Применение метода быстрых разложений для анализа напряжений в упругих прямоугольных пластинах конечных размеров тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Хозяинова, Наталья Алексеевна

• Хозяинова, Наталья Алексеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Хозяинова, Наталья Алексеевна

Содержание

Введение

Глава I. Основные положения метода быстрых разложений

§ 1. Построение граничных функций

§2. Оператор быстрых разложений

§3. Поточечный метод вычисления коэффициентов ряда Фурье

§4. Пример реализации метода быстрых разложений при решении краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка

Выводы к главе 1

Глава II. Растяжение сплошной упругой пластины конечных размеров

§ 1. Постановка задачи

§2. Выбор граничных функций

§3. Построение приближенных решений в аналитическом виде

§4. Сравнение точного решения с приближенным. Анализ погрешности

Выводы к Главе II

Глава III. Растяжение сплошной упругой пластины конечных размеров с

отверстием

§ 1. Постановка задачи

§2. Выбор граничных функций

§3. Составление алгебраической системы для определения коэффициентов

Фурье

§4. Определение коэффициентов Фурье поточечным методом

§5. Построение приближенных решений с учетом 3-5 членов быстрого ряда

Фурье

Выводы к Главе III

Основные выводы и результаты

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение метода быстрых разложений для анализа напряжений в упругих прямоугольных пластинах конечных размеров»

Введение

Во многих областях техники и строительства используются инженерные конструкции, составленные из тонких упругих пластин. Различные комбинации пластин и оболочек являются конструктивными элементами самолетов, судов, ракет, деталями промышленных машин и т. д. Модель напряженно-деформированного состояния пластины актуальна также для изучения поведения плит земной коры в геологии [61], [68], для строительства дорог, мостов и зданий. Гибкие пластины и мембраны разнообразной формы, а также их сочетания используются во многих приборах и устройствах. Широкое практическое приложение имеют задачи о концентрации напряжений вблизи пор и отверстий в конструкциях и материалах. Нередко их можно свести задачам о плоской деформации упругой плоскости с отверстиями. К этому классу относят также задачи о туннелях, скважинах, перфорированных пластинах.

Плоские задачи теории упругости сложны по двум обстоятельствам: во-первых, математическая модель представляет собой систему дифференциальных уравнений в частных производных. При решении в перемещениях она состоит из системы двух уравнений второго порядка в частных производных. При решении в напряжениях задача содержит три уравнения первого и второго порядков, а через функцию напряжений - одно дифференциальное уравнение четвертого порядка в частных производных. Кроме того, для прикладных задач исследуемые тела часто имеют сложную форму, на которой заданы граничные условия. Оба этих фактора в совокупности обусловливают большую математическую сложность рассматриваемого класса задач и отсутствие универсального аналитического метода решения.

Существующие в настоящее время методы решения задач теории упругости можно разделить на эмпирические, аналитические и численные.

Эмпирические методы в механике предполагают постановку эксперимента и наблюдение за поведением деформируемых тел. Эти методы позволяют получать данные о реальном распределении напряжений и деформаций в условиях эксплуатации конструкций, а также используются при разработке математических моделей и оценке точности результатов численных методов. Первый из эмпирических методов исследования картины распределения деформаций применил немецкий физик и математик Г. К. Брун для изучения влияния отверстий и вырезов в палубах на общую крепость судов [43]. Он взял продолговатый лист резины, разграфил его проведенными параллельно и перпендикулярно длинной стороне прямыми на квадраты, сделал в нем вырезы разной формы и, растянув этот лист в продольном его направлении, зачерчивал форму тех кривых, в которые обращались первоначальные прямые линии, начерченные на листе. В современной науке используются такие методы как метод хрупких тензочувствительных покрытий, метод оптически чувствительных покрытий, методы спектрфотографии и голо-графической интерферометрии, методы муаровых полос, позволяющие получить графическую картину распределения деформаций и напряжений в теле под действием приложенных сил.

Применению эмпирических методов для изучения деформированного состояния пластин и оболочек, имеющих концентраторы напряжения различных типов, посвящены работы Александрова А. Я. [3], Сухарева И. П., Борыняк Л. А., Жилкина В. А. [9], [21], Ушакова Б. Н., Шнейдерович Р. М., Левина О. А., Теока-риса П., Полухина П. И., Воронцова В. К., Чиченева Н. А, Сегал В. М., Макушок И. М., Резникова В. И., Дюрелли А., Попова А. М. [69], Аллахвердова Е. Б., Кор-зона С. А. [5] и другие. Однако при решении ряда важных задач механики деформируемого тела чувствительность и точность традиционных экспериментальных методов оказываются недостаточно высокими, а проведение испытаний — весьма трудоемким, что, помимо затруднений в обобщении полученных эмпирическим путем решений, является недостатком данных методов.

Благодаря развитию мощной компьютерной техники большое значение для решения широкого круга задач механики, отличающихся сложностью постановок,

приобрели численные методы. Хотя многие методы вычислительной механики являются скорее экспериментальными, чем теоретически обоснованными [47], а полученные результаты требуют проверки достоверности и оценки погрешности [7], существующее программное обеспечения (комплексы COSMOS, ANS YS, Mathtlab) предоставляет возможность решения практически любой задачи. Этим обусловлено развитие и широкое использование различных численных методов, базирующихся на дискретизации тела (МКЭ) или сформулированной математической задачи (МКР), каждый из которых имеет свои достоинства и недостатки. Наиболее универсальны и распространены в практике методы конечных элементов и конечных разностей. МКЭ имеет «инструментальную» причину для формирования ошибки вычислений — необходимость дискретизации области, занимаемой телом. Численная реализация метода конечных элементов для решения двумерных задач для пластины с трещиной и пластины с пятью отверстиями в рамках несимметричной теории упругости приведена в [44]. Частоты собственных колебаний для жестко заделанных пластин с эллиптическими и круговыми вырезами центрального расположения рассчитаны с помощью метода конечных элементов в [59]. Методический пример расчета величин и направлений главных напряжений в одной точке прямоугольной пластинки конечных размеров и построения эпюр напряжений в различных сечениях с помощью метода конечных разностей представлен в [34]. МКР, осуществляемый на основе конечно-разностной аппроксимация дифференциальных операторов, обладает недостаточной устойчивостью численных результатов, что сказывается на точности решения при некоторых видах краевых условий. Развитием численных методов в применении к задачам теории упругости занимались JI. А. Розин [70], А. В. Александров [2], Варвак П. М., Масленников А. М [53], В. П. Ильин [35], В. В. Карпов и другие.

В настоящее время разработан ряд методов, позволяющих получить решения задач механики сплошной среды в аналитическом виде, пригодном для последующего исследования. Это методы теории функций комплексного переменного, малого параметра, граничных состояний, быстрых разложений.

Формулы, которыми искомые решения выражаются через функции (потенциалы) комплексного аргумента, впервые опубликованы Г. В. Колосовым в монографии [43]. Как правило, при решении задач рассматривают несколько видов областей: конечная односвязная область, бесконечная область с отверстием, конечная двусвязная кольцевая область. Сложность метода Колосова заключается в требовании голоморфности функции в рассматриваемой области и в интегрировании по границе этой области. В [43] приведено решение плоской задачи теории упругости для бесконечной пластины методом функций комплексной переменной. Дальнейшим развитием этого метода занимались Н. И. Мусхелишвили, Г. 3. Шарафутдинов, И. В. Кучеренко, Д. В. Головин и другие.

В монографии [57] Н. И. Мусхелишвили приводит решения плоских задач теории упругости для областей, ограниченных окружностью изнутри или снаружи - то есть для области, представляющей собой круг и для бесконечной пластины с круговым отверстием. Решение сводится к отысканию комплексных потенциалов, через которые выражаются напряжения, в виде степенных рядов или в виде комплексных рядов Фурье и к отысканию коэффициентов этих рядов. В работах [101], [102] Шарафутдинов рассматривает применение функций комплексного переменного при наличии массовых сил и к пространственным задачам теории упругости. В [22] предлагается аналитический алгоритм решения двумерных задач теории упругости однородного прямолинейно-анизотропного тела с криволинейным вырезом (плоская задача, продольный сдвиг, изгиб пластин). Автор предполагает, что возмущение поля напряжений, вызванное наличием выреза, не достигает внешней поверхности тела. С применением аппарата аналитических функций обобщенного комплексного переменного, рассматриваемые задачи сведены к конечным системам линейных алгебраических уравнений, порядок которых зависит от наибольшей отрицательной степени в разложении отображающей функции. В результате, получены общие представления комплексных потенциалов напряженно-деформированного состояния для конечной и бесконечной многосвязных областей. Определены функции напряжений для многосвязной прямолинейно-анизотропной пластины при действии элементарных видов нагрузки (всесторон-

нее растяжение, чистый сдвиг, растяжение-сжатие). В работах [15], [16], [48], [49] рассматриваются решения задач о бесконечных пластинах с трещинами и отверстиями, укрепленными накладками, с помощью функций Колосова и комплексного интегрирования. Также на основе метода аналитических функций комплексного переменного, в книге «Перфорированные пластины и оболочки» [18] Э. И. Григолюка и Л. А. Филыптинского описывается напряженное состояние неограниченной пластины, ослабленной двоякопериодической системой одинаковых круговых отверстий - так называемой перфорированной пластины. В работе [75] рассматривается напряженное состояние тонкой упругой бесконечной пластины с эллиптическим вырезом, на который наложена и жестко присоединена к пластине вдоль всей границы полностью покрывающая вырез накладка. На бесконечности заданы растягивающие напряжения, на границе выреза действуют усилия, расположенные в плоскости пластины. Задача решена аналитически с помощью комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили, представленных в виде степенных рядов по вспомогательной комплексной переменной. Областью определения данной переменной является конформное отображение, выбранное так, чтобы границе выреза и линии соединения пластины и накладки соответствовали концентрические окружности на вспомогательной плоскости. В [25], [51] приведен расчет напряженно-деформированного состояния бесконечных анизотропных пластин с дефектами типа гладких криволинейных непересекающихся сквозных трещин, жестких включений, эллиптических отверстий и упругих включений. Решение задач строится методом комплексных потенциалов Лехницкого, задаваемых в виде интегралов типа Коши по контурам дефектов и сводится системе сингулярных интегральных уравнений, которая решается численно с помощью квадратурных формул Гаусса-Чебышева.

В приложении к решению упругопластических задач механики деформируемого твердого тела нашел широкое применение метод малого параметра. В монографии Д. Д. Ивлева и Л. В. Ершова [30] используются различные схемы решения упругопластических задач методом малого параметра. Авторы рассмотрели случай, когда пластическая зона развивается от некоторой границы и целиком

охватывает ее. В рамках такого подхода было получено решение ряда двухмерных и трехмерных задач, таких как: двуосное растяжение толстой бесконечной пластины с круглым и эллиптическим отверстием, двуосное растяжение тонкой бесконечной пластины с круговым отверстием, эксцентричная труба под действием внутреннего давления, двуосное растяжение пространства с эллиптической полостью.

В статьях и монографиях М. Т. Алимжанова [4], А. Н. Спорыхина [77-81], А. И. Шашкина [82], Т. Д. Семыкиной [72-74], Н. В. Минаевой [54-55] изложено состояние и дальнейшее развитие метода возмущений в применении к двумерным задачам теории упругости и пластичности. В частности, методом малого параметра получено решение для случая двуосного растяжения бесконечной пластины из трансверсально анизотропного материала с эллиптическим отверстием [73]. Малый параметр характеризует анизотропию материала, за начальное приближение принята задача о двуосном растяжении пластины с круговым отверстием, решение которой приведено Д. Д. Ивлевым в [31].

В [62] рассматривается тонкая пластина с эллиптическим отверстием из идеально — упругопластического анизотропного материала под действием двуосного растяжения. В пластической области материал представляется анизотропным. Методом малого параметра определено упругопластическое напряженно-деформированное состояние пластины, влияние параметров анизотропии на поведение упругопластического напряженно-деформируемого состояния и упруго-пластической границы.

В работе [76] А. П. Соколов приводит решение в первом приближении уп-ругопластической задачи о двуосном растяжении тонкой пластины с круговым отверстием при условии пластичности Треска-Сен-Венана. Механическое поведение толстой плиты, ослабленной отверстием сложной формы рассматривается в [103]. Плита считается нагруженной на бесконечности взаимно перпендикулярными усилиями и на границе отверстия - давлением. Задача решается методом возмущений, где за нулевое приближение принято осесимметричное состояние плиты.

Решением задач механики с помощью метода малого параметра, в частности, уточнением результатов Ивлева-Ершова и нахождением перемещений занимались Н. Н. Остросаблин, Б. Д. Аннин, Г. П. Черепанов, М. А. Артемов [6]. В работе [79] приведен ряд приближенных решений для задач о растяжении плоскости из упрочняющегося упругопластического материала с круговым, эллиптическим и близким к правильному многоугольнику отверстием, подверженных действию внутреннего давления. Следует отметить, что проблема сходимости приближений малого параметра остается малоизученной.

Метод граничных состояний, предложенный и проиллюстрированный на примере основных задач теории упругости для тела конфигурации «гвоздь» в [6566] В. Б. Пеньковым и Л. В. Саталкиной, применяется в сочетании с методом малого параметра. Основные соотношения теории упругости разложением по малому параметру приводятся к бесконечной последовательности линейных систем уравнений. Для решения задачи каждого приближения используется метод граничных состояний. Он заключается в представлении граничного состояния как следа, оставленного на границе тела внутренним состоянием. Внутреннее состояние - любое частное решение определяющих уравнений среды без граничных условий. Совокупность всех возможных внутренних состояний образует гильбертово пространство внутренних состояний и может быть представлено в виде ряда Фурье по элементам ортонормированного базиса. Совокупность всех граничных состояний образует гильбертово пространство граничных состояний и для него также справедливо разложение в ряд Фурье по элементам ортонормированного базиса. Если пространства внутренних и граничных состояний изоморфны в смысле Гильберта, то изучение внутреннего состояния сводится к изучению соответствующего граничного состояния. В статьях Д. А. Иванычева [28-29] рассмотрена вторая основная задача для тела прямоугольной формы из анизотропного упругого материала. Перемещения в аналитическом виде получены методом граничных состояний на основе формул комплексного представления, являющихся общим решением для анизотропной среды. Базисный набор внутреннего состояния среды сгенерирован с помощью фундаментальной системы многочленов Вей-

ерштрасса, а отыскание внутреннего состояния сведено к построению изоморфного ему граничного состояния. В конечном итоге задача разрешается путем вычисления конечного числа контурных интегралов.

Существуют также частные методы решения отдельных задач. Некоторые частные случаи деформации прямоугольной полосы можно исследовать, подбирая функцию Эри в виде алгебраических полиномов различных степеней, как это сделано в [63] для чистого изгиба, изгиба и растяжения пластины, консольной полосы, загруженной перерезывающей силой, приложенной к свободному концу, изгиба свободно опертой полосы, загруженной равномерно распределенной нагрузкой. Однако такой подбор можно осуществить далеко не всегда. В монографии А. С. Демидова [19] приводится аналитическое решение задачи Кирша об одноосном растяжении полуплоскости значительной ширины с малым отверстием. Согласно этому решению, напряжение достигает максимума на краях отверстия, соответствующих вертикальному диаметру, где оно втрое больше номинального, т. е. напряжения, которое имело бы место в случае отсутствия отверстия-концентратора напряжений, и равного внешнему напряжению. В точках, соответствующих горизонтальному диаметру сжимающее напряжение по величине равно приложенному на бесконечности. В статье [20] приводится обзор результатов и применяемых методов исследования, относящихся к широкому спектру задач со свободной границей для гармонических функций двух переменных и описывается функционально-геометрический метод. Он заключается во взаимосвязанном анализе функциональных и геометрических характеристик рассматриваемых задач и соответствующих им нелинейных задач Римана-Гильберта.

Методом приведения системы уравнений равновесия к диагональному виду и разделения процедуры решения для каждой из искомых функций напряжения, удовлетворяющих уравнениям равновесия в области и граничным условиям типа Коши на контуре в [23] получены аналитические решения трех плоских задач в напряжениях для нагружения полосы сложной нагрузкой.

Применение преобразования Фурье или других интегральных преобразований к решению уравнений в частных производных, при помощи которых описы-

ваются физико-механические свойства сплошных сред, позволяет понижать порядок этих уравнений. В механике сплошных сред применяются ряды Фурье для решения прикладных задач. Но в каждом из известных случаев используются частные методы. В книге [83] С. П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер приводится большое количество примеров с использованием рядов Фурье. Задавая нагрузку на границе области в виде тригонометрических функций, авторы ищут решения в форме рядов Фурье, удовлетворяющих уравнениям равновесия и граничным условиям. Таким образом решены задачи о прогибах пластинки со свободным опи-ранием, пластинки, нагруженной сосредоточенной силой при условиях свободного опирания, а также о деформации прямоугольной пластины бесконечной длины и другие частные случаи. В задаче для полубесконечной прямоугольной пластинки, нагруженной равномерным давлением или сосредоточенной нагрузкой рассматриваются разные комбинации граничных условий: свободного опирания и защемления. Решения представлены в виде суммы двух функций, общего и частного решения уравнений равновесия. Эти функции ищутся в форме различных рядов, в зависимости от конкретного случая граничных условий. Обобщение полученных решений для случая произвольных напряжений или перемещений на границах, заданных, например, в виде некоторых линейных функций, невозможно ввиду допущений, сделанных при постановке задач.

В настоящей работе рассматриваются прямоугольные пластины конечных размеров сплошные и ослабленные круговым отверстием. Найдены приближенные аналитические решения второй краевой задачи с помощью метода быстрых разложений А.Д. Чернышова [90-100].

Научная новизна работы:

получено аналитическое решение задачи плоской деформации прямоугольной упругой пластины конечных размеров под действием нормальных усилий, являющихся функциями пространственных переменных;

проведено аналитическое исследование напряженно-деформированного состояния упругих пластин, ослабленных произвольно расположенным круговым отверстием;

использование предложенного метода быстрых разложений позволяет рассматривать конечномерные пластины с отверстиями любой формы при двуосном растяжении (сжатии) переменными воздействиями;

разработан программный комплекс, реализующий метод быстрых разложений функций двух переменных, в котором входящими параметрами являются размеры пластины и отверстия, координаты отверстия и вид функций, определяющих нормальные напряжения на границах.

Объектом исследования является упругая пластина конечных размеров, сплошная или с отверстием, для которой выполняются соотношения теории упругости. Решения получены методом быстрых разложений и исследованы с помощью методов математического анализа. Все вычисления и построение графиков проводятся в Мар1е 9.5.

Целью настоящей диссертации является разработка методов решения краевых задач определения напряженно-деформированного состояния в рамках плоской деформации различных упругих пластин конечных размеров при переменном внешнем воздействии. Для достижения поставленной цели планируется выполнить последовательно следующие задачи:

1. Изложить основные положения метода быстрых разложений, найти погрешность относительно известного точного решения.

2. На основе численных экспериментов сделать предварительные выводы о количестве слагаемых в ряду Фурье, необходимых для приближения функций напряжений и перемещений в зависимости от ГУ в задачах механики.

3. Получить аналитическое решение задачи о плоской деформации сплошной упругой пластины конечных размеров и упругой пластины конечных размеров с круглым отверстием методом быстрых разложений.

4. Проанализировать решения, варьируя количество слагаемых в рядах Фурье, размеры пластин, виды функций, задающих напряжения на границах.

Достоверность научных положений обеспечивается использованием фундаментальных соотношений теории упругости, физически корректных формулировок математических моделей, корректным применением математического аппарата рядов Фурье и согласованностью полученных решений с результатами других авторов.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Определение напряженно-деформированного состояния сплошной упругой конечномерной пластины под воздействием нормальных напряжений, заданных в виде констант и линейных функций.

2. Решение задачи о плоской деформации упругой конечномерной пластины с круговым отверстием под воздействием нормальных напряжений на границах, заданных в виде констант и линейных функций.

3. Разработка приближенного метода быстрых разложений для решения плоских задач теории упругости

4. Реализация предложенного подхода в виде программного комплекса, позволяющего рассматривать пластины различной формы, ослабленные нецентрированными отверстиями произвольной формы.

Практическая ценность и область применения полученных результатов. Полученные результаты могут быть использованы для расчета и исследования полей напряжений, перемещений и деформаций в плоских упругих пластинах. Разработанный программный комплекс позволяет варьировать размеры пластин, исследовать пластины, изготовленные из различных материалов в пределах теории упругости, а также проводить вычисления для случаев кругового отверстия произвольного размера и расположения. Могут рассматриваться случаи, когда нормальные напряжения на границе задаются функциями различного вида.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были представлены на следующих конференциях:

1. Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики.

Воронеж. 20-22 сентября 2010 г.

2. Отчетная научная конференция преподавателей и научных сотрудников ВГУИТза 2011 г.

Список публикаций. Основные результаты опубликованы в пяти печатных работах, три из них - в ведущих научных рецензируемых журналах из списка ВАК.

1. Хозяинова, Н. А. Исследование погрешности поточечного метода вычисления коэффициентов быстрых рядов Фурье / А. Д. Чернышев, Н. А. Хозяинова, В. В. Горяйнов // Вестник Воронежского государственного университета инженерных технологий. Серия: Информационные технологии, моделирование и управление. - № 2(48). - 2011. - С. 64 - 67.

2. Хозяинова, Н. А. Применение быстрых разложений для решения задачи о растяжении упругой пластины конечных размеров с отверстием / А. Д. Чер-нышов, Н. В. Минаева, Н. А. Хозяинова // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. - № 2(10). - 2011. - С. 104-110.

3. Хозяинова, Н. А. Решение задачи о растяжении упругой прямоугольной пластины методом быстрых разложений / А. Д. Чернышов, Н. А. Хозяинова // Вестник Воронежского государственного университета инженерных технологий. Серия: Информационные технологии, моделирование и управление. -№4(54).-2011.-С. 43-47.

4. Хозяинова, Н. А. О растяжении прямоугольной пластины конечных размеров с круговым отверстием / Н. А. Хозяинова // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики. Сборник трудов международной конференции. Воронеж. 20-22 сентября 2010 г. - С. 375-380.

5. Хозяинова, Н. А. Применение метода быстрых разложений при нахождении напряжений в растянутой прямоугольной пластине / А. Д. Чернышов, Н. А. Хозяинова // Материалы Ь отчетной научной конференции преподавателей и научных сотрудников ВГУИТ за2011 г. - 4.2. - С. 132.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложений, содержащих листинг программ, и списка литературных источников.

В первой главе указаны и продемонстрированы на простом примере два недостатка классического ряда Фурье, ограничивающих его использование при решении прикладных задач: медленная сходимость ряда и невозможность его бесконтрольного дифференцирования. Приведены основные положения метода быстрых разложений, позволяющего, за счет использования граничных функций различных порядков, привести исходную функцию или ее производные к виду, удовлетворяющему теореме Толстова, и преодолеть данные ограничения, обеспечивающего быструю сходимость ряда Фурье и возможность его многократного почленного дифференцирования. Обоснован выбор вида и порядка граничных функций для решения определенного класса задач, описана последовательность действий, выполняемых при применении к функции операторов быстрых разложений нулевого и первого порядков, а также при нахождении коэффициентов быстрых разложений поточечно. В качестве примера реализации метода построены приближенные аналитические решения задачи Коши для дифференциальных уравнений второго порядка с известными точными решениями и проведен анализ абсолютной и относительной погрешностей в зависимости от порядка граничной функции, количества слагаемых в ряду Фурье и параметров точного решения. Проведено также графическое и аналитическое сравнение быстрого разложения и классического ряда Фурье для функции и ее производных.

Во второй главе приводится постановка и решение задачи о растяжении сплошной упругой прямоугольной пластины конечных размеров. Перемещения представляются в виде быстрых разложений по переменным у и х с граничными функциями второго порядка в области пластины. К системе уравнений и ГУ, описывающей плоскую деформацию пластины, применяются операторы быстрых разложений нулевого и первого порядков таким образом, чтобы старшей производной всюду оставалась вторая. Задача сводится к решению линейной системы относительно неизвестных постоянных - коэффициентов рядов Фурье по двум пространственным переменным, а также коэффициентов граничной функции, являющихся значениями искомых перемещений и их производных на границах пластины по пространственным координатам. Полученное методом быстрых разло-

жений решение сравнивается с уже существующим аналитическим решением для случая равномерного симметричного двуосного растяжения пластины.

В третьей главе рассмотрена пластина конечных размеров с круговым отверстием радиуса , находящаяся под действием нормальных напряжений, приложенных к внешним границам и к границе отверстия и заданных в виде функций пространственных переменных. Решение проводится в перемещениях с помощью метода быстрых разложений по координатам у и х, выбираются граничные функции второго порядка. В процессе решения пластина мысленно разделяется на две односвязные области с применением метода расширения границ, вводятся условия сопряжения на границе разреза для напряжений и перемещений. Рассмотрение ГУ на внешних границах и уравнений Ламе в области пластины проходит с применением операторов быстрых разложений, аналогично и на основе решения для сплошной пластины, приведенного во второй главе. На границе проведенного мысленно разреза и на границе кругового отверстия решение проводится с применением поточечного метода нахождения коэффициентов ряда Фурье. Количество точек разбиения линейно зависит от количества слагаемых ряда Фурье в разложении по переменной х. По полученным перемещениям определяются деформации и напряжения в области пластины, вычисляется второй инвариант напряжений. Аналитический и графический анализ приведен для различных случаев напряжения на границах пластины - постоянных и заданных в виде линейных функций.

Приложения А, Б и В содержат коды программ для первой, второй и третьей глав диссертации соответственно.

Список литературных источников включает 103 наименования.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Хозяинова, Наталья Алексеевна

Основные выводы и результаты

1. Метод быстрых разложений в приложении к задачам МСС позволяет получать решение в явном аналитическом виде. Изложены основные принципы реализации метода и операторов быстрых синус- и косинус-разложений нулевого и первого порядков в применении к дифференциальным уравнениям в случае двумерной задачи.

2. Небольшое число слагаемых в ряде Фурье быстрых разложений позволяет получить решение с достаточно высокой точностью.

3. В результате анализа решения краевых задач второго порядка для различных функций сделан вывод о зависимости погрешности приближенного решения методом быстрых разложений от вида функции, а в частности - от количества точек перегиба

4. Разработан способ нахождения решения, описывающего напряженно-деформированное состояние пластины конечных размеров, сплошной или с круговым отверстием, в случае, когда напряжения по контуру являются произвольными функциями координат.

5. Найдены напряжения и перемещения в области пластины, круговой или с отверстием, для частных случаев (симметричных и несимметричных) напряжений по границам: постоянных, в виде линейных функций.

6. Определены максимальные значения второго инварианта напряжений.

7. Разработан и реализован средствами Мар1е 9.5 алгоритм решения задач о плоской деформации сплошной упругой пластины и упругой пластины с круговым отверстием для различных случаев нормальных напряжений на границах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Хозяинова, Наталья Алексеевна, 2013 год

Список литературы

1. Авдонин, А. С. Прикладные методы расчета оболочек и тонкостенных конструкций. - М.: Машиностроение, 1969. - 404 с.

2. Александров, А. В. Об использовании дискретной модели при расчете пластинок с применением цифровых автоматических машин / А. В. Александров, Н. Н. Шапошников // Труды Моск. ин-та. инж. тр-та., вып. 194. - 1966.

3. Александров, А. Я. Исследование плоских упруго-пластических задач при помощи фотоупругих покрытий / А. Я. Александров, М. X. Ахметзянов // Журн. прикл. механ. и техн. физики. -1961. - № 6. - С. 99-110.

4. Алимжанов, М. Т. Упругопластическое состояние плоскости, ослабленной круговым отверстием / М. Т. Алимжанов, Е. К. Естаев // Механика деформ. тверд, тела. - 1982. - С. 105-115.

5. Аллахвердов, Е. Б. Исследование деформированного состояния фанеры методом муаровых полос / Е. Б Аллахвердов, С. А. Корзон, В. М. Никитин // Механика стержневых систем и сплошных сред. - 1969. - № 60. - С. 172-177.

6. Артемов, М. А. Двуосное растяжение тонкой пластины с эллиптическим отверстием / М. А. Артемов // Актуальные вопросы теории краевых задач и их приложения. Чебоксары. - 1988. - С. 4-8.

7. Баженов, В. А. Численные методы в механике / В. А. Баженов, А. Ф. Да-щенко, В. Ф. Оробей, Н. Г. Сурьянинов, 2004. - 564 с.

8. Бесов, О. В. Тригонометрические ряды Фурье / О. В. Бесов. - М.: МФТИ, 2004.-31 с.

9. Борыняк, JI. А. Практические способы записи и расшифровки голографиче-ских интерферограмм, обеспечивающие необходимую точность определе-

ния компонент тензора деформаций / Л. А. Борыняк, С. И. Герасимов, В. А. Жилкин. - Автометрия, 1982. - № 1. - С. 17-24.

10. Вульман, С. А. Напряженно-деформированное состояние пластины с включением / С. А. Вульман, Т. Д. Семыкина // Прикладные задачи механики сплошных сред. Воронеж, 1988. - С. 48-51.

11. Галимов, Н. К. К теории трехслойных пластины и оболочек / Н. К. Гали-мов, X. М. Муштари // Исследования по теории пластин и оболочек, Сб. II под ред. проф. Галимова К.З. Изд-во Казанского ун-та, 1964.

12. Галиньш, А.К. Расчет пластин и оболочек по уточненным теориям // Исследование по теории пластин и оболочек / А. К. Галиньш. - 1967. - Вып. 5. - С. 66-92.

13. Галеркин, Б. Г. Стержни и пластинки. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия стержней и пластинок / Б. Г. Галеркин // Вестник инженеров. — 1915. —Т.1. —С. 897—908.

14. Галин, Л. А. Плоская упругопластическая задача / Л. А. Галин // Прикладная математика и механика, 1946. Т. 10, вып. 3. С. 367-386.

15. Головин, Д. В. Расчет концентраций напряжений в пластине конечной ширины с круглым отверстием при растяжении. / Д. В. Головин, Н. И. Данилов, Б. С. Резников // Тезисы докладов ХЫХ Международной Студенческой Научной Конференции, Новосибирск, Новосибирский государственный университет, 16-20 апреля 2011. Новосибирск, Новосибирский государственный университет, 2011. - С.5.

16. Головин, Д. В. Численный анализ концентрации напряжений в пластине с круглым отверстием. / Д. В. Головин, Н. И. Данилов, Б. С. Резников // Тезисы докладов Региональной школы-семинара «Современные научные проблемы создания летательных аппаратов, вооружения и освоения космического пространства», Новосибирск, 18-22 апреля 2011 НГТУ. Новосибирск, НГТУ, 2011. - С. 13-14.

17. Горяйнов, В.В. Устойчивость поточечного метода вычисления коэффициентов быстрых рядов Фурье / В. В. Горяйнов // Актуальные проблемы при-

кладной математики, информатики и механики. Сборник трудов международной конференции. Воронеж 20-22 сентября 2010. С. 120-124.

18. Григолюк, Э. И. Перфорированные пластины и оболочки / Э. И. Григолюк, Л. А. Фильштинский. - М.: Наука, 1970. - 556 с.

19. Демидов, С. П. Теория упругости: Учебник для ВУЗов / С. П. Демидов. -М.: Высшая школа, 1979. - 432 с.

20. Демидов, А. С. Функционально-геометрический метод решения задач со свободной границей для гармонических функций / А. С. Демидов. - УМН. -№ 65:1(391). - 2010. - С. 3-96.

21. Жилкин, В.А. Определение перемещений элементов конструкций с помощью топографической интерферометрии / В. А. Жилкин, Л. А. Борыняк // Изв. ВУЗов. Строительство и архитектура. - 1974. - № 10. - С. 150-155.

22. Задворняк, М. И. Двумерные задачи теории упругости прямолинейно-анизотропной среды с вырезами и включениями: автореф. дисс. ...канд. физ.-мат. наук: 1984, 14 с.

23. Замятин, В. М. Решение плоских задач теории упругости для полосы с помощью диагонализованной системы уравнений равновесия / В. М. Замятин, А. В. Махов, А. А. Светашков // Известия Томского политехнического университета. - 2006. - №6. - С. 135-139.

24. Захарова, Т. Л. О двухосном растяжении толстой упругопластической пластины ослабленной отверстием / Т. Л. Захарова // Известия инженерно-технической Академии Чувашской республики, сводный номер 2001. - С. 158-160.

25. Зорин, С. А. Расчет напряженно-деформированного состояния анизотропной пластины с эллиптическим отверстием и тонкими упругими включениями / С. А. Зорин, В. Н. Максименко // Изв. РАН. МТТ. - 2008. - №2. - С. 79-89.

26. Ибрагимов, В. А. Аналитическое решение задачи о двуосном растяжении плоскости с круговым отверстием при определяющих соотношениях теории

пластичности с упрочнением / В. А. Ибрагимов, В. А, Нифагин // Теоретическая и прикладная механика. Минск, 1987. - №4. - С. 29-32.

27. Иванова, С. В. Об определении перемещений в задаче плоско-деформированного состояния толстой плиты с эллиптическим отверстием / С. В. Иванова // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. - 2010. - № 1(65). - С. 3639.

28. Иванычев, Д. А. Решение задач анизотропной упругости для многосвязной плоской области методом граничных состояний / Д. А. Иванычев, О. П. Бузина // Вести высших учебных заведений Черноземья. - 2011. - №4(26). - С. 25-29.

29. Иванычев, Д. А. Метод граничных состояний в задачах изгиба анизотропных пластин // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики. Сборник трудов международной конференции. Воронеж 2022 сентября 2010. - С. 154-156.

30. Ивлев, Д. Д. Метод возмущений в теории упругопластического тела / Д. Д. Ивлев, Л. В. Ершов. - М.: Наука, 1978. - 207 с.

31. Ивлев, Д. Д. Механика пластических сред / Д. Д. Ивлев. - М.: Физматлит, 2001. - Т. 1.-445 с.

32.Ивлев, Д. Д. Теория идеальной пластичности / Д. Д. Ивлев. - М.: Наука, 1966.-232 с.

33.Ивлев Д. Д. Линеаризированные уравнения теории анизотропного идеального жесткопластического тела / Д. Д. Ивлев, Л. Б. Шитова. - Чебоксары, 1988. - С. 55-58.

34. Икрин, В. А. Сопротивление материалов с элементами теории упругости и пластичности / В. А. Икрин. - М.: Изд. АСВ, 2004. - 424 с.

35. Ильин, В.П. Численные методы решения задач строительной механики: справочное пособие / В. П. Ильин, В. В. Карпов, А. М. Маслеников. -Минск: Высшая школа, 1990. - 353 с.

36. Ишлинский, А. Ю. Математическая теория пластичности / А. Ю. Ишлин-ский, Д. Д. Ивлев. - М.: Физматлит, 2001. - 700 с.

37. Каландия, А. И. Математические методы двумерной упругости / А. И. Ка-ланидя. - М.: Наука, 1973. - 304 с.

38.Ковалев, А. В. Приближенное решение задачи о двухосном растяжении пластин с отверстием / А. В. Ковалев, Н. А. Медведь // Теория конфликта и ее приложение. - Воронеж, 2002. С. 243.

39. Ковалев, А. В. Об аналитичности решения плоской упругопластической задачи с конечной границей / А. В. Ковалев // Материалы международной школы-семинара «Современные проблемы механики и прикладной математики». Воронеж: ВГУ. - 4.1. - 2005. - С. 159-161.

40. Ковалев, А. В. К определению напряженно-деформируемого состояния в задаче Галина для сложной модели среды / А. В. Ковалев, Н. Б. Горбачева, А. Н. Спорыхин // Вестник Воронежского университета. Серия 2. Естественные науки. - Воронеж, 1998. - №3. - С. 245-249.

41. Ковалев, А. В. Приближенное решение задачи о двухосном растяжении пластины с отверстием / А. В. Ковалев, А. Н. Сопрыхин // Материалы международной школы-семинара «Современные проблемы механики и прикладной математики». - Воронеж: ВГУ, 2004. Ч. 2. - С. 78-80.

42. Кожевникова, М. Е. Геометрическая форма деформированной трещины нормального отрыва при разгрузке и повторном растяжении / М. Е. Кожевникова // Физ. мезомех. - 2008. - Т. 11. - № 4. - С. 43-59.

43. Колосов, Г. В. Об одном приложении теории функций комплексного переменного к плоской задаче математической теории упругости / Г. В. Колосов. - Юрьев, 1909.

44. Корепанов, В. В. Численный и экспериментальный анализ напряженно-деформированного состояния в задачах несимметричной теории упругости: дисс. .. .канд. физ.-мат. наук / Корепанов В. В. - Пермь, 2004. - 112 с.

45. Космодамианский, А. С. Плоская задача теории упругости для пластин с отверстиями, вырезами и выступами / А. С. Космодамианский // Издательское объединение «Вища школа», 1975. - 228 с.

46. Кузнецов, В. В. Деформированное упругопластическое состояние толстой пластины с эллиптическим отверстием, изгибаемой в своей плоскости / В. В. Кузнецов // Изв. ВУЗов, 1980. - №4. - С. 23-27.

47. Кукуджанов, В. Н. Численные методы в механике сплошных сред: учебное пособие / В. Н. Кукуджанов. - М.: «МАТИ» - РГТУ, 2006. - 158 с.

48. Кучеренко, И. В. Приближенное решение задачи о растяжении пластины с круговым отверстием при упругопластическом деформировании / И. В. Кучеренко, А. Ф. Никитенко, Б. С. Резников // Доклады 2-й Всероссийской конференции «Проблемы оптимального проектирования сооружений», 5-6 апреля 2011 г. - Новосибирск: Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет, 2011. - С.204-211.

49. Кучеренко, И. В. Упругопластическое равновесие полосы, ослабленной круговым отверстием, при растяжении / И. В. Кучеренко, Б. С. Резников // Тезисы докладов II Всероссийской конференции «Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций». Новосибирск, 1014 октября, институт Гидродинамики им. М.А.Лаврентьева. -Новосибирск, Новосибирский государственный технический университет, 2011. - С.55.

50. Лурье, А. И. Теория упругости / А. И. Лурье - М.: Наука, 1970. - 940 с.

51. Максименко, В. Н. Напряженно-деформированное состояние анизотропной пластины, содержащей криволинейные трещины и тонкие жесткие включения / В. Н. Максименко, Е. Г. По дружин, П. Е. Рябчиков // Известия РАН. Механика твердого тела. - 2007. - №2. - С. 66-74.

52. Мартынов, Н. И. Об общем методе решения плоских статических задач изотропной неоднородной упругой среды [Электронный ресурс] / Н. И. Мартынов. - 2006. Режим доступа: http://e-lib.kazntu.kz/sites/defaultyfiles/articles/martynov_2006_4.pdf

53. Масленников, А. М. Приближенное решение плоской задачи теории упругости методом перемещений / А. М. Масленников // Сб. докладов на Всесоюзной конференции по применению ЭЦВМ в строительной механике. СПб.: Судпромгиз. - 1966.

54. Минаева, H.B. Метод возмущений в механике деформируемых тел / Н. В. Минаева. - М.: Изд-во «Научная книга», 2002. - 156 с.

55. Минаева, Н.В. О напряженно-деформированном состоянии полосы, близком к однородному / Н. В. Минаева // Известия РАН. МТТ. - 2006. - №5. -С. 62-67.

56. Михайлова, М. В. двухосном растяжении упругоидеальнопластической пластины с круговым отверстием с учетом сдвигающих усилий / М. В. Михайлова, JI. И. Афанасьева // Известия инженерно-технической Академии Чувашской республики, сводный номер 2001. - С. 70-82.

57. Мусхелишвили, Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н. И. Мусхелишвили. - М.: Наука, 1966. 707 с.

58. Новацкий, В. Теория упругости / В. Новацкий. - М.: «Мир», 1975. - 865 с.

59. Никитина, Н. Е. Влияние круглых и эллиптических вырезов на собственные частоты пластин, вычисленные аналитическими и численными методами. / Н. Е. Никитина, С. В. Казачек // Вестник научно-технического развития. №10 (38).-2010.-С. 33-37.

60. Никулина, А. А. Исследование напряженного состояния упрочняющейся упругопластической трубы с учетом сдвиговых усилий / А. А. Никулина, А. Н. Спорыхин, А. Ю. Яковлев // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики. Сборник трудов международной конференции. Воронеж, 26-28 сентября 2011. - С. 277-279.

61. Павлова, A.B. К исследованию напряженно-деформированного состояния литосферных плит / А. В. Павлова, С. Е. Рубцов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2007. Т. 14, вып. 1. - С. 133-134.

62. Павлова, Т. Н. Упругопластическое состояние анизотропной тонкой пластины с эллиптическим отверстием: автореферат дисс. .. .канд. тех. Наук / Т. Н. Павлова, 2010. - 14 с.

63. Папкович, П. Ф. Теория упругости / П. Ф. Папкович. - M.-JL: Оборонгиз, 1939.-643 с.

64. Пеньков, В. Б. Решение плоских задач анизотропной упругости методом граничных состояний / В. Б. Пеньков, Д. А. Иванычев // Вести высших учебных заведений Черноземья. №2 (20). -2010.-е. 31-35.

65. Пеньков, В. Б. Метод граничных состояний для решения задач линейной механики / В. Б. Пеньков // Дальневосточный математический журнал. -2001. -Т.2. -№2. - С. 115-137.

66. Пеньков, В. Б. Метод граничных состояний как эффективное средство решения неоднородных задач теории упругости / В. Б. Пеньков, Л. В. Сатал-кина // Изв. Сарат. ун-та. Серия Математика. Механика. Информатика, 11:3(2). - 2011. С. 103-110.

67. Подболотова, Н. Б. К построению решения плоской задачи для сложной среды с неизвестной границей / Н. Б. Подболотова, А. Н. Спорыхин // Прикладная механика. НАН Украины. - 1998. - Т.34, №11. - С. 66-67.

68. Полянский, О. П. Модель развития осадочного бассейна типа пул-апарт / О. П. Полянский, Н. Л. Добрецов // Докл. РАН 2001. Т. 380. №3. - С. 386-373.

69. Попов, А. М. Экспериментальное исследование упруго-пластического деформирования полосы с заполненным отверстием / А. М. Попов, Р. Г. Шевцов // Применение лазеров в науке и технике. - Тез. докл. зон. научн.-техн. семинара. Миасс. - 1987. - С. 16-17.

70. Розин, Л. А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам / Л. А. Розин. - М.: Стройиздат, 1977. - 128 с.

71. Савин, Г. Н. Распределение напряжений около отверстий / Г. Н. Савин. -Киев: Наукова думка, 1968. - 888 с.

72. Семыкина, Т. Д. О трехосном растяжении упругопластического пространства, ослабленного сферической полостью / Т. Д. Семыкина // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1963. - № 1. - С. 17-21.

73. Семыкина, Т. Д. Упруго-пластическое деформирование пластины с эллиптическим отверстием при двуосном растяжении с учетом трансверсальной анизотропии материала / Т. Д. Семыкина, Л. П. Цуканова // Вестник воро-

нежского государственного технического университета. Т.5. - 2009. - С. 163-166.

74. Семыкина, Т.Д., Цуканова Л.П. Учет анизотропии при плоском упругопла-стическом деформировании листовых материалов / Т. Д. Семыкина, Л. П. Цуканова // Вестник ВГУ, серия физика, математика, 2009. - №1. - С. 159163.

75. Сильвестров, В. В. Растяжение пластины с эллиптическим вырезом, усиленной сфокусированной эллиптической накладкой / В. В. Сильвестров, А. Ю. Землянова // Механика композиционных материалов и конструкций. Институт прикладной механики РАН. - №4. - Т. 10. - 2004. - С. 577-595.

76. Соколов, А. П. Об упругопластическом состоянии пластинки / А. П. Соколов//Докл. АН СССР. 1948. - Т. 10, № 1. - С. 33-36.

77. Спорыхин, А. Н. Об устойчивости плиты при сжатии / А. Н. Спорыхин // Прикл. механика. 1969-№ 5. -С. 120-122.

78. Спорыхин, А. Н. Неодномерные задачи упруговязкопластичности с неизвестной границей / А. Н. Спорыхин, А. В. Ковалев, Ю. Д. Щеглова. - Воронеж: Изд-во ВГУ, 2004. - 219 с.

79. Спорыхин, А. Н. К определению поля напряжений в пластинах с отверстиями различных очертаний/ А. Н. Спорыхин, Н. Н. Чиканова, А. Н. Ковалев // Информационные технологии и системы. Воронеж, 1994. - Ч. 3. - С. 11-15.

80. Спорыхин, А. Н. Локальная потеря устойчивости неограниченной пластины от запрессованной шайбы / А. Н. Спорыхин, Н. Н. Чиканова // Актуальные проблемы механики деформированного твердого тела. Алма-Ата, 1993. -4.3.

81. Спорыхин, А. Н. Метод возмущений в задачах устойчивости сложных сред / А. Н. Спорыхин. - Воронеж: Изд-во Воронеж, ун-та, 1997. - 360 с.

82. Спорыхин, А. Н. Определение оптимальных размеров горных целиков / А. Н. Спорыхин, А. И. Шашкин // Математическое моделирование информа-

ционных и технологических систем / ВГТА. Воронеж, 2000. - Вып.4. - С. 245-248.

83. Тимошенко, С. П. Пластинки и оболочки / С. П. Тимошенко, С. Войнов-ский-Кригер. - М.: Наука, 1966. - 636 с.

84. Толстов, Г. П. Ряды Фурье / Г. П. Толстов. - М.: Наука, 1980. 390 с.

85. Харченко, А. П. Упругопластическое деформированное состояние бесконечной полосы с круговым отверстием / А. П. Харченко // Прикл. механика. - 1969. - Т.5, №8. - С. 71-76.

86. Хозяинова, Н. А. О растяжении прямоугольной пластины конечных размеров с круговым отверстием / Н. А. Хозяинова // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики. Сборник трудов международной конференции. Воронеж. 20-22 сентября 2010 г. С. 375-380.

87. Цуканова, Л. П. Две задачи о нагружении пластины из листового материала / Л. П. Цуканова, Н. А. Хозяинова // Труды X Всероссийской научно-технической конференции и школы молодых ученых, аспирантов и студентов «Научные исследования в области транспортных, авиационных и космических систем». Воронеж, 11-13 ноября 2009. С. 319-328.

88. Цуканова, Л. П. Расчет напряженно-деформированного состояния транс-версально-изотропных тел и конструкций: автореф. дисс. ...канд. физ.-мат. наук.: 01.02.04 / Цуканова Людмила Петровна. - Воронеж: 2010. - 16 с.

89.Хребтова, С. С. Вторая смешанная моментная функция решения уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами / С. С. Хребтова // Сб. Материалов 3 международной научной конференции, Воронеж, 2-7 февраля 2009 г. С. 104-105.

90. Чернышов, А.Д. Быстрые ряды Фурье / А. Д. Чернышов // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики. Сборник трудов международной конференции. Воронеж, 20-22 сентября 2010. С. 388393.

91. Чернышов, А. Д. О возможности вычисления коэффициентов Фурье поточечным методом / А. Д. Чернышов, В. В. Горяйнов, А. О. Соловьев // Вест-

ник Воронежского государственного технического университета. - Т.6. -№2.-2010.-С. 49-53.

92.Чернышов, А. Д. Применение быстрых разложений для решения задачи о растяжении упругой пластины конечных размеров с отверстием / А. Д. Чернышов, Н. В. Минаева, Н. А. Хозяинова // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2011. - № 2(10). - С. 104-110.

93. Чернышов, А. Д. О поточечном методе вычисления коэффициентов Фурье / А. Д. Чернышов, А. О. Соловьев, О. П. Резцов // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики. Сборник трудов международной конференции. Воронеж, 22-24 июня 2009. - ч.2. - С. 239 - 241.

94. Чернышов, А. Д. О применении быстрых разложений для решения нелинейных задач механики / А. Д. Чернышов // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики. Сборник трудов международной конференции. Воронеж, 26-28 сентября 2011. С. 412 - 416.

95. Чернышов, А. Д. О сравнении быстрых синус- и косинус-разложений в краевых задачах с условиями Дирихле / А. Д. Чернышов, В. В. Горяйнов // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики. Сборник трудов международной конференции. Воронеж, 26-28 сентября 2011. С. 417-421.

96. Чернышов, А. Д. Решение задач с фазовыми превращениями методом расширения границ / А. Д. Чернышов // Инженерно-физический журнал. -2009. - №3. - Т. 82. - С. 576-585.

97. Чернышов, А. Д. Улучшенные ряды Фурье и граничные функции / А. Д. Чернышов // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики. Сборник трудов международной конференции. Воронеж, 22-24 июня 2009. - ч. 2. - С. 236 - 238.

98. Чернышов, А. Д. Исследование погрешности поточечного метода вычисления коэффициентов быстрых рядов Фурье / А. Д. Чернышов, Н. А. Хозяинова, В. В. Горяйнов // Вестник Воронежской государственного университе-

та инженерных технологий. Серия: Информационные технологии, моделирование и управление. - № 2(48). - 2011. - С. 64 - 67.

99. Чернышов, А. Д. Применение метода быстрых разложений при нахождении напряжений в растянутой прямоугольной пластине / А. Д. Чернышов, Н. А. Хозяинова // Материалы Ь отчетной научной конференции преподавателей и научных сотрудников ВГУИТ за 2011 г. - 4.2. - С. 132.

100. Чернышов, А.Д. Решение задачи о растяжении упругой прямоугольной пластины методом быстрых разложений / А. Д. Чернышов, Н. А. Хозяинова // Вестник Воронежского государственного университета инженерных технологий. - 2012. - №4(54). - С.43-47.

101. Шарафутдинов, Г. 3. Метод комплексного переменного в задачах упругости при наличии массовых сил / Г. 3. Шарафутдинов // Прикладная математика и механика № 1. - Т. 73. - 2009 г. С. 69-87.

102. Шарафутдинов, Г.З. Применение функций комплексного переменного к некоторым пространственным задачам теории упругости / Г. 3. Шарафутдинов // ПММ, 2000. Т. 64. Вып. 4. С. 659-669.

103. Яковлев, А. Ю. Задача о механическом поведении толстой плиты, ослабленной отверстием сложной формы / А. Ю. Яковлев, О. Ю. Голева // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики. Сборник трудов международной конференции. Воронеж, 26-28 сентября 2011. С. 433-434.