, Алена Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Роштова, Алена Николаевна

Введение.J

Глава I. Предельное состояние тел при сопротивлении отрыву ^

§1.1 Предельное состояние при отрыве (пространственная задача). ^

§ 1.2 Предельное состояние при отрыве (общая плоская задача).

§ 1.3 Предельное состояние при отрыве (плоская задача).

Глава II. Упругопластическое состояние тел при отрыве

§2.1 Двуосное растяжение тонкой пластины, ослабленной круговым отверстием.

§2.2 Равномерное растяжение тонкой анизотропной пластины, ослабленной круговым отверстием.

§2.3 Равномерное растяжение тонкой анизотропной пластины, ослабленной эллиптическим отверстием.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Предельное и упругопластическое состояние тел при отрыве»

Разрушение материала под действием внешних усилий происходит различным образом. На рис. I. а) приведен стержень, растягиваемый силой р, на рис. I. б) показано разрушение путем сдвига, на рис. I. в) - путем отрыва.

Предельное сопротивление при сдвиге имеет место при достижении максимальным касательным напряжением определенного предельного значения.

Предельное сопротивление при отрыве может иметь место при достижении одним или двумя главными напряжениями определенных предельных значений.

Для случая плоской задачи запишем предельные условия сдвига и отрыва а) б) в)

Ш ///////Ж У/////////Л Р Р Р

Рис.1

Т. max <Т, . ,

- =k, к - const. 2

0) cr. = р, i = 1,2, р = cons*.

2)

На рис. II изображены ломаные, соответствующие условиям (1), (2).

В случае рис. И. а) имеет место 2к > р, в случае рис. II. б) - 2 к< р.

Экспериментальному определению константы отрыва р в случае, когда 2к< р посвящена монография Г. В. Ужика [76].

Для определения константы отрыва р>2к Г. В. Ужик [76] использовал образцы с выточками (рис. III). В этом случае в пластической зоне растягивающее напряженное состояние возрастает по мере удаления от выточки. При достижении максимальным растягивающем напряжением значения р разрушение в зонах АВ, А1В1 происходит путем сдвига, а в зоне ввх - путем отрыва (рис. III б).

Рис. II а} д)

Рис. Ill

Подобный характер разрушения наблюдается при растяжении образцов, роль концентратора напряжений играет шейка.

Разрушению твердых тел посвящено большое количество исследований, отметим работы [13, 17,27, 40,41, 60, 66, 76-78, 83-86].

Настоящая работа посвящена задачам определения предельного и упругопластического состояния тел при отрыве.

Статически определимое состояние при отрыве имеет место в случаях:

Tj = <т2 = р, <т3 < р, р = const, рассмотренный в работах Д.Д. Ивлева [35]; т3 = р, cTj = сг2 <<j3, р = const, рассмотренный Д.Д. Ивлевым, Н.М. Матченко [28].

В работе оба случая полного предельного состояния тела при отрыве обобщены на случай, когда величина р зависит от среднего давления <т и направления третьего главного напряжения <т3 - n = nxi + n2j + щк, где щ - направляющие косинусы в декартовой системе координат xyz.

Отметим, что при этом величина р характеризует анизотропию материала.

В случае пространственной задачи напряженное состояние тела описывается тремя различными семействами характеристических поверхностей. Площадки главных напряжений сг, = <т2 = р (сг, = сг2 <р) ортогональны направлению п, следовательно, одна из трех характеристических поверхностей совпадает с поверхностью отрыва.

Как следствие общего случая рассмотрена общая плоская задача и случай плоской деформации.

Плоское напряженное состояние описывается двумя различными семействами характеристик. При этом характеристические линии являются прямыми.

Отметим, что характеристики каждого -семейства в случае отрыва <7х = сг2 = р, <т3<р, р = р(ст,пх,п2,пъ) ортоногональны характеристическим линиям соответствующих семейств в случае отрыва сг3 = р, 0",=(72<(7з, р = р{(7,пх,пг,пг).

В диссертационной работе упругопластические задачи решаются методом малого параметра.

Метод малого параметра (метод возмущений) является методом приближенного решения. Впервые этот метод был использован при решении практических задач механики в работах Пуанкаре. С достижениями применения метода малого параметра в механике деформируемого твердого тела и гидро- газодинамике можно познакомится по монографиям Д. Д. Ивлева и JI. В. Ершова [36], Ван-Дайка [6] и Найфе [63, 64], А. Н. Споры-хина и А. И. Шашкина [74 ] и др.

Метод малого параметра основан на введении величин малых по сравнению с некоторыми данными, «возмущающих» исходные решения.

А. П. Соколов [71] одним из первых применил малый параметр к решению упругопластических задач. Он определил в первом приближении двуосное напряженное состояние тонкой пластины с круговым отверстием при условии пластичности Треска.

А. А. Ильюшин [38] связывал малый параметр с модулем объемного сжатия, Jl. М. Качанов - с геометрией тела. У J1. А. Толоконникова и его сотрудников [75] малый параметр характеризовал свойства пластического материала. В работе JI. В. Ершова, Д. Д. Ивлева [19] малый параметр характеризует различие между плоским деформированным и осесимммет-ричным состояниями.

Исследования ряда задач по упругопластическому деформированию тел посвящены работы С. А. Вульман [8-10], В. В. Кузнецова [50, 51], Ю. М. Марушкей [57, 58]Т. Д. Семыкиной [70], Харченко [79], А. И. Шашки-на, Ю. Д. Щегловой [82] и др.

JI. А. Галин [11,12] впервые дал точное решение неодномерной упру-гопластической задачи о распределении напряжений в окрестности кругового отверстия плоского деформированного тела, к контуру которого приложены постоянные нормальные усилия, а на бесконечности задано двуосное растяжение. Точное решение для определения смещений в задаче Галина получено Н. И. Остраблином [68].

Развитие результатов JI. А. Галина дано Б. Д. Анниным, Г. П. Черепановым [2]. А. В. Ковалев и А. Н. Спорыхин [48] дали приближенное решение задачи Галина для упруговязкопластических тел.

Д. Д. Ивлев [30, 31] методом малого параметра решил упругопласти-ческие задачи о двуосном растяжении тонкой и толстой пластин с эллиптическим отверстием. Аналогичным способом JI. В. Ершов и Д. Д. Ивлев [25] дали ряд приближенных решений упругопластических задач для иде-альнопластического тела.

В работах А. Н. Спорыхина и его учеников [45,46,49, 73] получен ряд приближенных решений для задач о растяжении плоскости из упрочняющегося упругопластического материала с круговым, эллиптическим и близким к правильному многоугольнику отверстием, находящим под действием внутреннего давления.

Отметим, что метод малого параметра также использовался в исследованиях: JL И. Афанасьевой [4], А. М. Васильевой [7], Д. В. Гоцева [15, 16], И. П. Григорьева, В. Г. Ефремова, Т. Л. Захаровой [22, 23], А. В. Ковалева [48-49], Т. А. Кульпиной [52], А. Н. Максимова [53], JI. А. Максимовой [54-56], Б. Г. Миронова [59, 60], М. В. Михайловой [61, 62], Е. Н. Ни-коновой [65], Н. И. Петрова, Т. Т. Пономаревой, С. Ю. Радаева [69], Т. И. Рыбаковой, Т. А. Санаевой, Е. А. Целистовой и др.

В работе рассматриваются соотношения общей плоской задачи теории идеальной пластичности, когда компоненты тензора напряжения зависят только от двух переменных, в данном случае от р,в, причем Tp9,tpZ отличны от нуля.

Методом малого параметра определены компоненты напряжения и граница, разделяющая пластическую и упругую зоны, тонкой пластины, ослабленной круговым отверстием и растягиваемой на бесконечности взаимно перпендикулярными усилиями, при условии сопротивления отрыву.

Также рассматривается равномерное растяжение тонкой пластины, ослабленной круговым (эллиптическим) отверстием, из анизотропного упругопластического материала, при условии сопротивления отрыву.

Методом малого параметра определены компоненты напряжения и упругопластический радиус.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Роштова, Алена Николаевна

Заключение

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. исследована пространственная задача предельного состояния тел при условии сопротивления отрыву. В общем случае условие отрыва р = р(ст,п.) зависит от среднего давления <т и направления п. Установлен тип уравнений, определены характеристические поверхности. Установлено, что одна из характеристических поверхностей всегда совпадает с поверхностью отрыва нормаль, к которой направлена по главному напряжению отрыва;

2. исследована общая плоская задача и случай плоской деформации. Получены характеристические уравнения и соотношения вдоль них. В случае плоской деформации характеристики являются прямыми;

3. исследовано упругопластическое напряженное состояние бесконечной пластины с круговым отверстием, растягиваемой на бесконечности взаимно перпендикулярными усилиями, при условии сопротивления отрыву;

4. исследовано влияние анизотропии на упругопластическое напряженное состояние тонкой пластины, ослабленной круговым отверстием, при условии сопротивления отрыву;

5. исследовано влияние анизотропии на упругопластическое напряженное состояние тонкой пластины, ослабленной эллиптическим отверстием, при условии сопротивления отрыву.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Роштова, Алена Николаевна, 2007 год

1. Алимжанов М. Т., Естаев Е. К. Упругопластическое состояние плоскости, ослабленной круговым отверстием // МДТТ. - 1982. - С. 105115.

2. Аннин Б. Д., Черепанов Г. П. Упругопластическая задача. Новосибирск : Наука, 1983.-238 с.

3. Артемов М. А. Двуосное растяжение тонкой пластины с эллиптическим отверстием // Актуальные вопросы теории краевых задач и их приложения. Чебоксары, 1988. - С. 4-8.

4. Афанасьева JI. И. О двуосном растяжении упруго-пластической пластины с круговым отверстием из сжимаемого материала // Известия Инженерно-технологической академии ЧР. Сводный том. Чебоксары, 1999.-№3-4; 2000.-№ 1-4; 2001.-№ 1-4.-С. 100-104.

5. Бицено К. Б., Граммелъ Р. Техническая динамика, JI. : Гостехиздат, 1950.

6. Ван Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М. : Мир, 1967.-310 с.

7. Васильева А. М. Определение напряженного состояния анизотропного пространства, ослабленного полостью // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева, серия механика предельного состояния. - Чебоксары. - 2007. -№ 1.-С.26-32.

8. Вульман С. А. О решении осесимметричных упругопластических задач методом малого параметра. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1969.-№3.-С. 164-169.

9. Вульман С. А. Решение осесимметричных упругопластических задач для тел из сжимаемого материала. Прикл. механика. - 1971. - Т. 7. -Вып. 7.

10. М.Галин Л. А. Упруго-пластические задачи. -М.: Наука, 1984.

11. Гвоздев А. А. Расчет несущей способности конструкций по методу предельного равновесия. М.: Стройиздат, 1949.

12. Гоцев Д.В., Ковалев А.В., Спорыхин А.Н. Локальная неустойчивость пластин с запрессованными кольцевыми включениями при упругопласти-ческом поведении материалов // Прикладная механика и техническая физика.-2001.-Т.42.-№3.-С.146-151.

13. Гоцев Д.В., Ковалев А.В., Спорыхин А.Н. Неустойчивость многослойной крепи в вертикальной горной выработке // Прикладные задачи механики и тепломассообмена в авиастроении: Труды II Всерос. науч.-техн. конф. Воронеж, 2001. 4.1. - С. 19-24.

14. Давиденков Н. Н. Динамические испытания металлов. М.: ОНТИ, 1936.18 .Ершов Л. В. Упругопластическое состояние конической и искривленной труб. Вестник МГУ, 1958. - №3.

15. Ершов JI. В., Ивлев Д. Д. Упругопластическое напряженное состояние полого толстостенного тора, находящегося под действием внутреннего давления. Изв. АН СССР, ОТН, 1957. - №7.

16. Ю.Ершов Л. В., Ивлев Д. Д. Упругопластическое состояние конической трубы, находящейся под действием внутреннего давления. Вестник МГУ, 1957.-№2.

17. Ершов Л. В., Ивлев Д. Д. Упругопластическое состояние эллиптической трубы, находящейся под действием внутреннего давления. Изв. АН СССР, ОТН, 1957.-№9.

18. Ивлев Д. Д. К теории идеальной пластической анизотропии // ПММ. -Т.23.-Вып. 6.- 1959.

19. Ивлев Д. Д. О статической определимости предельного состояния при отрыве // Проблемы механики. Киев, 1996. - Т. 32. - № 6.

20. Ивлев Д. Д. Приближенное решение задач теории малых упруго-пластических деформаций. Докл. АН СССР, 1957. - Т. 113. - №3.

21. Ивлев Д. Д. Приближенное решение плоских упругопластических задач теории идеальной пластичности. Вестник МГУ, 1957. №5.

22. Ивлев Д. Д. Приближенное решение упругопластических задач теории идеальной пластичности. Докл. АН СССР, 1957. Т. 113. - №2.

23. Ивлев Д. Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. -232 с.

24. Ивлев Д. Д., Ершов Л. В. Метод возмущений в теории упругопла-стического тела, М.: Наука, 1978.

25. Ивлев Д. Д., Максимова Л. А. О свойствах соотношений общей плоской задачи теории идеальной пластичности // ДАН. 2000. - Т.373. - №1. -С. 39-41.

26. Ильюшин А. А. Нормальные и касательные напряжения при чистом изгибе балки за пределом упругости и аналогия с задачей об изгибе плит // Инженерный сборник. 1954. - Т. 19. - С.3-12.

27. Ильюшин А. А. Пластичность. -М.: Гостехиздат, 1948.

28. Иоффе А. Ф., Левитская М. К Механизм остаточной деформации и разрушение. М.: Госхимтехиздат, 1924. - Вып. 12, 13.41 .Ишлинский А. Ю. О разрушении не вполне упругих материалов // Уч. зап. МГУ. 1946. - Вып. 117.

29. М.Ишлинский А. Ю., Ивлев Д. Д. Математическая теория пластичности. М.: Физматлит, 2001. 704 с.

30. Ишлинский А. Ю. Об устойчивости вязкопластического течения круглой пластинки. Прикладная матем. и механика, 1943. - Т. 7. - Вып. 6.

31. АА.Клюшников В. Д. Математическая теория пластичности. М. : МГУ, 1979.-207 с.

32. Ковалев А. В., Спорыхин А. Н. Двуосное растяжение упруго-пластического пространства с включением, близким по форме к правильному многоугольнику// Вестник Воронеж, ун-та. Серия 2. Естественные науки. 1998. - №3 - С. 136-141.

33. Аб.Ковалев А. В., Спорыхин А. Н. О двухосном растяжении пластины с отверстием // Информационные технологии и системы. Воронеж, 1998.-Вып.2.-С. 61-65.

34. Ковалев А. В., Спорыхин А. Н. О нахождении поля напряжений в эксцентричной трубе, подверженной действию внутреннего давления. // Вестник факультета прикладной математики и механики. Воронеж, гос. ун-т, 1998. - №1 - С. 85-90.

35. Ковалев А. В., Спорыхин А. Н. Об одном приближенном решении задачи Галина-Ивлева для сложной модели среды / Проблемы механики неупругих деформаций. М.: Физматлит, 2001. - С. 167-173.

36. Максимова JI. А. О линеаризованных уравнениях пространственного течения идеальнопластических тел // ДАН РАН, 1998. Т. 358. - № 6. -С. 772-773.

37. Максимова JI. А. О разрывных решениях пространственных задач теории идеальной пластичности // Известия НАНИ ЧР, Чебоксары, 2000. -№4.-С. 17-19.

38. Максимова JI. А. О течении полосы из идеального жесткопластиче-ского материала, ослабленного пологими выточками // Изв. РАН, МТТ, 1999.-№3.-С. 65-69.

39. Миронов Б. Г. К теории анизотропной идеально-пластической среды // проблемы механики : Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А. Ю. Ишлинского. М.: Физматлит, 2003. - С. 564-568.

40. Михайлова М. В. , Кульпина Т. А., Ярдыкова Н. А. Эксцентричная труба под действием внутреннего давления касательного усилия т°рв Ф 0 //

41. Научно-информ. Вестник докторантов, аспирантов, студентов ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Чебоксары. - 2005. - Т. 1. - №1(5). - С. 15-25.

42. Найфе А. X. Введение в методы возмущений.- М.: Мир, 1984. -526 с.

43. Найфе А. X. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. - 456с.

44. Остросаблин Н. И. Определение смещений в задаче JI. А. Галина / Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР. - 1973. - Вып. 14. - С. 67-70.

45. Радаев С. Ю. О плоской задаче определения предельного состояния идеальнопластических анизотропных сред // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. Чебоксары, 2005. - № 2. - С. 15-21.

46. Ю.Семыкина Т. Д. О трехосном растяжении упругопластического пространства, ослабленного сферической полостью. Изв. А.Н. СССР, Механика и машиностр., 1963. -№1.

47. Х.Соколов А. П. Об упругопластическом состоянии пластинки. -Докл. АН СССР, 1948.-Т. 10. -№1.

48. Соколовский В. В. Теория пластичности. -М.: Высшая школа, 1969. -608 с.

49. Спорыхин А. Н., Чиканова К. Н., Ковалев А. Н. К определению поля напряжений в пластинах с отверстиями различных очертаний // Информационные технологии и системы. Воронеж, 1994. - Ч. 3. -С. 11-15.

50. А.Спорыхин А. Н., Шашкин А. И. Устойчивость равновесия пространственных тел и задачи механики горных пород. М. : Физматлит, 2004. -232 с.

51. Толоконников Л. А., Яковлев С. П., Кузин В. Ф. Плоская деформация со слабой пластической анизотропией // Прикл. механика. 1969. - Т.5, №8.-С. 71-76.1в.Ужик Г. В. Сопротивление отрыву и прочность материалов // АН СССР.- 1950.

52. Фейнберг С. М. Принцип предельной напряженности // ПММ. -1948. Т. 12.-Вып. 1.1%.Филоненко-Еородич М. М. Об условиях прочности материалов, обладающих различным сопротивлением сжатию и растяжению // Инж. сб. -1954.-Т. 19.

53. Хаар, Карман К теории напряженных состояний в пластических и сыпучих средах. Теория пластичности. Сборник переводов. М.: ИЛ, 1948.

54. Griffith A. The problem of Rupture and Flow in Solids // Phii. Trans. -1921.-211 p.

55. Mohr 0. Abhandlungen aus dem Gebiete der technischen Mechanik. Berlin, 1914.

56. S5.Nadai A. Theory of Flow and Fracture of Solids. N.Y.; Toronto; L., 1950.8e.Prandtl L. Uber die Eindringung-festigkeit (Harte) plastischer Baustoffe und die Festigkeit im Schneiden // ZAMM. 1928. - Bd.I. H. I.

57. Роштова A. H. О предельных статически определимых условиях отрыва для сжимаемого анизотропного материала // Вестник СамГУ Естественнонаучная серия. - 2007. - № 6(56). - С. 5-12.

58. Роштова А. Н. Об общих предельных условиях при отрыве для сжимаемых анизотропных сред // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева, серия: Механика предельного состояния 2007. - №2. - С. 131-134.

59. Роштова А. Н. О плоском напряженном состоянии анизотропного идеальнопластического материала // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. -2007. -№3(55). -С. 19-22.

60. Роштова А. Н. Растяжение упругопластической анизотропной тонкой пластины, ослабленной круговым отверстием // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. 2007. - № 3 (55). - С. 22-27.

61. Ивлев Д. Д., Роштова А. Н. О предельных соотношениях при отрыве для анизотропного материала // Математические модели и методы механики сплошных сред : сборник научных трудов: к 60-летию А. А. Буренина. Владивосток: ИАПУ ДВО РАН, 2007. С. 106-107.